Questões Fechadas - Revisão Prova 1

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PUCMINAS – Cálculo III 
Prof. Frederico Reis M. de Brito 
 
Teste de Revisão – PROVA I (Não avaliativo) 
 
 
 
1) Analise as afirmações a seguir: 
(I) Todo ponto (𝑥, 𝑦) no domínio de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) pertence a uma curva 
de nível de 𝑓. 
(II) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) e 𝑔(𝑥, 𝑦) têm o mesmo conjunto de curvas de nível então 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦). 
(III) É possível que uma curva de nível de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) seja um único 
ponto. 
 
São verdadeiras a(s) exatamente a(s) afirmação (ões): 
(a) I, II e III 
(b) I e III 
(c) I e II 
(d) II e III 
(e) III 
 
 
2) Uma função diferenciável 𝑓(𝑥, 𝑦) possui curvas de nível representadas figura abaixo: 
 
 
Considerando apenas os pontos de A a G indicados na figura, analise as afirmações 
seguintes: 
(I) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 0 e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) ≠ 0 em dois dos pontos indicados 
(II) 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 e 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) ≠ 0 apenas no ponto D 
(III) 𝑓(𝑥, 𝑦) tem pelo menos ponto crítico 
 
É CORRETO o que se afirma apenas em: 
(a) I, II, III 
(b) I e III 
(c) I e II 
(d) II e III 
(e) II 
 
 
 
3) O pagamento mensal da hipoteca em reais, 𝑃, para uma casa é uma função de três 
variáveis 𝑃 = 𝑓(𝐴, 𝑟, 𝑁), em que 𝐴 é o valor do empréstimo (em reais), 𝑟 é a taxa de 
juros e 𝑁 é o tempo (em anos) antes do pagamento da hipoteca. Se a situação atual 
 
𝑃(100.000, 7, 20) = 900,00 
𝜕𝑃
𝜕𝑁
(100.000, 7, 20) = 17 
 
é CORRETO deduzir que (selecione todas as opções que contenham uma conclusão 
correta): 
(a) Atualmente, o pagamento mensal aumentará em aproximadamente R$17,00 para 
cada ponto percentual extra cobrado. 
(b) Atualmente, pagamento mensal aumentará em aproximadamente $17,00 para cada 
real extra emprestado. 
(c) Atualmente, o pagamento mensal aumentará em aproximadamente $17,00 para 
cada ano extra da hipoteca. 
 
(d) 
𝜕𝑓
𝜕𝑁
(200.000, 14, 40) = 34 
 
(e) 
𝜕2𝑓
𝜕2𝑁
= 0 
 
4) O plano tangente à superfície 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 
1
𝑦2+1
 no ponto (1, 1, 3/2) contem o ponto 
(2, 2, 𝑚). Com base nisso, é CORRETO afirmar que 𝑚 é : 
(a) Um número racional, não inteiro. 
(b) Um número irracional. 
(c) Um número negativo. 
(d) Um número inteiro positivo. 
(e) Nulo 
 
 
5) A respeito da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln (1 + 𝑥2 + 𝑦2) é CORRETO o que se afirma em: 
(marque todas as opções verdadeiras) 
(a) As curvas de nível são circulares. 
(b) O domínio de 𝑓 é todo o plano e só existem curvas de nível 𝑐 ≥ 0. 
(c) 𝑓𝑥𝑦 + 𝑓𝑥 ∙ 𝑓𝑦 = 0 em todo ponto do domínio. 
(d) A taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑥 é sempre positiva. 
(e) Nos pontos da curva de nível 𝑐 = ln (𝑘 + 1), a derivada direcional máxima é 
4𝑘
𝑘+1
 
 
 
6) A linearização de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto (2,4) é dada por 
 
𝐿(𝑥, 𝑦) = −5 + 3(𝑥 − 2) − (𝑦 − 4) 
 
Com base nisso é CORRETO afirmar que (marque todas as opções verdadeiras): 
(a) 𝑓(2,4) > −5 
(b) 𝑓(3,5) = −3 
(c) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3 e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = −1 
(d) 𝑓(2,001; 3, 998) ≅ −4,995 
(e) O plano tangente à superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto (2,4) pode ser descrito pela 
equação 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 7 
 
 
7) Sabemos da Física que a energia cinética de um corpo de massa 𝑚 e velocidade 𝑣 é 
dada por 𝐸 =
𝑚𝑣2
2
. Num determinado experimento a massa e a velocidade variam com 
o tempo. Se num certo instante a taxa de variação da massa com relação ao tempo for 
numericamente igual a massa e a aceleração for numericamente igual à velocidade, a 
taxa de variação da energia cinética com relação ao tempo será numericamente igual: 
(a) a energia cinética 
(b) ao dobro da energia cinética 
(c) ao triplo da energia cinética 
(d) a metade da energia cinética 
(e) nenhuma das opções anteriores 
 
8) Considere as afirmações seguintes: 
I. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 e (𝑥, 𝑦) = (𝑡, 𝑡2) então 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= (4𝑡3, 4𝑡6) ∙ (1, 2𝑡). 
II. Se 𝑓((𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 3 para todo 𝑡 real então a curva (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) será ortogonal 
ao vetor ∇𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) . 
III. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é diferenciável então 
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦0 + 𝑎𝑡) = 𝐷�⃗⃗� 𝑓(𝑎, 𝑏) , �⃗⃗� = (𝑎, 𝑏). 
É CORRETO apenas o que se afirma em: 
(a) I, II e III 
(b) I e II 
(c) II e III 
(d) I 
(e) II