PROVA A2 CÁLCULO DIFERÊNCIAL E INTEGRAL II

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Local: Sala 2 - TJ - Prova On-line / Andar / Polo Tijuca / POLO UVA TIJUCA 
Acadêmico: EAD-IL10015-20223A
Aluno: REINALDO IVO RABELAIS JUNIOR 
Avaliação: A2-
Matrícula: 20202300682 
Data: 23 de Setembro de 2022 - 08:00 Finalizado
Correto Incorreto Anulada  Discursiva  Objetiva Total: 10,00/10,00
1  Código: 34120 - Enunciado: A tabela a seguir, extraída do Serviço de Administração Nacional de
Oceanos e Atmosfera dos Estados Unidos, mostra o índice I de temperatura-umidade (ou
simplesmente Umidex) em função da temperatura real e da umidade . O índice representa a
temperatura aparente do ar quando a temperatura real é e a umidade relativa é , de modo que
podemos escrever . Com base na tabela, leia as asserções a seguir. 
(STEWART, J. Cálculo, v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2018, p. 896.) I. II. A variação de com é
negativa.III. A derivada de em relação a é positiva. É correto o que se afirma em:
 a) I, apenas.
 b) I e III, apenas.
 c) II, apenas.
 d) I e II, apenas.
 e) III, apenas.
Alternativa marcada:
b) I e III, apenas.
Justificativa: Resposta correta: I e III, apenas.Observando a tabela, verificamos que e Logo, e I é
verdadeira. Também podemos observar que, para qualquer fixo, aumenta com o aumento de .
Assim, II é falsa. Do mesmo modo, aumenta com o aumento de , logo a derivada é positiva e III é
positiva.
1,00/ 1,00
2  Código: 33350 - Enunciado: Uma chapa de metal tem a forma indicada na figura, a
seguir: (SHENK. Cálculo e geometria analítica, v. 2. Rio de Janeiro: Campus, 1984, p.
234.) Podemos calcular a área da chapa utilizando uma integral dupla em coordenadas polares,
cujos limites de integração devem ser: 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Alternativa marcada:
d) 
Justificativa: Resposta correta:Observando a figura, verificamos que a coordenada , que deve
ser traçada a partir da origem, apresenta diferentes valores para diferentes pontos da curva, e,
portanto, não tem valor máximo igual a 1 ou 2. Assim, temos . Do mesmo modo, se girarmos no
sentido anti-horário o segmento que vai da origem até a curva que define a borda da chapa,
verificamos que o ângulo varia entre 0 e , e não 0 e . Logo, 
1,00/ 1,00
3  Código: 33365 - Enunciado: Um sólido retangular tem uma temperatura não uniforme que varia
de acordo com as equações a seguir: O ponto de máximo/mínimo da função ocorre em:
1,50/ 1,50
 a) (1,0)
 b) (0,1)
 c) (1,1)
 d) (0,0)
 e) (1,2)
Alternativa marcada:
d) (0,0)
Justificativa: Resposta correta: (0,0)Achando os pontos de máximo/mínimo: Assim, o ponto de
máximo/mínimo da função é (0,0). Nos pontos (1,1), (1,0), (0,1) e (1,2), as derivadas parciais não
zeram, e, portanto, esses pontos não são pontos de inflexão (máximos ou mínimos).
4  Código: 34235 - Enunciado: A figura a seguir mostra o gráfico e as curvas de nível para a
função . Com base em seu conhecimento e nas representações gráficas apresentadas, analise as
asserções a seguir:I. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local, chamado de ponto de sela.II. A
direção de máxima variação de no ponto (1,1) é III. Os pontos onde é máxima são e . É correto o
que se afirma em:
 a) II e III, apenas.
 b) I e II, apenas.
 c) I e III, apenas.
 d) I, apenas.
 e) I, II e III.
Alternativa marcada:
a) II e III, apenas.
Justificativa: Resposta correta: II e III, apenas.O ponto (0,0) não é um mínimo local, uma vez que
a função em sua vizinhança tem valores negativos (=0 ). No entanto, (0,0) é um ponto crítico,
chamado de ponto de sela. Assim, I é negativa. Calculamos agora as derivadas parciais de
primeira ordem:Calculando o gradiente de no ponto (1,1), temosLogo II é verdadeira. Pelas
figuras, verificamos que a função tem dois pontos de máximo. Para obtê-los, primeiramente,
devemos determinar os pontos críticos:,logo ou Assim, os três pontos críticos serão ponto de
sela e pontos de máximo (podem ser confirmados com o teste da segunda derivada). Logo, III é
verdadeira.
1,50/ 1,50
5  Código: 34136 - Enunciado: A figura a seguir mostra o gráfico da função Com base nesse gráfico
e em seu conhecimento, leia as asserções sobre o ponto (0,0). I. É o único ponto crítico.II. Pode
ser considerado um ponto de mínimo local. III. É um ponto de sela. É correto o que se afirma em:
 a) I e III, apenas.
 b) II e III, apenas.
 c) I e II, apenas.
 d) I, apenas.
 e) I, II e III.
Alternativa marcada:
a) I e III, apenas.
Justificativa: Resposta correta: I e III, apenas.A análise pode ser feita visualmente e com as
primeiras derivadas. No entanto, vamos utilizar a quantidade para fundamentar a discussão.
Calculando as derivadas,Observado as primeiras derivadas, verificamos que (0,0) é o único ponto
crítico da função. Logo, I é verdadeira. Calculando ,Como , não é mínimo local nem máximo
local. Isso pode ser observado porque, imediatamente na vizinhança de (0,0), existem pontos
1,00/ 1,00
onde a função tem um menor valor. Portanto, II é falsa. O ponto (0,0) é classificado como um
ponto de sela devido ao formato do gráfico. Assim, III é verdadeira.
6  Código: 33780 - Enunciado: A função define uma superfície chamada de paraboloide circular.
Para essa superfície, analise as asserções a seguir: I. O gradiente de no ponto (1,1,2) é II. A
equação do plano tangente no ponto (1,1,2) é III. As equações que definem a reta normal à
superfície em (1,1,2) são É verdade o que se afirma em:
 a) I e III, apenas.
 b) I, II e III.
 c) I, apenas.
 d) I e II, apenas.
 e) II e III, apenas.
Alternativa marcada:
a) I e III, apenas.
Justificativa: Resposta correta: I e III, apenas.Calculando o gradiente de :Portanto, I é
verdadeira.Por definição, o plano tangente será: Logo, II é falsa.Por fim, encontramos as
equações que definem a reta normal à superfície em (1,1,2) utilizando as coordenadas do ponto e
o vetor gradiente:Portanto, III é verdadeira.
1,50/ 1,50
7  Código: 34111 - Enunciado: A área da figura a seguir pode ser calculada através de uma integral
dupla utilizando coordenadas polares.Fonte: STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning,
2008. v. 2. p. 1.005. Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é , leia as
asserções a seguir: A equação do círculo em coordenadas polares é O intervalo de variação da
variável é O intervalo de variação da variável é É correto o que se afirma em:
 a) I e II, apenas.
 b) II, apenas.
 c) III, apenas.
 d) I, II e III.
 e) I, apenas.
Alternativa marcada:
d) I, II e III.
Justificativa: Resposta correta: I, II e III.Sabemos que e , logoLogo, I é verdadeira. Observando a
figura, verificamos que os intervalos de variação das variáveis e são, respectivamente,uma vez
que varia de 0 até a curva definida por e a área ocupa o primeiro e o quarto quadrantes. Logo, II
e III são verdadeiras.
1,00/ 1,00
8  Código: 33854 - Enunciado: Em economia, a fórmula do tamanho do lote de Wilson afirma que a
quantidade mais econômica de um produto a ser pedido por uma loja é fornecida pela
fórmula , onde é o custo do pedido, é o número de itens vendidos por semana e é o custo da
estocagem semanal para cada item.Sabendo que , e são quantidades positivas, qual das
afirmativas a seguir é verdadeira?
 a) A taxa de variação de com o custo do pedido é maior quanto maior for 
 b) Quanto maior o custo do pedido, menor será 
 c) O domínio de pode incluir 
 d) A taxa de variação de com é dada por .
 e) aumenta com o aumento do custo da estocagem.
1,50/ 1,50
Alternativa marcada:
d) A taxa de variação de com é dada por .
Justificativa: Resposta correta: A taxa de variação de com é dada por .Observando a função ,
verificamos que ela aumenta com e e diminui com o aumento de Logo, aumenta com o
aumento do custo da estocagem. Incorreta.Quanto maior o custo do pedido,
menor será . Incorreta.A taxa de variação de com é dada por:Assim,A taxa de variação de com é
dada por . Correta.Sobre o domínio da função, não pode ocorrer divisão por 0, logo:O domínio
de pode incluir . Incorreta.Por fim, para avaliarmos o comportamento de com , devemos calculara primeira derivada de em relação a :PortantoA taxa de variação de com o custo do pedido é
maior quanto maior for . Incorreta.