Lista 14 - Equações Diferenciais Computador - Camile Strzykalski

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Nome: Camile Xavier Strzykalski 
 
Prof. Pedro Américo Júnior 
Usando o VCN com Runge-Kutta de Quarta Ordem, para resolver as equações diferenciais dos problemas abaixo: (Deve ser entregue 
a listagem da entrada dos dados e os gráficos com as grandezas, copie as telas com a tecla PRINT SCREEN e cole no Word com 
CTRL-V){=número de letras do primeiro nome do aluno, =número de letras do segundo nome do aluno, =número de letras do 
terceiro nome do aluno} 
Camile – 6 
Xavier – 6 
Strzykalski – 11 
 
1) Sistema Massa-Mola com Atrito Viscoso 
 
Dados: M1=20kg, M2=15Kg, K1=N/m , K12=5,0N/m, K2=N/m 
Condições Iniciais: x1(0)=-3,0m; x2(0)=-5,0m; x’1(0)=x’2(0)=0 m/s 
Malha: t=0,01s timpressão=0,5s tmaximo=40s 
Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 
Equações: 
M1 d2x1(t) / dt2 + F1 dx1(t) / dt + K1 x1(t) + K12 [ x1(t) - x2(t)] = 0 
 
M2 d2x2(t) / dt2 + F2 dx2(t) / dt + K2 x2(t) + K12 [ x2(t) - x1(t)] = 0 
 
Resolução: 
20*X1’’ + 4 * X1’ + 6*X1 + 5*(X1-X2) = 0 
15*X2’’ + 6 * X2’ + 6*X2 + 5 * (X2-X1) = 0 
 
X1’’ = (- 4 * X1’ - 6*X1 - 5*(X1-X2)) / 20 X2’’ = (- 6 * X2’ - 6*X2 - 5 * (X2-X1)) / 15 
X1’= V1 => X1’’=V1’ X2’=V2 => X2’’=V2’ 
 
V1’ = (- 4*V1 - 6*X1 - 5*(X1-X2)) / 20 V(0)=0 
X1’=V1 X1(0)=-3 
 
V2’= (- 6 * V2 - 6*X2 - 5 * (X2-X1)) / 15 V(0)=0 
X2’=V2 X2(0)=-5 
 
a) F1=4,0Kg/s, F2=6,0Kg/s 
 
 
 
 
b) F1=0,0Kg/s, F2=0,0Kg/s 
 
 
 
 
2) Acelerômetro 
 
Dados: M= (Kg) M=6kg 
 B = 2,0 N/m.s, K= N/m K=6N/m, y(0) = y’(0) =0 
Equação: M d2y(t) / dt2 + B dy(t) / dt + K y(t) = M d 2x(t) / dt2 
Malha: t=0,001s timpressão=0,5s tmaximo=60s 
Gráfico: t(s) por x, y 
Resolução: 
6*Y’’ + 2 *Y’ + 6*Y = 6*X’’ 
 
Y’’ = (6*X’’ – 2*Y’ – 6*Y) / 6 
Y’=V => Y’’=V’ 
 
 
a) x = t2 m 
X=T^2 => X’=2*T =>X’’=2 
 
V’=(6*2 – 2*V – 6*Y) / 6 V(0)=0 
Y’=V Y(0)=0 
X’=2*T X(0)=0 
 
 
 
 
 
 
b) x = e-2t m 
X=exp(-2*T) => X’=-2*exp(-2*T) => X’’=-4*exp(-2*T) 
 
V’= (6*(-4*exp(-2*T)) – 2*V – 6*Y) / 6 V(0)=0 
Y’=V Y(0)=0 
X’=-2*exp(-2*T) X(0)=0 
 
 
 
 
 
c) x = t3 m 
 
X=T^3 => X’=3*T^2 => X’’=6*T 
 
V’=(6*(6*T) – 2*V – 6*Y) / 6 V(0)=0 
Y’=V Y(0)=0 
X’=3*T^2 X(0)=0 
 
 
 
 
 
3) Epidemia Biológica 
 
Objetivo é estudar o problema de uma epidemia biológica e para analisar os efeitos dos diferentes parâmetros no período da epidemia. O 
problema a ser estudado é matematicamente representado pelo sistema de equações diferenciais abaixo: 
 
dx(t) / dt = - F x(t) y(t) x(t) = população susceptível 
dy(t) / dt = F x(t) y(t) - M y(t) y(t) = infectados 
dz(t) / dt = M y(t) z(t) = indivíduos imunizados 
 
Dados: População = x+y+z pessoas, M = 0,072, F=0,001, X(0) = 620, y(0) = y(0)=6 , z(0) = 70 
Malha: t=0,001 timpressão=1dia tmaximo=120 dias 
Gráfico: t(dia) por x,y,z 
 
 
 
 
4) Sistema Massa-Mola-Amortecedor Acionado Através de uma Alavanca Ideal 
 
Dados: M= (kg) M=6kg 
 D=N/m D=6N/m , K=1,0N/m, l1=1m, l2=5m, F(t) = 40 sen(t) 
Condições Iniciais: x(0)=0,0m, x’(0)=0 m/s 
Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=12s 
Gráfico: t(s) por x, x’, x’’ 
Equação: 
M d2x(t) / dt2 + D dx(t) / dt + K x(t) = (l2 / l1) F(t) 
 
Resolução: 
6*Y’’ + 6*X’ + 1*X = (5/1) * 40*SIN(T) 
Y’’ = (200*SIN(T) – 6*V – X) / 6 
X’=V V(0)=0 
X=V 
 
 
 
 
5) Sistema de Rolos 
 
Dados: M1=0,5kg, M2=0,2Kg, K1=N/m K1=6N/m , K2=N/m K2=6N/m, B=2,0Kg/s, g = 9,8 m/s2 
Condições Iniciais: x1(0)=1,0m, x2(0)=0,5m, x’1(0)=x’2(0)=0 m/s 
Malha: t=0,01s timpressão=0,2s tmaximo=20s 
Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 
Equações: 
M1 d2x1(t) / dt2 + B dx1(t) / dt + K1 x1(t) + K2 [ x1(t) - x2(t)] =0 
 
M2 d2x2(t) / dt2 + K2 [ x2(t) - x1(t)] = M2 g 
 
Resolução: 
0,5*X’’ + 2*V1 +6*X1 + 6*(X1-X2) =0 
X’’=(-2*V1 – 6 *X1 – 6 (X1-X2) ) / 0,5 
 
X’=V1 X1(0)=1 
 
0,2*X’’ + 6 *(X2-X1) = 0,2 *9,8 
X’’= (-6 * (X2-X1) - 9,8 * 0,2 ) / 0,2 
 
X’=V2 X2(0)=0,5 
 
 
 
 
 
6) Sistema Hidráulico 
 
Dados: Aa = 100cm2, Ab = 75cm2, Ac = 50cm2, K1=40cm2/s, K2=30cm2/s 
Condições Iniciais: ya(0)=50cm, yb(0)=10cm, yc(0)=5cm 
Malha: t=0,01s timpressão=1s tmaximo=200s 
Gráfico: t(s) por ya, yb, yc 
Equações: 
Aa dya(t) / dt = - K1 [ ya(t) - yb(t)] 
Ab dyb(t) / dt = K1 [ ya(t) - yb(t)] - K2 [ yb(t) - yc(t)] 
Ac dyc(t) / dt = K2 [ yb(t) - yc(t)] - K3 yc(t) 
 
a) K3=cm2/s K3=6CM²/S 
 
 
 
 
b)K3=0cm2/s 
 
 
 
 
c)K3=(++)cm2/s K3=(6+6+11)CM²/S 
 
 
 
 
7) Pêndulo Elástico 
 
Dados: M=kg M=6kg, L=0,6m, g = 10 m/s2 
Condições Iniciais: x(0)=0,6m, y(0)=-0,87m, x’(0)=y’(0)=0 m/s 
Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=10s 
Gráfico: t(s) por x, y, x’, y’ e x por y 
Equações: 
M d2x(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } x(t) / [ x2(t) + y2(t)]1/2 = 0 
 
M d2y(t) / dt2 + K { [ x2(t) + y2(t)]1/2 - L } y(t) / [ x2(t) + y2(t)]1/2 + M g = 0 
 
a) K=100 N/m 
 
 
 
 
b) K=20N/m 
 
 
 
 
d) K=200 N/m 
 
 
 
 
8) Pêndulo com Translação e Rotação 
 
Dados: in (polegadas) 
Condições Iniciais: x(0)=2in,  (0)=0o, x’(0)= ’(0)=0 m/s 
Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=12s 
Gráfico: t(s) por x, , x’, ’ 
Equações: 
 d2x(t) / dt2 + 1000 x(t) - 100 (t) = 0 
 d2(t) / dt2 + 1000 (t) - 100 x(t) = 0 
 
 
 
 
9) Movimento de Pêndulos Acoplados 
 
 
Dados: M1=10kg, M2=Kg M2=6kg, K=3,0N/m , g=9,8m/s2, a= L1=L2=0,60m 
Condições Iniciais: x1(0)=+0,30m, x2(0)=-0,50m, x’1(0)=x’2(0)=0 m/s 
Malha: t=0,01s timpressão=0,5s tmaximo=90s 
Gráfico: t(s) por x1, x2, x’1, x’2 
Equações: 
M1 d2x1(t) / dt2 + M1 g / L1 dx1(t) / dt + K a2 / L1 [ x1(t) / L1 - x2(t) / L2 ] = 0 
 
M2 d2x2(t) / dt2 + M2 g / L2 dx2(t) / dt + K a2 / L2 [ x2(t) / L2 - x1(t) / L1 ] = 0 
 
 
 
 
10) Cinética Química 
 
Certos processos químicos são reversíveis. 
BA
K
K


2
1
 
Na(t) = Concentração da substância A , Nb(t) = Concentração da substância B, K1 e K2 são as taxas de reação 
 
Dados: K1=0,5mol/h, K2=0,2mol/h 
Condições Iniciais: Na(0)=mol Na(0)=6mol, Nb(0)=0mol 
Malha: t=0,01hora timpressão=0,3horas tmaximo=10horas 
Gráfico: t(h) por Na, Nb 
Equações: 
 dNa(t) / dt = - K1 Na(t) + K2 Nb(t) 
 dNb(t) / dt = + K1 Na(t) - K2 Nb(t) 
 
 
 
 
11) Circuitos Elétricos 
 
Dados: C = 0,0003 F, R1= 100, R2= (50+) R2=(50+6) , L1= 0,5H, L2=2H, V0=100V, w=6rd/s 
Condições Iniciais: q1(0)=0C, q2(0)=0C, q’1(0)=q’2(0)=0 C/s 
Malha: t=0,001s timpressão=0,1s tmaximo=20s 
Gráfico: t(s) por q1, q2, q’1, q’2 
Equações: 
L1 d2q1(t) / dt2 + R1 dq1(t) / dt + 1 / C [ q1(t) - q2(t) ] = V0 sen(wt) 
 
L2 d2q2(t) / dt2 + R2 dq2(t) / dt + 1 / C [ q2(t) - q1(t) ] =0