Questão resolvida - Resolva a integral dupla definida_ (4r1)rdrd (com o limite de integração em r indo de 0 a 5) - sólidos no espaço - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (51) 99187-5503
 
Visite meu perfil e/ou meu grupo no site Passei Direto, confira mais questões ou deixe alguma no grupo para ser resolvida: 
Perfil - https://www.passeidireto.com/perfil/tiago-pimenta/
Grupo - https://www.passeidireto.com/grupos/109427150/publicacoes
 
• Resolva a integral dupla definida:
 
A = rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
 
Resolução:
 
Resolvendo a integral;
 
A = rdrd𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
 
Primeiro, vamos resolver, em sua forma indefinida, a integral : rdr∫ 4r + 12
 
Fazemos t = 4r + 1 dt = 2 ⋅ 4rdr dt = 8rdr = rdr→ 2 → → →
dt
8
 
Substituindo; 
 
 rdr = = t dt = ⋅ + C = ⋅ + C = ⋅ + C∫ 4r + 12 ∫ t dt
8
1
8
∫
1
2
1
8
t
+ 1
+1
1
2
1
2
1
8
t
1 + 2
2
1+2
2
1
8
t
3
2
3
2
 
 
= ⋅ t + C = t + C = t + C = 4r + 1 + C = + C
1
8
2
3
3
2
1
4 ⋅ 3
3
2
1
12
3
2
1
12
2
3
2
4r + 1
12
2
3
2
4
(1)
Voltando para a integral definida da área;
 
A = rdrd𝜃 = d𝜃
0
∫
2𝜋 5
0
∫ 4r + 12
0
∫
2𝜋 4r + 1
12
2
3
2
5
0
 
A = - d𝜃 = - d𝜃 = d𝜃
0
∫
2𝜋 100 + 1
12
( )
3
2 1
12
( )
3
2
0
∫
2𝜋 101
12
( )
3
2 1
12 0
∫
2𝜋 101 - 1
12
( )
3
2
A = d𝜃 = d𝜃 = 𝜃
0
∫
2𝜋101 ⋅ 101 - 1
12
1
2
0
∫
2𝜋 ⋅ 101 - 1
12
101 101 - 1
12
101 2𝜋
0
 
A = 101 - 1 u. a.
𝜋
6
101
 
 
 
A = - d𝜃 = - d𝜃
0
∫
2𝜋 4 5 + 1
12
( )2
3
2
4 0 + 1
12
( )2
3
2
0
∫
2𝜋 4 ⋅ 25 + 1
12
( )
3
2 0 + 1
12
( )
3
2
0
A = d𝜃 = d𝜃 = d
0
∫
2𝜋 101 - 1
12
( )3
1
2
0
∫
2𝜋 101 ⋅ 101 - 1
12
( )2
1
2
0
∫
2𝜋101 ⋅ 101 - 1
12
1
2 ( )
2⋅
1
2
A = 2𝜋 - 0 A = ⋅ 2𝜋 A = ⋅ 𝜋
101 - 1
12
101
( ) →
101 - 1
12
101
→
101 - 1
6
101
6
(Resposta)