Questão resolvida - Assinale a alternativa que contenha a correta solução para a área de superfície de revolução em torno do eixo x, da curva dada por yx, 0 x 1 - Cálculo II - UNIMAR

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• Assinale a alternativa que contenha a correta solução para a área de superfície de 
revolução em torno do eixo x, da curva dada por , :y = x³ 0 ≤ x ≤ 1
 
⃘ 𝜋 5 - 15
⃘ -
𝜋
27
⃘ - 10
𝜋
27
10
⃘ 10 - 1
𝜋
27
10
⃘ 𝜋 10 - 110
 
Resolução:
 
Substituindo alguns valores de x (como: 0, 1, 8, 27) na equação da curva, podemos definir 
seu comportamento e construir no gráfico a região geradora da curva que desejamos saber 
a área superficial, como visto na sequência;
 
 
A área superficial de uma curva que gira formando um sólido é dada pela expressão;
 
S = 2𝜋 f x dx
b
a
∫ ( ) 1 + f' x[ ( )]2
 
Assim, primeiro temos que derivar a equação da curva;
 
f x = y = x³ f' x = 3x( ) → ( ) 2
Substituimos, então, na expressão que fornece a área superficial, com limite de integração 
de a .0 1
S = 2𝜋 x³ dx S = 2𝜋 x³ dx S = 2𝜋 x³dx
1
0
∫ 1 + 3x2 2 →
1
0
∫ 1 + 9x4 →
1
0
∫ 1 + 9x4
 
Vamos resolver a integral em sua forma indefinida : I = 2𝜋 x³dx∫ 1 + 9x4
 
Essa integral pode ser resolvida com substituição simples;
 
u = 1 + 9x du = 9 ⋅ 4x³dx du = 36x³dx 36x³dx = du x³dx =4 → → → →
du
36
 
Substituindo e resolvendo;
 
I = 2𝜋 x³dx = 2𝜋 = u du = = =
1
0
∫ 1 + 9x4 ∫ udu
36
2𝜋
36
∫
1
2
𝜋
18
u
- 1
-1
1
2
1
2
𝜋
18
u
1 + 2
2
1+2
2
𝜋
18
u
3
2
3
2
 
I = ⋅ ⋅ u = u = 1 + 9x
𝜋
18
2
3
3
2
𝜋
27
3
2
𝜋
27
4
3
2
 
Voltando para integral definida, fica;
 
S = 2𝜋 x³dx = 1 + 9x = 1 + 9 1 - 1 + 9 0
1
0
∫ 1 + 9x4 𝜋
27
4
3
2
1
0
𝜋
27
( )4
3
2 𝜋
27
( )4
3
2
 
 
 
S = 1 + 9 ⋅ 1 - 1 + 9 ⋅ 0 S = 1 + 9 - 1 + 0 S = 10 - 1
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
( )
3
2 →
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
( )
3
2 →
𝜋
27
( )
3
2
𝜋
27
( )
3
2
 
S = 10 - = 10 ⋅ 10 - = 10 ⋅ 10 - = ⋅ 10 -
𝜋
27
3
1
2 𝜋
27
𝜋
27
2
1
2 𝜋
27
𝜋
27
( )
1
2 2
1
2 𝜋
27
𝜋
27
10
2
2
𝜋
27
 
S = 10 - 1
𝜋
27
10
 
 
(Resposta )