Questão resolvida - Considere a função f R-R definida por f(x)(2x4)(x-1), para cada x R. Determine, aproximadamente, a área da região limitada pelo gráfico da função y f (x), o eixo 0x e as retas ...

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Considere a função definida por: , para cada x ∊ R. f : R R→ f x =( )
2x + 4
x² - 1
Determine, aproximadamente, a área da região limitada pelo gráfico da função 
, o eixo e as retas e .y = f x( ) 0x x = 3 x = 5
 
Escolha uma opção:
 
○ a. 2, 43 u. a.
 
○ b. 0, 87 u. a.
 
○ c. 1, 56 u. a.
 
○ d. 0, 64 u. a.
 
○ e. 0, 28 u. a.
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos resolver a equaçãodo 2° do denominador, isso possibilitará sua fatoração;
 
x² - 1 = 0 x² = 1 x = ± x = ±1→ → 1 →
 
Com isso, podemos fatorar a expressão do denominador;
 
f x = =( )
2x + 4
x² - 1
2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
 
O domínio da função é o conjunto dos reais, menos 1 e -1; como os limtes de integração da 
área a ser encontrada não está neste intervalo, podemos escrever que a área da região é 
dada por;
 
A = dx
5
3
∫ 2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
 
Essa integral é resolvida usando a técnica de frações parciais, vamos resolver a integral, 
primeiro, em sua forma indefinida;
 
 
 
dx, usando a técnica de frações parcias, temos que;∫ 2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
 
= + = =
2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
A
x- 1
B
x + 1
A x + 1 + B x - 1
x - 1 x + 1
( ) ( )
( )( )
Ax + A + Bx -B
x - 1 x + 1( )( )
 
= 2x + 4 = x A + B + A-B
2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
Ax + Bx + A-B
x- 1 x + 1( )( )
→ ( ) ( )
 
Logo, temos o sistema de equações;
 
A + B = 2
A-B = 4
 
Somando a equação de cima com a equação de baixo, fica;
 
Como , então B é;A = 3
A-B = 4 3 -B = 4 -B = 4 - 3 -B = 1 B = -1→ → → →
 
Com isso, podemos reescrever a expressão como:
 
= + = -
2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
3
x - 1
-1
x + 1
( )
→
2x + 4
x - 2 x + 1( )( )
3
x - 1
1
x + 1
 
Assim, também, podemos reescrever a integral como;
 
dx = dx - dx∫ 2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
∫ 3
x - 1
∫ 1
x + 1
 
Tirando a constante, temos;
 
 
 
 A + B = 2
 A-B = 4
2A = 6 A = A = 3→
6
2
→
dx - dx = 3 dx - dx∫ 3
x - 1
∫ 1
x + 1
∫ 1
x - 1
∫ 1
x + 1
 
Agora, vamos resolver as 2 intgerais que apareceram, separadamente;
 
1° )
 
3 dx, u = x - 1 du = dx 3 dx = 3 du = 3ln|u| = 3ln|x - 1|∫ 1
x - 1
→ → ∫ 1
x - 1
∫1
u
 
2° )
 
- dx; u = x + 1 du = dx - dx = - du = - ln|u| = - ln|x + 1|∫ 1
x + 1
→ → ∫ 1
x + 1
∫1
u
 
Finalmente, a solução da integral em sua forma indefinida é;
 
dx = 3ln|x - 1| - ln|x + 1| + c∫ 2x + 4
x - 1 x + 1( )( )
 
Voltando para a integral em sua forma definida, fica;
 
A = dx = 3ln|x-1|- ln|x+ 1| = 3ln|5-1|- ln|5 + 1|- 3ln|3-1|- ln|3 + 1|
5
3
∫ 2x+ 4
x-1 x+ 1( )( )
( )
5
3
(( ))
 
A = 3ln|4|- ln|6|- 3ln|2|- ln|4| A = ln|4 |- ln|6|- ln|2 | + ln|4| A = ln( ) → 3 3 →
4 ⋅4
6 ⋅2
3
3
 
A ≅ 1, 67 u. a.
 
 
(Resposta )