HIDRAULICA_AGRICOLA (1)

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2013 
Prof. Cláudio Márcio P. Souza 
UFVJM 
27/05/2013 
HIDRÁULICA AGRÍCOLA 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 3 
 ÍNDICE Pagina 
01 Generalidades 03 
02 Evolução da hidráulica 04 
03 Dimensões, símbolos e unidades 06 
04 Sistema de unidades 08 
05 Algumas Grandezas mecânicas 09 
06 Transformação de unidades “ Torricelli” 11 
07 Grafia de números 12 
08 Prefixos 12 
09 Analise do comportamento dos fluidos 12 
10 Exercícios (S.U e Prop. fund.fluidos)Lista 1 15 
11 Exercícios resolvidos 16 
12 Exercícios conversão unidades Lista 2 19 
13 Exercícios (S.U e Prop. fund. fluidos) Lista 3 20 
14 Hidrostática 21 
14 
15 
Lista 4 
Manometria 
22 
27 
16 Empuxo 34 
17 Lista 5. Exercícios de hidrostática 36 
18 Lista 6. Exercícios empuxo 37 
19 Lista 7. Exercícios manometria 42 
20 Lista 8. Exercícios sistema de unidades 46 
21 Fundamentos da cinemática dos fluidos 47 
22 Teste múltipla escolha 51 
23 Teorema de Bernoulli 53 
24 Potencia da corrente fluida 56 
25 Aplicações da equação de Bernoulli 56 
26 Lista 9. Exercícios (eq. continuidade e Bernoulli) 60 
27 Orifícios 62 
28 Bocais 65 
29 Vertedores 67 
30 Hidrometria 69 
31 Condutos livres 69 
32 Condutos forçados 75 
33 Lista 10. Exercícios hidrometria 78 
34 Lista 11. Exercícios condutos forçados e hf 79 
35 Dimensionamento de canais 80 
36 Elementos geométricos 81 
37 Exercícios resolvidos canais 83 
38 Lista 12. Exercícios propostos canais 86 
39 Escoamento em tubulações 88 
40 Determinação da perda de carga(Contin. E localiz.) 88 
41 Lista 13. Exercícios de perdas de carga 92 
42 Bombas Hidráulicas 94 
43 NPSH e Cavitação 96 
44 Potências e rendimentos 98 
45 Curvas Características De Bombas Centrífugas 102 
46 Método Básico Para Seleção De Uma Bomba Centrífuga 108 
47 Esquema típico de instalação de motobomba 113 
48 Tabela de conversão de unidades 
Apendice tabelas e Referencias 114 a 116 
114 
114 
 
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1. GENERALIDADES 
A ciência da engenharia denominada mecânica dos fluidos desenvolveu-
se através de um entendimento das propriedades dos fluidos1 (tanto em 
repouso quanto em movimento), da aplicação das leis fundamentais da 
mecânica e da termodinâmica e da experimentação metódica. 
 O significado etimológico da palavra hidráulica é a “condução de 
água” (do grego hydor, água e aulos, tubos condução). Entretanto a 
engenharia hidráulica envolve a aplicação de princípios e métodos da 
engenharia para o controle, conservação e utilização dos fluidos. A 
hidráulica pode ser dividida em Geral ou Teórica e Aplicada ou 
Hidrotécnica. A Hidráulica Geral se aproxima muito da mecânica dos 
fluidos e pode ser subdividida em Hidrostática2, Hidrocinemática3 e 
Hidrodinâmica4; já a Hidráulica Aplicada é a aplicação prática dos 
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação 
criteriosa dos fenômenos relacionados à água parada ou em movimento. 
 As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: Urbana (sistemas de 
abastecimento de água, sistema de esgotamento sanitário, sistema de 
drenagem pluvial, canais); Rural: (sistemas de drenagem, sistemas de 
irrigação, sistemas de água potável e esgotos); Instalações Prediais: 
(industriais, comerciais, residenciais e públicas); Lazer e Paisagismo; 
Estradas (drenagem); Defesa contra inundações; Geração de energia; 
Navegação e Obras Marítimas e Fluviais. 
 Os instrumentos utilizados na atividade profissional da Hidráulica 
Aplicada são: analogias, cálculos teóricos, e empíricos, modelos físicos, 
modelos matemáticos de simulação, hidrologia. Os acessórios, materiais e 
estruturas utilizados na prática da Hidráulica Aplicada são: Tubulações, 
aterros, barragens, bombas, canais, válvulas, vertedores, etc. 
 
 
 
1 Definição de fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento. Outra definição seria “fluidos são substancias que são capazes de escoar e cujo volume toma 
a forma de seus recipientes”. 
2 Trata dos fluidos em repouso. 
3 Estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia. 
4 Refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam nos fluidos em movimento. 
 
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2. EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA 
 
 Os trabalhos hidráulicos são conhecidos desde a mais remota 
antiguidade. As grandes civilizações antigas que se fixaram em regiões 
áridas, mas próximas de cursos de água facilmente aproveitáveis, foram 
nascidas e conservadas graças à utilização eficiente de seus recursos 
hídricos. Há mais de 3000 anos a.C5., entre os rios Tigre e Eufrates, os 
egípcios já haviam construído obras hidráulicas para irrigação de suas 
lavouras e em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750 
a. C. 
 O principio de Arquimedes pertence quase ao inicio da época Romana; 
da autoria de FRONTINUS do Imperador Nero, é o primeiro tratado de 
Hidráulica, particularmente dedicado aos aquedutos de Roma, considerados 
obras de primária importância para o desenvolvimento da civilização. 
 O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem 
noticia, o aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns 
princípios da hidrostática foram enunciados por Arquimedes, no seu 
“Tratado sobre corpos flutuantes”, 250 a.C. 
 Deve-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos 
fluidos. No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica 
dos Fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a 
Hidrodinâmica Teórica, que estudava os líquidos perfeitos, e a Hidráulica 
Empírica, em que cada problema era investigado isoladamente. 
 Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de 
ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas, relativamente 
elevada, com o crescimento das cidades e importância cada vez maior do 
serviço de abastecimento de água e ainda em conseqüência de novas 
maquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um progresso rápido e 
acentuado. 
 Finalmente, pode-se admitir que a Hidráulica é jovem como ciência 
sendo que novas e importantes descobertas se desenvolverão ano após ano 
nesse campo de atividades. 
 
 
 
5 Primeiro relato da irrigação no mundo. 
 
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3. DIMENSÕES, SIMBOLOS E UNIDADES 
 
 O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de 
características. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema de 
descrevê-la de modo qualitativo (comprimento, tempo, velocidade) e 
quantitativo (fornece uma medida numérica para as características). A 
descrição qualitativa é conveniente realizada em função de certas 
quantidades primarias tais como o comprimento, L, tempo, T, massa, M. 
Estas quantidades primárias podem ser combinadas e utilizadas para 
descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas secundarias, por 
exemplo: área = L2, velocidade = L T-1 e massa especifica = M L-3. O 
símbolo = é utilizado para indicar a dimensão de quantidade secundaria em 
função das dimensões das quantidades primarias. Assim nós podemos 
descrever qualitativamente a velocidade, V, do seguinte modo: 
1 LTV 
e dizer que a dimensão da velocidade é igual ao comprimento dividido pelo 
tempo. As quantidades primárias são também denominadas dimensões básicas. 
 É interessante notar que são necessárias apenas três dimensões 
básicas (L, T e M) para descrever um grande numero de problemas de 
mecânica dos fluidos e da hidráulica. Nós aceitamos como premissa básica 
que todas as equações que descrevem os fenômenos físicos precisam ser 
dimensionalmente homogêneas. Por exemplo, a equação para a velocidade de 
um corpo uniformemente acelerado é: 
atVoV  
Onde: Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de 
tempo. Em termos dimensionaisa forma desta equação é: 
111   LTLTLT 
podendo concluir desta forma que a equação para a velocidade de um corpo 
é dimensionalmente homogênea. 
 
Exemplo: Dada a equação para determinar a vazão do escoamento de um 
liquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é: 
ghAQ 261,0 
 
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Onde: A é área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura 
da superfície livre do liquido em relação ao orifício. Investigue a 
homogeneidade dimensional desta equação. 
Solução: as dimensões dos componentes da equação são: 
LalturahTLgravidadeaceleracaog
LareaATLtempovolumeQ




..............
...................../
2
213
 
Se substituirmos estes termos na equação, obtemos a forma dimensional: 
2/12/12213 )()()2)()(61,0()( LLTLTL   Ou   )()2)(61,0()( 1313   TLTL 
Este resultado mostra que a equação é dimensionalmente homogênea, ou 
seja, os dois lados da equação apresentam a mesma dimensão L3 T-1, sendo 
0,61 e 2 adimensionais. 
 
Obs 1.: uma equação é dita homogênea dimensionalmente, quando os seus diferentes 
termos apresentam o mesmo grau com relação às grandezas fundamentais 
Obs 2: uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente 
homogênea. 
 
Quadro: Unidades de diversas grandezas mecânicas nos principais sistemas. 
Designação Dimensões Sistema 
CGS 
S I Sist. 
Técnico 
MLT FLT (MLT) (MLT) (FLT) 
U
n
i
d
.
 
f
u
n
d
a
m
 
 
Comprimento L L cm m m 
Massa M FT2 
L-1 
g kg UTM 
Força ML T-2 F dina 
(dyn) 
N kgf 
Tempo T T s s s 
 
U
n
i
d
a
d
e
s
 
d
e
r
i
v
a
d
a
s
 
 
Superfície L2 L2 cm2 m2 m2 
Volume L3 L3 cm3 m3 m3 
Velocidade L T-1 L T-1 cm/s m/s m/s 
Aceleração L T-2 L T-2 cm/s2 m/s2 m/s2 
Trabalho M L2 T-2 FL erg joule(J) kgf.m 
Potencia M L2 T-3 FL T-
1 
erg/s watt(W) kgf.m/s 
Visc 
din.() 
M L-1 T-
1 
FT L-
2 
poise decapoise(da) kgf s/m2 
Visc 
cin..() 
L2 T-1 L2T cm2/s 
(stokes) 
m2/s m3/s 
Massa esp 
() 
M L-3 FT2 
L-4 
g/cm3 kg/ m3 Kgfs2/m4 
(UTM/ m3) 
Peso 
esp.() 
M L-2T-2 F L-3 dyn/cm3 N/m3 Kgf/m3 
U.T.M = 9.81 kg 1 N = 0.102 kgf 1 kgf = 9.81 N 1 N = kgf.m.s-2 
 
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4. SISTEMAS DE UNIDADES 
 
Normalmente, além de termos que descrever qualitativamente uma 
quantidade, é necessário quantificá-la. Existem vários sistemas de 
unidades em uso e consideraremos apenas três dos sistemas utilizados em 
engenharia. 
- Sistema Internacional (S.I.) 6 
- Sistema Técnico (utilizado nos EUA) 
- Sistema C.G.S. 
 
Ainda são toleradas algumas unidades de outros sistemas. Por exemplo: 
 
Unidades de Pressão: 
-Atmosfera  1 atm = 101 435 Pa = 101,435 kPa = 1,01 bar = 14,22 lb/pol2 
ou PSI 
-Bar  1 bar = 100.000 Pa = 100 kPa = 
0.985 atm 
-Metro de Coluna de Água  
1 m.c.a. = 10 kPa 
-Milímetro de Mercúrio  
1 mmHg = 133, 322 Pa 
 
Unidades de Potência: 
-Cavalo-Vapor  1 cv =735,5 watt 
(muito utilizado em motores) 
-Horse-Power  1 hp = 746 watt 
 
Unidades de Força: 
-Quilograma-Força  1 kgf = 9,81 N 
 
Obs: Em Hidráulica, os sistemas de 
unidades mais utilizados são o S.I. e o 
Sistema Técnico. 
 
 
 
 
Obs.: 1200 cfm ("cubic feet per minute", ou pé cúbico por minuto) 
 
 
 
 
 
 
6 O decreto n 81.621 de 03/05/1979, tornou oficial no Brasil o uso do Sistema Internacional de Unidades 
(S.I.). 
 
 
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Exemplo: Um tanque contem 36 kg de água e está apoiado no chão de um 
elevador. Determine a força que o tanque exerce sobre o elevador quando 
este movimenta para cima com uma aceleração de 7 ft s-2. 
 
Solução: A fig. Mostra o diagrama de corpo livre para o 
tanque. Note que W é o peso do tanque e da água. A 
expressão da segunda lei de Newton é:   maF 
Eq. 1 
Aplicando esta lei ao problema, temos: 
 
maWFf  (considerando positivo para cima). 
Como W = m g, a eq. 1 pode ser reescrita como: 
Ff = ma + mg ficando 
Ff = m(g+a). 
Se quisermos conhecer o valor de Ff em Newton, é necessário exprimir 
todas as quantidades no SI. 
 
Assim:   ..97,42913,281,936 222   mskgmsmskgFf 
 
Como 1 N = 1 kgf.m.s-2, temos que a força Ff é igual a 429,97 N (atua no 
sentido positivo). O sentido que a força atua no elevador é para o solo 
porque a força mostrada no diagrama de corpo livre é a força que atua 
sobre o tanque. 
 
 
 
5. ALGUMAS GRANDEZAS MECÂNICAS 
MASSA: U.T.M.  Unidade Técnica de Massa. 
Definiçãoμ É a massa de um corpo pesando “9,81” kgf 
Obs dimensão : 
L
TF
T
L
F
A
F
MAMF
2
2
.
.  
 
 
Força = massa x aceleração 
 
Massa = 9,81 kgf 1 U.T.M = 1 kgf . s2 
 9,81 m.s-2 m 
 
1 U.T.M = 9,81 kg 
 
Exemplo: Um corpo pesa 250 Kgf. Qual sua massa no sistema técnico? 
 
 m = 250 kgf = 25,5 U.T.M. 
 9,81 m /s2 
W 
Ff 
a 
 
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FORÇA 
2
.
T
LM
Dimensao C.G.S  
2
.
s
cmg
 = dina (dyn) 
S.I.  
2
.
s
mkg
 = Newton (N) 
Obs: Newton: Força que comunica à massa 1 kg, a aceleração de 1 m/s2. 
S. Técnico  Força = Quilograma-força (kgf)7. 
 
1F = 1 kg . 9,81 m/s2 
1F = 9,81 kg . m/s2 
1F = 9,81 N ainda 1 kgf = 9810 N 
 
Observação: A massa no S.I. possui o mesmo módulo que a força no Sistema 
Técnico. 
 
Exemplo: 2 kg (massa no S.I) de banana pesam 2 kgf (força no Sistema 
Técnico), porém em sistemas diferentes !!! 
 
O Quadro abaixo exemplifica a questão: 
 
S.I. Sistema Técnico 
 
Massa = 2 kg Massa = 
kg
kg
81,9
2
 = 0,204 U.T.M = 0,204
m
skgf 2.
 
Peso = m . g 
 
Peso = 2 kg . 9,81
2s
m 
Peso = 19,62 N 
Peso = m . g 
Peso = 0,204
m
skgf 2.
. 9,81
2s
m
 
Peso = 2 kgf 
Observação: Na resolução de problemas é necessária a utilização de um 
mesmo sistema de unidades. 
 
 
A massa específica (  ) no S.I. = Peso específico () no Sistema 
Técnico 
 
(S.Tec.) = 
g

(S.I) (S.Tec) = 
g

(S.I.) (S.I.) = (S. Tec) 
água = 1 000 kgf/m3 (S. Téc.) água = 9 810 N/m3 (S.I.) 
 
 
 
 
 
 
 
7 Peso do protótipo internacional do quilograma, quando submetido à ação da gravidade normal (9,81 m/s2). 
 
 
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6. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI (Século XVIII) 
 
 
 
A pressão atmosférica em um local pode ser 
medida pela coluna de mercúrio na experiência 
de Torricelli. 
Sendo: hpEpBpBpo .'  
Mas: pE=zero(pressão em E, vácuo parcial); 
  Hg=13590 kgf m-3 (peso espec. merc.) 
Então: 23 328 10760,0*590 13   kgfmmkgfmpo ou 
mmHgkgfcmpo 760033,1 2   
Que é o valor da pressão atmosférica ao nível 
do mar, correspondendo a 1 atmosfera normal. 
Ao emborcar a proveta cheia de mercúrio (Hg) 
na cuba, permaneceu uma coluna de 760 mmHg. Concluiu-se com isto, que a 
Pressão Atmosférica corresponde à 760 mmHg. 
Como Hg = 13 590 Kgf/m3 e P =  . h, então: 
13 590 kgf/m3 x 0,760 m = 10 328 kgf/m2 = 1,033 kgf/cm2(Atmosfera física). 
Como a densidade do Hg () = (Hg) / (água) = 13,59 
A mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de:13,59 X 
0,760 m = 10,33 m.c.a. 
 
Atmosfera Padrão (ao nível do mar, 40º de latitude) 
760 mmHg = 10.340 kgf/m2 = 1,034 kgf/cm2 = 10,34 m.c.a. 
Atmosfera Técnica (usada para cálculos em engenharia) 
735mmHg = 10.000 kgf/m2 = 1,0 kgf/cm2 = 10 m.c.a. = 1 atm = 100kPa = 
14,22 PSI (1 kgf = 10 N). 
Observação: Para uma elevação de 100 m na altitude, ha uma redução de 
0,012 atm (0,12 m.c.a. ou 120 kgf/m2) na pressão atmosférica local. 
 
Exemplo: Determinar o valor da Pressão Atm. para Lavras Altitude=920 m) 
Sabemos que a atmosfera padrão, ao nível do mar, é igual a 1,034 atm = 
10.340 kgf/m2 = 10,34 m.c.a. e também que a pressão é reduzida de 120 
kgf/m2 para cada 100 m acima do nível do mar, portanto: 
Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120kgf/m2 x Altitude/100) 
Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120 kgf/m2 x 920 m / 100) 
Patm local = 9 236 kgf/m2 
 
 
Exercício: calcular a pressão atm para a cidade de Diamantina (1350m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h =760mm de Hg 
Hg 
B’ 
po 
B 
E 
F 
Vácuo parcial 
 
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7. GRAFIA DE NÚMEROS 
 
 A fim de facilitar a leitura, os números podem ser repartidos em 
grupos de três algarismos cada um, esses grupos nunca será separados por 
virgula ou ponto (9ª CGPM/1948-resolução 7). 
 
Exemplo: 100 000,0 sendo representativo de cem mil e zero unidades. 
 
8. PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) 
Fator Prefixo Simbolo Fator Prefixo Simbolo 
1018 exa E 10-1 deci d 
1015 peta P 10-2 centi c 
1012 tera T 10-3 mili m 
109 giga G 10-6 micro  
106 mega M 10-9 nano n 
103 quilo k min. 10-12 pico p 
102 hecto h 10-15 femto f 
101 deca da 10-18 atto a 
 
 
 
9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS 
 
Definição de Fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando 
submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena 
possa ser essa tensão. 
 
a) Peso especifico (γ). É o peso da unidade de volume da substancia. 
V
W 
Onde: V é o volume da substância e W é peso da substancia. 
obs W=mg. 
Dimensões MLT
22TL
M
 e FLT
3L
F
 
 
 
b) Massa especifica (ρ). É a massa contida na unidade de volume, também 
conhecida como “densidade absoluta”. 
 
V
m 
Onde: m é a massa da substancia. 
Dimensões MLT
3L
M
 e FLT 4
2
L
FT
 
 
Obs: Entre a massa especifica e o peso específico existe a seguinte 
relação: 
V
W 
V
mg
sendo 
V
m logo g.  onde g é a aceleração da 
gravidade. 
 
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Massa especifica de algumas substancias. 
Substancia ρ (g cm-3) ρ (kg m-3) 
Agua (4ºC) 1,0 1 000 
Gelo 0,92 920 
Álcool 0,79 790 
Ferro 7,8 7 800 
Chumbo 11,2 11 200 
Mercurio 13,6 13 600 
Obs.: água, peso especifico 101,94 UTM/m3 sendo UTM=
m
skgf 2.
 
 
c) Densidade (δ). É a relação entre a massa especifica de uma substancia 
e a massa específica de outra substância, tomada como referência. 
 
1
  sendo adimensional. 
 
Geralmente a substancia tomada como referência é a água a 4ºC que 
apresenta massa específica de 1000 kg m-3. 
 
d) Viscosidade (atrito interno). é a propriedade dos fluidos responsável 
pela sua resistência à deformação. Obs: em conseqüência da viscosidade o 
escoamento dos fluidos dentro das canalizações somente se verifica com 
perda de energia denominada “perda de carga”. 
 
e) Coeficiente de viscosidade dinâmica ( ). É o parâmetro que traduz a 
existência de esforços tangencias nos líquidos em movimento. 
 
n
V
SF 
  
 
Ondeμ ΔF é força necessária para o deslocamento, S é superfície contato, 
Δn é distancia de deslocamento e ΔV é velocidade relativa. 
 
f) Coeficiente de viscosidade cinemática (υ). É o quociente de 
viscosidade dinâmica pela massa especifica. 

  
 
Obsμ coeficiente de viscosidade cinemática da água (υ) = 1,01.10-6 m2 s-1 = 
1,01 centistokes. 
 
g) Coesão. Permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços 
de tensão. Por exemploμ formação da gota d’água. 
 
h) Adesão. Quando um liquido está em contato com um sólido, a atração 
exercidas pelas moléculas do sólido é maior que a atração existente entre 
as moléculas do próprio liquido. 
 
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i) Tensão superficial (σs). Na superfície de contato entre dois fluidos 
não miscíveis (água e ar), forma-se uma película elástica capaz de 
resistir a pequenos esforços. 
Por exemplo, pernilongo sobre a água. 
 
j) Capilaridade. As propriedades de adesão, coesão, tensão superficial 
são responsáveis pelo fenômeno da capilaridade. É a elevação (ou 
depressão no Hg) de um liquido dentro de um tubo de pequeno diâmetro. 
 
gr
s
h 
 cos.2 
 
Ondeμ α é o ângulo formado pela superfície do liquido com a parede do 
tubo, ρ é a massa específica da água, g é a aceleração da gravidade e r é 
o raio do tubo capilar. 
 
 
l) Compressibilidade. Para efeitos práticos, os líquidos são considerados 
incompressíveis. Por exemplo, 1 000 L de água à pressão de 7 kgf cm-2, 
sofre uma redução de 0,0033 m3 ou de 3,3 L. 
 
m) Solubilidade dos gases. Os líquidos dissolvem os gases (água dissolve 
o ar). Implicação: causa do desprendimento de ar e aparecimento de bolhas 
de ar nos pontos altos das tubulações. 
 
FLUIDO NEWTONIANO 
Definimos fluido como “toda substancia que se deforma continuamente 
quando submetida a uma tensão de cisalhamento” na ausência deste, não 
existe deformação. Os fluidos podem se classificar, de forma geral, 
segundo a relação entre os esforços cortantes aplicados e a rapidez de 
deformação resultante. Aqueles fluidos onde o esforço cortante é 
proporcional a rapidez de deformação, se denominam fluidos Newtonianos, 
p.e. água, ar, gasolina, e o termo Não Newtoniano se utiliza para 
classificar todos os fluido onde o esforço cortante no é diretamente 
α 
Patm h 
menisco 
agua 
Fig.: tubo capilar de vidro em água 
Coesão > 
adesao 
Adesão > 
Coesão 
 
 
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proporcional a rapidez de deformação, p.e. creme dental, tintas. Na nossa 
apostila, somente faremos menção a fluidos Newtonianos. 
Obs. VISCOSIDADE 
Considerando a deformação dos fluidos Newtonianos diferentes, por 
exemplo, a água e a glicerina se deformam em diferentes tempos para uma 
mesma força cortante. A glicerina oferece muito mais resistência à 
deformação do que a água, então, diz-se que a glicerina é muito mais 
viscosa. Outro exemplo seria o mel com o álcool, qual seria mais viscoso? 
10. LISTA 1. 
HIDRÁULICA (Sist. de Unidades e Prop.Fundamentais dos fluidos) 
 
1. Transformar a pressão de 35.000 
2m
kgf
 em : 
 
 a) kgf / cm2 (Resp.: 3,5 kgf / cm2) 
 b) m.c.a. (Resp.: 35 m.c.a) 
 c) atm (Resp.: 3,5 atm) 
 d) Pascal (Pa) (Resp.: 350.000 Pa) 
 e) kPa (Resp.: 350 kPa) 
 
Obs: Utilizar atmosfera técnica 
 
2. Sabe-se que 3 dm3 de um líquido pesam 2.550 gf. Calcular o peso 
específico, massa específica e a densidade deste líquido no Sistema 
Técnico. 
Resposta:  = 850 kgf/m3  = 86,65 kgf . s2 / m4  = 0,85 
 
3. Um frasco de densidade tem massa igual a 12g quando vazio e 28g 
quando cheio de água. Retirando-se a água, enche-se o frasco com um 
ácido e Obtém-se uma massa total de 37,6g (frasco + ácido). 
Calcular a densidade relativa do ácido. Resposta:  = 1,6 
4. Sabendo-se que a massa de 3 950 kg de álcool ocupa um volume de 5 
000 litros, calcular o peso específico do álcool em N / m3.Resposta:
  = 7 750 N / m3 
5. Há 4 200 kgf de gasolina em um tanque com 2 m de largua, 2 m de 
comprimento e 1,5 m de altura. Determinar a massa específica da 
gasolina em g/cm3. Resposta:  = 0,7 g/cm3 
 
6. Um tubo cilíndrico mede 50 cm de comprimento e 12 mm de diâmetro 
interno. Determinar a massa de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3) necessária 
para encher o referido tubo. Resposta: massa = 769 g 
 
 
 
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11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
(Sistemas de Unidades e Propriedades Fundamentais dos Fluidos) 
 
1- Determinar o peso em kgf de uma massa de 8,76 U.T.M. num local onde 
a aceleração da gravidade (g) é igual a 8,94 m/s2. 
Resolução: 
 
 U.T.M. = 
m
skgf 2*
 W (peso) = m.g 
W = 
s
m
m
skgf
94,8*
*
76,8
2
 W = 78,31 kgf 
 
2- A massa específica () de uma substância é 1,76 g/cm3. Determinar no 
Sistema Internacional: 
 
a) Densidade (  ); b) Peso específico (  ). 
 
Resolução:  = 1,76 g/cm3 massa (m) = 1,76 g = 0,00176 kg 
1 cm = 0,01 m  1 cm3 = (0,01 m)3 = 0,000001 m3 
 = 
3610*1
00176,0
m
kg
   = 1.760 kg/m3 
 
a)  = 
3
3
/000.1
/760.1
mkg
mkg
água


   = 1,76 
 
b)  = 
23
81,9*760.1*
s
m
m
kg
g    = 17.265 N/m3 
 
 Obs.: N = 
2
*
s
mkg
 
3 - Se 8 m3 de óleo pesam 7 200 kgf , Calcule seu peso específico (), 
massa específica () e sua densidade ().Resolução: 
Vamos resolver utilizando o sistema técnico: V = 8 m3; W= 7 200 kgf 
 
 
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 = 
38
200.7
m
kgf
V
P    = 900 kgf/m3 
 
 = 
V
m
 ou  = 
2
3
/81,9
/900
sm
mkgf
g
   = 91,74 
4
2*
m
skgf
 
 
 = 
água

 ou  = 
3
3
/000.1
/900
mkgf
mkgf
água


   = 0,9 
 
4. Enche-se um frasco (até o afloramento) com 5,23g de ácido sulfúrico. 
Repete-se a experiência, substituindo o ácido por 2,98g de água. Calcule 
a densidade, massa específica e peso específico do ácido sulfúrico no 
Sistema Técnico. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Volumes iguais (mesmo recipiente ). 
Densidade: ácido = 
água
água
ácido
ácido
água
ácido
V
m
V
m


  ácido = 
água
ácido
m
m
 
 
 ácido = 
g
g
98,2
23,5
 ácido = 1,75 
Massa Específica:  = 
água

   = 1,75 * 102 
3
...
m
MTU
 
 = 178,5 
3
...
m
MTU
 
Obs.: U.T.M = 
3
2*
m
skgf
 
5,23g de ácido 
Vfrasco 
2,98g de água 
Vfrasco 
 
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Peso Específico:  =  * g   = 178,5 
4
2*
m
skgf
 * 9,81 
2s
m
 logo 
 = 1 751 
3m
kgf
 
5. Sendo a densidade relativa da cerveja 1,03; calcular a sua massa 
específica () e peso específico () no Sistema Internacional. 
Resolução: 
Massa Específica: cerveja = 
água
cerveja

  cerveja =  * água 
cerveja = 1,03 * 1000 kg/m3 cerveja = 1.030 kg/m3 
 
Peso Específico:  =  * g  cerveja = 1.030 kg/m3 * 9,81 m/s2 
cerveja = 10.104 N/m3 
 
6. Transformar a pressão de 2,5 atm (atmosfera) em: 
a) kgf/cm2 ; b) kgf/m2 ; c) m.c.a. ; d) kPa 
Obs.: Utilizar a atmosfera técnica 
(1 atm = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 10 000kgf/m2 = 100 000 Pa) 
 
 
Resolução: 
a) 1 atm ------- 1 
2cm
kgf
 x = 
atm
cmkgfatm
1
.15,2 2
 = 2,5 
2cm
kgf
 
 2,5 atm ----- x 
2cm
kgf
 
b) 1 atm ---------------- 10 000 kgf/m2 x = 25 000 kgf/m2 
 2,5 atm -------------- x kgf/m2 
 
c) 1 atm -------------- 10 m.c.a. x = 25 m.c.a. 
 2,5 atm ------------ x m.c.a. 
 
d) 1 atm --------- 100 000 Pa x = 250 000 Pa = 250 kPa 
 2,5 atm ------ x Pa 
 
2,5 atm = 2,5 kgf/cm2 = 25 000 kgf/m2 = 25 m.c.a. = 250 kPa 
 
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12. LISTA 2 Exercícios de sistemas de unidades 
 
1) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema 
técnico. 
 
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão) 
 
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2); 
 
Conversão de dina para N 
1 ( g.cm.s-2) ------ 10-5 kg.m.s-2 
9 810 ----- X logo X = 0,0981 kg.m s-2. 
 
Conversão de N para kgf 
1 kgf --------- 9,81 N 
X --------- 0,0981 N 
x= 0,01 kgf 
 
b) 250g; c) 7814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h;f) 200 000 KN; 
 
g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas)ν i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2; 
 
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); l) 7,0 kgf/cm2; 
 
m) 9,81 g/cm3; n) 8 000 000 cm2/s; o) 20 000 kW; p) 10 H.P; 
 
q) 10 c.v; 
 
 
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13. LISTA 3 (Sistemas de Unidades e Prop. Fundamentais dos Fluidos) 
 
1 - Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6 300 Kg, calcular sua massa 
específica (  ), densidade relativa (  ) e peso específico no Sistema 
Internacional ( S.I. ). Considere g = 9,81 m/s2 . 
 
2 - Repita o problema do exercício anterior usando o Sistema Técnico. 
Compare os resultados. 
 
3 - Dois dm3 de um líquido pesam 1 640 gf. Calcular seu peso 
específico, massa específica e densidade. 
 
4 - Um fluido pesa 25 N / m3 em um local onde a aceleração da gravidade 
9,81 m / s2 . Determinar: 
a) Massa específica do fluido no referido local em kg / m3 ; 
b) O peso esp. do mesmo fluido em outro local onde g=9,83 m/s2 . 
 
5 - Para um líquido cuja massa específica é  = 85,3 
4
2*
m
skgf
 , calcular 
o respectivo peso específico e a densidade relativa. (Sistema Técnico). 
 
6 - Um frasco de densidade cheio de gasolina pesa 31,6 g, quando cheio 
de água ele pesa 40 g, e quando vazio, pesa 12 g. Determine a densidade 
relativa da gasolina (  ). 
 
7 - Calcular o peso de uma massa de 5,55 U.T.M. em um local onde a 
aceleração gravitacional é 9,65 m / s2 . 
 
8 - Transformar a pressão de 15 m.c.a. em: 
a) kgf / cm2 ; b) kgf / m2 ; c) atm ; d) kPa. 
 
Obs.: Utilizar atmosfera técnica ( 1 atm = 1 kgf / cm2 = 10 000 kgf / 
m2 = 10 m.c.a. = 100 kPa) 
 
9 - Para uma viscosidade dinâmcia (  ) de 0,6 poise 


2
*
cm
sdina
 e 
densidade igual a 0,6, qual o valor da viscosidade cinemática () ? 
(Usar o Sist. Técnico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14. HIDROSTÁTICA 
 
A estática dos fluidos é o estudo dos fluidos no qual não há 
movimento relativo entre as partículas do fluido. A pressão é a única 
tensão que existe onde não há movimento. 
 
Conceito de pressão e empuxo. 
 
Pressão: Pode ser definida relacionando-se uma força a uma unidade de 
área.
dA
dF
p  
 
Onde: 
ApE
pDaE
.
 
 
 
 
 
Se pressão for a mesma em toda a área. 
 
 
Pressão nos líquidos. 
 
O que é pressão? Muitas pessoas pensam que pressão é sinônimo de força. 
Pressão, no entanto, leva em conta não apenas a força que você exerce mas 
também a área em que a força atua. A Fig. abaixo representa um bloco de 1 
decímetro quadrado por dois decímetros de altura, pesando 4 kgf. O peso 
do bloco é distribuído sobre uma área de 1dm2, de modo que exerce uma 
pressão de 4kg* por decímetro quadrado. Se o bloco estiver apoiado na 
face lateral (Fig. B) de modo que a área em contato com a mesa seja de 2 
dm2, a pressão será de 2kg* por dm2. Um pneu de automóvel de cerca de 20 
centímetros de largura tem uma grande superfície em contato com o chão. 
Com esse pneu um carro pesado roda mais suavemente que com um pneu menor 
que exigiria maior pressão? 
 
 
 
dA 
dF 
A 
 
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Exemplo: Uma caixa pesando 150kg* mede 1,20m de comprimento por 0,5m de 
largura. Que pressão exerce ela sobre o chao? 
120 kg* = peso da caixa; 
0,5 m = largura da caixa; 
1,2 m = comprimento da caixa. 
 
 
 
Determinar a pressão. 
 
Lista 4 
Resolva os problemas 
 
1. Um tanque contém agua pesando 480kg*. O tanque tem 1,20m de 
comprimento por 80 cm de largura. Qual a pressão no fundo do tanque, em 
quilograma-força por decímetro quadrado? 
 
2. A base de um monumento tem uma área de 4 m2. Se seu peso é de 6 
toneladas. Que pressão ele exerce (em kgf/m2)? 
 
3. O vapor de uma caldeira exerce a pressão de 100kgf/cm2 na base de um 
pistão de 40cm2. Que força o vapor exerce sobre o pistão? 
 
4. A água de uma represa exerce uma pressão média de 0,3kgf/cm2 contra a 
muralha de 6 m ele altura por 18 m de largura. Determine a força total 
sobre a muralha. 
 
Respostas: 
 
Pressão 
1) 5 kgf/dm2; 3) 4000 kgf. 
 
Pressão de água 
1) 22 kgf/dm2; 3) 450 kgf/dm2 e 4,5 kgf/cm2; 5) (a) 600 gf/cm2 e (b) 0,6 
kgf/cm2. 
 
Densidade e pêso específico 
1) 2,25; 3) (a) 1,11 (b)36 cm2. 
 
Pressão num líquido qualquer 
1) 410 gf/cm2; 3) 0,062 kgf/dm2. 
 
 
 
 
 
 
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E 
w ou P 
 
5. uma caixa de concreto armado pesa 540 kgf sendo suas diemnsoes 1,2 x 
0,5 x 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão estando 
vazia? E cheia ? e cheia com mercúrio? 
 
6. A pressão d’água numa torneira A é de 0,3 
kgf/cm2. calcule a altura da coluna de água (ver 
figura ao lado). 
 
7. determine a pressão em kgf/m2 a uma profundidade 
de 10 m de um óleo de .75,0 
Resp.: 7 500 kgf/m2. 
 
8. Determine a pressão absoluta em kgf/m2 do 
problema anterior num local onde o barômetro indica 
720 mmHg .57,13 
 
9. um tubo vertical de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto 
na extremidade auperior, contem volumes iguais de água e mercurio. 
Pergunta-se: 
a) qual a pressão manométrica, em kgf/cm2 no fundo do tubo? 
b) Qual os pesos liquidos nele contidos ? 
 
 
Princípio de Arquimedes 
 
Um corpo imerso num liquido está sujeito a um empuxo vertical (γ V) de 
intensidade igual aopeso do liquido deslocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja (Vf) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do 
fluido deslocado é dado por: 
Vfdfmf . 
 
A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada: 
 
gdfVfgmfE ..  
 
Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao 
próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do 
empuxo são dados por: 
gVcdfEegVcdcP ...............................  
 
A resultante das forças (Fr) será: 
 
PesoforçadaeEmpuxof .... 
 
 
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Quando um corpo mais denso que um liquido é totalmente imerso nesse 
liquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse liquido, é 
aparentemente menor que o do ar. A diferença entre o valor do peso real e 
do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo liquido. 
 
ErealPaparenteP  .. 
 
Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um 
liquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as 
direções. 
 
Consideremos um liquido em equilíbrio colocado em um 
recipiente. Supondo as pressões hidrostáticas, 0.2 e 
0.5 nos pontos A e B, respectivamente. 
 
 
 
 
Demonstração da lei de Pascal: Considerar mo interior de um liquido, um 
prisma imaginário de dimensões elementares. 
 
 
Para que haja equilíbrio é necessário que a resultante das forças seja 
nula: 
 
Na direção x: .... sendspsdypx  
 
px.dy.1 = ps.ds.sen.α ficando px dy = ps ds dy / ds Logo px = ps 
 
Na direção y: cos... dspsdxpy  
py.dx.1 = ps.ds.cos.α ficando py dx = ps ds dx / ds Logo py = ps 
ps.ds 
dx 
px.dy 
dw 
α 
py.dx 
A 
B 
F 
Se através de um embolo 
comprimirmos o liquido, 
produzindo uma pressão de 0,1 
atm, todos os pontos sofrerão o 
mesmo acréscimo de pressão. 
 
Logo A=0,3atm 
 B=0,6atm. 
 
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Princípio da Prensa Hidráulica. 
 
1
2
12
A
A
FF  
 
 F1 = esforço aplicado 
 F2 = força obtida 
 A 1,2 = seção do embolo. 
 
 
 
Exemplo: Em um macaco hidráulico aplica-se uma força de 280kgf no embolo 
menor (diâmetro=52mm). Calcular o esforço no embolo maior (364mm). 
 
Logo F2 = 280 * A2 / A1; 
F2 = 280 * 104 062,72 / 2 123,72 = 13 720kgf 
 
 
Vasos Comunicantes 
 
Quando dois líquidos não se misturam 
(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente, 
eles se dispõem de modo que o liquido de maior 
densidade ocupe a parte de baixo e o de menor 
densidade a parte de cima. 
 Caso os líquidos imiscíveis colocados num 
sistema constituído por vasos comunicantes, como 
um tubo em U, eles se dispõem de modo que as 
alturas de colunas liquidas, medidas a partir da 
superfície de separação, sejam proporcionais às 
respectivas densidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d2 
d1 h2 h1 
Sendo d1 a densidade do liquido 
menos denso, d2 a densidade do 
liquido mais denso, h1 e h2 as 
respectivas alturas das colunas, 
obtemos: 
d1.h1=d2.h2 
d1 ( óleo) 
d2 (água) 
d2 > d1 
 
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Equação Fundamental da Fluidostática (Lei de Stevin) 
 
Obsμ para água γ = 1 kg. m-3 = 104 N. m-3 
 No caso de se querer medir a pressão no interior de um massa 
liquida, a partir de uma superfície, basta: 
 
 
 
 
Poder-se-ia pensar que o líquido contido 
em B, pelo facto de B ter maior diâmetro 
do que A, e portanto conter uma porção 
de líquido de maior peso, obrigasse esse 
mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede. 
 
 
Exercício 
 
1. Em um recipiente há 2 líquidos não-misciveis e de densidades 
diferentes. Através da lei de Stevin (Equação geral da 
fluidostatica) mostrar que a superfície de separação dos 2 líquidos 
é plana e horizontal. 
 
Solução: 
Sejam M e N dois pontos na superfície de separação dos 2 liquidos, cujos 
pesos específicos são 1 E 2 . Deve-se demonstrar que M e N é horizontal 
(Fig. Acima). Considerando o liquido cujo o peso especifico é 1 , acima 
da superfície de separação , tem-se pela lei de Stevin: 
Pn-Pm= 1 .h 
Para o liquido cujo peso é 2 , abaixo da mesma superfície: 
Pn-Pm= h2 
Subtraindo membro a membro: )21(0   h 
Sendo 21   O que implica em 0h 
 
Conclusão : os pontos M e N têm a mesmas cotas, o que ocorrerá também com 
todos os outros pontos da superfície de separação. 
 
 
 
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15. MANOMETRIA 
 
 Manometria: É a medida das pressões. 
 Manômetros: São instrumentos (dispositivos) utilizados na medição da 
Pressão Efetiva (função da altura da coluna líquida) 
Pabs = P + Patm 
 
P  Pressão efetiva ou manométrica ou piezométrica (medida através de 
manômetros ou piezômetros); 
Patm  Pressão atmosférica local (medida através de barômetros, de 
mercúrio ou aneróide). 
 
 
Lista de Exercícios de Hidrostática 
 
1. Uma caixa d’água de concreto armado pesa 840 kgf, sendo suas dimensões 
1,2 * 0,5 * 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão 
vazia? E quando cheia de água? E com material de densidade = 6? 
 
2. A pressão de água em uma torneira A é de 1,3kgf/cm2, segundo a figura. 
Calcule a altura de coluna de água. 
 
3. Um tambor com 2 ft (pés-foot) de diametro esta cheio de água e tem um 
tubo vertical com 0,5 in (inch-polegada) de diâmetro ligado a sua parte 
superior. Quantos litros de água devem ser adicionados pelo tubo para que 
seja exercida uma força de 1000 lb (libra-força)no topo do tambor? 
 
4. Determinar a pressão em kgf/cm2 a uma profundidade de 10 m em um óleo 
de densidade = 0,75? 
 
5. Determinar a pressão absoluta em kgf/m2 do problema anterior num local 
onde o barômetro indica 700 mm Hg (densidade = 13,57). 
 
 
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6. Qual o peso especifico do liquido B do esquema abaixo.
 
 
7. Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto 
na sua extremidade superior, contem volumes iguais de água e mercúrio. 
Pergunta-se: 
a. qual a pressão manométrica em kgf/cm2 no fundo do tubo? 
b. qual os pesos líquidos nele contidos? 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Pressão efetiva e pressão absoluta 
 
A pressão em um ponto também pode ser calculada a partir do zero absoluto 
(vácuo), obtendo nesse caso a pressão absoluta. Agora a pressão nula 
corresponde ao vácuo total e, portanto a pressão absoluta é sempre 
positiva. 
 
Pab. B = Pef.B. + Po e Pab. D = Pef.D + Po e Pab. E = Pef.E + Po 
II - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS 
 
1) Manômetro de Coluna Líquida 
 
a) Piezômetro Simples ou Tubo Piezométrico; 
b) Tubo ou Manômetro em “U”ν 
c) Manômetro Diferencial; 
d) Manômetro ou Tubo 
Inclinado. 
 
2) Manômetro Metálico 
 
a) “Bourdon”ν 
b) Digital 
(Eletrônico). 
 
a) Piezômetro ou Tubo 
Piezométrico 
 
- É o dispositivo mais simples para a medição de pressão; 
 
- Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente 
(tubulação) onde se quer medir a pressão; 
 
- O líquido subirá no Tubo Piezométrico a uma altura “h”, 
correspondente à pressão interna; 
 
 Po 
E 
 D 
B 
P ef B = pressão efet em B. 
P ef D = pressão efet em D. 
P ef E = pressão efet em E. 
 
a pressão efetiva pode ser: 
positiva: quando > Po 
nula: quando = Po 
negativa: quando < Po(vácuo) 
 
Obs: a pressão efetiva é também chamada de pressão manométrica (manômetros) 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 30 
- Devem ser utilizados Tubos Piezométricos com diâmetro superior a 
1cm para evitar o fenômeno da capilaridade; 
 
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para 
gases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Tubo em “U” 
 
- Utilizado para medir pressões muito pequenas ou pressões muito 
grandes; 
- Utiliza-se um líquido indicador ou líquido manométrico com a 
finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna 
líquida. 
 
Pressões muito pequenas: 
 
Densidade () do líquido manométrico  densidade () do líquido do 
recipiente 
Líquidos manométricos:Água (=1,0),Tetracloreto de carbono (= 1,6) 
 
Exemplo: P = 10.000 kgf / m2 
Água  h = 10 m.c.a. Mercúrio h = 0,735 mHg 
 
 P =  . h  
 
 h = P/ 
 
 
 
 
A 
 
água 
h 
Patm Patm Patm 
PA = água . h 
Exemplo: Um oleo de  = 0,8, está submetido a uma pressão 
de 4 kgf/cm2. Exprimir esta pressão em coluna de liquido. 
Sendo P=γ h Logo: h = 40 000 / 800 = 50 m de coluna de 
óleo. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 31 
Pressão muito grande: 
 
 Densidade do líquido manométrico > densidade do líquido do 
recipiente 
 
Líquido manométrico: Mercúrio (  = 13,6) 
Líquido do recipiente: Água (  = 1,0 ) 
 
Exemplos de Tubos em “U “μ a) Tubo U. 
 
Obs.: Pontos situados na mesma cota 
e na mesma porção fluida, estão 
submetidos à mesma pressão (para 
fluidos em repouso). 
P1 = Patm + 2 . h2 P2 = 
Patm + 2 . h2 = 0 + 2 . h2 
PA + 1 . h1 = 2 . h2 PA = 
Patm + 2 . h2 - 1 . h1 
 
 
a) Duplo “U”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P (1)  P(2)  P(3) 
PE = PD e PB = PC 
PE = Patm + 2 . h2 = PD 
PD = 1 . y + PF 
PF = PD - 1 . y (PD = PE) 
PF = PG PC = 2 . h1 + PG 
PC = PB 
PB = 1 . (h1 + x) + PA 
Ou, inicia-se em um ponto e percorre todo o 
manômetro: 
PA + 1 . (x + h1) - 2 . h1 + 1 .y - 2 . h2 = 0 
 
PA + 1 . (x + h1 + y) - 2 . (h1 + h2) = 0 
 
PA = 2 . (h1 + h2) - 1 . (x + h1 + y) 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 32 
b) Manômetro Diferencial: É utilizado para medir a diferença de pressão 
entre dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANÔMETRO METÁLICO DE “ BOURDON ” 
- São utilizados em estações de bombeamento, indústrias, etc.; 
- Funcionamento: Em seu interior existe uma tubulação recurvada que, 
sob o efeito da pressão tende a se alinhar, fazendo assim a 
movimentação de um ponteiro sobre uma escala graduada; 
- Sujeitos a deformações permanentes, por isso de baixa precisão. 
Obs: Vacuômetros são manômetros que medem pressões efetiva negativas 
 
 
 
 
 
Manômetro Diferencial: 
 
PA = PC + h1. γ1 + h3. γ3 = PD = PE + h2. γ2 
 
Logo: PA – PE = + h1. γ1 + h3. γ3 - h2. γ2 
 
PA > PB 
PC = Pa 
PC = PA + 1 . x 
 PB + 2 . h + 1 . y 
PA + 1 . x = PB + 2 . h + 1 . y 
PA - PB = 2 . h + 1 . h - 1 . x 
 B  A 
C 
D 
y 
x 
h 
1 
2 
 
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MANÔMETRO ELETRÔNICO (DIGITAL ) 
 
- Não possui peças móveis, portanto mais resistente a vibrações; 
 
- Substitui tanto os manômetros convencionais como os vacuômetros 
 
- É alimentado por baterias de 09 V, com duração de até um ano; 
B 
γ3 
 
C 
E 
h1 
h3 
D 
h2 
A 
γ1 
 
γ2 
 
 
γ3 
 
 
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16. EMPUXO 
 
Freqüentemente o engenheiro encontra problemas relativos a projetos 
de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos. Tais 
são os projetos de comportas, de barragens, tanques, canalizações, etc. 
 
 
A força agindo em dA será: 
 
dAsenyAdhAdpdF ........   
 
Cada uma das forças dF será normal à respectiva área: 
 
 A resultante ou empuxo (total) sobre toda a área, também normal, 
será dado por: 
 
dAysenydAsenydFF
AA
........    
 
dAy
A
.. é o momento da área em relação à interseção O; portanto AÿdAy
A
 .. 
onde ÿ é a distancia do centro de gravidade da área ate O, e A é a área 
total. 
AsenÿF ....  como hseny ...  AhF .. 
 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o 
teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à 
interseção O deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF. 
A h- 
B 
CG 
CP 
dA 
O 
h 
yp 
A 
B 
ÿ 
y 
α 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 35 
  FydyF p ... 
 
Na dedução anterior; dAsenydF ....  ou AsenyF ....  
 
Substituindo:  
AA
p AdysendAsenyyAseny .............
2 
 
logo 
yA
I
yA
Ady
y Ap 
 ..2
 
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecao. 
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que 
passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição. 
 
2.yAII o  y
yA
I
y
yA
yAI
y op
o
p 
2
 
 
Como 2k
A
I o  , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, 
passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, y
y
k
yp 
2
. 
 O centro de pressão esta sempre abaixo do centro de gravidade a uma 
distancia igual a 
y
k 2
, medida no plano da área. 
 
 
 
 
 
O 
y p sen 
yp 
F 
B 
ÿ 
y 
 
y sen 
 
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17. LISTA 5 EXERCÍCIOS (Hidrostática: Lei de Stevin e Lei de Pascal) 
 
1 - Determinar a pressão (efetiva) em kgf / m2 a uma profundidade de 8,5 
m abaixo da superfície livre de um volume de água. 
 
Resposta: P = 8 500 kgf / m2 
 
2 - Determinar a pressão em kgf / m2 a uma profundidade de 17 m em um 
óleo de densidade igual a 0,75. 
 
Resposta: P = 12 750 kgf / m2 
 
3 - Determine a pressão absoluta em kgf / m2 no problema anterior quando 
um barômetro instalado no local indica uma pressão de 760 mmHg (densidade 
do Hg = 13,6). 
 
Resposta: Pabs = 23 086 kgf / m2 
 
4 - Que profundidade de óleo, com densidade 0,85, produzirá uma pressão 
de 4,6 kgf / cm2 ? Qual a profundidade em água? 
 
Resposta: Profundidade em óleo (h) = 54,1 m 
 Profundidade em água (h) = 46,0 m 
 
5 - Converter a altura de carga de 6,5 m de água para metros de óleo 
(densidade de 0,75). 
 
Resposta: Altura de óleo (h) = 8,7 m 
 
6 - Converter a pressão de 640 mmHg para metros de óleo (densidade = 
0,75). 
 
Resposta: Altura de óleo (h) = 11,6 m 
 
7 - Em um tanque de querosene, tem-se uma diferença de pressão igual a 
0,288 kgf / cm2 entre dois pontos da massa líquida, distanciados de 4 
metros na vertical. Obter o peso específico do querosene. Resposta: 
  = 720 kgf / m3 
 
8 - Calcular as pressões efetiva e absoluta em um ponto à profundidade 
de 17 m em água do mar (densidade = 1,025). A atmosfera local é 750 mmHg 
(densidade do Hg = 13,6). 
 
Resposta: Pefe. = 17 425 kgf / m2 
 Pabs. = 27 629 kgf / m2 
 
9 - A pressão atmosférica em uma determinada cidade corresponde a 630 
mmHg. Calcular as pressões efetiva e absoluta (kgf / cm2) para um ponto 
situado a 15 m de profundidade da superfície livre de uma lagoa desta 
cidade. Resp. Pefe. =1,50 kgf/cm2 Pabs. = 2,357 kgf/cm2 
 
 
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10 - Um tanque cilíndrico fechado possui em sua parte superior um tubo 
com 12 m de altura. Ele contém água até o nível de 0,90 m acima do 
fundo e óleo daí para cima. Sendo os pesos específicos da água e do óleo 
1.000 kgf / m3 e 850 kgf /m3 respectivamente, determinar as pressões 
nos pontos 1, 2 e 3 situados na face interna da parede do tanque. 
 
Resposta: 
 
P1 = 12 000 kgf / m
2 
P2 = 12 935 kgf / m
2 
P3 = 13 835 kgf / m
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Calcular a pressão efetiva em A, em N/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 m 
1,10 m 
0,90 m 
Água 
Óleo 
P1 
P2 
P3 
 
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18. Lista 6 EXERCÍCIOS (Empuxo) 
 
1 - Determinar o valor do Empuxo (E) e a profundidade do centro de 
pressão ou empuxo (hp) para uma comporta retangular de 1,50m X 3,0m cujo 
plano faz com a vertical um ângulo de 45º e cuja aresta superior (que 
corresponde ao lado de 1,50m) está a 1,30m de profundidade e é paralela à 
superfície livre da água. 
 
Respostas: E = 10 620 kgf; hp = 2,519 m 
 
2 – Calcular o Empuxo (E), posição do centro de gravidade (Y) e posição 
do centro de empuxo (Yp) na comporta retangular (5,0m X 2,0m) da figura 
abaixo. 
 
Respostas: E = 32 930 kgf Y = 4,658 m Yp = 4,730 m 
 
 
 
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3 - Determinar a posição do centro de empuxo (Yp) da figura abaixo. 
Resposta: Yp = d*
3
2
 
 
4 - Um túnel T é fechado por uma comporta retangular com 1,50 m de 
largura. Calcular o Esforço (E) suportado pela comporta e o respectivo 
ponto de aplicação (Yp).Resposta: E = 12 727,92 kgf Yp = 4,400 m 
 
 
5 - Calcular o Empuxo (E) e determinar a posição do centro de pressão(Yp) numa comporta retangular inclinada, como a da figura abaixo. 
Respostas: E = 4 362,37 kgf; Yp = 2,383 m 
 
 
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6 - Uma comporta quadrada de 0,6 m de lado, faz um ângulo de 60º com a 
horizontal, tendo a aresta superior horizontal submersa de 0,90 m, num 
líquido cuja densidade () é 3,0. Calcular o Empuxo (E) sobre ela e 
determinar o centro de aplicação (Yp) dessa força. 
Resposta: E = 1 252,8 kgf; Yp = 1,362 
 
 
7 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob 
pressão de melado (=1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do 
topo da mesma. Calcular o empuxo (E) e a posição do centro de pressão 
(Yp). 
Respostas: E = 2 719,64 kgf; Yp = 2,868 m 
 
 
8 - Uma comporta circular de 1,50 m de diâmetro, inclinada 45º, está 
sujeita à pressão do mar (=1,06), a profundidade de 9 m, contados de seu 
centro de gravidade. Qual o empuxo sobre a comporta e a posição do centro 
de pressão? 
 
Respostas: E = 16 858,57 kgf; Yp = 12,739 m 
 
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9 - Uma caixa d’água tem 2 m de largura, 2 m de comprimento e 0,90 m de 
altura. Calcular o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e 
obter o ponto de aplicação do empuxo, supondo a caixa totalmente cheia de 
água. 
 
Respostas: E = 810,0 kgf; Yp = 0,60 m 
 
10 - Uma comporta circular com 100 cm de diâmetro está localizada na 
parede e um reservatório inclinado de 60º. O ponto mais alto da comporta 
está 150 cm abaixo do N.A. 
Calcular: 
 
a) O empuxo da água sobre a comporta; 
b) A posição do centro de empuxo. 
 
Respostas: a) E = 1 518,18 kgf; b) Yp = 2,260 m 
 
11. Qual o empuxo e o yp do centro de pressão exercido pela água em uma 
comporta vertical de 3 x 4 m cujo topo se encontra a 5 m de profundidade? 
Resp.: F = 764 400 N e Yp = 6,615 m. 
 
 
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19. Lista 7. EXERCÍCIOS (MANOMETRIA) 
 
1 - Determinar a pressão manométrica em A, devido a deflexão do mercúrio 
do manômetro em “U” da figura abaixo. 
 
Resposta: PA = 10 280 kgf/m
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se: 
 
a) Determinas a diferença de pressão entre A e B em kgf/cm2; 
b) Se a pressão em B = 0,75 kgf/cm2,qual será a pressão em A ? 
 
Resposta: a) PA – PB = -0,013 kgf/cm2 b) PA = 0,74 kgf/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
água 
mercúrio 
3,0 m 
3,6 m 
3,8 m 
Cotas 
B C 
D 
A 
B 
h1 
h2 
h3 
h1 = 25 cm 
h2 = 15 cm 
h3 = 50 cm 
Água ( = 1,0) 
Azeite ( = 0,8) 
 
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3- Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 3 
kgf/cm2 e 1,5 kgf/cm2 ,respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio 
(h) no manômetro diferencial ? 
 
Resposta: h = 1,34 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Sabendo-se que a leitura de um piezômetro é de 0,6 m e está 
preenchido com água, calcule a pressão, em kgf/m2, no interior da 
tubulação a que ele está ligado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
h 
x 
y 
2,0 m 
Água ( = 1000 kgf/m3) 
Mercúrio ( = 13600 kgf/m3) Obs.: y + x = 2,0 m 
0,6 m 
 
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5 - Calcular a pressão no ponto “A “. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 - Calcular a diferença de pressão entre os pontos A e B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,95m 
E’ E 
D’ D 
C’ C 
B 
0,8m 
0,6m 
Água 
Mercúrio 
0,9m 
1,2m 
D’ D 
C 
Água 
Mercúrio 
B 
0,1m 
0,9m 
 
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7 - Na Figura abaixo, determinar o valor de “z”, sabendo-se que a 
pressão no ponto A é igual a 2.795 kgf/m2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma, 
de acordo com a indicação do manômetro diferencial do esquema abaixo. 
Líquido em escoamento (Água), líquido manométrico (Mercúrio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
Óleo (  = 0,80) 
Bromofórmio ( = 2,87) 
 z 
2,40m 
eixo do 
conduto 
0,6m 
Z 
A B 
Água 
Mercúrio 
 
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9 - Dado o tensiômetro esquematizado a seguir, determine: 
 
a) Potencial matricial (tensão) no ponto A em atmosfera técnica (atm), 
para um valor de h = 37 cm; 
b) Para um potencial matricial igual a tensão de 0,5 atm, qual o valor 
da leitura da coluna de mercúrio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Lista 8. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES 
 
2) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema 
técnico. 
 
Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão) 
 
a) 9 810 dinas (g.cm.s-2); 
 
Conversão de dina para N 
 
1 (g.cm.s-2)____10-5 kg.m.s-2 
9 810___________ X logo X = 0,0981 kg.m s-2. 
 
Conversão de N para kgf 
 
1 kgf____________ 9,81 N 
X________________0,0981 N logo x= 0,01 kgf 
 
b) 250g; c) 7 814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h; 
f) 200 000 KN; g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas)ν 
i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2; 
k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); 
l) 7,0 kgf/cm2; m) 9,81 g/cm3; n) 8 000 000 cm2/s; 
o) 20 000 kW; p) 10 H.P; q) 10 c.v; 
h 
60 cm 
A 
20 cm 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 47 
21. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Escoamento 
 
O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a propriedade de 
escoar, ou seja, de mudar de forma facilmente. Portanto, o escoamento é a 
fácil mudança de forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a 
chamada fluidez. 
 
Finalidade 
A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos líquidos e gases, 
sem considerar suas causas. 
 
Corrente fluida 
É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu deslocamento com 
direção e sentido bem determinados. 
 
Método de Lagrange 
Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o de Lagrange, 
que descreve o movimento de cada partícula, acompanhado-a na trajetória 
total. Apresenta grandes dificuldades nas aplicações praticas. 
 
Método de Euler 
Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um ponto do 
espaço e considerar todas as partículas que passam por este ponto. Neste 
método observador é fixo, e é o preferido para se estudar o movimento dos 
fluidos. 
 
Linhas de corrente 
No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que 
representam as diversas velocidades da partícula nos instante 
considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que seja 
tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade (v1, v2, v3, 
etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou linha de fluxo. A 
linha de corrente é uma curva imaginaria. 
 
As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso positivo a 
partícula teria velocidades diferentes ao mesmo tempo, o que não é 
possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma linha 
de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada 
instante, o fluido move-se sem atravessá-la. 
 
 
 
 
Linha de 
corrente 
V1 
V2 
V3 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 48 
Tubo de Corrente 
Suponhamos duas curvas fechadas A e A’, que não sejam linhas de 
corrente. Por outro lado consideremos todas as linhas de corrente que 
toquem nessas duas curvas fechadas em um instante dado. Se o campo de 
velocidades for continuo, formar-se-á então um tubo de corrente, que não 
pode ser atravessado pelo fluido nesse instante porque não há componente 
normal de velocidade. O tubo de corrente também é conhecido como veia 
liquida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laminar 
Turbulento 
Permanente 
Não- Permanente 
Uniforme
Variado 
Rotacional 
Irrotacional 
Quanto a 
direção da 
trajetória 
Quanto a 
variação no 
tempo 
Quanto à 
variação na 
trajetória 
Quanto ao 
Movimento 
de rotação 
Classificação dos 
movimentos dos 
fluidos. 
A 
A’ Fig. Tubo de corrente 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 49 
Classificação do escoamento dos fluidos. 
 
1.1 Escoamento laminar. 
As partículas dos fluidos percorrem trajetórias paralelas, também 
chamadas de escoamento lamelar, tranqüilo oude Poiseuille. 
 
As trajetórias das partículas em movimento são bem definidas, não se 
cruzam. 
 
1.2 Escoamento turbulento 
 As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o 
escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. encontrado nas 
obras de engenharia, adutoras, vertedores de barragens, etc. 
 
 
Número de Reynolds 
Fez experiência variando o diâmetro e a viscosidade do liquido. 
 

DV.
Re Onde; V = velocidade de escoamento (m/s). 
 D = diâmetro (m). 
 υ = viscosidade cinemática (m2/s). 
 
Re <= 2 000 Regime laminar. 
2 000 < Re < 4 000 Regime critico. 
Re >= 4 000 Regime turbulento. 
 
 
Exemplo: Calcular Re para a seguinte situação: V=1,5m/s. D=100mm. 
υ=1. 610 m2/s. turbulentoregimeo
sm
msm
..log.150000
/10.1
1,0*/5,1
Re
26
  
 
1,3 Escoamento Não Permanente 
 Neste caso, a velocidade e a pressão, em determinado ponto, variam 
com o tempo. variam também de um ponto pra outro, também chamado de 
transitório, e diz que a corrente é instável. Agora a velocidade e a 
pressão em um ponto A (x,y,z) dependem tanto das coordenadas como também 
do tempo t. p.e. o escoamento não permanente ocorre quando se esvazia um 
recipiente através de um orifício. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 50 
 
1,4 Escoamento Permanente 
 Os elementos que definem o escoamento (P, V, Q e t) permanecem 
constantes ao longo do tempo em uma determinada seção. Todas as 
partículas que passam por um ponto determinado no interior da massa 
liquida terão, a qualquer tempo, a mesma velocidade. 
 
 
 
 
1,5 Escoamento Uniforme 
 A velocidade é constante ao longo do tempo e em todas as seções da 
trajetória. 
OBS: No escoamento uniforme, a seção transversal da corrente é 
invariável. 
 
1,6 Escoamento Variado 
Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam 
velocidade constante no intervalo de tempo considerado. 
 
p.e. vertedouro de uma barragem. 
 
 
V1 
V3 
V2 
Acelerado 
V3>V2>V1 
comporta 
agua 
V1 V2 V3 
Retardado 
V3<V2<V1 
agua 
Q1 
V1 
t1 
Q2 
V2 
T2 
agua Q1= Q2 
V1= V2 
t1 diferente t2 
0
dT
dQ
 0
dT
dV
 0
dT
dP
 
 
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Equação da continuidade 
 
Vazão: é definido como sendo o volume do liquido que atravessa uma 
determinada seção por unidade de tempo. 
 
Exercício 1: verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa 
linha de recalque é de 1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela 
bomba é de 450m3/h. Determinar o diâmetro da linha. Resp.: 0,39m 
 
Exercício 2: Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, 
devido ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 
60mm de diâmetro, é de 7,5 l/s. 
Determinar a velocidade de escoamento. Resp.: 2,65m/s.(Obs: esta veloc. é 
admitida pela norma NBR 5626). 
 
 
 
22. Teste de Múltipla escolha 
1) o escoamento de um fluido é: 
a) a resistência a sua mudança de forma; 
b) a sua viscosidade; 
c) a sua facilidade em aquecer-se; 
d) a sua fácil mudança de forma. 
 
2) a corrente fluida é: 
a) o escoamento orientado do fluido; 
b) o deslocamento do fluido, com direção e sentido bem 
determinados; 
c) qualquer volume do fluido; 
d) a massa fluida em quantidade considerável. 
3) no método de Lagrange 
a) cada partícula é acompanhada na sua trajetória total; 
b) o observador desloca-se simultaneamente com a partícula; 
c) o observador é fixo; 
d) cada partícula corresponde a uma trajetória e vice versa. 
4) no método de Euler 
a) consideram-se todas as partículas que passam por um ponto 
escolhido; 
b) o observador é fixo; 
c) estuda-se o comportamento individual de cada partícula; 
d) adota-se o principio dos deslocamentos virtuais da mecânica 
geral. 
 
A 
dS 
V=A.dS % dT 
V / dT=A dS / dT 
 Q=A.V 
 
 
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5) a linha de corrente é: 
a) uma curva real; 
b) conhecida também como linha de fluxo; 
c) a curva que tem a propriedade de ser tangente, em cada ponto, 
ao respectivo vetor-velocidade; 
d) uma curva imaginaria. 
 
6) as linhas de corrente: 
a) não podem cortar-se; 
b) são atravessadas pelo fluido; 
c) indicam a direção da velocidade em diversos pontos; 
d) passam todas, ao mesmo tempo, a cada instante, pelo ponto 
 
 
7) o tubo de corrente: 
a) é qualquer conjunto de linhas de corrente; 
b) é um conjunto de todas as linhas de correntes que toquem em 
curvas fechadas 
c) não podem ser atravessadas pelos fluidos; 
d) pressupõe um campo continuo de velocidades. 
 
8) o filamento de corrente: 
a) é um fino tubo de corrente; 
b) é cada corrente fluida, de reduzidas dimensões; 
c) é a porção da corrente limitada por uma diretriz que abrange 
uma área infinitesimal. 
d) é a corrente liquida que permite a entrada e saída das 
partículas fluidas. 
9) quanto à variação no tempo, o escoamento classifica-se em: 
a) rotacional e irrotacional; 
b) permanente e não permanente; 
c) continuo e descontinuo; 
d) escoamento médio. 
10) quanto à direção da trajetória, o escoamento pode ser: 
a) laminar e turbulento; 
b) tranqüilo e turbilhonário; 
c) lamelar e hidráulico; 
d) de Poiseuille e turbulento 
11) quanto a variação na trajetória, os escoamento são: 
a) uniformes e variados; 
b) contínuos e descontínuos; 
c) de Reynolds e trajetórias errantes; 
d) rotacional e irrotacional. 
 
Obs.: as velocidades da água no interior das tubulações de recalque devem 
estar compreendidas entre 0,8 e 2,4 m/s. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
1. Qual a máxima velocidade de escoamento da água e óleo lubrificante 
SAE-30 e temp. 40 oC numa tubulação de 118,11 polegadas sob regime 
laminar ? Dados: visc. Cin água = 0,66.10-6 m2/s. 
2. Caracterize o tipo de escoamento numa canalização de 10” de 
diâmetro que transporta 360 000 l/s de água a 20 oC (1,007.10-6 
m2/s).Resp. V=1,97 m/s Reynolds=501 396 regime turbulento. 
 
 
23. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS OU IDEAIS 
 
Nesta parte apresentamos a equação que provavelmente é a mais usada na 
aplicação de escoamento do que qualquer outra equação. A obtenção desta 
importante equação começa com a aplicação da segunda lei de Newton para 
uma partícula do fluido. 
 
Para a dedução desse teorema é necessário considerarmos os fluidos como 
perfeitos ou ideais (não possuem viscosidade, coesão, elasticidade, etc). 
 
 
Teorema das forças vivas. 
 
“a variação da energia cinética de um sistema é igual ao trabalho 
por todas as forças do sistema”. 
 
2.
2
1
VmEc  todeslocamenxforça .. forçasastodasdetrabalhoEc ..... 
 
Forças: Devido a pressão dF = p d A logo p = dF / dA. 
 Devido ao peso w = γ vol. Logo γ = w / vol 
 
Ec2-Ec1 = dF1* dS1 - dF2*dS2 + w (z1-z2) 
 
½ m2 V2
2 – ½ m1 V12 = P1dA1 * dS1 – P2dA2 * dS2 + γ vol (z1-z2) 
 
dS1 
A2’ 
A1’ 
A1 
A2 
Plano referencia Z2 
dS2 
Z1 
 
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½ m2 V2
2 – ½ m1 V12 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) 
 
sendo ρ = m / vol logo m = ρ / vol 
 
½ ρ / vol V22 – ½ ρ / vol V12 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) // 
dividindo por vol. : 
 
½ ρ V22 – ½ ρ V12 = P1 – P2 + γ (z1-z2) sendo ρ = γ / g 
substituindo temos: 
 
½ γ / g V22 – ½ γ / g V12 = P1 – P2 + γ (z1-z2) dividindo por γ μ 
 
½ V2
2 – ½ V12 = P1 / γ – P2 / γ + (z1-z2) 
teconsz
P
g
V
z
P
g
V
tan..
.2
.1
..
.2
.1
2
2
2
2
1
1
2
1   
 
ou seja 
 
“ao longo de qualquer linha de corrente é constante o somatório das 
energias piezométrica, cinética e potencial”. 
 
 O teorema de Bernoulli não é senão o principio de conservação da 
energia. Cada um dos termos representa uma forma de energia 
 
g
V
.2
2
 energia cinética = )....arg.(..
/
/
2
22
dinamicaouvelocidadedeacm
sm
sm  
 
 

P
 energia de pressão ou piezométrica = )..arg.(..
/
/
3
2
pressaodeacm
mkgf
mkgf  
 
Z = energia de posição ou potencial = m = carga geométrica ou de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
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Demonstração experimental 
 
Instalando-sepiezômetros nas diversas seções verifica-se que a água 
sobe a alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é 
maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor 
carga de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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h 
Sejam: 
h= profundidade do centro do orifício; 
g= aceleração da gravidade; 
V=velocidade media da veia liquida. 
 
Orificio 
agua 
Lei da conservação da massa 
 
Q = A.V 
 
 
 
 
 
 
24. POTENCIA DA CORRENTE FLUIDA 
 
 Em qualquer seção do tubo de corrente, a potencia da corrente fluida 
é, por definição: 


 
g
VP
ZQN
2
**.
2
 onde Q, é vazão em volume. 
Sendo He (energia total do sistema)= 
g
VP
Z
2
2  
 
Logo: N = γ * Q * He 
 
 
25. APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
1. Teorema de Torricelli 
Suponhamos um recipiente de paredes delgadas e admitamos que a 
superfície livre do liquido seja constante. Em uma parede 
vertical do recipiente, há um orifício pelo qual escoa o liquido. 
 
 
 
hgV **2 
 
2. Tubo de Venturi (fluido ideal hf = 0) 
 
 
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Serve para medir, diretamente a vazão Q em tubulações. O venturimetro, 
tubo de venturi ou apenas venturi, consiste em um trecho estrangulado 
da tubulação. Em um venturi horizontal, sejam: 
 
Q= vazão da tubulação; 
A1=seção transversal do ponto 1; seção convergente, 
A2=seção transversal no ponto 2; seção divergente 
 
 
 
 
 
Obs.: também utilizado como injetor de fertilizantes. 
 
onde: g= aceleração da gravidade; 
 γ= peso especifico do fluidoν 
 p1= pressão unitária no ponto 1; 
p2= pressão unitária no ponto 2. 
21*
*2
*
2*1
2
2
1
2
pp
g
AA
AA
Q   
 
Em cada tubo de venturi é constante o produto dos dois primeiros fatores 
do 2º membro. 
 
21* ppKQ  
 
Observe-se que o orifício e o tubo de pitot fornecem a velocidade da 
corrente, ao passo que o venturi indica a vazão da tubulação. 
 
 
3. tubo de Pitot 
Serve para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente 
liquida (rio, canal, etc). consiste em um tubo de vidro recurvado, de 
pequeno diâmetro e aberto nas duas extremidades. 
 
Sejam: 
 
 V1= velocidade da corrente na 
entrada do tubo de Pitot; 
 g= aceleração da gravidade; 
 h=altura que subiu o liquido no tubo, 
acima da superfície livre; 
 
 
hgV **21  
 
 
 
 
2 1 
A1 A2 Tubulação 
Tubo de venturi 
agua 
h 
corrente 
Tubo de 
Pitot 
 
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26. Lista 9. 
 
Exercício 1. A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção varia do 
ponto 1 para o ponto 2, de 100cm2 para 50cm2. em 1, a pressão é de 
0,5kgf/cm2 e a elevação 100, ao passo que no ponto 2, a pressão é de 
3,38kgf/cm2 na elevação 70. calcular a vazão em litros por segundo. 
Resp.: 28l/s. 
 
 
Exercício 2. Na tubulação que parte da barragem a vazão é de 28l/s. A 
pressão no ponto 1 é p1=29,6mca. Calcular a seção da tubulação 
desprezando as perdas de energia. Resp.: A=100cm2. 
 
 
 
Exercício 3. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente, 
em um tubo tronco-conico de 1,83m de altura. As extremidades superior e 
inferior tem os diâmetros de 100 e 50mm, respectivamente. Se a vazão é de 
23l/s, achar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Resp.: 
p2-p1=4 586 kgf/m2. 
30m 
1 
2 
agua 1 
2 
70 
100 
 
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Exercício 4. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de 
diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 
125m; do tubo de 125, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato. 
A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção 
inicial da tubulação de 250mm; a altura de água H na barragem; a potencia 
do jato. Resp: H=3,71m; Potencia = 5,2cv. 
 
 
 
 
 
Exercicio 5. deduzir a expressão que determina a velocidade da corrente 
liquida na entrada do Tubo de Pitot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
Ponto 2 
Jato agua 
Ponto 1 
Q=105L/s 
125mm 
 
 
250mm 
 
V12 
2g 
1 
2 
1,83m 
50mm 
100mm 
P R 
h 

1p
g
v
2
1
 
H 
V1 PR 
A B 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 60 
25cm 
h Pitot 
agua 
Exercício 6: O centro de um orifício circular está a 8,5m abaixo da 
superfície livre de água de um reservatório. Determinar o diâmetro deste 
orifício para que a vazão seja de 25,34litros/s 
 
 
(desprezar as perdas de energia) supor escoamento permanente. Resp.: 
50mm. 
 
 
 
Exercício 7: Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro 
de um conduto com 25cm de diâmetro. A diferença de carga é h=0,1mca. 
Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade media da água neste 
tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão 
(l/s). Resp.: 45,6l/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista 9 
 
26. EXERCÍCIOS (Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli) 
 
 
8 - 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8” . Esta 
tubulação, de fofo, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”. 
Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos 
dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
orificio 
8,5m 
7” ½” 
8” 
½” 
Visualização, em corte, do 
diâmetro interno ( Di ) no primeiro 
trecho. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 61 
9 - No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250 
litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4 
litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho. 
 
10 - Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um 
diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro 
terá que aumentar 41%. 
 
11 - A água com  = 1,01 x 10-6 m2/s escoa num tubo de 50 mm de diâmetro. 
Calcule a vazão máxima para que o regime de escoamento seja laminar. 
 
12 - Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um 
tubo tronco-cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e 
inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente. Se 
a vazão é de 23 litros/s, achar a diferença de pressão entre as 
extremidades do tubo. (desprezar as perdas de carga). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um 
manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os 
diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,05 m 
Q 
1 
2 
P.R. 
1 (D1) 2 (D2) 
P.R. 
Q 
0,29 m 
0,03 m água 
mercúrio 
 
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14 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2. 
Sabendo-se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda 
de carga entre os pontos 1 e 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15- Em um canal de concreto a profundidade é de 1,2 m e as águas escoam 
com uma velocidade media de 2,4 m/s, até um determinado ponto, onde, 
devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a 
profundidade a 0,6 m . desprezando-se as possíveis perdas por atrito. 
Determinar a diferença de nível entre as partes do canal. 
Resp.: y = 6,3 m. 
 
 
27. ORIFÍCIOS 
 
São aberturas por onde os líquidos escoam mediante as seguintes 
características: 
a) tem forma geométrica definida; 
b) o perímetro é fechado; 
c) a abertura esta situada na parede do reservatório;, tanque, canal 
ou encanamento; 
d) a abertura esta abaixo da superfície livre do liquido. 
 
Foronomia: estuda o escoamento por orifícios. 
 
Finalidade: medir vazão. 
 
Classificação: 
 
Quanto a forma: circulares e retangulares; 
Quanto a divisões: pequenos e grandes; 
Quanto a condições das bordas: em parede delgada e parede espessa. 
 
 
 
 
 
1 
2 D1 = 125 mm 
 
D2 = 100 mm 
1,25 m 
P.R. 
 
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Orifícios pequenos e grandes 
 
 
Orifícios em parede delgada e espessa (bocais) 
 
 
 
 
Orifícios pequenos em paredes delgadas: 
L = (0,5 a 1,0) d 
No caso da água: L = 0,5 . dLogo 
a
ac
cc  
ccaac . 
onde: ac = área da seção contraída; 
 a = área seção do orifício; 
 cc = coeficiente de contração. 
L 
Seção contraída 
V Max. 
ac 
d 
Veia liquida Inversão jato 
X P 
Seção contraída 
y 
h 
e < d d 
e 
Parede delgada Parede espessa (bocais) 
e 
d 
h 
d 
d<=1/3 . h d > 1/3 . h 
Orifícios 
pequenos 
Orifícios 
grandes 
d 
 
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Cc varia muito pouco, adota-se 62,0cc 
Para orifícios retangulares 
 
 
Vimos que no teorema de Torricelli hgV ..2 eq. 1. é a velocidade media 
ideal que ocorreria na veia liquida se não houvesse atrito no orifício. 
Sendo U = velocidade media veia liquida < V, entra coeficiente de redução 
CVVU
V
U
CV . __________________________________eq. 2. 
Substituindo 1 em 2: hgCVU ..2. _________________________eq. 3. 
 como U<V na pratica adotamos CV=0,985. 
 
Por definição o volume do liquido em escoamento no orifício é: 
UacQ . //sendo: ccaac . e hgCVU ..2. 
hgCVccaQ ..2... //a=área orifício 
 
sendo cc.CV = cd coef. Descarga 
 
logo: hgcdaQ ..2.. 
 
Equação Para Vazão Em Orifícios Pequenos 
 
OBS: na pratica adotamos: cd=cc.cv=0,62*0,985= cd= 0,61 
 
 
Orifícios de grandes dimensões 
 
 
 
Em orifícios grandes não se pode admitir que todas as partículas tenham 
mesma velocidade. V = raiz(2.g.h) logo varia h, varia v. 
 
A carga para este trecho elementar será: 
 
hgdhLCddQ ..2.. 
 
 
a vazão para todo orifício será: 
h2 
dh 
Parede delgada 
h 
h1 L 
b>h 
cc = 0,611 
 
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  2
1
2
1
*..2....2..
h
h
h
h
dhhhgLcdhgdhLCdQ 
 




 12/1.2....2.. 12/1
2
1
2/1 hgLcddhhgLCdQ
h
h
 
 
2/32/3 12..2..
3
2
hhgLCdQ  
 
Sendo: 
12 hh
A
L  Logo: 12
12.
.2..
3
2 2/32/3
hh
hh
gACdQ 
 
 
 
 
28. BOCAIS 
 
São pequenos tubos adaptados a orifícios em paredes delgadas, pelos quais 
escoam líquidos dos reservatórios. 
 
Finalidade: a principal é dirigir o jato d’água e regular a vazão. 
 
Bocal interior: 
 
 
Bocal exterior: 
 
OBS: Cd obtido no bocal exterior é maior do que o obtido no interior. 
 
Classificação dos bocais: 
 
Quanto a forma geométrica; 
Quanto a dimensões relativas. 
 
 
 
 
 
 
 
Tubo fora reservatório. 
D 
L 
Tubo esta dentro do 
reservatório e seu L=D D 
L 
 
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Forma geométrica: 
 
 
 
Bocal curto: Bocal longo: 
 
 
 
 
 
D <=L<=2.D escoamento oscila entre orifício de parede delgada e orifiocio 
parede espessa 
 
2.D<=L<=3.D o escoamento é característico de bocal longo funcionando à 
semelhança de orifício de parede espessa; 
 
3.D<L<=100.D tubo curto 
L>100.D considerado como encanamento 
 
OBS: bocal padrão: L=2,5*D 
 
 
Vazão nos Bocais: aplica-se a equação geral deduzida para os orifícios 
pequenos. 
 
hgAcdQ ..2.. Onde: 
 
Q= vazão e m3/s; 
A= seção do tubo, m2; 
G=9,8 m/s2; 
h=carga inicial disponível, m; 
cd=coef. de descarga (coef. de velocidade). 
 
Para orifícios de parede delgada 61,0.log.5,0  cdo
D
L
 
 
Para bocais 82,0.log.32  cdo
D
L
 
Obs: bocal padrão: cd=2,5 
L>D. 
D 
L 
L<D. 
D 
L 
cilíndrico Cônico 
divergente 
Cônico 
convergente 
 
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29. VERTEDORES 
 
Definição: são orifícios incompletos, 
pois tem perímetro aberto, Localizam-se 
na parte superior do reservatório, 
canais, etc. 
 
Finalidade: medir vazão de córregos, 
galerias pluviais, etc. 
 
Classificação: o vertedor pode ter 
qualquer forma, mas são preferíveis as 
geométricas, a logarítmica, etc. 
 
Quanto a forma geométrica: 
Vertedor simples; 
 Vertedor composto. 
 
 
Vertedor composto: 
 Reunião das formas geométricas acima 
indicadas. 
 
 
Denominações 
 
 
 
Vertedor retangular: mais usado, fácil execução. 
 Sendo orifício de parede delgada de grande dimensão: 
 
L 
D 
L L 
D D 
1 contração 2 contrações 
sem 
contração 
5 x h 
mínimo 
régua 
Veia 
liquida 
b 
h 
soleira 
a 
Veia 
liquida 
Vertedor simples: 
Retangular; 
 Triangular; 
 Trapezoidal; 
 Circular; 
 Parabólico, etc. 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 68 
12
12.
.2..
3
2 2/32/3
hh
hh
gACdQ 
 
 
e adotando h1=0 e h2 = h a eq anterior fica: 
 
0
0.
.2..
3
2 2/32/3


h
h
gACdQ 
 
sendo A=b.h //b=soleira e b
h
A  
substituindo fica: 
 
2/3..2..
3
2
hgbCdQ  Equação de DU Buat. 
 
Que também se escreve da forma: 
 
2/3
2
.211 hb
ah
h
CCQ 


 


 
 
onde: C1 e C2 são coeficientes em função de h, g, cd, etc). 
 
 
 
 
 
Vertedor triangular: Vertedor circular: 
 
 
2/5.
15
.28
hcd
g
Q  807,1963,0 ..518,1 HDQ  
 
 
 
h 
d 
 
h 
α Para α=900 
Obs: indicado p/ 
carga muito 
pequenas 
h2 
dh 
Parede delgada 
h 
h1 L 
 
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30.HIDROMETRIA (Processos de medidas hidráulicas) 
 
I - INTRODUÇÃO 
 
 Definição: é uma das partes mais importantes da hidráulica, cuida das 
questões tais como, medidas de profundidade, de variação de nível de 
água, das seções de escoamento, das pressões, das velocidades das 
vazões, ensaio de bombas, etc. 
 
 Importância 
 Quantificar a vazão disponível para projetos de irrigação; 
 Controlar a vazão (volume) de água de irrigação a ser aplicada em 
projetos (racionalizar o uso da água); 
 Quantificar a vazão disponível para acionar uma roda d’água ou 
carneiro hidráulico; 
 Sistemas de abastecimento de água e lançamento de esgoto; 
 Instalações hidrelétricas. 
 
 
 
 A escolha do método depende: 
 Do volume do fluxo de água; 
 Das condições locais; 
 Do custo (existem equipamentos caros e outros simples e baratos); 
 Da precisão desejada 
 
II - MÉTODOS 
 
1) CONDUTOS LIVRES (CANAIS) 
 
a) MÉTODO DIRETO 
 Volumétrico 
 Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros 
métodos). 
 
Utilização: Pequenas vazões (Q  10 L/s) 
 
 
a-1) Volumétrico 
 
 Baseia-se no tempo gasto para que um determinado fluxo de água ocupe 
um recipiente com volume conhecido. 
 
 
 
t
Vol
Q  onde: Q ( L/s ) ; Vol ( L ) ; t ( s ) 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 70 
Importante: Realizar 3 repetições e obter a média 
3
321 QQQQméd

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a-2) Gravimétrico 
 
 Consiste na pesagem de um determinado volume de água obtido em um 
determinado tempo. 
 
 
t
Vol
Q  mas, 
Vol
Peso  
Peso
Vol   
t
Peso
Q
* 
 
 
Exemplo: Balança: 20 kg (massa no S.I) ou 20 kgf (peso no Sist. 
Técnico) 
 Tempo: 10 s 
 
 
b) MÉTODO DO FLUTUADOR 
 
Através de flutuadores (pode ser utilizada uma garrafa plástica, 
bóia, etc.) determina-se a velocidade superficial do escoamento. Esta 
velocidade superficial é, na maioria das vezes, superior a velocidade 
média do escoamento. A velocidade média corresponde a 80/90% da 
velocidade superficial. Multiplicando-se a velocidade média pela área 
molhada (área da seção transversal por onde está ocorrendo o escoamento), 
obteremos a vazão. 
 
 médiamédia AVQ * 
 
 
 
 
10 a 20 
litros 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 71 
Determinação da área 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: a seguinte equação nos dá o numero de verticais a serem levantadas 
em função da largura do rio. onde L é a largura do rio (m). 
Determinação da velocidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
x
V 
 
Ex.O flutuador demorou 20 s para percorrer do ponto 1 ao 2 (10m). 
 
s
m
s
m
V 5,0
20
10  
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuando o exemplo anterior: 
 
 VMED = 0,85 x 0,5 m/s VMED = 0,425 m/s 
 
Supondo uma área da seção transversal igual a 1,5 m2 : 
 
 Q = 0,425 m/s x 1,5 m2 
 Q = 0,64 m3/s ou Q = 640 L/s 
 
A 
A área é determinada por 
batimetria 
 
A determinação em escritório, é feita utilizando-se 
planímetros, papel milimetrado, etc 
1 2 10 m 
-Fazer 3 repetições 
 
-Trecho mais reto e uniforme 
 
-Baixa precisão 
Vmáx 
Vméd 
V  0 
-0,6 h 
-0,2 h 
VMED = 0,85 .VSUP. 
 
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c) MÉTODO DO VERTEDOR 
 
Vertedores são simples aberturas ou entalhes na parte superior de 
uma parede por onde o líquido escoa. Podem ser instalados em cursos 
d’água naturais ou artificiais. 
Utilização: pequenos cursos d’água, canais. (Q  300 
L/s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L  largura da soleira 
H  altura da lâmina de água que passa sobre a soleira 
P  distância do fundo d’água à soleira 
P’ profundidade do curso de água à jusante do vertedor 
 
Alguns cuidados na instalação do Vertedor 
 
- A soleira deve estar nivelada; 
- Face de montante na verticale deve ser lisa; 
- Paredes delgadas ou cantos em bisel; 
- Não deve ser afogado. A água não deve escoar pela parede de jusante; 
- P  2H ( P deve ser superior a 20 cm ); 
- 5 cm  H  60 cm; 
- Escolher um trecho retilíneo, de pelo menos 3 m para a instalação do 
vertedor; 
- Fazer a medição de H 1,5 m antes do vertedor. 
 
P 
H 
Soleira ou crista 
Faces 
H 
P 
1,5 m 
P’ 
P’ < P 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 73 
Tipos de Vertedores e suas equações para a determinação da vazão 
 
 
1- Vertedor Triangular: 
 
 Maior precisão para pequenas vazões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Vertedor Retangular 
 
2.1 – Com duas contrações laterais 
 
 As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior à 
largura do curso d’água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 - Sem contração lateral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
Q = 1,4 . H5/2 
 
( Q = m3/s ; H = m ;  = 90º ) 
H 
L 
Q = 1,84 . L . H3/2 
 
(Q = m3/s ; H = m ; L = m ) 
H 
L 
Q = 1,85 . L . H3/2 
 
(Q = m3/s ; H = m ; L = m ) 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 74 
2.3 - Vertedor trapezoidal (CIPOLETTI) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 - Vertedor circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) MEDIDOR “WSC FLUME” ( Calha ) 
 
 Muito utilizado para medir a vazão em sulcos de irrigação ou canais. 
Neste equipamento, a água praticamente não se eleva ( represamento ) à 
montante do ponto de instalação. Por este motivo é muito utilizado em 
projetos de irrigação por superfície ( sulcos ); 
 
 São construídas em três tamanhos diferentes: pequena, média e 
grande; 
 Para a medição da vazão, somente a leitura de uma régua graduada em 
milímetros, encostada na parede lateral da entrada, é suficiente. A 
leitura é convertida em vazão através de tabelas ou de prévia calibração 
com outros métodos. 
 
 
 
e) MOLINETES 
 
 São pás ou hélices que giram impulsionadas pela velocidade de 
escoamento; 
 Estabelece-se uma proporcionalidade entre o número de voltas por 
unidade de tempo e velocidade de escoamento; 
 
 É necessário a determinação da área da seção de escoamento para a 
determinação da vazão ( Q = A . V ); 
 
 Podem ser utilizados em condutos “livres” ou “forçados” ; 
 
 São muito precisos na determinação da velocidade de escoamento. 
H 
L 
Q = 1,86 . L . H3/2 
 
(Q = m3/s ; H = m ; L = m ) 
 
inclinação: 1:4 
4 
1 
D 
H 
Q = 1,518 . D0,963 . H1,807 
 
(Q = m3/s ; H = m ; D = m ) 
Q = a . Hb 
 
a , b  coeficientes experimentais, H  altura ( cm ), Q  vazão ( l/s ) 
 
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2) CONDUTOS FORÇADOS (Tubulações) 
 
 
f) MÉTODO DIRETO 
 
 Volumétrico 
 Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros 
métodos). 
Utilização: Pequenas vazões (Q  10 L/s) 
 
MÉTODO DO VENTURI ( Venturímetro) 
 
É um medidor “diferencial” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1  2 Q  
 h 
x 
 1  2 Q  
h 
h1 
h2 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 76 


 


  212221
2
2
2
1 .
.
...2
.
PP
AA
AAg
CdQ 


   21..
PP
KCdQ 
 
 
 hKCdQ  .. 
 
 
Exemplo Venturi : 
 
D1 = 31,75 mm (0,03175 m) ; D2 = 15 mm (0,015 m) ; Cd = 0,98 


 













  214
2
2
2
2 .
1
.2
.
4
..
PP
D
D
gD
CdQ hKCdQ  .. 
 
K = 0,000803 Cd = 0,98 portanto: 
 
 
 hQ  *000803,0*98,0 hQ  *000787,0 
 
 
 
g) MÉTODO DO ORIFÍCIO ( Diafragma ) 
 
Medidor Diferencial 
 
Obs.: O diâmetro do orifício deve ser da ordem de 30% a 80% do 
diâmetro do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hgACdQ  ..2.. 2 
Q = m3/s h = m 
Q   1  2 D2 D1 
h1 
h2 
h 
D1 D1/2 
Q = m3/s 
A2 = m
2 h = m 
 
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Orifício ou Diafragma 
 
 A = 3,14 x 10-4 m2 Cd = 0,63 
    hgQ   *2*10*14,3*63,0 4 hQ  *000876,0 
 
Exemplo: h = 10 cm (0,10 m) 
 
 Q = 0,000277 m3/s ou Q = 0,28 L/s 
 
 
 
 
h) ROTÂMETRO ( Medidor de área variável) 
Obs.: O rotâmetro deve ser instalado sempre em 
tubulações na vertical e com fluxo ascendente. 
 
 
 
 
i) MEDIDOR ELETRONICO DE PÁS 
 
Existem modelos com leituras digital ou direta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q  
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 78 
33. LISTA 10 EXERCÍCIOS (Hidrometria) 
 
01 - Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de 
soleira (largura) e esta fica 70 cm distante do fundo do curso d’água. 
Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão. 
Resposta: Q = 0,698 m3 /s ou 698 litros /s 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 - Determinar a descarga ( vazão ) de um vertedor retangular, com 2,5 m 
de soleira, situado no centro de um curso d’água com 4 m de largura, para 
uma carga de 0,35 m sobre a soleira. A distância da soleira ao fundo do 
curso d’água é de 0,90 m. Resposta: Q = 0,95 m3 / s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03 - A vazão de 850 litros /s ocorre em um vertedor cipolletti 
(trapezoidal), sob carga de 37,8 cm. Calcular a largura que a lâmina de 
água terá sobre a soleira. Resposta: L = 1,97 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
04 - Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir 
uma vazão de 2m3/s. Determine a largura da soleira deste vertedor, para 
que a altura d’água sobre a soleira NÃO ultrapasse a 60 cm. 
Resposta: L = 2,31 m. 
 
05 - Qual a descarga (vazão) de um vertedor triangular, de 90, sob uma 
carga de 15 cm ? Resp. 12,2l/s 
06 - Um flutuador leva 1,5 minuto para percorrer 35 metros em um canal 
retangular. Sabendo que o canal tem uma largura de 3,5 m e a lâmina 
d’água no interior deste é de 2,0m, calcule a provável vazão deste canal 
( Considerar Vmédia = 0,85 . Vsuperf ). Resposta: Q = 2,31 m
3 / s 
1,25 m 
70 cm 
45 cm 
0,35m 
2,5m 
4,0m 
0,9m 
H 
L 
H = 37,8 cm 
 
L = ? 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 79 
34. Lista 11. EXERCÍCIOS 
(Conduto Forçado por Gravidade e Perda de Carga Contínua) 
 
01 - Admite-se que uma tubulação de ferro fundido com D = 600 mm, 
prevista para 35 anos de uso (C = 90), tenha a perda de carga unitária de 
24 m / km. Com a fórmula de Hazen-Williams, obter a velocidade média e a 
vazão da água nessa tubulação. 
Respostas: V = 3,08 m/s Q = 0,87014 m3/s 
 
02 - A água escoa em tubos de PVC com 50 mm de diâmetro, à 
velocidade média de 1,6 m/s. Calcular a vazão e a perda de carga 
unitária, segundo a fórmula de Flamant. 
Respostas: J = 0,05198 m/m Q = 0,00314 m3 / s 
 
03 - Em certa tubulação de PVC com 50 mm de diâmetro, mede-se a perda de 
carga unitária J = 0,0212 m / m. Utilizando a fórmula de Flamant, 
calcular a velocidade média e a vazão. 
Respostas: V = 0,96 m/s Q = 0,00188 m3/s. 
 
04 - Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço (C = 130 (Equação de 
Hazen-Williams)) que veicula uma vazão de 250 l/s, com uma perda de 
carga de 1,7 m / 100 m. Calcular também a velocidade. 
 Respostas: D = 0,3487 m V = 2,6 m/s. 
 
05 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica, será executado 
uma linha adutora com tubos de ferro fundido novo ( C = 130 ) numa 
extensão de 2.000 m. Dimensionar a canalização com capacidade para 25 
l/s. A cota do nível da água na barragem de captação é 615 m e a cota na 
entrada do reservatório de distribuição é de 599,65 m. 
Resposta: D = 0,1711m. 
 
06 - Calcular o volume d’água que pode ser obtido diariamente com uma 
adutora de ferro fundido usada ( C = 90 ), com 200 mm de diâmetro e 3.200 
m de comprimento, alimentada por um reservatório cujo nível está na cota 
338 m. O conduto descarrega no ar e a sua extremidade está na cota 290 m. 
Resposta: V = 1,19 m/s e Q = 0,0374 m3/s . Portanto, em 1 dia: 
 Volume = 3 231,36 m3 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 80 
35. Dimensionamento de canais 
 
 O escoamento de superfície livre é provavelmente o fenômeno de 
escoamento mais comumente encontrado na superfície da 
terra. Correntes de rios e escoamento de água da chuva são 
exemplos que ocorrem na natureza. As situações induzidas 
pelo homem incluem escoamentos em canais e galerias 
pluviais, drenagem sobre materiais impermeáveis, tais como 
telhados e áreas de estacionamento. Em todas essas 
situações o escoamento se caracteriza por uma interface 
entre o ar e a superfície da água, chamada superfície 
livre, nela a pressão é constante e, para quase todas as 
situações, é atmosférica. 
 
 
I - DIMENSIONAMENTO 
 
a) Equação da Resistência 
 
2
1
3
2
.. JRKV  (STRICKLER) 2132 ..1 JR
n
V  (MANNING) 
 
b) Equação da Continuidade 
 
 Q = A.V 
Onde: 
Q = Vazão ( m3/s ); 
 A = Área da seção molhada ( m2 ); 
 K = Coeficiente de rugosidade de Strickler; 
 n = Coeficiente de rugosidade de Manning; 
 V = Velocidade de escoamento ( m/s ); 
 R = Raio hidráulico ( m )  R = A / P ( P = Perímetro molhado 
); 
 J = Declividade do fundo ( m/m ). 
 
Existem basicamente dois casos distintos para resolução de problemas 
envolvendo condutos livres: 
CASO I : 
Dados: K, A, R , J  Deseja-se conhecer: Q ou V 
 
Dados: K, A, R , Q  Deseja-se conhecer: J 
 
Neste caso, a solução é encontrada com a aplicação direta da equação: 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 81 
2
1
3
2
... JRKAQ  ou 
n
AJR
Q
.2/1.3/2  Lembrar que: Q = A.V 
 
CASO II : 
Dados: Q, K, J  Deseja-se conhecer: A Seção do Canal (A, R ) 
 Neste caso, existem três maneiras de se solucionar o problema: 
 MÉTODO DA TENTATIVA (será utilizado em Hidráulica); 
 Algebricamente; 
 Graficamente. 
 
MÉTODO DA TENTATIVA: 
 2
1
3
2
... JRKAQ   
2
1
3
2
.
.
JK
Q
RA  
Existem diversas combinações de GEOMETRIA que satisfazem os dados 
fornecidos. SOLUÇÃO: Fixar b ou h. 
 ou 
36. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 
 
 As seções transversais dos canais podem ser consideradas regulares 
ou irregulares, a forma de canal mais simples é a de seção retangular. O 
canal trapezoidal é, muitas vezes utilizado, em condições onde se tem 
problemas de estabilização dos taludes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h 
b 
h 
Dados conhecidos 
m.h m.h 
b 
B 
h 1 
m 
Talude : 
m 
1 
Talude: 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 82 
Tabela: Equações de área, perímetro molhado raio hidráulico e largura de 
algumas figuras geométricas. 
 
Forma da seção 
Área (A) 
( m2 ) 
Perímetro 
molhado (P) 
( m ) 
Raio hidráulico 
(R) ( m ) 
Largura do 
Topo (B) 
( m ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
hb. 
 
 
 
 
hb .2 
 
hb
hb
P
A
.2
.



 
 
 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  hhmb .. 
 
 
 
21..2 mhb  
 
 
P
A
 
 
 
 
hmb ..2 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.hm 
 
 
21..2 mh  
 
P
A
 
 
 
hm..2 
 
 
 
 
 
 
 
  2.sen.
8
1
D  
RAD 
 
 
2
.D
 
 
 
D.
sen
1.
4
1 

  

 
 
 
D.
2
sen 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8
2.D
 
 
 
2
.D
 
 
 
24
hD  
 
 
 
hD .2 
 
Obs.:  Dh.21arccos.2  , onde  deve ser calculado em radianos. 
 
b 
h 
h 
b 
1 
m 
h 
1 
m 
h D 
h 
B = D 
h = D/2 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 83 
III - INFORMAÇÕES IMPORTANTES 
 
a) Declividade de canais: 
 
Vazão ( m3/s) 
 
Declividade ( % ) Porte 
 
> 10 
 
0,01 a 0,03 
 
Grande 
 
3 a 10 
 
0,025 a 0,05 
 
Mediano 
 
0,1 a 3 
 
0,05 a 0,1 
 
Pequeno 
 
< 0,1 
 
0,1 a 0,4 
 
Muito pequeno 
 
b) Inclinação dos Taludes (valores de m): 
Material das paredes 
Canais pouco profundos 
( h < 1 m ) Canais profundos 
( h > 1 m) 
Rochas em boas condições 
0 
 
0,25 
 
Argilas Compactas 
 
0,5 
 
1,0 ou 0,75 
 
Limo Argiloso 
 
1,0 
 
1,0 ou 1,50 
 
Limo Arenoso 
 
1,5 
 
2,0 
 
Areias Soltas 
 
2,0 
 
3,0 
 
c) Limites de velocidade: 
Material Velocidade máxima ( m/s ) 
 
Terreno Arenoso Comum 
 
0,76 
 
Terreno de Aluvião 
 
0,91 
 
Terreno Argila Compacta 
 
1,14 
 
Cascalho grosso , Pedregulho, Piçarra 
 
1,83 
 
Concreto 
 
6,00 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 84 
d) Coeficiente de Rugosidade de Strikler ( K ) 
Material 
 
K ( m1/3 / s ) 
 
Concreto 
 
60 a 100 
 
Tubos de Concreto 
 
70 a 80 
 
Asfalto 
 
70 a 75 
 
Tijolos 
 
60 a 65 
 
Argamassa de cascalho ou britas 
 
50 
 
Pedras assimétricas 
 
45 
Canal aberto em rocha 20 a 55 
Canal em Terra ( sedimentos médios) 58 a 37 
Canal gramado 35 
 
 
e) Folga ou borda-livre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Canal de máxima eficiência hidráulica 
Um canal é chamado de Max. Efic. Quando 
transporta uma máxima vazão por unidade de 
área. 
Dimensões do canal: 
Tipo de 
canal 
Area Perímetro Raio hidráulico 
retangular 2.y2 4.y 
Trapezoidal 
Base menor do canal b = 2.y 
 
h 
folga  Folga  20 cm ( mínima ) 
  Folga = 0,2 h ( 20% de h ) 
 
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37. EXERCÍCIO RESOLVIDO (CANAIS) 
 
1 - Um projeto de irrigação precisa de 1.500 litros / s de água, que 
deverá ser conduzida por um canal de concreto, com bom acabamento ( K = 
80 ). A declividade do canal deverá ser de 1 %0 e sua seção trapezoidal 
com talude de 1 : 0,5 ( V : H ). Qual deve ser a altura útil do canal, 
se sua base for de 60 cm. 
Dados: 
Canal de seção trapezoidal 
Q = 1.500 litros / s = 1,5 m3 / s 
K = 80 ( coef. de rugosidade de STRICKLER ) 
J = 1 %o = 0,1 % = 0,001 m/m 
m = 0,5 ( talude da parede do canal ) 
b = 60 cm = 0,6 metros. 
h = ? 
 
 
Q = A.V (Eq. Continuidade) V = K.R2/3.J1/2 (Eq. de Strickler) 
 
 Portanto: Q = A.K.R2/3.J1/2 
 
   2/1
3
2/1
3/2
001,0.80
/5,1
.
.
sm
JK
Q
RA  593,0. 3/2 RA 
 
Solução: Resolvendo pelo Método da Tentativa, devemos encontrar um valor 
de h que satisfaça a condição de: 593,0. 3/2 RA . Para isto, montamos a 
seguinte tabela auxiliar: 
 
h hhmbA )..(  21.2 mhbP  R=A/P R2/3 A.R2/3 Valor conhecido 
1,00 1,10 2,84 0,387 0,531 0,584 < 0,593 
1,20 1,44 3,28 0,439 0,577 0,832 > 0,593 
1,05 1,15 2,95 0,390 0,534 0,614 > 0,593 
1,02 1,12 2,88 0,389 0,533 0,597 > 0,593 
1,01 1,11 2,86 0,388 0,532 0,591  0,593 
Supor h = 1,0 m logo A =   115,06,0 xx = 1,10 m2 
 P =  25,01126,0  xx = 2,84 m 
 R = A / P = 1,10 / 2,84 = 0,387 
 
h = 1,01 m V = Q / A = 
2
3
11,1
/5,1
m
sm
 = 1,35 m/s ok!! 
(VMáx = 6,0 m/s) Folga = 0,20 x 1,01 m Folga = 0,20 m 
 
 
 
 
 
h = ? 
folga 
b= 0,6m 
1 
m = 0,5 
 
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38. Lista 12. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (CANAIS) 
 
1. Dimensionar um canal de seção retangular para escoar uma vazão de 
25m3/s, com declividade de 0,003m/m e rugosidade Manning igual a 0,03. 
Utilizar critério de máxima eficiência onde A=2y2, P=4.y e R=y/2. o 
critério de máxima eficiência hidráulica considera menor volume de 
escavação do canal. 
Resp.: y = 2,45m, b = 4,9m. 
 
2 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de nata de 
cimento (n = 0,012 ou K = 83) tendo uma declividade de 0,3%o . As 
dimensões e forma estão na figura abaixo. Verificar o valor da velocidade 
média de escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Calcular a vazão transportada por um canal de terra dragada (n = 
0,025), tendo declividade de 0,4%o . As dimensões e formas estão na 
figura abaixo.obs. m=1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Calcular a vazão transportada por um tubo de seção circular, 
diâmetrode 500 mm, construído em concreto (n = 0,013). O tubo está 
trabalhando à meia seção, em uma declividade é de 0,7%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 – Um canal de concreto mede 2m de largura e foi projetado para 
funcionar com uma profundidade útil de 1m. A declividade é de 0,0005 m/m. 
Determinar: vazão e velocidade da água no canal. 
Resp.: Q = 2,17m3/s e V = 1,08m/s. 
 
b = 4,0 m 
h = 2,0 m 
h = 1,6 m 
b = 1,20 m 
1 
1,5 
D 
h 
 
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6- Qual a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz 
uma vazão de 2,4m3/s e com velocidade de escoamento de 0,81m/s? Dados: 
n=0,018, b=2m e I=0,0004m/m. 
Resp.: y = 1 m 
 
7- Um canal de drenagem em más condições e fundo de barro (n=0,02), com 
m=1, I=40cm/km. Foi dimensionado para uma vazão Q, tendo-se chegado às 
dimensões da figura abaixo: Resp.: Q = 3,37m3/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve dar 
escoamento a 45m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um 
comprimento de 10km sendo 1,3m a diferença de cota entre seus extremos. 
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m 
obs: k=40,81. Resp.: h=2,9m e B=23,7m. 
 
9 – Um canal de concreto mede 2,5m de largura e foi projetado para 
funcionar com uma profundidade útil de 1,5m. A declividade é de 0,0005 
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal. 
 
10 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de argamassa de 
cascalho tendo uma declividade de 0,035% . As dimensões e forma estão na 
figura abaixo. Verificar o valor da velocidade média de escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
11 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve 
dar escoamento a 20m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um 
comprimento de 10km sendo 1,2m a diferença de cota entre seus extremos. 
Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m 
obs: k=40,81. 
 
12 – Um canal de concreto mede 1,5m de largura e foi projetado para 
funcionar com uma profundidade útil de 2,0m. A declividade é de 0,0003 
m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal. 
 
 
 
 
 
h = 1,5 m 
b = 1,66 m 
b = 2,0 m 
h = 2,0 m 
 
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39. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
 
 
 
 
 
Obs: Rios e canais é o melhor exemplo de condutos livres. 
 
 
 
 
40. PERDAS DE CARGA: 
 
É a “perda de energia na forma de calor, ou seja, parte da energia 
disponível se dissipa na forma de calor”. 
 
Ljhf . 
 
Onde: hf é a perda de carga continua, j é a perda de carga unitária (m m-
1) e L é o comprimento da tubulação. 
 
Classificação das perdas de carga: 
 
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na 
tubulação. 
Perda de carga localizada (hfLoc.) . Provocada pelas peças especiais; por 
exemplo registros, curvas, etc. 
 
V1
2/2g 
V2
2/2g P1/γ 
P2/γ 
Z1 
Z2 
hf = j. L 
Plano de referência 
Canalização 
Linha Piezométrica 
Linha Energética 
Corte A 
A’
A 
A’ 
B 
B’ 
 
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Dimensionamento das Tubulações das Redes de Irrigação 
 
Etapas de um projeto de irrigação ou de um sistema de bombeamento: 
 
Dimensionamento da tubulação. 
 
É possível se conhecer o regime de fluxo em uma tubulação por meio de um 
parâmetro adimensional denominado numero de Reynolds (Re), que se obtém 
mediante a relação: 
 

VDRe 
 
Ondeμ V é velocidade média do fluxo, D é o diâmetro da tubulação e é a 
viscosidade cinemática do liquido. 
 
Com base em resultados experimentais 
Re < 2000..................... Regime laminar; 
Re > 4000..................... Regime turbulento; 
2000 <= Re <= 4000.... Regime crítico. 
 
Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na 
tubulação. 
 
Equações: 
 
a) Darcy-Weisbach (Equação Universal) 
 
LjQ
D
L
f
g
V
D
L
fhf .0826,0
2
2
5
2  
Onde 
hf = perda de carga (m); 
f = fator de atrito (adimensional), depende em geral do número de 
Reynolds (Re=V D υ-1) e da rugosidade relativa (K D-1); 
V = velocidade média na seção (m s-1); 
D = diâmetro interno do tubo (m); 
υ = viscosidade cinemática da água (1,14.10-6 m2 s-1, para água a 15°C); 
K = rugosidade absoluta do tubo (K=0,15 mm para aço galvanizado novo); 
L = comprimento da tubulação (m); 
g = aceleração da gravidade (9,81 m s-2); 
Q = vazão em (m3 s-1). 
 
Para regime laminar o fator de atrito pode ser calculado pela equação 
Re
64f (Hagen-Pouseuille) o qual depende exclusivamente das propriedades 
do fluido, do diâmetro do tubo e da velocidade do escoamento. 
 
 
 
 
 
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Para regime turbulento usa-se a equação de White-Colebrook: 



 
f
DK
f Re
51,2
71,3
/
log2
1
 
Ver diagrama de Moody no apêndice. 
 
 
Onde K é rugosidade absoluta em função do tipo de material. 
Material da tubulação Rugosidade absoluta (K, mm) 
Polietileno 0,002 
PVC 0,02 
Aço 0,06-008 
Cimento amianto 0,07-0,08 
Concreto 0,3-0,5 
Ferro fundido 0,25-0,6 
 
Uma boa aproximação de f se consegue com a equação de Swamer e Jain 
(1976): 
2
9,0Re
51,2
7,3
/
log
25,0


 

 

DK
f 
obs: Válida para 10-6 < K/D < 10-2 e 103 < Re < 108, com erro relativo de 
+-1%, apresentado erros inferiores a 0,5% para 10-5 < K/D < 10-3 e 104 < Re 
< 107. 
 
Uma outra maneira para qualquer valor de Re e tipo de tubo pode-se obter 
utilizando a equação desenvolvida por Churchill (1977): 
 
 
12
1
5,1
12
1
Re
8
8 






BA
f sendo: 
 
16
9,0
27,0
Re
7
1
ln457,2

























D
K
A 
 
16
Re
0,37530 

B 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Equação de Hazen-Willians 
 
852,1
87,4
1
*66,10 


C
Q
D
j Obs: hf = j.L 
 
Onde: j é perda de carga unitária (m m-1), Q é vazão em (m3 s-1), D é o 
diâmetro da tubulação (m) e C é coeficiente de atrito ou coeficiente de 
Hazen-Willians. 
Material da tubulação Coeficiente atrito (C) 
Polietileno 150 
PVC 145 
Aço galvanizado 125 
Cimento amianto 140 
Aluminio 130 
 
Perda de carga localizada (hfLoc.). As conexões e peças especiais provocam 
perdas denominadas localizadas. 
 
Métodos para se determinar: 
 
a) 
g
Vk
2
hf
2
1
Loc  
 
Onde hfLoc é a perda de carga localizada em mca, k1 é coeficiente da perda 
correspondente a peça especial considerada, V é velocidade do fluxo à 
jusante da peça em m s-1 e g é a aceleração da gravidade. 
Conexão Valores de k1 
Inferior Superior 
Valvula de pé crivo 12 - 30 
Curva de 45o 0,18 - 0,20 
Redução gradual 0,1 - 30 
Cotovelo de 90o 0,6 - 0,90 
 
b) Método do comprimento equivalente. 
O método consiste em se adicionar à extensão da canalização, para 
simples efeito de calculo, comprimentos tais que correspondam à mesma 
perda de carga que causaria as peças especiais existentes na 
canalização. 
 
Se igualar hf com hfLoc, fica: 
 
g
V
D
L
fhf
2
2 com 
g
V
k
2
2
1hfLoc  fica g
V
k
2
2
1
g
V
D
L
f
2
2
 e isolando L fica: 
 
L
f
Dk 1 
 
 
 
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Conexão Comprimento equivalente 
Válvula de pé crivo 250 * diâmetro 
Curva de 90o 30 * diâmetro 
Registro de gaveta 8 * diâmetro 
Curva de 45o 15 * diâmetro 
Válvula retenção 100 * diâmetro 
Cotovelo de 90o 45 * diâmetro 
Exemplo: Curva de 900 de 3 polegadas equivale a uma canalização retilínea 
de 30 x o seu diâmetro. 
 
L equiv. = 30 * D = 30 * 0,075m = 1,5m. 
 
c) Método da estimativa: Na pratica 10-20 % da perda de carga continua é 
considerada perda de carga localizada. Exceto filtros, reguladores de 
pressão, limitadores de vazão, etc. 
 
 
 
41. Lista 13. EXERCÍCIOS de perda de carga 
 
1. Determinar a perda de carga (hf) de uma tubulação de cimento amianto 
de 400m de comprimento e 200mm de diâmetro, que transporta uma vazão de 
30L s-1 a uma temperatura de 20oC. A rugosidade absoluta do tubo é 0,07mm. 
Obs. 20oC a viscosidade cinem. da água é 1,004.10-6m2 s-1. Resp. 1,735mca 
(HW) e 1,672mca (Eq.Univ.). 
 
2. Deseja-se saber qual diâmetro usar para conduzir água do ponto até o 
ponto B, utilizar tubo de aço. E se usar PVC? Qual seria o novo diâmetro? 
 
 
3. Para abastecimento de água de uma grande fabrica será executada uma 
linha adutora com tubos de ferro fundido numa extensão de 2 100 m. 
dimensionar a canalização com capacidade de 25 l/s. O nível de água na 
barragem de captação é 615m e a cota da canalização na entrada do 
reservatório de distribuição é de 599,65 m. 
Resp.: D=0,20 m, j=0,0073m/m 
 
 
4. Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), que veicula 
uma vazão de 250 l/s com uma perda de carga de 1,70 m por 100 m. Calcular 
tambem a velocidade. 
 
D=400mm e V=1,99m/s 
 
Cota 615m 
Cota 599,65m 
L=2100m 
Q=25L s-1 
A 
B 
 
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5. Calcular a vazão que escoa por um tubo de ferro fundido usado (C=90), 
de 200mm de diâmetro, desde o reservatório na cota 200 ate outro 
reservatório na cota zero. O comprimento do conduto é de 10000 m. 
Calcular também a velocidade. 
 
Q= 44 l/s - V=1,4 m/s 
 
6. Deseja-se conhecer a vazão e o diâmetro da tubulação com C=120, de 
forma que a velocidade seja 3 m/s e a perda de carga seja 5m/100m. 
 
D=200mm e Q= 94 l/s 
 
7. Em uma usina hidrelétrica, o nível de água no canal de acesso está na 
elevação 550m e, na saída da turbina, na cota 440m. A tubulação tem 660 
m de extensão. Determinar o seu diâmetro de modo que a potencia perdida 
sob a forma de perda de carga nos tubos seja 2% da potencia total 
aproveitável. A vazão é 330l/s 
D=0,60m V=1,16m/s 
 
 
8. Para um sistema de irrigação precisa-se conduzir uma vazão de 30l/s, 
numa distancia de 2km, sendo a tubulação de fereo fundido usado, na qual 
estão instalados uma curva de 45, uma curva de 90, um registro de gaveta 
e uma válvula de retenção. Determinar o diâmetro da tubulação, velocidade 
e a perda de carga correspondente. Resp.: j==0,03275m/m, hf loc.=0,63m 
hf total=66,14m. Veloc.=1,7m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 94 
42. BOMBAS HIDRÁULICAS 
 
São máquinas hidráulicas operatrizes, isto é maquinas que recebem 
energia potencial (força motriz de um motor ou turbina), e transformam 
parte desta potencia em energia cinética (movimento) e energia de pressão 
(força), cedendo estas duas energias ao fluido bombeado, de forma a 
recirculá-lo ou transportá-lo de um ponto a outro. 
 
 
Ou ainda: Bomba é uma maquina hidráulica capaz de elevar a pressão de um 
liquido. 
 
Motores hidráulicos: transformam a energia de trabalho hidráulico em 
energia mecânica rotativa. Os motores hidráulicos trabalham no principio 
inverso das maquinas hidráulicas. 
 
Classificação: 
 
Quanto à forma do rotor 
a) escoamento radial. Pressão desenvolvida 
pela força centrifuga; 
b) escoamento misto. Pressão desenvolvida 
pela força centrifuga e pela sucção das 
pás; 
c) escoamento axial. Pressão desenvolvida 
pela ação da sucção . 
 
Vazão: é o volume de liquido bombeado na unidade de tempo. 
 
Altura de elevação: é o aumento de pressão que a bomba pode comunicar ao 
fluido (H). 
 
 
43. NPSH E CAVITAÇÃO 
 
DEFINIÇÃO: A sigla NPSH, vem da expressão Net Positive Suction Head, a 
qual sua tradução literal para o Português não expressa clara e 
tecnicamente o que significa na prática. No entanto, é de vital 
importância para fabricantes e usuários de bombas o conhecimento do 
comportamento desta variável, para que a bomba tenha um desempenho 
satisfatório, principalmente em sistemas onde coexistam as duas situações 
descritas abaixo: 
 
Bomba trabalhando no inicio da faixa, com baixa pressão e alta vazão; 
Existência de altura negativa de sucção; 
 
Quanto maior for a vazão da bomba e a altura de sucção negativa, maior 
será a possibilidade da bomba cavitar em função do NPSH. 
 
Em termos técnicos, o NPSH define-se como a altura total de sucção 
referida a pressão atmosférica local existente no centro da conexão de 
sucção, menos a pressão de vapor do líquido. 
 
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NPSH = (Ho - h - hs - R) - Hv Onde: 
 
Ho = Pressão atmosférica local , em mca (tabela 1); 
h = Altura de sucção, em metros (dado da instalação); 
hs = Perdas de carga no escoamento pela tubulação de sucção, em metros; 
R = Perdas de carga no escoamento interno da bomba, em metros (dados do 
fabricante); 
Hv = Pressão de vapor do fluído escoado, em metros (tabela 2); 
 
Para que o NPSH proporcione uma sucção satisfatória à bomba, é necessário 
que a pressão em qualquer ponto da linha nunca venha reduzir-se à pressão 
de vapor do fluído bombeado. Isto é evitado tomando-se providências na 
instalação de sucção para que a pressão realmente útil para a 
movimentação do fluído, seja sempre maior que a soma das perdas de carga 
na tubulação com a altura de sucção, mais as perdas internas na bomba, 
portanto: 
 
Ho - Hv > hs + h + R 
 
NPSH DA BOMBA E NPSH DA INSTALAÇÃO: Para que se possa estabelecer, 
comparar e alterar os dados da instalação, se necessário, é usual 
desmembrar-se os termos da fórmula anterior, a fim de obter-se os dois 
valores característicos (instalação e bomba), sendo: 
 
Ho - Hv - h - hs = NPSHd (disponível), que é uma característica da 
instalação hidráulica. É a energia que o fluído possui, num ponto 
imediatamente anterior ao flange de sucção da bomba, acima da sua pressão 
de vapor. Esta variável deve ser calculada por quem dimensionar o 
sistema, utilizando-se de coeficientes tabelados e dados da instalação; 
 
R = NPSHr (requerido), é uma característica da bomba, determinada em seu 
projeto de fábrica, através de cálculos e ensaios de laboratório. 
Tecnicamente, é a energia necessária para vencer as perdas de carga entre 
a conexão de sucção da bomba e as pás do rotor, bem como criar a 
velocidade desejada no fluído nestas pás. Este dado deve ser 
obrigatoriamente fornecido pelo fabricante através das curvas 
características das bombas (curva de NPSH); 
 
Assim, para uma boa performance da bomba, deve-se sempre garantir a 
seguinte situação: 
 
NPSHd > NPSHr 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 96 
 
 
EXEMPLO: Suponhamos que uma bomba de modelo hipotético Ex.1 seja colocada 
para operar com 35 mca de AMT, vazão de 32,5 m3 /h, altura de sucção de 
2,5 metros e perda por atrito na sucção de 1,6 mca. A altura em relação 
ao nível do mar onde a mesma será instalada é de aproximadamente 600 
metros, e a temperatura da água é de 30ºC, verificaremos: 
 
A. VERIFICAÇÃO DO NPSHr: 
 
Conforme curva característica do exemplo citado, para os dados de altura 
(mca) e vazão (m³/h) indicados, o NPSHr da bomba é 4,75 mca, confira: 
 
B. CÁLCULO DO NPSHd: 
 
Sabendo-se que: 
 
NPSHd = Ho - Hv - h - hs Onde: 
 
Ho = 9,58 (tabela 1) 
Hv = 0,433 (tabela 2) 
h = 2,5 metros (altura sucção) 
hs = 1,60 metros (perda calculada para o atrito na sucção) 
 
 
Temos que: NPSHd = 9,58 - 0,433 - 2,5 - 1,60 
 
NPSHd = 5,04 mca 
 
 
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Analisando-se a curva característica abaixo, temos um NPSHr de 4,95 mca. 
 
 
Portanto: 5,04 > 4,95 Então NPSHd > NPSHr 
 
A bomba nestas condições funcionará normalmente, porém, deve-se evitar: 
 
1. Aumento da vazão; 
2. Aumento do nível dinâmico da captação; 
3. Aumento da temperatura da água. 
 
Havendo alteração destas variáveis, o NPSHd poderá igualar-se ou adquirir 
valores inferiores ao NPSHr , ocorrendo assim a cavitação. 
 
CAVITAÇÃO: Quando a condição NPSHd > NPSHr não é garantida pelo sistema, 
ocorre o fenômeno denominado cavitação. Este fenômeno dá-se quando a 
pressão do fluído na linha de sucção adquire 
valores inferiores ao da pressão de vapor do 
mesmo, formando-se bolhas de ar, isto é, a 
rarefação do fluído (quebra da coluna de 
água) causada pelo deslocamento das pás do 
rotor, natureza do escoamento e/ou pelo 
próprio movimento de impulsão do fluído. 
Estas bolhas de ar são arrastadas pelo fluxo 
e condensam-se voltando ao estado líquido 
bruscamente quando passam pelo interiordo 
rotor e alcançam zonas de alta pressão. No 
momento desta troca de estado, o fluído já 
está em alta velocidade dentro do rotor, o 
que provoca ondas de pressão de tal 
intensidade que superam a resistência à tração do material do rotor, 
podendo arrancar partículas do corpo, das pás e das paredes da bomba, 
inutilizando-a com pouco tempo de uso. O ruído de uma bomba cavitando é 
diferente do ruído de operação normal da mesma, pois dá a impressão de 
que ela está bombeando areia, pedregulhos ou outro material que cause 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 98 
impacto. Para evitar a cavitação, deve-se adotar as seguintes 
providências: 
 
A. Reduzir a altura de sucção e o comprimento desta tubulação, 
aproximando-se ao máximo a bomba da captação; 
 
B. Reduzir as perdas de carga na sucção, com o aumento do diâmetro dos 
tubos e conexões; 
 
C. Refazer todo o cálculo do sistema e a verificação do modelo da bomba; 
 
D. Quando possível, sem prejudicar a vazão e/ou a pressão final 
requeridas no sistema, pode-se eliminar a cavitação trabalhando-se com 
registro na saída da bomba "estrangulado", ou, alterando-se o(s) 
diâmetro(s) do(s) rotor(es) da bomba. Estas porém são providências que só 
devem ser adotadas em último caso, pois podem alterar substancialmente o 
rendimento hidráulico do conjunto. 
 
CONCLUSÃO: A Pressão Atmosférica é a responsável pela entrada do fluído 
na sucção da bomba. Quando a altura de sucção for superior a 8 metros (ao 
nível do mar), a Pressão Atmosférica deixa de fazer efeito sobre a lâmina 
d'água restando tecnicamente, nestes casos, o uso de outro tipo de bomba 
centrífuga. 
 
 
44. POTENCIAS E RENDIMENTOS 
 
Potencia útil da bomba (Pu). Corresponde ao trabalho (w) realizado pela 
bomba. 
 
s
mkgf
s
m
m
m
kgf
QHPu
.
....
3
3
  
 
ou 
75
..
)(
QH
CVPu
 ou 98,0*
100
..
)(
QH
kWPu
 
 
Potencia absorvida pela bomba (Pa). Corresponde a potencia fornecida no 
eixo da bomba. 
 
Rendimento da bomba (η) é igual a 
Pa
Pu 
 
Ou 
75.
..
)( 
 QH
CVPa  ou 
75.
..
763,0)( 
 QH
kWPa  
 
EXEMPLO: Uma bomba operando com 42 m³/h em 100 mca, que apresenta na 
curva característica um rendimento de 57%. Qual a potência necessária 
para acioná-la? 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 99 
PERDAS DE CARGA(hf), No DE REYNOLDS(Re),VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V), 
DIÂMETROS DOS TUBOS, E ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT) 
 
 
PERDAS DE CARGA (hf): Denomina-se perda de carga de um sistema, o atrito 
causado pela resistência da parede interna do tubo quando da passagem do 
fluído pela mesma. 
 
As perdas de carga classificam-se em: 
 
CONTÍNUAS: Causadas pelo movimento da água ao longo da tubulação. É 
uniforme em qualquer trecho da tubulação (desde que de mesmo diâmetro), 
independente da posição do mesmo. 
 
LOCALIZADAS: Causadas pelo movimento da água nas paredes internas e 
emendas das conexões e acessórios da instalação, sendo maiores quando 
localizadas nos pontos de mudança de direção do fluxo. Estas perdas não 
são uniformes, mesmo que as conexões e acessórios possuam o mesmo 
diâmetro. 
 
FATORES QUE INFLUENCIAM NAS PERDAS DE CARGA: 
 
A. Natureza do fluído escoado (peso específico, viscosidade): Como as 
bombas são fabricadas basicamente para o bombeamento de água, cujo peso 
específico é de 1.000 Kgf/cm3, não há necessidade de agregar-se fatores 
ao cálculo de perdas de carga, em se tratando desta aplicação; 
 
B. Material empregado na fabricação dos tubos e conexões (PVC, ferro) e 
tempo de uso: Comercialmente, os tubos e conexões mais utilizados são os 
de PVC e Ferro Galvanizado, cujas diferenças de fabricação e acabamento 
interno (rugosidade e área livre) são bem caracterizadas, razão pela qual 
apresentam coeficientes de perdas diferentes. 
 
C. Diâmetro da tubulação: O diâmetro interno ou área livre de escoamento, 
é fundamental na escolha da canalização já que, quanto maior a vazão a 
ser bombeada, maior deverá ser o Ø interno da tubulação, afim de 
diminuir-se as velocidades e, conseqüentemente, as perdas de carga. São 
muitas as fórmulas utilizadas para definir-se qual o diâmetro mais 
indicado para a vazão desejada. Para facilitar os cálculos, todas as 
perdas já foram tabeladas pelos fabricantes de diferentes tipos de tubos 
e conexões. No entanto, para efeito de cálculos, a fórmula mais utilizada 
para chegar-se aos diâmetros de tubos é a Fórmula de Bresse, expressa 
por: 
 Onde: 
 
D = Diâmetro interno do tubo, em metros; 
K = 0,9 - Coeficiente de custo de investimento x custo operacional. 
Usualmente aplica-se um valor entre 0,8 e 1,0; 
Q = Vazão, em m³/ s; 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 100 
A Fórmula de Bresse calcula o diâmetro da tubulação de recalque, sendo 
que, na prática, para a tubulação de sucção adota-se um diâmetro 
comercial imediatamente superior; 
 
Obs.: para funcionamento intermitente utiliza-se a seguinte equação: 
 
onde: T= tempo de funcionamento do sistema por dia, Q é vazão em m3/s e D 
é diamentro em m. 
 
D. Comprimento dos tubos e quantidade de conexões e acessórios: Quanto 
maior o comprimento e o nº de conexões, maior será a perda de carga 
proporcional do sistema. Portanto, o uso em excesso de conexões e 
acessórios causará maiores perdas, principalmente em tubulações não muito 
extensas; 
 
E. Regime de escoamento (laminar ou turbulento): O regime de escoamento 
do fluído é a forma como ele desloca-se no interior da tubulação do 
sistema, a qual determinará a sua velocidade, em função do atrito gerado. 
No regime de escoamento laminar, os filetes líquidos (moléculas do fluído 
agrupadas umas às outras) são paralelos entre si, sendo que suas 
velocidades são invariáveis em direção e grandeza, em todos os pontos 
(figura abaixo). O regime laminar é caracterizado quando o nº de Reynolds 
(Re), for menor que 2.000. 
 
No regime de escoamento turbulento, os filetes movem-se em todas as 
direções, de forma sinuosa, com velocidades variáveis em direção e 
grandeza, em pontos e instantes diferentes. O regime turbulento é 
caracterizado quando o nº de Reynolds (Re), for maior que 4.000 
 
Obviamente, o regime de escoamento mais apropriado para um sistema de 
bombeamento é o laminar pois, acarretará menores perdas de carga por 
atrito em função do baixo número de interferências existentes na linha. 
 
 
 
 
Nº DE REYNOLDS (Re): 
 
É expresso por: Onde: 
 
Re = N0 de Reynolds; 
V = Velocidade média de escoamento, em m/s; 
D = Diâmetro da Tubulação, em metros; 
u = Viscosidade cinemática do Liquido, em m2 /s; 
Para a água doce, ao nível do mar e a temperatura de 250C, a viscosidade 
cinemática (u) é igual a 0,000001007 m²/s; 
 
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O escoamento será: Laminar: Re < 2.000 
Turbulento: Re > 4.000 
Entre 2.000 e 4.000, o regime de escoamento é considerado crítico. 
Na prática, o regime de escoamento da água em tubulações é sempre 
turbulento; 
 
VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V): Derivada da equação da continuidade, a 
velocidade média de escoamento aplicada em condutos circulares é dado 
por: 
 
 onde: 
 
V = Velocidade de escoamento, em m/s; 
Q = Vazão, em m³/s; 
(Pi) = 3,1416, (constante); 
D = Diâmetro interno do tubo, em metros; 
 
Para uso prático, as velocidades de escoamento mais econômicas são: 
 
Velocidade de Sucção 1,5 m/s (limite 2,0 m/s) 
Velocidade de Recalque 2,5 m/s (limite 3,0 m/s) 
 
 
DIÂMETRO DOS TUBOS: 
 
A. Tubulação de Recalque: Com a utilização de equações calcular o 
diâmetro mais adequado para os tubos de recalque; 
 
Custo de Investimento: Custo total dos tubos, bomba, conexões, 
acessórios, etc. Quanto menor o diâmetro dos tubos, menor o investimento 
inicial, e vice-versa; 
 
Custo Operacional: Custo de manutenção do sistema. Quanto maior o 
diâmetro dos tubos, menor será a altura manométrica total (AMT), a 
potência do motor, o tamanho da bomba e o gasto de energia. 
Consequentemente, menor será o custo operacional, e vice-versa; 
 
B. Tubulação de Sucção: Na prática, define-seesta tubulação usando-se o 
diâmetro comercial imediatamente superior ao definido anteriormente para 
recalque, analisando-se, sempre, o do sistema. 
 
ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT): A determinação desta variável é de 
fundamental importância para a seleção da bomba hidráulica adequada ao 
sistema em questão. Pode ser definida como a quantidade de trabalho 
necessário para movimentar um fluído, desde uma determinada posição 
inicial, até a posição final, incluindo nesta "carga" o trabalho 
necessário para vencer o atrito existente nas tubulações por onde 
desloca-se o fluído. Matematicamente, é a soma da altura geométrica 
(diferença de cotas) entre os níveis de sucção e descarga do fluído, com 
 
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a perdas de carga continua e localizadas ao longo de todo o sistema 
(altura estática + altura dinâmica). 
 
Portanto: Hman = Hgeo + hf 
 
A expressão utilizada para cálculo é: 
 
AMT = AS + AR + Perdas de Cargas Totais (hfr + hfs) 
 
NOTA: Para aplicações em sistemas onde existam na linha hidráulica, 
equipamentos e acessórios (irrigação, refrigeração, máquinas, etc.) que 
requeiram pressão adicional para funcionamento, deve-se acrescentar ao 
cálculo da AMT a pressão requerida para o funcionamento destes 
equipamentos. 
 
Rotação específica (ηs) é o numero de rotações dado na unidade de tempo 
por uma bomba geometricamente semelhante que, com carga total igual a uma 
unidade eleva a unidade de vazão. 
4/3
.
H
Q
s
  Obs. ηs é a mesma para todas as bombas semelhantes e, para uma 
mesma bomba, não muda com a rotação. 
Representa para a bomba o mesmo que o Reynolds para os condutos. 
Quando ηs é usada para caracterizar uma bomba deve-se calcular para 
rendimento ótimo. 
4/3
..211,0
H
Qn
s  // n (rpm), Q (L s-1) e H (m). 
De modo geral, a forma do rotor varia com o numero de rotações 
especificas (ηs) definido pela equação anterior, do seguinte modoμ 
 
Escoamento radial de entrada simples.......... ηs < 4200ν 
Escoamento radial de entrada dupla............ ηs < 6000ν 
Bomba de escoamento misto..................... 4200 < ηs < 9000ν 
Bomba de escoamento axial..................... ηs > 9000ν 
 
Exemplo: Deseja-se conduzir uma vazão de 0,05 m3 s-1 com H de 60m e n de 
1750 rpm. Pergunta-se: Qual o tipo de bomba devo usar? 
 
 
 
 
 
45. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS 
 
DEFINIÇAO: De forma simples e direta, podemos dizer que a curva 
característica de uma bomba é a expressão cartesiana de suas 
características de funcionamento, expressas por Vazão, em m3/h na 
abscissa e na ordenada, hora Altura, em mca; rendimento em %; perdas 
internas NPSHrequerido, em mca; e potência absorvida (BHP), em cv; 
 
 
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CURVA CARACTERÍSTICA DA BOMBA: A curva característica é função particular 
do projeto e da aplicação requerida de cada bomba, dependendo do tipo e 
quantidade de rotores utilizados, tipo de caracol, sentido do fluxo, 
velocidade específica da bomba, potência fornecida, etc. Toda curva 
possui um ponto de trabalho característico, chamado de "ponto ótimo", 
onde a bomba apresenta o seu melhor rendimento , sendo que, sempre que 
deslocar-se, tanto a direita como a esquerda deste ponto, o rendimento 
tende a cair. Este ponto é a intersecção da curva características da 
bomba com a curva característica do sistema (curvas 3 e 4 - CCB x CCS). 
 
É importante levantar-se a curva característica do sistema, para 
confrontá-la com uma curva característica de bomba que aproxime-se ao 
máximo do seu ponto ótimo de trabalho(meio da curva, melhor rendimento). 
Evita-se sempre optar-se por um determinado modelo de bomba cujo ponto de 
trabalho encontra-se próximo aos limites extremos da curva característica 
do equipamento (curva 2), pois, além do baixo rendimento, há a 
possibilidade de operação fora dos pontos limites da mesma que, sendo à 
esquerda poderá não alcançar o ponto final de uso pois estará operando no 
limite máximo de sua pressão e mínimo de vazão. Após este ponto a vazão 
se extingue, restando apenas a pressão máxima do equipamento denominada 
schut-off. 
 
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Ao passo que, operando-se à direita da curva, poderá causar sobrecarga no 
motor. Neste ponto a bomba estará operando com máximo de vazão e mínimo 
de pressão aumentando o BHP da mesma. 
Esta última posição é a responsável direta pela sobrecarga e queima de 
inúmeros motores elétricos em situações não previstas pelos usuários em 
função do aumento da vazão, com conseqüente aumento de corrente do motor. 
CURVA CARACTERÍSTICA DO SISTEMA: É obtida fixando-se a altura geométrica 
total do sistema (sucção e recalque) na coordenada Y (altura mca), e, a 
partir deste ponto, calcula-se as perdas de carga com valores 
intermediários de vazão, até a vazão total requerida, considerando-se o 
comprimento da tubulação, diâmetro e tipo de tubo, tempo de uso, 
acessórios e conexões (curvas 3 e 4). 
 
 
 
 
 
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Lembre-se: As relações entre Q, H, P e η designa-se por curva 
características das bombas. Pode-se dizer que as curvas são o retrato de 
funcionamento nas mais diversas situações. 
 
 
Curva I - curva de H (AMT) em função da vazão (Q); 
Curva II - curva da potencia (P) em função da vazão (Q); 
Curva III - curva do rendimento (η) em função da vazão (Q)ν 
 
obs: estas três curvas são obtidas em bancadas de ensaio dos fabricantes. 
Alem destas três curvas características da bomba existem também as curvas 
características da instalação. 
 
Curva IV - curva da perda de carga total (H) em função da vazão (Q); 
Curva V - curva H1 = y + H em função da vazão (Q), onde y é a altura 
geométrica total. 
 
 
 
ALTERAÇÕES NAS CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS 
 
CONCEITO: Como vimos anteriormente, as curvas características apresentam 
mudanças sensíveis de comportamento em função de alterações na bomba e no 
sistema, é importante saber quais os fatores que a influenciam, e quais 
suas conseqüências. Assim sendo, temos: 
 
A. Alteração da rotação da bomba: 
 
Vazão: Varia diretamente proporcional a variação da rotação: 
 
 
Pressão: Varia proporcional ao quadrado da variação da rotação: 
 
 
Potência: Varia proporcional ao cubo da variação da rotação: 
H, IV 
,,III 
H, I 
H1,V 
P, II 
QA 
 max IV 
PA 
Ponto funcion. bomba HA 
A y 
 
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Onde: 
 
Qo = Vazão inicial, em m3/h; Q1 = Vazão final, em m3/h; 
Ho = Pressão inicial, em mca; H1 = Pressão final, em mca; 
No = Potência inicial, em cv; N1 = Potência final, em cv; 
no = Rotação inicial, em rpm; n1 = Rotação final, em rpm; 
 
TABELA 3: 
 
 
 
EXEMPLO: Uma bomba que funciona a 3.500 rpm, fornecendo Q1 = 20m³/h, H1 = 
60 mca, N1 = 15 cv, precisará operar em 2.750 rpm, que resultados podemos 
esperar? 
 
 Variação da rotação: N1 - No = 3.500 -2750 = 750 rpm 
 
 
 
 
 
 
 
É o mesmo percentual de variação da rotação pois são proporcionais. 
 
 
 
Portanto, os valores corrigidos funcionando com 2.750 rpm, são 
 
 
B. Alteração do diâmetro do(s) rotor(es): Assim como a alteração da 
rotação, a alteração do diâmetro dos rotores condiciona a uma certa 
proporcionalidade com Q, H e N, cujas expressões são: 
 
B.1 Vazão: Varia diretamente proporcional ao diâmetro do rotor: 
 
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B.2 Altura: Varia proporcional ao quadrado do diâmetro do rotor: 
 
B.3 Potência: Varia proporcional ao cubo do diâmetro do rotor: 
 
Onde: Do = Diâmetro original do rotor e D1 = Diâmetro alterado, ambos em 
mm. Deve-se considerar também, que há certos limites para diminuição dos 
diâmetros dos rotores, em função principalmente da brutal queda de 
rendimento que pode ocorrer nestes casos. De modo geral os cortes 
(usinagem) em rotores podem chegar a, no máximo, 20% do seu diâmetro 
original; 
 
C. Mudança do tipo de fluído bombeado: Tendo em vista que a maior parte 
das bombas são projetadas exclusivamentepara trabalho com águas limpas, 
ou águas servidas de chuvas e rios, não nos deteremos neste item visto 
que qualquer aplicação fora das especificações de fábrica são de 
exclusiva responsabilidade do usuário. A exceção dos modelos BCA-43, para 
uso com proporção de 70% água e 30% chorume, BCS 350 para sólidos em 
suspensão de no máximo 20% em volume oriundos de esgotos sanitários e BC-
30 para algumas soluções químicas sob prévia consulta, a fábrica não 
dispõe de testes com os chamados fluídos não newtonianos (não uniformes) 
tais como, pastas, lodos e similares viscosos. No entanto, convém 
salientar que, qualquer bomba centrífuga cuja aplicação básica seja para 
água limpa, ao bombear fluídos viscosos apresenta um aumento do seu BHP, 
e redução da AMT e da vazão indicadas originalmente nas curvas 
características; 
 
C. Tempo de vida útil da bomba: Com o decorrer do uso, mesmo que em 
condições normais, é natural que ocorra um desgaste interno dos 
componentes da bomba, principalmente quando não existe um programa de 
manutenção preventiva para a mesma, ou este é deficiente. O desgaste de 
buchas, rotores, eixo e alojamento de selos mecânicos ou gaxetas fazem 
aumentar as fugas internas do fluído, tornando o rendimento cada vez 
menor. Quanto menor a bomba, menor será o seu rendimento após algum tempo 
de uso sem manutenção, pois a rugosidade, folgas e imperfeições que 
aparecem são relativamente maiores e mais danosas que para bombas de 
maior porte. Portanto, não se deve esperar o desempenho indicado nas 
curvas características do fabricante, sem antes certificar-se do estado 
de conservação de uma bomba que já possua um bom tempo de uso. 
 
 
 
 
 
 
 
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46. MÉTODO BÁSICO PARA SELEÇÃO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA 
 
CRITÉRIOS: Para calcular-se com segurança a bomba centrífuga adequada a 
um determinado sistema de abastecimento de água, são necessários alguns 
dados técnicos fundamentais do local da instalação e das necessidades do 
projeto: 
 
 
C. Distância em metros entre a captação, ou reservatório inferior, e o 
ponto de uso final, ou reservatório superior, isto é, caminho a ser 
seguido pela tubulação, ou, se já estiver instalada, o seu comprimento em 
metros lineares, e os tipos e quantidades de conexões e acessórios 
existentes; 
D. Diâmetro (Pol ou mm) e material (PVC ou metal), das tubulações de 
sucção e recalque, caso já forem existentes; 
E. Tipo de fonte de captação e vazão disponível na mesma, em m³/h; 
F. Vazão requerida, em m³/h; 
G. Capacidade máxima de energia disponível para o motor, em cv, e tipo de 
ligação (monofásico ou trifásico ) quando tratar-se de motores elétricos; 
H. Altitude do local em relação ao mar; 
I. Temperatura máxima e tipo de água (rio, poço, chuva). 
 
EXEMPLO: Baseados nestas informações podemos calcular a bomba necessária 
para a seguinte situação, conforme o esquema típico de instalação 
apresentado anteriormente: 
 
 
A. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NO RECALQUE: Usando-se a Tabela 6 baseada 
nos critérios de velocidade de escoamento, verificamos que o tubo de Ø 
mais adequado para 35 m³/h é o de 3", por apresentar menor perda de carga 
com velocidade de escoamento compatível (melhor relação custo x 
beneficio). 
 
 
 
 
 
 
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Pela Tabela abaixo, vemos que os comprimentos equivalentes (por 
segurança, usamos conexões de metal) são: 
 
 
 
B. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NA SUCÇÃO: Analogamente, temos que, se a 
tubulação de recalque é de Ø 3", a sucção, pelo usual, será de Ø = 4", 
sendo suas perdas, pela Tabela, iguais a: 
 
 
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Tabela 6: Perdas carga(hf) em tubulações plásticas, em metros por cada 
100 metros (%), de tubos novos. 
 
 
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C. CÁLCULO DA ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT) 
 
AMT = A.S. + A.R. + hfr + hfs AMT = 2,5 + 28 + 10,93 + 0,366 : 
Logo: AMT = 41,80 42 mca 
 
D. CÁLCULO DO NPSHd 
 
Sabendo-se que: 
 
NPSHd = Ho - Hv - h - hs 
 
(*) Geralmente, usa-se válvula de pé com crivo um diâmetro comercial 
acima ao do mangote. Para este exemplo, por tratar-se de 4",deve-se 
observar o peso da mesma. 
 
 
 
 
F. CÁLCULO DA POTÊNCIA NECESSÁRIA AO MOTOR 
 
Sabendo-se que: 
 Onde: 
Q = 35 m³/h; 
H = 42,00 mca; 
h = 60 % (rendimento arbitrado) 
Então: 
 
F. DEFINIÇÃO DA MOTOBOMBA CENTRÍFUGA: Consultando-se as tabelas de 
seleção e curvas características dos modelos de bombas, verificamos que o 
modelo selecionado, denominado genericamente de Ex.2, apresenta as 
seguintes especificações: 
 
 
OBS.: Deve-se sempre analisar uma segunda opção de bomba, para comparar-
se os dados, optando-se pela melhor relação custo benefício. 
 
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Figuras: Curvas Características de bombas centrifugas 
 
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Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 114 
APÊNDICE A: ALFABETO GREGO 
 
 
MINÚSCULAS MAIÚSCULAS NOME VALORES 
  alfa A 
  beta B 
  delta D 
  épsilon E 
  fi F 
  gama G 
  eta Ê 
  iota J 
  capa K 
  lambda L 
  mü M 
  nü N 
  ômicron O 
  pi P 
,   teta T 
  rô R 
,   sigma S 
  tau T 
  úpsilon U 
  omega Ô 
  ksi X 
  dzeta Z 
  psi PS 
  qui QU 
 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 115 
Apendice B: Diagrama de Moody. 
 
 
 
 
Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2013 116 
REFERENCIAS 
 
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Ltda, São Paulo, 1998. 
 
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De Janeiro,1987. 
 
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6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. v.1. 
 
INMETRO – Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial. Resolução nº 12/1988: Quadro geral de unidades de 
medida. Rio de Janeiro, 1989. 
 
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Janeiro, 1994. 
 
LENCASTRE, A. Manual De Hidráulica Geral, 2ª Ed., Edgard Blücher Ltda, 
São Paulo/USP. SP. 1972. 
 
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MUNSON, B. R et al. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos. 2ª Ed., Edgard 
Blücher Ltda, São Paulo, v.2, 1997. 
 
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Editora Pioneira Thomsom Learning, 2004. 690pg. 
 
SHAMES, I. H. Mechanis of Fluids. International Student Edition. Tokyo, 
Japan: Macgraw-Hill. 555p. 1962. 
 
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Macgraw-Hill. 585p. 1980. 
 
TIPLER, PAUL A. Física I. 4.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 2000. 
v.2.