AD2 20152

Prévia do material em texto

Álgebra I
AD2 - Segunda Avaliação a Distância - Aulas 6 a 13
1a Questão: (3,0 pontos) Imagine que um estudante do Ensino Fundamental pede para o
professor explicar por que os números pares terminam em algarismos pares. Uma resposta
posśıvel é: “Um número inteiro é chamado ’par’ quando ele é o dobro de um número (ou
seja, é diviśıvel por 2). Um número ABC de três algarismos pode ser descrito como
ABC = A · 100 + B · 10 + C.
Como 100 e 10 já são diviśıveis por 2 e a soma de números diviśıveis por 2 é também é par,
a soma A · 100 + B · 10 é par. Assim, para o número ABC ser par é necessário e suficiente
que C seja par (pois a soma de dois números pares é um número par e a soma de um número
par com um número ı́mpar é um número ı́mpar).“
A justificativa acima não é rigorosa porque explica apenas o caso de números de 3 alga-
rismos. Mas é o que costumamos chamar de “exemplo suficientemente genérico” pois o caso
geral é totalmente análogo. Reflita sobre a diferença entre explicar do modo acima para o
estudante e dizer para ele: “ O número 12 é par e termina em 2, que é par. O número 26
é par e termina em 6, que é par. O número 218 é par e termina em 8, que é par. Viu?!
Sempre funciona!” Esta última maneira pode levar o aluno a acreditar que basta apresentar
alguns exemplos para justificar a validade de uma afirmação.
Assim como feito acima explique para o nosso estudante do Ensino Fundamental os
critérios de divisibilidade por 3, 4 e 5, sem usar congruências. Tudo bem se você usar um
exemplo suficientemente genérico, o importante aqui é a clareza e a precisão da explicação.
No caso do critério de divisibilidade por 4 use um número de 4 algarismos para maior clareza
na generalidade do exemplo.
2a Questão: (5,0 pontos) Nesta questão você vai obter uma nova demonstração para o
Pequeno Teorema de Fermat: “Sejam p um primo e A um número não diviśıvel por p.
Então Ap−1 ≡ 1(mod p).”
(a) (1,0 ponto) Mostre que se k e n são primos entre si e ka ≡ kb(modn), então a ≡ b(modn).
1
(b) (1,0 ponto) Mostre com um exemplo que a afirmação do item (a) não vale sem a hipótese
de que mdc(k, n) = 1.
(c) (1,0 ponto) Considere os p− 1 números A, 2A, 3A, · · · , (p− 1)A. Mostre que dois destes
números nunca têm o mesmo resto na divisão por p.
(d) (1,0 ponto) Mostre que
A · 2A · 3A · · · (p− 1)A ≡ 1 · 2 · 3 · · · (p− 1)(mod p).
(e) (1,0 ponto) Use o resultado do item (d) para provar o Pequeno Teorema de Fermat.
3a Questão: (2,0 pontos) Mostre que 30239 + 23930 não é um número primo.
2