AP3 A1 2011 1 Gabarito

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A´lgebra I
AP 3 - Terceira Avaliac¸a˜o Presencial
Atenc¸a˜o: Enuncie os resultados desta disciplina que voceˆ utilizar para resolver as questo˜es.
Questa˜o 1: (2 pontos) Prove ou deˆ contra-exemplo:
a) (0,5 ponto) Se dois nu´meros sa˜o primos entre si, enta˜o um deles e´ ı´mpar;
b) (0,5 ponto) A soma dos n primeiros nu´meros inteiros pares positivos e´ n(n + 1);
c) (0,5 ponto) O produto de treˆs nu´meros naturais consecutivos e´ divis´ıvel por 6;
d) (0,5 ponto) Sejam a, b e N nu´meros inteiros. Se a e b dividem N , enta˜o o produto a · b divide
N .
Soluc¸a˜o:
a) Provaremos por contradic¸a˜o. Se os dois nu´meros sa˜o pares, enta˜o 2 divide cada um deles.
Logo, 2 divide o mdc entre eles e, por isso, eles na˜o podem ser primos entre si pois o mdc
deles e´ maior que ou igual a 2.
b) Provaremos por induc¸a˜o. O primeiro nu´mero par positivo e´ 2 e para n = 1 a expressa˜o e´
1 ·(1+1) = 2, portanto, a afirmac¸a˜o vale para n = 1. Suponha que para um certo n ∈ N−{0}
a soma dos n primeiros nu´meros pares naturais seja igual a n(n + 1), isto e´,
2 + 4 + · · ·+ 2n = n(n + 1).
Enta˜o a soma dos n + 1 primeiros nu´meros pares na˜o nulos e´
(2 + 4 + · · ·+ 2n) + 2(n + 1) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)[(n + 1) + 1].
Enta˜o, o Teorema de Induc¸a˜o garante que a soma dos primeiros n nu´meros pares positivos e´
n(n + 1), qualquer que seja n ∈ N− {0}.
c) Provaremos de maneira direta. O produto de treˆs nu´meros naturais consecutivos sempre pode
ser escrito como N = n · (n + 1) · (n + 2) onde n e´ um natural. Se n e´ par, enta˜o o produto
N e´ divis´ıvel por 2. Se n e´ ı´mpar, enta˜o n+ 1 e´ par e por isso N e´ divis´ıvel por 2. Enta˜o, de
qualquer jeito N e´ divis´ıvel por 2.
Afirmamos que um dos nu´meros n, n+ 1 e n+ 2 e´ divis´ıvel por 3, isto e´, um dos treˆs nu´meros
pertence a` classe 0, na congrueˆncia mo´dulo 3. De fato, temos que n ∈ {0, 1, 2}. Se n = 0
enta˜o n e´ divis´ıvel por 3. Se n = 1, enta˜o n + 2 = 0. Se n = 2, enta˜o n + 1 = 0 e n + 1
e´ divis´ıvel por 3. Sendo assim, N e´ divis´ıvel por 3, pois um dos fatores n, n + 1 ou n + 2
e´ divis´ıvel por 3. Como 2 e 3 sa˜o nu´meros primos e N e´ divis´ıvel por 2 e por 3, enta˜o N e´
divis´ıvel por 6 = 2 · 3.
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d) Contra-exemplo. Sejam a = 4, b = 6 e N = 12. Enta˜o a e b dividem N , mas a · b = 24 na˜o
divide 12. (Um exemplo mais simples seria a = b = N = 2)
Questa˜o 2: (2 pontos) Considere o nu´mero A = 766712 − 733712. Calcule:
a) (1 ponto) o resto da divisa˜o de A por 13.
b) (1 ponto) o resto da divisa˜o de A por 91.
Soluc¸a˜o: Usaremos a seguinte versa˜o do Pequeno Teorema de Fermat:
Se p e´ primo e q e´ um nu´mero inteiro que na˜o e´ divis´ıvel por p, enta˜o
qp−1 ≡ 1(modp).
a) Observe que 7667 = 11× 17× 41 e 7337 = 11× 23× 29 e, portanto, na˜o sa˜o divis´ıveis por 13.
Logo, pelo teorema 766712 ≡ 1(mod 13) e tambe´m 733712 ≡ 1(mod 13). Consequentemente,
766712 − 733712 ≡ 0(mod 13).
Conclusa˜o: O resto da divisa˜o de A por 13 e´ zero.
b) Observe que 91 = 7 × 13 e que o primo 7 na˜o divide 7667 nem 7337, portanto, o teorema
garante que 76676 ≡ 1(mod 7) e 73376 ≡ 1(mod 7). Como a12 = (a6)2 qualquer que seja
a ∈ Z, temos que 766712 ≡ 1(mod 7) e 733712 ≡ 1(mod 7). Logo A e´ divis´ıvel por 7.
Como ja´ vimos no item a) o nu´mero A e´ divis´ıvel por 13. Enta˜o A e´ divis´ıvel por 7 e por 13,
sendo ambos nu´meros primos, temos que A e´ divis´ıvel por 91 = 7× 13.
Conclusa˜o: O resto da divisa˜o de A por 91 e´ zero.
Questa˜o 3: (2 pontos) Seja N um nu´mero inteiro. Mostre que N e´ divis´ıvel por 3 se, e somente
se, a soma dos seus algarismos, na base 10, e´ um nu´mero divis´ıvel por 3. (Sugesta˜o: Considere
N = arar−1 · · · a1a0, a expressa˜o decimal de N . Escreva N = 10rar + 10r−1ar−1 + · · ·+ 10a1 +a0.
Enta˜o use congrueˆncia mo´dulo 3.)
Soluc¸a˜o: Esta e´ a Proposic¸a˜o 2 da Aula 10 no mo´dulo (Confira!).
Questa˜o 4: (2 pontos) De quantas maneiras podemos comprar selos de 3 reais e de 5 reais de
modo que se gaste 50 reais?
Soluc¸a˜o: Questa˜o 4 do EP 9 (Confira!)
Questa˜o 5: (2 pontos) Encontre todos os poss´ıveis pares de nu´meros naturais cujo produto e´
3600 e cujo mmc e´ 1200.
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Soluc¸a˜o: Sejam a e b nu´meros tais que a·b = 3600 e mmc(a, b) = 1200. O problema e´ determinar
os nu´meros a e b. Usaremos o fato de que mmc(a, b) ·mdc(a, b) = ab e o:
Teorema Fundamental da Aritme´tica
Todo nu´mero inteiro maior que 1 se escreve como produto de nu´meros primos. Tal
expressa˜o e´ u´nica a menos de ordenac¸a˜o.
Como mmc(a, b) ·mdc(a, b) = ab, temos que mdc(a, b) = 3600/1200 = 3. Decompondo o produto
ab = 3600 em fatores primos temos ab = 24 · 32 · 52. Enta˜o os primos 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5 e 5 devem
figurar nas decomposic¸o˜es em fatores primos de a ou b, mais ainda, estes sa˜o todos os primos
que compo˜em os nu´meros. Como mdc(a, b) = 3, o nu´mero 3 e´ o u´nico primo que aparece na
decomposic¸a˜o do Teorema Fundamental da Aritme´tica de ambos os nu´meros a e b. Sendo assim,
devemos ter {
a = 24 · 3 · 52 = 1200
b = 3
ou
{
a = 24 · 3 = 48
b = 3 · 52 = 75
E´ claro que trocando a por b teremos a mesma soluc¸a˜o.
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