Atividade 3 calculo11

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Avalie a equação: , em que C é a fronteira da região R dada por R =
, e responda as perguntas que seguem: 
a) Obtenha a partir da determinação de para cada um dos 
caminhos. 
O caminho 1 C1(t) = (t, 1), onde t varia de 1 á 2. E suas derivadas C’1(t) = (1,0) 
𝐶1 = ∫ 12. 𝑑𝑡 − (𝑡. 1). 0 = 𝑡|
2
1
= 2 − 1 = 1
2
1
 
No caminho C2(t) = (2, t), onde varia de 1 a 5. E suas derivadas C’2(t) = (0,1) 
𝐶2 = ∫ (22). 0 − 2𝑡 𝑑𝑡 = −𝑡2|
5
1
= −25 + 1 = −24
5
1
 
No caminho C3(t) = (t, 1+t²), onde t varia de 2 a 1. E suas derivadas C’3(t) =(1, 
2t). 
𝐶3 = ∫ (1 + 𝑡2)2. 𝑑𝑡 − (𝑡). (1 + 𝑡2). (2𝑡) = ∫ (
1
2
(1 − 𝑡4)𝑑𝑡 = 𝑡 −
𝑡5
5
 |
1
2
1
2
= 1 −
1
5
− 2 +
32
5
=
26
5
 
No caminho C4(t) =(1, t), onde t varia de 2 a 1. E suas derivadas C’4(t) = (0, 1) 
𝐶4 = ∫ (12). 0 − (1). (𝑡). 𝑑𝑡 =
1
2
∫ −𝑡 𝑑𝑡
1
2
= −
𝑡2
2
 |
1
2
= −
1
2
+ 2 =
3
2
 
Total = 1 – 24 +
26
5
 + 
3
2
 = -163/10 
b) Calcule utilizando o Teorema de Green. 
C = ∫ ∫
𝜕(−𝑥𝑦)
𝜕𝑥
− 
𝜕(𝑦2)
𝜕𝑦
1+𝑥2
1
𝑑𝑦. 𝑑𝑥
2
1
 
= ∫ ∫ −3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
1+𝑥2
1
2
1
 
= ∫ −
3𝑦2
2
 |1 + 𝑥
2
1
𝑑𝑥
2
1
 
= ∫ −
3
2
. (2𝑥2 + 𝑥4)𝑑𝑥 
2
1
 
= −
3
2
. (
2𝑥3
3
+
𝑥5
5
)|
2
1
= −
3
2
. (
16
3
+
32
5
−
2
3
−
1
5
) = −
163
10
 
c-) O calculo pelos caminhos envolve mais tempo, devido ao fato de precisar 
calcular cada caminho separadamente, mas veja que a utilizando o Teorema de 
Green fica mais simples, e os resultados são os mesmos. Porém há o fato de que 
o teorema só posso ser usado em caminhos fechados.