Entropia-2023-06-18

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Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
1 
______ 
Pinheiro & Corradi- Fundamentos de Mecânica dos Fluidos e Termodinâmica 18/06/2023 
 
1 Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
Carlos Basílio Pinheiro - Universidade federal de Minas Gerais 
Wagner Corradi Barbosa - Universidade federal de Minas Gerais 
 
APÓS O ESTUDO DESTE TÓPICO VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE 
• Relacionar entropia e 2ª Lei da Termodinâmica ; 
• Calcular a variação de entropia em processos reversíveis e irreversíveis; 
• Relacionar entropia com probabilidade de ocorrência dos estados termodinâmicos; 
• Construir e Calcular propriedades a partir de diagramas T  S; 
• Reconhecer a violação da 2ª Lei da Termodinâmica em processos físicos; 
 
Nesta unidade inicialmente será introduzido e discutido o conceito genérico de entropia. O conceito 
será usado no entendimento de processos termodinâmicos em gases ideais. Também será mostrado 
como processos irreversíveis, fora do equilíbrio, como a expansão livre podem ser entendidos por 
meio da variação da sua entropia. Será mostrado que entropia é uma função de estado. A Segunda lei 
da Termodinâmica será enunciada e explicada com base do conceito de entropia e por fim, será 
mostrado que a inexistência de maquinas térmica e refrigeradores ideias são caso particulares do 
enunciado da segunda lei da termodinâmica baseada no conceito de Entropia. Vários problemas serão 
resolvidos ao longo do capítulo e uma série de questões conceituais, assim como problemas, serão 
apresentados ao final do capítulo, visando a fixação dos conceitos apresentados. 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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 LOCALIZAÇÃO DO ITEM NOS CAPÍTULOS E LIVROS 
M
áq
ui
n
as
 T
ér
m
ic
as
, C
ic
lo
 d
e 
C
ar
n
ot
, E
nt
ro
pi
a 
e 
Se
gu
n
d
a 
Le
i d
a 
Te
rm
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ic
a 
LIVRO AUTORES EDIÇÕES SEÇÕES 
Física II 
Addison-Wesley 
Sears, Zemansky, 
Young Freedman; 
10ª. 18.1 –18.9 
Física 2 
LTC 
Sears, Zemansky, Young 2ª. 19.1 – 19.10 
Física 2 
Livros Técnicos e 
Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 4ª. 26.1 – 26.9 
Física 2 
Livros Técnicos e 
Científicos S.A 
Resnick, Halliday, Krane 5ª. 24.1 – 24.6 
The Feynman Lectures on 
Physics; Vol. I 
Feynman, Leighton, Sands 6ª. 44.2-44.6 
Fundamentos de Física, 
vol.2 Livros Técnicos e 
Científicos S.A 
Halliday, Resnick 3ª. 22.1 – 22.12 
Física 2 
Editora Makron Books do 
Brasil 
Keller, Gettys, Skove 1ª. 19.1–19.6 
Curso de Física, vol.2 
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10.7 – 10.9 
Física, vol.1b 
Ed. Guanabara 
Tipler 2ª. 19.1–19.10 
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Tipler 3ª. 17.1–17.7 
Física, vol.2 
Ed. Guanabara 
Tipler 5ª. 19.1–19.9 
Física, vol.2 
Livros Técnicos e 
Científicos S.A 
Alaor S. Chaves 1ª. 8.1 –8.15 
Física, Fundamentos e 
Aplicações, vol.2 
Editora McGraw Hill 
Eisberg e Lerner 1ª. 19.4 –19.9 
Física 2 
Livros Técnicos e 
Científicos S.A 
R. A. Serway 3ª. 22.1 – 22.10 
 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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As seguintes convenções serão adotadas nos Guias de Estudo 
 
QH ou QA ou Qentra Calor ligado a fonte quente 
 
QC ou QB ou Qsai Calor ligado a fonte fria 
TC ou TB Temperatura da fonte fria 
TH ou TA Temperatura da fonte quente 
Q > 0 Calor entrando na máquina ou sistema 
Q < 0 Calor saindo da máquina ou sistema 
W > 0 Trabalho realizado pelo Sistema e que 
corresponde a aumento de volume 
W < 0 Trabalho realizado sobre o Sistema e que 
corresponde a decréscimo de volume 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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1.1 Entropia 
A Lei Zero da Termodinâmica estabelece a condição para definir o conceito de temperatura. A Primeira 
Lei da Termodinâmica introduz o conceito de energia interna. A Segunda Lei da Termodinâmica, por 
sua vez, conduz a uma outra propriedade termodinâmica chamada entropia. Assim como para o caso 
de energia é muito difícil responder a pergunta: "o que é entropia?" Se pensarmos em um processo 
irreversível como o resfriamento de uma substancia qualquer, dizemos que a entropia está 
aumentando. Portanto relacionamos a ideia de fluxo de energia térmica com entropia. Por outro lado, 
quando falamos de uma máquina térmica e de sua eficiência relacionamos isso com um acréscimo de 
entropia ao universo. 
Olhando pelo lado da estatística, associamos o aumento da entropia com a ideia de maior 
probabilidade. Por exemplo, quando uma substancia aquecida se resfria, dizemos que a situação mais 
provável é aquela em que a substancia aquecida se resfria até a temperatura de sua vizinhança. 
Portanto a substância passa de um estado menos provável (aquecido) para um estado mais provável 
(resfriado) no equilíbrio térmico. 
Entropia também pode ser associada à ideia de desordem. Ou seja, todos os processos irreversíveis 
levam os sistemas e seus ambientes para estados menos ordenados, portanto mais entrópicos. 
Quando um processo irreversível ocorre, qualquer que seja sua natureza, de alguma forma, energia é 
consumida para a realização do processo. A lei da conservação da energia também impera para os 
processos irreversíveis, entretanto a energia que se utilizou para a realização do processo deixa de 
estar disponível para a realização de trabalho útil. A energia que se tornou indisponível é chamada de 
"trabalho indisponível" ou "trabalho perdido" sendo associada ao acréscimo de entropia ocorrido 
durante o processo. 
Fica patente assim a dificuldade de se definir a entropia de uma forma precisa. A mesma dificuldade 
sentimos quando temos que definir energia. Nos subitens subsequentes deste capítulo abordaremos 
a entropia para os processos reversíveis e irreversíveis no escopo da Segunda Lei da Termodinâmica. 
1.2 Entropia e os processos reversíveis e irreversíveis. 
Como vimos anteriormente em uma máquina térmica reversível de Carnot operando com um gás ideal 
temos: 
 
𝑇𝐵 
𝑇𝐴
= 
𝑄𝐵 
𝑄𝐴
 (1.1) 
A equação (1.1) pode ser rearranjada da seguinte forma: 
 
𝑄𝐴 
𝑇𝐴
− 
𝑄𝐵 
𝑇𝐵
= 0 (1.2) 
Para um ciclo completo de uma máquina térmica reversível a equação (1.2) pode ser escrita como: 
 ∮
𝑑𝑄 
𝑇
= 0 (1.3) 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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Apesar de 𝑑𝑄 não ser uma diferencial exata, 𝑑𝑄/𝑇 é uma diferencial exata e a integral (1.3) com seu 
argumento 𝑑𝑄/𝑇 representa a variação diferencial de uma propriedade de estado termodinâmico, 
ou melhor, uma função de estado termodinâmico que se anula quando o ciclo é constituído de 
processos reversíveis. Denominamos este novo parâmetro termodinâmico de entropia S e sua 
diferencial exata é: 
 𝑑𝑆 =
𝑑𝑄 
𝑇
 
(1.4) 
Para o ciclo completo 
 ∮
𝑑𝑄 
𝑇
= ∮ 𝑑𝑆 = 0 (1.5) 
Para um processo termodinâmico reversível que sai de um estado inicial e atinge um outro estado 
termodinâmico final, a variação da entropia será dada por: 
 ∆𝑆 = 𝑆𝑓 − 𝑆𝑖 = ∫ 𝑑𝑆 =
𝑓
𝑖
∫
𝑑𝑄 
𝑇
𝑓
𝑖
 (1.6) 
A diferença de entropia entre dois estados termodinâmicos quaisquer independe do trajeto realizado 
pelo processo e sim dos estados inicial e final. Este fato permite que a variação de entropia para 
processos reversíveis seja estendida para os processos irreversíveis. Não existe processo 
absolutamente reversível na natureza, pois ocorrem atrito e transferências de calor não desejadas. 
Portanto, de fato, qualquer processo termodinâmico é irreversível. 
Para calcular a variação de entropia num trajeto irreversível entre dois estados de equilíbrio é 
necessário achar um processo reversível que ligue estes dois estados e calcular a variação de entropia 
usando a equação(1.6). Vamos calcular a variação de entropia para algumas situações 
termodinâmicas. 
1.3 S em processos reversíveis 
Seja um gás ideal que absorve uma certa quantidade de calor 𝑑𝑄 em um processo reversível. Pela 
Primeira Lei da Termodinâmica: 
 𝑑𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 (1.7) 
Podemos substituir 𝑑𝑈 por 𝑛𝐶𝑉𝑑𝑇 e 𝑝 por 𝑛𝑅𝑇/𝑉 e teremos então: 
 𝑑𝑄 = 𝑛𝐶𝑉𝑑𝑇 + 𝑛𝑅𝑇
𝑑𝑉
𝑉
 
(1.8) 
Dividindo (1.8) por T, 
 
𝑑𝑄
𝑇
= 𝑛𝐶𝑉
𝑑𝑇
𝑇
+ 𝑛𝑅
𝑑𝑉
𝑉
 
(1.9) 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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A variação de entropia de um gás ideal que sofre um processo reversível será obtida calculando a 
integral de ambos os lados1, logo: 
 ∆𝑆𝑟𝑒𝑣 = ∫
𝑑𝑄
𝑇
𝑓
𝑖
= 𝑛𝐶𝑉 ln (
𝑇𝑓
𝑇𝑖
) + 𝑛𝑅 ln (
𝑉𝑓
𝑉𝑖
) (1.10) 
Para um processo isotérmico reversível (Tf = Ti), a variação de entropia do gás será dada simplesmente 
por : 
 ∆𝑆𝑖𝑠𝑜𝑡 = ∫
𝑑𝑄
𝑇
𝑓
𝑖
= 𝑛𝑅 ln (
𝑉𝑓
𝑉𝑖
) (1.11) 
1.4 S expansão livre de um gás ideal 
Como já vimos anteriormente, expansão livre é a situação em que um gás fica inicialmente confinado 
e pressurizado dentro de um compartimento isolado de um recipiente. No outro lado do recipiente 
existe outro compartimento vazio. Quando a membrana entre os compartimentos é rompida o gás se 
expande livremente. Neste processo não há realização de trabalho, não há variação da energia interna 
porque não há variação de temperatura e também não há transferência de calor porque os 
compartimentos são termicamente isolados. 
 
Figura 1.1: Expansão livre de um gás ideal isolado. 
Apesar disto tudo, há variação de entropia porque a expansão é um processo irreversível. Já vimos 
que a variação de entropia só depende dos estados inicial e final independente de qual processo for. 
Desta forma a variação de entropia na expansão livre, fisicamente caracterizado pelo volume inicial e 
volume final ocupado pelo gás, pode ser calculada usando-se a transformação isotérmica entre os 
estados A e B, da seguinte forma: 
 
 
1 ∫ 𝑑𝑥 𝑥⁄ = ln (𝑥) 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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 ∆𝑆 = 𝑆𝐵 − 𝑆𝐴 =
1
𝑇
∫ 𝑑𝑄
𝐵
𝐴
=
𝑄
𝑇
=
𝑊𝑖𝑠𝑜𝑡
𝑇
= 𝑛𝑅 ln (
𝑉𝐵
𝑉𝐴
) (1.12) 
Neste caso, como VB > VA, a variação de entropia é sempre positiva. 
Exemplo 1: Calcule a variação da Entropia de um 1 mol de nitrogênio que sofre expansão livre em 
conforme mostrado na figura abaixo. 
 
A variação de entropia só depende dos estados inicial e final e, portanto, já que a expansão ocorreu 
em temperatura constante: 
∆S = ∫
dQ
T
f
i
=
Q
T
 
A variação de entropia é caracterizada pela variação do volume ocupado pelo gás e pode ser 
calculada usando qualquer processo reversível com estados iniciais e finais semelhantes. Usando-
se a trajetória isotérmica que se inicia no estado inicial de volume V e pressão Pa termina no estado 
final de volume 2V e pressão Pa/2 temos: 
 
∆S = ∫
dQ
T
f
i
=
Q
T
= 
Wisot
T
 
ΔS = 
Wisot
T
= nR ln (
Vf
Vi
) = nRln2 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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1.5 S para transferência de calor 
Vamos a situação normal onde temos uma fonte de calor com alta temperatura que transfere calor 
para um reservatório ou fonte com baixa temperatura. Como já vimos, se a transferência for reversível 
ou irreversível não vai importar porque a variação de entropia independe disto. No caso a 
transferência de calor é irreversível. A variação de entropia do reservatório quente devido a liberação 
de calor é: 
 ∆𝑆𝐴 = −
𝑄
𝑇𝐴
 (1.13) 
A variação de entropia do reservatório de baixa temperatura que absorve calor é: 
 ∆𝑆𝐵 =
𝑄
𝑇𝐵
 (1.14) 
A variação total de entropia é: 
 
∆𝑆 = ∆𝑆𝐵 + ∆𝑆𝐴 =
𝑄
𝑇𝐵
−
𝑄
𝑇𝐴
=
𝑄
𝑇𝐴𝑇𝐵
(𝑇𝐴 − 𝑇𝐵) 
∆𝑆 = ∆𝑆𝐵 + ∆𝑆𝐴 =
𝑄
𝑇𝐴𝑇𝐵
(𝑇𝐴 − 𝑇𝐵) 
(1.15) 
Como 𝑇𝐴 > 𝑇𝐵 a variação de entropia de processos irreversíveis será sempre positiva. 
Exemplo 2: Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo, 260 J, seja transferida por 
condução entre um reservatório de calor mantido a 400 K para outros mantidos a 100 K, 200 K 300 
K e 360 K respectivamente. Calcule a variação da entropia em cada caso. 
A condução de calor é um processo irreversível, mas os reservatórios ganham e perdem calor 
mantendo sua temperatura constante. E em uma transformação isotérmica: 
∆S = ∫
dQ
T
C
H
=
Q
T
 
Logo: 
a) ∆S = ∆Sc + ∆SH =
Q
TC
−
Q
TH
= 260 (
1
100
−
1
400
) = 1,95 J/K 
O calor que sai da fonte quente, pela convenção adotada neste libro, recebe sinal negativo. 
b) ∆S = ∆Sc + ∆SH =
Q
TC
−
Q
TH
= 260 (
1
200
−
1
400
) = 0,65 J/K 
c) ∆S = ∆Sc + ∆SH =
Q
TC
−
Q
TH
= 260 (
1
300
−
1
400
) = 0,22 J/K 
d) ∆S = ∆Sc + ∆SH =
Q
TC
−
Q
TH
= 260 (
1
360
−
1
400
) = 0,07 J/K 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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Exemplo 3: Uma máquina que executa o Ciclo de Carnot absorve 200 J de um reservatório a 
TH =500 K, realiza trabalho e rejeita calor em uma fonte fria a Tc =200 K. Determine a variações 
de entropia (a) da fonte quente, (b) da fonte fria e (c) damáquina constituída de processos 
reversíveis. 
eCarnot = 1 −
Tc
TH
= 1 −
200
500
= 0,6 = 60% 
O trabalho total realizado pela máquina é 
eCarnot =
W
QH
∴ W = eCarnotQH = 0,6 × 200 = 120J 
A variação da entropia na fonte quente é 
∆SH =
−QH
TH
=
−200
500
= −0,4 J/K 
A variação da entropia na fonte fria é 
∆SC =
Qc
Tc
=
QH − W
Tc
=
200 − 120
200
= 0,4 J/K 
A máquina de Carnot opera em ciclos, na qual os estados finais e iniciais são idênticos e, portanto, 
a variação da entropia durante sua operação é nula. 
∆S𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 = 0 
A variação a entropia do sistema (máquina) e da vizinhança (reservatórios) é nula pois: 
∆S𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = ∆S𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡 + ∆SC + ∆SH = 0 + 0,4
J
K
− 0,4
J
K
= 0 
 
Exemplo 4: Um cubo de gelo de 10 g a -10 oC é descartado em um lago cuja temperatura é de 15 
oC. Calcule a variação da entropia do sistema quando o cubo de gelo atingir o equilíbrio térmico 
com o lago. O calor específico do gelo é 0,50 Cal/g oC, da água é 1,0 Cal/g oC e o calor latente de 
fusão da água é LF = 80 cal/g. 
Considerando que a massa de água do lago é muito maior que a massa do cubo de gelo, o gelo 
inicialmente se aquecerá e posteriormente se fundirá e esta massa de água entrará em equilíbrio 
com a água do lago a uma temperatura semelhante à do lago, ou seja, em 288 K. Logo 
∆Sgelo = ∫ (
mcgelodT
T
+
mgeloLF
T
)
273 
263
 + ∫
mcáguadT
T
288
273
 
∆Sgelo = 10g × 0,50cal/gK × ln (
273
263
) +
10g × 80cal/g
273 K
+ 10g × 1,0cal/gK × ln (
288
273
) 
∆Sgelo = 3,66 cal/K 
O lago cede um calor para o gelo aquecer, se fundir e posteriormente para aquecer a água do gelo 
fundido. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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∆Slago =
Qlago
T
=
mcgelo∆T + mgeloLF + mcágua∆T
T
 
∆Qlago = 10g × 0,50cal/gK × (273 − 263) + 10g × 80cal/g + 10g × 1,0cal/gK(288 − 273) 
∆Slago =
−1000 cal
288 K
= −3,47cal/K 
∆S = ∆Sgelo + ∆Slago = (3,66 − 3,47)
cal
K
 
∆S = 0,19
cal
K
 
A variação positiva da entropia é um resultado esperado, pois a entropia sempre aumenta em 
transformações irreversíveis. 
1.6 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica 
Em todos os processos vistos até agora neste capitulo as variações de entropia dos sistemas somadas 
ao ambiente, que podemos generalizar e chamar como variação da entropia universo, sempre foi 
positiva ou nula. Com base nisto podemos enunciar a segunda lei da termodinâmica em termos da 
entropia: 
Para qualquer processo termodinâmicaque saia de um estado para o outro estado 
termodinâmico de equilíbrio, a entropia do universo, isto é, do sistema mais sua 
vizinhança, aumenta (se o processo for irreversível) ou permanece constante (se o 
processo for reversível). Logo, 
∆𝑆𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 ≥ 0 
Nos processos reversíveis, como é o caso da máquina de Carnot, a entropia total não se altera, isto é, 
a soma da variação de entropia da máquina e da vizinhança, ou seja máquina e dos reservatórios 
quentes e frios, é nula. Nos processos irreversíveis, é possível a entropia da vizinhança do sistema 
termodinâmico diminuir porem a entropia da vizinhança do sistema termodinâmico irá aumentar de 
modo que quando descontada a variação de entropia do sistema a variação liquida sempre será maior 
do que zero. 
Vamos verificar algumas situações de uso da Segunda Le da Termodinâmica em termos da entropia. 
1. O enunciado de Kelvin - Planck afirma que não há máquina perfeita, isto é, máquina que 
transforma 100 % de calor em trabalho. Se uma destas máquinas existisse, a fonte quente 
libera calor para a máquina resultando na variação negativa de entropia na fonte quente dada 
por: 
 ∆𝑆𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = −
𝑄𝐻
𝑇𝐻
 (1.16) 
A máquina, opera em ciclos nos quais o estado final e o estado inicial são idênticos, logo com 
variação de entropia nula. Depois da realização do trabalho, á máquina não libera calor para 
a fonte fria, portanto a fonte fria também não experimentaria variação de entropia. Ou seja: 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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 ∆𝑆𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 = ∆𝑆𝑓𝑟𝑖𝑎 = 0 
(1.17) 
A variação total de entropia desse universo seria: 
∆𝑆𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = ∆𝑆𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 + ∆𝑆𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 + ∆𝑆𝑓𝑟𝑖𝑎 = −
𝑄𝐻
𝑇𝐻
 < 0 
Ou seja, a variação total de entropia máquina + vizinhança seria negativa, violando assim a 
Segunda Le da Termodinâmica em termos da entropia. 
2. O enunciado de Clausius afirma que não é possível o calor fluir de um corpo para outro mais 
quente de forma natural. Vamos supor que exista uma máquina que consiga tirar calor de 
uma fonte fria e libera-lo para uma fonte quente sem dispêndio de energia, isto é, de forma 
natural. A variação de entropia da fonte fria é: 
 ∆𝑆𝑓𝑟𝑖𝑎 = −
𝑄𝑐
𝑇𝑐
 (1.18) 
A variação de entropia que a máquina libera para a fonte quente é: 
 ∆𝑆𝑞𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 =
𝑄𝐻
𝑇𝐻
 (1.19) 
A variação total de entropia é 
 ∆𝑆𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = (
𝑄𝐻
𝑇𝐻
−
𝑄𝐶
𝑇𝐶
) (1.20) 
Como a máquina não “necessita" de energia para tirar o calor da fonte fria e levá-lo para a 
fonte quente, conforme hipótese inicial, I𝑄𝐻l = I𝑄𝐶 l = 𝑄, dai então: 
 ∆𝑆𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 𝑄𝐵 (
1
𝑇𝐻
−
1
𝑇𝐶
) (1.21) 
Como TH é maior que TC, a variação total de entropia é negativa neste hipotético refrigerador 
perfeito, violando assim a Segunda Le da Termodinâmica em termos da entropia. 
3. Entropia e a indisponibilidade de energia para realização de trabalho é outra ligação entre 
irreversibilidade e a segunda lei. Quando há um fluxo de calor de uma fonte quente para um 
reservatório de temperatura inferior um trabalho termodinâmico poderá ocorrer se entre a 
fonte quente e o reservatório de baixa temperatura for colocada uma máquina térmica. 
Porém se as fontes entram em equilíbrio térmico em qualquer temperatura, e o fluxo de calor 
cessa, perde-se a oportunidade para a realização de trabalho. Ou seja, embora a fonte quente 
esteja a uma temperatura T > 0 K, sua energia interna fica indisponível para a realização de 
trabalho. 
4. A entropia e probabilidade também podem ser inter-relacionadas. Já vimos que a entropia 
representa o grau de desordem de um sistema. Um sistema está ordenado apenas de uma 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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forma e desordenado de infinitas formas. Assim, o estado ordenado tem probabilidade 
relativamente baixa de ser verificado quando comparado com a probabilidade de se observar 
os estados desordenados. Os processos termodinâmicos irreversíveis são processos que 
apresentam maior probabilidade de ocorrer enquanto que os processos reversíveis 
apresentam menor probabilidade de ocorrência, sendo de fato improváveis. Boltzmann 
propôs uma relação entre probabilidade de um certa estado e/ou configuração ser observado 
() e entropia (S), da seguinte forma: 
 𝑆 = 𝑘 ln 𝜔 (1.22) 
sendo k a constante de Boltzmann (k = 1,38 x 10-23 J/K). Quando uma situação se caracteriza 
como plenamente possível de ocorrer,  = 1, tem-se que S = k ln(1)=0. Isto é, entropia do 
estado completamente ordenado é zero. 
 
Exemplo 5: Um mol de gás ideal monoatômico é forçado a completar o ciclo mostrada abaixo. 
 
Qual é o trabalho efetuado pelo gás na dilatação de a até c pelo caminho abc? 
Wabc = Wab+ Wbc; Wbc = 0 
Wabc = Wab = P(4Vo − Vo) = 3PVo 
 
Qual a variação da a energia interna e entropia ao passar do estado b para o estado c? 
Ta =
PVo
R
 
Ta
V0
=
Tb
4V0
∴ Tb = 4Ta =
4PVo
R
 
Tb
p
=
Tc
2p
∴ Tc = 2Tb = 8Ta =
8PVo
R
 
∆Ubc = nCv(Tc − Tc) =
3
2
R(8 − 4)Ta = 6RTa = 6PVo 
∆Sbc = nCv ∫
dT
T
= nCv Ln (
Tc
Tb
) =
3
2
R Ln 2 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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Qual é a variação da energia interna e da entropia em um ciclo completo? 
∆Uabc = ∆Uab + ∆Ubc + ∆Uca 
∆Uabc = nCv(Tb − Ta) + nCv(Tc − Tb) + nCv(Ta − Tc) 
∆Uabc =
3
2
 ((
4PVo
R
−
PVo
R
) + (
8PVo
R
−
4PVo
R
) + (Ta −
8PVo
R
)) 
∆Uabc =
3
2
 (
3PVo
R
+
4PVo
R
−
7PVo
R
) = 0 
Como o processo ca não é conhecido, podemos substituí-lo pelo processo cda indicado na figura. 
Assim, 
Td =
2PVo
R
 
∆Sabcd = ∆Sab + ∆Sbc + ∆Scd + ∆Sda 
∆Sabcd = nCv ∫
dT
T
Tb
Ta
+ nCv ∫
dT
T
Tc
Tb
+ nCv ∫
dT
T
Td
Tc
+ nCv ∫
dT
T
Ta
Td
 
∆Sabcd =
5
2
R(Ln4 + ln2 − ln4 − ln2) = 0 
 
1. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO: ENTROPIA 
1.1 Decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique suas respostas 
( ) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula 
( ) 𝑑𝑆 =
𝑑𝑄 
𝑇
 é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica. 
( ) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema. 
( ) A variação de entropia depende do caminho. 
( ) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero. 
( ) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que U=0 nesta 
fonte. 
( ) A entropia nunca diminui em um processo reversível. 
( ) A entropia nunca diminui em um processo irreversível. 
( ) A entropia do universo sempre aumenta. 
( ) É impossível a ocorrência espontânea de um processo onde a entropia diminui. 
( ) Em processos irreversíveis as variações positivas de entropia sempre superam as negativas. 
( )Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui. 
( ) Entropia é uma grandeza que pertence a cada partícula individualmente. 
( )Para um dado estado macroscópico podem haver vários estados microscópicos correspondentes 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
14 
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1.2 A Lei Zero da Termodinâmica define: (a) Entropia (b) Temperatura (c) Energia interna (d) Fluxo de 
calor 
1.3 A Primeira Lei da Termodinâmica define: (a) Entropia (b) Temperatura (c) Energia interna (d) 
Fluxo de calor 
1.4 A Segunda Lei da Termodinâmica diz que é impossível: (a)A variação da energia interna ser igual a 
zero.(b) Conversão total de trabalho em calor (c) Criação ou destruição de energia (d) Conversão 
total de calor em trabalho útil 
1.5 Sobre a entropia de um sistema, é correto afirmar que: (a) Nunca pode ser negativa. (b) Nunca 
pode diminuir (c) Pode variar em um sistema isolado (d) Suavariação independe do processo. 
1.6 Em um processo de expansão livre de um estado a para um estado b é correto afirmar que: (a) a 
entropia e a energia interna não se alteram (b) a variação da entropia é a mesma que ocorreria em 
uma expansão reversível, enquanto a variação de energia interna é nula (c) As variações de energia 
interna e de entropia são positivas. (d) A variação de energia interna é menor que zero e a variação 
de entropia é maior que zero. 
1.7 A entropia pode diminuir (a) Em um processo cíclico (b) Apenas em um sistema submetido a um 
processo idealizado, para o qual a segunda lei não é válida. (c) Dentro de um sistema preparado 
adequadamente e submetido a um processo irreversível (d) Dentro de um sistema preparado 
adequadamente e submetido a um processo reversível. 
1.8 Não violaria a segunda lei da termodinâmica, um processo de: (a) Compressão espontânea do ar 
em uma sala; (b) A água dentro de um copo sobre a mesa começar a congelar espontaneamente 
(c) Fluir calor da Terra para o Sol (d) Uma lata de Coca-Cola entrar em equilíbrio térmico com o 
gelo dentro de um recipiente fechado de isopor. 
1.9 Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa”. Qual é a probabilidade 
de que ambas exibam “cara”? 
1.10 Suponha que três moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa. ”? Qual é o resultado 
mais provável dessa jogada? 
1.11 Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em qual 
configuração? (a) Todas exibindo cara (b) Todas exibindo coroa (c) 1 cara e 3 coroas (d) 1 coroa e 
3 caras. Justifique sua resposta 
1.12 Em um jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe diz que 
obteve 4 caras, facilmente você pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu colega 
lhe dissesse que a configuração é de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a moeda 
azul? Você poderia responder com certeza a essa pergunta? 
1.13 Se um determinado número de moléculas confinados num cilindro se expandem em uma sala, 
o número de posições onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui? Justifique? 
1.14 Aumenta-se a temperatura de um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na 
distribuição de velocidades das moléculas? O que se pode afirmar sobre o número de posições 
possíveis que as moléculas podem ocupar dentro do êmbolo antes e depois do aquecimento? 
1.15 Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30 oC para 17 oC. Responda: (a) 
A variação de entropia na sala é positiva? (b) Isso viola a 2ª Lei? Explique. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
15 
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1.16 Existe alguma variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Justifique. 
 
1.7 Exercício de Fixação 
1.7.1 Qual é a variação sofrida por 1,0 kg de água ao se transformar em vapor a 100º C a uma 
pressão de 1 atm. 
1.7.2 Calcule a variação de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 kg de água a 20,0 oC com 
2,00 kg de água a 80,0 oC . 
1.7.3 Em um processo reversível três moles de um gás ideal são comprimidos isotermicamente a 
20,0 oC. Durante a compressão um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás. Qual é a variação de 
entropia do gás? 
1.7.4 Um gás ideal sofre uma dilatação isotérmica reversível a 132 oC. A entropia do gás aumenta 
de 46,2 J/K. Qual é o calor absorvido? 
1.7.5 Uma mistura de 1,78 kg de água e 262 g de gelo a 0 oC é levada, por processo reversível, para 
um estado final de equilíbrio a 0 oC onde a razão das massas de gelo/água é: 1:1. (a) Calcule a variação 
de entropia do sistema durante o processo. (b) O sistema retorna ao primeiro estado de equilíbrio por 
um processo irreversível. Calcule a variação de entropia durante este processo. (c) Mostre que sua 
resposta é consistente com a segunda lei da termodinâmica. 
1.7.6 Um cubo de gelo de 12,6 g a -10,0 oC é colocado em um lago cuja temperatura é +15,0 oC. 
Calcule a mudança de entropia do sistema quando o gelo alcançar o equilíbrio térmico com o lago 
(sugestão: o gelo afetará a temperatura do lago?) 
1.7.7 Uma amostra de 1 kg de cobre, a 100 oC, é colocada num calorímetro com 4 litros de água a 
0º C. A capacidade calorífica do calorímetro é desprezível. Calcule a variação da entropia (a) do cobre; 
(b) da água; (c) do universo. 
1.7.8 Se 500J de calor são transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda: (a) 
Qual é a variação de entropia do universo? (b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em 
trabalho? 
1.7.9 Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200J de outra fonte a 400 K. 
Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100 J de trabalho e descarregando 400 J de calor em um 
reservatório na temperatura T. (a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo? 
Qual é a temperatura T do reservatório? 
1.7.10 Calcule a variação de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de água a 
100 oC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível contendo 
150g de água e 150g de gelo a 0 oC. 
1.7.11 Construa diagramas T x S de acordo com os gráficos p x V. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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1.7.12 Seja 𝜔 o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico. 
Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscópico é dada por 𝑆 = 𝑘 ln 𝜔. Onde k é a 
constante de Boltzmann. Como entropia é uma variável de estado (ou seja, em qualquer processo a 
variação da entropia é o que interessa) podemos dizer que: 
∆𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 
∆𝑆 = 𝑘 ln 𝑤2 − 𝑘 ln 𝑤1 
∆𝑆 = 𝑘 ln
𝑤2
𝑤1
 
considere que n moles de um gás estão a temperatura T confinados em uma caixa termicamente 
isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em 
um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a parede e o gás se expande e preenche 
completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação de entropia nesse processo de 
expansão livre, usando a definição microscópica da entropia dada acima. 
1.8 Problemas 
1.8.1 Um mol de um gás ideal monoatômico é obrigado a completar o ciclo mostrado na figura. Em 
termos da pressão p0 e do volume V0 responda: 
 
(a) Qual é o trabalho efetuado sobre o gás na dilatação de a até c pelo caminho abc? 
(b) Qual é a variação da energia interna e da entropia ao passar de b para c? 
(c) Qual é a variação da energia interna e da entropia em um ciclo completo? 
1.8.2 Um mol de um gás monoatômico ideal passa por dois processos diferentes, de um estado 
inicial cuja pressão é p0 e volume V0 para um estado final de pressão 2p0 e volume 2V0. No processo 
(1) o gás se dilata isotermicamente até que o volume dobre e então a pressão é aumentada, a volume 
constante, até atingir o estado final. NO processo (2) Ele é comprimido isotermicamente até que sua 
pressão dobre e então seu volume é aumentado a pressão constante até o estado final. Represente 
os dois processos num diagrama pV. Calcule, para cada processo, em termos de p0 e V0: 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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(a) O calor absorvido pelo gás em cada parte do processo. 
(b) O trabalho realizado sobre o gás em cada parte do processo 
(c) A variação de energia interna do gás 
(d) A variação de entropia do gás 
1.8.3 Faça um gráfico do ciclo de Carnot indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura 
Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperatura–entropia ou diagrama TS. 
(a) Mostre que a área embaixo da curva que representa o processo reversível no diagrama TS 
representa o calor absorvido pelo sistema. 
(b) Utilize o diagramaTS para deduzir a eficiência térmica do ciclo de Carnot. 
1.8.4 O ciclo de Stirling é semelhante ao ciclo de Otto exceto que a compressão e a expansão do 
gás ocorrem isotermicamente e não adiabaticamente. No ciclo, o fluido de trabalho realiza uma 
compressão isotérmica à temperatura T1 do estado inicial a até o estado b, com uma razão de 
compressão r; aquecimento a volume constante até o estado c com temperatura T ; expansão 
isotérmica à temperatura T2 até o estado d; resfriamento a volume constante retornando para o 
estado inicial a conforme indicado na figura do problema. Suponha que o fluido de trabalho seja n 
moles de um gás ideal (para o qual Cv não depende da temperatura). 
1.7.13 
(a) Calcule Q, W, e ΔU para os processos a → b, b → c, c → d, d → a. 
(b) Calcule a eficiência de um ciclo de Stirling em termos de temperaturas T1 e T2. 
(c) No inicio do ciclo de Stirling, os calores transferidos nos processos b → c, d → a não envolvem 
fontes de calor externas, porém usam a regeneração: a mesma substância que transfere calor 
do gás dentro do cilindro no processo b → c também absorve calor de volta do gás no 
processo d → a. Portanto os calores transferidos Q b → c e Q d → a não desempenham papel 
na determinação da eficiência da máquina. Explique esta última afirmação comparando as 
expressões de Q b → c e Q d → a obtidas no problema anterior. 
(d) Como ele se compara com as eficiências de um ciclo de Carnot operando entre estas mesmas 
temperaturas? (Historicamente o ciclo de Stirling foi deduzido antes do ciclo de Carnot). 
(e) Este resultado viola a segunda lei da termodinâmica? Explique. 
(f) Usando um diagrama T x S relacione a eficiência do ciclo de Stirling com a eficiência do ciclo 
de Carnot. 
1.8.5 Considere dois processos abaixo: 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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I. Um corpo se move inicialmente com 500 J de energia cinética e é desacelerado até repouso 
pelo atrito quando a temperatura da atmosfera é de 300K. 
II. 1 kJ de calor é transferido de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300k 
 
(a) Calcule e compare as energias envolvidas em cada processo. 
(b) Calcule a variação de entropia do universo em cada um dos processos. 
 
RESPOSTAS: Atividades de auto avaliação 
QH ou QA ou Qentra Calor ligado a fonte quente 
QC ou QB ou Qsai Calor ligado a fonte fria 
TC ou TB Temperatura da fonte fria 
TH ou TA Temperatura da fonte quente 
Q > 0 Calor entrando na máquina ou sistema 
Q < 0 Calor saindo da máquina ou sistema 
W > 0 Trabalho realizado pelo sistema 
W < 0 Trabalho realizado sobre o sistema 
 
1. ATIVIDADES PARA AUTO AVALIAÇÃO: ENTROPIA 
1.1 Decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique suas respostas. 
(V) No zero absoluto a energia interna de um sistema é nula. 
Não, a física quântica mostra que mesmo no zero absoluto há uma energia interna mínima. 
(V) dS =
dQ 
T
 é uma expressão quantitativa da 2ª Lei da Termodinâmica. 
Até agora a segunda lei havia sido expressa em termos de “impossibilidades”. Para formulá-la em 
termos quantitativos usamos o conceito de entropia S, como expresso acima. A entropia relaciona-se 
com a probabilidade de um sistema estar numa dada configuração em função do número de 
possibilidades de configuração que esse sistema possa ter. 
(F) Quanto mais próximo de Zero Kelvin, mais fácil é abaixar a temperatura de um sistema. 
Pelo contrário, se torna mais difícil abaixar a temperatura de um sistema à medida que se diminui a 
temperatura. Como mostra a 3ª lei da termodinâmica, é impossível atingir o zero absoluto através de 
um número finito de processos cíclicos. 
(F) A variação de entropia depende do caminho. 
Não, entropia é uma variável de estado e, portanto, depende apenas do estado inicial e final do 
sistema 
(V) A variação de entropia em um processo cíclico é igual a zero. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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Sim, a entropia só depende do estado final e inicial, portanto sua variação é nula em um ciclo, pois o 
estado inicial e final coincidem. 
(F) Sabendo que a temperatura da fonte quente permanece inalterada, pode-se dizer que U=0 nesta 
fonte. 
Somente para gases ideias observamos que a energia interna depende apenas da temperatura. Ou 
seja, a afirmação não pode ser generalizada. 
(F) A entropia nunca diminui em um processo reversível. 
Em sistemas preparados adequadamente a variação da entropia pode assumir qualquer valor, 
inclusive negativo. Por exemplo, a entropia diminui durante uma compressão isotérmica de um gás 
ideal (processo reversível). 
(F) A entropia nunca diminui em um processo irreversível. 
A variação TOTAL de entropia durante qualquer processo irreversível é positiva. Em sistemas 
preparados adequadamente a variação da entropia pode assumir qualquer valor, inclusive negativo. 
Por exemplo, a entropia diminui durante uma compressão isovolumétrica de um gás (processo 
irreversível). 
(V) A entropia do universo sempre aumenta. 
A variação TOTAL de entropia em processos reversíveis é igual a zero. A variação TOTAL de entropia 
em processos irreversível é sempre positiva. Como todo processo natural é irreversível a entropia 
TOTAL do universo sempre aumenta. 
(V) É impossível a ocorrência espontânea de um processo onde a entropia diminui. 
Como todo processo natural é irreversível, todo processo espontâneo sempre ocorre no sentido do 
aumento da entropia. 
(V) Em processos irreversíveis as variações positivas de entropia sempre superam as negativas. 
Em processos irreversíveis ocorrem tanto variações positivas quanto negativas de entropia, no 
entanto a variação TOTAL é sempre positiva. 
(V) Quando a entropia aumenta a disponibilidade de energia diminui. 
Isso é uma consequência da segunda lei da termodinâmica. A transformação de energia mecânica em 
calor é um processo irreversível, portanto a energia convertida em calor não fica integralmente 
disponível para a realização de trabalho. 
(F) Entropia é uma grandeza que pertence a cada partícula individualmente. 
Não faz sentido falar de entropia de uma partícula. Entropia relaciona-se com a probabilidade de um 
sistema estar numa dada configuração em função do número de possibilidades de configuração que 
esse sistema possa ter. 
(V) Para um dado estado macroscópico podem haver vários estados microscópicos correspondentes 
Sim, há várias formas de configuração microscópicas que resultam na mesma configuração 
macroscópica 
1.2 A Lei Zero da Termodinâmica define: Temperatura 
1.3 A Primeira Lei da Termodinâmica define: Energia interna 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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1.4 A Segunda Lei da Termodinâmica diz que é impossível: Conversão total de calor em trabalho. 
1.5 Sobre a entropia de um sistema, é correto afirmar que: Sua variação independe do processo. 
1.6 Em um processo de expansão livre de um estado a para um estado b é correto afirmar que: a 
variação da entropia é a mesma que ocorreria em uma expansão reversível, enquanto a variação 
de energia interna é nula. 
1.7 A entropia pode diminuir: dentro de um sistema preparado adequadamente e submetido a um 
processo irreversível e dentro de um sistema preparado adequadamente e submetido a um 
processo reversível. 
1.8 Não violaria a segunda lei da termodinâmica um processo no qual uma lata de Coca-Cola entra 
em equilíbrio térmico com o gelo dentro de um recipiente fechado de isopor. 
1.9 Suponha que duas moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa”. Qual é a probabilidade 
de que ambas exibam “cara”? 
Só há uma configuração possível para que isso ocorra (veja tabela). O mesmo vale para se obter ambas 
com “coroa”. Noentanto existem duas maneiras distintas de se obter uma “cara” e uma “coroa”. 
Existem ao todo 4 possibilidades de configuração, em duas delas o sistema exibe 1 cara e 1 coroa é, 
portanto esse deve ser o resultado mais provável. 
Configuração microscópica do 
sistema “2 moedas” 
Possibilidades 
microscópicas 
Nº de possibilidades 
microscópicas para um 
mesmo estado macroscópico 
2 caras 
 
1 cara e 1 coroa 
 
2 coroas 
 
1 
 
2 
 
1 
1.10 Suponha que três moedas sejam lançadas num jogo de “cara” e “coroa. ”? Qual é o resultado 
mais provável dessa jogada? Pela tabela abaixo , vemos que existem 3 possibilidades de se obter 
2 caras e 3 possibilidades de se obter 2 coroas. Essas duas configurações são as que tem a maior 
probabilidade de ocorrer quando se lança 3 moedas 
Configuração microscópica 
do sistema “3 moedas” 
Possibilidades 
microscópicas 
Nº de possibilidades 
microscópicas para um 
mesmo estado macroscópico 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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3 caras 
 
2 caras e 1 coroa 
 
 
1 cara e 2 coroas 
 
 
3 coroas 
 
1 
 
3 
 
 
3 
 
 
1 
1.11 Em um jogo com seu colega, no qual fossem lançadas quatro moedas, você apostaria em qual 
configuração? Escolheria 2 coroas e 2 caras. Por que existe mais chance de ocorrer essa quando 
comparado às demais possibilidades. 
1.12 Em um jogo seu colega lança 4 moedas , sendo que uma foi pintada de azul. Ele lhe diz que 
obteve 4 caras, facilmente você pode dizer que a moeda azul saiu exibindo cara. Caso seu colega 
lhe dissesse que a configuração é de 2 caras e 2 coroas, e lhe perguntasse: Como está a moeda 
azul? Você poderia responder com certeza a essa pergunta? 
Quando as moedas caem todas exibindo cara é evidente a configuração de cada moeda 
individualmente. Isso não ocorre quando elas caem 2 caras e 2 coroas. A moeda azul pode estar entre 
as duas que caíram exibindo cara ou entre as duas que caíram exibindo coroa; não há como afirmar 
com certeza a posição de nenhuma das moedas individualmente 
1.13 Se um determinado número de moléculas confinados num cilindro se expandem em uma sala, 
o número de posições onde ela pode ser encontrada aumenta ou diminui? Justifique? 
O número de posições aumenta, já que ela tem mais espaço para percorrer. A princípio uma molécula 
poderia ser encontrada com certeza dentro do cilindro, em alguma posição daquele pequeno espaço. 
Após a expansão ela poderá estar em qualquer posição dentro de todo o espaço da sala. 
1.14 Aumenta-se a temperatura de um certo gás confinado em um êmbolo. Como isso interfere na 
distribuição de velocidades das moléculas? O que se pode afirmar sobre o número de posições 
possíveis que as moléculas podem ocupar dentro do êmbolo antes e depois do aquecimento? 
O aumento de temperatura, como já foi visto anteriormente, aumenta a energia interna do sistema. 
Assim, tendo maior energia interna um maior número de moléculas poderá ocupar as posições 
possíveis e disponíveis para o gás dentro do êmbolo depois do aquecimento. 
1.15 Liga-se um ar condicionado em uma sala e a temperatura cai de 30 oC para 17 oC. Responda: (a) 
A variação de entropia na sala é positiva? (b) Isso viola a 2ª Lei? Explique. 
Sim. A entropia diminui, pois, no processo irreversível, é retirado calo do ambiente. Isso não viola a 
segunda lei pois esse calor é jogado no ambiente externo juntamente com aquele descartado pelo 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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sistema de refrigeração devido a transformação de trabalho (operação dos compressores) em calor e 
que permite o sistema de refrigeração operar. Logo, o ambiente externo recebe uma quantidade 
muito maior de calor do que aquela retirado do ambiente interno e, portanto, sofre um aumento de 
entropia maior que aquele relacionado à redução de entropia dentro do ambiente. Assim, como 
esperado para a segunda lei da Termodinâmica, a variação total da entropia no universo é positiva. 
1.16 Existe alguma variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Não. A variação de 
entropia ocorre apenas quando existir transferência de calor 
RESPOSTAS: Exercício de Fixação 
1.7.1 Qual é a variação sofrida por 1,0 kg de água ao se transformar em vapor a 100º C a uma 
pressão de 1 atm. 
Encontre o valor de Q pela expressão V
mLQ =
 já que se trata de um processo de vaporização. 
Q =1kg 2256´103 J / kg.K( ) =2256kJ
 
Com esse valor e com a temperatura em Kelvin, pode-se calcular a variação de entropia envolvida 
no processo: 
DS =
Q
T
=
2256x103 J
373K
=6,05´103 J /K
 
1.7.2 Calcule a variação de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 kg de água a 20,0 oC com 
2,00 kg de água a 80,0 oC . 
Cálculo da Temperatura de equilíbrio TE 
 
( ) ( )KT
Kkg
JkgQ Ecedido 353.
419000,2 −




=
 
( ) ( )Erecebido TKKkg
JkgQ −




= 293
.
419000,1
 
 
Q cedido = Q recebido KTE 333= 
Quando ocorre variação de temperatura, o cálculo de variação da entropia imaginando-se um 
processo reversível que ocorra entre os dois estados. Ou seja, 
  ===
2
1
2
1
2
1
1
2ln
t
t
t
t
t
t
T
T
mc
T
dT
mc
T
mcdT
T
dQ
S
 
( ) )
353
333
)(ln
.
4190)(00,2(º20
K
K
Kkg
JkgS Cagua =
 
( ) KJS Cagua /488º20 −= 
( ) )
293
333
)(ln
.
4190)(00,1(º80
K
K
Kkg
JkgS Cagua =
 
( ) KJS Cagua /536º80 = 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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( ) KJS Total /48488536 =−= 
1.7.3 Em um processo reversível três moles de um gás ideal são comprimidos isotermicamente a 
20,0 oC. Durante a compressão um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás. Qual é a variação de 
entropia do gás? 
Para uma expansão isotérmica, T = 0, U = 0 e Q = W. A variação de entropia é dada por 
 
∆𝑆 =
𝑄
𝑇
=
𝑊
𝑇
=
−1850 𝐽
295,15
= − 6,31 
𝐽
𝐾⁄ 
 
1.7.4 Um gás ideal sofre uma dilatação isotérmica reversível a 132 oC. A entropia do gás aumenta 
de 46,2 J/K. Qual é o calor absorvido? 
∆𝑆 =
𝑄
𝑇
 ∴ 𝑄 = 𝑇Δ𝑆 = 405,13 × 46,2
𝐽
𝐾
= 18,7 𝐾𝐽 
1.7.5 Uma mistura de 1,78 kg de água e 262 g de gelo a 0 oC é levada, por processo reversível, para 
um estado final de equilíbrio a 0 oC na qual a razão das massas de gelo/água é: 1:1. (a) Calcule a 
variação de entropia do sistema durante o processo. (b) O sistema retorna ao primeiro estado de 
equilíbrio por um processo irreversível. Calcule a variação de entropia durante este processo. (c) 
Mostre que sua resposta é consistente com a segunda lei da termodinâmica. 
(a) É necessário encontrar o fluxo de calor do processo 
𝑄 = 𝐿𝑓𝑚 
759g de água congelam no processo, ou seja, perdem calor 
𝑄 = − (334 × 103
𝐽
𝐾𝑔
) (759 × 10−3 𝐾𝑔) = −253,51 𝐾𝐽 
∆𝑆 =
𝑄
𝑇
 =
−253,51 𝐾𝐽
273,15
= − 928 
𝐽
𝐾⁄ 
A entropia nesse caso é negativa, por ser um processo reversível, no qual retira-se calor do 
sistema. 
(b) variação da entropia só depende dos estados inicial e final, portanto ao retornar ao estado 
de equilíbrio por processo irreversível a entropia aumentará de 928 J/K. 
(c) A variação da entropia é negativa quando retiramos calor da água para que ela se congele e 
positiva quando o gelo recebe calor para se liquefazer. Ambos processos sofrem a mesma 
variação de entropia com sinal oposto e, portanto, a variação de entropia no sistema água + 
gelo é nula. Porém para congelar a água foi necessário a realização de trabalho de uma 
máquina para retirada de calor. Ou seja, a vizinhança também sofre uma variação de entropia. 
Portanto, a variação de entropia no universo (sistema e vizinhança / agua+ gelo e máquina) 
é positiva. 
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
24 
______ 
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1.7.6 Um cubo de gelo de 12,6 g a -10,0 oC é colocado em um lago cuja temperatura é +15,0 oC. 
Calcule a mudança de entropia do sistema quando o gelo alcançar o equilíbrio térmico com o lago 
(sugestão: o gelo afetará a temperatura do lago?) 
É claro que um cubo de gelo não vai mudar a temperatura do lago inteiro. O gelo vai absorver calor 
para derreter e ter sua temperatura final elevada até 15ºC. As variações de entropia correspondentes 
são: 
∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
𝐴𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
= 𝑚𝑐𝑔𝑒𝑙𝑜 ∫
𝑑𝑇
𝑇
𝑡𝑓
𝑇𝑖
= (0,0126 𝐾𝑔) (2100
𝐽
𝐾 𝑘𝑔
) ln (
273,15 𝐾
263 𝐾
) = 0,99 𝐽/𝐾 
∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
𝑓𝑢𝑠ã𝑜
=
𝑚𝐿𝑓
𝑇
=
(0,0126 𝐾𝑔) (333 000 
𝐽
𝐾)
273,15 𝐾
= 15,4 𝐽/𝐾 
∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
á𝑔𝑢𝑎
= 𝑚𝑐á𝑢𝑎 ∫
𝑑𝑇
𝑇
𝑡𝑓
𝑇𝑖
= (0,0126 𝐾𝑔) (4190
𝐽
𝐾 𝑘𝑔
) ln (
288 𝐾
273,15 𝐾
) = 2,82
𝐽
𝐾
 
 
∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜+𝑎𝑔𝑢𝑎 = ∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
𝐴𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
+ ∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
𝑓𝑢𝑠ã𝑜
+ ∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜
á𝑔𝑢𝑎
= 0,99 + 15,37 + 2,82 = 19,2 𝐽/𝐾 
 
O calor cedido pelo lago para o aquecimento/derretimento do gelo será: 
𝑄𝑙𝑎𝑔𝑜 = (0,0126 𝐾𝑔) [(2100
𝐽
𝑘𝑔𝐾
) (10 𝐾) + 333 000 
𝐽
𝐾𝑔
+ (4190
𝐽
𝑘 𝐾𝑔
) (15 𝐾)] = −5252 𝐽 
A variação de entropia do lago vai ser: 
 
∆𝑆𝑙𝑎𝑔𝑜 = 
− 5252 𝐽
288,13𝐾
= −18,2 𝑗/𝐾 
 
A variação da entropia do sistema será 
 
∆𝑆 = ∆𝑆𝑔𝑒𝑙𝑜+𝑎𝑔𝑢𝑎 + ∆𝑆𝑙𝑎𝑔𝑜 = 19,2
𝐽
𝐾
− 18,2
𝑗
𝐾
= 1,0 𝐽/𝐾 
 
1.7.7 Uma amostra de 1 kg de cobre, a 100 oC, é colocada num calorímetro com 4 litros de água a 
0º C. A capacidade calorífica do calorímetro é desprezível. Calcule a variação da entropia (a) do cobre; 
(b) da água; (c) do universo. 
recebidocedido QQ = 
1´0,386 100- T( ) = 4´ 4,190 T -0( )\T = 2,26ºC = 275,4K
 
Cobre 
i
F
cobrecobrecobre
T
T
cmS ln=
 
KJS
S
cobre
cobre
/117
373
4,275
ln386,0
−=
=
 
Água 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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i
F
aguaaguaagua
T
T
cmS ln=
 
 
Universo (Processo irreversível) 
cobreaguauniverso SSS += 
0
/20117137

=−=
+=
universo
universo
cobreaguauniverso
S
KJS
SSS
 
1.7.8 Se 500J de calor são transferidos de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300 K, responda: (a) 
Qual é a variação de entropia do universo? (b) Que parcela dos 500J pode ser transformada em 
trabalho? 
A entropia do Universo é a soma das entropias da fonte quente com a da fonte fria 
KJS
T
Q
T
Q
S
SSS
universo
CH
universo
CHuniverso
/417,0
300
1
400
1
500 =





+−=
+
−
=
+=
 
25,0
400
300
1
1
=−=
−=
e
T
T
e
H
C
 
Por fim, calcule o trabalho usando a expressão: HeQW = 
W = 0,25 500( ) =125 J
 
1.7.9 Um sistema absorve 300 J de calor de uma fonte a 300 K e 200J de outra fonte a 400 K. 
Retorna, então, ao estado inicial, efetuando 100 J de trabalho e descarregando 400 J de calor em um 
reservatório na temperatura T. (a) Qual a variação da entropia do sistema em um ciclo completo? 
Qual é a temperatura T do reservatório? 
A entropia é uma função de estado, portanto ela será sempre nula em um processo cíclico 
 
O calculo de TC pode ser feito lembrando que a variação da entropia do Universo é a soma das 
variações de entropia nas três fontes. 
KJS
S
agua
agua
/137
15,273
4,275
ln)190,4(4
=
=
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
26 
______ 
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KT
T
T
Q
T
Q
T
Q
S
SSSS
C
C
CHH
universo
CHHuniverso
267
400
400
200
300
300
0
21
21
=
−++=
−++=
++=
 
1.7.10 Calcule a variação de entropia do universo em um processo em que 10 g de vapor de água a 
100 oC e a 1 atm são introduzidos em um calorímetro de capacidade calorífica desprezível contendo 
150g de água e 150g de gelo a 0 oC. 
Calcule as transferências de energia que ocorrem no calorímetro: 
 
O calor necessário para derreter 150g de gelo: 
 
FmLQ = 
 
Q1 = 0,150kg 334´10
3J / kg.K( ) = 50,1kJ
 
 
O calor liberado pelo vapor na liquefação e o calor que reduz a temperatura de 10g de água de 
100oC para 0vC 
 
TmcmLQ V += 
Q2 = (10´10
-3) 2.257´103( )+ 10´10-3 ´ 4190´100éë ùû= 26, 76kJ 
 
Se 
KTQQ final 27312 == 
 
Encontre a massa de gelo que derrete com o calor fornecido a ela: 
gkgmmLQ F 2,800802,0
5,333
75,26
====
 
Pode-se calcular agora as variações de entropia 
Gelo 
KJS
KJ
Q
S
g
g
/98
/75,26
273
2
=
==
 
 
Vapor 
f
i
aguaagualVvaporvapor
T
T
cmTLmS ln/ +−=
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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KJS
S
vapor
vapor
/74
732,0ln84,41373/22750
−=
+−=
 
 
Universo 
vaporgelouniverso SSS += 
0
/24

=
universo
universo
S
KJS
 
 
Logo, trata-se de um processo irreversível 
1.7.11 Construa diagramas T x S de acordo com os gráficos p x V. 
 
 
 
 
 
 
1.7.12 Seja 𝜔 o número de estados microscópicos possíveis para um dado estado macroscópico. 
Podemos mostrar que a entropia S de um estado macroscópico é dada por 𝑆 = 𝑘 ln 𝜔. Onde k é a 
constante de Boltzmann. Como entropia é uma variável de estado (ou seja, em qualquer processo a 
variação da entropia é o que interessa) podemos dizer que: 
∆𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 
∆𝑆 = 𝑘 ln 𝑤2 − 𝑘 ln 𝑤1 
 ∆𝑆 = 𝑘 ln
𝑤2
𝑤1
 
considere que n moles de um gás estão a temperatura T confinados em uma caixa termicamente 
isolada e dividida por uma parede em dois compartimentos, cada um com volume V. Inicialmente em 
um dos compartimentos foi feito vácuo. A seguir quebramos a parede e o gás se expande e preenche 
completamente os dois compartimentos da caixa. Calcule a variação de entropia nesse processo de 
expansão livre, usando a definição microscópica da entropia dada acima. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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Não há trabalho realizado, não há variação da energia interna, contudo as moléculas tem 2 vezes mais 
espaço para se mover. 
AnNN = é o número total de moléculas, assim , o número total de moléculas cresce de 
N2 , ou 
seja 12
2 ww N=
 
2ln
2ln
2
lnln
1
1
1
2
NkS
kS
w
w
k
w
w
kS
N
N
=
=
==
 
Como AnNN = e A
N
R
k =
, obtemos 
( ) 2ln2ln nR
N
RnNS
A
A =




=
 Este resultado é o mesmo que seria obtido se o cálculo fosse 
feito através da expressão: T
Q
S =
 
RSPOSTAS: Problemas 
1.8.1 Um mol de um gás ideal monoatômico é obrigado a completar o ciclo mostrado na figura. Em 
termos da pressão p0 e do volume V0 responda: 
 
(a) Qual é o trabalho efetuado sobre o gás na dilatação de a até c pelo caminho abc? 
No caminho abc só há realização de trabalho no processo isobárico ab. Wab é igual à área do 
gráfico sob o segmento de reta ab 
003 VpVpWab == 
(b) Qual é a variação da energia interna e da entropia ao passar de b para c? 
 
R
Vp
Ta
00=
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
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aab T
V
V
TT 4
4
0
0 ==
 
( )( )
a
a
c T
p
pT
T 8
24
0
0 ==
 
Para a variação da energia interna vem, 
( ) aav RTTRTnCU 648
2
3
)0,1( =−





==
 
E para variação de entropia, tem-se: 
 ==
c
b
T
T b
c
vvbc
T
T
nC
T
dT
nCS ln
 
2ln
2
3
RSbc =
 
(c) Qual é a variação da energia interna e da entropia em um ciclo completo? 
( ) ( ) 00
00
2
9
14
2
3
0,1 Vp
R
Vp
RTnCU vab =−





==
 
( ) ( ) 00
00
2
21
81
2
3
0,1 Vp
R
Vp
RTnCU vca −=−





==
 
1.8.2 Um mol de um gás monoatômico ideal passa por dois processos diferentes, de um estado 
inicial cuja pressão é p e volume V para um estado final de pressão 2p e volume 2V. No processo (1) 
o gás se dilata isotermicamente até que o volume dobre e entãoa pressão é aumentada, a volume 
constante, até atingir o estado final. No processo (2) Ele é comprimido isotermicamente até que sua 
pressão dobre e então seu volume é aumentado a pressão constante até o estado final. Represente 
os dois processos num diagrama pV. Calcule, para cada processo, em termos de p e V: 
(a) O calor absorvido pelo gás em cada parte do processo. 
(b) O trabalho realizado sobre o gás em cada parte do processo 
(c) A variação de energia interna do gás 
(d) A variação de entropia do gás 
 
Par o processo obf, temos: 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
30 
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 U (J) Q (J) W (J) S (J/K) 
Processo ob 0 nRTln(2V/V) -nRTln(2V/V) nRln(2V/V) 
Processo bf nCv(Tf − T𝑜) nCv(Tf − T𝑜) 0 nCvln(Tf/T𝑜) 
Considerando que To=PV/nR e que Tf=4PV/nR e Cv=3/2R 
 U (J) Q (J) W (J) S (J/K) 
Processo ob 0 𝑃𝑉𝑙𝑛2 𝑃𝑉𝑙𝑛2 𝑛𝑅𝑙𝑛2 
Processo bf 9
2
𝑃𝑉 
9
2
𝑃𝑉 0 
3𝑛𝑅𝑙𝑛4
2
 
Processo obf 
9
2
𝑃𝑉 𝑃𝑉(
9
2
+ 𝑙𝑛2) 𝑃𝑉𝑙𝑛2 2𝑛𝑅𝑙𝑛4 
 
Para o processo obf, temos: 
 U (J) Q (J) W (J) S (J/K) 
Processo ao 0 nRTln((V/2)/V)) nRTln((V/2)/V)) nRln((V/2)/V)) 
Processo af nCv(Tf − T𝑜) nCp(Tf − T𝑜) 2P(2V -V/2) nCpln(Tf/T𝑜) 
Considerando que To=PV/nR e que Tf=4PV/nR e Cv=3/2R 
 U (J) Q (J) W (J) S (J/K) 
Processo ao 0 −𝑃𝑉𝑙𝑛2 −𝑃𝑉𝑙𝑛2 −𝑛𝑅𝑙𝑛2 
Processo af 
9
2
𝑃𝑉 
15
2
𝑃𝑉 3𝑃𝑉 
5𝑛𝑅𝑙𝑛4
2
 
Processo oaf 
9
2
𝑃𝑉 𝑃𝑉(
15
2
− 𝑙𝑛2) 𝑃𝑉(3 − 𝑙𝑛2) 2𝑛𝑅𝑙𝑛4 
 
Logo, U e S são idênticos em ambos os processos. 
1.8.3 Faça um gráfico do ciclo de Carnot indicando a entropia no eixo horizontal e a temperatura 
Kelvin no eixo vertical. Trata-se de um diagrama temperatura–entropia ou diagrama TS. 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
31 
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(a) Mostre que a área embaixo da curva que representa o processo reversível no diagrama TS 
representa o calor absorvido pelo sistema. 
===
f
i
TdSQTdSdQ
T
dQ
dS
 
Para bc e da dS=0 logo 
0== dabc QQ , portanto adiabático. 
 
Para ab 
( ) −==
2
1
1211
S
S
ab SSTdSTQ
que é a área do gráfico 
Para cd 
( ) −==
1
2
2122
S
S
cd SSTdSTQ
 que é a área do gráfico. 
Para o ciclo completo: 
( ) −== STTTdsQtotal 21 
(b) Utilize o diagrama TS para deduzir a eficiência térmica do ciclo de Carnot. 
 
( )
ST
STT
Q
Q
Q
QQ
Q
QQ
Q
W
e T
ab
cdab

−
==
−
=
−
==
1
21
11
21
1 
1
21
T
T
e −=
 
1.8.4 O ciclo de Stirling é semelhante ao ciclo de Otto exceto que a compressão e a expansão do 
gás ocorrem isotermicamente e não adiabaticamente. No ciclo, o fluido de trabalho realiza uma 
compressão isotérmica à temperatura T1 do estado inicial a até o estado b, com uma razão de 
compressão r; aquecimento a volume constante até o estado c com temperatura T ; expansão 
isotérmica à temperatura T2 até o estado d; resfriamento a volume constante retornando para o 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
32 
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estado inicial a conforme indicado na figura do problema. Suponha que o fluido de trabalho seja n 
moles de um gás ideal (para o qual Cv não depende da temperatura). 
1.7.13 
O ciclo de Stirling é semelhante ao ciclo de Otto exceto quando a compressão e a expansão do gás 
ocorrem isotermicamente e não adiabaticamente como no caso do ciclo Otto. O ciclo de Stirling é 
usado em uma máquina de combustão externa, ou seja, a máquina na qual o gás no interior do cilindro 
não é usado no processo de combustão. O calor fornecido continuamente pelo fluido combustível no 
exterior do cilindro em vez de ser oriundo de uma explosão no interior do cilindro como no ciclo Otto. 
Por esta razão, as máquinas que funcionam com o ciclo de Stirling são mais silenciosas do que as 
máquinas que funcionam com o ciclo Otto, uma vez que não existe válvula de admissão nem válvula 
de exaustão (a principal fonte de ruído do motor. Embora pequenas máquinas de Stirling possam ser 
usadas em diversas aplicações, o uso do ciclo de Stirling em um automóvel não teve êxito porque o 
motor é maior, mais pesado e mais caro do que o motor convencional do automóvel. No ciclo, o fluido 
de trabalho realiza os seguintes processo. 
(a) Calcule Q, W e ΔU para os processos a → b, b → c, c → d, d → a. 
 
Processos U (J) Q (J) W (J) 
ab 0 ( )rnRT ln1− ( )rnRT ln1− 
bc ( )12 TTnCV − ( )12 TTnCV − 
0 
cd 0 ( )rnRT ln2 ( )rnRT ln2 
da ( )12 TTnCV −− ( )12 TTnCV −− 
0 
 
(b) Calcule a eficiência de um ciclo de Stirling em termos de temperaturas T1 e T2. 
e =
W
Q
H
=
W
ab
+W
bc
+W
cd
+W
da
Q
cd
=
-nRT
1
ln r+0+nRT
2
ln r+0
-nRT
1
ln r
 
( )
1
21
ln
ln
T
TT
rnR
rnR
e
−
−
−
=
 
Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
33 
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1
21
T
T
e −=
 
1.8.5 Considere dois processos abaixo: 
I. Um corpo se move inicialmente com 500 J de energia cinética e é desacelerado até repouso 
pelo atrito quando a temperatura da atmosfera é de 300K. 
II. 1 kJ de calor é transferido de uma fonte a 400 K para uma fonte a 300k 
 
(a) Calcule e compare as energias envolvidas em cada processo. 
 
Processo (I) Toda a energia mecânica é perdida, portanto o gasto de energia é de 500J 
Processo (II) Imagine uma máquina térmica funcionando no ciclo de Carnot, nesse caso 
JkJQ
T
T
W H
H
C
util 2501*25,01 ==





−=
 
(b) Calcule a variação de entropia do universo em cada um dos processos. 
KJ
T
Q
S /67,11 =

=
 
 
KJ
TT
QS
HC
/833,0
11
2 =







−=
 
 
	1 Entropia e Segunda Lei da Termodinâmica
	1.1 Entropia
	1.2 Entropia e os processos reversíveis e irreversíveis.
	1.3 ((S em processos reversíveis
	1.4 (S expansão livre de um gás ideal
	1.5 (S para transferência de calor
	1.6 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica
	1.7 Exercício de Fixação
	1.8 Problemas
	RESPOSTAS: Atividades de auto avaliação
	RESPOSTAS: Exercício de Fixação
	RSPOSTAS: Problemas