Listas_exercicios_Logica (21)

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Lista 9
Lógica e Teoria dos Conjuntos Número de elementos de umconjunto
Exercício 1
Escrever os número de elementos das seguintes:
a,b,c,d,e f,g,h,i
d,o,x
U
A B
C
j,s
l,m,p
k z,n
(a) n(A ∩B)
(b) n(A ∪B)
(c) (A−B)
(d) n(A ∩ C)
(e) n(A ∪ C)
(f) n(A− C)
(g) n(B ∩ C)
(h) n(B ∪ C)
(i) n(B − C)
(j) n(A ∩B ∩ C)
(k) n((A ∩ C)−B)
(l) n((B ∩ C)−A)
(m) n((A−B − C))
(n) n((A ∪B)− (A ∩B ∩ C))
(o) n(C −B)
(p) n((B ∩ C)−A)
(q) n((A ∪B)− (A ∩B ∩ C))
(r) n(C −B)
Exercício 2
Resolva :
1. Se n(A ∪B) = 20, n(A) = 10 e n(B) = 15. Calcule n(A ∩B).
2. Se n(A) = 17, n(A ∪B) = 19, n(A ∩B) = ∅. Calcule n(B)
Exercício 3
Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U . Sabendo-se que n(U) = 60, n(A) = 32, n(B) = 40 e
n(A ∩B) = 23, calcule:
1. n(Ac ∪Bc).
2. n(Ac ∩Bc).
Solução do Exercício 1
(a) n(A ∩B) = 17
(b) n(A ∪B) = 4
(c) (A−B) = 7
(d) n(A ∩ C) = 4
(e) n(A ∪ C) = 16
(f) n(A− C) = 7
(g) n(B ∩ C) = 4
(h) n(B ∪ C) = 8
(i) n(B − C) = 7
(j) n(A ∩B ∩ C) = 2
(k) n((A ∩ C)−B) = 3
(l) n((B ∩ C)−A) = 2
(m) n((A−B − C)) = 5
(n) n((A ∪B)− (A ∩B ∩ C)) = 3
(o) n(C −B) = 4
(p) n((B ∩ C)−A) = 4
(q) n((A ∪B)− (A ∩B ∩ C)) = 3
(r) n(C −B) = 4
Solução do Exercício 2
Pela lei de inclusão-exclusão
1. n(A ∩B) = n(A) + n(B)− n(A ∪B) = 10 + 15− 20 = 5.
2. n(B) = n(A ∩B)− n(A) + n(A ∪B) = 19− 17− 0 = 2
Solução do Exercício 3
1. Usando a lei de De Morgan, Ac ∪Bc = (A ∩B)c. Portanto,
n(Ac ∪Bc) = n((A ∩B)c) = n(U)− n(A ∩B) = 60− 23 = 36.
2. Usando a lei de De Morgan, Ac ∩Bc = (A ∪B)c. Portanto,
n(Ac ∩Bc) = n((A ∪B)c) = n(U)− n(A ∪B).
Por outro lado, usando o princípio de inclusão exclusão,
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B) = 32 + 40− 23 = 49.
Desta forma, obtemos que
n(Ac ∩Bc) = 60− 49 = 11.
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