PROBLEMAS MATEMATICOS LIBRO7

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LIBRO 7
PROBLEMAS 
MATEMÁTICAS
 
Hay cuatro cajas y en cada uno de sus laterales se ha escrito una frase 
que describe una propiedad de un número. Las frases son: “Divisible por 
7”, “Número primo”, “Número impar”, “Mayor que 100”. 
Se han cogido cuatro bolas de billar: la número 2, la 5, la 7 y la 12 y se ha 
metido una bola en cada caja. 
Si ningún número cumple la propiedad de su caja, ¿qué número tiene la 
bola que está en la caja que dice “Mayor que 100”? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 7,5,2 son números primos, en la caja “Numero primo” está la bola 12 . 
Descartando ésta, en la caja “Número impar” debe estar la bola 2 , pues 7,5 son impares. 
Quedan por colocar esos dos últimos números: evidentemente, el 5 está en la caja “Divisible por 7 ” luego 
la bola 7 está en la caja “Mayor que 100” 
 
Se forma un trapecio uniendo los dos triángulos 
rectángulos semejantes de la imagen. 
¿Cuál es el área del trapecio? 
 
 
SOLUCIÓN 
Nombramos los vértices y, por el teorema de Pitágoras 
aplicado al triángulo ABD , =+= 22 ABADBD 
266765761002410 22 ==+=+= m 
Al ser los triángulos semejantes, ⇒=
AB
BD
BD
DC
 
6
169
24
676
24
26
24
26
26
2
===⇒=⇒ DCDC m 
Por tanto, el área del trapecio es ==×
+
=×+
6
1565
10
2
6
169
24
2
AD
DCAB
 
260,83 m2 
 
Si a/b = 1/2 y b/c = 8/5, halla la fracción 
 
 
SOLUCIÓN 
4
5
5
4
5
8
2
1 =⇒=⇒×=×
a
c
c
a
c
b
b
a
 y, por otro lado, 2
2
1 =⇒=
a
b
b
a
 
Sumando los dos resultados obtenemos =
+
⇒=+⇒+=+
cb
a
a
cb
a
c
a
b
4
13
4
5
2 
4/13 
 
Dos números positivos, a y b, verifican la ecuación a2 – 2a + b2 – 2b = 15 – 2ab 
Hallar el valor de a + b 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) ⇒=−+−+⇒=−−++⇒−=−+− 01521522221522 22222 bababababaabbbaa 
( )



−=+
=+
=±=±=
−×−±
=+⇒
3
5
2
82
2
642
2
15422 2
ba
ba
ba , y se desecha el segundo valor por las 
condiciones del enunciado. Por consiguiente, 
a + b = 5 
 
¿Cuántos nueves tiene el menor número natural que es múltiplo de 72 y la suma de sus cifras 
es 72? 
 
 
SOLUCIÓN 
Parece que cuantos más nueves tenga el número pedido, mayores probabilidades de ser el más pequeño… 
pero no es cierto. 
El menor número natural (que verifique el enunciado) por ser divisible por 72 también lo será por 8 y, 
entonces, sus tres últimas cifras deberán formar un número múltiplo de 8 . 
• 992 , que permitiría obtener el número 799999992 cumpliendo las condiciones del enunciado. 
• 896 , que permitiría obtener el número 499999896 cumpliendo las condiciones del enunciado. 
• 888 , que permitiría obtener el número 399999888 cumpliendo las condiciones del enunciado. 
El último número es el, parece ser, más pequeño y tiene 
cinco nueves 
 
Tres pilotos toman parte en una carrera: Carlos, Fernando y 
Roberto. Inmediatamente después de la salida Carlos era 
primero, Fernando segundo y Roberto tercero. 
Durante la carrera, Carlos y Fernando intercambiaron sus 
puestos 9 veces, Fernando y Roberto 10 veces, y Carlos y 
Roberto 11 veces. 
¿En qué orden terminaron la carrera? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si el intercambio es un número par de veces los pilotos quedan relativamente como están y si el intercambio 
es un número impar de veces las posiciones de los pilotos se permutan. 
Por ello al final Fernando quedará delante de Carlos y de Roberto y Roberto quedará delante de Carlos. 
En resumen, quedarán 
Fernando primero, Roberto segundo y Carlos tercero 
 
ABCD es un trapecio isósceles y E es el punto medio del lado AD. Si AE = 1 cm y el 
triángulo CEB es rectángulo en E, ¿cuál es el perímetro del trapecio? 
 
 
SOLUCIÓN 
Dibujamos y nombramos en la figura elementos que nos interesan. 
Observamos que 
• Los lados oblicuos del trapecio miden 2 cm cada uno 
• La altura del trapecio es x2 cm 
• Las bases del trapecio, a y b , cumplen que 
2
24
ab
yyab
−=⇒=− 
• El triángulo rectángulo AFE verifica que 122 =+ yx , por el teorema 
de Pitágoras 
También por el teorema de Pitágoras, se verifica que 
• En el triángulo rectángulo EGC : ( ) 22222 xyaEGGCEC ++=+= 
• En el triángulo rectángulo EFB : ( ) 22222 xybEFFBEB +−=+= 
Por último y también por el teorema de Pitágoras se cumple, en el triángulo rectángulo CEB , que 
( ) ( ) ⇒=++−++++⇒=+−+++⇒=+ 4222 22222222222222 xybybxyayaxybxyaBCEBEC 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+−−+⇒=+−−++⇒=++−++⇒ 842242
2
422 222222222 bababa
ab
baxybayba 
( ) 24424222 2222222 =+⇒=+⇒=++⇒=+−−+⇒ babaabbaabbaba cm 
El perímetro es, entonces, =+++ 22ba 
6 cm 
 
Si 9n + 9n + 9n = 34033, ¿cuánto vale n ? 
 
 
SOLUCIÓN 
⇒=⇒=+⇒=⇒=×⇒=++⇒=++ + 403224033123333333333999 4033124033240332224033 nnnnnnnnnn
n = 2016 
 
Al sumar los números naturales consecutivos desde el 1 hasta n ha habido uno que, por 
error, hemos sumado dos veces. 
Si la suma obtenida ha sido 857, ¿cuál es el número que hemos repetido? 
 
 
SOLUCIÓN 
La suma de los n primeros números naturales es 
( )
2
1+× nn
. Lo que ha sucedido es que se ha sumado 
( )
857
2
1 =++× mnn , siendo nm ≤≤1 natural. 
En primer lugar, calculemos de manera aproximada cuantos números naturales hemos sumado: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4,411714117141857
2
11
857
2
1
857
2
1 2 =≈+→≈+→≈+×+→≈+×→=++× nnnnnnmnn , 
por lo que 40≈n 
Podemos considerar entonces que 
( )
37857820857
2
4140
857
2
1 =⇒=+⇒=+×⇒=++× mmmmnn 
El número sumado dos veces es el 
37 
 
Una esfera de 15 cm de radio está dentro en un cono tangente a la base y a la 
superficie lateral. 
Si la generatriz del cono es igual al diámetro de la base, ¿cuál es la altura del cono? 
 
 
SOLUCIÓN 
Dibujamos y nombramos en la figura elementos que nos interesan. 
El enunciado nos dice que ACBC ×= 2 y 15== ODOA cm 
Aparecen en la figura dos triángulos rectángulos, BAC y BDO semejantes, pues 
tienen los tres ángulos iguales. 
La relación de semejanza que puede establecerse entre ambos es ⇒=
AC
BC
OD
OB
 
=+×=⇒=−⇒×=−⇒ 152152
15
152
h
h
AC
AC
OD
OAAB
 
45 cm 
 
¿Cuántas listas de ceros y unos, de longitud 20, tienen todos los ceros 
consecutivos o todos los unos consecutivos o ambas cosas a la vez? 
 
 
SOLUCIÓN 
Suponemos que, en cada lista, hay al menos un cero y al menos un uno. 
Calculamos las listas para ceros consecutivos. 
Con un cero y diecinueve unos, hay 20 listas distintas según el cero ocupe las posiciones desde la primera a 
la ª20 . En dos de ellas los 19 unos restantes estarán seguidos 
Con dos ceros seguidos y dieciocho unos, hay 19 listas distintas según el primer cero ocupe las posiciones 
desde la primera a la ª19 . En dos de ellas los 18 unos restantes estarán seguidos 
Con tres ceros seguidos y diecisiete unos, hay 18 listas distintas según el primer cero ocupe las posiciones 
desde la primera a la ª18 . En dos de ellas los 17 unos restantes estarán seguidos 
Sucesivamente, llegamos a que con diecinueve ceros seguidos y un uno, hay 2 listas distintas según el 
primer cero ocupe las posiciones desde la primera a la ª2 . En ambos casos, el uno restante estará, al ser 
único, sin otros unos separados de él. 
En resumen, habrá 
( )
209
2
19202
23...181920 =×+=+++++ listas con los ceros seguidos, 38192 =× de 
ellas también tendrán los unos seguidos. 
Por simetría, las listas de unos consecutivos serán las mismas y también las que, de ellas, tengan también los 
ceros seguidos. En resumen, la cantidad de listas que cumplen las condiciones del enunciado serán 
=−+ 38209209 
380 listas 
 
¿Cuántos números naturales hay en la lista más larga 
posible de números consecutivos de tres cifras, cada uno 
de los cuales tiene al menos una cifra impar? 
 
 
SOLUCIÓN 
La lista debe abarcar números con la centena impar y, antes, existir números de tres cifras. 
Por ejemplo, de 300 a 399 hay cien números naturales con, al menos, una cifra impar. Inmediatamente 
antes hay diez números que poseen la cifra 9 : de 290 a 299 y, a ellos, hay que añadirle el que se coloca 
primero en la lista: 289 
En resumen, son los números entre288 y 400 , ambos excluidos. Y también los mismos hay entre 488 y 
600 , ambos excluidos; entre 688 y 800 , ambos excluidos, y entre 888 y 1000 , ambos excluidos. 
En total, 
111 números 
 
La sucesión {an} cumple que a1 = 1 y am+n = am + an + m x n para 
cualquier par de números naturales m y n. 
¿Cuál es el valor del término que ocupa el lugar 100 en la sucesión? 
 
 
SOLUCIÓN 
Observemos que, según el enunciado, 1111 ++=×++=+ nanaaa nnn 
Es decir, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒+−+−+++==+−+−+=+−+=+= −−− nnnannnannanaa nnnn 12...2...121 1321 
( ) ( ) ( )
2
1
12...21
nn
nnnan
×+=+−+−+++=⇒ , suma de los n primeros números naturales. 
Además 
( ) ( ) ( ) ( ) =××+×++×+=×+×++×+=×++=+ 2
211
2
1
2
1 nmnnmm
nm
nnmm
nmaaa nmnm 
( ) ( ) ( )
2
1
22
2 222 nmnmnmnmnmnnmm +×++=+++=××++++= , lo que muestra la coherencia de la 
definición y unicidad del valor de cada término de la sucesión en el enunciado. 
En conclusión, =×=
2
100101
100a 
5050 
 
48 niños van a una excursión. Seis de ellos tienen exactamente un 
hermano en la excursión, nueve tienen exactamente dos hermanos 
en la excursión y cuatro tienen exactamente tres hermanos en la 
excursión. El resto no tienen hermanos en la excursión. 
¿Cuántas familias hay en la excursión? 
 
 
SOLUCIÓN 
Los 6 primeros niños forman tres parejas de hermanos: 3 familias. 
Los siguientes 9 niños forman tres tríos de hermanos: 3 familias. 
Los siguientes 4 niños forman un cuarteto de hermanos: 1 familia. 
Quedan 2949648 =−−− niños que constituyen una familia distinta cada uno. 
Por tanto hay, en total, =+++ 13329 
36 familias 
 
La suma 1 + 2 + 3 +…+ n de los n primeros enteros positivos es un número de tres cifras, 
todas iguales. 
¿Cuál es el valor de n ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Según el enunciado, y teniendo en cuenta la fórmula de la suma de términos consecutivos, de una progresión 
geométrica, 
( ) ( ) ( )
3732
1
222
1
11110100
2
1
...321
____
××
+×=⇒+×=⇒=++==+×=++++ nnannaaaaaaaannn 
Como 37 es primo, 37=n o 371 =+n 
En el primer caso, 
3
19
3732
3837
38137 =
××
×=⇒=+⇒= ann , solución no válida porque a es un dígito. 
En el otro caso, 6
3732
3736
36371 =
××
×=⇒=⇒=+ ann , lo cual es coherente con el enunciado. 
Pueden estudiarse más casos con 1,371 >=+ kkn , pero esto provocaría también valores no válidos porque 
se obtendría que 10>a o no entero. 
Por tanto, 6=a , la suma es 666 y el número de términos es 
n = 36 
 
Dos hermanos varones, Joaquín y Álvaro, dan respuestas 
verdaderas a una pregunta sobre cuántos miembros tiene su club 
de ajedrez. 
Joaquín dice: “todos los miembros del club, excepto 5 chicas, son 
chicos” y Álvaro dice: “ En todo grupo de seis miembros del club 
hay por lo menos 4 chicas”. 
¿Cuántos miembros hay en el club? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si en cada grupo de seis hay al menos cuatro chicas, el número máximo de chicos es 2 
Por lo tanto, en el club hay =+ 25 
7 miembros 
 
Los puntos A, B, C y D están situados como muestra la figura. 
Las medidas de los segmentos AB, BC y CD son, respectivamente, 7/2, 5/2 y 3/2 
Si X es el punto medio del segmento BC e Y es el punto medio del segmento AD, ¿cuál es la longitud del 
segmento XY ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Establecemos el punto A como origen de una referencia lineal y, según los datos del enunciado, asignamos a 
cada punto una coordenada: la distancia al origen. Evidentemente, A tiene de coordenada 0 
Así, B tiene de coordenada 
2
7=AB , C tiene de coordenada 6
2
5
2
7 =+=+= BCABAC y D tiene de 
coordenada 
2
15
2
3
2
5
2
7 =++=++= CDBCABAD 
Si llamamos x , y a las coordenadas respectivas de los puntos X , Y obtenemos que 
4
19
2
6
2
7
=
+
=x y que 
4
15
2
0
2
15
=
+
=y por ser puntos medios de los respectivos segmentos BC y AB 
De ahí, el segmento XY mide =−=−
4
15
4
19
yx 
1 unidad 
 
Se consideran las dos progresiones 
aritméticas 5, 17, 29,… y 29, 47, 65, … 
¿Cuántas progresiones aritméticas diferentes de enteros positivos hay de manera que esas dos sean 
subsucesiones suyas? 
 
 
SOLUCIÓN 
La primera progresión tiene de diferencia 12 y la segunda, 18 
Como coinciden en un término al menos ( 29 ), todas las progresiones aritméticas que posean ese término y 
cuya diferencia sea divisor común de las diferencias dadas cumplirán la condición del enunciado. 
Como 3212 2 ×= y 23218 ×= , los divisores comunes son 6323,2,1 =×y y se deduce fácilmente (a través 
de la relación del término 5 con cada una de las diferencias) que las progresiones son: 
• Diferencia 65,47,29,17,541 614325131 =====⇒+=⇒ aaaaanan 
• Diferencia 65,47,29,17,5322 31221371 =====⇒+=⇒ aaaaanan 
• Diferencia 65,47,29,17,5233 2115951 =====⇒+=⇒ aaaaanan 
• Diferencia 65,47,29,17,5166 118531 =====⇒−=⇒ aaaaanan 
En resumen, que cumplan la condición del enunciado hay 
4 progresiones aritméticas 
 
Halla el número de cifras de 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) 252572572525725322584258 101281025225225252516 ×=×=××=××=×=×=× 
Es decir, tres cifras seguidas de veinticinco ceros. En total, 
28 cifras 
 
Una compañía aérea no cobra por el equipaje si su peso es inferior a un cierto 
valor en kgs. 
Por cada kg extra se cobra una tarifa. El equipaje del matrimonio Sánchez pesa 
60 kg y pagan 3 euros. El equipaje del Sr. Ramírez pesa lo mismo, pero él paga 
10,50 euros. 
¿Cuál es el peso máximo del equipaje que un pasajero puede llevar sin pagar? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos x al máximo peso, en kg, exento de pago y t a la tarifa, en euros, por kg que exceda de x . 
En el caso de los Sánchez, al ser dos personas, el exceso de equipaje será de x260 − kg, por lo que pagan 
( ) 3260 =×− tx euros. 
El señor Ramírez leva un exceso de equipaje de x−60 kg y paga ( ) 50,1060 =×− tx euros. 
Resumiendo, 
( )
( ) 25150660721050,3
1
50,10
3
60
260
50,1060
3260
=⇒=⇒−=−⇒==
−
−
⇒



=×−
=×−
xxxx
x
x
tx
tx
 
El máximo exento de pago es 
25 kg 
 
¿Cuántas parejas de números de dos cifras verifican que su producto es un número 
de tres cifras todas iguales? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si yx, son los números de dos cifras cuyo producto es un número de tres cifras iguales se cumplirá que 
373111
_____
××=×==× aaaaayx , siendo a una cifra no nula. 
Entonces los casos pueden ser: 










=×=⇒=
=×=⇒=
=×=⇒=
=×=⇒=
=×=⇒=
=×=⇒=
⇒=
12344
15355
18366
21377
24388
27399
37
ya
ya
ya
ya
ya
ya
x 
123484274372 =×=⇒=×=⇒=×= yax 
En total, 
7 parejas 
 
En una tabla 4x5 se escriben veinte enteros positivos distintos. Cualesquiera 
dos números que estén en casillas con un lado común tienen un divisor común 
mayor que 1. 
Si n es el mayor número de la tabla, halla el menor valor que puede tomar n 
 
 
SOLUCIÓN 
Evidentemente, si ponemos veinte números pares correlativos tendremos la condición de problema, por lo 
que debe ser 40≤n 
Impares solo podremos encajar aquellos que, al menos, tengan dos números menores de 40 no primos con 
ellos. Esto nos elimina los números impares ...,29,23,19,17 y casi el 11 y el 13 
Podemos probar con los impares 25,21,15,9,7,5,3 , además de los demás pares, y tenemos la posibilidad 
siguiente: 
 
Por tanto, 
n = 26 
 
En el triángulo ABC de la figura (que no está a escala) D 
es el punto medio de BC, AD = CD y AE es la bisectriz 
del ángulo de vértice A del triángulo. 
Si el ángulo CEA es de 60o, ¿cuánto mide el ángulo CDA ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos ADC ˆ=α 
El triángulo CDA es isósceles, al ser ⇒= CDAD 
DCACAD ˆˆ =⇒ . Por lo tanto, en dicho triángulo, 
⇒=+⇒=+ º180ˆ2º180ˆ2 αα BCADCA 
2
º90
2
º180ˆ αα −=−=⇒ BCA 
Como CDAD = y D es el punto medio de ADBDBCDACBC ⇒==⇒ es un triángulo isósceles por lo 
que 
22
º180º180ˆº180º180ˆ2º180º180ˆ2ˆˆ
αααα =+−=⇒=−+⇒=−+⇒= ABCABCABDABDDAB 
Por otro lado, en el triángulo CEA : 
2
º30ˆ
2
º90º60º180ˆº60º180ˆ
αα +=⇒




 −−−=−−= CAEBCACAE y, en 
el triángulo EBA : ( )
2
º60ˆ
2
º60º180º180ˆˆº180ˆ
αα −=⇒−−−=−−=EABABCBEAEAB 
Como AE es la bisectriz del ángulo en A , º30
2
º60
2
º30ˆˆ =⇒−=+⇒= αααEABCAE 
CDA = 30o 
 
En la figura el ángulo CAD es 11o, AB = OC y O es el centro de la 
circunferencia. 
Halla el ángulo COD 
 
 
SOLUCIÓN 
Trazamos el radio ABOCOB == . Evidentemente el 
triángulo OBA es isósceles y, por tanto, su ángulo 
º11ˆ =BOA . 
En dicho triángulo º158º112º180ˆ =×−== ABOα 
Pasamos al triángulo BOC , también isósceles. Por lo 
anterior º22º158º180º180ˆ =−=−= αOBC , por lo que 
º136º222º180ˆ =×−== COBβ 
Finalmente, como 
=−−=−−=⇒=++ º136º11º180º11º180ˆº180ˆº11 ββ DOCDOC 
33o 
 
¿Cuántos números de cuatro cifras de la forma 
son divisibles por 36? 
 
 
SOLUCIÓN 
Los números ba46 deberán ser divisibles por 4936 ×= , es decir por 9 (la suma de sus cifras debe ser 9 o 
múltiplo de 9 ) y por 4 (sus dos últimas cifras deben ser divisibles por 4 ). 
Casos posibles: 
684084060 ⇒=⇒⇒= aab 
644444464 ⇒=⇒⇒= aab 



⇒=
⇒=
⇒⇒=
69489
60480
4868
a
a
ab 
Total, 
4 números 
 
En una peluquería masculina el peluquero tarda 12 minutos en cortar el 
pelo de un chico y 20 en cortar el pelo de un adulto. 
Hoy ha trabajado 8 horas sin descansar, y ha cortado el pelo a, por lo 
menos, 7 chicos. 
A lo sumo, ¿a cuántos adultos ha cortado el pelo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea 7≥x el número de chicos a los que ha cortado el pelo e y al número de adultos. 
El enunciado permite deducir que 120534806082012 =+⇒=×=+ yxyx 
De ahí, 
5
3
24
5
3120
31205
x
y
x
yxy −=⇒−=⇒−= 
Como la cantidad de chicos y adultos debe ser entera , 7≥x y el número mínimo de chicos se 
corresponderá con el máximo de adultos, la menor cantidad posible de chicos será ⇒= 10x 
18
5
103
24 =×−=⇒ y 
En suma, la cantidad mínima de adultos es 
18 
 
Si a, b y c son números enteros positivos tales que abc + ab + ac + bc + a + b + c = 104, halla 
 
 
SOLUCIÓN 
Desarrollamos y calculamos ( ) ( ) ( ) ⇒=+=+++++++=+×+×+ 10511041111 cbabcacababccba 
( ) ( ) ( ) 753105111 ××==+×+×+⇒ cba 
Como cba ,, son enteros positivos ningún factor polinómico es igual a 1 por lo que cada uno de los tres 
factores tomarán valores iguales a los tres de la descomposición factorial de 105 , siendo irrelevante, para la 
solución del problema, qué factor es cada valor. 
Por lo tanto, =++=++=++⇒





=
=
=
⇒





=+
=+
=+
36164642
6
4
2
71
51
31
222222 cba
c
b
a
c
b
a
 
56 
 
Hay una fila de 4999 loros que están hablando, uno detrás de otro. 
El primero dice: El segundo loro es verde. El segundo dice: El tercer loro es 
verde ….. El loro número 4997 dice: El loro 4998 es verde. El loro 4998 dice: El 
loro 4999 es un elefante rosa. El loro 4999 dice: ¡Yo no soy un elefante rosa! 
Se sabe que todos los loros verdes mienten y que todos los loros que mienten 
son verdes. ¿Cuántos loros verdes hay en la fila? 
 
 
SOLUCIÓN 
Supongamos que el loro 1 miente. El loro 2 (no es verde) dice la verdad, el loro 3 (es verde) miente…. y, 
sucesivamente, los loros que ocupan lugar impar mienten (son verdes) y los que ocupan lugar par dicen la 
verdad (no son verdes). 
Llegamos así al loro 4998 que dice la verdad, lo cual es absurdo. 
Por lo tanto, el loro 1 dice la verdad (no es verde). Entonces, el loro 2 miente, el loro 3 dice la verdad, …. y, 
sucesivamente, los loros que ocupan lugar impar (no son verdes) dicen la verdad y los que ocupan lugar par 
mienten (son verdes). 
Llegamos así al loro 4998 que miente, lo cual es lógico, y el loro 4999 dice la verdad. 
En resumen, mienten todos los pares y, por tanto, hay =
2
4998
 
2499 loros verdes 
 
El pentágono ABCDE está descompuesto en tres triángulos rectángulos como 
se muestra en la figura. 
Si AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 12 cm y el perímetro del pentágono es 188 cm, 
¿cuál es, en cm2, su área? 
 
 
SOLUCIÓN 
En el triángulo rectángulo ABC , y por el teorema de Pitágoras, 
52543 22222 =⇒=+=+= ACABBCAC cm 
Entonces, en el triángulo rectángulo ACD y por el teorema de Pitágoras, 
13169125 22222 =⇒=+=+= ADCDACAD cm 
Y seguimos. En el triángulo rectángulo ADE y por el teorema de Pitágoras, 
16916913 222222222 =−⇒+=⇒+=+= xyxyxADDEAE 
Por otro lado, teniendo en cuenta el valor del perímetro, 169191881884312 =−=+⇒=++++ yxyx 
En resumen, tenemos: 
( ) ( )
11
169
169
169
16922
+=⇒=−⇒



=+
=+×−
⇒



=+
=−
xyxy
yx
xyxy
yx
xy
 
De lo anterior, 84169121691 =⇒=+⇒=++=+ xxxxyx cm e 85=y cm 
El área del pentágono es la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos: =×+×+×
2
8413
2
125
2
43
 
=++= 546306 
582 cm2 
 
Estamos en el último decenio del siglo pasado y en una clase de 30 alumnos sólo 12 
de ellos tienen teléfono móvil. 
Durante las vacaciones los que no tienen teléfono móvil envían postales de 
felicitación a todos sus compañeros, y los que sí lo tienen envían sms de felicitación 
a quienes lo tienen y postales a quienes no lo tienen. 
¿Cuántas postales se han enviado en total? 
 
 
SOLUCIÓN 
En esta clase tan idílica 12 alumnos tienen móvil y 18 no. 
Por tanto, los 12 envían postales a los 18 . En total, 2161812 =× postales. 
Además, los 18 que no tienen móvil envían postales a todos (menos a él mismo): 5222918 =× postales. 
En total =+ 522216 
738 postales 
 
En el conjunto de los 26 primeros enteros positivos borramos dos de ellos de manera 
que su producto es igual a la suma de los 24 restantes. 
¿Cuál es el menor múltiplo común de los dos números que hemos borrado? 
 
 
SOLUCIÓN 
Lo que nos plantea el enunciado es que 
( ) ( )yxyx +−×+=×
2
26261
, siendo x , y menores o iguales de 26 
y teniendo en cuenta la fórmula que determina la suma de los 26 primeros números naturales. 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+×+⇒=+++×⇒=++×⇒+−×+=× 352113521351
2
26261
yxyxyxyxyxyxyx 
( ) ( ) 11211 5 ×=+×+⇒ yx y cuya única distribución en factores positivos menores o iguales que 26 es 
( ) ( ) 221611 ×=+×+ yx , luego 15161 =⇒=+ xx y 21221 =⇒=+ yy por lo que 
( ) ( ) =××=××= 75373,5321,15 mcmmcm 
105 
 
El número n es el mayor entero positivo tal que 4n es un número de tres cifras, y m es el 
menor entero positivo tal que 4m es un número de tres cifras. ¿Cuánto vale n – m ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Evidentemente, n4 debe ser el mayor número entero positivo de tres cifras múltiplo de 4 : 996 y m4 debe 
ser el menor número entero positivo de tres cifras múltiplo de 4 : 100 
De ahí, 2499964 =⇒= nn y 251004 =⇒= mm por lo que =−=− 25249mn 
224 
 
En una sucesión el primer término es a1 = 1, el segundo a2 = –1 y a partir del tercero cada 
término es el producto de los dos anteriores. ¿Cuál es la suma de los 2016 primeros términos 
de la sucesión? 
 
 
SOLUCIÓN 
Hay que darse cuenta que ⇒−=×=⇒=×=⇒−=×=⇒−== 1111;1 43532421321 aaaaaaaaaaa 
⇒=×=⇒−=×=⇒ 11 657546 aaaaaa … por lo que se pueden establecer las siguientes pautas: 
1=na si 13...,10,7,4,1 +== kn con ...,3,2,1,0=k 
1−=na si ...,6,5,3,2=n 
Entonces, agrupando de tres en tres, 111121 −=−−=++ ++ mmm aaa para 13...,10,7,4,1 +== km con 
...,3,2,1,0=k 
En resumen, como 2016 es divisible por 3 , =×−=




−−−=+++ 6721
3
2016
1....11... 201621 vecesaaa 
– 672 
 
El exterior de un cubo, con cuatro cuadrados en cada cara, se pinta de blanco y verde de 
manera que se ve, como indica la figura, como si estuviera formado por cubitos blancos y 
verdes. 
¿Cuál de los siguientes puede ser el desarrollo del cubo pintado? 
 
 
SOLUCIÓN 
Identificando la cara frontal izquierda del dado con la cara central del desarrollo tenemos que la cara frontal 
derecha del dado es la cara lateral derecha del desarrollo y la cara superior del dado es la cara superior del 
desarrollo. 
En esas condiciones, el desarrollo del cubo es el 
e 
y los demás desarrollos no pueden determinar el cubo mostrado. 
 
Joaquín y Joan juegan un partido al mejor de cinco sets, es decir, el vencedor es 
el ganador de tres sets. 
Si la probabilidadde que Joaquín gane cualquier set es dos tercios, ¿cuál es la 
probabilidad de que gane el partido? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos 
3
2
)( =igP a la probabilidad de ganar el set i . Entonces, 3
1
)( =ipP es la probabilidad de perder el 
set i 
Calculamos la probabilidad de ganar de Joaquín como la suma de las probabilidades de todos los resultados 
ganadores posibles: 
• Si gana los tres sets seguidos: 
27
8
3
2
3
2
3
2
)()()( 3211 =××=××= gPgPgPP 
• Si gana tres sets y pierde uno habrá tres casos de la misma probabilidad según pierda el primero, el 
segundo o el tercer set: ( )
27
8
3
2
3
2
3
2
3
1
3)()()(3 43212 =××××=××××= gPgPgPpPP 
• Si gana tres sets y pierde dos habrá 





2
4
 casos según pierda dos sets de los cuatro primeros: 
( )
81
16
27
8
9
1
6
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
2
4
)()()()(
2
4
543213 =××=×××××





=×××××





= gPgPgPpPpPP 
Entonces, la probabilidad de ganar el partido es =++=++=
81
16
27
8
27
8
321 PPPP 
64/81 
 
Carlos, el día de su cumpleaños en este año, multiplica su edad por la de sus gemelos 
y obtiene 2013. ¿En qué año nació Carlos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos 611132013 ××= , por lo que Carlos debe tener, razonablemente, 61 años y sus gemelos, 33 
años. 
Carlos nació el año =− 612016 
1955 
 
La longitud de un lado de un triángulo es 13 cm. 
Si el producto de los tres lados es 1365, ¿cuál es el perímetro del triángulo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como 105131365 ×= , el producto de los dos lados restantes es 753105 ××= y deben ser tales que, con el 
dado, el valor de la suma de dos de ellos sea siempre mayor que el valor del tercero, condición 
imprescindible para que formen triángulo. 
Analizando las posibilidades, lo anterior solo sucede si esos lados son de longitudes 7 cm y 1553 =× cm 
De ahí, el perímetro del triángulo es =++ 15713 
35 cm 
 
Usando los números naturales de 1 a 22, ambos inclusive, se quieren formar once 
fracciones eligiendo uno de ellos como numerador y otro como denominador. 
Si cada uno de los 22 números se usa exactamente una vez, ¿cuál es el mayor 
número de fracciones que pueden tener un valor entero? 
 
 
SOLUCIÓN 
La pregunta equivale a decir cuántas parejas distintas de números de 1 a 22 pueden hacerse de manera que 
uno sea divisor de otro. 
Comenzando por los números mayores y eligiendo también los divisores (también) más altos y que queden 
libres tendremos 2
11
22 = , 3
7
21 = , 2
10
20 = , 19
1
19 = , 2
9
18 = , 2
8
16 = , 3
5
15 = , 7
2
14 = , 3
4
12 = , 2
3
6 = 
Las dos últimas fracciones no cumplen la regla pero, al quedar libres los números citados, se observa 
claramente cómo pueden construirse las fracciones. La única que queda sin un valor entero es 
13
17
 
Por tanto, el número mayor de fracciones que cumplen las condiciones del enunciado es 
10 
 
Resuelve la ecuación 
 
 
SOLUCIÓN 
( )
( )
⇒−=−⇒=⇒=⇒
×
=⇒
×
=⇒
×
=
−−−−−−
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
x 12
455
5
5
5
55
5
5
55
5
5
255
5
25
12
4
60
48
4
3426
48
4
17
2
26
48
22
1726
48
2
 
⇒
−
−=⇒
4
12
x 
x = 3 
 
Varios triángulos isósceles no superpuestos tienen el vértice O 
en común. Cada triángulo comparte un lado con el siguiente, 
construyendo un polinomio convexo. 
El menor ángulo de uno de los triángulos tiene un ángulo de 
m grados en el vértice O, donde m es un entero positivo. Los 
demás triángulos tienen en O ángulos cuya medida en grados 
es 2m, 3m, 4m y así sucesivamente. 
En la figura se ha dibujado un conjunto de 5 triángulos que 
cumplen esa condición. 
¿Cuál es el menor valor de m para el que existe tal conjunto 
de triángulos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Está claro que ( ) ( ) ⇒=×+×⇒=++++×⇒=++++ º360
2
1
º360...321º360...32
nn
mnmnmmmm 
( ) º7201 =+××⇒ nnm 
 Teniendo en cuenta que 532720 24 ××= , el valor máximo que puede tomar n es ⇒=×= 1553n 
( ) º31615
º720
1
º720
2161 2 =
×
=
+×
=⇒==+⇒
nn
mn , valor mínimo de m : 
m = 3o 
 
¿Cuál es el menor número, mayor que la unidad, cuyo cuadrado perfecto que es 
producto de dos factoriales distintos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Está claro que el producto deberá ser factoriales de dos consecutivos tales que uno de ellos sea el de un 
cuadrado perfecto. 
El menor, obviando 
211!1!0 ==× , se deduce de 2121444321321!4!3 ==××××××=× y es 
12 
 
Isaías ve un tractor por la carretera arrastrando lentamente un largo 
tubo. 
Se coloca junto al tubo en la misma dirección que el tractor y cuenta 
140 pasos para ir de un extremo a otro del tubo. Da la vuelta y 
camina hacia el otro extremo, contando entonces sólo 20 pasos. 
Si el tractor e Isaías mantienen velocidades uniformes, y cada paso 
de Isaías es de 1 m de largo, ¿cuál es la longitud del tubo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Tenemos en cuenta siempre la fórmula 
tiempo
espacio
velocidad = y las fórmulas deducidas de ésta. 
Suponemos que la velocidad de Isaías es x m/min y la velocidad del tractor, más lenta, es de y m/min. 
Además, la longitud del tubo es de z m (metros). 
Como los pasos de Isaías equivalen a 1 m, los 140 m que recorre Isaías los hace en 
x
140
 minutos, lo que 
supone un desplazamiento del tubo de 
x
y
x
y
140140 =× metros. 
En resumen, los metros recorridos por Isaías equivalen a los metros del tubo más su desplazamiento: 
140
140 =+
x
y
z 
Después, los 20 pasos de Isaías de vuelta (a una velocidad de x m/min) durante 
x
20
 minutos se oponen al 
movimiento del tubo (a una velocidad de y m/min) y, en esos pasos, el tubo recorre y
x
×20 m en sentido 
contrario. La suma total de ambos desplazamientos coincidirá con la longitud del tubo. 
Por lo tanto, 20
20
20
20 −=⇒=+× z
x
y
zy
x
 
En suma, ==⇒=−⇒⇒





−=
=+
⇒





−=
=+
8
280
1401408
1407
140
140
140
20
20
140
140
zz
z
x
y
x
y
z
z
x
y
x
y
z
 
35 m 
 
Halla la cantidad de números de dos cifras ab verifican que 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) bababaabbaabbabaab <⇒<⇒<⇒+<+⇒+<+×⇒< 4
7
29
72910330101033 , siendo a y b 
dígitos. 
Posibilidades: 
• 9,8,7,6,51 =⇒= ba : Números 1918171615 −−−− 
• 92 =⇒= ba : Número 29 
Total, 
6 números 
 
Seis superhéroes capturan a 20 villanos. 
El primer superhéroe captura 1, el segundo captura 2, el 
tercero captura 3 y el cuarto superhéroe captura más 
villanos que cualquiera de los otros 5 superhéroes. 
¿Cuál es el menor número de villanos que debe haber 
capturado el cuarto superhéroe? 
 
 
SOLUCIÓN 
Según el enunciado, entre los tres últimos superhéroes capturan 1432120 =−−− villanos y, además, el 
cuarto superhéroe captura más de 3 villanos. 
Y no solo eso. Como debe capturar más que cualquier otro superhéroe al menos debe capturar 6 villanos y, 
así, los superhéroes quinto y sexto capturarán, convenientemente, 4 villanos cada uno. 
Si capturase 5 villanos, en el mejor de los casos (para el problema) otro superhéroe capturaría los mismos. 
Por lo tanto, 
6 villanos 
 
Los enteros positivos a, b y c verifican: a·b·c = 240, a·c + b = 46, a + b·c = 64. 
¿Cuál es el valor de a + b + c ? 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ⇒−±=⇒=+−⇒=−×⇒



−=×⇒=+×
=××
2405292302404624046
4646
240 2 bbbbb
bcabca
cba
 



=
=
⇒±=⇒
6
40
1723
b
b
b 
• Si 



=+
=×
⇒=
6440
6
40
ca
ca
b : ¡imposible! 
• Si 4;10
646
40
6 ==⇒



=+
=×
⇒= ac
ca
ca
b 
Por lo tanto, =++=++ 1064cba 
20 
 
Se tienen piezas de plástico iguales con la forma de un pentágono regular. 
Si se disponen como en la figura, ¿cuántas piezas se necesitan para cerrar el círculo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si construimos el cuadrilátero con lados rojos, sus cuatro ángulos suman º360 
Tres ángulos son iguales y son los correspondientes a los ángulos internos a un 
pentágono regular: º108º72º180
5
º360
º180 =−=− 
Entonces, º36ª324º360º1083º360º360º1083 =−=×−=⇒=×+ αα 
Como 10
º36
º360º360 ==
α
, la cantidad de piezas en forma de pentágono regular 
que se necesitan para cerrar el círculo son 
10 
 
¿Cuántos números Nde cuatro cifras verifican que al borrar en N la cifra de las 
unidades de millar se obtiene otro número de tres cifras que es un noveno de N ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Lo que se indica es que cuántos números de la forma abcdN = cumplen que 
99
abcdN
bcd == , siendo 
dcba ,,, dígitos y 0≠a 
⇒+++=++⇒+++=++⇒= dcbadcbdcbadcbabcdbcd 101001000990900
9
101001000
10100
9
 
abcdadcbdcbadcba 1251251010001010012508808001000 =⇒=++⇒=−−−⇒=−−− , lo que 
nos indica que el número de tres cifras debe ser múltiplo de 125 y el número de 4 cifras debe ser divisible 
por 9 (que conseguiremos eligiendo la cifra de las unidades de millar de manera que la suma de las cifras sea 
múltiplo de 9 ) 
Posibilidades: 
• 11251251251 =⇒=×= Nbcd : 125
9
1125 = 
• 22502501252 =⇒=×= Nbcd : 250
9
2250 = 
• 33753751253 =⇒=×= Nbcd : 375
9
3375 = 
• 45005001254 =⇒=×= Nbcd : 500
9
4500 = 
• 56256251255 =⇒=×= Nbcd : 625
9
5625 = 
• 67507501256 =⇒=×= Nbcd : 750
9
6750 = 
• 78758751257 =⇒=×= Nbcd : 875
9
7875 = 
Cumplen la condición del enunciado 
7 números 
 
¿Cuántos enteros positivos n hay, tales que tanto n/3 como 3n sean 
números de tres cifras? 
 
 
SOLUCIÓN 
Evidentemente el menor valor será 100
3
300
3
300 ==⇒= nn y 90030033 =×=n y el mayor valor 
111
3
333
3
333 ==⇒= nn y 99933333 =×=n 
En resumen, serán los valores 1113333...,......,1023306,1013303,1003300 ×=×=×=×= que son 
12 números 
 
En el triángulo isósceles de la figura el lado desigual es AB = 12 cm y 
está dividido en cuatro polígonos de igual área por segmentos 
perpendiculares al lado AB. 
¿Cuál es el valor de x ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Nombramos los segmentos que se ven en la figura adjunta y, según las 
condiciones del problema, se sabe que 61222 =+⇒=+ bxbx y, 
como las cuatro superficies son iguales, 
( )
( ) ( ) ⇒

=+
=
⇒



=+
=
⇒





×+=×+×
×+=××
hbhab
hxa
hbhab
hxa
hbxbha
hbxax
3
3
622
62
2
22
2
4
2
22
2
4
( ) ( )
⇒=⇒=⇒





=⇒=⇒×−=−=+×⇒=++
=
⇒ 22 63
63
6
6666
3
ah
h
a
a
h
h
a
xxhahbbhhbxahbhabxa
a
h
x
 ahah ×=⇒=⇒ 22 22 
Igualando áreas, 
( ) ( ) bxababxahbabxabhaax ×+=⇒×+=⇒+=⇒×+=× 212
22
 y como 
( ) ( ) ( )
22
266
2662262166
+
+=⇒+=×+⇒−×+=⇒−=⇒=+ xxxxxbbx 
Racionalizando, 
( ) ( )
( ) ( ) ⇒=−
−−+=
−×+
−×+=
+
+=
2
26
24
122621212
2222
22266
22
266
x 
x = 3√2 cm 
 
Se da la función f (x ) = (m – x)(n – x)2, donde 0 < m < n. Su gráfica es una de las siguientes 
 
¿Cuál? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como ( )( ) ( ) −∞=+−=−−=
+∞→+∞→+∞→
...limlim)(lim 32 xxnxmxf
xxx
, se desechan las gráficas b y d 
Los únicos ‘ceros’ de la función son m y n, se desecha la gráfica e que posee tres ‘ceros’ 
Por último, m es un ‘cero’ simple de la función y menor que n, que es ‘cero’ doble, por lo que la gráfica no 
puede ser la c y la apropiada es la 
a 
 
Sea P un punto del interior del triángulo equilátero ABC y Q, R y S los pies de 
las perpendiculares desde P a los lados AB, BC y CA, respectivamente. 
Si PQ = 1 cm, PR = 2,5 cm y PS = 2,5 cm, ¿cuánto mide el lado del triángulo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si llamamos CABCABa === a la longitud del lado del triángulo 
equilátero, su superficie es 2
4
3
aS = 
Dicha superficie será igual a la suma de las áreas de los tres triángulos que 
se construyen con alturas los datos dados y con bases los lados del triángulo. 
Entonces, 
0
22 3
2
6
4
3
4
3
2
5,2
2
5,2
2
1 ≠
⇒=×=⇒=×+×+×
a
a
a
aa
aaa
 
⇒==⇒=⇒
≠
3
312
3
12
3
4
30
aa
a
 
a = 4 x √3 cm 
 
Se considera un rectángulo, uno de cuyos lados mide 5. El rectángulo se corta en 
un cuadrado y un rectángulo, de los cuales uno tiene área 4 
¿Cuántos rectángulos hay que cumplan estas condiciones? 
 
 
SOLUCIÓN 
Veamos las posibilidades: 
a) Disposición 1: llamamos 5<x a la longitud del lado del cuadrado de 
área 4 , con lo que el rectángulo total es de x×5 y se verifica que 
242 =⇒= xx 
El rectángulo que cumple las condiciones es 25× , descompuesto en un 
cuadrado de lado 2 y un rectángulo 23× 
b) Disposición 2: llamamos 5<x a la longitud del lado del cuadrado y el 
rectángulo pequeño posee área 4 , con lo el rectángulo total es de x×5 
y se verifica que 
( )



=
=
⇒=+−⇒=−⇒=×−
4
1
0454545 22
x
x
xxxxxx 
Los rectángulos que cumplen las condiciones son dos: 
1. Rectángulo 15× , descompuesto en un cuadrado de lado 1 y un rectángulo 14× 
2. Rectángulo 45× , descompuesto en un cuadrado de lado 4 y un rectángulo 41× 
c) Disposición 3: llamamos 5<x a la longitud del lado del rectángulo de 
área 4 y el cuadrado es de lado 5 , con lo que el rectángulo total es de 
( )x+× 55 y se verifica que 
5
29
5
4
55
5
4
45 =+=+⇒=⇒= xxx 
El rectángulo que cumple las condiciones es 
5
29
5× , descompuesto en 
un cuadrado de lado 5 y un rectángulo 
5
4
5× 
En resumen, hay 
4 rectángulos 
 
Las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. 
Si dicho triángulo está inscrito en un círculo de radio 3, ¿cuál es el área del triángulo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea a la constante de proporcionalidad. Los lados del triángulo son aaa 5,4,3 y, 
por consiguiente, dicho triángulo es rectángulo ya que verifica el teorema de 
Pitágoras: ( ) ( ) ( )222 543 aaa =+ 
El diámetro de todo círculo circunscrito a un triángulo rectángulo coincide con la 
hipotenusa de éste luego 
5
6
6325 =⇒=×= aa 
Los catetos son por tanto 
5
18
5
6
33 =×=a y 
5
24
5
6
44 =×=a . El área del triángulo es =×=
×
25
1218
2
5
24
5
18
 
216/25 = 8,64 
 
En el triángulo ABC los puntos M y N sobre el lado AB son tales que AN = AC 
y BM = BC. Además, el ángulo MCN es de 43o, como se ve en la figura. 
¿Cuánto mide el ángulo ACB ? 
 
 
SOLUCIÓN 
En el triángulo ABC se verifica que º180ˆˆˆ =++ ABCABCABC CBA . Como ABCĈ=α es el ángulo que buscamos, 
tendremos que ABCABC BA ˆˆº180 −−=α 
Por otro lado tenemos: 
• En ANC , isósceles, MNCABCMNCABCANCANC NANANA ˆ2º180ˆº180ˆ2ˆº180ˆ2ˆ ×−=⇒=×+⇒=×+ 
• En MBC , isósceles, MNCABCMNCABCMBCMBC MBMBMB ˆ2º180ˆº180ˆ2ˆº180ˆ2ˆ ×−=⇒=×+⇒=×+ 
• En MNC , º137º43º180ˆº180ˆˆº180ˆˆˆ =−=−=+⇒=++ MNCMNCMNCMNCMNCMNC CNMCNM 
Entonces, ( ) ( ) ( ) ⇒−+×=×−−×−−=−−= º180ˆˆ2ˆ2º180ˆ2º180º180ˆˆº180 MNCMNCMNCMNCABCABC MNMNBAα 
=−=−×=⇒ º180º274º180º1372α 
94o 
 
La probabilidad de obtener 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en un determinado dado es proporcional a los 
números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, respectivamente. 
¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 7 al lanzar dos veces ese dado? 
 
 
SOLUCIÓN 
En el dado las probabilidades para sacar cada cara son, siendo a el factor de proporcionalidad, aP =)1( , 
aP 2)2( = , aP 3)3( = , aP 4)4( = , aP 5)5( = , aP 6)6( = 
Como la suma de todas estas probabilidades debe ser la del suceso seguro, ⇒=+++++ 165432 aaaaaa 
21
1
121 =⇒=⇒ aa 
Por lo tanto, las probabilidades de salir cada una de las caras son 
21
1
)1( =P , 
21
2
)2( =P , 
21
3
)3( =P , 
21
4
)4( =P , 
21
5
)5( =P , 
21
6
)6( =P , 
La probabilidad de sacar suma 7 las tirar el dado dos veces seguidas es la suma de las probabilidades de 
todos los casos: ⇒+++++= )16()25()34()43()52()61()7( IIIIII PPPPPPsumaP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒×+×+×+×+×+×=⇒ 162534435261)7( PPPPPPPPPPPPsumaP 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⇒




 ×+×+××=×+×+××=⇒
21
4
21
3
21
5
21
2
21
6
21
1
24352612)7( PPPPPPsumaP 
==×=++×=⇒
441
56
441
28
2
441
12106
2)7(sumaP 
8/63 = 0,12698… 
 
¿Cuántos pares (x, y) de enteros, con x ≤ y, cumplen la condición de 
que su producto es igual a cinco veces su suma? 
 
 
SOLUCIÓN 
Se debe cumplir que ( ) ( ) ⇒×=−×⇒×=×−×⇒×+×=×⇒+×=× xxyxyyxyxyxyxyx 5555555 
5
5
−
=
x
x
y 
El denominador debe ser, en valor absoluto, 255,1 o . Potencias superiores de 5 no dan lugar a resultados 
válidos. 
 Estudiamos los casos teniendo en cuenta que hay una simetría en la búsqueda de los pares: 
30
56
65
615 =
−
×=⇒=⇒=− yxx , se cumple yx ≤ . El par ( )30,6 cumple la condición⇒=⇒−=− 415 xx :)20,4(20
54
45 −⇒−=
−
×=y no se cumple yx ≤ . Por simetría, el par )4,20(− 
cumple la condición 
10
510
105
1055 =
−
×=⇒=⇒=− yxx , se cumple yx ≤ . El par ( )10,10 cumple la condición 
0
50
05
055 =
−
×=⇒=⇒−=− yxx , se cumple yx ≤ . El par ( )0,0 cumple la condición 
:6
530
305
30255 =
−
×=⇒=⇒=− yxx no se cumple yx ≤ . Por simetría, el par ( )30,6 cumple la condición y 
ya lo hemos detectado antes 
( )
4
520
205
20255 =
−−
−×=⇒−=⇒−=− yxx , se cumple yx ≤ . El par ( )4,20− cumple la condición y ya lo 
hemos detectado antes 
En conclusión, hay cuatro pares distintos cumpliendo la condición: ( )30,6 , )4,20(− , ( )10,10 y ( )0,0 
4 pares de números enteros 
 
Hoy es el cumpleaños de Sara, Laura y Mónica. La suma de sus edades es 44. 
¿Cuántos años deberán transcurrir para que sea otra vez la suma de sus edades 
como hoy, un número de dos cifras ambas iguales? 
 
 
SOLUCIÓN 
El incremento de 44 debe ser un múltiplo de 3 pues todas cumplen la misma cantidad de años 
Será, por tanto n344 + como esta suma debe ser de dos cifras iguales, el menor número n que permite 
obtenermoa es 7733441134411 =+=×+⇒=n 
Habrán transcurrido 
11 años 
 
Las medidas de los ángulos de un pentágono convexo forman una progresión 
aritmética creciente: 
A < B < C < D < E 
¿Cuánto mide el ángulo C ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Si la diferencia de esa progresión es d , tenemos que dCA 2−= , dCB −= , 
dCD += y dCE 2+= expresando todos los demás ángulos en función de 
C 
Triangulando el pentágono observamos que la suma de todos los ángulos del 
pentágono es, precisamente, la suma de los ángulos de los tres triángulos en 
los que se descompone: º540º1803 =×=++++ EDCBA 
De todo lo anterior, 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+++++−+−=++++ º54022 dCdCCdCdCEDCBA 
º108
5
º540
º5405º54022 ==⇒=⇒=+++++−+−⇒ CCdCdCCdCdC 
C = 108o 
 
Los radios de dos círculos concéntricos están en la proporción 1 a 3 
AC es un diámetro del círculo grande, BC es una cuerda tangente al círculo 
pequeño y la longitud del segmento AB es 12. 
 Halla el radio del círculo grande. 
 
 
SOLUCIÓN 
Si consideramos los radios R y r (de los círculos grande y pequeño 
respectivamente) el enunciado nos dice que rR 3= 
Por otro lado, los triángulos que aparecen son ambos rectángulos y 
semejantes. 
ABC es rectángulo en B porque la hipotenusa es un diámetro de su círculo 
circunscrito y OTC es rectángulo en T porque TC es tangente al círculo 
pequeño y, por tanto, perpendicular al radio OT en el punto de contacto. 
Como tienen un ángulo agudo común ( C ), son semejantes. 
Establecemos entre ambos triángulos la proporcionalidad entre sus lados: 
6
2
12
2
1
212
==⇒==⇒= r
R
Rr
AC
OC
AB
OT
 
De ahí, 18633 =×== rR 
R = 18 unidades lineales 
 
En un triángulo rectángulo la bisectriz de uno de los ángulos agudos divide al lado 
opuesto en dos segmentos de longitudes 4 y 5. 
Halla el área del triángulo. 
 
 
SOLUCIÓN 
Observando los dos triángulos rectángulos formados ( ABC y ADC ) tenemos, por 
construcción, que el ángulo C del primer triángulo es el doble que el del segundo, 
Si llamamos α a éste tenemos, en el triángulo ADC , que 
h
4
tan =α y, en el triángulo 
ABC , 
h
9
2tan =α 
Entonces, ⇒=⇒−=⇒




 −×=⇒=





−
×
=
−
= 114414498161989
4
1
4
2
tan1
tan2
2tan 22222 hhhhhh
h
h
α
αα 
121442 =⇒=⇒ hh 
Por tanto, el área del triángulo es 54
2
129
2
=×=× hAB 
54 unidades cuadradas 
 
Seis semanas son n! (factorial de n ) segundos. ¿Cuánto vale n ? 
 
 
SOLUCIÓN 
El número de segundos de seis semanas es: 
=×××× utosegundoshorautosdiahorassemanadiassemanas min/60/min60/24/76 
60602476 ××××= segundos 
Desglosamos: =××××××××=××××××××=×××× 1049258376106625837660602476 
!101098765432 =××××××××= , por lo que 
n = 10 
 
Un coche de juguete se mueve a velocidad constante de 10 cm/seg. 
A y B controlan sus movimientos mediante sendos mandos a 
distancia. 
El coche comienza a andar en el instante t = 0. A partir de ese 
momento, A pulsa su mando cada 3 segundos y B cada cinco 
segundos. Cada vez que pulsa A el coche hace un giro de 90º hacia la 
izquierda y cada vez que pulsa B el coche hace giro de 90º a la derecha. Si el juguete recibe al mismo 
tiempo dos órdenes distintas, las ignora y continúa en la misma dirección que tenía antes de recibir las 
órdenes simultáneas. 
Después de un cierto tiempo, A y B observan que la trayectoria del juguete es un polígono cerrado. 
¿Cuál es el área de este polígono? 
 
 
SOLUCIÓN 
Mostramos una cuadrícula en la que se ha detallado la 
trayectoria del coche. Cada cuadrícula tiene 10 cm de 
lado y cada número, en rojo, representa el segundo de 
tiempo en el que el coche hace como trayecto el 
segmento adjunto. 
Con la trayectoria que indica el enunciado se forma, a 
los 30 segundos, el polígono cerrado que se ve. 
Al tener 483367 =++× cuadrículas en su interior, y 
cada una de ellas de 1001010 =× cm2, la superficie 
total del polígono es =×10048 
4800 cm2 
 
Los vértices de un cubo se numeran de 1 a 8 de tal manera que la suma de los cuatro 
números que están en los vértices de una cara es la misma para todas las caras. 
Ya se han colocado los números 1, 4 y 6. ¿Cuánto vale x? 
 
 
SOLUCIÓN 
Teniendo en cuenta que cada vértice corresponde a tres caras y que 
3687654321 =+++++++ la suma total de todas las caras es 108336 =× y 
como hay 6 caras en el cubo, cada cara suma 18
6
108 = . Por tanto la cara inferior 
tiene como cuarto vértice un valor de 746118 =−−− 
Llamando xcba ,,, a los vértices de la cara superior tenemos que 
( )





−=
−=
+=
⇒





−=
−=
−−=
⇒







−=
−=
−=
−=
⇒







=+
=+
=+
=+
⇒







=+++
=+++
=+++
=+++
xc
xb
xa
xc
xb
xa
xc
xb
ca
ba
xc
xb
ca
ba
xc
xb
ca
ba
5
7
6
5
7
713
5
7
11
13
5
7
11
13
1876
1874
1861
1841
 
Como solo quedan por disponer los dígitos 23,5,885,3,2 ====⇒ xycbay 
x = 2 
 
Halla la suma de todos los números naturales de dos cifras tales que, al dividir a 109, se 
obtenga resto 4 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean x esos números: 7531054109 ××==×⇒+×= cxcx 
Como x es de dos cifras, las posibilidades son 





=×
=×
=×
=
3575
2173
1553
x 
Entonces, =++ 352115 
71 
 
La pareja de números 54 y 18 tiene la propiedad de que su suma (72) 
es el doble de su diferencia (36). 
¿Cuántas parejas de números enteros positivos, menores que 100, 
tienen esta propiedad? 
 
 
SOLUCIÓN 
El enunciado plantea parejas de números 1000 <≤< yx tales que ( ) ⇒−=+⇒−×=+ xyxyxyxy 222 
xy 3=⇒ 
La pareja con números más grandes es 99,33 == yx : 33399 ×= , y la pareja con más pequeños es 
3,1 == yx : 133 ×= , 
En resumen, hay 
33 parejas 
 
La función f (x ) = ax + b verifica las igualdades f (f (f (1))) = 29 y f (f (f (0))) = 2 
¿Cuál es el valor de a ? 
 
 
SOLUCIÓN 
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇒=+++×⇒=+++××=++×=+= 29291 2 bbabaabbbaaabbaafbafffff 
2923 =+++⇒ babbaa 
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 220 2 =++⇒=++××=+×== babbabbbaabbafbfffff 
Entonces, ⇒=⇒=+ 27292 33 aa 
a = 3 
 
Se superponen un círculo y un cuadrado de lado 1, de modo que el área del 
cuadrado que no está tapada por el círculo es igual al área del círculo que no 
está tapada por el cuadrado. 
Calcula el radio del círculo. 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos r al radio del círculo. 
Sean R , Z y A las áreas respectivas de las superficies roja, azul y amarilla. 
Según el enunciado, ==⇒=⇒=⇒−=−⇒=
ππ
ππ 1111 2222 rrrAArZR 
0,5642 unidades lineales 
 
Se tienen 10 enteros positivos distintos. Exactamente 5 de ellos son divisibles por 5, y 
exactamente 7 de ellos son divisibles por 7. Sea M el mayor de esos 10 números. 
¿Cuál es el menor valor posible de M? 
 
 
SOLUCIÓN 
De 10 número, si 5 son divisibles por 5 y 7 son divisibles por 7 , deberá haber 2 al menos divisibles, a la 
vez, por 7 y por 5: los menores números en estas condiciones son 35 y 70 . 
Además habrá tres números más divisibles por 5 que pueden ser 5 , 10 y 15 y cinco más divisibles por 7 : 
7 , 14 , 21 , 28 y 42 
El menor valor posible de M es 
70 
 
Tenemos cuatro números. 
Sumando uno de ellos al promedio de los otros tres, de todas 
las maneras posibles, se obtienen los números 25, 37, 43 y 51. 
¿Cuál es el promedio de los cuatro números dados al principio? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sean los números dcba ,,, . El enunciado nos dice que 











=+++
=+++
=+++
=+++
51
3
43
3
37
3
25
3
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a
 y, sumando todo, 
++++⇒+++=+++++++++++++++ dcbacbaddbacdcabdcba 51433725
3333
 
( ) 78
2
156
1562156
3
3333 ==+++⇒=+++×⇒=++++ dcbadcbadcba 
Por lo tanto, el promedio es ==+++
4
78
4
dcba
 
19,5 
 
Hay 9 zorros en la comarca cuya piel es de color plata u oro. 
Cuando se juntan 3 cualesquiera de ellos, la probabilidad de que ninguno sea plateado 
es 2/3. 
¿Cuántos zorros son dorados? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea p el número de zorros plateados y p−9 el número de zorros no plateados (: dorados) 
La probabilidad de que ninguno sea plateado es igual a la de que los tres sean dorados. 
Los casos posibles son las combinaciones de nueve zorros tomados de tres en tres: 





3
9
, y los casos 
favorables a que todos sean dorados son las combinaciones de todos los dorados tomados de tres en tres: 





 −
3
9 p
 
Por lo tanto, la probabilidad es 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
⇒=
××
−×−×−
⇒=
×
−×
−
⇒=











 −
3
2
789
789
3
2
!6!3
!9
!6!3
!9
3
2
3
9
3
9
pppp
pp
 
( ) ( ) ( ) ⇒=−⇒××=−×−×−⇒ 89678789 pppp 
hay 8 zorros dorados 
 
Un canguro escapa después de haber mordido la oreja de su 
hermana, que le persigue. 
Ella empieza a saltar tras él cuando el canguro ha dado ya 6 
saltos en su carrera. 
Los saltos de ella son el doble de largos que los de él, pero ella da 
4 saltos mientras él da 5. 
¿Cuántos saltos da ella para alcanzarlo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Supongamos que x es la longitud del salto del macho canguro. Entonces, x2 es la longitud de cada salto de 
la hembra canguro. 
En el mismo intervalo de tiempo (tomado como unidad temporal), la hembra canguro da 4 saltos mientras 
el macho canguro da 5 y recorren respectivamente, en unidades de longitud, xx 824 =× y xx 55 =× 
Por tanto, con 6 saltos previos del macho, cuando la hembra lo alcance en n intervalos de tiempo se 
verificará que 263568568 =⇒=⇒+=⇒×+=× nxxnxnxxnnxxnx intervalos de tiempo tarda la 
hembra en coger al macho: ella necesita, para alcanzarlo, =× 24 
8 saltos 
 
Se quieren determinar varios enteros positivos distintos, ninguno de los cuales es 
mayor que 100, de modo que su producto no sea divisible por 54. 
¿Cuántos enteros positivos, como máximo, se podrán escribir cumpliendo esas dos 
condiciones? 
 
 
SOLUCIÓN 
Hay 33)3/99( =aparteEnter múltiplos de 3 menores de 100 . Tomando todos los restantes, 663399 =− , 
obtenemos un conjunto cuyo producto no es divisible por 3 
Añadiendo los números 3 y 6 obtendremos también otro producto que no será divisible por 2354 3 ×= 
En resumen se necesitan, para que se cumplan las condiciones del problema, =+ 266 
68 enteros positivos 
 
En el polígono regular de 18 lados ABCDEFGHIJKLMNPQRS y centro O, ¿cuánto mide el 
ángulo KSF ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Teniendo en cuenta que los triángulos KOS y SOF son isósceles (los 
radios del polígono son lados iguales en ambos) y que el polígono 
regular divide al ángulo completo y central O en 18 ángulos de 
º20
18
º360 = , vemos que 
1. En KOS , º20
2
º140º180ˆº140º207ˆ =−=⇒=×= OSKSOK 
2. En SOF , º30
2
º120º180ˆº120º206ˆ =−=⇒=×= FSOFOS 
En resumen, =+=+= º30º20ˆˆˆ FSOOSKFSK 
50o 
 
Dos polígonos regulares de lado 1 están en lados opuestos de su lado 
común AB. 
Uno de ellos es un polígono de 15 lados ABCD…. y el otro es un polígono 
de n lados ABZY… 
¿Qué valor de n hace que la distancia CZ sea igual a 1? 
 
 
SOLUCIÓN 
En principio hay que considerar que para cualquier polígono regular 
de m lados se verifica que los ángulos interiores que determinan 
lados adyacentes miden 
m
º360
º180 − , valor fácilmente deducible a 
partir del esquema dibujado del problema. 
Por lo tanto, el ángulo del polígono de 15 lados es 
º156º24º180
15
º360
º180ˆ =−=−=CBA 
Además, el ángulo del polígono de n lados es 
n
ZBA
º360
º180ˆ −= 
 Como el triángulo CBZ de lados unidad es equilátero el ángulo º60ˆ =ZBC y se cumple que 
⇒=−++⇒=−++⇒=++
nn
ZBAZBCCBA
º360
º360º180º60º156º360
º360
º180º60º156º360ˆˆˆ 
10
º36
º360º360
º36 ==⇒=⇒ n
n
 
Por lo tanto, 
n = 10 y el polígono debe ser un decágono regular 
 
La fracción 101/110 es la suma de dos fracciones positivas cuyos denominadores son 5 
y 22. 
¿Cuál es la diferencia entre esas dos fracciones? 
 
 
SOLUCIÓN 
110
522
225110
101 baba +=+= 
Entonces, 
5
21
420
5
22101
221015101522
a
a
a
babba
−+−=−=⇒−=⇒=+ 
Como a y b deben ser valores positivos y enteros, vamos dando valores al primer parámetro: 
• 711220
5
321
34203 =−−=×−+×−=⇒= ba 
• 033220
5
821
84208 <−−=×−+×−=⇒= ba , lo cual no cumple las condiciones del problema y 
para valores mayores de a pasará igual. 
Por lo tanto, la única suma válida es 
22
7
5
3
110
101 += y =−=−
110
3566
22
7
5
3
 
31/110 
 
Los enteros positivos k, m y n verifican las igualdades k = (2016 + m)1/n = 10241/n + 1 
¿Qué valores distintos puede tomar el número m ? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como ( ) ( ) 1212110242016
101
10
11
+=+=+=+= nnnnmk es un valor entero positivo, las opciones son los 
valores de n correspondientes a divisores de 10 : 
• 991102520161025110241220161 10 =⇒−=⇒=+=+=+=⇒= mmmkn 
• ( ) ⇒==+⇒=+=+=+=+=+=⇒= 1089332016331321212201620162 252
10
2
1
mmmkn 
92710892016 =⇒−=⇒ mm 
• ( ) ⇒==+⇒=+=+=+=+=+=⇒= 3125520165141212201620165 525
10
5
5
1
mmmkn 
110931252016 −=⇒−=⇒ mm , que no cumple las condiciones por ser negativo 
• ( ) ⇒==+⇒=+=+=+=+=⇒= 5904932016312122016201610 1010
10
10
10
1
mmmkn 
57033590492016 −=⇒−=⇒ mm , que no cumple las condiciones por ser negativo 
Por lo tanto, m puede tomar 
2 valores distintos: 927 y 991 
 
Se escribe el número 2016 mil veces seguidas: 
¿Cuál es el menor número de cifras que hay que borrar para que las que queden sumen 2016? 
 
 
SOLUCIÓN 
La suma total de las cifras es ( ) 900061021000 =+++× . Evidentemente, conforme se quiten las cifras de 
valor más alto, más nos acercaremos al objetivo del problema. 
Si quitamos las mil cifras 6 el resto suman 300060009000 =− 
Falta quitar cifras que sumen 98420163000 =− . Si quitamos ‘doses’ lo conseguiremos quitando 492
2
984 = 
Quedarán 1000 ‘unos’, 1000 ‘ceros’ y 5084921000 =− ‘doses’ que sumarán ( ) 20162508011000 =×++× 
Por tanto, hay que quitar 1000 ‘seises’ y 492 ‘doses’. 
1492 cifras como mínimo 
 
En los bosques de la isla mágica hay tres clases de animales: leones, 
lobos y cabras. Los lobos pueden comer cabras, y los leones pueden 
comer lobos o cabras. 
Pero como la isla es mágica, si un lobo se come a una cabra, se 
convierte en león. Si un león se come una cabra, se convierte en lobo. Si 
un león se come un lobo, se convierte en cabra. 
Si inicialmente hay 17 cabras, 55 lobos y 6 leones, ¿cuál es el mayor 
número posible de animales que quedan en la isla cuando ya no sea 
posible que se coman entre sí? 
 
 
SOLUCIÓN 
Al final del proceso sólo debe haber un tipo de animal y éste, lógicamente, debe ser el león. 
Si 17 lobos se comen a las respectivas cabras obtendremos 17 nuevos leones a unir a la manada, que se 
convertirá en una de 23617 =+ leones y las cabras habrán desaparecido quedando también 381755 =− 
lobos. 
A partir de ahí, 
• un león come a un lobo (un lobo menos) y se convierte en cabra (un león menos y una cabra): 
quedan 22 leones, 37 lobos y 1 cabra 
• un lobo come a la cabra (ya no hay cabras)y se convierte en león (un león más y un lobo menos): 
quedan 23 leones y 36 lobos 
Este proceso doble, en el que se pierden 2 lobos, se itera hasta que no quedan lobos quedando 
23 leones 
 
El triángulo ABC tiene los lados de longitudes 40, 60 y 80, y su 
altura más larga es k veces su altura más corta. 
Halla el valor de k. 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea a la altura más corta, que será la correspondiente al lado 
mayor, 80 . 
Evidentemente la altura más larga, ka , es la correspondiente al lado 
menor, 40 . 
El área del triángulo se puede calcular teniendo en cuenta las dos 
alturas… y en ambos casos será el mismo valor: 
⇒
×
×=⇒×=×
a
a
k
aka
40
80
2
80
2
40
 
k = 2 
 
Este año la suma de las edades, ya cumplidas, de una abuela, su hija y su 
nieta es 100. 
¿En qué año nació la nieta si las tres edades son potencias de 2? 
 
 
SOLUCIÓN 
100222 =++ zyx , siendo x2 la edad de la abuela, y2 la edad de la hija y z2 la edad de la nieta. 
Consideramos las potencias de 2 menores de 100 : 
 64232216282422212 6543210 ======= 
La abuela debe tener 64 años porque la suma de los tres números más grandes, sin dicho número, no 
alcanza la centena: 1005681632 <=++ 
Por la misma razón la hija debe tener 32 años porque, siendo 64 la edad de la abuela, la suma de los dos 
números más grandes, sin el 32 , no alcanza la centena con el 64 : 1008881664 <=++ 
De lo anterior, la nieta debe tener 43264100 =−− años: 10022210043264 256 =++⇔=++ por lo que 
la nieta nació en 2012 
 
Se considera el conjunto de todos los números de 7 cifras distintas que se 
pueden escribir con las cifras 1, 2,.3, 4, 5, 6 y 7. 
Se colocan dichos números en orden creciente. 
¿Cuál es el último número de la primera mitad de la lista? 
 
 
SOLUCIÓN 
La cantidad de números en las condiciones del problema es el número de permutaciones de 7 dígitos: 
5040!77 ==P números. 
Se pide el número que ocupa el lugar 2520
2
5040 = 
La cantidad de números comenzando por cada uno de los siete dígitos es 720!66 ==P y se cumple que 
3
720
2520 =





aParteEnter , por lo que el número que se busca empieza por 4 al estar antes todos los 
números que empiezan por 1, por 2 y por 3 . Además, la cantidad de estos últimos números es 
21603720 =× por lo que el primer número que empieza por 4 ocupa el lugar 2161 y hasta llegar al lugar 
buscado hay 36021602520 =− números 
La cantidad de números que empiezan por 4 comenzando por cada uno de los siete dígitos es 120!55 ==P y 
se cumple que 3
120
360 = , por lo que el número que se busca empieza por 4 y es el último que sigue con 3 al 
estar antes todos los que siguen con 1 y con 2 y todos los que siguen con 3 hasta dicho número. 
En suma, es el número 
4376521 
 
Seis personas comparten un piso con dos cuartos de baño, que usan 
cada mañana empezando a las 7 h en punto. Ningún cuarto de baño es 
utilizado por dos personas al mismo tiempo. 
Tardan 9, 11, 13, 18, 22 y 23 minutos en usar el cuarto de baño, 
respectivamente. 
Se sientan a desayunar tan pronto como la última persona termina. 
Si están bien organizadas, cuál es la hora más temprana a la que pueden 
desayunar? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sumando todos los minutos obtenemos 9623221813119 =+++++ minutos 
Distribuyendo en tríos los minutos, ninguna suma es 48
2
96 = minutos, que permitiría un uso óptimo, en 
cuanto a tiempo, de los dos cuartos de baño. 
Ahora bien, si distribuimos las parejas por cantidad de minutos similares obtenemos 32239 =+ , 
332211 =+ y 311813 =+ , y podemos organizar los baños así: 
• Cuarto 1: 4918229 =++ minutos 
• Cuarto 2: 47131123 =++ minutos 
que permite que desayunen a las 
7 horas 49 minutos 
 
En la figura, PT es tangente a una circunferencia C de centro O y PS es la 
bisectriz del ángulo TPR 
Calcula la medida del ángulo TSP 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos PST ˆ=α al ángulo buscado. 
Además, sea PRT ˆ=β y RPSSPT ˆˆ ==γ 
Trazamos el radio OT y determinamos que el triángulo ROT es isósceles, 
por lo que ββ +=⇒= º90ˆˆ RTPRTO pues el ángulo PTO ˆ es recto al 
estar formado por el radio y la tangente en T 
Por lo tanto, en el triángulo PTR se verifica que ⇒=−=+⇒=+++ º90º90º18022º1802º90 γβγββ 
º45=+⇒ γβ 
Y en el triángulo PTS se cumple que =−−=⇒=++⇒=+++ º45º90º180º180º45º90º180º90 ααγβα 
45o 
 
Se ha descubierto en África una nueva especie de 
cocodrilo. La longitud de su cola es un tercio de su 
longitud total. La cabeza tiene 93 cm de largo y es la 
cuarta parte de la longitud del cocodrilo sin la cola. 
¿Cuál es, en centímetros, la longitud del cocodrilo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Llamamos m a la longitud de la cabeza, n a la longitud de cuerpo sin la cola y p a la longitud de la cola; 
todo medido en centímetros. 
El enunciado nos dice que 
=×==++=++⇒





=
=
=
⇒





=
=
=
⇒





+=
=
++=
⇒







+=
=
++=
936623
3
93
2
3
93
42
4
93
3
4
93
3
mmmmpnm
mn
m
mp
nm
m
mp
nmm
m
pnmp
nm
m
m
pnm
p
 
558 cm 
 
Tres vértices cualesquiera de un cubo forman un triángulo. 
¿Cuál es el número de esos triángulos cuyos vértices no están en la misma cara 
del cubo? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como hay 8 vértices en un cubo, el número total de triángulos que se pueden formar son las combinaciones 
de ocho puntos tomados de tres en tres: 5678
!56
!5678
!5!3
!8
3
8
3,8 =×=×
×××=
×
=





=C triángulos 
Hay seis caras con cuatro vértices cada una, y el número de triángulos que se pueden hacer en cada cara es 
4
!3
!34
!1!3
!4
3
4
3,4 =
×=
×
=





=C por lo que en las seis caras serán 2446 =× triángulos. 
Entonces, el número de triángulos que cumplen las condiciones del problema es =− 2456 
32 triángulos 
 
Chelo, Ana e Irene quieren comprar tres sombreros iguales. 
A Chelo le falta un tercio del precio, a Ana un cuarto y a 
Irene un quinto. 
Si los sombreros se rebajan 9,40 € cada uno, las tres pueden 
reunir sus ahorros y comprar los sombreros sin que les sobre 
ni un céntimo. 
¿Cuál era el precio de cada sombrero antes de la rebaja? 
 
 
SOLUCIÓN 
Sea x el precio de cada sombrero. 
Inicialmente, Chelo tiene 
3
2
3
xx
x =− €, Ana tiene 
4
3
4
xx
x =− € e Irene tiene 
5
4
5
xx
x =− € para intentar 
comprarlos. En total, 
60
133
60
484540
5
4
4
3
3
2 xxxxxxx =++=++ € 
Como pueden comprar los tres sombreros rebajados de manera exacta, 
( ) ==⇒=⇒−=⇒−=×−=
47
1692
169247169218013320,283340,9
60
133
xxxxxx
x
 
36 € 
 
La figura muestra el mismo cubo desde dos perspectivas diferentes. 
Está construido con 27 cubos, algunos de ellos azules y los demás 
blancos. 
¿Cuál es el mayor número de cubos azules que pueden tener? 
 
 
SOLUCIÓN 
En las dos perspectivas, no se ve una cara lateral ni la cara inferior. 
Por tanto, los cubos centrales de esas dos caras pueden ser azules además del cubo que pertenece, 
exclusivamente, a esas dos caras. 
Además, a la vista se encuentran 5 cubos azules, tres de ellos se ven en las dos imágenes. 
En total y como máximo hay 
8 cubos azules 
 
Sean a, b y c enteros positivos tales que 
¿Cuál es el valor del producto a x b x c ? 
 
 
SOLUCIÓN 
19
25
111
1
19
25
1
1 =
+
++=
+
+=
+
+⇒=
+
+
bc
caabc
bc
c
a
c
b
a
c
b
a 
Entonces, 
( ) ⇒=+=++−×=++⇒−=⇒>



=++
=+
kcakcakacaabckbcenterok
kcaabc
kbc
25191191190,
25
191
 
( ) kacakkc ×−=⇒−=⇒ 19251925 
Para que kcac 610 =⇒=⇒> 
De ahí, ( )



=
=
⇒=−=⇒=×−⇒=−⇒=+⇒=+
6
3
1619,1161916191916191
c
b
bkkbbkkkbkkbc 
Por lo tanto =××=×× 631cba 
18 
 
En la ecuación 
 
cada letra representa una cifra diferente entre 0, 1, 2,…,9. 
¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir los valores de las letras? 
 
 
SOLUCIÓN 
Está claro que 113133 ××= , por lo que hay dos posibilidades para los primeros factores: 3,1 == UN o 
1,3 == UN 
Para la suma del paréntesis habrá que tener en cuenta las ocho cifras restantes de manera que cuatro de 
ellas sumen11. Sólo hay un caso: 115420 =+++ 
Evidentemente, estas cifras pueden ser asignadas en cualquier orden a cada una de las cuatro letras del 
paréntesis por lo que habrá permutaciones de cuatro elementos, 244321!44 =×××==P posibilidades por 
cada una de las dos primeras asignaciones. 
En resumen hay 242!422 4 ×=×=× P 
48 maneras 
 
En la figura se pretenden añadir algunos segmentos de tal manera que cada uno 
de los siete puntos tenga el mismo número de conexiones directas con los demás 
puntos. 
¿Cuál es el menor número de segmentos que se deben dibujar? 
 
 
SOLUCIÓN 
Como el punto con mayores conexiones directas es B con 3 , éste sería el 
mínimo número posible de conexiones directas de cada punto. 
El problema es que, al ser 7 puntos, debería haber 2137 =× segmentos 
contados dos veces: una vez por cada extremo. Esto es imposible porque 
calcularíamos 5,10
2
21 = segmentos, lo cual es absurdo. 
En resumen, debe haber cuatro conexiones directas (segmentos) como 
mínimo para cada punto lo que da 14
2
47 =× segmentos. 
En la imagen se tiene uno de los posibles mapas de conexiones. 
Como hay ya 5 segmentos dibujados, faltan como mínimo =− 514 
9 segmentos 
 
Hallar todos los números naturales n tales que 
 
donde x es la suma de las cifras de n e y su cifra de las unidades. 
 
 
SOLUCIÓN 
Supongamos que k es el número de cifras de n 
En estas condiciones se cumple que 221 9910 +≤+=≤− kyxnk 
La cota inferior es la potencia de 10 con k cifras y la cota superior corresponde al número formado por k 
dígitos iguales a 9 
Veamos las posibilidades: 
• No hay números que verifiquen la condición para 1=k . Puede comprobarse fácilmente con los 
números de una cifra. 
• Si 2=k debe cumplirse que 991092910 22212 ≤+=≤⇒+×≤+=≤− yxnyxn 
Entonces, si 





=⇒==
=⇒==
=⇒==
⇒=⇒++=+⇒+=
999,9
466,4
133,1
91010 22
nba
nba
nba
abbbababan 
• Si 3=k , 10810093910 22213 ≤+=≤⇒+×≤+=≤− yxnyxn . Puede comprobarse fácilmente 
que ningún número, entre 100 y 108 , verifica la condición del problema. 
• Si 4=k , 117100094910 22214 ≤+=≤⇒+×≤+=≤− yxnyxn , lo cual es absurdo y esto 
también sucede para valores superiores de k 
En conclusión, los números que verifican la condición del problema son tres: 
13, 46 y 99 
 
El día de su cumpleaños, los alumnos le preguntan al profesor de 
Matemáticas cuántos años cumple. 
Les dice que tiene más de 30 años y su edad es el producto de dos 
números primos tales que tienen otro primo entre ellos en la 
ordenación natural de los números. 
¿Cuántos años ha cumplido? 
 
 
SOLUCIÓN 
La secuencia ordenada de números primos es ...,13,11,7,5,3,2 
Teniendo en cuenta que estamos calculando un producto de primos, que tienen otro primo intermedio, 
tendríamos las posibilidades razonables (: que determinan una edad humana en edad de trabajar) 2173 =× 
y 55115 =× 
Como tiene más de 30 años, su edad es 
55 años 
 
Halla los valores de a, b, c si representan dígitos diferentes entre sí y distintos de cero y verifican que 
 
 
SOLUCIÓN 
Está claro que la suma 10>++ cba , por lo que 1+= ab 
Además, es evidente que 10=+ cb y, por lo tanto, debe ser 1=c 
De todo lo anterior se deduce que 81991011 =⇒+=⇒=⇒=+⇒= aabbc 
En resumen, 
a = 8, b = 9, c = 1 
 
Si x e y cumplen que 
halla el valor de x – y 
 
 
SOLUCIÓN 
( ) ( ) ( ) ( ) 



=+
=−
⇒




=+×−
=−
⇒




=−
=−
⇒




=−
=−
3
5
22
122
3
5
2222
122
3
5
22
122
3
5
44
122
22 yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
 
Por lo tanto, ⇒=−=−⇒





=+
=+
⇒





=−==×
=+==×
+
+
3
2
3
8
log
3
2
log
3
8
log
3
2
log1
3
8
log1
3
2
1
3
5
222
3
8
3
5
1222
222
2
2
1
1
yx
y
x
yy
xx
 
==−⇒ 4log2yx 
2 
 
Un número natural es capicúa si se lee igual de derecha a izquierda que de 
izquierda a derecha. Por ejemplo, 31413 
¿Cuántos capicúas hay entre 1000 y 3000 que sean, además, primos? 
 
 
SOLUCIÓN 
Un capicúa en entre las cantidades citadas es de la forma abba y como ( ) ( ) 0=+−+ abba , diferencia entre 
la suma de los dígitos que ocupan lugar par y la suma de los dígitos que ocupan lugar impar, todo número de 
esas características es divisible por 11 y, en consecuencia, compuesto. 
O sea, no hay 
ninguno 
 
Aurelio y José Luis están juntos en una excavación 
arqueológica y a cinco metros de Félix, jefe de la actividad. 
En un momento determinado, por necesidades del trabajo que 
están desarrollando, Aurelio se aleja cinco metros, en linea 
recta, de José Luis. 
¿Cuál es la probabilidad de que Aurelio, en su nueva situación, 
se encuentre más cerca de Félix que de José Luis? 
 
 
SOLUCIÓN 
En la figura podemos observar que Aurelio puede tomar cualquier 
dirección al alejarse de José Luis y aquella que le deja equidistante con 
éste y con Félix es la que determina, con la alineación Félix-José Luis, dos 
ángulos de º60 , uno a cada lado de la alineación citada. 
Toda dirección que marque un ángulo menor lo dejará más cera de Félix 
y, por el contrario, si el ángulo determinado es mayor de º60 , quedará 
más cerca de José Luis. Por supuesto, el ángulo marcado oscila entre º0 
y º360 
En resumen, la probabilidad será ==+=
360
120
360
60
360
60
P 
1/3 
 
Encuentra todos los pares de números naturales que verifican la ecuación 
 
 
SOLUCIÓN 
Si 1=x o 1=y ( 11 =⇒
x
 o 1
1 =
y
) es evidente que 
4
3
1
111
2
>>++
xyyx
 por lo que no habrá ninguna 
solución con esos números. Además, observemos que para valores muy grandes de los parámetros el valor 
del miembro izquierdo será mucho menor que el del derecho. 
Veamos las posibilidades: 
• 520420812
4
3
4
52
4
3
4
1
2
11
2 =⇒=⇒+=⇒=+⇒=++⇒= xxxx
x
x
xx
y 
• INxxxx
x
x
xx
y ∉==⇒=⇒+=⇒=+⇒=++⇒=
3
8
15
40
4015401227
4
3
9
103
4
3
9
1
3
11
3 
• INxxxx
x
x
xx
y ∉==⇒=⇒+=⇒=+⇒=++⇒=
8
17
32
68
6832681648
4
3
16
174
4
3
16
1
4
11
4 
• INxxxx
x
x
xx
y ∉=⇒=⇒+=⇒=+⇒=++⇒=
55
104
104551042075
4
3
25
265
4
3
25
1
5
11
5 . Nos 
damos cuenta que, a partir de aquí, los valores progresivos de y dan valores de 2<x , lo cual no 
conduce a ninguna solución válida. De todas maneras, lo confirmamos en el siguiente ítem: 
• Si 
4
3
25
18
50
36
50
1
5
1
2
1111
2,5 2 <==++≤++⇒≥≥ xyyx
xy 
En conclusión, la única solución válida de la ecuación es el par 
x = 5, y = 2 
 
Halla el valor del producto 
 
 
SOLUCIÓN 
==
××××
××××=××××=




 −×




 −××




 −×




 −
100
10
10099....1211
9998....1110
100
99
99
98
....
12
11
11
10
100
1
1
99
1
1....
12
1
1
11
1
1 
1/10 
 
Para todo número de cuatro cifras abcd (a ≠ 0) se define su SUMA DESCENDENTE así: 
 
Halla el número cuya suma descendente es 2014 
 
 
SOLUCIÓN 
⇒=+++++++++=+++ 20141010100101001000
_______________
ddcdcbdcbadcdbcdabcd 
100721510050020144302001000 =+++⇒=+++⇒ dcbadcba 
De lo anterior se deduce que c debe ser impar y , además, 1=a porque si fuera ⇒= 2a 
721510010072151001000 =++⇒=+++⇒ dcbdcb , imposible al ser dcb ,, cifras 
Entonces, 50721510010072151005001 =++⇒=+++⇒= dcbdcba 
Como c es impar, c15 acaba en cifra 5 por lo que d2 acaba en ⇒2 








=
=
⇒=+⇒=+⇒=
=+⇒=+⇒=
⇒
7
4
101320505151001
,99320495151006
c
b
cbcbd
válidasoluciónhaynocbcbd
 
En conclusión, el número buscado es 
1471 
 
Dado un número entero positivo, consideremos la operación consistente en 
restarle su mayor divisor propio. 
Comenzando con el número 1919 y aplicando reiteradamente esta operación 
obtenemos el número 1. 
Determina cuántas veces se ha aplicado, en este caso concreto, la operación. 
 
 
SOLUCIÓN 
Consideramos el primer valor 190 19=n y llamamos kn al transformado del original al repetir la operación 
citada k veces. 
Así, como 19 es un número primo, 
181819
1 19181919 ×=−=n 
181818
2 1991991918 ×=×−×=n 
181818
3 196193199 ×=×−×=n 
181818
4 193193196×=×−×=n 
181818
5 19219193 ×=−×=n 
181818
6 1919192 =−×=n 
y observamos que a la sexta iteración se reduce una unidad el exponente. 
Al cabo de 108618 =× iteraciones tendremos 
1919192108 =−×=n 
y, continuando, 
18119109 =−=n 
9918110 =−=n 
639111 =−=n 
336112 =−=n 
213113 =−=n 
112114 =−=n 
Las iteraciones hasta llegar a la unidad son 
114