Gabarito Lista 4 Métodos 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ECONOMIA 
METODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA I 
Gabarito da Lista de Exercícios de Matrizes 
Prof. Arturo A Z Zavala 31/05/2023 
 
1. Construir uma matriz “B”, sabendo que sua primeira fila é (1, 0), e que se verifica 
𝐴 × 𝐵 = (
1 0
1 0
) , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐴 = (
−1 2 2
2 1 0
) 
Solução 
Dado que a matriz A apresentam uma dimensão 2 × 3 e a solução da operação 𝐴 × 𝐵 apresenta uma 
dimensão 2 × 2 a matriz B necessariamente deve ter uma dimensão 3 × 2, desta forma a matriz é: 
𝐵 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
) 
Dado que a primeira linha é um vetor (1, 0) então 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0, aplicando a multiplicação temos: 
(
−1 2 2
2 1 0
)(
1 0
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
) = (
−1 + 2𝑐 + 2𝑒 2𝑑 + 2𝑓
2 + 𝑐 𝑑
) = (
1 0
1 0
) 
Desta forma 𝑑 = 0, 2𝑑 + 2𝑓 = 0, então 𝑓 = 0, logo 2 + 𝑐 = 1 ===> 𝑐 = −1 
−1 + 2𝑐 + 2𝑒 = 1 ===> −1 − 2 + 2𝑒 = 1 ===> 𝑒 = 2, desta forma a matriz é: 
𝐵 = (
1 0
−1 0
2 0
) 
 
2. Encontre a matriz inversa em cada um dos seguintes casos: 
 
Solução 
a) 
 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(B2:C3) 
 
b) 
 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
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c) 
 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
 
3. Encontre a matriz inversa em cada um dos seguintes casos: 
 
Solução 
a) 
 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
b) 
 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
c) 
 
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METODOS QUANTITATIVOS EM ECONOMIA I 
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𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(A1:C3) 
 
 
4. Calcule a matriz X, sabendo que 𝐴 = (
1 2
−1 0
4 3
), 𝐵 = (
5 1 3
−2 0 2
) e (𝑋 + 𝐴)𝑡 = 𝐵. 
Solução 
Como (𝑋 + 𝐴)𝑡 = 𝑋𝑡 + 𝐴𝑡, onde 𝐴𝑡 tem dimensão 2 × 3 e 𝑋𝑡 teria dimensão 2 × 3, desta forma a 
matriz 𝑋 será de dimensão 3 × 2. 
Se considerarmos a matriz 𝑋 como: 
𝑋 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝑓
) 
Como 
(𝑋 + 𝐴)𝑡 = (
𝑎 𝑐 𝑒
𝑏 𝑑 𝑓) + (
1 −1 4
2 0 3
) = (
𝑎 + 1 𝑐 − 1 𝑒 + 4
𝑏 + 2 𝑑 𝑓 + 3
) = (
5 1 3
−2 0 2
) 
𝑎 + 1 = 5 ===> 𝑎 = 4; 𝑏 + 2 = −2 ===> 𝑏 = −4; 𝑐 − 1 = 1 ===> 𝑐 = 2 
𝑑 = 0 ; 𝑒 + 4 = 3 ===> 𝑒 = −1; 𝑓 + 3 = 2 ===> 𝑓 = −1 
Sendo assim a matriz de X é: 
𝑋 = (
4 −2
2 0
−1 −1
) 
 
5. Dadas as matrizes 𝐴 = (
1 −2
0 3
) e 𝐵 = (
1 −3
2 0
). Calcule: 
a) A² 
b) A³ 
c) A²B 
d) A² + 3B 
Solução 
a) 𝐴2 = (
1 −2
0 3
) × (
1 −2
0 3
) = (
(1)(1) + (0)(0) (1)(−2) + (−2)(3)
(0)(1) + (3)(0) (0)(−2) + (3)(3)
) = (
1 −8
0 9
) 
Utilizando Excel: 
𝐴2=MATRIZ.MULT(C17:D18;C17:D18) 
 
 
b) Utilizando Excel 
𝐴3=MATRIZ.MULT(C17:D18;MATRIZ.MULT(C17:D18;C17:D18)) 
 
 
 
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c) Utilizando Excel 
𝐴2 × 𝐵=MATRIZ.MULT(C17:D18;MATRIZ.MULT(C17:D18;C21:D22)) 
 
 
d) Utilizando Excel 
𝐴2 + 3 × 𝐵=MATRIZ.MULT(C17:D18;C17:D18)+3*C21:D22 
 
 
6. Dadas as matrizes 𝐴 = (
−1 2
3 1
) e 𝐵 = (
2 −1
4 3
), calcule AB +𝐵𝑡 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴 × 𝐵 + 𝐵𝑡=MATRIZ.MULT(C17:D18;C21:D22)+TRANSPOR(C21:D22) 
 
 
7. Dadas as matrizes 𝐴 = (
2 0
−1 3
) e 𝐵 = (
2 −1 2⁄
3 1
), encontre a matriz 𝑀 = −2(𝐴 × 𝐵) 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝑀 = −2(𝐴 × 𝐵)=-2*MATRIZ.MULT(C17:D18;C21:D22) 
 
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8. Dadas as matrizes 𝐴 = (
1 1
0 0
) e 𝐵 = (
0 1
0 −1
), qual é o valor de 𝐴 × 𝐵 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴 × 𝐵=MATRIZ.MULT(C17:D18;C21:D22) 
 
 
9. Qual é a inversa da matriz (
4 3
1 1
). 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴−1=MATRIZ.INVERSO(C17:D18) 
 
 
10. Se [
−2 1
1 −2
] . [
𝑥
𝑦] = [
9
3
], então qual é a solução do sistema. 
Solução 
Se 𝐴 = [
−2 1
1 −2
], 𝑍 = [
𝑥
𝑦] e 𝐵 = [
9
3
] 
Método 1: Inversa 
𝑍 = 𝐴−1 × 𝐵 
Utilizando Excel: 
𝑍 = 𝐴−1 × 𝐵=MATRIZ.MULT(MATRIZ.INVERSO(C17:D18);G17:G18) 
 
Método 2: Método de Cramer: 
 
 
 
 
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11. Uma matriz A, tal que A2=A é chamada de matriz idempotente. Mostre que a matriz 
𝐴 = [
2 −1 1
−3 4 −3
−5 5 −4
] 
 é idempotente. 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴2=MATRIZ.MULT(C9:E11;C9:E11) 
 
É idempotente 
 
12. Sejam A = (
2 3
4 -1
0 2
)e B = (
−2 0
7 -1
8 5
), determine (A + B)t. 
Solução 
Utilizando Excel: 
(𝐴 + 𝐵)𝑡=TRANSPOR(C32:D34+G32:H34) 
 
 
13. Dadas as matrizes A = [
0 3
2 -5
], B = [
−2 4
0 -1
]e C = [
4 2
−6 0
], calcule: 
a) A + B b) A + C c) A + B + C 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
14. Dada a matriz A = [
1 -1 0
2 3 4
0 1 -2
], obtenha a matriz 𝑥 tal que 𝑥 = 𝐴 + 𝐴𝑡. 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝑥 = 𝐴 + 𝐴𝑡=C9:E11+TRANSPOR(C9:E11) 
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15. Dadas as matrizes A = [
2 1
−3 4
], B = [
0 -1
2 5
]e C = [
3 0
6 1
], calcule: 
a) A – B b) A – Bt – C 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
16. Dada a matriz A = [
2 -1 0
1 0 0
0 0 1
], calcule A2. 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴2=MATRIZ.MULT(C9:E11;C9:E11) 
 
 
17. Sendo A = (
3 2
5 1
) e B = (
3 -1
2 0
)e C = (
1
4
), calcule: 
a) 𝐴 × 𝐵 b) 𝐴 × 𝐶 c) 𝐵 × 𝐶 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
 
 
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18. Calcule os seguintes determinantes: 
a) (
-4 8
1 -3
) b) (
8 √3
√3 -7
) c) (
-4 6 -9
-3 4 6
−1 3 8
) 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
19. Se A = [
2 3
3 4
], encontre o valor do determinante de A2. 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐴2=MATRIZ.MULT(C57:D58;C57:D58) 
 
 
20. Sendo A = [
𝑎 b
𝑎3 b3
], calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor 
numérico desse determinante para 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3. 
Solução 
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎 × 𝑏3 − 𝑎3 × 𝑏 
Substituindo 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3, temos 
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 2 × (3)3 − (2)3 × (3) = 54 − 24 = 30 
 
21. Calcule o valor do determinante da matriz A = [
4 -1 0
5 7 6
2 1 3
] 
Solução 
Utilizando Excel: 
𝐷𝑒𝑡(𝐴)=MATRIZ.DETERM(C66:E68) 
 
 
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22. Calculeos determinantes das matrizes A = [
 1 0 2
−1 3 4
−2 − 1 − 7
] e B = [
1 0 0
3 -4 2
1 -6 -7
]. 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
23. Dada a matriz A = |
2 4
1 3
|, calcule: 
a) det A b) det A2 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
24. Determine o valor de cada determinante: 
a) |
3 2 5
4 1 3
2 3 4
| b) |
0 3 0
-2 3 1
4 -2 5
| c) |
2 2 0
1 1 1
4 3 0
| 
Solução 
Utilizando Excel: 
 
 
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25. Determine em IR a solução da equação: |
2 x x
-1 -2 -1
3 1 2
|= 8. 
Solução 
(2)(−2)(2) + (𝑥)(−1)(3) + (−1)(1)(𝑥) − (3)(−2)(𝑥) − (−1)(𝑥)(2) − (1)(−1)(2) = 8 
−8 − 3𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 + 2𝑥 + 2 = 8 ===> 4𝑥 = 14 ===> 𝑥 = 3,5 
 
26. Resolver a equação |
x x x
x x 4
𝑥 4 4
|= 0 
Solução 
(𝑥)(𝑥)(4) + (𝑥)(4)(𝑥) + (𝑥)(4)(𝑥) − (𝑥)(𝑥)(𝑥) − (𝑥)(𝑥)(4) − (𝑥)(4)(4) = 0 
4𝑥2 + 4𝑥2 + 4𝑥2 − 𝑥3 − 4𝑥2 − 16𝑥 = 0 
−𝑥3 + 8𝑥2 − 16𝑥 = 0 === > −𝑥(𝑥2 − 8𝑥 + 16) = 0 
−𝑥(𝑥 − 4)2 = 0 ===> 𝑥 = 0; 𝑥 = 4 
 
27. João comprou um computador e uma televisão por $ 2.000,00 e os vendeu por $ 2.260,00. 
Quanto lhe custou cada objeto, sabendo que ganhou 10% na venda do computador e 
15% na venda da televisão? 
Solução 
Seja: x:={preço do computador} e y:={preço da televisão}. O preço de venda estaria dado por: 
Os preços de venda estariam dados pelas expressões: 
𝑥 + 10%𝑥 e 𝑦 + 15%𝑦 
Desta forma as equações estão dadas por: 
𝑥 + 𝑦 = 2.000
1,1𝑥 + 1,15𝑦 = 2.260
 
Matricialmente, temos: 
(
1 1
1,1 1,15
)
⏟ 
𝐴
(
𝑥
𝑦)⏟
𝑍
= (
2.000
2.260
)
⏟ 
𝐵
 
Considerando a matriz inversa: 𝑍 = 𝐴−1 × 𝐵, utilizando Excel, temos: 
 
O preço do computador foi de $ 800,00 e da televisão foi de $ 1.200,00 
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28. Um cliente de supermercado pagou um total de $ 156,00 por 24 litros de leite, 6 kg de 
presunto e 12 litros de azeite. Calcule o preço de cada item, sabendo que 1 litro de óleo 
custa três vezes mais que 1 litro de leite e que 1 kg de presunto custa o mesmo que 4 
litros de óleo mais 4 litros de leite. 
Solução: 
Seja x:={O preço por litro de leite}, y:={O preço por quilogramas de presunto} e z:={O preço 
por litro de azeite} 
O sistema de equações estará dado por: 
24𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 = 156
𝑧 = 3𝑥
𝑦 = 4𝑧 + 4𝑥
 ===> 
24𝑥 + 6𝑦 + 12𝑧 = 156
3𝑥 − 𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 0
 
Considerando a forma matricial temos: 
(
24 6 12
3 0 −1
4 −1 4
)(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
156
0
0
) 
Considerando o Excel, temos: 
 
O preço por litro de leite será de $ 1,00; o preço por quilograma de presunto é de $ 16,00 e 
o preço por litro de azeite é de $ 3,00. 
 
29. Uma locadora é especializada em três tipos de filmes: Infantil, Faroeste e Terror. Sabe-se 
que 60% dos filmes infantis mais 50% dos filmes de Faroeste representam 30% de todos 
os filmes. 20% dos filmes infantis mais 60% dos filmes de Faroeste mais de 60% dos 
filmes de terror representam metade de todos os filmes. Existem 100 filmes de Faroeste 
a mais do que filmes infantis. Encontre o número de filmes de cada tipo. 
Solução: 
Seja x:={Número de filmes Infantis}, y:={Número de filmes de Faroeste} e z={Número de filmes 
de Terror}. 
0,6𝑥 + 0,5𝑦 = 0,3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
0,2𝑥 + 0,6𝑦 + 0,6𝑧 = 0,5(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
𝑦 = 𝑥 + 100
 ===> 
0,3𝑥 + 0,2𝑦 − 0,3𝑧 = 0
0,3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,1𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 = 100
 
Considerando a forma matricial temos: 
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(
0,3 0,2 −0,3
0,3 −0,1 −0,1
−1 1 0
)(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
0
0
100
) 
Considerando o Excel, temos: 
 
A locadora deve ter 500 filmes infantis, 600 filmes de Faroeste e 900 filmes de Terror. 
30. Isabel e Rodrigo passaram duas semanas (14 noites) em um tour por quatro cidades dos 
Estados Unidos: Boston, Nova York, Filadélfia e Washington. Eles pagaram $ 120, $ 200, 
$ 80 e $ 100 por noite por hospedagem em cada cidade, respectivamente, e o gasto total 
com hotel foi de $ 2020. O número de dias que eles ficaram em Nova York foi o mesmo 
que o total de dias que pagaram em Boston e Washington; além disso, eles passaram 
três vezes mais dias em Nova York do que na Filadélfia. Quantos dias eles passaram em 
cada cidade? 
Solução 
Seja x:={Número de dias em Boston}, y:={Número de dias em Nova York}; z:={Número de 
dias em Filadelfia} e w:={Número de dias em Washington} 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 14
120𝑥 + 200𝑦 + 80𝑧 + 100𝑤 = 2020
𝑦 = 𝑥 + 𝑤
𝑦 = 3𝑧
 ===> 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 14
6𝑥 + 10𝑦 + 4𝑧 + 5𝑤 = 101
𝑥 − 𝑦 + 𝑤 = 0
𝑦 − 3𝑧 = 0
 
Considerando a forma matricial temos: 
(
1
6
1
0
 
1
10
−1
1
 
1
4
0
−3
 
1
5
1
0
)(
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
) = (
14
101
0
0
) 
Considerando o Excel, temos: 
 
Daqui podemos afirmar que Isabel e Rodrigo estiveram 3 dias em Boston, 6 dias em Nova 
York, 2 dias em Filadelfia e 3 dias em Washington