CALCULO DIFERENCIAL 1

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1 – 1 Funções e limites
1. Função, na linguagem matemática, é uma relação entre variáveis,
em que teremos, por exemplo, uma variável dependente e uma variável independente. Normalmente, chamamos de x a variável independente
e de y a variável dependente. Portanto, teremos uma relação em que y depende de x, ou seja, y será uma função de x. Uma das maneiras
de representar relações se dá por meio de diagramas, no entanto 
​​​​​​​nem sempre essas relações são capazes de representar uma função. Nesse contexto, avalie os diagramas a seguir, assinalando a alternativa que pode representar uma função.
 
2 O conceito de funções é um dos mais importantes da matemática, aplicável em vários conteúdos dessa área do conhecimento. Porém,
ele vai muito além disso, visto ser essencial para expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais, econômicos, etc. Gomes (2018, p. 256) define função da seguinte forma: “Uma função f é uma relação
que associa a cada elemento x de um conjunto D, chamado domínio,
​​​​​​​um único elemento f(x) ou y, de um conjunto C, denominado contradomínio”.
Nesse contexto, no que diz respeito aos três tipos de funções — sobrejetora, injetora e bijetora —, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta correta:
I. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora se, e somente se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência de um ou mais elementos do conjunto B.
II. Considerando a função de A em B, é correto afirmar que certa função é injetora se, e somente se, para cada elemento do conjunto A houver correspondência com um único elemento do conjunto B.
III. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se todos os elementos do conjunto A estão associados a um único elemento do conjunto B.
IV. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será bijetora se, e somente se, a função for injetora duas vezes.
V. Sejam dois conjuntos A e B, a função de A em B será sobrejetora se, e somente se, não sobrar elementos do conjunto B sem receber correspondência.
E. II e V
3 O conceito formal de limites pode ser bastante trabalhoso na prática; por isso, regras (propriedades) foram desenvolvidas de modo a poder resolver problemas envolvendo limites de forma mais eficiente e prática. Nesse contexto, supondo que c seja uma constante e os limites limx → af(x) e limx → ag(x) existam, analise as afirmações a seguir assinalando a resposta correta:
I. O limite de uma constante multiplicando uma função é igual à soma desta constante ao limite da função.
A. IV e V
4 O estudo de limites possibilita avançar para conceitos importantes da matemática, como o cálculo de áreas, regiões entre curvas, derivadas, solução de problemas práticos em física, economia, química, biologia, engenharia, etc. Ele nos permite compreender o comportamento de uma função, além de ter uma noção intuitiva sobre a sua definição. Assim, analise o gráfico que representa  a seguir assinalando a alternativa correta no que diz respeito ao conceito
​​​​​​​e ao gráfico apresentado:​​​​​​​
5 Uma das propriedades de limites diz que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Matematicamente, representado por . 
Assim, calcule o limite da função ​​​​​​​ quando x tende a –2, assinalando a alternativa que contém a resposta correta.
1-2 Definição de limite matemático e demonstrações
1 Para o limite​​​​​​​, assinale a alternativa que determina o intervalo com δ>0 que sirva para ε = 1
E. [2,4].
2 Considere o limite  utilizando limites laterais e avalie as afirmativas:
D. Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
3. Dado limx→4(2x+2)=10 e ε=0,1, assinale a alternativa que representa o valor de δ positivo
A. 0,05
4 Considere a função ｛e avalie as afirmativas:
I. limx→-1- f(x)=1
II. lim x→-1-f(x)=2
III. limx→-1f(x)=∄
IV. limx→-1+f(x)=2
V. limx→-1 +f(x)=3
Assinale a alternativa correta.
D. Apenas as afirmativas II e V são verdadeiras.
5. Dado o limx→4(-x+4)=0 e ε=0,02, assinale a alternativa que representa um δ positivo.
Resposta correta
A. 0,02
2.1 Cálculo de limites; Leis básicas de limites
1 Analise o comportamento da função:
2 Determine o limite da função :
3 Qual o valor do: 
4 Aplique as leis básicas de limites para calcular o 
5 Calcule 
2.2 Abordagem numérica e gráfica de limites, investigação gráfica e limites laterais
1 Encontre o 
B 15
2 Encontre o 
3 Complete a tabela a seguir, calculando  para os valores especificados de x; depois, use a tabela para estimar o limite . Assinale a alternativa que contém
A 2
4 Complete a tabela a seguir, calculando  para os valores especificados de x; depois, use a tabela para estimar o limite . Assinale a alternativa que contém
B. Não existe
5 Encontre o ​​​​​​​  e assinale a alternativa que contém a resposta correta.
3.1 Limite e continuidade de funções complexas
1. 
Sejam A um subconjunto aberto de C e f: A⟶C uma função de variáveis complexas. Dado z0 ∈ A, diz-se que w ∈ A é ________________ de f quando z ∈ A tende a z0, se para todo ϵ > 0 existe um δ > 0, tal que, 
se 0 < | z − z0 | < δ, então | f(z) − w0 | < ε.
Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna:
Você acertou!
B. 
o limite.
2 - O cálculo dos limites envolvendo funções complexas se assemelha ao cálculo dos limites de funções reais. No entanto, no primeiro caso, está-se trabalhando no corpo dos números complexos, e, no segundo, com o corpo dos números reais.
Você acertou!
C. 
4 − 4i.
3 - Muitas estratégias empregadas para o cálculo dos limites de funções reais também podem ser empregadas para o caso das funções complexas.​​​​​​​
Resposta correta
D. 
V – F – V – V.
O limite de f(z) tende a L quando z tende ao infinito, z→∞, se, para todo ϵ > 0, existir R > 0, tal que | f(z) − L | < ϵ sempre que z ∈ A e | z | > R. Assim, ∀ϵ > 0, ∃R > 0, z ∈ A e | z | > R ⇒ | f (z) − L | < ϵ.
A respeito das asserções I e II, assinale a alternativa correta:
Resposta correta
A. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
5. 
Sejam A, B ⊂ C abertos, considere as funções de variáveis complexas f1: A→C, f2: A→C e g: B→C, sendo que f1: A ⊂ B. Suponha que as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 ∈ A, e a função g é contínua em f1(z0).
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem:
I. Sejam f1(z), f2(z) como apresentados, então f1(z) + f2(z) = (f1 + f2)(z) é contínua.
II. Seja f1 como apresentado, sendo f1(z) ≠ 0, então 1/f1(z) é contínua.
​​​​​​​III. Sejam f1(z), g(z) como apresentados, então g ∘ f1: A→C é contínua em z0.
Está correto o que se afirma em:
Você acertou!
E. 
I, II e III.
Considerando o enunciado da questão, então:
As funções c ∙ f1: A→C, f1 + f2: A→C, f1 ∙ f2: A→C são contínuas em z0, em que c é um número complexo arbitrário, porém fixado.
Se f1(z0) ≠ 0, então existe uma vizinhança de z0, tal que 1/f1 restrita a essa vizinhança está definida e é contínua em z0.
A função g ∘ f1: A→C é contínua em z0.
Portanto, pode-se concluir que as afirmações I, II e III estão corretas.
3-2 Derivadas de funções trigonométricas
​​​​1 Encontre a derivada em relação a x da seguinte função:
2. Dada a seguinte equação:
y = x tg(x) + 5 sen(x) – 10
Qual das alternativas é verdadeira?​​​​​​​
3. Encontre a derivada da seguinte função inversa:
y = arccossec(x²).
4. Encontre a segunda derivada em relação a x da seguinte função:
y = x cos(x) + sec(x).​​​​​​
5 Suponha que uma escada de 6 metros esteja apoiada em uma parede, formando um ângulo θcom o chão​​​​​​​, e uma distância x de sua base superior até o chão, como mostrado na imagem a seguir.
4.1 Exponenciais e logaritmos
1. 
A segurança auditiva é fundamental para qualquer profissional, e o estudo do som compõe importante parte dos conhecimentos dos profissionais da área da saúde. Uma aplicação prática das funções logarítmicas é o seu uso para expressar som ou ruído. Podemos classificar as funções logarítmicas como: 
Você acertou!
A. 
crescentes ou decrescentes.As funções logarítmicas são aquelas que utilizam na sua lei de formação o operador logaritmo. Como o logaritmo é a operação inversa da exponencial, suas respectivas funções também são inversas uma da outra. Por esse motivo, as funções logarítmicas são na maioria das vezes utilizadas nas mesmas áreas de aplicação. É importante observar que o coeficiente irá determinar o sentido da função: quando a>1, a função será crescente; quando 0<a<1, será decrescente.
2. 
As funções exponenciais são utilizadas para representar, por exemplo, a taxa de crescimento ou decrescimento de determinados organimos vivos, como os vírus. Assim, uma vez que é fundamental para o profissional da saúde conhecer a velocidade com que determinadas doenças virais crescem ou decrescem, também é importante que ele saiba aplicar as funções exponenciais. Portanto, é importante saber que, em uma função exponencial, se a constante "a" for maior que 1, a função será:​​​​​​​
Você acertou!
C. 
crescente.
O gráfico de uma função exponencial, y = a^x, com a > 0 e diferente de 1, permite o estudo de situações que podem ser modeladas em uma curva de crescimento ou decrescimento. Quando a > 0, a função será crescente; quando 0 < a < 1, a função será decrescente.
3. 
Segundo uma das propriedades das funções exponenciais, a função será ilimitada
Você acertou!
B. 
superiormente.
As propriedades de potência determinam que: para qualquer base, se o expoente for igual a 1, o resultado será a própria base; se o expoente for igual a zero, o resultado da potenciação será igual a 1; e se o expoente for negativo, deverá ser elevada a potência pelo inverso da base, ou seja, teremos um resultado fracionário. Com isso, os resultados sempre serão próximos a zero na parte inferior, mas ilimitados no sentido superior da função.
4. 
Na pesquisa de situações-problema da área da saúde, relacionam-se diferentes conjuntos (grupos de elementos), como, por exemplo, a idade materna e sua relação com o nascimento de bebês acima do peso. Por essa razão, é importante conhecer a classificação das funções matemáticas para realizar modelagens com maior grau de acerto. Assim, uma função é denominada injetiva ou injetora se, e somente se: 
Você acertou!
A. 
x1≠ x2⟹ f(x1) ≠ f(x2).
Por definição, uma função é denominada injetora se, e somente se, para qualquer valor de x, distinto dos demais elementos pertencentes ao domínio, há um valor f(x) diferente dos demais.
5. 
Funções logarítmicas são utilizadas para realizar modelagem de sons e ruídos. Conhecer suas bases elementares ou mais comuns é fundamental para calcular o risco ou o limite de um ruído aceitável para o indivíduo, por exemplo. Assim, é importante reconhecer que, no estudo dos logaritmos, 10, 2 e a base e são bases denominadas, respectivamente:
Você acertou!
E. 
comum, binária e natural.
As bases logarítmicas estão presentes em nosso cotidiano. A base 10 compartilha do nosso princípio de contagem, que a cada 10 unidades muda de elemento; a base 2, assim como na linguagem computacional, elabora suas relações de forma binária; e a base representada por e define o logaritmo natural.
4.2 Cálculo diferencial
1 - Um voo supersônico se desloca a uma velocidade maior que a velocidade local do som. A velocidade do som (Mach 1) varia
com a pressão atmosférica e a temperatura: no ar, a uma
temperatura de 15°C e à pressão ao nível do mar, o som viaja a, aproximadamente, 1.225km/h. Em velocidades além de cerca
de cinco vezes a velocidade do som (Mach 5), o termovoo
hipersônico é empregado.
Determinado veículo supersônico de uso militar se desloca
seguindo a equação dependente de tempo:
​​​​​​​
Diante disso, você é um engenheiro espacial que precisa determinar três itens:
1) A velocidade do objeto no instante de tempo t.
2) Se o objeto irá parar de se mover em algum instante.
3) Quando o objeto irá se mover para a direita e para a esquerda.
Resposta correta
D. 
O veículo se desloca com v(t) = 12t(t-3)(t-7). Irá parar quando t = 0; t = 3; t = 7.
O veículo estará: 
Movendo para a direita: 0 < t < 3; 7 < t
Movendo para a esquerda: t < 0 ; 3< t < 7
2. 
Os cometas se movem no meio interplanetário a centenas de milhares de quilômetros da Terra. Os meteoros são fenômenos que acontecem na atmosfera do planeta. O núcleo de um cometa é uma pedra que, em geral, tem vários quilômetros de diâmetro. A grande maioria dos meteoros é produzida por pedras menores que um centímetro.
Um cometa nas proximidades do sistema solar se move seguindo a seguinte função de x, onde x é o espaço percorrido em torno do sistema solar em unidades astronômicas:
​​​​​​​Diante desse fato, encontre a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto f(9), que é o ponto de distância mínima entre o Sol e o objeto.​​​​​​​
​​​​​​​​​​​​​​
Resposta correta
A. 
y = 820x + 4531
​​​​​​​Confira a justificativa: 
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3. 
O custo de produção de carros em uma montadora é dado pela seguinte fórmula, onde x é o número de carros produzidos:​​​​​​​
C(x) = 1750 + 6x - 0,04x² + 0,0003x³
O custo marginal da produção é dado pela derivada da função de custo no respectivo ponto de interesse.
Qual é o custo marginal quando são produzidos 175 carros por dia? E na situação onde são produzidos 300 carros?
Resposta correta
B. 
C’(175) = 19,5625
C’(300) = 63
4. 
Uma partícula de poeira se movimenta dentro de um tubo de vento seguindo uma equação que depende do tempo da forma:​​​​​​​
V(t) = (4-t²) - (1 + 5t²)
Sabendo disso, você, engenheiro espacial, foi chamado para determinar o comportamento dessa partícula, de modo que
tenha impacto nos ensaios físicos para a construção de um
novo modelo de avião.
Determine em que instantes a partícula estará subindo,
​​​​​​​descendo ou parada.
Resposta correta
C. 
Aumentando: t < -(19/10)(1/2); entre 0 e t < (19/10)(1/2)
Diminuindo: -(19/10)(1/2)< t < 0; entre (19/10)(1/2)< t
5. 
Suponha que a quantidade de ar em um balão a qualquer momento t é dado por:
Determine se o balão está sendo preenchido com ar ou sem ar no instante t = 8.​​​​​​
Resposta correta
D. 
A taxa de variação do volume em t = 8 é negativa e, portanto, o volume deve estar diminuindo. Portanto, o ar está sendo drenado para fora do balão em t = 8.
5-1 Derivadas: definição 
1. Calcule a derivada de f(x) = x3e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x3no ponto x = –1. Assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente nesse ponto.
C. y = 3x + 2.
2. Calcule f'(3), sendo f(x) = x2 – 8x, a partir da razão incremental em a = 3. Assinale a alternativa correta.
Resposta correta
A. f'(3) = –2.
3. Encontre uma equação da reta tangente em x = 2 para a função
4. Determine a derivada da função f, cujo gráfico aparece na figura abaixo, em x = 2, 3 e 4, e assinale a alternativa correta.
D. f'(2) = 1; f'(3) não existe; f'(4) = –1.
5. Assinale a alternativa que contém a(s) reta(s) tangente(s) à curva da figura a seguir:
B. Retas B e D.
5-2 Limite e continuidade de funções complexas
1. 
Analise as afirmativas a seguir e identifique o que é verdadeiro e o que é falso.
1. Se eu escolher uma variação do espaço e uma variação do tempo e dividi-las, terei uma taxa de variação na velocidade.
2. É possível ter uma taxa de variação de luminosidade do sol em relação à hora do dia.
3. Limite é o valor que uma certa função tende a retornar quando aplicado um certo valor na variável independente.
4. Escolhendo dois pontos A e B de uma função, a taxa de variação da reta tangente em qualquer um dos pontos é igual à taxa de variação média entre os dois pontos.
Resposta correta
A. 
1-F, 2-V, 3-V, 4-F.
1. É falsa, pois as variações podem não estar relacionadas.
2. É verdadeira, pois, em certos horários, há mais luz e há relação com o horário.
3. É verdadeira, apesar de estar de forma simplificada e não formal, essa é a definição de limite.
4. É falsa. A reta tangente é o gráfico que teríamos se, em um dado ponto, a taxa de variação fosse constante, enquanto a outra é uma variação média, ou seja, que retorna alguns parâmetrosde forma simplificada.
2. 
Dada uma equação do tipo: R(t)=R1+z'(t)+q'(t³), marque a alternativa correta sobre a equação e as taxas de variações
Resposta correta
C. 
z' e q' são taxas de variações.
z’ é a taxa de variação de R em relação ao tempo t, e q’ é a taxa de variação de R em relação a uma ordem cúbica do tempo, t3.
3. 
Reta tangente é a reta que toca uma dada curva num único ponto. Tem relação direta com o limite e a taxa de variação. Por isso, dada uma reta tangente a um certo ponto descrito pela equação: Y=3*X+2, marque a afirmativa correta.
Resposta correta
B. 
Tomando o limite da variável independente da taxa de variação num dado ponto de uma curva tendendo a zero, obteremos a inclinação da reta tangente naquele ponto. No exemplo, o valor é 3.
Essa é uma resposta completa e que relaciona os três conteúdos.
4. 
Use o conceito de limite e calcule o seu primeiro limite. Se, simplificadamente, o significado de limite é o valor que uma dada função tende a retornar para um certo valor da variável independente, qual o limite quando x tende a zero, da função: f(x)=x/x?
Julgue os argumentos das alternativas e escolha o correto.
Resposta correta
D. 
Em x=0 teremos 0/0, mas a função sempre retorna o valor f(x)=1 para qualquer valor de x, então, podemos concluir que para x=0, o limite do x tendendo a zero leva a função a convergir para 1.
Multiplique em cima e embaixo por x, o que simplifica a função para 1. Em x=0 teremos 0/0, então não está definido, mas mesmo assim podemos achar o limite da função.
5. 
Se duas retas se encontram exatamente num único ponto, podemos dizer que, para aquele ponto, uma é a reta tangente da outra? Marque a alternativa que tenha resposta e justificativa coerentes.
Você acertou!
A. 
Não, pois a premissa para ser reta tangente é ter a mesma taxa de variação da outra naquele dado ponto, o que em todos os outros casos leva a tocar num só ponto.
Observe que este problema está exemplificado no conteúdo do livro (página 44).
6-1 Interpretação geométrica da derivada — Regras de derivação e suas aplicações
1. Seja uma função f(x). A reta tangente a essa curva no ponto P é y= 5x+3. Determine a derivada dessa função no ponto P.​​​​​​​
B. A derivada da função é 5.
2. Determine a derivada da função f(x) = 5x9​​​​​​​.
E. F’(x) = 45x8​​​​​​​.
3. Determine a derivada da função f(x)= 4x•(2x²-3).
D. F’(x) = 24x²-12.
4. Determine a derivada da função f(x) (3x²+1)/(2x).
C. f' (x)= (3x²-1)/2x².
5. Determine a derivada da função f(x) = x³- 4x²+3x+2​​​​​​​.
B. f' (x)=3x²-8x+3.