AD1_PreCalculoEng_gabarito_2023_2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO DA AD1 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA – 2023/2
Questão 1 [2,0 pontos]
Considere a expressão abaixo e faça o que se pede:
E =
x
x2 − y2
+
xy
x2 + xy
+
1
x+ y
.
a. [1,0] Simplifique a expressão E (ou seja, escreva a mesma com um denominador único).
b. [1,0] Se y = −1, obtenha algum valor de x, se existir, tal que −
√
3 ≤ E ≤ 0, justificando sua
resposta.
Solução:
(a) Note que x2 + xy = x(x − y),e x2 − y2 = (x − y)(x + y), onde estes são denominadores na
expressão E. Assim, podemos cancelar x na expressão
xy
x2 + xy
, e assim E pode ser escrita como
E =
x
(x− y)(x+ y)
+
y
x+ y
+
1
x+ y
.
O mmc entre estas os denominadores é (x− y)(x+ y), e assim
E =
x+ y(x− y) + (x− y)
(x− y)(x+ y)
=
x+ yx− y2 + x− y
(x− y)(x+ y)
=
yx− y2 + 2x− y
(x− y)(x+ y)
.
(b)
Fazendo y = −1 na expressão acima, obtemos E = −x− 1 + 2x+ 1
(x+ 1)(x− 1)
=
x
(x+ 1)(x− 1)
.
Temos que −
√
3 < −1 < 0, então vamos resolver a equação E = x
(x+ 1)(x− 1)
= −1.
Multiplicando ambos os membros por (x + 1)(x − 1) e arrumando os termos, obtemos a equação
x2 + x− 1 = 0, cujas soluções são x1 =
−1 +
√
5
2
e x2 =
−1−
√
5
2
.
Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) =
2 + x
|2− x| − |x|
. Faça o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x).
Solução:
Vamos, em primeiro lugar, fazer algumas observações sobre a expressão no denominador. Temos que
|2 − x| − |x| = 0 implica |2 − x| = |x|. Vamos analisar possibilidades para os módulos de acordo
com valores de x.
PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 2
(i) Se x ≥ 0 e 2 − x ≥ 0, a equação acima fica 2 − x = x, o que nos dá x = 1 como solução.
Assim, E não está definida em x = 1.
(ii) Se x < 0 e 2− x ≥ 0, a equação acima fica 2− x = −x, o que nos dá 2 = 0, absurdo. Logo,
esta configuração não dá resultado.
(iii) Não podemos ter x < 0 e 2 − x < 0, pois assim teŕıamos x > 2 (e simultaneamente x < 0),
imposśıvel.
(iv) Se x ≥ 0 e 2 − x < 0, a equação fica −(2 − x) = x, o que nos dá −2 = 0, absurdo. mesma
situação do item (ii).
Conclúımos que o denominador se anula somente em x = 1. Agora vamos proceder à construção
da tabela de estudos de sinais.
(a) E(x) = 0 se e somente se o numerador se anula, ou seja, se x+ 2 = 0, ou x = −2.
Assim, nossa tabela terá como valores de referência x = −2 e x = 1.
x < −2 −2 < x < 1 x > 1
2 + x − + +
|2− x| − |x| + + −
E(x) − + −
Para avaliar os sinais na segunda linha, basta ver que: se x < −2, então |2 − x| − |x| =
2−x− (−x) = 2. Se −2 < x < 0, então |2−x|−|x| = 2−x− (−x) = 2. Se 0 < x < 1, então
|2− x| − |x| = 2− x− x = 2− 2x. Se 1 < x < 2, então |2− x| − |x| = 2− x− x = 2− 2x.
E finalmente, se x > 1, temos |2− x| − |x| = −2 + x− x = −2.
Em cada caso, basta substituir valores das respectivas faixas nas expressões resultantes para obter
uma tabela como a que fizemos acima. Ela pode ser maior e mais completa, mas preferimos
exibir a tabela mais concisa, pois tem as informações de forma mais objetiva. Portanto, da tabela
acima, conclúımos os próximos itens.
(b) E(x) > 0 se −2 < x < 1.
(c) E(x) < 0 se x < −2 ou x > 1.
Questão 3 [3,0 pontos] Considere a equação
√
1− |x− 4| = x− 4.
Faça o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
1− |x− 4| = x− 4 existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equação
√
1− |x− 4| = x−4. Caso não exista solução real, justifique.
Solução:
a) Para que a expressão no primeiro membro seja real, precisamos de que 1− |x− 4| ≥ 0. Ou seja,
|x− 4| ≤ 1, o que é equivalente a
−1 ≤ x− 4 ≤ 1,
ou ainda
3 ≤ x ≤ 5.
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PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 3
b) Observemos que, como o membro esquerdo da equação é uma raiz quadrada, o membro direito
deve ser maior ou igual a zero. Isto nos dá x− 4 ≥ 0, ou x ≥ 4. Assim, do que temos no item
(a), conclúımos que toda solução x da equação, se existir, deve satisfazer x ∈ [4, 5].
Se a equação do enunciado é satisfeita, também será a mesma com cada membro elevado ao
quadrado:
1− |x− 4| = (x− 4)2,
e como x− 4 ≥ 0, então |x− 4| = x− 4. Dáı, a equação anterior fica
1− (x− 4) = x2 − 8x+ 16,
ou melhor,
x2 − 7x+ 11 = 0.
Esta equação de segundo grau tem soluções x1 =
7 +
√
5
2
e x2 =
7−
√
5
2
. Vejamos se pertencem
ao intervalo [4, 5].
Como
√
5 > 2, então x2 <
7− 2
2
=
5
2
, donde x2 /∈ [4, 5]. Agora, o caso de x1 =
7 +
√
5
2
.
Afirmamos que x2 /∈ [4, 5]. Vejamos:
Como 7 +
√
5 > 8, então x1 =
7 +
√
5
2
> 4. Assim, só nos resta que x1 seja menor do que 5.
Suponhamos, por contradição, que x1 seja maior do que 5. Assim,
7 +
√
5
2
> 5 =⇒ 7 +
√
5 > 10 =⇒
√
5 > 3,
absurdo. Logo, nossa hipótese está incorreta, e assim x1 ∈ [4, 5].
Finalmente, como encontramos a solução da equação com os membros elevados ao quadrado,
vamos verificar que x1 é de fato a solução para a equação do enunciado. Substituindo x1 − 4 =√
5− 1
2
dentro da raiz, e elevando ao quadrado (lembrando que, neste caso, podemos trocar o
módulo por parênteses), temos
1−
(√
5− 1
2
)
=
3−
√
5
2
;
por outro lado, calculamos (x1 − 3)2:(√
5− 1
2
)2
=
5− 2
√
5 + 1
4
=
6− 2
√
5
4
=
3−
√
5
2
.
Por esta igualdade, e como e os termos originais já eram positivos antes de serem elevados ao
quadrado, conclúımos que vale a igualdade requerida no enunciado, e verificamos que x1 é a única
solução real da equação.
Questão 4 [2,0 pontos] Sabendo que − 3
20
< x < − 3
25
, encontre uma estimativa para x2− 5x+2.
Deixe os números em forma de fração. Justifique sua solução.
Solução:
Das propriedades de números reais, temos que:
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PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA AD1 4
• − 3
20
< x < − 3
25
⇒
(
− 3
25
)2
< x2 <
(
− 3
20
)2 ⇒ 9
625
< x2 < 9
400
• − 3
20
< x < − 3
25
⇒ 15
25
< −5x < 15
20
⇒ 3
5
< −5x < 3
4
De 9
625
< x2 < 9
400
e 3
5
< −5x < 3
4
, segue que 9
625
+ 3
5
< x2 − 5x < 9
400
+ 3
4
.
Somando 2 a todos os membros dessa desigualdade, obtemos:
9
625
+ 3
5
+ 2 < x2 − 5x+ 2 < 9
400
+ 3
4
+ 2.
Logo, 1634
625
< x2 − 5x+ 2 < 1109
400
.
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