PC_2023-2_AD1-Parte1_GABARITO

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AD1-Parte 1 – 2023-2 ENUNCIADO Pré-Cálculo Página 1 de 11 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2023-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Parte 1 da Primeira Avaliação a Distância (AD1-Parte 1) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! 
Em todas as questões não serão consideradas as respostas se não estiverem acompanhadas dos cálculos ou das 
justificativas para encontrar as respostas. 
Cálculos, justificativas e respostas devem ser MANUSCRITOS. Questões digitadas receberão ZERO. 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional. 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,1 ponto] 
Q1(a) Aplicando a definição de módulo e simplificações, complete as lacunas. 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
______________ , 𝑠𝑒 ________________
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 _______ ≤ 𝑥 < 2
______________ , 𝑠𝑒 _________________
 
Q1(b) Usando o resultado encontrado no item Q1(a) e resolvendo três equações em ℝ, encontre a 
solução da equação |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = 13 . 
Você deve apresentar todas as contas que justifiquem as suas respostas. 
RESOLUÇÃO: 
Q1(a) 
Dada a expressão |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| , sabemos que: 
|2𝑥 − 4| = {
2𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 2𝑥 − 4 > 0
0 , 𝑠𝑒 2𝑥 − 4 = 0
−(2𝑥 − 4), 𝑠𝑒 2𝑥 − 4 < 0
 ⇒ |2𝑥 − 4| = {
2𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−2𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
|𝑥 + 2| = {
𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 + 2 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 + 2 = 0
−(𝑥 + 2), 𝑠𝑒 𝑥 + 2 < 0
 ⇒ |𝑥 + 2| = {
𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > −2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = −2
−𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 < −2
 
Vamos usar uma forma, que julgamos eficiente, para encontrar a expressão de |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| 
sem o uso do símbolo de valor absoluto, isto é, sem as duas barras: 
 
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Assim, 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| =
{
 
 
 
 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −2
8 , 𝑠𝑒 𝑥 = −2
𝑥 + 10, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 2
12 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
Assim, uma das possibilidades é: 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −2
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
As outras possibilidades são: 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −2
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
 
 
 
 
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Q1(b) 
Para resolver a equação ∗ |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = 13 , vamos usar o que encontramos no item (a) 
|2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = { 
−5𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −2
𝑥 + 10 , 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 2
5𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
Com isso temos que resolver três equações: 
1ª. −5𝑥 − 2 = 13 para 𝑥 < −2. 
2ª. 𝑥 + 10 = 13 para −2 ≤ 𝑥 < 2. 
3ª. 5𝑥 + 2 = 13 para 𝑥 ≥ 2. 
Resolvendo: 
1ª. Considerando 𝑥 < −2: −5𝑥 − 2 = 13 ⟺ −5𝑥 = 15 ⟺ 𝑥 = −3 . Como −3 < −2, 
então a condição dessa equação é satisfeita e 𝑥 = −3 é solução dessa equação e, portanto, solução 
da equação original |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = 13 . 
2ª. Considerando −2 ≤ 𝑥 < 2: 𝑥 + 10 = 13 ⟺ 𝑥 = 13 − 10 = 3. Como 𝑥 = 3 não 
atende a condição dessa equação, pois 3 > 2, então 𝑥 = 3 não é solução dessa equação. 
A equação 𝑥 + 10 = 13 para − 2 ≤ 𝑥 < 2 não tem solução. 
3ª. Considerando 𝑥 ≥ 2 ∶ 5𝑥 + 2 = 13 ⟺ 5𝑥 = 11 ⟺ 𝑥 =
11
5
 . Como 
11
5
 ≥ 2 , então a 
condição dessa equação é satisfeita e 𝑥 =
11
5
 é solução dessa equação e, portanto, solução da 
equação original |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = 13 . 
O conjunto solução da equação |2𝑥 − 4| + 3|𝑥 + 2| = 13 é 𝑆 = {−3 ,
11
5
} . 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [1,2 ponto] 
Resolva em ℝ as seguintes inequações. Dê a resposta na forma de intervalo ou união de intervalos 
disjuntos. 
Q2(a) |4𝑥 − 2| − 10 ≥ 0. 
Q2(b) |𝑥 − 3| − 𝑥 < 0. 
Você deve apresentar todas as contas que justifiquem as suas respostas. 
RESOLUÇÃO: 
Q2(a) 
Primeira solução: usando propriedade geométrica do módulo. 
|4𝑥 − 2| − 10 ≥ 0 ⟺ |4𝑥 − 2| ≥ 10 
 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
⇔ 4𝑥 − 2 ≤ −10 ou 4𝑥 − 2 ≥ 10 
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⟺ 4𝑥 ≤ −8 ou 4𝑥 ≥ 12 ⟺ 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 3 . 
Portanto, o conjunto solução dessa inequação é 𝑆 = (−∞ ,−2 ] ∪ [3 , +∞) . 
Segunda solução: usando a definição de módulo. 
Vamos reescrever essa inequação usando a definição de módulo. 
Temos que: 
|4𝑥 − 2| = {
4𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 4𝑥 − 2 > 0
0 , 𝑠𝑒 4𝑥 − 2 = 0
−( 4𝑥 − 2), 𝑠𝑒 4𝑥 − 2 < 0
 ⇒ 
|4𝑥 − 2| = {
4𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−4𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
Assim, 
|4𝑥 − 2| − 10 = {
(4𝑥 − 2 ) − 10 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
0 − 10 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
(−4𝑥 + 2 ) − 10 , 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
|4𝑥 − 2| − 10 = {
4𝑥 − 12 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
−10 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−4𝑥 − 8, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
Portanto, para resolver a inequação |4𝑥 − 2| − 10 ≥ 0 , devemos resolver três inequações 
1ª. 4𝑥 − 12 ≥ 0 para 𝑥 > 2 . 
2ª. −10 ≥ 0 para 𝑥 = 2 . 
3ª. −4𝑥 − 8 ≥ 0 para 𝑥 < 2 . 
Resolvendo: 
1ª. Considerando 𝑥 > 2 : 
 4𝑥 − 12 ≥ 0 ⟺ 4𝑥 ≥ 12 ⟺ 𝑥 ≥ 3 . Como 𝑥 ≥ 3 > 2, então 𝑆1 = [3 , +∞) .é a solução 
dessa 1ª inequação. 
2ª. Considerando 𝑥 = 2 : 
Como −10 ≥ 0 é falsa então 𝑥 = 2 não é solução da inequação |4𝑥 − 2| − 10 ≥ 0. Então a solução 
dessa 2ª inequação é vazia 𝑆2 = ∅. 
 
 
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3ª. Considerando 𝑥 < 2 : 
−4𝑥 − 8 ≥ 0 ⟺ −4𝑥 ≥ 8 ⟺ 4𝑥 ≤ −8 ⟺ 𝑥 ≤ −2 . Como 𝑥 ≤ −2 < 2, então a solução 
dessa 3ª inequação é 𝑆3 = (−∞ ,−2] 
A solução da inequação |4𝑥 − 2| − 10 ≥ 0 é 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 = [3 , +∞) ∪ ∅ ∪ (−∞ , −2] = (−∞ , −2] ∪ [3 , +∞) 
Q2(b) |𝑥 − 3| − 𝑥 < 0 
Primeira solução: usando propriedade geométrica do módulo. 
|𝑥 − 3| − 𝑥 < 0 ⟺ |𝑥 − 3| < 𝑥 
Como |𝑥 − 3| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 > |𝑥 − 3| , então 𝑥 > |𝑥 − 3| ≥ 0 , ou seja, 𝑥 > 0. 
Usando a propriedade geométrica do módulo: 
|𝑥 − 3| < 𝑥 ⟺ −𝑥 < 𝑥 − 3 < 𝑥 ⟺ −𝑥 < 𝑥 − 3 e 𝑥 − 3 < 𝑥 ⟺ 
 −2𝑥 < −3 e − 3 < 0 ⟺ 2𝑥 > 3 e − 3 < 0 
𝑐𝑜𝑚𝑜 ,
−3<0,
 𝑝𝑎𝑟𝑎 todo 𝑥 ∈ ℝ 
⇔ 
2𝑥 > 3 ⟺ 𝑥 >
3
2
 . 
Portanto, a solução da inequação |𝑥 − 3| − 𝑥 < 0 é 𝑆 = (
3
2 
 , +∞) 
Segunda solução: usando a definição de módulo. 
Vamos reescrever essa inequação usando a definição de módulo. 
Temos que: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 = 0
−(𝑥 − 3), 𝑠𝑒 𝑥 − 3 < 0
 ⇒ |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 , 𝑠𝑒𝑥 = 3
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
Assim, 
|𝑥 − 3| − 𝑥 = {
(𝑥 − 3 ) − 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 − 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
(−𝑥 + 3) − 𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
|𝑥 − 3| − 𝑥 = {
−3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
Portanto, para resolver a inequação |𝑥 − 3| − 𝑥 < 0 , devemos resolver três inequações 
 
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1ª. −3 < 0 , para 𝑥 > 3. 
2ª. −𝑥 < 0 , para 𝑥 = 3 . 
3ª. −2𝑥 + 3 < 0 para 𝑥 < 3 . 
Resolvendo: 
1ª. Como −3 < 0 , a primeira inequação é válida em todo o seu domínio, então 𝑆1 = (3 , +∞ ). 
2ª. A solução da segunda inequação é 𝑆2 = {3} , pois 𝑥 = 3 , resolver a inequação −𝑥 < 0, dado que 
 −3 < 0. 
3ª. Temos que −2𝑥 + 3 < 0 ⟺ 3 < 2𝑥 ⟺ 2𝑥 > 3 ⟺ 𝑥 >
3
2
 . Como a condição na 
terceira inequação é 𝑥 < 3 , então a solução dessa terceira inequação é 𝑆3 = (
3
2
, 3) 
A solução da inequação |𝑥 − 3| − 𝑥 < 0 é 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 = (3 , +∞ ) ∪ {3} ∪ (
3
2
, 3) = (
3
2 
 , +∞) 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [1,3 ponto] 
Considere as expressões 𝐻(𝑥) =
|𝑥+1| −5 
|𝑥−10|−𝑥 
. 
Q3(a) Determine o domínio da expressão 𝐻(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo ou união de 
intervalos disjuntos. 
Q3(b) Analise o sinal da expressão 𝐻(𝑥). Escreva para que valores de 𝑥 , 𝐻(𝑥) = 0 , 𝐻(𝑥) > 0 e 
𝐻(𝑥) < 0. Dê a resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
Você deve apresentar todas as contas que justifiquem as suas respostas. 
RESOLUÇÃO: 
Q3(a) Determinando o domínio da expressão 𝑯(𝒙): 
A única restrição para o domínio de 𝐻(𝑥) é o denominador |𝑥 − 10| − 𝑥 ≠ 0. O numerador não 
apresenta nenhuma restrição, pois 𝑦 = |𝑥| está definida para todos os reais. 
Resolvendo a restrição. 
Denominador |𝑥 − 10| − 𝑥 ≠ 0: 
Temos que |𝑥 − 10| − 𝑥 = 0 ⟺ |𝑥 − 10| = 𝑥 . Usando a definição de módulo: 
 
 
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▪ Para 𝑥 − 10 > 0 , |𝑥 − 10| = 𝑥 − 10 . 
Assim, para 𝑥 − 10 > 0 , |𝑥 − 10| = 𝑥 ⇒ 𝑥 − 10 = 𝑥 ⇒ −10 = 0 . Impossível. Logo, não 
existe 𝒙 > 𝟏𝟎 , que seja solução de |𝒙 − 𝟏𝟎| = 𝒙 . 
▪ Para 𝑥 − 10 = 0 , |𝑥 − 10| = 0 . Assim, 𝑥 = 10 e |𝑥 − 10| = 𝑥 ⇒ | 0| = 10 ⇒ 0 = 10 . 
Impossível. Logo, 𝒙 = 𝟏𝟎 , não é solução de |𝒙 − 𝟏𝟎| = 𝒙 . 
▪ Para 𝑥 − 10 < 0 , |𝑥 − 10| = −(𝑥 − 10). Assim, Para 𝑥 < 10 , |𝑥 − 10| = 𝑥 ⇒ 
−𝑥 + 10 = 𝑥 ⇒ 2𝑥 = 10 ⇒ 𝑥 = 5. Logo, 𝑥 = 5 é solução de |𝒙 − 𝟏𝟎| = 𝒙 . 
Portanto, |𝑥 − 10| − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 5 . 
Logo, |𝑥 − 10| − 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ − {5}. 
Assim, concluímos que o domínio da expressão 𝐻(𝑥) é o conjunto ℝ − {5}. 
 𝐷𝑜𝑚(𝐻(𝑥)) = ℝ − {5}. 
Q3(b) Analisando o sinal da expressão 𝑯(𝒙) : 
Sinal do numerador |𝒙 + 𝟏| − 𝟓 : 
▪ |𝑥 + 1| − 5 < 0 ⟺ |𝑥 + 1| < 5 ⟺ −5 < 𝑥 + 1 < 5 ⟺ −5 < 𝑥 + 1 < 5 
“⇒”:𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 1
”⇐”:𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜1 
⇔ −6 < 𝑥 < 4. 
Logo, |𝑥 + 1| − 5 < 0 ⟺ −6 < 𝑥 < 4 
▪ |𝑥 + 1| − 5 = 0 ⟺ |𝑥 + 1| = 5 ⟺ 𝑥 + 1 = −5 ou 𝑥 + 1 = 5 ⟺ 
 𝑥 = −6 ou 𝑥 = 4 . 
Logo, |𝑥 + 1| − 5 = 0 ⟺ 𝑥 = −6 ou 𝑥 = 4 
Sendo 𝐷𝑜𝑚(𝐻(𝑥)) = ℝ − {5} , concluímos que |𝑥 + 1| − 5 > 0 ⟺ 𝑥 < −6 𝑜𝑢 [ 𝑥 > 4 𝑒 𝑥 ≠ 5] 
Assim, 
|𝑥 + 1| − 5 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−6 , 4) . 
|𝑥 + 1| − 5 = 0 ⟺ 𝑥 ∈ {−6 , 4} . 
|𝑥 + 1| − 5 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −6) ∪ (4 , 5) ∪ (5 , + ∞) . 
Sinal do denominador |𝒙 − 𝟏𝟎| − 𝒙 : 
▪ |𝒙 − 𝟏𝟎| − 𝒙 < 𝟎 
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Vamos resolver essa inequação usando a propriedade geométrica do módulo: 
|𝑥 − 10| < 𝑥 ⟺ −𝑥 < 𝑥 − 10 < 𝑥 ⟺ −𝑥 < 𝑥 − 10 e 𝑥 − 10 < 𝑥 ⟺ 
 −2𝑥 < −10 e − 10 < 0 ⟺ 2𝑥 > 10 e − 10 < 0 
𝑐𝑜𝑚𝑜 ,
−10<0,
 𝑝𝑎𝑟𝑎 todo 𝑥 ∈ ℝ 
⇔ 2𝑥 > 10 ⟺ 
 𝑥 >
10
2
 ⟺ 𝑥 > 5 . 
Logo, |𝒙 − 𝟏𝟎| − 𝒙 < 𝟎 ⟺ 𝒙 > 𝟓 
▪ Sendo 𝐷𝑜𝑚(𝐻(𝑥)) = ℝ − {5} e |𝒙 − 𝟏𝟎| − 𝒙 < 𝟎 ⟺ 𝒙 > 𝟓 , concluímos que 
|𝒙 − 𝟏𝟎| − 𝒙 > 𝟎 ⟺ 𝒙 < 𝟓 
Fazendo uma tabela de sinais: 
Tabela de sinais de 𝐻(𝑥) =
|𝑥+1| −5 
|𝑥−10|−𝑥 
 
Valores de 𝑥 (−∞ ,−6) −6 (−6 , 4) 4 (4 ,5) 5 (5 , +∞) 
|𝑥 + 1| − 5 + + + 0 − − − 0 + + + + + + + + 
|𝑥 − 10| − 𝑥 + + + + + + + + + + + + + + 0 − − − 
𝐻(𝑥) =
|𝑥 + 1| − 5 
|𝑥 − 10| − 𝑥 
 
+ + + 0 − − − 0 + + + 𝑛𝑑 − − − 
Portanto, 
𝐻(𝑥) =
|𝑥 + 1| − 5 
|𝑥 − 10| − 𝑥 
= 0 ⟺ 𝑥 ∈ {−6 , 4} 
𝐻(𝑥) =
|𝑥+1| −5 
|𝑥−10|−𝑥 
> 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −6) ∪ (4 , 5) 
𝐻(𝑥) =
|𝑥+1| −5 
|𝑥−10|−𝑥 
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−6 , 4) ∪ (5 , +∞) 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,4 ponto] 
Considere as expressões 𝐸(𝑥) =
√4−√𝑥+2 
√𝑥−1
3
 −2
. 
Q4(a) Determine o domínio da expressão 𝐸(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo ou união de 
intervalos disjuntos. 
AD1-Parte 1 – 2023-2 ENUNCIADO Pré-Cálculo Página 9 de 11 
Q4(b) Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥). Escreva para que valores de 𝑥 , 𝐸(𝑥) = 0 , 𝐸(𝑥) > 0 e 
𝐸(𝑥) < 0. Dê a resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
Você deve apresentar todas as contas que justifiquem as suas respostas. 
RESOLUÇÃO: 
Q4(a) Determinando o domínio da expressão 𝑬(𝒙): 
As restrições do domínio de 𝐸(𝑥) são: radicando 𝑥 + 2 ≥ 0 , radicando 4 − √𝑥 + 2 ≥ 0 e o 
denominador √𝑥 − 1
 3
− 2 ≠ 0. Lembre que 𝑦 = √𝑥 
3
 está definida para todos os reais. 
Resolvendo as restrições. 
▪ Radicando 𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟎: 
𝑥 + 2 ≥ 0 ⟺ 𝒙 ≥ −2. 
▪ Radicando 𝟒 − √𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟎 ∶ 
4 − √𝑥 + 2 ≥ 0 e 𝒙 ≥ −2 ⟺ 𝟒 ≥ √𝑥 + 2 e 𝒙 ≥ −2 ⟺ 
√𝑥 + 2 ≤ 4 e 𝒙 ≥ −2 
“⇒”: 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
”⇐”:𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎
𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥+2≥0 
 
⇔ (√𝑥 + 2)
𝟐
 ≤ 42 e 𝒙 ≥ −2 
⟺ 𝒙 + 𝟐 ≤ 16 e 𝒙 ≥ −2 ⟺ 𝒙 ≤ 14 e 𝒙 ≥ −2 . 
Logo, 4 − √𝑥 + 2 ≥ 0 ⟺ −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 14 . 
▪ Denominador √𝒙 − 𝟏
 𝟑
− 𝟐 ≠ 𝟎 
Temos que √𝑥 − 1
 3
− 2 = 0 ⟺ √𝑥 − 1
 3
= 2 
“⇒”: 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜
”⇐”: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 
⇔ ( √𝑥 − 1
 3
)
3
= 23 
⟺ 𝑥 − 1 = 8 ⟺ 𝑥 = 9 . Assim, √𝑥 − 1
 3
− 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 9 . 
Logo, √𝑥 − 1
 3
− 2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 9 
Portanto, temos as seguintes restrições para o domínio da expressão 𝐸(𝑥) : 
 −2 ≤ 𝒙 ≤ 14 𝑒 𝑥 ≠ 9 . 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝐸(𝑥)) = [−2 , 9) ∪ (9 , 14]. 
 
Q4(b) Analisando o sinal da expressão 𝑬(𝒙) : 
AD1-Parte 1 – 2023-2 ENUNCIADO Pré-Cálculo Página 10 de 11 
Sinal do numerador √4 − √𝑥 + 2 : 
▪ √4 − √𝑥 + 2 = 0 ⟺ 4 − √𝑥 + 2 = 0 ⟺ √𝑥 + 2 = 4 ⟺ 𝑥 + 2 = 16 ⟺ 
 𝑥 = 16 − 2 ⟺ 𝑥 = 14 . 
Logo, √4 − √𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 14 . 
▪ Como √𝑥 > 0 para todo 𝑥 > 0 , então 
√4 − √𝑥 + 2 > 0 sempre que 4 − √𝑥 + 2 > 0 e 𝑥 + 2 ≥ 0 (para que √x + 2 esteja definida) . 
Portanto, como vimos acima, 
√4 − √𝑥 + 2 > 0 ⟺ −2 ≤ 𝑥 < 14 
Sinal do denominador √𝒙 − 𝟏
𝟑
 − 𝟐 : 
▪ √𝑥 − 1
3
 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 9 (provado acima). 
▪ √𝑥 − 1
3
 − 2 > 0 ⟺ √𝑥 − 1
3
> 2 
“⇒”: 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜
”⇐”: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 
⇔ (√𝑥− 1
3
)
3
> 23 ⟺ 
𝑥 − 1 > 8 ⟺ 𝑥 > 8 + 1 ⟺ 𝑥 > 9 . 
Logo, √𝑥 − 1
3
 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 9 . 
▪ √𝑥 − 1
3
 − 2 < 0 ⟺ √𝑥 − 1
3
< 2 
“⇒”: 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜
”⇐”: 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 
⇔ (√𝑥 − 1
3
)
3
< 23 ⟺ 
𝑥 − 1 < 8 ⟺ 𝑥 < 8 + 1 ⟺ 𝑥 < 9 . 
Logo, √𝑥 − 1
3
 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 9 . 
Tabela de sinais de 𝐸(𝑥) =
√4−√𝑥+2 
√𝑥−1
3
 −2
: 
Valores de 𝑥 −2 (−2 , 9) 9 (9 , 14) 14 
√4 − √𝑥 + 2 
+ + + + + + + + + + 0 
√𝑥 − 1
3
 − 2 − − − − − 0 + + + + + 
𝐸(𝑥) =
√4 − √𝑥 + 2 
√𝑥 − 1
3
 − 2
 
− − − − − 𝑛𝑑 + + + 0 
AD1-Parte 1 – 2023-2 ENUNCIADO Pré-Cálculo Página 11 de 11 
Portanto, 
𝐸(𝑥) =
√4−√𝑥+2 
√𝑥−1
3
 −2
= 0 ⟺ 𝑥 = 14 . 
𝐸(𝑥) =
√4−√𝑥+2 
√𝑥−1
3
 −2
> 0 ⟺ 𝑥 ∈ (9 , 14) 
𝐸(𝑥) =
√4−√𝑥+2 
√𝑥−1
3
 −2
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−2 , 9) 
 
_____________________________________________________________________________________