Formulario Prova1

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•
∫
eax dx =
1
a
eax •
∫
cos(ax) dx =
1
a
sen ax •
∫
sen(ax) dx = −1
a
cos ax
•
∫
1
x
dx = ln |x| •
∫
1
x+ a
dx = ln |x+ a| •
∫
1
1 + x2
dx = arctg(x)
•
∫
sec2x dx = tg(x) •
∫
lnx dx = x lnx− x •
∫
x lnx dx =
x2 lnx
2
− x
2
4
•
∫
tg(x) dx = ln | sec(x)| •
∫
sec(x) dx = ln | sec(x) + tg (x)| • secx = 1
cosx
• Transformações homogêneas
u =
y
x
,
dy
dx
= u+ x
du
dx
v =
x
y
,
dx
dy
= v + y
dv
dy
• Lineares y′ + p(x)y = q(x)
µ(x) = e
∫
p(x) dx
y(x) = e−
∫
p(x) dx
[∫
q(x)e
∫
p(x) dx dx+ C
]
• Bernoulli y′ + f(x)y = g(x)yn
z = y1−n
dz
dx
= (1− n)y−n dy
dx
• Exatas por fator integrante
µ(x) = e
∫ My−Nx
N
dx
µ(y) = e
∫ Nx−My
M
dy
• EDOL’s de 2a ordem y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) (atenção! deixar sempre o coeficiente do y′′ sendo 1!)
Solução geral: y = yh + yp
yh : (solução da homogênea)
y′′ + py′ + qy = 0 (coeficientes constantes)
Caso 1: yh = c1e
m1x + c2e
m2x,
Caso 2: yh = c1e
m1x + c2xe
m1x,
Caso 3: yh = e
αx(c1 cos(βx) + c2sen (βx)), m1,2 = α± β i
yp : (solução particular da não homogênea) Coeficientes a Determinar ou Variação de Parâmetros
Variação de parâmetros: yp = u1y1 + u2y2[
y1 y2
y′1 y
′
2
] [
u′1
u′2
]
=
[
0
r(x)
]
,
W =
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ , W1 = ∣∣∣∣ 0 y2r(x) y′2
∣∣∣∣ , W2 = ∣∣∣∣ y1 0y′1 r(x)
∣∣∣∣ ,
u1 =
∫
W1
W
dx, u2 =
∫
W2(x)
W (x)
dx