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1. Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y''+3yy´=exy′′+3yy´=ex , obtemos respectivamente: 2 e 2 3 e 1 2 e 1 1 e 3 1 e 2 Explicação: y''+3y y ' =ex , A funcao tem a maior derivada como sendo uma derivada de ordem 2 (segunda derivada) e esta esta elevada a 1 portanto grau 1. 2. Considere a equação diferencial (1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et(1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos : Primeira ordem, não linear. Segunda ordem, não linear. Primeira ordem, linear. Segunda ordem, linear. Terceira ordem, não linear. Explicação: Considere a equação diferencial (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos : Observe que a equacao é de ordem 2 pois a maior derivada é d2y/dt2. Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear, caso contrário será não-linear Observe que esta equação (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. não esta de acordo com a definição de linearidade pois an (x) que corresponderia a (1+y2) não depende da variável do problema, ela depende de y, portanto nao é linear. 3. Identificando a ordem e o grau da equação diferencial xd2ydx2+ydydx=y3xd2ydx2+ydydx=y3 , obtemos respectivamente: 2 e 3 1 e 1 2 e 1 1 e 2 1 e 3 Explicação: Observaremos a derivada d2 y / dx2 portanto o ordem da derivada é 2 e grau 1 4. Considere a equação diferencial t2d2ydt2+tdydt+2y=sentt2d2ydt2+tdydt+2y=sent. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos : Segunda ordem, linear. Terceira ordem, linear. Segunda ordem, não linear. Primeira ordem, linear. Primeira ordem, não linear. Explicação: A maior derivada é a segunda derivada d2y/dt2 e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 2 e grau 1. Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma. Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classifica-se como Linear. Entao dizemos que a equação t2d2y / dt2+t dy/dt+2y =sent. é linear. Observe que an= t2 ; d2y / dt2 = (dn y/ dxn), onde n = 2; a1 (x) (dy/ dx) = a1 (x) (dy/ dx) ; 2y = a0 (x) y e sent = g(x) 5. Seja a equação diferencial d2ydx2+5(dydx)3−4y=exd2ydx2+5(dydx)3-4y=ex. De acordo com as definições de linearidade, ordem e grau de uma EDO, tal equação pode ser classificada como: Linear, de 3ª ordem e de 2º grau. Não-linear, de 3ª ordem e de 3º grau. Linear, de 1ª ordem e de 3º grau. Linear, de 2ª ordem e de 1º grau. Linear, de 3ª ordem e de 3º grau. Explicação: d2y/dx2+5(dydx)3−4y=ex. A maior derivada é a segunda derivada d2y/dx2 e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 2 e grau 1. Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma. Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear. Entao dizemos que a equação d2y/dx2+5(dydx)3−4y=ex. é linear. Observe que an= 1 ; d2y / dx2 = (dn y/ dxn), onde n = 2; 4y = a0 (x) y e ex= g(x) 6. Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 2 e 2 1 e 1 3 e 1 2 e 1 1 e 2 Explicação: a maior derivada da função dada é a primeira derivada portanto ordem 1 e esta esta elevada a 1 portanto grau 1. 7. Identificando a ordem e o grau da equação diferencial (y '')3+3y´+6y=tan(x)(y ′′)3+3y´+6y=tan(x) , obtemos respectivamente: 3 e 1 3 e 3 3 e 2 2 e 3 2 e 2 Explicação: Observando a maior derivada da função dada (y ' ')3+3y´+6y=tan(x) Maior derivada é y ' ', ou seja, a segundaa derivada portanto ordem 2 e esta esta elevada a 3 definindo o grau 3. 8. Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´´+3y´+6y=senxy´´+3y´+6y=senx , obtemos respectivamente: 1 e 2 2 e 2 1 e 1 2 e 1 3 e 1 Explicação: Para definir a ordem basta pegar a maior derivada e observa-la y´´+3y´+6y=senx , Portanto y " é derivada de ordem 2 e como esta esta elevada a 1 entao grau 1. 1. Seja a equação diferencial [ (d2y) dividido por (dx2) ] - 3 (dy dividido por dx) + 2y = 0 , x > 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e (dy dividido por dx) (0) = 0. Determine a solução geral da equação diferencial ordinária. y = e2x - 2 e-x y = e2x + 2 e2x y = e2x y = - 2ex y = e2x - 2 ex 2. Encontre a solução geral da equação diferencial y´´ +2y´-3y=0 y=c1e2t+ c_2 e^(-3t) y=c1et+ c_2 e^(-3t) y=y=c_1 + c_2 e^(-3t) y=c1ety=c1et y=c1et+ c_2 e^(-t) 3. Determine os valores de r para os quais a equação diferencial y´´+y´−6y=0y´´+y´-6y=0 tem uma solução da forma ertert. r=3;r=−3r=3;r=-3 r=2;r=−2r=2;r=-2 r=−2;r=3r=-2;r=3 r=2;r=−3r=2;r=-3 r=−2;r=−3r=-2;r=-3 Explicação: EDO DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES y " + y '- 6 y = 0 Escrevemos r2 + r - 6 = 0 encontrando as raízes desta equação do segundo grau temos 2 e - 3 como as raízes sao diferentes escrevemos no formato y = c1 er1 x + er2 x portanto ficamos com y = c1 e2 x + e -3 x onde c1 e c2 são constantes arbitárias 4. Determine os valores de r para os quais a equação diferencial y´+2y=0y´+2y=0 tem uma solução da forma ertert. r=−2r=-2 r=−12r=-12 r=1r=1 r=2r=2 r=−1r=-1 Explicação: y ´ +2y = 0 tomando y ´ = r Portanto r + 2 = 0 então r = - 2 5. Encontre a solução geral da equação diferencial 6y´´ -y´-y=0 y=c1et3+ c_2 e^(t) y=c1et+ c_2 e^(-t/3) y=c1et2+ c_2 e^(-t/3) y=c1e-t2+ c_2 e^(t/3) y=c1et3+ c_2 e^(-t) 6. Encontre a solução geral da equação diferencial 2y´´ -3y´+y=0 y=c1e3t2+ c_2 e^(2t) y=c1et+ c_2 e^(3t) y=c1et2+ c_2 e^(t/3) y=c1e-t+ c_2 e^t y=c1et2+ c_2 e^t 1. Determine a solução geral da equação diferencial (x - 3)2 (d2 y/ dx2 ) + (x-3) ( dy/dx) = 1/(ln(x-3)) , x > 3 y = c1 + c2 t + 3 y = c1 t ln t y = c1 + c2 t + t ln t y = c2 t + t ln t y = c1 + c2 t +ln t + c3 t2 2. Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/dx2 ) + 4x (dy/dx) + 2y = 4ln (-x), x < 0. y = c1 2t - 3 y = c1 e - t+ c2 e - 2 t + 2t - 3 y = c2 e - 2 t + 2t y = c1 e - t+ c2 e 2 t y = c1 e -3 t+ c2 e t + 2t - 3 3. Determine a solução geral da equação diferencial x2 y '' - 3 x y '+ 3 y = 0, x > 0 y = c1 x y = c1 x + c2 x3cos x y = c1 x + c2 x2 y = c1 x + c2 x3 y = c1 x3 4. Seja y '' + 5 y'+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação. A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes, A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes, A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes, A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes, A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 sãoconstantes, Gabarito Comentado 5. Consider a equação diferencial (x + 3) y '' + (x + 2) y ' - y = 0. Encontre uma solução da equação diferencial da forma y 1 (x) = e rx para r um número real fixo. y1 (x) = x e - x é uma solução da equação diferencial y1 (x) = e 3x é uma solução da equação diferencial y1 (x) = e x é uma solução da equação diferencial y1 (x) = e - x é uma solução da equação diferencial y1 (x) = e - 2x é uma solução da equação diferencial 1. Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções particulares da equação y '' + y = 0. Calcule o Wronskiano. O Wronskiano será 0. O Wronskiano será 5. O Wronskiano será 13. O Wronskiano será 3. O Wronskiano será 1. 2. Encontre o Wronskiano do par de determine a solução geral da equação diferencial exex x2x2 x2e2xx2e2x x2exx2ex x2e−xx2e-x 3. Encontre o Wronskiano do par de funções e2te2te e−3t2))e-3t2)) 32et232et2 −12et2-12et2 −32et-32et −72et-72et −72et2-72et2 1. Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante menos o lucro líquido ( dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias) L(x) = e - x L(x) = x - 200 e - 2x L(x) = 200 e 0.009589 x L(x) = 200 ex L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x 2. As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) = y - 2 Será :x2+ 1 = Ky Será :x2 - 1 = Ky Será : y2 - 1 = Ky Será :x2+ y2 - 1 = Ky Será :x2+ y2 = Ky 3. Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante A menos o lucro líquido ( dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias) . L(x) = 200 ex L(x) = 200 e 0.009589 x L(x) = x - 200 e - 2x L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x L(x) = e - x 4. Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = -k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 50 graus F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 graus F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 graus F , determinar a temperatura do corpo após 20 min. 20 graus F 79,5 graus F 60,2 graus F 49,5 graus F 50 graus 1. Determine a solução do problema de valor inicial y = 5 t2 - t2 y com y(0) = 0 A solução é dada por y = (- t3 / 3) A solução é dada por y = e (- t / 3) A solução é dada por y = 5 et A solução é dada por y = e (t / 3) A solução é dada por 2. Seja a equação diferencial ordinária y" - y = 0 com condições iniciais y(0) =1 e y´(0) = 2. Determine a solução para o problema de valor inicial. y(x) = (3232) ex - (1212) e-x y(x) = (3232) ex y(x) = (3232) + (1212) e-x y(x) = 3ex + 5e-x y(x) = ex - 2 e-x 3. Encontrando a solução do problema de valor inicial y´−2y=e2ty´-2y=e2t y(0)=2y(0)=2 obtemos: y=(t+2)e2ty=(t+2)e2t y=(t+4)e4ty=(t+4)e4t y=e2ty=e2t y=(t−2)e−2ty=(t-2)e-2t y=(t+2)e−2ty=(t+2)e-2t Explicação: fazer Gabarito Comentado 4. Encontrando a solução do problema de valor inicial y´−y=2te2ty´-y=2te2t y(0)=1y(0)=1 obtemos: y=3et+(t−1)ety=3et+(t-1)et y=e2t+2(t−1)e2ty=e2t+2(t-1)e2t y=et+2(t−1)ety=et+2(t-1)et y=3et+2(t−1)e2ty=3et+2(t-1)e2t y=et+(t−1)e−2ty=et+(t-1)e-2t Gabarito Comentado 5. Encontrando a solução do problema de valor inicial y´+2y=te−2ty´+2y=te-2t y(1)=0y(1)=0 obtemos: y=(t2−1)e2ty=(t2-1)e2t y=(t−1)e−2t2y=(t-1)e-2t2 y=(t2−1)e−2t2y=(t2-1)e-2t2 y=(t2−1)e−2ty=(t2-1)e-2t y=(t2−1)ety=(t2-1)et 6. Considere o problema de contorno y '' - y = 0 ; y(0) = 2 e y '(0) = -1. Encontre a solução geral e a solução particular para este problema. Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 3x Solução particular: y(x) = (3/2) e- x Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e -5 x Solução particular: y(x) = (1/2) ex Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 2x Solução particular: y(x) = - ex + e- x Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x Cx Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x + x 7. Considere o problema de valor inicial y+ (1+ 2x) y = x e - x com y(0) = 2. Encontre a solução do problema de valor inicial. A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x +(5/2) ex A solução é dada por y(x) = (-1/2) e x + (x 2 - x ) A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x + x 2 A solução é dada por y(x) = e - x A solução é dada por 8. Seja a equação diferencial ordinária dy dx = sen (5x) com condição inicial y(0)= 3. Determine a solução deste problema levando em consideração a condição inicial. y = sen4x + c y = sen5x + 3 y = 5cos5x - 2 y = cosx + 4 y = senx + c 1. Seja a Equação Diferencial Ordinária y + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral. A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral: A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x) A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x) 2. Utilizando a Equação Diferencial y + y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x ) A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) + cos x A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x 3. Seja as equações diferenciais ordinárias abaixos. Verifique se as equações foram classificadas de forma correta. I) A equação diferencial ordináriaé uma equação de Ricatti dydxdydx = - 2 - y + y2 II) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli dydxdydx + y = xy3 III) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli x (dydxdydx) + y = 1y21y2 Podemos afirmar que: As equações diferenciais oridinárias I, II e III estão classificadas de forma correta. As equações diferenciais oridinárias II e III estão classificadas de forma correta, porém a I opção é uma equação de Bernolli. As equações diferenciais oridinárias I, II e III não estão classificadas de forma correta. As equações diferenciais oridinárias I é uma equação de Bernolli e as opções II e III estão classificadas como Ricatti. As equações diferenciais oridinárias I e II estão classificadas de forma correta, porém III é uma equação de Ricatti. 4. Utilizando a Equação diferencial y'' - 5 y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e2x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e2x A EDO é linear, o fator integrante é ex , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x A EDO é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x A EDO não é linear, o fator integrante é e5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex 5. Seja a Equação Diferencial Ordinária xy - 2y = x3 cos(4x). Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear. A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 +(1/4) x2 sen (4x) A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 sen (4x) A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 + (1/4) x2 A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 6. Seja a equação diferencial ordinária dy dx + 2 x-1 y = x3 , x > 0. Com base nesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2. A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2. A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c. 7. Seja a equação diferencial ordinária de Ricatti y´ = (1 - x ) y2 + (2x - 1 )y - x onde y1 = 1 é uma solução da equação diferencial. A solução final pode ser definida como: y = 1 + e-x y = 1 + e2x y = 1 + ce-x y = e-x y = 1 + (1)/(ce-x + x - 1) 8. Utilizando a Equação Diferencial y - 3y - 6 = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) A EDO é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - 2x A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (5x) A EDO não é linear, o fator integrante é e 7x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (7x) A EDO é linear, o fator integrante é e -3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) - 2 1. Seja a Equação Diferencial Ordinária y + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral. A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral: A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x) A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x) 2. Utilizando a Equação Diferencial y + y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x ) A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) + cos x A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x 3. Seja as equações diferenciais ordinárias abaixos. Verifique se as equações foram classificadas de forma correta. I) A equação diferencial ordinária é uma equação de Ricatti dydxdydx = - 2 - y + y2 II) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli dydxdydx + y = xy3 III) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli x (dydxdydx) + y = 1y21y2 Podemos afirmar que: As equações diferenciais oridinárias I, II e III estão classificadas de forma correta. As equações diferenciais oridinárias II e III estão classificadas de forma correta, porém a I opção é uma equação de Bernolli. As equações diferenciais oridinárias I, II e III não estão classificadas de forma correta. As equações diferenciais oridinárias I é uma equação de Bernolli e as opções II e III estão classificadas como Ricatti. As equações diferenciais oridinárias I e II estão classificadas de forma correta, porém III é uma equação de Ricatti. 4. Utilizando a Equação diferencial y'' - 5 y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e2x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e2x A EDO é linear, o fator integrante é ex , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x A EDO é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x A EDO não é linear, o fator integrante é e5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex 5. Seja a Equação Diferencial Ordinária xy - 2y = x3 cos(4x). Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear. A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 +(1/4) x2 sen (4x) A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 sen (4x) A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 + (1/4) x2 A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 6. Seja a equação diferencial ordinária dy dx + 2 x-1 y = x3 , x > 0. Com basenesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c. A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2. A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2. A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c. 7. Seja a equação diferencial ordinária de Ricatti y´ = (1 - x ) y2 + (2x - 1 )y - x onde y1 = 1 é uma solução da equação diferencial. A solução final pode ser definida como: y = 1 + e-x y = 1 + e2x y = 1 + ce-x y = e-x y = 1 + (1)/(ce-x + x - 1) 8. Utilizando a Equação Diferencial y - 3y - 6 = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) A EDO é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - 2x A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (5x) A EDO não é linear, o fator integrante é e 7x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (7x) A EDO é linear, o fator integrante é e -3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) - 2 1. Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = 6y. Determine a solução para essa equação. y = ex + c y = x3 + c y = ce6x y = x2 + c y = x + c 2. Resolva a equação diferencial ex dydx=2xex dydx=2x por separação de variáveis. y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C y=−2ex(x−1)+Cy=-2ex(x-1)+C y=−12ex(x+1)+Cy=-12ex(x+1)+C y=ex(x+1)+Cy=ex(x+1)+C y=2e−x(x−1)+Cy=2e-x(x-1)+C 3. Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = -2 xy2. Determine a solução para essa equação. y = x y=xy + c y = 1/(x2 + c) y = x+ 2c y = x3 + c 1. Dentre as funções abaixo a única homogênea, é: f( x , y ) = 2xy f ( x, y ) = x2 - 3y f ( x, y ) = 2 x + 3 y2 f (x , y ) = x3 + 2y2 f( x , y ) = x2 + 3 y 2. Resolva a Equação Homogênea [xsen(yx)−ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0[xsen(yx)-ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0 xsen(yx)=cxsen(yx)=c sen(yx)=csen(yx)=c 1xsen(yx)=c1xsen(yx)=c x2sen(yx)=cx2sen(yx)=c x3sen(yx)=cx3sen(yx)=c Gabarito Comentado 3. Resolva a equação homogênea y´=x2+2y2xyy´=x2+2y2xy y2=Cx4−x2y2=Cx4-x2 y2=Cx3−x2y2=Cx3-x2 y2=Cx4−xy2=Cx4-x y=Cx4−x2y=Cx4-x2 y2=Cx2−x3y2=Cx2-x3 1. Verifique se a equação (5x+ 4y) dx + ( 4x - 8y3 ) dy = 0 é uma equação exata. É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 1 É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 4 É exata e ¶M/¶x = ¶N/¶y = 0 Não é exata. É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2 2. Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. É exata e ¶M/¶x = ¶N/¶y = 7 É exata e ¶M/¶x = ¶N/¶y = 4 É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 0 É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 5x É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2 3. Verifique se a equação diferencial (x+y)(x-y)dx + x2 - 2xy dy = 0 é exata É exata. É exata mas não é homogênea É exata e é um problema de valor inicial. É exata e homogênea. Não é exata. 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Considere a equação diferencial dydt+ty2=0dydt+ty2=0. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos : Primeira ordem, linear. Primeira ordem, não linear. Segunda ordem, não linear. Segunda ordem, linear. Terceira ordem, não linear. Respondido em 20/11/2021 23:35:42 Explicação: Considere a equação diferencial dy/dt+ty2=0. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos : A maior derivada é a segunda derivada dy/dt e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 1 e grau 1. Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma. Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear. A equação dy/dt+ty2=0 nao esta no formato linear pois ty2 nao é a0 (x) y 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Resolva a equação diferencial ex dydx=2xex dydx=2x por separação de variáveis. y=−2ex(x−1)+Cy=-2ex(x-1)+C y=2e−x(x−1)+Cy=2e-x(x-1)+C y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C y=−12ex(x+1)+Cy=-12ex(x+1)+C y=ex(x+1)+Cy=ex(x+1)+C Respondido em 20/11/2021 23:37:10 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Resolva a Equação Homogênea [xsen(yx)−ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0[xsen(yx)-ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0 xsen(yx)=cxsen(yx)=c x2sen(yx)=cx2sen(yx)=c x3sen(yx)=cx3sen(yx)=c sen(yx)=csen(yx)=c 1xsen(yx)=c1xsen(yx)=c Respondido em 20/11/2021 23:37:58 Gabarito Comentado 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata. É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2 É exata e ¶M/¶x = ¶N/¶y = 7 É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 0 É exata e ¶M/¶y = ¶N/¶x = 5x É exata e ¶M/¶x = ¶N/¶y = 4 Respondido em 20/11/2021 23:39:13 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Utilizando a Equação Diferencial y '+ y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou não linear a equação data. A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) + cos x A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x ) Respondido em 20/11/2021 23:40:11 Gabarito Comentado 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Encontrando a solução do problema de valor inicial ty´+2y=t2−t+1ty´+2y=t2-t+1 y(1)=12y(1)=12 t>0t>0 obtemos: y=(3t4−4t3+6t2+1)y=(3t4-4t3+6t2+1) y=−4t3+6t2+112t2y=-4t3+6t2+112t2 y=4t4−3t3+6t2+1t2y=4t4-3t3+6t2+1t2 y=t4−4t3+6t2t2y=t4-4t3+6t2t2 y=3t4−4t3+6t2+112t2y=3t4-4t3+6t2+112t2 Respondido em 20/11/2021 23:42:39 Explicação: fazer 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias. C(x) = x(ln x) C(x) = x(1000+ln x) C(x) = ln x C(x) = 5ln x + 40 C(x) = 2x ln x Respondido em 20/11/2021 23:44:13 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Encontre o Wronskiano do par de funções e2te2te e−3t2))e-3t2)) −32et-32et 32et232et2 −72et2-72et2 −72et-72et −12et2-12et2 Respondido em 20/11/2021 23:45:24 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/dx2 ) + 4x (dy/dx) + 2y = 4ln (-x), x < 0. y = c1 2t - 3 y = c1 e - t+ c2 e 2 t y = c1 e -3 t+ c2 e t + 2t - 3 y = c1 e - t+ c2 e - 2 t + 2t - 3 y = c2 e - 2 t + 2t Respondido em 20/11/2021 23:46:40 10a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Encontre a solução geral da equação diferencial y´´ +3y´+2y=0 y=c1e−ty=c1e-t y=c1et+ c_2 e^(-t) y= c_2 e^(-2t) y=c1et+ c_2 e^(2t) y=c1e-t+ c_2 e^(-2t)
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