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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

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1.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y''+3yy´=exy′′+3yy´=ex  , obtemos respectivamente:
	
	
	
	2 e 2
	
	
	3 e 1
	
	
	2 e 1
	
	
	1 e 3
	
	
	1 e 2
	
Explicação:
y''+3y y ' =ex  , 
A funcao tem a maior derivada como sendo uma derivada de ordem 2 (segunda derivada) e esta esta elevada a 1 portanto grau 1.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a equação diferencial (1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et(1+y2)d2ydt2+tdydt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
	
	
	
	Primeira ordem, não linear.
	
	
	Segunda ordem, não linear.
	
	
	Primeira ordem, linear.
	
	
	Segunda ordem, linear.
	
	
	Terceira ordem, não linear.
	
Explicação:
Considere a equação diferencial (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
Observe que a equacao é de ordem 2 pois a maior derivada é d2y/dt2.
Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear, caso contrário será não-linear
Observe que esta equação (1+y2)d2y/dt2+tdy/dt+y=et. não esta de acordo com a definição de linearidade pois an (x) que corresponderia a (1+y2) não depende da variável do problema, ela depende de y, portanto nao é linear.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  xd2ydx2+ydydx=y3xd2ydx2+ydydx=y3 , obtemos respectivamente:
	
	
	
	2 e 3
	
	
	1 e 1
	
	
	2 e 1
	
	
	1 e 2
	
	
	1 e 3
	
Explicação:
Observaremos a derivada  d2 y / dx2  portanto o ordem da derivada é 2 e grau 1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a equação diferencial t2d2ydt2+tdydt+2y=sentt2d2ydt2+tdydt+2y=sent. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
	
	
	
	Segunda ordem, linear.
	
	
	Terceira ordem, linear.
	
	
	Segunda ordem, não linear.
	
	
	Primeira ordem, linear.
	
	
	Primeira ordem, não linear.
	
Explicação:
A maior derivada é a segunda derivada d2y/dt2  e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 2 e grau 1.
Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma.
Se a equação é da forma :  an (x)  (dn y/ dxn) + an-1 (x)  (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x)  (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classifica-se como Linear.
Entao dizemos que a equação  t2d2y / dt2+t dy/dt+2y =sent. é linear. Observe que an= t2  ;  d2y / dt2 = (dn y/ dxn), onde n = 2;
a1 (x)  (dy/ dx) = a1 (x)  (dy/ dx) ; 2y = a0 (x) y e sent = g(x)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a equação diferencial d2ydx2+5(dydx)3−4y=exd2ydx2+5(dydx)3-4y=ex. De acordo com as definições de linearidade, ordem e grau de uma EDO, tal equação pode ser classificada como:
	
	
	
	Linear, de 3ª ordem e de 2º grau.
	
	
	Não-linear, de 3ª ordem e de 3º grau.
	
	
	Linear, de 1ª ordem e de 3º grau.
	
	
	Linear, de 2ª ordem e de 1º grau.
	
	
	Linear, de 3ª ordem e de 3º grau.
	
Explicação:
d2y/dx2+5(dydx)3−4y=ex.
A maior derivada é a segunda derivada d2y/dx2 e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 2 e grau 1.
Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma.
Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear.
Entao dizemos que a equação d2y/dx2+5(dydx)3−4y=ex. é linear. Observe que an= 1 ; d2y / dx2 = (dn y/ dxn), onde n = 2;
4y = a0 (x) y e ex= g(x)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y)y´=f(x,y), obtemos respectivamente:
	
	
	
	2 e 2
	
	
	1 e 1
	
	
	3 e 1
	
	
	2 e 1
	
	
	1 e 2
	
Explicação:
a maior derivada da função dada é a primeira derivada portanto ordem 1 e esta esta elevada a 1 portanto grau 1.
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial (y '')3+3y´+6y=tan(x)(y ′′)3+3y´+6y=tan(x)  , obtemos respectivamente:
	
	
	
	3 e 1
	
	
	3 e 3
	
	
	3 e 2
	
	
	2 e 3
	
	
	2 e 2
	
Explicação:
Observando a maior derivada da função dada
(y ' ')3+3y´+6y=tan(x)
Maior derivada é  y ' ', ou seja, a segundaa derivada portanto ordem 2 e esta esta elevada a 3 definindo o grau 3.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Identificando a ordem e o grau da equação diferencial  y´´+3y´+6y=senxy´´+3y´+6y=senx , obtemos respectivamente:
	
	
	
	1 e 2
	
	
	2 e 2
	
	
	1 e 1
	
	
	2 e 1
	
	
	3 e 1
	
Explicação:
Para definir a ordem basta pegar a maior derivada e observa-la
  y´´+3y´+6y=senx ,
Portanto  y " é derivada de ordem 2 e como esta esta elevada a 1 entao grau 1.
 
		1.
		Seja a equação diferencial [ (d2y) dividido por (dx2) ] - 3 (dy dividido por dx) + 2y = 0 , x > 0 com as condições iniciais y(0) = -1 e (dy dividido por dx) (0) = 0. Determine a solução geral da equação diferencial ordinária.
 
	
	
	
	y = e2x - 2 e-x
	
	
	 y = e2x + 2 e2x
	
	
	y = e2x
	
	
	y = - 2ex
	
	
	y = e2x - 2 ex
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a solução geral da equação diferencial y´´ +2y´-3y=0
	
	
	
	y=c1e2t+  c_2 e^(-3t)
	
	
	y=c1et+  c_2 e^(-3t)
	
	
	y=y=c_1  +  c_2 e^(-3t)
	
	
	y=c1ety=c1et
	
	
	y=c1et+  c_2 e^(-t)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´´+y´−6y=0y´´+y´-6y=0 tem uma solução da forma ertert.
	
	
	
	r=3;r=−3r=3;r=-3
	
	
	r=2;r=−2r=2;r=-2
	
	
	r=−2;r=3r=-2;r=3
	
	
	r=2;r=−3r=2;r=-3
	
	
	r=−2;r=−3r=-2;r=-3
	
Explicação:
EDO DE ORDEM 2 HOMOGÊNEAS, COM COEFICIENTES CONSTANTES
y " + y '- 6 y = 0 Escrevemos  r2 + r - 6 = 0 encontrando as raízes desta equação do segundo grau temos 2 e - 3 como  as raízes sao diferentes escrevemos no formato y = c1 er1  x  + er2  x  portanto ficamos com y = c1 e2  x  + e -3  x  onde c1 e c2 são constantes arbitárias
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
Determine os valores de r para os quais a equação diferencial  y´+2y=0y´+2y=0 tem uma solução da forma ertert.
	
	
	
	r=−2r=-2
	
	
	r=−12r=-12
	
	
	r=1r=1
	
	
	r=2r=2
	
	
	r=−1r=-1
	
Explicação:
y ´ +2y = 0
tomando y ´ = r
Portanto r + 2 = 0 então r = - 2 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontre a solução geral da equação diferencial 6y´´ -y´-y=0
	
	
	
	y=c1et3+  c_2 e^(t)
	
	
	y=c1et+  c_2 e^(-t/3)
	
	
	y=c1et2+  c_2 e^(-t/3)
	
	
	y=c1e-t2+  c_2 e^(t/3)
	
	
	y=c1et3+  c_2 e^(-t)
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Encontre a solução geral da equação diferencial 2y´´ -3y´+y=0
	
	
	
	y=c1e3t2+  c_2 e^(2t)
	
	
	y=c1et+  c_2 e^(3t)
	
	
	y=c1et2+  c_2 e^(t/3)
	
	
	y=c1e-t+  c_2 e^t
	
	
	y=c1et2+  c_2 e^t
	
		1.
		Determine a solução geral da equação diferencial (x - 3)2 (d2 y/ dx2 ) + (x-3) ( dy/dx) = 1/(ln(x-3)) , x > 3
	
	
	
	y = c1 + c2 t + 3
	
	
	y = c1 t ln t
	
	
	y = c1 + c2 t + t ln t
	
	
	y =  c2 t + t ln t
	
	
	y = c1 + c2 t +ln t + c3 t2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/dx2 ) + 4x (dy/dx) + 2y =  4ln (-x), x < 0.
	
	
	
	y = c1 2t - 3
	
	
	y = c1 e - t+ c2 e - 2 t + 2t - 3
	
	
	y = c2 e - 2 t + 2t
	
	
	y = c1 e - t+ c2 e 2 t
	
	
	y = c1 e -3 t+ c2 e  t + 2t - 3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a solução geral da equação diferencial x2 y '' - 3 x y '+ 3 y = 0, x > 0
	
	
	
	y = c1 x
	
	
	y = c1 x + c2 x3cos x
	
	
	y = c1 x + c2 x2
	
	
	y = c1 x + c2 x3
	
	
	y = c1 x3
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja y '' + 5 y'+ 6 y = 0 uma equaçao diferencial de 2 ordem. Encontre a solução geral desta equação.
	
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e-2x + c2 e-3x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 e-4x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 e+ c2 e5x+1, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex+ c2 e5x, onde c1 e c2 são constantes,
	
	
	A solução geral da equacao será y = c1 ex + c2 ex, onde c1 e c2 sãoconstantes,
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Consider a equação diferencial (x + 3) y '' + (x + 2) y ' - y = 0. Encontre uma solução da equação diferencial da forma  y 1 (x) = e rx para r um número real fixo.
	
	
	
	y1 (x) =  x e - x é uma solução da equação diferencial
	
	
	y1 (x) = e 3x é uma solução da equação diferencial
	
	
	 y1 (x) = e x é uma solução da equação diferencial
	
	
	y1 (x) = e - x é uma solução da equação diferencial
	
	
	y1 (x) = e - 2x é uma solução da equação diferencial
		1.
		Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções  particulares da equação y '' + y = 0. Calcule o Wronskiano.
	
	
	
	O Wronskiano será 0.
	
	
	O Wronskiano será 5.
	
	
	O Wronskiano será 13.
	
	
	O Wronskiano será 3.
	
	
	O Wronskiano será 1.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre o Wronskiano do par de determine a solução geral da equação diferencial
	
	
	
	exex
	
	
	x2x2
	
	
	x2e2xx2e2x
	
	
	x2exx2ex
	
	
	x2e−xx2e-x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontre o Wronskiano do par de funções  e2te2te e−3t2))e-3t2))
	
	
	
	32et232et2
	
	
	−12et2-12et2
	
	
	−32et-32et
	
	
	−72et-72et
	
	
	−72et2-72et2
		1.
		Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante menos o lucro líquido (  dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias)
	
	
	
	L(x) = e - x
	
	
	L(x) = x -  200 e - 2x
	
	
	L(x) = 200 e  0.009589 x
	
	
	L(x) =  200 ex
	
	
	L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x
	
	
	
	 
		
	
		2.
		As Linhas de Força e as linhas Equipotenciais interceptam-se ortogonalmente. Determinar as linhas de força do campo elétrico gerado por dois fios paralelos de material condutor, carregados com cargas opostas de mesma intensidade, encontrando as trajetórias ortogonais da família x2 + y2 + 1 = 2 Cx. Sugestão: Usar o fator integrante u(y) = y - 2
	
	
	
		Será :x2+  1 = Ky
	
	
	Será :x2 - 1 = Ky
	
	
	Será : y2 - 1 = Ky
	
	
	Será :x2+ y2 - 1 = Ky
	
	
	Será :x2+ y2 = Ky
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Numa empresa, a relação entre lucro líquido L(x) e as despesas de propaganda x é tal que a taxa de aumento do lucro líquido. á medida que as despesas de propaganda aumentam, é proporcional a uma constante A menos o lucro líquido (  dL/dx = K ( A - L ) ). Determinar a relação entre lucro líquido e despesas de propaganda, se L(0)=100, L(30) = 150 e A=300 (mil unidades monetárias) .
	
	
	
	L(x) =  200 ex
	
	
	L(x) = 200 e  0.009589 x
	
	
	L(x) = x -  200 e - 2x
	
	
	L(x) = 300 - 200 e - 0.009589 x
	
	
	L(x) = e - x
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Problemas de variação de temperatura : A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, dT/dt = -k( T- Tm) Supondo que um objeto à temperatura inicial de 50 graus F é colocado ao ar livre , onde a temperatura ambiente é de 100 graus F . Se após 5 minutos a temperatura do objeto é de 60 graus F , determinar a temperatura do corpo após 20 min.
	
	
	
	20 graus F
	
	
	79,5 graus F
	
	
	60,2 graus F
	
	
	49,5 graus F
	
	
	50 graus
		1.
		Determine a solução do problema de valor inicial y = 5 t2 - t2 y  com y(0) = 0
	
	
	
	A solução  é dada por  y = (- t3 / 3)
	
	
	A solução é dada por  y = e (- t / 3)
	
	
	A solução é dada por  y =  5 et
	
	
	A solução é dada por  y = e (t / 3)
	
	
	A solução é dada por 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja a equação diferencial ordinária y" - y = 0 com condições iniciais y(0) =1 e y´(0) = 2. Determine a solução para o problema de valor inicial.
	
	
	
	y(x) = (3232) ex  - (1212) e-x
	
	
	y(x) = (3232) ex 
	
	
	 y(x) = (3232) + (1212) e-x
	
	
	y(x) = 3ex  + 5e-x
	
	
	y(x) = ex - 2 e-x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Encontrando a solução do problema de valor inicial
y´−2y=e2ty´-2y=e2t
y(0)=2y(0)=2
 obtemos:
	
	
	
	y=(t+2)e2ty=(t+2)e2t
	
	
	y=(t+4)e4ty=(t+4)e4t
	
	
	y=e2ty=e2t
	
	
	y=(t−2)e−2ty=(t-2)e-2t
	
	
	y=(t+2)e−2ty=(t+2)e-2t
	
Explicação:
fazer
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Encontrando a solução do problema de valor inicial
y´−y=2te2ty´-y=2te2t
y(0)=1y(0)=1
 obtemos:
	
	
	
	
y=3et+(t−1)ety=3et+(t-1)et
	
	
	
y=e2t+2(t−1)e2ty=e2t+2(t-1)e2t
	
	
	
y=et+2(t−1)ety=et+2(t-1)et
	
	
	
y=3et+2(t−1)e2ty=3et+2(t-1)e2t
	
	
	
y=et+(t−1)e−2ty=et+(t-1)e-2t
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Encontrando a solução do problema de valor inicial
y´+2y=te−2ty´+2y=te-2t
y(1)=0y(1)=0
 obtemos:
	
	
	
	y=(t2−1)e2ty=(t2-1)e2t
	
	
	y=(t−1)e−2t2y=(t-1)e-2t2
	
	
	y=(t2−1)e−2t2y=(t2-1)e-2t2
	
	
	y=(t2−1)e−2ty=(t2-1)e-2t
	
	
	y=(t2−1)ety=(t2-1)et
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o problema de contorno y '' - y = 0 ; y(0) = 2 e y '(0) = -1. Encontre a solução geral e a solução particular para este problema.
	
	
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 3x
Solução particular: y(x) =  (3/2) e- x
	
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x
Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x
	
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e -5 x
Solução particular: y(x) = (1/2) ex
	
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex + B e 2x
Solução particular: y(x) = - ex  +  e- x
	
	
	Solução geral: y ' ( x ) = A ex - B e - x Cx
Solução particular: y(x) = (1/2) ex + (3/2) e- x + x
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere o problema de valor inicial y+ (1+ 2x) y = x e - x  com y(0) = 2. Encontre a solução do problema de valor inicial.
	
	
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x +(5/2)  ex
	
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e  x + (x 2 - x )
	
	
	A solução é dada por y(x) = (-1/2) e - x + x 2  
	
	
	A solução é dada por y(x) = e - x 
	
	
	A solução é dada por 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja a equação diferencial ordinária dy dx = sen (5x) com condição inicial y(0)= 3. Determine a solução deste problema levando em consideração a condição inicial.
	
	
	
	y = sen4x + c
	
	
	y = sen5x + 3
	
	
	y = 5cos5x - 2
	
	
	y = cosx + 4
	
	
	y = senx + c
	
		1.
		Seja a Equação Diferencial Ordinária y + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x)
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral:  
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Utilizando a Equação Diferencial y + y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x )
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +  cos x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja as equações diferenciais ordinárias abaixos. Verifique se as equações foram classificadas de forma correta.
I) A equação diferencial ordináriaé uma equação de Ricatti dydxdydx = - 2 - y + y2  
II)  A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli dydxdydx + y = xy3  
III) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli x (dydxdydx) + y = 1y21y2
Podemos afirmar que:
	
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III estão classificadas de forma correta.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias II e III estão classificadas de forma correta, porém a I opção é uma equação de Bernolli.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III não estão classificadas de forma correta.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I é uma equação de Bernolli e as opções II e III estão classificadas como Ricatti.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I e II estão classificadas de forma correta, porém III é uma equação de Ricatti.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Utilizando a Equação diferencial  y'' - 5 y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e2x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e2x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é ex , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a Equação Diferencial Ordinária xy - 2y = x3 cos(4x).
Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 +(1/4) x2 sen (4x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 sen (4x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 + (1/4) x2
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Seja a equação diferencial ordinária dy dx + 2 x-1 y = x3 , x > 0. Com base nesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma.
	
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c.
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2.
	
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja a equação diferencial ordinária de Ricatti y´ = (1 - x ) y2 + (2x - 1 )y - x  onde y1 = 1 é uma solução da equação diferencial. A solução final pode ser definida como:
	
	
	
	y = 1 + e-x
	
	
	y = 1 + e2x
	
	
	y = 1 + ce-x
	
	
	y = e-x
	
	
	y = 1 + (1)/(ce-x + x - 1)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Utilizando a Equação Diferencial  y - 3y - 6 = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - 2x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (5x)
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 7x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (7x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e -3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) - 2
		1.
		Seja a Equação Diferencial Ordinária y + 2xy = 0. Classifique em linear ou não linear, determine o fator integrante e a solução geral.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e 3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x)
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é , portanto podemos encontra a solução geral:  
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 2x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (2x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (- x)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Utilizando a Equação Diferencial y + y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x )
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +  cos x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja as equações diferenciais ordinárias abaixos. Verifique se as equações foram classificadas de forma correta.
I) A equação diferencial ordinária é uma equação de Ricatti dydxdydx = - 2 - y + y2  
II)  A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli dydxdydx + y = xy3  
III) A equação diferencial ordinária é uma equação de Bernolli x (dydxdydx) + y = 1y21y2
Podemos afirmar que:
	
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III estão classificadas de forma correta.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias II e III estão classificadas de forma correta, porém a I opção é uma equação de Bernolli.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I, II e III não estão classificadas de forma correta.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I é uma equação de Bernolli e as opções II e III estão classificadas como Ricatti.
	
	
	As equações diferenciais oridinárias I e II estão classificadas de forma correta, porém III é uma equação de Ricatti.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Utilizando a Equação diferencial  y'' - 5 y = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e2x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e2x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é ex , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e-5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c e5x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e5x , portanto podemos encontra a solução geral y = c ex
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Seja a Equação Diferencial Ordinária xy - 2y = x3 cos(4x).
Determine o fator integrante, a solução geral e classifique em linear ou não linear.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 +(1/4) x2 sen (4x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 sen (4x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x-2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é x2, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2 + (1/4) x2
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é x 3, portanto podemos encontra a solução geral y = c x2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Seja a equação diferencial ordinária dy dx + 2 x-1 y = x3 , x > 0. Com basenesta equação diferencial classifique como equação diferencial linear ou equação diferencial não linear e determine o fator integrante da mesma.
	
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x5 + c.
	
	
	A equação diferencial é linear de primeira ordem e seu fator integrante será e2.
	
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x2.
	
	
	A equação diferencial não é linear de primeira ordem e seu fator integrante será x3 + c.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja a equação diferencial ordinária de Ricatti y´ = (1 - x ) y2 + (2x - 1 )y - x  onde y1 = 1 é uma solução da equação diferencial. A solução final pode ser definida como:
	
	
	
	y = 1 + e-x
	
	
	y = 1 + e2x
	
	
	y = 1 + ce-x
	
	
	y = e-x
	
	
	y = 1 + (1)/(ce-x + x - 1)
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Utilizando a Equação Diferencial  y - 3y - 6 = 0. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou nao linear a equação data.
	
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - 2x
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (5x)
	
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e 7x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (7x)
	
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e -3x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (3x) - 2
		1.
		Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = 6y. Determine a solução para essa equação.
	
	
	
	y = ex + c
	
	
	y = x3 + c
	
	
	y = ce6x
	
	
	y = x2 + c
	
	
	y = x + c
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva a equação diferencial    ex dydx=2xex dydx=2x  por separação de variáveis.
	
	
	
	y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C
	
	
	y=−2ex(x−1)+Cy=-2ex(x-1)+C
	
	
	y=−12ex(x+1)+Cy=-12ex(x+1)+C
	
	
	y=ex(x+1)+Cy=ex(x+1)+C
	
	
	y=2e−x(x−1)+Cy=2e-x(x-1)+C
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a equação diferencial ordinária dydxdydx = -2 xy2. Determine a solução para essa equação.
	
	
	
	y = x
	
	
	y=xy + c
	
	
	y = 1/(x2 + c)
	
	
	y = x+ 2c
	
	
	y = x3 + c
	
		1.
		Dentre as funções abaixo a única homogênea, é:
	
	
	
	f( x , y ) = 2xy
	
	
	f ( x, y ) = x2 - 3y
	
	
	f ( x, y ) = 2 x + 3 y2
	
	
	f (x , y ) = x3 + 2y2
	
	
	f( x , y ) = x2 + 3 y
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva a Equação Homogênea
 [xsen(yx)−ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0[xsen(yx)-ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0
	
	
	
	xsen(yx)=cxsen(yx)=c
	
	
	sen(yx)=csen(yx)=c
	
	
	1xsen(yx)=c1xsen(yx)=c
	
	
	x2sen(yx)=cx2sen(yx)=c
	
	
	x3sen(yx)=cx3sen(yx)=c
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva a equação homogênea y´=x2+2y2xyy´=x2+2y2xy
	
	
	
	y2=Cx4−x2y2=Cx4-x2
	
	
	y2=Cx3−x2y2=Cx3-x2
	
	
	y2=Cx4−xy2=Cx4-x
	
	
	y=Cx4−x2y=Cx4-x2
	
	
	y2=Cx2−x3y2=Cx2-x3
	
		1.
		Verifique se a equação (5x+ 4y) dx + ( 4x - 8y3 ) dy = 0 é uma equação exata.
	
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 1
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 4
	
	
	É exata e  ¶M/¶x = ¶N/¶y = 0
	
	
	Não é exata.
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
	
	
	
	É exata e  ¶M/¶x = ¶N/¶y = 7
	
	
	É exata e  ¶M/¶x = ¶N/¶y = 4
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 0
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 5x
	
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Verifique se a equação diferencial (x+y)(x-y)dx + x2 - 2xy dy = 0 é exata
	
	
	
	É exata.
	
	
	É exata mas não é homogênea
	
	
	É exata e é um problema de valor inicial.
	
	
	É exata e homogênea.
	
	
	Não é exata.
		1a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere a equação diferencial dydt+ty2=0dydt+ty2=0. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
		
	
	Primeira ordem, linear.
	 
	Primeira ordem, não linear.
	
	Segunda ordem, não linear.
	
	Segunda ordem, linear.
	
	Terceira ordem, não linear.
	Respondido em 20/11/2021 23:35:42
	
	Explicação:
Considere a equação diferencial dy/dt+ty2=0. Determinando a ordem e se esta equação é linear ou não linear, obtemos :
A maior derivada é a segunda derivada dy/dt e esta esta elevada ao grau 1. Portanto ordem 1 e grau 1.
Para classificarmos uma equação em Linear ou Não- linear devemos observar sua forma.
Se a equação é da forma : an (x) (dn y/ dxn) + an-1 (x) (dn-1 y/ dxn-1) + ...+ a1 (x) (dy/ dx) + a0 (x) y = g(x) classificamos como Linear.
A equação dy/dt+ty2=0 nao esta no formato linear pois ty2 nao é a0 (x) y
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Resolva a equação diferencial    ex dydx=2xex dydx=2x  por separação de variáveis.
		
	
	y=−2ex(x−1)+Cy=-2ex(x-1)+C
	
	y=2e−x(x−1)+Cy=2e-x(x-1)+C
	 
	y=−2e−x(x+1)+Cy=-2e-x(x+1)+C
	
	y=−12ex(x+1)+Cy=-12ex(x+1)+C
	
	y=ex(x+1)+Cy=ex(x+1)+C
	Respondido em 20/11/2021 23:37:10
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Resolva a Equação Homogênea
 [xsen(yx)−ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0[xsen(yx)-ycos(yx)]dx+xcos(yx)dy=0
		
	 
	xsen(yx)=cxsen(yx)=c
	
	x2sen(yx)=cx2sen(yx)=c
	
	x3sen(yx)=cx3sen(yx)=c
	
	sen(yx)=csen(yx)=c
	
	1xsen(yx)=c1xsen(yx)=c
	Respondido em 20/11/2021 23:37:58
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy = 0 é exata.
		
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = x2
	
	É exata e  ¶M/¶x = ¶N/¶y = 7
	 
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 0
	
	É exata e  ¶M/¶y = ¶N/¶x = 5x
	
	É exata e  ¶M/¶x = ¶N/¶y = 4
	Respondido em 20/11/2021 23:39:13
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Utilizando a Equação Diferencial y '+ y = sen x. Determine a solução geral, o fator integrante e classifique em linear ou não linear a equação data.
		
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) - sen x
	 
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +(1/2) sen x - (1/2) cos x
	
	A EDO não é linear, o fator integrante é e -x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (x) + sen x + cos x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x) +  cos x
	
	A EDO é linear, o fator integrante é e x, portanto podemos encontra a solução geral y = c e (-x cos x )
	Respondido em 20/11/2021 23:40:11
	
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontrando a solução do problema de valor inicial
ty´+2y=t2−t+1ty´+2y=t2-t+1
y(1)=12y(1)=12
t>0t>0
 obtemos:
		
	
	y=(3t4−4t3+6t2+1)y=(3t4-4t3+6t2+1)
	
	y=−4t3+6t2+112t2y=-4t3+6t2+112t2
	
	y=4t4−3t3+6t2+1t2y=4t4-3t3+6t2+1t2
	
	y=t4−4t3+6t2t2y=t4-4t3+6t2t2
	 
	y=3t4−4t3+6t2+112t2y=3t4-4t3+6t2+112t2
	Respondido em 20/11/2021 23:42:39
	
	Explicação:
fazer
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de tipos
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos fabricados, sabendo  C(1)=1000 unidades monetárias.
		
	
	C(x) = x(ln x)
	 
	C(x) = x(1000+ln x)
	
	C(x) = ln x
	
	C(x) = 5ln x + 40
	
	C(x) = 2x ln x
	Respondido em 20/11/2021 23:44:13
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Encontre o Wronskiano do par de funções  e2te2te e−3t2))e-3t2))
		
	
	−32et-32et
	
	32et232et2
	 
	−72et2-72et2
	
	−72et-72et
	
	−12et2-12et2
	Respondido em 20/11/2021 23:45:24
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0Determine a solução geral da equação diferencial x2 (d2 y/dx2 ) + 4x (dy/dx) + 2y =  4ln (-x), x < 0.
		
	
	y = c1 2t - 3
	
	y = c1 e - t+ c2 e 2 t
	
	y = c1 e -3 t+ c2 e  t + 2t - 3
	 
	y = c1 e - t+ c2 e - 2 t + 2t - 3
	
	y = c2 e - 2 t + 2t
	Respondido em 20/11/2021 23:46:40
	
		10a
          Questão
	Acerto: 0,0  / 1,0
	
	Encontre a solução geral da equação diferencial y´´ +3y´+2y=0
		
	
	y=c1e−ty=c1e-t
	
	y=c1et+  c_2 e^(-t)
	
	y=  c_2 e^(-2t)
	 
	y=c1et+  c_2 e^(2t)
	 
	y=c1e-t+  c_2 e^(-2t)

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