Prova1_Calc3_22_1_T64-print pdf

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Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Prof. Pedro Roberto de Lima
1ª Prova - CÁLCULO III (IC243) - T64 (2022.1)
• A prova tem duração de 1h40min com entrega permitida
após 45min do ińıcio.
• Não basta fornecer só a resposta final. É necessário exibir
os cálculos.
• Durante a prova é proibido comunicar-se bem como portar
dispositivos eletrônicos e materiais escritos ou impressos.
NOME:
QUESTÃO VALOR NOTA
1 1,8
2 1,8
3 1,8
4 1,8
5 1,8
TOTAL 9,0
QUESTÕES
1. A figura mostra uma curva
“astroide” (em forma de
estrela) definida paramet-
ricamente por
f(t) = (8 cos3 t, 8 sen3 t)
com 0 ≤ t ≤ 2π. Determine uma equação cartesiana
para esta curva.
2. A figura mostra uma curva “tricúspide” (de três pon-
tas) definida parametricamente por
f(t) = (2 cos(t) + cos(2t), 2 sen(t) − sen(2t))
com 0 ≤ t ≤ 2π. A
figura também mostra a
reta tangente a esta curva
no ponto f(π
2
). Determine
uma parametrização desta
reta tangente.
3. Utilizando a regra da cadeia, determine a matriz ja-
cobiana da composição g ◦ f no ponto (1, 0, 1), onde
f(x, y, z) = (x2 + xyz, y2 + z2)
e
g(u, v) = (u3 − v2 + 1, v3 + u).
4. Calcule a integral dupla∫∫
R
(
y+
x
y2
)
dA,
onde
R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.
5. A figura mostra a curva C e o sólido
E formados pela intersecção do cilin-
dro x2 + y2 = 4 com o paraboloide
z = x2 + 2y2.
a) Obtenha equações paramétricas
para C.
b) Determine o volume de E.