Calculo PILARES 2011

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AMÉRICO CAMPOS FILHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2011 
 
SUMÁRIO 
 
1 – Dimensões ............................................................................................................................ 1 
1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares .................................................. 1 
1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares ................................................................................ 1 
2 – Cálculo das solicitações nos pilares ..................................................................................... 4 
2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis ........................................................... 4 
2.2 – Contraventamento ............................................................................................................. 5 
2.3 – Imperfeições geométricas ................................................................................................. 5 
2.4 - Elementos isolados ............................................................................................................ 7 
2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem ............................................ 7 
2.5.1 - Parâmetro de instabilidade ............................................................................................. 7 
2.5.2 - Coeficiente γz .................................................................................................................. 7 
2.6 - Análise de estruturas de nós fixos ..................................................................................... 8 
2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de edifícios 9 
3 - Análise de elementos isolados .............................................................................................. 11 
3.1 – Generalidades ................................................................................................... 11 
3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem ........................................................... 11 
3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem .................................................................... 12 
3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão .......................................................................... 12 
3.3.2 - Método exato .................................................................................................................. 12 
3.3.3 - Métodos aproximados .................................................................................................... 12 
3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada .................................................... 12 
3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada .................................................... 13 
3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r ............................................ 13 
3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão 
composta oblíqua ....................................................................................................................... 13 
3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2007 para verificação de pilares esbeltos ....... 14 
4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua ................................................... 14 
5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares ....................................................... 15 
5.1 - Proteção contra flambagem das barras .............................................................................. 15 
5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares ...................................................... 15 
5.2.1 – Introdução ...................................................................................................................... 15 
5.2.2 - Armaduras longitudinais ................................................................................................ 16 
5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura ......................................................................... 16 
5.2.2.2 - Distribuição transversal ............................................................................................... 17 
5.2.2.3 – Comprimento de espera .............................................................................................. 17 
5.2.3 - Armaduras transversais .................................................................................................. 18 
5.2.4 – Detalhamento de um pilar .............................................................................................. 18 
6 – Exemplos ............................................................................................................................. 20 
Anexo – Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado (NBR7480:2007) ... 32 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Dimensões 
 
Os pilares dos edifícios correntes, com estrutura em concreto armado, têm, em geral, 
seções transversais constantes de piso a piso (concreto e aço). As seções transversais podem 
apresentar a forma quadrada, retangular, circular ou de uma figura composta por retângulos 
(seções L, T, U). 
 
 
1.1 – Dimensões mínimas das seções transversais dos pilares 
 
 As dimensões mínimas da seção transversal de pilares são fixadas no item 13.2.3 da 
NBR6118:2007. Conforme este item, a seção transversal de pilares não deve apresentar 
dimensão menor que 19 cm. 
 
Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, 
desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um 
coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela abaixo. Em qualquer caso, a 
norma não permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2. 
 
Tabela – Valores do coeficiente adicional γn 
 
b ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
 
 Nesta tabela, b é a menor dimensão da seção transversal do pilar e γn é um coeficiente 
que deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando do 
dimensionamento. 
 
 
1.2 – Cobrimento da armadura dos pilares 
 
Segundo o item 6 da NBR6118:2007 (diretrizes para durabilidade das estruturas de 
concreto), as estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as 
condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado 
em projeto, conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período 
correspondente à sua vida útil. 
 
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que 
atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas, das variações 
volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento 
das estruturas de concreto. 
 
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Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada 
de acordo com o apresentado na seguinte tabela e pode ser avaliada, simplificadamente, 
segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes. 
 
 
 
Tabela - Classes de agressividade ambiental 
 
Classe de 
agressividade 
ambiental (CAA) 
Agressividade Classificação geral do tipo de 
ambiente para efeito de projeto 
Risco de 
deterioração da 
estrutura 
I Fraca Rural 
Submersa Insignificante 
II Moderada Urbana1), 2) Pequeno 
III Forte Marinha1) 
Industrial1), 2) Grande 
IV Muito forte Industrial1), 3) 
Respingos de maré Elevado 
1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para 
ambientes internossecos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de 
clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva 
em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente. 
3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias 
de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
 
 
 No item 7 da NBR6118:2007, são apresentados os critérios de projeto visando a 
durabilidade das estruturas de concreto. No item 7.4, são referenciados os critérios relativos à 
qualidade do concreto e cobrimento da armadura. 
 
A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e 
da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura. Ensaios comprobatórios de 
desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em 
projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido 
à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, 
a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos 
mínimos expressos na tabela seguinte. 
 
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Tabela - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto 
Classe de agressividade (tabela 1) Concreto Tipo 
I II III IV 
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 Relação água/aglomerante 
em massa CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 Classe de concreto 
(NBR 8953) 
 CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40 
NOTAS: 
CA - Componentes e elementos estruturais de concreto armado 
CP - Componentes e elementos estruturais de concreto protendido 
 
O cobrimento mínimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo 
de todo o elemento considerado e que se constitui num critério de aceitação. Para garantir o 
cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal 
(cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (∆c). Assim as 
dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais, 
estabelecidos na tabela abaixo para ∆c=10 mm. 
 
Nas obras correntes o valor de ∆c deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver 
um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das 
medidas durante a execução pode ser adotado o valor ∆c = 5 mm, mas a exigência de controle 
rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. 
 
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura 
externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra 
deve sempre ser maior ou igual ao seu próprio diâmetro. 
 
cnom ≥ φ barra 
 
A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto não pode 
superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja: 
 
dmax ≤1,2 cnom 
 
 
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Tabela- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal 
para ∆c=10mm 
 
Classe de agressividade ambiental 
I II III IV3) 
 
Tipo de estrutura 
 
Componente ou 
elemento Cobrimento nominal 
mm 
Laje2) 20 25 35 45 Concreto armado 
Viga/Pilar 25 30 40 50 
Concreto protendido1) Todos 30 35 45 55 
1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre 
superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob 
tensão. 
 
2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos 
finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de 
elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser 
substituídas pelo item 7.4.7.5 respeitado um cobrimento nominal ≥15 mm. 
 
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de 
esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura 
deve ter cobrimento nominal ≥45mm. 
 
 
2 – Cálculo das solicitações nos pilares 
 
 Conforme o item 15.4 da NBR6118:2007, sob a ação das cargas verticais e 
horizontais, os nós da estrutura de um edifício deslocam-se horizontalmente. Os esforços de 
segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2ª ordem. 
Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm 
retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que, em princípio, afetam principalmente os 
esforços solicitantes ao longo delas. 
 
 
2.1 - Estruturas de nós fixos e estruturas de nós moveis 
 
As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os 
deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª 
ordem são desprezáveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10% 
dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados tanto os 
esforços de 2ª ordem globais como os locais. 
 
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2.2 - Contraventamento 
 
Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas 
que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços 
decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de 
contraventamento. Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são 
chamados elementos contraventados. As subestruturas de contraventamento podem ser de nós 
fixos ou de nós moveis. 
 
 
2.3 – Imperfeições geométricas 
 
Segundo o item 11.3.3.4 da NBR6118:2007, na verificação do estado limite último das 
estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos 
elementos estruturais da estrutura descarregada. Essas imperfeições podem ser divididas em 
dois grupos: imperfeições globais e imperfeições locais. 
 
 
a) Imperfeições globais 
 
Na análise global dessas estruturas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser 
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
Figura - Imperfeições geométricas globais 
 
sendo: 
 
θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos; 
 
θ1min = 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; 
 
θ1min ≤ 1/200. 
 
O desaprumo mínimo (θ1min) não deve necessariamente ser superposto ao 
carregamento de vento. Entre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais 
desfavorável, que pode ser definido através do que provoca o maior momento total na base de 
construção. 
 
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b) Imperfeições locais 
 
No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento, 
usualmente vigas e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar 
contraventado (figura a). No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o 
efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar (figuras b e c, 
respectivamente). 
 
 
a) Elementos de travamento 
(tracionado ou comprimido) 
b) Falta de retilinidade no 
pilar 
c) Desaprumo do pilar 
 
Figura - Imperfeições geométricas locais 
 
Admite-seque, nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do 
lance de pilar seja suficiente. 
 
 
c) Momento mínimo 
 
O momento total M1d,mín de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem acrescido 
dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: 
 
M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) 
 
onde: 
 
h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
 
Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja 
atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares 
submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das 
direções principais, separadamente. 
 
 
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2.4 - Elementos isolados 
 
São considerados elementos isolados, os seguintes: 
 
a) os elementos estruturais isostáticos; 
b) os elementos contraventados; 
c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos; 
d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis desde que, aos 
esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam acrescentados os 
determinados por análise global de 2ª ordem. 
 
 
2.5 - Dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem 
 
Os processos aproximados, apresentados a seguir, podem ser utilizados para verificar a 
possibilidade de dispensa da consideração dos esforços globais de 2ª ordem, ou seja, para 
indicar se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo 
rigoroso. 
 
 
2.5.1 - Parâmetro de instabilidade 
 
Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como sendo de nós fixos se seu 
parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 conforme a expressão: 
 
)I/(ENH ccsktot=α 
sendo: 
 
α1=0,2+ 0,1n se: n ≤ 3 
 
α1=0,6 se: n ≥ 4 
onde: 
 
n é o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; 
Htot é a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco 
deslocável do subsolo; 
Nk é a somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível 
considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico; 
EcsIc representa a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção 
considerada; o valor do módulo de elasticidade pode ser calculado por Ec = 5600 fck½, com 
Ec e fck dados em MPa; o valor de Ic deve ser calculado considerando as seções brutas dos 
pilares. 
 
 
2.5.2 - Coeficiente γz 
 
O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem global é 
válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a 
partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem. 
 
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O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado pela expressão: 
 
 1
1
,,1
,
dtot
dtot
z
M
M∆
−
=γ 
onde: 
 
M1,tot,d é o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da 
estrutura; 
∆Mtot,d é a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de 
seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem; 
 
Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição: γz ≤1,1. 
 
 
2.6 - Análise de estruturas de nós fixos 
 
Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento 
comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos 
estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura 
efetuada segundo a teoria de 1ª ordem. A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser 
realizada de acordo com o estabelecido no item 15.8 da NBR6118:2007. 
 
O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em 
ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: 
 
le = l0 + h 
 
le = l 
onde: 
 
l0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que 
vinculam o pilar; 
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; 
l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. 
 
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2.7 – Processo simplificado para o cálculo das solicitações nas estruturas usuais de 
edifícios 
 
 Para efeitos de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados em três 
categorias: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto. Os pilares 
intermediários estão basicamente submetidos a cargas axiais de compressão. Como as vigas e 
lajes, que se apoiam nestes pilares, não sofrem interrupção total sobre os mesmos, admitem-se 
como desprezíveis os momentos fletores transmitidos para os pilares. A situação básica de 
projeto para os pilares intermediários é, portanto, a de compressão centrada. 
 
 Os pilares de extremidade, em princípio, estão submetidos a flexão normal composta. 
A flexão decorre da interrupção sobre o pilar, da viga perpendicular à borda considerada. 
 
 No caso dos pilares de canto, em virtude da interrupção das vigas situadas nas duas 
bordas, existe uma situação de projeto de flexão oblíqua composta. 
 
 Em todos os casos considerados, é importante observar que as situações de projeto 
levam em conta somente os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de 1ª ordem 
decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estrutura. Para o dimensionamento dos pilares, 
devem ser consideradas as excentricidades mínimas, que são também excentricidades de 1ª 
ordem, bem como, no caso de pilares esbeltos, as excentricidades de 2ª ordem. 
 
Figura – Arranjos estruturais dos pilares de edifícios 
(P.B.Fusco, Estruturas de Concreto – Solicitações Normais) 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 10 
Segundo o item 14.6.7.1 da NBR6118:2007, pode ser utilizado o modelo clássico de 
viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais. Quando 
não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve 
ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento 
perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes equações: 
 
- no tramo superior do pilar: 
suprinfrvigr
supr
++
 
- no tramo inferior do pilar: 
suprinfrvigr
infr
++
 
onde: 
 
ri é o coeficiente de rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada conforme indicado 
na figura abaixo. 
 
 
 
Figura - Aproximação em apoios extremos 
 
Os coeficientes de rigidez são calculados através das expressões 
 
lll vig
vig
vig
I
r
I
r
I
r === ;
2
;2
sup
sup
sup
inf
inf
inf 
 
onde Iinf e Isup são os momentos principais centrais de inércia das seções transversais dos 
trechos inferior e superior do pilar e Ivig é o momento principal central de inércia da seção 
transversal da viga, considerando a contribuição das lajes. 
 
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3 - Análise de elementos isolados 
 
3.1 - Generalidades 
 
As recomendações do item 15.8 da NBR6118:2007, que serão apresentadas a seguir 
são aplicáveis apenas a elementos isolados de seção constante e armadura constante ao longo 
de seu eixo, submetidos a flexo-compressão. Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou 
igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,10fcdAc, o 
índice de esbeltez pode ser maior que 200. 
 
3.2 - Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quandoo índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item. 
 
O índice de esbeltez deve ser calculado pela expressão: 
 
λ = le/i 
 
sendo le o comprimento equivalente do pilar e i o raio de giração mínimo da seção 
transversal. 
 
O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: 
 
- a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; 
- a vinculação dos extremos da coluna isolada; 
- a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. 
 
O valor de λ1 pode ser calculado pela expressão: 
 
/5,1225 1
1
b
he
α
λ += 
 
 
sendo: 
9035 1 ≤λ≤ 
 
onde o valor de αb para pilares biapoiados, sem cargas transversais, deve ser calculado por: 
 
40,040,060,0 ≥+=
A
B
b M
Mα 
 
Os momentos MA e MB são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser 
adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal 
positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário. Se o pilar 
apresentar momentos menores do que o momento mínimo, estabelecido no item 11.3.3.4.3 da 
NBR6118:2007, αb deve ser tomado igual a 1. 
 
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3.3 - Determinação dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
3.3.1 - Barras submetidas a flexo-compressão 
 
O cálculo pode ser feito pelo método exato ou por métodos aproximados. A 
consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de 
esbeltez λ > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada acrescentando à excentricidade de 
1ª ordem, a excentricidade adicional ecc, calculada conforme o item 15.8.4 da NBR6118:2007. 
 
3.3.2 - Método exato 
 
Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da 
barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção, e consideração da não-
linearidade geométrica de maneira não aproximada. O método exato é obrigatório para 
λ >140. 
 
3.3.3 - Métodos aproximados 
 
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados 
como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. 
 
3.3.3.1 - Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
 
Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção constante e 
armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é 
considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A 
não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na 
seção crítica. 
 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
A1d,
2
e
dA1d,b tot, M r
1 
10
 N M ≥+= lαdM 
 
onde, 1/r a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada pela expressão aproximada: 
 
hhr
005,0
)5,0(
005,01
≤
+
=
ν
 
sendo: 
ν = NSd / (Acfcd) 
e 
M1d,A ≥ M1d,min 
 
onde, h é a altura da seção na direção considerada. 
 
O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 3.2, sendo 
M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA. 
 
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3.3.3.2 - Método do pilar padrão com rigidez κ aproximada 
 
Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção retangular 
constante, armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. 
 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
≥
−
=
min1d,
A1d,
2
A1d,
, M
M
 
/120
1
M 
νκ
λ
αb
totdM 
 
sendo o valor da rigidez adimensional κdado, aproximadamente, pela expressão: 
 
νκ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
d
totd,
h.N
M
 5 1 32 
 
As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior. Usualmente 
duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo. 
 
 
 
3.3.3.3 - Método do pilar padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r 
 
A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ≤140 pode ser feita 
pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura da 
seção crítica valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos para o caso. 
 
 
 
3.3.3.4 - Método do pilar padrão para pilares da seção retangular, submetidos à flexão 
composta oblíqua 
 
Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexão composta 
oblíqua for menor que 90 (λ<90) nas duas direções principais, pode ser aplicado o processo 
aproximado descrito no item 3.3.3.2 simultaneamente em cada uma das duas direções. 
 
A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção é diferente, pois depende 
de valores distintos de rigidez e esbeltez. 
 
Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira e segunda ordem, em 
cada direção, deve ser verificada, para cada seção ao longo do eixo, se a composição desses 
momentos solicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para a armadura 
escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenas três seções: nas extremidades A e B 
e num ponto intermediário onde se admite atuar concomitantemente os momentos Md,tot nas 
duas direções (x e y). 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 14 
3.3.3.5 – Resumo das exigências da NBR6118:2007 para verificação de pilares esbeltos 
 
 As exigências feitas pela NBR6118:2007, para a verificação da segurança de pilares 
esbeltos, estão resumidas no quadro abaixo. 
 
PROCESSO DE CÁLCULO 
λ 
 
Consideração 
das 
deformações Exato 
Aproximado 
(diagramas 
M, N, 1/r) 
Simplificado 
Consideração 
da fluência 
≤ λ1 dispensável - - - - 
≤ 90 permitido dispensável 
≤140 
dispensável permitido 
≤200 
obrigatória 
obrigatório não permitido 
não 
permitido obrigatória 
NÃO É PERMITIDO EMPREGAR λ > 200 
 
 
4 – Dimensionamento das seções à flexão composta oblíqua 
 
Conforme o item 17.2.5.2 da NBR6118:2007, nas situações de flexão simples ou 
composta oblíqua pode ser adotada a aproximação dada pela expressão de interação: 
 
1 = 
M
M
 + 
M
M
yy,Rd
y,Rd
xx,Rd
x,Rd
αα
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
 
onde: 
MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão oblíqua 
composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um 
esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Estes são os 
valores que se deseja obter; 
 
MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos referidos eixos 
em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Estes valores são calculados a 
partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo; 
 
αé um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força normal, a 
forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser adotado 
α=1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares pode se adotar α=1,2. 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 15 
5 – Recomendações relativas ao detalhamento dos pilares 
 
5.1 - Proteção contra flambagem das barras 
 
De acordo com o item 18.2.4 da NBR6118:2007, sempre que houver possibilidade de 
flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem 
ser tomadas precauções para evitá-la. 
 
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas 
em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20φt do canto, se 
nesse trecho de comprimento 20φt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. 
Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos 
suplementares. 
 
Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele 
deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra 
longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma 
extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto 
junto a uma das barras, o que deve serindicado no projeto de modo bem destacado (ver figura 
abaixo). 
 
 
Figura - Proteção contra flambagem das barras 
 
 
 No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do 
concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais 
se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra 
longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo 
poligonal. 
 
 
5.2 – Disposições gerais relativas às armaduras dos pilares 
 
5.2.1 - Introdução 
 
 As exigências, que seguem (item 18.4 da NBR6118:2007), referem-se a pilares cuja 
maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão, e não são 
válidas para as regiões especiais. Quando a primeira condição não for satisfeita, o pilar deve 
ser tratado como pilar parede, aplicando-se o disposto no item 18.5 da NBR6118:2007. 
 
 
 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 16 
5.2.2 - Armaduras longitudinais 
 
5.2.2.1 - Diâmetro mínimo e taxa de armadura 
 
 O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 
da menor dimensão transversal. 
 
 A taxa geométrica de armadura deve respeitar os valores máximos e mínimos 
especificados no item 17.3.5.3 da NBR6118:2007. Conforme este item, a taxa de armadura 
deve ter o valor mínimo, expresso a seguir: 
 
%,,,min 400f
f150
A
A
yd
cd
c
míns ≥ν==ρ 
sendo: 
 
ν = Nd/(Acfcd) 
 
onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais. 
 
 A tabela abaixo fornece valores para ρmin, com o uso de aço CA-50 e considerando γc 
= 1,4 e γs = 1,15. 
 
 
Tabela - Taxas mínimas de armadura de pilares 
 
Valores de ρmin* 
% 
Valores de fck 20 25 30 35 40 45 50 
Valores de ν 
0,1 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,2 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,3 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 
0,4 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,444 0,493 
0,5 0,400 0,400 0,400 0,431 0,493 0,554 0,616 
0,6 0,400 0,400 0,444 0,518 0,591 0,665 0,739 
0,7 0,400 0,431 0,518 0,604 0,690 0,776 0,863 
0,8 0,400 0,493 0,591 0,690 0,789 0,887 0,986 
*Para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. 
 
 
 A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se 
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. 
 
As, máx = 8,0% Ac 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 17 
5.2.2.2 - Distribuição transversal 
 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a 
garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo 
menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao 
longo do perímetro. 
 
O espaçamento livre entre as armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da 
região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
 20 mm; 
 o diâmetro da barra ou o diâmetro do feixe ou da luva; 
 1,2 vezes a dimensão máxima do agregado graúdo. 
 
Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura 
lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a 
passagem do vibrador. 
 
O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de barras, deve 
ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem exceder 400 
mm. 
 
5.2.2.3 – Comprimento de espera 
 
Conforme o item 9.5.2.3 da NBR6118:2007, o comprimento de espera das barras da 
armadura longitudinal dos pilares deve ser calculado por 
 
lll min,0
,
,
0 c
efs
calcs
bc A
A
≥= 
sendo l0c, min o maior valor entre 0,6 lb , 15 φ e 200mm. 
 
O valor lb é o comprimento de ancoragem básico. Este comprimento é definido como 
o comprimento reto de uma barra de armadura necessário para ancorar a força limite Asfyd 
nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e 
igual a fbd. O comprimento de ancoragem básico é dado por: 
 
bd
yd
b f
f
4
φ
=l 
 
 A resistência de aderência deve ser calculada pela expressão 
 
[ ]MPaff ckbd 3/23375,0= 
 
 Para o aço CA-50, o comprimento de ancoragem básico pode ser obtido, em função do 
valor característico da resistência à compressão do concreto, da tabela abaixo. 
 
fck [MPa] 15 20 25 30 35 40 45 50 
lb 53φ 44φ 38φ 34φ 30φ 28φ 26φ 24φ 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 18 
5.2.3 - Armaduras transversais 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua 
colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. 
 
O diâmetro dos estribos em pilares não deve ser inferior a 5 mm nem a 1/4 do 
diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente do feixe que constitui a armadura 
longitudinal. 
 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura 
das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior ao menor 
dos seguintes valores: 
 
 200 mm; 
 menor dimensão da seção; 
 24φ para CA-25, 12φ para CA-50. 
 
 Pode ser adotado o valor φt<φ/4 desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo 
tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação: 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
φ
φ 290 t
yk
máx f
GPas 
 
5.2.4 – Detalhamento dos pilares 
 
A figura abaixo ilustra a forma que deve ser apresentado o detalhamento de um trecho 
de pilar, compreendido entre dois pavimentos consecutivos. 
75
25
70
20
19 estr. φ6,3 s=20
l=199
20
38 estr. φ6,3 s=20
l=39
3o. ANDAR
2o. ANDAR
18
φ1
6 l
=4
50
80
 
 
Figura – Detalhamento de um pilar 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 19 
 
l0c
 
l0c
h
<h/2
 
l0c
h
>h/2
l0c + h/2
 
Figura – Continuidade das armaduras junto a lajes de piso 
 
 Para realizar as emendas por traspasse junto a lajes de piso, basta, em geral, dobrar 
ligeiramente a parte superior das barras de canto inferiores, a fim de absorver os momentos. 
Nos locais de dobra, o esforço devido à mudança de direção das barras, agindo de dentro para 
fora, deve ser absorvido por estribos. Quando os pilares diminuírem de seção, recomendam-se 
os detalhes das figuras acima. 
 
 É prática de projeto, nos pilares contraventados dos edifícios, interromper junto à face 
superior da laje as barras da armadura longitudinal que não terão prolongamento no tramo 
superior do pilar. Entretanto, no caso de pilares de contraventamento e de pilares 
pertencentes a estruturas de contraventamento, a ancoragem adequada destas barras de 
armadura é obrigatória. Conforme o item 9.4.2.5 da NBR6118:2007, o comprimento de 
ancoragem necessário pode ser calculado por: 
 
lll min,b
ef,s
calc,s
bnec,b A
A
≥= 
 
sendo lb, min o maior valor entre 0,3 lb , 10 φ e 100 mm. 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 20 
6 - Exemplos 
 
seção retangular: hx = 30 cm; hy = 40 cm 
C25 fck = 2,5 kN/cm2 fcd = 1,786 kN/cm2 
CA50 fyk = 50 kN/cm2 fyd = 43,48 kN/cm2 
d' = c + φt + φ/2 = 2,5 cm + 0,5 cm + 1,25 cm = 4,25 cm ≈ 5 cm 
φ ≥ 10 mm 
φ ≤ 1/8 hx = 30/8 = 3,75 cm (hx é a menor dimensão da seção) 
 
Exemplo 1: 
N = 1500 kN 
Mx = 0 e1x = Mx/N = 0 
My = 0 e1y = My/N = 0 
ℓe = 2,6 m 
46,3
h
12
h
hb
12
hb
A
Ii
i
3
e =====λ l 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===λ
===λ
=λ
5,22
40
26046,3
h
46,3
0,30
30
26046,3
h
46,3
h
46,3
y
e
y
x
e
x
e
l
l
l
 
e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h 
1
e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
b
1yymín1y,
1xxmín1x,
=α
⎭
⎬
⎫
>=×+=+=
>=×+=+=
 
35
9035
25
 
h/e5,1225
1
1
b
1
1 =λ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
≤λ≤
=
α
+
=λ
 
curtopilar
0e
0e
y21y
x21x
⎭
⎬
⎫
=→λ<λ
=→λ<λ- primeira situação de cálculo: 
cm21,8AA
cm5'd;cm25d;cm30h;cm40b
m.kN364,21500eNM
kN1500N
2
2s1s
mín,x1x
==
====
⎩
⎨
⎧
=×==
=
 
 
- segunda situação de cálculo: 
 
 
cm18,7AA
cm5'd;cm35d;cm40h;cm30b
m.kN5,407,21500eNM
kN1500N
2
2s1s
mín,y1x
==
====
⎩
⎨
⎧
=×==
=
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 21 
- detalhamento (primeira alternativa): 
adotando-se para a armadura longitudinal )cm64,19(254 2φ e estribos de 5 mm, têm-se 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==
φ
φ
→=φ<=φ
=×=φ
=
≤
cm18
5,2
5,0
5,0
90
f
GPa90mm25,64/mm5como
cm305,21212
cm30h
cm20
s
22
t
yk
t
x
t
l
l
l 
resultando estribos .cm18/c5φ 
 
* espaçamento das barras: 
.OKcm5,2cm195,225,025,2230e
cm3,29,12,1d2,1
cm5,21
cm2
e
máx
>=×−×−×−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=φ≥ l 
.OKcm40cm5,315,25,025,2240s
cm60h2
cm40
s
x
<=−×−×−=
⎩
⎨
⎧
=
≤
 
 
* taxa de armadura longitudinal: 
.OK)2(%8
.OK%604,0980,0
48,43
786,115,0
980,0
786,14030
15004,1
fA
N
%40,0
f
f15,0
%64,1
4030
64,19
A
A
máx
mín
cdc
d
yd
cd
mín
c
s
÷=ρ
==ρ
=
××
×
==ν
≥ν=ρ
=
×
==ρ
 
 
* comprimento de espera: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
φ≥=
cm20
15
6,0
A
A
b
ef,s
cal,s
bc0 l
l
ll 
cm80836,05,238
82,9
18,7,
82,9
21,8máxx38c0 =××=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛φ=l 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 22 
- detalhamento (segunda alternativa): 
adotando-se para a armadura longitudinal )cm61,20(164204 2φ+φ e estribos de 5 mm, têm-se 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=φ==φ
=×=φ
=
≤
.OKmm54/mm5como
cm196,11212
cm30h
cm20
s
máx,t
mín,
x
t
l
l
 
resultando estribos .cm19/c5φ 
 
* espaçamento das barras: 
.OKcm3,2cm2,9
2
6,1225,025,2230e
cm3,29,12,1d2,1
cm21
cm2
e
máx
máx,
>=
−×−×−×−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=φ≥ l
 
.OKcm40cm16
2
25,025,2240s
cm60h2
cm40
s
x
<=
−×−×−
=
⎩
⎨
⎧
=
≤
 
 
* taxa de armadura longitudinal: 
.OK)2(%8
.OK%604,0980,0
48,43
786,115,0
980,0
786,14030
15004,1
fA
N
%40,0
f
f15,0
%72,1
4030
61,20
A
A
máx
mín
cdc
d
yd
cd
mín
c
s
÷=ρ
==ρ
=
××
×
==ν
≥ν=ρ
=
×
==ρ
 
 
* comprimento de espera: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
φ≥=
cm20
15
6,0
A
A
máx,
b
ef,s
cal,s
bc0 l
l
ll 
cm75989,0238
3,8
18,7,
3,8
21,8máx38c0 =××=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛×φ=l 
 
* proteção contra flambagem: 
direçõesduasnaslementaressupestribos
cm105,02020cm16
2
25,025,2240
s
cm105,02020cm11
2
25,025,2230
s
ty
tx
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=×=φ>=
−×−×−
=
=×=φ>=
−×−×−
=
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 23 
Exemplo 2: 
N = 1200 kN 
Mx = ± 56 kN.m cm67,41200
5600
ee Bx1
A
x1 ==−=→ 
My = 0 e1y = My/N = 0 
 
ℓe = 2,6 m 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===λ
===λ
=λ
5,22
40
26046,3
h
46,3
0,30
30
26046,3
h
46,3
h
46,3
y
e
y
x
e
x
e
l
l
l
 
 
- direção x: 
0e4,6730
)9035(4,67
40,0
30
67,45,1225
h
e5,1225
40,040,020,0
67,4
)67,4(40,060,040,0
e
e40,060,0
cm67,4e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
x2x1x
x1
bx
x
x1
x1
bxbxA
x1
B
x1
bx
1xxmín1x,
=→=λ<=λ
≤λ≤=
+
=
α
+
=λ
=α→<=
−
+=α→≥+=α→
=<=×+=+=
 
 
- direção y: 
0e355,22
359035como25
1
40
05,1225h
e5,1225
10ecm2,740 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
y2y1y
y1y1
by
y
y1
y1
by1yymín1y,
=→=λ<=λ
=λ→≤λ≤→=
+
=
α
+
=λ
=α→=>=×+=+=
 
 
- primeira situação de cálculo: 
cm4,2
0e
ecm67,4ee
kN1200N
y
mín,x1x1x =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
>==
=
 
 
- segunda situação de cálculo: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
==
=
cm7,2ee
cm67,4ee
kN1200N
mín,y1y
x1x 
A primeira situação de cálculo é mais favorável do que a segunda e não precisa ser verificada. 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 24 
- situação de dimensionamento de flexo-compressão oblíqua: 
cm5'd;cm40h;cm30h
m.kN40,327,21200M
m.kN04,5667,41200M
kN1200N
yx
y
x
===
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=×=
=
 
 
- dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 
(2007): 
.OK99,0
01,102
40,32
92,71
04,56254
23,1
48,84
40,32
18,60
04,56224
1
Myy
My
Mxx
Mx
2,12,1
2,12,1
2,12,1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛→φ
×=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛→φ
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
solução adotada: 4φ25 
 
- dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: 
* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 17,92 cm2 (solução adotada: 4φ25) 
* armadura igual nas quatro faces: As,total = 20,62 cm2 
 
Exemplo 3: 
N = 1000 kN 
Mx = ± 40 kN.m cm41000
4000
ee Bx1
A
x1 ==−=→ 
My = ± 60 kN.m cm61000
6000
ee By1
A
y1 ==−=→ 
 
ℓe = 2,6 m 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===λ
===λ
=λ
5,22
40
26046,3
h
46,3
0,30
30
26046,3
h
46,3
h
46,3
y
e
y
x
e
x
e
l
l
l
 
 
- direção x: 
0e7,6630
)9035(7,66
40,0
30
45,1225
h
e5,1225
40,040,020,0
4
)4(40,060,040,0
e
e40,060,0
cm4e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
x2x1x
x1
bx
x
x1
x1
bxbxA
x1
B
x1
bx
1xxmín1x,
=→=λ<=λ
≤λ≤=
+
=
α
+
=λ
=α→<=
−
+=α→≥+=α→
=<=×+=+=
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 25 
 
- direção y: 
0e2,675,22
)9035(2,67
40,0
40
65,1225h
e5,1225
40,040,020,0
6
)6(40,060,040,0
e
e40,060,0
cm6ecm2,740 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
y2y1y
y1
by
y
y1
y1
bybyA
y1
B
y1
by
1yymín1y,
=→=λ<=λ
≤λ≤=
+
=
α
+
=λ
=α→<=
−
+=α→≥+=α→
=<=×+=+=
 
 
- como e1x > e1x,mín e e1y > e1y,mín, a situação de projeto é a única situação de cálculo. 
cm5'd;cm40h;cm30h
m.kN6061000M
m.kN4041000M
kN1000N
yx
y
x
===
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=×=
=
 
 
- dimensionamento indireto, através do processo simplificado do item 17.2.5.2 da NBR-6118 
(2007): 
.OK00,1
70,103
60
32,73
40224
1
Myy
My
Mxx
Mx
2,12,1
2,12,1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛→φ
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
solução adotada: 4φ22 (4 x 3,801 = 15,20 cm2) 
 
- dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: 
* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 13,40 cm2 (solução adotada: 4φ22) 
* armadura igual nas quatro faces: As,total = 15,97 cm2 
 
- armadura transversal: 
adotando-se para a armadura longitudinal )cm20,15(224 2φ e estribos de 5 mm, têm-se 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==
φ
φ
→=φ<=φ
==φ
=
≤
cm5,20
2,2
5,0
5,0
90
f
GPa90mm5,54/mm5como
cm4,262,2x1212
cm30h
cm20
s
22
t
yk
t
x
t
l
l
l 
resultando estribos .cm20/c5φ 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 26 
Exemplo 4: 
N = 1400 kN 
Mx = 0 e1x = Mx/N = 0 
My = 0 e1y = My/N = 0 
ℓe = 4 m 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===λ
===λ
=λ
6,34
40
40046,3
h
46,3
1,46
30
40046,3
h
46,3
h
46,3
y
e
y
x
e
x
e
l
l
l
 
e1,mín = 1,5 cm + 0,03 h 
1
e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
b
1yymín1y,
1xxmín1x,
=α
⎭
⎬
⎫
>=×+=+=
>=×+=+=
 
35
9035
25
 
h/e5,1225
1
1
b
1
1 =λ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
≤λ≤
=
α
+
=λ
 
esbeltopilar
0e
0e
y21y
x21x
⎭
⎬
⎫
=→λ<λ
≠→λ>λ
 
- determinação dos efeitos locais de segunda ordem para :90≤λ 
⎩
⎨
⎧
aproximadarigidezcom
aproximadacurvaturacom
padrãopilardométodo 
 
(a) curvatura aproximada: 
 
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=ν
≥+ν
+ν
=
≥
≥+α=
fA
N
15,0com,
h5,0
005,0
10e
ee
eeee
cdc
d
x
2
e
x2
mín,x1x1
x1x2x1bxx
l 
 
( )
{
⎩
⎨
⎧
×=
=+=+α≥
=
+
=
=
××
×
=ν
==
cm4,2e
cm29,489,14,2ee
e
cm89,1
305,091,0
005,0
10
400e
91,0
4,1/5,24030
14004,1
cm4,2ee
x1
x2x1bx
x
2
x2
mín,x1x1
 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 27 
(b) rigidez aproximada: 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
ν
κ
≥
νκ
λ−
α=
h
e5132
e
/120
1
ee
x
x
x12
x
x1bx
x
 
- procedimento iterativo: arbitra-se, inicialmente, que ex = e1x = 2,4 cm 
- primeira iteração: 
cm97,3
80,44120
1,461
4,2
e;80,4430
4,25132 2x =
×
−
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
ν
κ 
- segunda iteração: 
cm60,3
17,53120
1,461
4,2
e;17,5330
97,35132 2x =
×
−
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
ν
κ 
- terceira iteração: 
cm67,3
20,51120
1,461
4,2
e;20,5130
60,35132 2x =
×
−
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
ν
κ 
- quarta iteração: 
cm66,3
57,51120
1,461
4,2
e;57,5130
67,35132 2x =
×
−
==⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +=
ν
κ 
- solução direta: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
α+Φ+Φ=
−α+λ=Φ
h
e2,0
h
e
1,0
h
e
238400
x
x1
bx
2
x
x
x
x1bx
2
x
 
 
( ) ( )
cm66,33012192,0e
12192,030/4,212,00046560,00046560,0
h
e
0046560,01,0
30
4,2
2
1
38400
1,46
x
2
x
x
2
=×=
=××+−+−=
−=−+=Φ
 
 
- situação de cálculo: 
⎩
⎨
⎧
==
=+=
cm7,2ee
cm66,3eee
mín,y1y
x2x1x 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 28 
cm5'd;cm40h;cm30h
m.kN80,377,21400M
m.kN24,5166,31400M
kN1400N
yx
y
x
===
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=×=
=
 
 
- dimensionamento direto à flexo-compressão oblíqua: 
* armadura igual nos quatro cantos: As,total = 22,67 cm2 
* armadura igual nas quatro faces: As,total = 25,22 cm2 (adotado: 8φ20 8x3,142=25,14 cm2) 
 
- detalhamento: 
adotando-se para a armadura transversal estribos de 5 mm, têm-se 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=φ==φ
==φ
=
≤
.OKmm54/mm5como
cm242x1212
cm30h
cm20
s
t
x
t
l
l
 
resultando estribos .cm20/c5φ 
 
* espaçamento das barras: 
.OKcm3,2cm9
2
235,025,2230e
cm3,29,12,1d2,1
cm21
cm2
e
máx
máx,
>=
×−×−×−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=φ≥ l
 
 
* proteção contra flambagem: 
direçõesduasnaslementaressupestribos
cm105,02020cm16
2
25,025,2240
s
cm105,02020cm11
2
25,025,2230
s
ty
tx
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=×=φ>=
−×−×−
=
=×=φ>=
−×−×−
=
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 29 
Exemplo 5: 
N = 366,9 kN 
cm10
9,366
3669
em.kN69,36MAx
A
x1 ==→= 
cm5,2
9,366
917
em.kN17,9MBx x1 −=−=→−=
B 
cm25
9,366
9173em.kN73,91MAy
A
y1 ==→= 
cm3
9,366
1101em.kN01,11MBy x1 −=−=→−=
B 
 
ℓe = 7,5 m 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===λ
===λ
=λ
9,64
40
75046,3
h
46,3
5,86
30
75046,3
h
46,3
h
46,3
y
e
y
x
e
x
e
l
l
l
 
- direção x: 
)esbeltopilar(0e3,585,86
)9035(3,58
50,0
30
105,1225
h
e5,1225
50,040,050,0
10
)5,2(40,060,040,0
e
e40,060,0
cm10e cm 2,4 30 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
x2x1x
x1
bx
x
A
x1
x1
bxbxA
x1
B
x1
bx
A
1xxmín1x,
≠→=λ>=λ
≤λ≤=
+
=
α
+
=λ
=α→>=
−
+=α→≥+=α→
=<=×+=+=
 
 
- rigidez aproximada: 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
ν
κ
≥
νκ
λ−
α=
h
e5132
e
/120
1
ee
x
x
x12
x
x1bx
x
 
- solução direta: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
α+Φ+Φ=
−α+λ=Φ
h
e2,0
h
e
1,0
h
e
238400
x
x1
bx
2
x
x
x
x1bx
2
x
 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 30 
( ) ( )
⎩
⎨
⎧
=
=×=
=××++=
=−+=Φ
)eextremidaddeseção(cm10e
)ermediáriaintseção(cm133043329,0e
43329,030/105,02,017818,017818,0
h
e
17818,01,0
30
10
2
5,0
38400
5,86
x1
x
2
x
x
2
 
 
- direção y: 
)esbeltopilar(0e7,599,64
)9035(7,59
55,0
40
255,1225h
e5,1225
55,040,055,0
25
)3(40,060,040,0
e
e40,060,0
cm25e cm 2,7 40 0,03 1,5 h 0,03 cm 1,5 e
y2y1y
y1
by
y
A
y1
y1
bybyA
y1
B
y1
by
A
1yymín1y,
≠→=λ>=λ
≤λ≤=
+
=
α
+
=λ
=α→>=
−
+=α→≥+=α→
=<=×+=+=
 
 
- rigidez aproximada: 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
ν
κ
≥
νκ
λ−
α=
h
e5132
e
/120
1
e
e
y
y
y12
y
y1by
y
 
- solução direta: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++=
−+=
h
e2,0
h
e
1,0
h
e
238400
y
y1
by
2
y
y
y
y1by
2
y
αΦΦ
αλΦ
 
 
( ) ( )
⎩
⎨
⎧
=
=×=
=××++=
=−+=Φ
)eextremidaddeseção(cm25e
)ermediáriaintseção(cm02,204050049,0e
50049,040/2555,02,018156,018156,0
h
e
18156,01,0
40
25
2
55,0
38400
9,64
y1
y
2
y
y
2
 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 31 
 duas situações de projeto: 
 
- seção intermediária: 
( )cantosquatronosigualarmaduracm61,14A
m.kN45,7302,209,366M
m.kN70,47139,366M
kN9,366N
2
total,s
y
x
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=×=
=
 
 
-seção de extremidade: 
( )cantosquatronosigualarmaduracm44,15A
m.kN73,91259,366M
m.kN69,36109,366M
kN9,366N
2
total,s
y
x
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=
=×=
=
 
 
solução: 4φ25 (19,64 cm2) 
 
 
Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal do Rio Grande do Sul 32 
 
 
 
 
 
ANEXO – AÇO DESTINADO A ARMADURAS PARA ESTRUTURAS DE 
CONCRETO ARMADO (NBR7480:2007) 
 
 
Tabela 1 – Características das barras 
Diâmetro 
(mm) 
Área 
(cm2) 
6,3 0,312 
8,0 0,503 
10,0 0,785 
12,5 1,227 
16,0 2,011 
20,0 3,142 
22,0 3,801 
25,0 4,909 
32,0 8,042 
40,0 12,566 
 
 
Tabela 2 – Características dos fios 
Diâmetro 
(mm) 
Área 
(cm2) 
2,4 0,045 
3,4 0,091 
3,8 0,113 
4,2 0,139 
4,6 0,166 
5,0 0,196 
5,5 0,238 
6,0 0,283 
6,4 0,322 
7,0 0,385 
8,0 0,503 
9,5 0,709 
10,0 0,785