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Blog do Prof. Gilberto 
Apostila 
 
 
Slides 
 
PROFs. GILBERTO, EDIVALDO e HELOISA 
ÁLGEBRA 
 
*** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................... 1 
2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS .................................. 1 
2.1 A adição .......................................................... 1 
2.2 A subtração ..................................................... 1 
2.3 A multiplicação ................................................. 1 
2.4 A divisão ......................................................... 1 
2.5 O dobro de um número ...................................... 2 
2.6 Valor numérico de uma expressão ....................... 2 
3. EQUAÇÃO .......................................................... 2 
3.1 Definição de equação ........................................ 2 
3.2 Grau de polinômios e equações ........................... 3 
3.3 Raíz de uma equação ........................................ 3 
3.4 Método para encontrar a raiz de equação do 1º grau
 ........................................................................... 3 
4. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU .................. 4 
4.1 Coeficientes e incógnita de equação do 2º grau ..... 4 
5. RAIZ DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU ........................... 4 
6. RELAÇÃO DE GIRARD .......................................... 5 
6.1 Encontrar equação do 2º grau a partir das raízes ... 5 
6.2 Encontrar as raízes a partir da equação do 2º grau 5 
7. ENCONTRAR AS RAÍZES DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
INCOMPLETA ......................................................... 5 
7.1 Caso 1 - Quando b = 0 ...................................... 6 
7.2 Caso 2 - Quando c = 0 ...................................... 6 
8. A FÓRMULA DAS RAÍZES DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
COMPLETA ............................................................ 7 
8.1 A fórmula de Bhaskara ...................................... 7 
8.2 O delta () ....................................................... 7 
8.3 Resolução pela fórmula de Bhaskara .................... 7 
9. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZAGEM-ODA ......... 9 
10. REFERÊNCIAS .................................................. 9 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
As expressões são chamadas de expres-
sões numéricas quando relacionam apenas nú-
meros reais. 
 
Exemplos: 
a) 3 + 4 ∙ 5 
b) (10 : 5) + 3 ∙ (7 – 6) 
c) 5 + (3 – 1)2 + 23 
Toda expressão numérica pode ser simplifi-
cada, encontrando-se um resultado numérico que 
é seu valor mais simples. Nos exemplos acima, 
calculando, temos: 
 
a) 3 + 4 ∙ 5 = 3 + 20 = 23 
b) (10 : 5) + 3 ∙ (7 – 6) = 2 + 3 ∙ 1 = 2 + 3 = 5 
c) 5 + (3 – 1)2 + 23 = 5 + 22 + 23 = 5 + 4 + 8 = 17 
 
2. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Expressões algébricas é um conjunto de 
letras e números reunidos por sinais que indicam 
operações a serem realizadas. 
A diferença entre uma expressão numérica 
e uma expressão algébrica é que numa expressão 
algébrica sempre existe pelo menos uma letra in-
dicada na expressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) a + b 
b) x2 – 5x + 6 
c) (x + y)2 
Nas expressões algébricas, as letras estão 
sempre relacionadas com as seis operações fun-
damentais (adição, subtração, multiplicação, divi-
são, potenciação e radiciação). 
Uma outra diferença entre expressão nu-
mérica e expressão algébrica é que uma expres-
são numérica pode ser calculada e uma expressão 
algébrica nem sempre pode ser calculada. 
As letras utilizadas nas expressões algébri-
cas são chamadas de variáveis. Na expressão 
algébrica 5a + 7b + m2, as variáveis são as letras 
a, b, e m. 
Estamos iniciando a Álgebra, que tem por 
finalidade generalizar os problemas aritméticos. 
Uma das grandes aplicações da Álgebra é a 
conversão da linguagem comum em símbolos ma-
temáticos. 
 
2.1 A adição 
A adição é representada pelo sinal +. 
Exemplo: A soma de dois números: 
 
x + y 
 
2.2 A subtração 
A subtração é indicada pelo sinal –. 
Exemplo: A diferença entre dois números: 
 
a – b 
 
2.3 A multiplicação 
A multiplicação é indicada pela ligação das 
letras. 
Exemplos: 
a) O produto entre dois números: 
 
xy 
 
Observação: xy é o mesmo que x ∙ y. 
 
b) O produto de 3 por m por n: 
 
3mn 
 
Observação: 3mn é o mesmo que 3 ∙ m ∙ n. 
 
2.4 A divisão 
A divisão é indicada de dois modos diferen-
tes: 
Exemplo: O quociente entre dois números: 
 
x : y ou 
𝐱
𝐲
 
 
 
 
 
 
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2.5 O dobro de um número 
 
Usando símbolos, vamos escrever: “o dobro 
de um número”: 
Se representarmos um número qualquer 
com a letra x, então a expressão dada poderá ser 
escrita simbolicamente assim: 
 
2 ∙ x 
 
ou simplesmente (omitindo o sinal da multiplica-
ção) assim: 
 
2x 
em que x pode ser qualquer número (3, – 5, 
3
7
, 0, 
12, etc). É justamente por x poder representar 
diferentes números que é chamado variável da 
expressão. 
Poderíamos ter usado qualquer outra letra 
para representar um número; então, “o dobro de 
um número” também poderia ser simbolizado por: 
 
2n 2a 2r 2y etc. 
 
Observe mais exemplos diversos de ex-
pressões algébricas abaixo: 
a) O triplo do número m: 
 
3m 
 
b) a soma de dois com um número: 
 
2 + x 
 
c) O quadrado do número xx, subtraído do número 
y: 
𝐱𝟐 – y 
 
d) O quadrado da soma entre dois números: 
 
(𝐱 + 𝐲)𝟐 
 
e) O quadrado da diferença entre dois números: 
 
(𝐱 − 𝐲)𝟐 
 
f) A soma de um número com o seu quadrado: 
 
x + 𝐱𝟐 
 
g) A soma da metade de um número com a sua 
quinta parte: 
 
𝐱
𝟐
 + 
𝐱
𝟓
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Responda (V) para verdadeiro e (F) para fal-
so: 
a)( ) A expressão 5 + 8 ∙ 3 é uma expressão nu-
mérica. 
b)( ) A expressão a + m é uma expressão algé-
brica. 
c)( ) A expressão 7a + 5x é uma expressão nu-
mérica. 
d)( ) A expressão a + b + 3c tem três variáveis. 
e)( ) A expressão 7a tem duas variáveis. 
f)( ) A expressão 7a é uma expressão numérica. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Escreva em símbolos matemáticos: 
 
Em língua portugue-
sa 
Em símbolos ma-
temáticos 
o triplo de um número 
a soma de um número 
com três 
 
o dobro de três sétimo 
o dobro de menos dez 
a soma da metade de 
um número com a sua 
quinta parte 
 
 
3) Escreva, usando apenas símbolos mate-
máticos: 
a) o dobro do número a, somado com a me-
tade de b; 
b) o número x menos o seu inverso; 
c) a soma dos quadrados dos números a, b e 
c; 
d) a raiz quadrada da soma dos números x e 
y. 
 
2.6 Valor numérico de uma expressão 
Quando substituímos cada variável de uma 
expressão algébrica por um número e efetuamos 
as operações indicadas, obtemos como resultados 
um número chamado valor numérico da expres-
são. 
Exemplos: 
a) O valor numérico da expressão 2 ∙ x para x = 5 
é: 
2 ∙ 5 = 10 
 
b) O valor numérico da expressão 
x
2
 + 
x
5
 para x = 
10 é: 
10
2
 + 
10
5
 = 5 + 2 = 7 
 
c) O valor numérico da expressão x + y para x = 7 
e y = 8 é: 7 + 8 = 15. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4) Calcule 2x2 – x + 3 para os seguintes valores 
de x: 
a) 2 
 
b) ‒ 1 
 
c) 
1
3
 
 
d) 
1
2
 
 
3. EQUAÇÃO 
3.1 Definição de equação 
 É toda sentença na qual 
• possui incógnita (variável, letra) e 
• possui igualdade. 
 
Exemplos: 
a) x + 6 = 10 
b) x2 ‒ 5x + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observações: 
 
a) 6 + 4 = 10 não é equação, é uma expressão 
numérica. 
 
b) x + 6 não é equação, é uma expressão algé-
brica (binômio). 
 
3.2 Grau de polinômios e equações 
 Observe: 
• x + 6 é polinômio de grau 1, pois o expoente de 
x é 1, logo, por exemplo, x + 6 = 10 é uma 
equação do 1º grau; 
• x2 ‒ 5x + 6 é polinômio de grau 2, pois o maior 
expoente das variáveis é 2, logo, por exemplo, 
x2 ‒ 5x + 6 = 0 é uma equação do 2º grau; 
• x3 + x2 + x + 1 é polinômio de grau 3, pois o 
maior expoente das variáveis é 3, logo,por 
exemplo, x3 + x2 + x + 1 = 0 é uma equação do 
3º grau. 
 
3.3 Raíz de uma equação 
Consideremos, por exemplo, a equação 5 ∙ x 
+ 1 = 36. 
Vamos agora substituir x por alguns núme-
ros. 
A equação 5 ∙ x + 1 = 36 se transformará 
numa sentença numérica que poderá ser verdadei-
ra ou falsa. Vejamos: 
Para x = 0, temos 5 ∙ 0 + 1 = 36 (falsa). 
Para x = 1, temos 5 ∙ 1 + 1 = 36 (falsa). 
Para x = 2, temos 5 ∙ 2 + 1 = 36 (falsa). 
Para x = 7, temos 5 ∙ 7 + 1 = 36 (verdadei-
ra). 
Observa-se que colocando o número 7 no 
lugar da incógnita x, transforma a equação 5 ∙ x + 
1 = 36 numa sentença numérica verdadeira, 5 ∙ 7 + 
1 = 36. Por esse motivo, 7 é a raiz da equação 5 ∙ x 
+ 1 = 36. 
 
Um número é raiz (ou solução) de uma 
equação quando, colocado no lugar da in-
cógnita, transforma a equação em senten-
ça verdadeira. 
 
 
Outros exemplos: 
• 8 é raiz da equação x + 1 = 9, porque 8 + 1 = 9 
é sentença verdadeira; 
• 1 é raiz da equação 12 – 5x = 7, porque 12 – 5 ∙ 
1 = 7 é sentença verdadeira. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
5) O número 2 é raiz da equação 3x + 7 = 2(x + 4) 
+ 1? 
 
3.4 Método para encontrar a raiz de 
equação do 1º grau 
Exemplo 1 
Subtraindo 132 de um número, obtemos 
44. Que número é? 
 
Resolução: 
 
Sendo x o número desconhecido, temos: 
 
x – 132 = 44 
 
Para “desfazer” a subtração realizada com o 
x, somamos 132 aos dois membros da equação: 
 
x – 132 + 132 = 44 + 132 
 
x = 176 
 
O número é 176. 
Conferindo: 176 – 132 = 44 (verdadeiro). 
 
Exemplo 2 
Que número devemos dividir por 45 para 
obter o quociente 8? 
Sendo x o número a saber, temos: 
 
x
5
 = 8 
 
Para “desfazer” a divisão realizada com o x, 
multiplicamos os dois membros da equação por 
45: 
x
5
 ∙ 5 = 8 ∙ 5 
 
x = 40 
 
O número é 40. 
 
Conferindo 
40
5
 = 8 (verdadeiro). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
6) Resolva as seguintes equações: 
a) x + 5 = 0 
b) x + 4 = – 3 
c) x – 2 = – 3 
d) 7 = x + 1 
e) 0 = x + 7 
f) – 
1
3
 = x – 2 
 
7) Resolva as equações: 
a) 7x = 28 
 
b) 
x
8
 = 2 
 
c) 
3x
4
 = 5 
 
d) – 4x = 11 
 
e) – 7x = – 15 
 
f) – 
7
2
 x = 8 
 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
8) Eduardo é pintor e o valor fixo cobrado por ele 
é de R$ 10,00 para o contrato de trabalho. A cada 
hora trabalhada há um acréscimo de R$ 15,00. 
A expressão que representa o valor cobrado por 
Eduardo é 
 
(a) V(x) = 10 + 15x 
(b) V(x) = 15 + 10x 
(c) V(x) = 15x + 10x 
(d) V(x) = 25x 
 
9)(PROVA BRASIL) Uma prefeitura aplicou 
R$ 850 mil na construção de 3 creches e um par-
que infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 
mil. A expressão que representa o custo do par-
que, em mil reais, é: 
 
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(a) x + 850 = 250 
(b) x – 850 = 750 
(c) 850 = x + 250 
(d) 850 = x + 750 
 
10) A figura abaixo mostra uma roldana, na qual 
em cada um dos pratos há um peso de valor co-
nhecido e esferas de peso x. 
 
 
 
Uma expressão matemática que relaciona os pe-
sos nos pratos da roldana é: 
 
(a) 3x – 5 < 8 – 2x 
(b) 3x – 5 > 8 – 2x 
(c) 2x + 8 < 5 + 3x 
(d) 2x + 8 > 5 + 3 
 
11) A balança está equilibrada e os queijos têm 
“pesos” iguais. 
 
 
A expressão matemática que relaciona com 
a situação acima é: 
 
(a) 3Q + 10 = 5Q + Q 
(b) 3Q + 10 = 5Q + 2 
(c) 8Q = 12 
(d) 2Q = 12 
 
12) Janine tem hoje 4 anos e daqui a 8 anos sua 
idade será 13 da idade de seu pai. A equação que 
permite calcular o valor x da idade que o pai de 
Janine tem hoje é: 
 
(a) x + 83 = 8 
(b) x + 83 = 12 
(c) x + 43 = 12 
(d) x + 43 = 8 
 
4. DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se equação do 2º grau na incógnita x 
toda equação constituída de um polinômio de 
grau 2, expressa na forma 
 
a𝐱𝟐 + bx + c = 0 
 
em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
 
 
4.1 Coeficientes e incógnita de equação 
do 2º grau 
Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 os 
números a, b e c são chamados coeficientes e x é 
a incógnita. 
 
Exemplos: 
a) Na equação 2x2 + 3x + 5 = 0, os coeficientes 
são a = 2, b = 3 e c = 5. 
 
b) Em 3x2 ‒ 4x + 1 = 0, os coeficientes são a = 3, 
b = ‒ 4 e c = 1. 
 
c) Em ‒ x2 + 8x = 0, os coeficientes são a = ‒ 1, 
b = 8 e c = 0. 
 
d) Em x2 ‒ 1 = 0, os coeficientes são a = 1, b = 0 e 
c = ‒ 1. 
 
e) Em ‒ 4x2 = 0, os coeficientes são a = ‒ 4, b = 0 
e c = 0. 
 
5. RAIZ DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 Resolver uma equação significa encontrar 
as suas raízes. 
 
Um número é raiz de uma equação quando, 
colocado em lugar da incógnita, a equação se 
transforma numa sentença verdadeira. 
 
 
Exemplos: 
Na equação x2 ‒ 5x + 6 = 0, substituindo o x 
por 2, obtemos: 
 
22 ‒ 5 ∙ 2 + 6 = 0 ⟹ 
 
⟹ 4 ‒ 10 + 6 = 0 
 
⟹ ‒ 6 + 6 = 0 (verdade). 
 
 Logo 2 é raiz da equação. 
 
E ainda, substituindo o x por 3, obtemos: 
 
32 ‒ 5 ∙ 3 + 6 = 0 ⟹ 
 
⟹ 9 – 15 + 6 = 0 
 
⟹ ‒ 6 + 6 = 0 (verdade). 
 
Logo 3 também é raiz da equação. 
 
Escrevemos que a solução da equação é 
S = {2, 3}. 
 
Observação: 
Substituindo o x por 4 na equação x2 ‒ 5x + 
6 = 0, obtemos: 
 
42 ‒ 5 ∙ 4 + 6 = 0 ⟹ 
 
⟹ 16 ‒ 20 + 6 = 0 
 
⟹ ‒ 4 + 6 = 0 
 
⟹ 2 = 0 (falso). 
 
Logo 4 não é raiz da equação. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
13) Dada a equação do 2º grau x2 ‒ 6x + 8 = 0, 
verifique se: 
a) 1 é raiz da equação; 
b) 2 é raiz da equação; 
c) 3 é raiz da equação; 
d) 4 é raiz da equação; 
e) 5 é raiz da equação. 
 
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14) Encontre uma raiz para a equação do 2º grau 
x2 ‒ 3x + 2 = 0. 
 
15) Quais dos números do cartão são raízes da 
equação 9x2 ‒ 3x ‒ 2 = 0? 
 
1 
1
3
 
2
3
 −
1
3
 ‒ 1 
 
6. RELAÇÃO DE GIRARD 
6.1 Encontrar equação do 2º grau a par-
tir das raízes 
Exemplo: As raízes de uma equação do 2º grau 
são 2 e 3, vamos encontrar essa equação: 
 
Resolução: 
 
 A equação tem raiz 2, segue, 
 
x = 2 ⟹ x – 2 = 0 
 
 A equação tem raiz 3, segue, 
 
x = 3 ⟹ x – 3 = 0 
 
 Considerando o produto de x ‒ 2 por x ‒ 3 
 
(x ‒ 2)(x ‒ 3) = 0 
 
⟹ x2 ‒ 3x ‒ 2x + 6 = 0 
 
⟹ x2 ‒ 5x + 6 = 0 
 
A equação é x2 ‒ 5x + 6 = 0. 
 
De um modo geral, uma equação de raízes m e 
n é encontrada por 
 
(x ‒ m)(x ‒ n) = 0 
 
ou, então, 
 
𝐱𝟐 − (𝐦 + 𝐧)𝐱⏟ 
𝐬𝐨𝐦𝐚 𝐝𝐚𝐬
𝐫𝐚í𝐳𝐞𝐬
 + 𝐦𝐧⏟
𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐭𝐨
𝐝𝐚𝐬 𝐫𝐚í𝐳𝐞𝐬
= 𝟎 
 
 
Observações: 
• (x ‒ m)(x ‒ n) é chamada forma fatorada da 
equação do 2º grau x2 ‒ (m + n)x + mn = 0, 
sendo m e n raízes da referida equação; 
• x2 ‒ (m + n)x + mn = 0 é chamada relação de 
Girard sendo m e n raízes da referida equação. 
• Em muitas biografias a relação de Girard é es-
crita assim: 
 
{
m+ n = −
b
a
 ⟶ soma da raízes
mn =
c
a
 ⟶ produto das raízes 
 
 
sendo a, b e c coeficientes de ax2 + bx + c = 0. 
 
Demonstração: 
 
Raiz m: x = m ⟹ x ‒ m = 0 
⟺ 
Raiz n: x = n ⟹ x ‒ n = 0 
 
⟺ (x ‒ m)(x ‒ n) = 0 
⟺ x2 ‒ mx ‒ nx + mn = 0 
⟺ x2 ‒ (m + n)x + mn = 0 (I) 
 
Equação do 2º grau é da forma ax2 + bx + c = 
0, sendo 
ax2 + bx + c = 0 ⟺ x2 + 
b
a
x + 
c
a
 = 0 (II) 
 
Comparando (I) e (II) 
‒ (m + n) = 
b
a
 e mn = 
c
a
 ⟹ 
 
⟹ {
m + n = −
b
a
mn =
c
a
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Forme uma equação do 2º grau das raízes 3 e 
4. 
 
Resolução: 
 
(x ‒ 3)(x ‒ 4) = 0 
 
⟹ x2 ‒ 4x ‒ 3x + 12 = 0 
 
⟹ x2 ‒ 7x + 12 = 0 
 
A equação é x2 ‒ 7x + 12 = 0. 
 
2) Forme uma equação do 2º grau das raízes 5 e 
7. 
 
Resolução: 
 
x2 ‒ (5 + 7)x + 5 ∙ 7 = 0 
 
⟹ x2 ‒ 12x + 35 = 0 
 
A equação é x2 ‒ 12x + 35 = 0. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
16) Forme uma equação do 2º grau em cada ca-
so: 
a) das raízes 2 e 5. 
b) das raízes 3 e 5. 
c) das raízes 2 e 3. 
d) das raízes 6 e 3. 
e) das raízes ‒ 6 e ‒ 3. 
f) das raízes x’ = 2 ou x” = 2. 
g) das raízes x’ = x” = 3. 
 
6.2 Encontrar as raízes a partir da equa-
ção do 2º grau 
 Utilizando a relação de Girard para encon-
trar raízes de equação do 2º grau: 
 
Exemplo: Dada a equação do 2º grau x2 – 7x + 12 
= 0, encontrar as raízes de uma equação porrela-
ção de Girard: 
 
Resolução: 
 
x2 – 7x + 12 = x2 – (3 + 4)x + 3 ∙ 4 = 0 
 
 Comparando com x2 ‒ (m + n)x + mn = 0, 
logo as raízes são m = 3 ou n = 4. 
 A solução da equação é S = {3, 4}. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
17) Encontre as raízes das equações do 2º grau: 
a) x2 ‒ 6x + 8 = 0 f) x2 ‒ 9x + 18 = 0 
 
b) x2 ‒ 7x + 10 = 0 g) 2x2 ‒ 16x + 24 = 0 
 
c) x2 ‒ 8x + 12 = 0 h) x2 ‒ 6x + 9 = 0 
 
d) x2 + 4x + 4 = 0 i) x2 ‒ 8x + 16 = 0 
 
e) x2 ‒ 8x + 15 = 0 j) x2 ‒ 10x + 25 = 0 
 
7. ENCONTRAR AS RAÍZES DE EQUAÇÃO 
DO 2º GRAU INCOMPLETA 
 Na definição de equação do 2º grau, ax2 +
bx + c = 0, a ≠ 0, porque se a = 0, a ∙ 02 + bx + c =
0 ⟹ bx + c = 0 que é uma equação do 1º grau 
(ver Tópico 1.2 Grau de polinômios). Agora, se b = 
0 e c = 0, ax2 + bx + c = 0 ⟹ ax2 + 0 ∙ x + 0 = 0 
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⟹ ax2 = 0 continua sendo uma equação do 2º 
grau. 
Vamos aprender a calcular as raízes de 
equação do 2º grau com b = 0 ou c = 0. 
 
7.1 Caso 1 - Quando b = 0 
Exemplo 1: Na equação x2 ‒ 16 = 0, temos a = 1, 
b = 0 e c = ‒ 16. Vamos determinar as suas raízes: 
 
x2 ‒ 16 = 0 ⟹ 
 
⟹ x2 = 16 
 
⟹ x' = 4 ou x'' = ‒ 4. 
 
A solução da equação é S = {‒ 4, 4}. 
 
Exemplo 2: Na equação x2 ‒ 25 = 0, temos a = 1, 
b = 0 e c = ‒ 25. Vamos determinar as suas raízes: 
 
x2 ‒ 25 = 0 ⟹ 
 
⟹ x2 = 25 
 
⟹ x’ = 5 ou x” = ‒ 5. 
 
A solução da equação é S = {‒ 5, 5}. 
 
Exemplo 3: Determinar as raízes da equação 4x2 ‒ 
9 = 0. 
 
Resolução: 
 
4x2 – 9 = 0 ⟹ 
 
⟹ 4x2 = 9 
 
⟹ x2 = 
9
4
 
 
⟹ x’ = 
3
2
 ou x” = ‒
3
2
 
 
A solução da equação é S = {−
3
2
,
3
2
}. 
 
Exemplo 4: Dada equação x2 ‒ 5 = 0, Determinar 
as raízes. 
 
Resolução: 
 
x2 – 5 = 0 ⟹ 
 
⟹ x2 = 5 
 
⟹ x = ±√5 
 
 
⟹ x’ = √5 ou x” = ‒ √5 
 
A solução da equação é S = {‒√5, √5}. 
 
Exemplo 5: Dada equação x2 + 2 = 0, Determinar 
as raízes. 
 
Resolução: 
 
x2 + 2 = 0 ⟹ 
 
⟹ x2 = ‒ 2 
 
Todo número real elevado a expoente par o 
resultado é de sinal positivo, logo não existe x que 
atenda essa equação, essa equação não tem raí-
zes reais. 
A solução da equação é S = . 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
18) Resolva as equações: 
a) x2 ‒ 4 = 0 g) x2 + 1 = 0 
 
b) x2 = 9 h) 4x2 = 100 
 
c) 49 = x2 i) 3x2 = 2 
 
d) 9x2 = 16 j) ‒ 2x2 + 5 = 0 
 
e) 4x2 ‒ 25 = 0 l) 2x2 + 11 = 0 
 
f) x2 = 2 
 
7.2 Caso 2 - Quando c = 0 
Exemplo 1: Na equação x2 ‒ 2x = 0, temos a = 1, b 
= ‒ 2 e c = 0. Vamos resolvê-la. 
Observe no 1º membro que o fator de x é 
comum (repete). Podemos colocá-lo em evidência: 
 
x2 ‒ 2x = 0 ⟹ 
 
⟹ x(x ‒ 2) = 0 
 
⟹ x = 0 ou x – 2 = 0, se um produto de números 
reais é igual a zero, então 
um dos fatores é zero. 
⟹ x’ = 0 ou x” = 2 
 
S = {0, 2}. 
 
Exemplo 2: Resolver a equação 3x2 ‒ 10x = 0. 
 
Resolução: 
 
No 1º membro que o fator de x é comum 
(repete). Nesse caso sempre devemos colocá-lo 
em evidência para resolver a equação. 
 
3x2 ‒ 10x = 0 ⟹ 
 
⟹ x(3x ‒ 10) = 0 
 
⟹ x = 0 ou 3x ‒ 10 = 0, 
 
⟹ x = 0 ou 3x = 10 
 
⟹ x’ = 0 ou x” = 
10
3
 
 
S = {0,
10
3
}. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
19) Resolva as equações do 2º grau: 
a) x2 ‒ 2x = 0 e) ‒ x2 + 4x = 0 
 
b) x2 + 5x = 0 f) ‒ 2x2 ‒ 7x = 0 
 
c) 3x2 ‒ x = 0 g) 4x2 + 5x = 0 
 
d) 2x2 + x = 0 h) 3x2 + 7x = 0 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
20) Resolva as equações do 2º grau: 
a) 3x2 + 7 = 0 g) ‒ 4x2 + 5 = 0 
 
b) x2 – 16 = 0 h) 2x2 + 3 = 0 
 
c) x2 ‒ 16x = 0 i) 5x2 = 0 
 
d) x2 = 100 j) 5x2 = 3x 
 
e) 7 = 3x2 l) 5x2 = 3 
 
f) x2 = 5x m) x2 = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7 
 
Blog do Prof. Gilberto 
EXERCÍCIO CONTEXTUALIZADO 
21) Os 40 alunos de uma classe sentam-se em n 
fileiras de carteiras, cada uma com n + 3 carteiras. 
Se não sobra carteira vazia, quantos alunos há em 
cada fileira? 
 
 
 
22)(Santos-2018) Uma sala de aula com 45 
carteiras tem n fileiras de carteiras e cada fileira 
com n + 4 carteiras. Mostrando cálculos, quantas 
fileiras de carteiras têm nessa sala de aula? 
 
 
 
8. A FÓRMULA DAS RAÍZES DE EQUAÇÃO 
DO 2º GRAU COMPLETA 
 
 
 
8.1 A fórmula de Bhaskara 
 A fórmula de Bhaskara1 é um método reso-
lutivo para equação do 2° grau cujo nome home-
nageia o grande matemático indiano que a de-
monstrou pela primeira vez. 
Essa fórmula é um método para encontrar 
as raízes reais de uma equação do segundo grau - 
ax2 + bx + c = 0 - fazendo uso de seus coeficientes 
– a, b e c. 
 Em sua forma original, a fórmula de 
Bhaskara é dada pela seguinte expressão: 
 
 
1 Bhaskara Akaria, também conhecido como Bhaskaracharya, nasceu na cidade de Vijayapura, na Índia, 
em 1114, e viveu até meados de 1185. De família de astrólogos indianos tradicionais, o pai, astromante de 
renome, chamava-se de Mahesvara. Nesse contexto, Bhaskara seguiu a tradição familiar, porém dedicou-se 
sobretudo à Matemática e à Astronomia. Foi professor, astrólogo, astrônomo, um dos mais importantes 
matemáticos do século XII. Foi também chefe do observatório astronômico de Ujjain, escola de matemáti-
ca muito bem conceituada no período. Torrnou-se famoso por ter complementado a obra do ilustre 
matemático e astrônomo indiano Brahmagupta (598-668), dando a solução geral da equação x2 – ny2 = 1; 
n, x, y ∈ ℕ e n > 1. No Brasil, por volta de 1960, o nome de Bhaskara passou a designar a fórmula de 
resolução da equação do 2º grau. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 
anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Na Grécia (500 a.C.) também já se conhecia a 
resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara 
nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano Sridhara (870-930 d.C.) e reco-
nhecido pelo próprio Bhaskara. A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, 
François Viète (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para 
obter uma fórmula geral. (Fonte: WIKIPÉDIA. Bhaskara II. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/wiki/Bhaskara_II>. Acesso em: 1 set. 2018.) 
𝐱 =
−𝐛 ± √𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
 
 
8.2 O delta () 
 
Discriminante é a expressão b2 ‒ 4ac pre-
sente dentro da raiz da fórmula de Bhaskara, é 
comumente representado pela letra grega  (Del-
ta). Portanto: 
 = 𝐛𝟐 ‒ 4ac 
 
Nesta etapa substitua o valor dos coeficien-
tes – a, b e c - da equação do segundo grau na 
fórmula do  e com os cálculos devidos encontre o 
seu valor. 
O discriminante recebe esse nome pelo fato 
de discriminar os resultados da seguinte maneira: 
• Se  > 0 então a equação possui dois resulta-
dos (distintos) reais; 
• Se  = 0, então a equação possui apenas um 
resultado real; 
• Se  < 0, então a equação não possui resulta-
dos reais. 
Portanto para calcular as raízes de uma 
equação do segundo grau, primeiramente calcule 
o valor do . 
 
8.3 Resolução pela fórmula de Bhaskara 
 Já calculado o valor do , a fórmula de 
Bhaskara utilizada é da seguinte forma: 
 
𝐱 =
−𝐛 ± √𝚫
𝟐𝐚
 
 
 Nesta etapa basta substituir o valor de  e 
dos coeficientes – a e b - da equação do segundo 
grau. 
 
Observação: 
Note que na fórmula de Bhaskara existe um 
sinal ±. Esse indica quem deve ser realizados dois 
cálculos. O primeiro para o caso em que o número 
que o segue seja positivo e o segundo para o caso 
em que o número que o segue seja negativo. É 
comum nomear cada um desses resultados como 
x’ e x” ou x1 e x2. Observe: 
 
𝐱′ =
−𝐛 + √∆
𝟐𝐚
 ou 𝐱′′ =
−𝐛 − √∆
𝟐𝐚
 
 
Exemplos: 
a) Vamos resolver a equação do 2º grau x2 ‒ 5x + 
6 = 0 pela fórmula de Bhaskara. 
 
Resolução: 
 
 Primeiro temos que saber quais são os va-
lores dos coeficientes a, b e c, portanto, 
 
x2 ‒ 5x + 6 = 0 {
a = 1 
b = −5
c = 6 
 
 
Depois substituir os valores de a, b e c na 
fórmula do , e assim, encontrar o seu valor, ob-
serve: 
 
https://professorgilbertosantos.blogspot.com/
 
8 
 
Blog do Prof.Gilberto 
 = b2 ‒ 4ac 
 
 = (‒ 5)2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ 6 
 
 = 25 ‒ 24 
 
 = 1 
 
 Agora, a fórmula de Bhaskara, 
 
x =
−b ± √∆
2a
 
 
x =
−(−5) ± √1
2 ∙ 1
 
 
x =
5 ± 1
2
 → x′ =
5 + 1
2
=
6
2
= 3 
 
↘ 
 
 x′′ =
5 − 1
2
=
4
2
= 2 
 
 Portanto, as raízes da equação são 
 
x’ = 3 ou x” = 2 
 
e a solução S = {2, 3}. 
 
b) Resolver a equação do 2º grau x2 ‒ 8x + 7 = 0 
pela fórmula de Bhaskara. 
 
Resolução: 
 
 Os coeficientes a, b e c, 
 
x2 ‒ 8x + 7 = 0 {
a = 1 
b = −8
c = 7 
 
 
Substituindo os valores de a, b e c na fór-
mula do : 
 
 = b2 ‒ 4ac 
 
 = (‒ 8)2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ 7 
 
 = 64 ‒ 28 
 
 = 36 
 
 Agora, a fórmula de Bhaskara, 
 
x =
−b ± √∆
2a
 
 
x =
−(−8) ± √36
2 ∙ 1
 
 
x =
8 ± 6
2
 → x′ =
8 + 6
2
=
14
2
= 7 
 
↘ 
 
 x′′ =
8 − 6
2
=
2
2
= 1 
 
 Portanto, as raízes da equação são 
 
x’ = 7 ou x” = 1 
 
e a solução S = {1, 7}. 
c) Resolver a equação do 2º grau x2 ‒ 4x + 4 = 0 
pela fórmula de Bhaskara. 
 
Resolução: 
 
 Os coeficientes a, b e c, 
 
x2 ‒ 4x + 4 = 0 {
a = 1 
b = −4
c = 4 
 
 
Substituindo os valores de a, b e c na fór-
mula do : 
 
 = b2 ‒ 4ac 
 
 = (‒ 4)2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ 4 
 
 = 16 ‒ 16 
 
 = 0 
 
 Agora, a fórmula de Bhaskara, 
 
x =
−b ± √∆
2a
 
 
x =
−(−4) ± √0
2 ∙ 1
 
 
x =
4 ± 0
2
 → x′ =
4 + 0
2
=
4
2
= 2 
 
↘ 
 
 x′′ =
4 − 0
2
=
4
2
= 2 
 
 As raízes da equação são iguais, logo 
 
x’ = x” = 2 
 
e a solução S = {2}. 
 
d) Resolver a equação do 2º grau x2 ‒ 2x + 6 = 0 
pela fórmula de Bhaskara. 
 
Resolução: 
 
 Os coeficientes a, b e c, 
 
x2 ‒ 2x + 6 = 0 {
a = 1 
b = −2
c = 6 
 
 
Substituindo os valores de a, b e c na fór-
mula do : 
 
 = b2 – 4ac 
 
 = (‒ 2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6 
 
 = 4 ‒ 24 
 
 = ‒ 20 
 
 Agora, a fórmula de Bhaskara, 
 
x =
−b ± √∆
2a
 
 
x =
−(−2) ± √−20
2 ∙ 1
 
 
Sabemos por estudos anteriores que 
√−20 ∉ ℝ, então 
 
x =
−(−2) ± √−20
2 ∙ 1
 ∉ ℝ 
 
Logo, a equação não tem raízes reais. 
A solução da equação é S = . 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
23) Resolva as equações do 2º grau aplicando a 
fórmula de Bhaskara: 
a) x2 ‒ 3x + 2 = 0 f) 2x2 ‒ 14x + 20 = 0 
 
b) x2 ‒ 4x + 3 = 0 g) x2 + 2x + 4 = 0 
 
c) x2 ‒ 7x + 12 = 0 h) x2 ‒ 8x + 16 = 0 
 
d) x2 ‒ 6x + 9 = 0 i) x2 ‒ 8x + 12=0 
 
e) x2 ‒ 7x + 10 = 0 j) x2 ‒ 2x + 6 = 0 
 
24) O que se pode dizer das raízes de uma equa-
ção do 2º grau se: 
a) Seu discriminante for igual a zero? ( = b2 ‒ 4ac 
= 0) 
b) Seu discriminante for positivo? ( = b2 ‒ 4ac > 
0) 
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9 
 
Blog do Prof. Gilberto 
c) Seu discriminante for negativo? ( = b2 ‒ 4ac < 
0) 
 
9. OBJETOS DIGITAIS DE APRENDIZA-
GEM-ODA 
 
• Apostila de Álgebra – Eletiva de Matemática 
Novo Ensino Médio (8 páginas, 21 questões) 
• Apostila de Números – Eletiva de Matemática 
do Novo Ensino Médio (12 páginas, 83 ques-
tões) 
• Apostila de Potenciação e Radiciação (7 pági-
nas, 31 questões) 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (10 
páginas, 35 questões) c/ Habilidades da BNCC 
• Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 
questões) 
• Apostila de Função do 2º Grau (9 páginas, 56 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Logarítmica (7 páginas, 43 
questões) 
• Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 
questões) 
• Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge-
bra (4 páginas, 10 exercícios) 
• Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge-
bra (3 páginas) 
• Laboratório de Funções com planilhas eletrôni-
cas (7 páginas, 10 exercícios) 
• Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 
62 questões) 
• Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 
140 questões) com gabarito 
• Todas as apostilas de Matemática de Ensino 
Médio do Prof. Gilberto 
• Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do 
Prof. Gilberto 
 
 
10. REFERÊNCIAS 
 
IEZZI, G.; DOCE, O.; MACHADO, A. Matemática e Reali-
dade: Ensino Fundamental. 4. Ed. São Paulo: Atual, 2000. (7ª 
Série). 
 
VOLPINO, H. Matemática e Realidade São Paulo: IBEP. (5ª 
Série). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
 
 
 
“Você constrói a sua vitória.” 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
 
Atualizada em 13/3/2023 
 
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