Psicopedagogia Artigo surperdotação Produto-Educacional-Aplicado

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PRODUTO EDUCACIONAL: OFICINAS PARA ALUNOS 
COM ALTAS HABILIDADES/SUPERDOTAÇÃO EM 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRANCINI DAMIANI E SILVA 
 
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INTRODUÇÃO 
 
O ambiente escolar é composto por estudantes com características, interesses e 
necessidades distintas. As especificidades de cada indivíduo devem ser consideradas, no 
processo de ensino e aprendizagem. 
Refletindo sobre a pluralidade de estudantes que compõem os espaços educacionais, 
este material foi elaborado para auxiliar o ensino e aprendizagem dos indivíduos com Altas 
Habilidades/Superdotação (AH/SD). Esse heterogêneo grupo, com variabilidade de 
características e manifestações comportamentais, também compõe, o público da Educação 
Especial, no entanto, por concepções não assertivas, é constantemente deixado em segundo 
plano. 
O objetivo deste produto didático é compartilhar sugestões de oficinas envolvendo 
conteúdos de Matemática, para serem implementadas com alunos com AH/SD em 
Matemática, de diferentes idades. 
O material é composto por quatro oficinas, as quais já foram implementadas com 
alunos com AH/SD e tiveram excelentes resultados. 
De acordo com dados estatísticos da Organização Mundial da Saúde (INEP, 2003), o 
número de alunos com AH/SD é estimado de 3 a 5% da população escolar. Portanto, é muito 
provável que todo professor de Matemática, já tenha tido, ou terá, um aluno superdotado em 
sua sala de aula. Desta forma, este material pode contribuir com atividades de enriquecimento 
curricular para esses alunos, e também com a prática pedagógica do professor da Sala de 
Recursos Multifuncional para AH/SD. 
No material estão descritas as oficinas: 
Oficina 1: Considerações iniciais sobre Geometria Projetiva. 
Oficina 2: Desafios Matemáticos. 
Oficina 3: Aprenda Brincando. 
Oficina 4: Considerações iniciais sobre Geometria Fractal. 
Além da descrição das oficinas, também acompanha o material um arquivo com os 
slides das oficinas 1, 3 e 4. 
 
 
 
 
 
 
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Oficina 1: Considerações iniciais sobre Geometria Projetiva 
Materiais utilizados: Folha sulfite, lápis de colorir, lápis de escrever, borracha, um vaso com 
flores, celular (para tirar fotos) e projetor. 
Observação: Acompanha os slides para aplicação da oficina. 
Objetivo Geral: Com esta oficina, pretende-se que os alunos percebam que na Geometria 
Euclidiana, as retas podem ou não se encontrar em um ponto, e são chamadas respectivamente 
de concorrentes e paralelas. Já na Geometria Projetiva, retas paralelas no plano da visão, serão 
concorrentes quando representadas no plano euclidiano. Com esta oficina, também pode ser 
explorado o conteúdo de ângulos e proporção. 
Duração: 4 a 5 aulas divididas em dois encontros. 
 
Roteiro de desenvolvimento 
Atividade 1: Percepção e representação de perspectiva. 
Descrição: Usando um vaso com flores coloridas, expô-lo aos alunos e solicitar que eles 
reproduzam no papel, do jeito que cada observador o vê (de preferência utilizar flores 
coloridas e dispor os estudantes em semicírculo). 
Objetivo: Desenvolver nos alunos noções de profundidade, sobreposição, mudança de 
dimensão e distância ao fazer os desenhos. 
Duração: 30 minutos aproximadamente. 
 
Atividade 2: Desenho da Rodovia. 
Descrição: Propor aos estudantes que desenhem uma rodovia (neste momento somente com 
os conhecimentos prévios que possuem). 
Objetivo: Perceber se algum estudante possui conhecimento prévio dos elementos de 
Geometria Projetiva. Expor os desenhos e discutir as diferenças. 
Duração: 20 minutos aproximadamente. 
 
Atividade 3: Comparação de pinturas 
Mostrar obras do Renascimento como, por exemplo: as obras “A Anunciação” e a “Última 
Ceia” de Leonardo da Vinci e a obra “O Chamado dos Apóstolos” de Duccio di Buoninsegna. 
Mostrar a noção de profundidade que algumas obras mais antigas não possuíam e comparar 
com as obras que possuem essas noções e técnicas de perspectiva. 
 O Renascimento se deflagrou na passagem da Idade Média para a Moderna e foi o 
primeiro movimento artístico, científico, literário e filosófico da modernidade. De acordo 
 
4 
 
com o site “Brasil Escola”
1
, em um quadro de sensíveis transformações que não mais 
correspondiam ao conjunto de valores apregoados pelo pensamento medieval, o renascimento 
apresentou um novo conjunto de temas e interesses aos meios científicos e culturais de sua 
época. A intenção do artista renascentista era, portanto, criar obras nas quais os personagens 
representados refletissem emoções e estado de espírito, ressaltando a sua natureza humana, 
perfeitamente (GONÇALVES, 2013, p.24). 
 Portanto, a motivação dos artistas daquela época era a busca por um método que 
conseguisse adequar a arte, na reprodução dos ideais e das ações humanas, representações que 
vão além dos fatos, que representem também a sua essência. 
 
Assim, é possível afirmar que a arte renascentista se caracterizou tecnicamente pela 
reprodução rigorosa de traços humanos e cenários do cotidiano. Sugere-se, portanto, 
que a busca por tal fator de excelência, levou os artistas do renascimento a adotarem, 
na confecção de suas obras, técnicas que privilegiavam o uso de princípios 
matemáticos tais como a razão áurea, por exemplo. Através dela, é possível 
estabelecer proporções que tornam mais agradável e verossímil a aparência humana 
de uma obra (GONÇALVES, 2013, p.25). 
 
Observação: Obras do Renascimento podem ser encontradas no site “Pinturas sem Tela”
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Objetivo: Fazer com que os alunos percebam a necessidade dos artistas do Renascimento, de 
representar noções de profundidade, sobreposição e mudança de dimensão em suas obras, 
para que assim fosse possível reproduzir de forma rigorosa, traços e sentimentos humanos, e 
cenários do cotidiano. 
Duração: 10 à 15 minutos. 
 
Atividade 4: Um pouco da história da Geometria Projetiva 
Descrição: De acordo com Gonçalves (2013), a Geometria Projetiva teve seu marco histórico 
no século XVII, quando Girard Desargues
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 buscava fundamentar matematicamente as 
técnicas de desenho em perspectiva que os artistas do Renascimento empregavam em suas 
obras. No entanto, somente no século XIX, a Geometria Projetiva se tornou uma ciência 
independente, por mérito dos matemáticos Brianchon e Poncelet. Anteriormente a isto, no 
século XVIII Gaspard Monge utilizou os conhecimentos de Geometria Projetiva já existentes, 
com base no desenho técnico, para criar a Geometria Descritiva. 
Objetivo: Discutir e enriquecer o conhecimento dos alunos da SRM-AH/SD a respeito da 
 
1
 Disponível em:< http://brasilescola.uol.com.br/historiag/renascimento.htm> Acesso em 02/05/17. 
2
 Disponível em: < http://www.pinturasemtela.com.br/arte-do-renascimento-obras-e-artistas-quadros-e-
esculturas-renascentistas/> Acesso em: 02/05/17. 
3
 Girard Desargues foi um matemático, arquiteto e engenheiro militar francês, precursor da Geometria projetiva. 
 
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Geometria Projetiva. Para alcançar o objetivo ler (GONÇALVES, 2013) para ter subsídios 
teóricos. 
Duração: 10 minutos. 
 
Atividade 5: Elementos da Geometria Projetiva e Tipos de Perspectiva 
Descrição: Abordar os elementos presentes na Geometria Projetiva ilustrando com imagens, 
as quais se encontram nos slides em anexo a este material. 
De acordo com Gonçalves (2013), os elementos são: 
Quadro: Plano perpendicular colocado entre o Observador e a Forma. É o espaço 
bidimensional onde se representam as formas em perspectiva. 
 
Figura 1: Imagem explicativa do quadro 
Fonte: Site Piziadas
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Ponto de observação: É o ponto de localização que o observador ficará para pintar ou 
observar o observado. Na representação gráfica da perspectiva é comum o ponto de vista ser 
identificado por uma linha vertical perpendicular à linha do horizonte. O ponto de vista 
revela-se exatamente no cruzamentodessas duas linhas. 
Linha horizonte: É o elemento da construção em perspectiva que representa o nível dos 
olhos do observador. Numa paisagem como mostra a Figura 2, a linha do horizonte é a que 
separa o Céu e a Terra. 
Ponto de fuga: É o ponto localizado na linha do horizonte, para onde todas as linhas paralelas 
convergem, quando vistas em perspectiva. Em alguns tipos de perspectiva são necessários 
dois ou mais pontos de fuga. 
Linha de fuga: São as linhas imaginárias que descrevem o efeito da perspectiva convergindo 
para o ponto de fuga. É o afunilamento dessas linhas em direção ao ponto que geram a 
sensação visual de profundidade. 
 
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 Disponível em: <http://piziadas.com/pt/dibujo/geometria-proyectiva> Acesso em: 02/05/17. 
 
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Figura 2: Elementos da Projetiva 
Fonte: Site FotoDicasBrasil
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Objetivo: Introduzir conceitos iniciais de Geometria Projetiva, e explicar a diferença entre 
Geometria Euclidiana e Não-Euclidiana. 
Tempo: 20 minutos. 
 
Atividade 6: Desenhar novamente a estrada 
Descrição: Tendo como referência a rodovia (Figura 3) e os elementos de geometria 
projetiva, solicitar que cada aluno represente, por meio de um desenho, uma 
autoestrada/rodovia. 
Após feito o desenho, fazer questionamentos como: 
1. Em que será que esta geometria difere da geometria estudada até então na escola? 
2. Podem-se ver retas paralelas ou concorrentes no desenho? 
3. Se as retas da estrada são concorrentes, onde as retas se encontram? 
Objetivo: Verificar se os alunos conseguem desenhar novamente a estrada, agora utilizando os 
conceitos de Geometria Projetiva abordados. 
Duração: 15 minutos. 
 
 
5
 Disponível em: <http://fotodicasbrasil.com.br/domine-a-perspectiva-como-elemento-de-composicao/ > Acesso 
em 02/05/17. 
 
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Figura 3: Estrada 
Fonte: Site ACIQI
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Atividade 7: Desenho de um cubo 
Descrição: Colocar um cubo em exposição para os alunos desenharem e pedir para 
responderem as questões abaixo. Dispor os alunos em posições diferentes em relação ao cubo. 
1. Como posso representar o cubo no plano? 
2. Quais as formas que você representaria? 
3. Como você representaria este local? 
Objetivo: Verificar se os alunos percebem noções de profundidade, mudança de dimensão; o 
tamanho dos objetos de acordo com a distância que se encontram do observador. 
Duração: 10 minutos. 
 
Atividade 8: Ilusão de ótica 
Descrição: Trabalhar com alunos sobre ilusão de ótica e noções de perspectiva. Nos slides em 
anexo, existem algumas fotos exemplificando esta atividade. 
Atividade: Levar os alunos em um ambiente aberto para tirar fotos. Neste momento os alunos 
irão tirar fotos, cujas poses darão uma noção diferente de dimensão, onde coisas impossíveis 
parecem acontecer. 
Objetivo: Verificar se os alunos conseguem reproduzir na prática várias imagens utilizando 
ilusão de ótica. Trabalhar com os alunos sobre ângulos. 
Observação: Os alunos deverão perceber que quanto mais próximo da câmera o objeto 
estiver, maior será o ângulo formado entre ele e a câmera, fazendo o objeto parecer na foto 
maior do que na realidade. Em contra partida, quando mais longe estiver o objeto da câmera, 
menor será o ângulo formado entre ele e a câmera, e assim menor o objeto parecerá na foto. 
Duração: 20 minutos. 
 
 
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 Disponível em: <http://aciqi.com.br/?p=711> Acesso em 03/05/17. 
 
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Curiosidades: Despertar nos alunos curiosidades sobre a geometria da visão, iniciar com 
questionamentos e ver até onde a imaginação e a curiosidade os levam. Os questionamentos 
podem ser do tipo: 
1. Como a visão produz o efeito de profundidade? 
2. Como sabemos se um objeto está perto ou longe? 
3. Como funciona a percepção de distância pela visão? 
4. Será que é possível construir algo que se comporte como o olho humano? 
Se os alunos se interessarem, poderá ser construída uma câmera escura. 
Duração: indeterminada, varia de acordo com a turma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Oficina 2: Desafios Matemáticos 
 
Materiais utilizados: Envelopes, lápis de escrever, borracha e Tangram. 
Objetivo: Promover um ambiente desafiador, onde os grupos sintam-se motivados a resolver 
os problemas propostos, além de construir novos conceitos, e habituar-se a explicar como 
resolve cada situação problema. 
Com esta oficina, serão trabalhados: raciocínio lógico, os conteúdos de área e 
perímetro de retângulos, volume de paralelepípedo e unidades de capacidade. 
Duração: 3 aulas. 
 
Descrição 
 1ª) Separar a sala em dois grupos de alunos, de forma que mescle as habilidades dos 
integrantes, ou seja, preocupando-se em não deixar nenhum grupo privilegiado por possuir 
mais integrantes que possuam habilidades na área da Matemática. 
2ª) Cada grupo recebe 12 envelopes, enumerados de 1 a 11, e em um deles aparece escrita a 
palavra DESAFIO. Dentro de cada envelope existe uma questão matemática. 
3º) Os alunos abrem os envelopes em ordem crescente, de forma que somente é permitido 
abrir o próximo envelope após a questão do envelope aberto ter sido respondida 
assertivamente. 
4ª) Quando a questão do envelope de número 10 for respondida, os alunos recebem o 
envelope DESAFIO. Se este é respondido assertivamente, a dinâmica chega ao fim e o grupo 
recebe seu prêmio; caso o DESAFIO não consiga ser resolvido, marca-se um tempo de cinco 
minutos e na sequência pode ser aberto o envelope nº 11. 
5ª) O grupo que concluir antes, fica com o prêmio. 
Nota: Por se tratar de indivíduos com AH/SD com emoções bem aguçadas, sugere-se 
que haja um prêmio alternativo para aqueles que não conseguirem concluir o desafio em 
primeiro lugar. 
Parte das questões utilizadas foram extraídas do site “Os Vigaristas”
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, o qual contém 
inúmeras charadas de matemática e do livro intitulado “Problemas, quem não têm?”. Este 
livro é uma coletânea de problemas matemáticos (COLOMBO; LAGOS, 2005). 
 Questões utilizadas: 
1ª Questão: Você quer cozinhar um ovo em dois minutos. Entretanto, você só possui dois 
relógios de areia (ampulheta), um de 3 minutos e outro de 5 minutos. Como você poderia 
colocar o ovo para cozinhar e retirá-lo em dois minutos exatos? 
 
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 Disponível em: <https://www.osvigaristas.com.br/. Acesso em: 02/06/17. 
 
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Solução: Virar as duas ampulhetas ao mesmo tempo, quando a de 3 minutos acabar, saberá 
que o restante da outra são 2 minutos. 
2ª Questão: Num retângulo mágico, a soma de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal 
é sempre a mesma. Descubra essa soma e complete o retângulo. 
2 -5 ? 
? -1 ? 
-2 3 ? 
Solução: 
2 -5 0 
-3 -1 1 
-2 3 -4 
 
3ª Questão: 25, 24, 22, 19, 15. Qual o próximo número? 
Solução: 10, pois estão em ordem decrescente diminuindo gradativamente do anterior para o 
posterior: de 25 para 24 diminuiu 1, de 24 para 22 diminuiu 2, de 22 para 19 diminuiu 3, de 
19 para 15 diminuiu 4 e, portanto de 15 para o próximo, diminui 5, ou seja, o próximo é 10. 
 
4ª Questão: Um aquário tem a forma de um bloco retangular, com arestas de 60 cm, 40 cm e 
30 cm. Quantos litros de água cabem no aquário cheio? 
Solução: 
Volume do aquário: V=60.40.30= 72000 cm³ 
Sabe-se que: 1ml = 1cm³, assim temos: 
Volume do aquário é: 72000 ml 
Como 1 litro = 1000 ml 
72000:1000 = 72 litros de água 
 
5ª Questão: 4+ 4 + 4 equivale à 12. Qual é a outra soma de três algarismos iguais que 
também resulta em 12? 
 
Solução: 11+1 = 12 
 
6ª Questão: Num quintal havia meninos e cachorros brincando. Contando as cabeças 
consegui 22, contando os pés encontrei 68. Quantos meninos e quantos cachorros havia no 
quintal? 
Solução: 10 meninos e 12 cachorros 
 
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Fazendo um sistema de equaçõesonde c=cachorros e m=meninos tem-se: 
c+m=22 (I) c=22-m (III) 
4c+4m=68 (II) 
Substituindo (III) em (II): 4(22-m)+2m=68 
 -4m+2m=68-88 
 -2m=-20 
 m=10 e c=12 
 
7ª Questão: Utilizando as peças do Tangram, construa um hexágono (polígono de seis lados). 
Solução: 
 
Figura 4: Hexágono construído com Tangram 
 
8ª Questão: Considere que o quadrado do Tangram tem uma unidade de área. Construa um 
triângulo com quatro unidades de área. 
Solução: Note que a área do quadrado é equivalente à área dos dois triângulos menores juntos, 
e é também equivalente à área do triângulo médio, sendo assim temos: 
 
Figura 5: Triângulo construído com Tangram 
 
9ª Questão: Considere as arestas do quadrado do Tangram como uma unidade de medida. 
Construa um quadrado com todas as peças do Tangram e calcule seu perímetro. 
Solução: 4√ cm. 
 
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Figura 6: Quadrado construído com Tangram 
 
*9ª Questão: Considerando o alfabeto oficial, que não inclui as letras K, W e Y, complete a 
série abaixo: 
B D G L Q ... 
Solução: Com o alfabeto completo e destacando-se a sequência apresentada tem-se: A B C D 
E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z e percebe-se que antes da segunda letra destacada 
pulou uma letra, antes da terceira, duas; da próxima, três; da outra, quatro e, portanto para a 
próxima deverá descontar-se cinco letras, isto é, será X. 
 
10ª Questão: Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, 
Luís, Paula e João, sabe-se que: 
- Ana chegou antes de Paula e Luís. 
- Paula chegou antes de João. 
- Cláudia chegou antes de Ana. 
- João não foi o último a chegar. 
Nesse dia, quem foi o terceiro a chegar ao escritório para o trabalho? 
Solução: Paula. 
 
Desafio: Totelesáris, um jovem índio, caiu de amores pela bela Masófis. Desejando casar-se 
com ela, teria de enfrentar uma prova. A ele foi proposto o seguinte desafio: “No meio da 
aldeia, há duas cabanas rigorosamente idênticas. Dentro de uma dela o espera a bela Masófis. 
A outra, no entanto, apenas recobre um poço habitado por jacarés ferozes, capazes de devorar 
qualquer um que ultrapasse a entrada. Cada cabana tem apenas uma porta, permanentemente 
fechada e vigiada por um índio, que conhece perfeitamente o conteúdo da cabana que vigia. 
Totelesáris deve escolher umas das cabanas e entrar: se encontrar sua amada poderá casar-se 
com ela; se entrar na dos jacarés, será devorado instantaneamente. Antes de realizar sua 
 
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escolha, ele terá permissão de fazer uma única pergunta ao índio que guarda a porta de uma 
das cabanas. Mas Totelesáris deve ainda levar em conta outro pormenor: Um dos guardas 
mente sempre, enquanto o outro só diz a verdade.” Que pergunta ele deve fazer ao guarda 
para acertar a porta? 
Solução: Se eu perguntasse ao seu colega qual a cabana de Masófis, o que ele responderia? 
 
11ª Questão: Descubra o erro: vou provar que dois é igual a três! Partiremos da igualdade: 
2-2 = 3-3 
A diferença (2-2) pode ser escrita sob a forma de produto, 2(1-1). 
Da mesma forma (3-3) = 3(1-1). 
2(1-1)= = 3(1-1). 
Cancelando-se em ambos os membros dessa igualdade o fator comum (1-1), resulta que 2 = 3 
Onde está o erro? 
Solução: O erro está no “cancelamento” (1-1), pois o que ocorre é uma divisão dos dois 
membros por (1-1), isto é, por zero, cujo resultado não é um número real. 
 
*11ª Questão: Qual o próximo número na sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ...? 
Dica: (perceba o que há em comum entre os números). 
Solução: 200, pois o que há em comum na sequência é todos iniciarem com a letra “D”. 
Observação: De acordo com as idades cronológica e desenvolvimento dos alunos, podem ser 
utilizadas as questões 8 ou *8 e 11 ou *11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Oficina 3: Brincando com a Matemática 
 
Materiais utilizados: Folha sulfite, lápis de escrever, borracha, papel cartão colorido, tesoura, 
cola e projetor. 
Observação: Acompanha os slides para aplicação da oficina. 
Objetivo Geral: Com esta oficina, pretende-se que os alunos aprendam um pouco sobre 
Álgebra, ao construir a parte algébrica existente nas atividades. 
Duração: 3 a 4 aulas. 
 
Roteiro de desenvolvimento 
Atividade 1: Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 dispostos nas nove casas de 
maneira que a soma dos três algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal resulte 15. 
Atividade extraída do site “sómatemática”
8
. 
Solução: 
 
Figura 7: Solução da Atividade 1 
 
Atividade 2: Pense em um número de 2 dígitos. Subtraia deste número os dois dígitos. Se 
meu número é 23, faço 23-2-3=18. Olhe na tabela (Anexo 1), à direita do número resultante, 
o símbolo correspondente a esse número. Eu vou descobrir qual é o símbolo que você olhou. 
(Adaptado de SÁ, 2010). 
Solução: Um número qualquer de dois dígitos tem a forma: XY = 10X+Y 
Subtraindo os dígitos X e Y: 10X+Y-X-Y=9X 
 
8
 Disponível em:<http://www.somatematica.com.br/desafios/desafio8.php>. Acesso em: 20/05/2017. 
 
 
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Ou seja, o número obtido é sempre múltiplo de nove. 
Observação: Os quadros (Anexo 1) que são mostrados para os alunos, possuem a mesma 
figura ao lado dos números que são múltiplos de nove. 
 
Atividade 3:Complete a sequência 
1 + 4 = 5 
2 + 5 = 12 
3 + 6 =21 
8 + 11 = ? 
(extraídas do site “sómatemática”). 
Solução: Primeiro número vezes o segundo, no resultado soma o primeiro número. Observe: 
1º número: 8 
2º número: 11 
(8 . 11)= 88 
88 + 8 = 96 
Portanto: 8 + 11 = 96 
 
Atividade 4: Qual é o maior número que podemos formar com três algarismos, sem usar 
adição, subtração, multiplicação e divisão (SÁ, 2010)? 
Solução: 9
99 
 
Atividade 5: Escreva um número com três ou quatro algarismos formados pelo dia e mês em 
que você nasceu. Se eu nasci em 4 de novembro, escreverei: 411. Se eu nasci em 12 de março, 
escreverei: 1203. Agora multiplique esse número por dois. Some cinco ao resultado. 
Multiplique por 50. Some o ano em que você nasceu (apenas os dois últimos dígitos) (SÁ, 
2010). 
Solução: Seja A = abcd o número formado pelo dia e mês em que a pessoa nasceu. 
2A 
2A + 5 
(2A + 5)x50=100A +250 
100A + 250 + xy 
O segredo é subtrairmos 250. Daí sobra: 
100A + 250 + xy – 250 = 
100A + xy= 
abcd00 + xy = abcdxy 
 
16 
 
onde ab é o dia, cd é o mês e xy é o ano. 
 
Atividade 6: Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. 
Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco? 
(site “sómatemática”). 
Solução: Primeiro atravessam o rio o homem de 60 e 65 kg, o homem de 65 kg fica do outro 
lado da margem e o homem de 60 kg volta para a margem inicial. O homem de 60 kg desce 
do barco, então o homem de 80 kg entra no barco e atravessa o rio, chegando ao outro lado da 
margem, ele desce do barco e o homem de 65 kg, volta com o barco para buscar o homem de 
60 kg que ficou na margem inicial de partida. Os homens de 60 e 65 kg atravessam. 
 
Atividade 7: Será que 64=65? 
Descrição: Disponibilizar para os alunos uma malha quadriculada de 8x8, contendo 64 
quadrados, como a seguinte: 
 
Figura 8: Malha quadriculada de 88 
 
1º) Solicitar que os alunos cortem nas linhas cor de rosa. 
Considerando que cada quadrado mede uma unidade de comprimento, responda: 
2º) Solicitar que os alunos reagrupem as quatro peças montando um quadrado e calculem a 
sua área. 
3º) Reagrupe as quatro peças formando um retângulo e calcule a sua área. 
Solução: 
2º) Área: 64 unidades de área. 
3º) Perceba que as peças não se encaixam perfeitamente. Há vazios no meio, nos pontos de 
contato. As tangentes nas peças sãodiferentes. Uma é 2/5 e a outra 3/8. A soma das áreas 
vazias dá a unidade extra. 
 
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Figura 9: Retângulo formado como solução da Atividade 7 
 
Portanto a área deste retângulo não é 65 unidades de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Oficina 4: Considerações iniciais sobre Geometria Fractal. 
Materiais utilizados: Folha sulfite, lápis de escrever, borracha, papel cartão colorido, tesoura, 
cola e projetor. 
Observação: Acompanha os slides para aplicação da oficina. 
Objetivo Geral: Com esta oficina, pretende-se que os alunos conheçam mais uma Geometria 
Não-Euclidiana e saibam onde essa geometria pode ser aplicada. Pretende-se também, 
desenvolver nos alunos a capacidade de generalização de fórmulas matemáticas. 
Duração: 3 a 4 aulas. 
 
Roteiro de desenvolvimento 
Atividade 1: O que é um fractal e a história da Geometria Fractal. 
Descrição: 
A descoberta de Geometrias Não-Euclidianas introduziu novos objetos que 
representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Tais objetos 
retratam formas e fenômenos da natureza. De acordo com o site “educ.fc.ul”
9
 a palavra 
fractais vem do latim fractus, que significa fração, quebrado. São formas geométricas 
abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, 
mesmo limitados a uma área finita. 
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, e pode ser representado de 
forma iterativa produzindo resultados fascinantes. 
Um pouco da História: 
Entre a segunda metade do século XIX e a primeira do século XX, foram propostos 
por matemáticos objetos com características especiais e que foram durante muito tempo 
considerado “monstros matemáticos”, já que desafiaram as noções comuns de infinito 
(CORRÊA, 2014). Há indícios de que os “monstros matemáticos” existiam antes do século 
XX, em lugares como na Grécia Homérica, Índia e China. Apesar de esses objetos existirem 
há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha dado um nome. Desta forma, o termo fractal, 
embora não tenha sido definido, foi criado por Benoit Mandelbrot, por volta de 1975. 
 
Bernoit Mandelbrot (1924-2010) 
“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, 
troncos de árvores não são suaves e nem o relâmpago viaja em linha reta.” (Benoit 
Mandelbrot) 
 
9
 Disponível em< http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm14/nocoes.htm> Acesso em: 14/05/17. 
 
19 
 
 
Figura 10: Bernoit Maldelbrot. 
Fonte: Mathematics Department - Yale University10 
Atividade 2: Calculando a costa da Grã-Bretanha 
Descrição: indagar os alunos quanto é o comprimento da linha de costa da Grã-
Bretanha. Mostrar imagem da Figura 11. 
 
 
Figura 11: Grã-Bretanha. 
Fonte: Pikabay – imagens gratuitas 
11
 
 
Mandelbrot propôs que se imaginasse uma cena: um homem caminha pelo litoral e a 
cada passo deixa uma pegada. Quando reencontrar o ponto de origem, a linha que une todas 
as suas pegadas representará o comprimento da costa. Substitua-se agora o homem por um 
lagarto. Incapaz de cobrir com suas patas a mesma distância de um passo humano, o bicho 
terá de levar em conta acidentes que o homem ignorou, ou seja, reentrâncias não serão 
saltadas, mas percorridas. A linha descrita pelo lagarto será mais irregular e mais longa do que 
a do homem. Mais extensa ainda será a linha da formiga, que perceberá um seixo como 
relevo. 
A costa da Grã-Bretanha não tem um comprimento intrínseco, disse Mandelbrot, 
assim, quanto maior o número de obstáculos percebidos, maior a extensão da costa, que, no 
limite, tenderá ao infinito. Observe Figura 12. 
 
10
 Disponível em: <http://users.math.yale.edu/mandelbrot/> acesso em 12/06/17. 
11
 Disponível em: <https://pixabay.com/pt/unidos-reino-mapa-%C3%B3timo-36481/>acesso em 12/06/17. 
 
20 
 
 
Figura 12: Mapa representando acosta da Grã-Bretanha. 
Fonte: Plataforma WordPress
12
 
 
Atividade 3: Propriedades dos fractais. 
Descrição: Ensinar as propriedades utilizando imagens ilustrativas. 
 Autossemelhança ou autossimilaridade; 
 Complexidade infinita; 
 Dimensão. 
 
Autossimilaridade ou Autossemelhança: Fractal é uma forma, onde cada uma das partes, 
por menor que seja (observada em qualquer escala), assemelha-se ao todo. Observe a Figura 
13. 
 
Figura 13: Autossimilaridade ou Autossemelhança. 
Fonte: Geometria Fractal – Apostila da Universidade de Coimbra
13
 
 
 
 
12
 Disponível em:<https://filosofiadacienciaufabc.wordpress.com/2010/11/15/benoit-mandelbrot-matematico-
dos-fractais-parte-2-de-3/> Acesso em 12/06/17. 
13
 Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2003/GeometriaFractal.pdf> Acesso em 10/06/17. 
 
21 
 
Complexidade Infinita: 
Nunca conseguiremos representar um fractal completamente, pois a quantidade de 
detalhes é infinita. Isso se deve ao fato de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo 
um número infinito de iterações. 
 Por esta propriedade, os fractais da natureza não são considerados fractais perfeitos, 
observe a Figura 14. 
 
Figura 14: Complexidade Infinita. 
Fonte: CORRÊA, 2014. 
 
Dimensão: 
Cada fractal tem dimensão própria, relacionada com o seu grau de irregularidade, 
fragmentação, geralmente representada por um número real não inteiro. Esse é um dos 
motivos que leva a Geometria Fractal a ser chamada de Não-Euclidiana. 
Há inúmeras maneiras de se calcular dimensão fractal, observe Figura 15. 
 
Figura 15: Dimensões. 
Fonte: Site Insite
14
 
 
Atividade 4: Fractais na Natureza 
Descrição: Mostrar para os alunos, onde na natureza podem ser observados Fractais. 
 
14
 Disponível em: <http://www.insite.com.br/fractarte/artigos.php> Acesso em: 10/06/17 
 
22 
 
Os Fractais encontrados na natureza se diferenciam dos fractais matemáticos, pois as 
propriedades atribuídas aos objetos fractais ideais, como o detalhe infinito, têm limites no 
mundo natural. 
Os Fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência. 
Observe as Figuras 16 a 26. 
 
 
Figura 16: Galhos de samambaia. 
Fonte: Plataforma WordPress 
 
Figura 17: Brócolis Romanesco. 
Fonte: Site metamorfose Digital
15
 
 
15
 Disponível em: <http://www.mdig.com.br/index.php?itemid=30380> Acesso em 5/06/17. 
 
23 
 
 
Figura 18: Floco de neve. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
 
Figura 2: Náutilo. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
 
Figura 20: Egito visto do espaço. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
24 
 
 
Figura 23: Pinha. 
Fonte: Blog cinco sentidos ou mais
16
 
 
 
Figura 22: Cordilheiras. 
 Fonte: Blog cinco sentidos ou mais. 
 
 
Figura 23: Cristais de bismuto. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
16
 Disponível em: <http://5sentidosoumais.blogspot.com.br/2014/06/fractais-na-natureza.html> Acesso em 
06/06/17. 
 
25 
 
 
Figura 24: Cristais de cobre. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
 
Figura 25: Relâmpagos. 
Fonte: Site metamorfose Digital 
 
Observação: A figura 25, nos slides em anexo, possui animação. 
 
 
Figura 26: Repolho Roxo. 
 Fonte: Site metamorfose Digital 
 
Atividade 5: Cartão fractal triângulo de Sierpinski. 
Descrição: passos para construção do triângulo de Sierpinski. 
 
26 
 
1º) Obter uma folha retangular com medida x e y (Figura 27), dobrá-la ao meio, 
obtendo as medidas x/2 e y (Figura 28). 
 
 
 
 
 
Figura 27: Dobra de uma folha retangular 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28: Resultado da dobra de uma folha retangular 
 
2º) Divida esta nova folha dobrada em quatro partes, de comprimento x/4 e largura 
y/2,e corte na parte destacada em vermelho. Dobre para marcar a folha e assim dobre-o para 
dentro (Figura 29 e 30). Ao fechá-lo obtém-se a Figura 31. 
 
 
 
 
 
 
Figura 29: Folha dobrada em 4 partes marcada onde deve ser cortada. 
𝑥 
𝑦 
𝑥
4
 
𝑦
2
 
𝑦 
𝑥
2 
Parte aberta 
 
Parte aberta 
(I) 
(II) 
(III) 
 
27 
 
 
 
 
 
 
Figura 30: Dobra para dentro da parte cortada. 
 
Figura 31: Resultado quando a folha é fechada. 
 
3º) Repetir o passo anterior, mas agora o retângulo considerado será dividido em 
quatro partes, obtendo as medidas x/8 e y/4, fazer isso nos dois retângulos considerados 
(Figura 32), cortar nas marcas destacadas em vermelho e assim dobrá-las para dentro (Figura 
33). Ao fechá-la obterá a Figura 34. 
 
 
 
Figura 32: Nova divisão dos retângulos em quatro partes. 
 
𝑦
4
 
𝑥
 
𝑦
4 
𝑥
 
(IV) 
(V) 
Parte aberta 
(VI) 
Parte aberta 
 
28 
 
 
 
Figura 33: Dobra para dentro da parte cortada 
 
 
 
 
Figura 34: Resultado quando a folha é fechada. 
 
4º) Agora basta repetir o passo anterior nos retângulos considerados como mostra a 
Figura 35, obtendo no final a Figura 36. 
 
 
Figura 35: Nova divisão dos retângulos em quatro partes 
 
(VII) 
(VIII) 
Parte aberta 
Parte aberta 
(IX) 
𝑦 
𝑦 
𝑦 
𝑦 
𝑥 16 
𝑥 16 
𝑥 16 
𝑥 16 
 
29 
 
 
 
Figura 36: Resultado final do cartão fractal. 
 
 
Observação: O triângulo de Sierpinski, nos slides em anexo, possui animação. 
 
Atividade 6: Aplicações da Geometria Fractal 
Descrição: Informar aos alunos algumas áreas do conhecimento onde pode ser aplicada a 
Geometria Fractal. 
Medicina: A dimensão fractal é usada na medicina como método de diagnóstico 
quantitativo e objetivo de várias patologias. Um dos campos mais desenvolvidos é o 
diagnóstico do câncer. 
 
Figura 37: Células cancerígenas. 
 Fonte: Site Prisma
17
 
Antenas Fractais: As antenas fractais diferem acentuadamente das tradicionais, pois são 
capazes de funcionar de forma ótima simultaneamente em várias frequências. 
 As antenas convencionais são adaptadas para a frequência em que são transmitidas. 
Esta característica faz das antenas fractais uma excelente alternativa para aplicações de banda 
larga. 
 
17
 Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo4/topico9.php> acesso em: 
06/06/17 
(X) 
 
30 
 
 
Figura 38: Antenas fractais. 
Fonte: Site Prisma 
 
Arquitetura: Fractais são aplicados constantemente em projetos arquitetônicos e, ainda que 
experimentalmente, gera resultados plausíveis e agradáveis ao olho humano, a exemplo disso, 
temos o “Cubo d’água” da PTW Architects. 
 
Figura 39: Cubo d’água. 
Fonte: Bolg Porto Belo
18
 
 
18
 Disponível em: <http://www.portobello.com.br/blog/banner/colecao-2015/>Acesso em: 05/06/17 
 
31 
 
 
Figura 4: Parte interna do Cubo d’água. 
Fonte: Bolg Porto Belo 
 
Figura 41: Federation Square em Melbourne. 
Fonte: Site Emergency Shelter Australia
19 
Cinema: Os mesmos princípios de design de fractais transformaram completamente a mágica 
dos efeitos especiais. Em 1978, na Boeing Aircraft em Seatle, engenheiros projetavam aviões 
e entre eles estava Loren Carpenter, hoje um dos diretores de animação da Pixar Animation 
Studios. 
 
19
 Disponível em: <https://www.indesignlive.com/projects/emergency-shelter-australia> Acesso em 10/06/17. 
 
32 
 
 
Figura 42: Montanhas fractais. 
Fonte: Site Cavok
20
 
Arte: Muito antes da ideia do fractal e do início de seu estudo como geometria da natureza, o 
artista holandês Maurits Cornelis Escher já criava imagens que fascinavam os matemáticos. 
 
Figura 5: Quadro de Maurits Cornelis Escher. 
Fonte: Blog 4 portas na mesa
21
 
 
 
Fractais matemáticos 
 
 
20
 Disponível em: <www.cavok.com.br> Acesso em 10/06/17 
21
Disponível em: <http://4portasnamesa.blogspot.com.br/2008/08/m-cescher-1898-1972.html 
>Acesso em 10/06/17 
 
33 
 
 
Figura 45: Conjunto de Mandelbrot. 
Fonte:Wikipedia
22
 
 
Figura 6: Fractal matemático. 
Fonte:Pinterest
23
 
 
22
 Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Buddhabrot>Acesso em 10/06/17. 
23
 Disponível em: <https://br.pinterest.com/pin/24558760440349830/>Acesso em 10/06/17. 
 
34 
 
 
Figura 7: Conjunto de Mandelbrot. 
Fonte: Wikipedia 
 
Figura 8: Fractal matemático. 
Fonte: Wikipedia 
 
 
 
35 
 
 
Figura 48: Triângulo de Sierpisnki. 
Fonte: Tutorial Geogebra
24 
 
 
Figura 49: Esponja de Menger. 
Fonte: Tutorial Geogebra
17 
Observação: A Esponja de Menger, nos slides em anexo, possui animação. 
 
 
Figura 50: Conjunto de Cantor. 
Fonte: SILVA, 2011. 
 
 
24
 Disponível em:<https://wiki.geogebra.org/en/Tutorial:Conditional_Visibility_&_Sequences> Acesso em 
10/06/17. 
 
36 
 
 
Figura 51: Curva de Peano. 
 Fonte: WorkPress 
 
 
Figura 52: Curva de Koch. 
Fonte: SILVA, 2011. 
 
Observação: A curva de Koch, nos slides em anexo, possui animação. 
 
 
Figura 53: Ilha de Koch. 
Fonte: SILVA, 2011. 
Observação: A Ilha de Koch, nos slides em anexo, possui animação. 
 
Atividade 7: Generalização do triângulo de Sierpinski. 
 
Descrição: Orientar as atividades constantes no quadro da Figura 54. 
 
37 
 
Nesta atividade, o intuito é incentivar os alunos a fazer as generalizações de perímetro 
e área. Caso eles sintam dificuldade em trabalhar com o comprimento dos lados dos triângulos 
genericamente, solicitar que eles utilizem a medida do cartão fractal que foi construído na 
Atividade 5. 
Relembrar os níveis de construção do triângulo de Sierpinski. A Figura 35 apresenta 
os níveis 0, 1 e 2, consecutivamente. 
 
Figura 54: níveis do triângulo de Sierpinki. 
 
Iteração 
(nível) 
Número de 
triângulos 
Comprimento 
do lado 
Perímetro 
novo triângulo 
Área de cada 
triângulo 
Área Total 
(em preto) 
0 1 
1 3 
2 
3 
... 
n 
Figura 55: Dados do Fractal Triângulo de Sierpinski 
Fonte: autora, 2017. Adaptado de PILATO, M.; CAMPOS, E.; ROSA, F. C.. III EIEMAT, 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
REFERÊNCIAS 
 
COLOMBO, J. A. A. Problemas quem não tem? Pato Branco: Imprepel, 2005. 144p. 
 
CORRÊA, A. L. Geometria Fractal no Ensino Médio. 2014. 38 p. Dissertação do Programa 
de Pós-graduação em Matemática em rede nacional- PROFMAT – UNIFAP. Universidade 
Federal do Amapá, Macapá. 2014. 
 
DELAI, S.; FRANCO, V. S.. Geometrias não Euclidianas. Disponível em: 
<http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_sidinei_dela
i.pdf > Acesso em: 02/05/2017. 
 
GONÇALVES, T. S.. Uma introdução à geometria projetiva para o ensino fundamental. 
2013. Dissertação de Mestrado. Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - 
PROFMAT, Universidade Federal do Rio Grande, Brasil. Disponível em: 
<http://repositorio.furg.br/handle/1/6550 > acesso em: 30/04/2017. 
 
INEP. Censo escolar, Brasília: MEC. 2003. 
 
PILATO, M.; CAMPOS, E.; ROSA, F. C.. III EIEMAT Escola de Inverno de Educação 
Matemática. 1ª Encontro Nacional de PIBID- Matemática. Oficina de Matemática:Fractais. 
2012. 
Disponível em:http://w3.ufsm.br/ceem/eiemat/Anais/arquivos/RE/REPilatoMichele.pdf 
.Acesso em 25/05/17. 
 
SÁ, I. P. A Magia da Matemática: Atividades Investigativas, Curiosidades e Histórias da 
Matemática. Ciência Moderna: Rio de Janeiro. 2010. 200 p. 
 
SILVA, K. B. Noções de geometrias não euclidianas: hiperbólica, da superfície esférica e 
dos fractais. 1ª ed. Curitiba, PR: CRV, 2011. 
 
 WATERMANN, I.; FRANCO, V. S. Geometria Projetivano Laboratório de ensino de 
Matemática. Artigo produzido durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do 
Estado do Paraná (PDE), Universidade de Maringá, v. 2009, p. 2192-8, 2008. 
 Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2192-8.pdf> 
Acesso em: 30/04/2017. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
ANEXO 1 
 
Modelos de Tabelas extraídas de (SÁ, 2010). 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Projetiva 
estradaaaaaa 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
História da Geometria Projetiva 
 Surge da necessidade dos artistas do Renascimento representarem noções de 
profundidade, sobreposição e mudança de dimensão em suas obras, opondo-se às 
da Idade Média 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
 
 
 
 Foi um dos mais importantes 
pintores do Renascimento 
Cultural. 
 
 É considerado um gênio, pois se 
mostrou um excelente anatomista, 
engenheiro, matemático músico, 
naturalista, arquiteto, inventor e 
escultor. 
 
Uma das obras mais completas do Renascimento, é a chamada “A última 
ceia”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A última ceia, 1495-1497 
 
Geometria Euclidiana busca retratar o mundo que vivemos, 
já a Projetiva, o mundo que vemos. 
 
O Mais fácil e mais adequada é a de ligar a geometria 
projetiva com a arte e a pintura. 
 
Estudar a forma de como os objetos são vistos. 
Elementos Principais da Perspectiva 
LINHA DO HORIZONTE: Encontra-se no nível dos olhos do 
observador. Numa paisagem ela pode ser identificada como a linha 
que separa o céu da Terra. 
 
Fonte: Watermann; Franco, 2008 
 
PONTO DE OBSERVAÇÃO: geralmente é uma linha 
central perpendicular à linha do horizonte, mas pode variar 
de posição de acordo com a localização do observador. 
Fonte: Watermann; Franco, 2008 
 
PONTO DE FUGA: é um ponto que geralmente está 
localizado na linha do horizonte, e “pra onde todas as linhas 
paralelas convergem, quando vistas em perspectiva. Em 
alguns tipos de perspectiva são necessários dois ou mais 
pontos de fuga.” 
Fonte: Watermann; Franco, 2008 
 
LINHAS DE FUGA: são linhas imaginárias que partem do 
objeto ou de pontos da imagem convergindo para o ponto de 
fuga. São essas linhas que produzem o efeito de 
profundidade na imagem, uma vez que configuram a base 
para toda a estrutura da obra. 
Fonte: Watermann; Franco, 2008 
 
Fonte: DELAI; FRANCO 
Retas paralelas: Possuem definições diferentes ao comparar Geometria 
Euclidiana com Projetiva. 
Fonte: DELAI; FRANCO 
 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
 
CÔNICA 
 
 Utiliza-se de pontos e linhas de fuga para dar efeitos de 
profundidade na imagem. Podem ser usados mais de um ponto 
de fuga. 
Tipos de Perspectivas 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
ISOMÉTRICA 
 
 É criado um sistema com três eixos, que somam 120º, e 
cada aresta da imagem a ser retratada é proporcional aos 
eixos iniciais que servirão como base para toda a obra. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
CAVALEIRA 
 
 A imagem a ser retratada é observada frontalmente, isto é, o 
observador posiciona-se paralelamente a uma das faces do objeto. 
 Os ângulos mais utilizados de inclinação para o eixo x são 30°, 
45° e 60° e a medida dos lados varia de acordo com o ângulo 
escolhido. Sendo de 2/3 da medida original, 1/2 e 1/3, 
respectivamente. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
Atividades 
1) Como posso representar o cubo no plano ? Quais as formas como você 
representaria? 
2) Como você representaria este local ? 
• Noções de profundidade; 
• Mudança de dimensão; 
• “Tamanho” dos objetos de acordo com a distância que se encontram do 
observador; 
• Ilusão de ótica. 
 
Noção de sobreposição de objetos 
 
Fonte: Watermann; Franco, 2008 
 
Ilusão de ótica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/ilusao-optica.htm 
Fonte: http://dalhaofertasespecias.comunidades.net/ilusao-de-otica 
 Fonte: http://dalhaofertasespecias.comunidades.net/ilusao-de-otica 
Noções de profundidade 
Fonte: Watermann; Franco, 2008. 
Curiosidades 
 
 
Como a visão produz o efeito de profundidade? 
 
Como sabemos se um objeto está perto ou longe? 
 
Como funciona a percepção de distância pela visão? 
A Geometria da Visão 
 O olho humano pode ser relacionado com uma 
Câmara Escura, pois ela possui um compartimento escuro 
com um furo em uma das faces onde entram os raios 
luminosos que serão projetados na face oposta à do furo. 
 
 O objeto é posicionado entre a fonte luminosa e a 
câmera. Porém, a imagem gerada é menor do que o objeto 
real e invertida, assim, o espelho é usado para corrigir a 
inversão da imagem. 
O modelo de uma Câmara Escura. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
Globo ocular = compartimento escuro 
Íris = furo 
Retina plano de projeção 
Analogia do olho humano com a 
Câmara Escura. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
 
 
 
Como a visão produz o efeito de profundidade??? 
 
 
Percepção de distância depende do ângulo 
dos raios luminosos quando interceptados 
com a íris. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
 
Exemplos: 
Imagens com Ilusão Óptica. 
Fonte: GONÇALVES, 2013 
 
Referências: 
 
DELAI, S.; FRANCO, V. S.. Geometrias não Euclidianas. Disponível em: 
http://www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_sidinei_delai.pdf Acesso em: 
02/05/2017. 
 
WATERMANN, Ivone; FRANCO, V. S. Geometria Projetiva no Laboratório de ensino de Matemática. Artigo 
produzido durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná (PDE), Universidade de 
Maringá, v. 2009, p. 2192-8, 2008. Disponível em: 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2192-8.pdf acesso em: 30/04/2017. 
 
Gonçalves, Tiago da Silva. Uma introdução à geometria projetiva para o ensino fundamental. 2013. Dissertação de 
Mestrado. Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Universidade Federal do Rio 
Grande, Brasil. Disponível em: 
http://repositorio.furg.br/handle/1/6550 acesso em: 30/04/2017. 
 
 
Jogo da Velha Mágico 
Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
dispostos nas 9 casas de maneira que a soma 
dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer 
diagonal resulte 15. 
Resposta 
Ao reunirmos todas as soluções acima teremos um 
conjunto de 8 quadrados mágicos como solução ao 
desafio proposto: 
 
Leitor de Mentes 
Pense em um número de 2 
dígitos. Subtraia desse 
número os 2 dígitos. Se 
meu número é 32, faço 32-
3-2=27. Olhe na tabela, à 
direita do número 
resultante, o símbolo 
correspondente a esse 
número. Eu vou descobrir 
qual é o símbolo que você 
olhou. 
O segredo 
Um número qualquer de dois dígitos tem 
a forma: XY = 10X+Y 
Subtraindo os dígitos X e Y: 10X+Y-X-Y=9X 
Ou seja, o número obtido é SEMPRE 
múltiplo de 9! 
Complete a 
Sequência 
1 + 4 = 5 
2 + 5 = 12 
3 + 6 = 21 
 
 
 
 
8 + 11 = 96 
 
Complete: 
 
1 + 4 = 5 
2 + 5 = 12 
3 + 6 = 21 
8 + 11 = ? 
4 + 7 = 32 
5 + 8 = 45 
6 + 9 = 60 
7 + 10 = 77 
Pergunta: 
Se você pensou 
999, errou! 
A potência 999 é 
muito maior, e 999 é 
ainda maior!! 
É difícil imaginar 
uma quantidade 
que possa ser 
contada através 
dessa potência. 
Qual é o maior 
número que 
podemos formar 
com três 
algarismos, sem 
usar adição, 
subtração, 
multiplicação e 
divisão?? 
Data Mágica 
Escreva um número com 3 ou 4 algarismos 
formados pelo dia e mês em que você nasceu. 
Se eu nasci em 4 de novembro, escreverei: 411. 
Se eu nasci em 12 de março, escreverei: 1203. 
Agora multiplique esse número por 2. 
Some 5 ao resultado. 
Multiplique por 50. 
Some o ano em que você nasceu (apenas os 
dois últimos dígitos). 
Seja A = abcd o número formado pelo 
dia e mês em que a pessoa nasceu. 
2A 
2A + 5 
(2A + 5)x50=100A +250 
100A + 250 + xy 
O segredo é subtrairmos 250. Daí sobra: 
100A + 250 + xy – 250 = 
100A + xy= 
abcd00 + xy = abcdxy 
onde ab é o dia, cd é o mês e xy é o 
ano.Atravessando o Rio 
Três homens querem atravessar um rio. O 
barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 
60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para 
atravessar o rio, sem afundar o barco? 
64 = 65 
Reagrupe as quatro peças 
formando um quadrado e 
calcule a área. 
Reagrupe as quatro 
peças formando 
retângulo e calcule a 
área. 64 
65 
64=65 
Perceba que as peças não se encaixam 
perfeitamente. Há vazios no meio, nos pontos de 
contato. As tangentes nas peças são diferentes. Uma 
é 2/5 e a outra 3/8. A soma das áreas vazias dá a 
unidade extra. 
Obrigada 
 Fractais (do latim fractus, fração, quebrado), 
são formas geométricas abstratas de uma beleza 
incrível, com padrões complexos que se repetem 
infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. 
 
 Um Fractal é gerado a partir de uma fórmula 
matemática, que se aplicada de forma iterativa, 
produz resultados fascinantes. 
 Entre a segunda metade do século XIX e a 
primeira do século XX, foram propostos por 
matemáticos objetos com características 
especiais e que foram durante muito tempo 
considerado “monstros matemáticos”, já que 
desafiaram as noções comuns de infinito. 
 
 Há indícios de que os “monstros 
matemáticos” existiam antes do século XX, em 
lugares como na Grécia Homérica, Índia e 
China. 
 
 Apesar de esses objetos existirem a muito 
tempo, ainda ninguém lhes tinha dado um 
nome. 
 
 O termo Fractal, embora não tenha sido 
definida, foi criado por Benoit Mandelbrot, por 
volta de 1975. 
“Nuvens não são 
esferas, montanhas 
não são cones, 
continentes não são 
círculos, troncos de 
árvores não são 
suaves e nem o 
relâmpago viaja em 
linha reta.” 
Benoit Mandelbrot. 
 
 
• Autossemelhança ou autossimilaridade; 
• Complexidade infinita; 
• Dimensão. 
 Fractal é uma forma na qual 
cada uma das partes, por menor 
que seja (observada em qualquer 
escala), assemelha-se ao todo. 
 Nunca conseguiremos representar um fractal 
completamente, pois a quantidade de detalhes é 
infinita. Isso se deve ao fato de o processo 
gerador dos fractais serem recursivo, tendo um 
número infinito de iterações. 
 
 Por está propriedade, os fractais da natureza 
não são considerados fractais perfeitos. 
 Cada fractal tem dimensão própria, 
relacionada com o seu grau de irregularidade, 
fragmentação. 
 
 Essa dimensão é, em geral, um número real 
não inteiro. Esse é um dos motivos que leva a 
geometria fractal a ser chamada de não 
euclidiana. 
 
 Há inúmeras maneiras de se calcular 
dimensão fractal. 
 
 Os Fractais encontrados na natureza se 
diferenciam dos fractais matemáticos, pois as 
propriedades atribuídas aos objetos fractais 
ideais, como o detalhe infinito, logicamente têm 
limites no mundo natural. 
 
 Os Fractais podem ser encontrados em todo o 
universo natural e em toda a ciência 
Cartão fractal triângulo de Sierpinski. 
1. Dobre uma folha retangular de largura L e 
comprimento C ao meio de forma que a dobra 
tenha dimensões L e C/2. 
2- Divida esta nova folha dobrada em 4 partes 
congruentes, de comprimento C/4 e largura L/2. 
Isto pode ser feito facilmente com dobras ou com 
a régua e o lápis. 
3- Recorte a largura do retângulo inferior esquerdo 
(j) e dobre-o para dentro (lembrando que um dos 
lados deste retângulo possui a dobra inicial). 
4- Repita o procedimento com os retângulos 
restantes na parte esquerda da folha enquanto 
possível. 
 
 A dimensão fractal é usada na medicina como 
método de diagnóstico quantitativo e objetivos 
de várias patologias. Um dos campos mais 
desenvolvidos é o diagnóstico do câncer. 
 As antenas fractais difere acentuadamente da 
das tradicionais, pois são capazes de funcionar de 
forma ótima simultaneamente em várias 
frequências. 
 As antenas convencionais são adaptadas para a 
frequência em que vão. Esta característica faz das 
antenas fractais uma excelente alternativa para 
aplicações de banda larga. 
 Fractais são aplicados constantemente em 
projetos arquitetônicos e, ainda que 
experimentalmente, gera resultados plausíveis e 
agradáveis ao olho humano, a exemplo disso, 
temos o “Cubo d’água” da PTW Archtects. 
 Federation Square em Melbourne. 
 
Federation Square em Melbourne. 
 Os mesmos princípios de design de fractais 
transformaram completamente a mágica dos 
efeitos especiais. Em 1978, na Boeing Aicraft 
em Seatle, engenheiros projetavam aviões e 
entre eles estava Loren Carpenter, hoje um dos 
diretores de animação da Pixar Animation 
Studios. 
 Muito antes da ideia do fractal e do início de 
seu estudo como geometria da natureza, o artista 
holandês Maurits Cornelis Escher já criava 
imagens que fascinavam os matemáticos.