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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 2019 Prof.a Jaqueline Luiza Horbach Prof. Leonardo Garcia Santos GABARITO DAS AUTOATIVIDADES 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III UNIDADE 1 TÓPICO 1 Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes estudados neste tópico. 1 Calcular as integrais duplas: a) R.: 34 R.: 112 R.: 12 b) ( ) 3 2 2 0 2 6xy dydx+∫∫ ( ) 3 4 1 2 40 2xy dydx−∫∫ 2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas é o cálculo de áreas e volumes de figuras e/ou sólidos os quais não possuem formatos usuais. Isso pode estar fortemente ligado à elaboração de uma peça em um processo produtivo, ao qual necessitamos saber qual é a quantidade de material utilizado ou qual o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um componente. Considere a região delimitada por x = 2, x = 8, y = 2x + 2, y = 2x. Faça o que se pede: a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região correspondente. b) Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada, calcule esta área por meio de uma integral dupla. 3 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III b) 12 R.: a) 3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela intersecção do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante. a) ( x ) 1/6. b) ( ) 1/2. c) ( ) 1/3. d) ( ) 1/4. e) ( ) 1/5. 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III ( ) .= ∫ ∫ ∫m R V F F dV Considerando a função F(x, y, z) = x. y. z, o valor médio de F sobre o cubo limitado pelos planos x = 4, y = 4 e z = 4, no primeiro octante é igual a? a) ( ) 16/3. b) ( b ) 64/3. c) ( ) 64. d) ( ) 8. 5 Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em unidades de área é igual a: a) ( x ) 1/3. b) ( ) 2/3. c) ( ) 5/6. d) ( ) 7/6. 6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais duplas e triplas para calcular o volume do sólido S obtido a partir da intersecção das superfícies 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0. • José afirma que a integral para resolver o caso é: • Maria afirma que a integral para o caso é: 0,5 24 0 0 8 2 4 x x y dydx − + − −∫ ∫ 2 42 0 0 8 2 4 y x y dxdy − + − −∫ ∫ Em relação às soluções propostas por Maria e José, julgue a verdadeira: a) ( ) Maria está incorreta e José correto. b) ( ) Maria está correta e José incorreto. c) ( x ) Ambos estão corretos. d) ( ) Ambos estão incorretos. 4 Define-se o valor médio de uma função sobre uma região R no espaço por 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III b) ( ) d) ( ) c) ( x ) ( ) 22 0 6 , x x f x y dx dy − ∫ ∫ ( ) 2 2 6 3 , x x f x y dy dx − − ∫ ∫ ( ) 2 2 6 0 , x x f x y dy dx − ∫ ∫ ( ) 2 ² 36 , x x f x y dy dx − − ∫ ∫ 7 Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas x = 0, x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. Assinale a opção que calcula o volume abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D. a) ( ) TÓPICO 2 Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha em mãos e boa atividade! 1 Calcule as integrais duplas a seguir: a) R.: a) b) 22 2 2 2 0 0 x x y dy dx − +∫ ∫ 21 1 0 0 x x dy dx − ∫ ∫ 2 3 π 6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas: R.: a) a) b) b) 2 2 2 2 4 2 2 2 0 0 . x x y x y dz dy dx − + +∫ ∫ ∫ 211 2 2 1 0 0 . y x x y dz dx dy − − +∫ ∫ ∫ 32 40 π 2 5 3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas: b) c) a) b) c) R.: a) 2 2 2 , em que é o conjunto 0, 4. D x dxdydz D x x y z≥ + + ≤∫ ∫ ∫ 2 2 2 , em que é o conjunto1 4 0. D z dxdydz D x y z e z≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 , em que é a inteseção da semi esfera 4 0 1. D x y z dxdydz D x y z z comocilindro x y+ + − + + ≤ ≥ + ≤∫ ∫ ∫ 16 3 π 14 3 π 22 3 π b) 1 3 7 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região formada por x = –2, x = 2, y > 0 e x2 + y2 = 4. R.: 2π 5 Calcular a área da região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1. R.: 3π 6 Calcular o volume dado pela integral R.: ( ) 2 2 2 2 2 0 0 . x y x ye dydx + +∫ ∫ ( )4 1 4 π −e R.: 7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 1 – x2 – y2. Em seguida, assinale a opção que apresenta este valor. e) ( ) 4π a) ( ) π c) ( ) 2π d) ( x ) b) ( ) 4 π 2 π 8 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: a) b) c) 8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional. Efetuando a mudança para coordenadas cilíndricas ou esféricas, faça o que se pede: a) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z = –4 + x2 + y2 e z = 5. b) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 + y2 e z = 2. c) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 8 – x2 – y2 e z = –2. 81 2 π 102 3 3 ππ − 32 82 3 3 ππ + TÓPICO 3 Acadêmico, o processo de resolução de sistemas lineares pode parecer complicado no começo, no entanto, não desista! É normal escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra! 1 Em engenharia é costumeiro não nos depararmos com superfícies com densidades regulares. Existe, para isto uma função f(x,y) > 0, em que podemos calcular a densidade de um corpo em qualquer ponto, chamada de função densidade. Isso auxilia muito na análise do centro de massa de um corpo, que é amplamente necessário no equilíbrio estático dos corpos na engenharia como um todo. Sendo assim: a) Calcule as coordenadas do centro de massa de um corpo que possui a forma de uma lâmina triangular limitada por: x = 0, y = 4 e – 2x + y = 0, e que possui função densidade f(x,y) = 2xy. 9 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: 16 16, 15 5 b) Calcular a massa total e o centro de massa de uma chapa que tem a forma de uma região D, limitada pela parábola y = x2, pelas retas x = 4 e y = 0, e tem densidade δ(x,y) = x. R.: 16 16, 5 3 c) Sendo a densidade constante e igual a 4, calcule os momentos de inércia Ix, Iy e Iz, para a lâmina limitada por x + y = 2, x = 0 e y = 0. R.: 16 3 d) Calcule a massa e o centro de massa quando δ(x,y) = y na região 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. R.: 1 2, 2 3 e) Calcule a massa e o centro de massa do conjunto de todos os pontos tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 e y ≥ 0, sabendo que a densidade é proporcional à distância do ponto a origem. R.: 45 ,0 14π f) Sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada no retângulo de vértices (4,2), (0,2), (4,0) e (0,0) está associada a uma função densidade de carga definida por δ(x,y) = xy, em coulomb por metro quadrado (C/m²), calcule a carga total desenvolvida nesta região. R.: 17. UNIDADE 2 TÓPICO 1 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 10 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: b) b) c) c) d) e) a) a) ( ) ( )f t g t+ ( ) ( )f t g t− ( ) ( )f t h t⋅ ( ) ( )h t g t⋅ ( ) ( )1 1f t g t+ + − ( )( ) ( )2 2 4 2+ + − +t sen t i t t j ( )( ) ( )2 2 4 2− + − + −t sen t i t t j ( ) ( )5 3 4 22 6 8 24+ + +t t i t t j d) e) ( ) ( )( ) ( )3 52 6 2 12+ + − +t sen t tsen t i t t j ( )( )( ) ( )3 52 1 6 1 2 12+ + + + − +t sen t tsen t i t t j 2 Esboce a curva formada pela função vetorial: a) b) C) para ( ) 2 4f t t i tj= + ( ) ( )22 1f t ti t j= + − ( ) ( ) ( )( )3cos , 3f t t sen t= [ ]0,2t π∈ 1 Dadas as funções vetoriais ( ) 2 4f t t i tj= + , ( ) ( ) ( )2 2g t sen t i t j= − − e ( ) ( )32 3h t t t= + , calcule o que se pede: 11 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: a) b) 12 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III a) 3 O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser expresso pela função em que m é a massa do besouro. A posição do besouro no instante de tempo t – π é: ( ) ( ) ( )1 cos 2t t sen tg t i t j m m − − = + + a) ( x ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( )( )1 2, 2 1m m π + ( )( )1 0, 2 1m m π + ( )( )1 2, 2 1m m π − ( )( )1 0, 2 1m m π − 4 Calcule o limite a seguir: ( ) 2 0 lim , t sen t t t→ c) 13 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III a) a) b) c) d) b) C) d) e) b) c) d) R.: a) (1,0) b) (1,1,1) c) (1,3,1) d) (0,½,0) ( ) ( ) 2 3 20 lim , , cos 2t t te t sen t − → ( ) 2 1 lim , 8 ,cos 2 1t t t t t t→ − + − 3 3 1lim , , 2 1 t t t tte tsen t t − →∞ + − 5 Calcule a derivadas das funções vetoriais a seguir: ( ) ( )( )2 32 3 ,1 2f t t sen t= + − ( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + + ( ) 4 tf t i j e k= − + ( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + + ( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − + ( )( )2 36 , 3 cos 2−t t t ( ) ( )( ), cos−sen t t ( )40, 0, 4 te ( ) 2 3 2 ,0, 1 3 ⋅ + tt e t 14 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III e) a) b) b) c) c) ( ) ( )3 2 2 , , cos 2 1 π π π− + ⋅ − tt sen t t t 6 Encontre a equação paramétrica da reta tangente no ponto ( )0f t das funções a seguir: ( ) ( )2 02 4 , , 0, , 2f t t t t t = ∈ ∞ = ( ) ( ) ( )2 2 0 2 ,3 4 , 1, 5 , 2f t t t t t= − + + ∈ = ( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 ,3 , 0, , 3f t sen t sen t t t ππ= ∈ = R.: a) ( ) ( ) 4 4 ,1= + −r t t t ( ) ( )2 4 ,1 9 16= + +r t t t ( ) 3 3 3 2 3 2 , 2 2 = + + r t t t 7 Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial, em que essa função vetorial representa o vetor posição. Suponha que dois carros estão se movendo segundo os vetores posição ( ) 2 1 2 , 2 2 tr t t = + − + ( ) ( )2 78 7 1 . 2 r t t i t j = − + + − + Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros, determine se é possível os dois carros se chocarem. a) ( ) Sim, quando t = 10. b) ( ) Sim, quando t = 127. c) ( ) Sim, quando t = 1000. d) ( x ) Não. 15 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III a) a) b) b) b) c) c) c) d) d) e) e) Será cancelada. R.: a) 8 Calcule a integral das funções vetoriais a seguir: ( ) ( ) ( )( )2 , , 2f t t sen t t tcos t= ( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + + ( ) 3 5 3f t t i t j t k= − + ( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − + ( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 1, , 2 2cos 3 4 − ⋅ + tsen t tcos t t sen t t ( ) ( )( )4 , 3 cos + −t sen t t t 2 4 6 , , 2 4 2 − t t t ( ) ( ) ( )( ) 3 3 2 ) cos2, 1 3 2 , 3 15 ² π π π π − ⋅ − ⋅ + sen t t tt t t 9 Determine o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário das curvas a seguir no ponto dado: ( ) ( ) ( )( ) , cos , 3 , f t t t sen t t π= = ( ) ( )2 22 ,3 4 , 2f t t t t= − + + = ( ) ( ) ( )( )4 ,3 , 2 f t sen t sen t t π= = 16 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: a) R.: a) 10,52 b) 120 c) 0 10 3 10 , 0, 10 10 − b) b) c) b) Não existe. 5 4 5, 5 5 10 Determine o comprimento de curva e a curvatura das curvas a seguir: a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , cos , 3 , 5, 5f t t t sen t t= ∈ − ( ) ( ) ( )2 2) 2 ,3 4 , 1, 5b f t t t t= − + + ∈ ( ) ( ) ( )( ) [ ]4 ,3 , 0,f t sen t sen t t π= ∈ 11 A curva a seguir nos mostra a famosa representação gráfica da helicoidal: 17 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Sua representação é dada pela seguinte parametrização: ( ) ( ) ( )( ), ,9 .t sen t cos tγ = Sendo que se trata de uma parametrização em ³ . Pensando agora nas parametrizações em ³ , analise as sentenças a seguir e as classifique em V para as verdadeiras e F para as falsas. Em seguida, assinale a opção correta. ( ) A parametrização (t,t2) refere-se à curva gerada pela parábola y = x2. ( ) A parametrização (2sen(t),2co s(t)) refere-se à curva gerada pela circunferência x2 + y2 = 2. ( ) A curva x = y2 + 1, do ponto (2,1) até (10,3) tem com parametrização (t2 + 1,t), com 2 ≤ t ≤ 10. ( ) A parametrização da curva y = x3 pode ser vista como (t3,t3). A sequência CORRETA é: a) ( ) V – V – V – F. b) ( x ) V – F – V – F. c) ( ) V – F – F – F. d) ( ) F – V – F – V. 12 A função vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu percurso. A imagem a seguir lida com esta definição, fazendo uma associação com o vetor velocidade. 2 Po (x,y)=Po + t.v v É de conhecimento também que a norma do vetor tangente “mede” a intensidade (comprimento) do vetor tangente. Desta forma, dada a parametrização (sen(t), cos(t), t), assinale a opção que apresenta corretamente o comprimento de seu vetor tangente. a) ( ) 1. b) ( ) 2. c) ( ) ½. d) ( x ) √2.. 18 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III TÓPICO 2 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Represente graficamente os campos vetoriais a seguir. a) F(x,y) = (x,y). b) F(x,y) = (0,1). c) F(x,y) = (x2,0). R.: a) 19 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III b) c) 2 Calcule o gradiente e o laplaciano dos campos escalares a seguir. a) f(x,y) = x3y3 – xy. b) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 3y. c) f(x,y) = e2x-y + 2x + 2y. d) f(x,y,z) = x2 + 3y2 + 4z2. e) f(x,y,z) = zex-y + z3. f) f(x,y) = cos(x,y) + ex. 20 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 1 , 3 1= − −grad F y x y x x y b) c) d) e) f) ( ) ( )23 , 2 3= + + −graf F x y x y ( ) ( )2 22 2,2− −= + −x y x ygraf F e e ( ) ( ) 0,6=graf F y ( ) ( )( ) , , 3 ²− − −= − +x y x y x ygraf F ze z e e z ( ) ( ) ( )( ), = − −xgraf F e ysen xy xsen xy R.: a) b) c) d) e) f) g) 3 Encontre a função f(x,y) cujo gradiente é ( ) ( ), 2 ,3f x y x xy∇ = . ( ) 2 2 3, , 2 = yF x y x 4 Calcule o rotacional e o divergente dos campos vetoriais a seguir. ( ) 2 2,F x y x i y j= + ( ) ( )2, , .F x y xy x= − ( ), , .F x y z yz i xzj xyk= + + ( ) 2 2 2 2, . y xF x y i j x y x y − = + + + ( ) ( ) ( )( ), , 1, , .F x y z sen z ycos z= ( ) ( ) , , , , . yz yz yzF x y z e xze xye= ( , , ) ( , , ).F x y z y x z= − 21 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III R.: a) div(F) = 1 b) div(F) = 2x + 2y c) div(F) = y d) div(F) = 0 e) div(F) = 0 f) div(F) = –ysen(z) g) div(F) = xeyz(y2 + z2) 5 Um dos campos mais utilizados é campo radial F(x,y) = (x,y) ou F(x,y,z) = (x,y,z), calcule o divergente e o rotacional desses campos. R: Divergente 2 e Rotacional zero. 6 Quais dos campos vetoriais da Questão 2 são conservativos? R.: Letra D. 7 Verifique que dados dois campos vetoriais F e G então vale que rot(F + G) = rot(F) + rot(G) e div(F + G) = div(F) + div(G) R.: Verdadeira. 8 Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento de forças em um espaço. O campo vetorial a seguir é dado pela função ( ),F x y yi xj= − + . 22 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Acerca deste campo vetorial, podemos afirmar que: a) ( ) O campo rotacional gerado por ele é nulo. b) ( x ) Seu divergente é nulo. c) ( ) Ele pode ser chamado de campo radial. d)( ) Possui gradiente igual à própria característica do vetor. 9 No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Em particular, pode-se descrever um campo de temperaturas, conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS. Assim, dado o campo escalar T(x,y,z) = x2y + y3z, analise as sentenças e assinale a opção CORRETA: I- O gradiente de temperatura, aponta para a direção de maior taxa de variação da temperatura. II- O gradiente de temperatura é a função ( ) ( )2 22 3 ³T xy i x y z j y k∇ = + + + . III- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,3,2). IV- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,13,8). a) ( ) I e II estão corretas. b) ( ) II e III estão corretas. c) ( x ) I, II e IV estão corretas. d) ( ) III e IV estão corretas. 10 Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz. 23 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III CAMPO VETORIAL: ( ) ( )2 3 ²F x y i y zx j z k= + − + Sabemos que existem campos especiais que podem ser calculados a partir de um campo vetorial, que é o divergente e o rotacional. Sendo assim, analise as sentenças como V (verdadeiro) ou F (falso) e em seguida, assinale a opção CORRETA. ( ) O divergente deste campo é dado por (–x)i + (–z – x2)k. ( ) O rotacional, indica que um corpo que entra neste campo não possui rotação em torno do próprio eixo na direção de j (eixo y). ( ) O rotacional deste campo aplicado no ponto (1,2,2) é rotF = –1i – 3k. ( ) O divergente determina o fluxo pontual deste campo em uma unidade de volume. a) ( x ) V – V – F – V. b) ( ) V – F – V – F. c) ( ) F – F – V – V. d) ( ) V – V – V – V. TÓPICO 3 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Calcule as integrais de linha das funções escalares a seguir. a) b) ( ) ( )( ) 3 3 , 0 2 x t t y ds com t para t y t tγ γ == ≤ ≤ = ∫ 2 2 2b) 2 1. x y ds com a metade superior docirculounitário x y γ γ+ + =∫ R.: a) 32,3 b) 6,9 24 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha reta. Calcule o comprimento da trajetória descrita por um ponto do aro entre dois contatos consecutivos com o solo. Note que a curva que parametriza esse caminho é y(t) = (–sen(t),–cos(t) com 0 ≤ t ≤ 2π. a) b) c) d) R.: 2π y x0 S S 2π 3 Calcule a massa de uma bobina de mola descrita por y(t) = cos(t), sen(t),t), cuja densidade no ponto (x,y,z) é x2 + y2 + z2. R.: 420,48 4 Calcule a massa de um fio com forma de uma hélice com equações paramétricas x = 3cos(t), y = 3sen(t) e z = 4t com 0 ≤ t ≤ 2 π , sendo a função de densidade ( ) 2, , .1 xF x y y y = + R.: 8,88 5 Calcule a integral de linha sobre o caminho y(t) = (t,t,t) para 0 ≤ t ≤ 1 dos campos vetoriais a seguir. ( ) ( ), , 3 , 2 , 4F x y z y x z= ( ) 2 1, , 0, ,0 1 F x y z x = + ( ) ( ), , , 2 , .F x y z z x y= − ( ) ( ), , , , F x y z xy yz xz= 25 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III e) ( ) ( )2, , 3 3 ,3 ,1 .F x y z x x z= − R.: a) 4,5 b) π/4 c) 1/3 d) 1 e) 2 R.: a) 48 b) 24 c) π/2 6 Calcule a integral de linha a seguir. a) b) c) ( ) ( ) ( ) ( )2, , 4 ,8 , 2 , ,1 0 2.F x y z xy y e t t t com tγ= − = ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , 0, 3 , 4 0 1.F x y z x yz y e t t t com tγ= = ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,0, cos , 0, 0 .F x y z x y x e t t sen t com tγ π= − = ≤ ≤ 7 Encontre o trabalho realizado pela força F(x,y) = (xy,y – x) sobre o segmento de reta que liga os pontos (1,1) e (2, 3). R.: 25/6 8 Encontre o escoamento do campo de velocidade F(x,y) = (x + y, –x2 –y2 ao longo do segmento de reta que liga os pontos (1,0) e (-1,0). R.: 4 9 Um arame tem a forma curva dada pela curva parametrizada ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 cos t t sen t t γ + = − 26 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III para 0 ≤ t ≤ π. Sabendo que a densidade em cada ponto do arame é dada por f(x,y,z) = xy. Podemos afirmar que a massa total do arame é: a) ( ) 2 u.m. b) ( x ) 4 u.m. c) ( ) 6 u.m. d) ( ) 8 u.m. 10 Calcule o trabalho realizado pela partícula na trajetória indicada. 2 y dx x dy γ +∫ onde y é o segmento de reta que liga (1,2) até (4,8). Podemos afirmar que a massa total do arame é: a) ( ) 12. b) ( ) 45. c) ( ) 69. d) ( x ) 94. UNIDADE 3 TÓPICO 1 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Calcule a integral de linha: Pelo método direto e depois compare com a utilização do Teorema de Green, sabendo que C é o caminho fechado entre as curvas y = x2 e y = x no sentido anti-horário. 2 C x dx y dy+∫ 27 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 4 Sabemos que o trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula é dado pela integral de linha sobre uma curva parametrizada. Podemos então afirmar que o trabalho realizado pelo campo de forças 2 Usando o Teorema de Green, determine: 3 Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular, onde C é a curva fechada formada por y = 0, x = 1, y = 1 e x = 0, no sentido anti-horário. onde C é a circunferência x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário? Utilize a forma parametrizada para calcular este caso. em uma partícula que percorre uma vez o círculo x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário é R.: R.: 1 R.: Sim, e a integral é igual a 0. 1 12 − 2 2 ( )1C x yI dx arctg x dy x = + −∫ 2 2 2 2 C y xdx dy x y x y + + +∫ ( ) ( )( )3 3, ( ) cosxF x y e y i y x j= − + + a) ( ) 2 π b) ( x ) 3 2 π d) ( ) 3 2 c) ( ) π 28 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 5 Usando o Teorema de Green, podemos determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao longo do caminho especificado. Se ( ) 21, , , 2 F x y xy x xy = + e a partícula começa em (5, 0), percorre o semicírculo superior x2 + y2 = 5 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x, então o trabalho realizado pelo campo de forças é: vale para o sólido limitado pelas superfícies z = x2 + y2 e z = 4. Utilize algum recurso para plotar o gráfico desse sólido. R.: Vale e a integral é igual a 24π através da superfície formada pelos planos x = 0, x = 1, y = 1, z = 0 e z = 1. R.: 3/2 a) ( x ) 250 3 c) ( ) 151 2 b) ( ) 87 d) ( ) 127 TÓPICO 2 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Verifique que o Teorema de Gauss do campo vetorial ( ) ( ) , , , ,F x y z x y z= 2 Calcule o fluxo exterior do campo vetorial ( ) ( ) , , , ,F x y z x y z= 29 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 3 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial 4 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial 5 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um campo vetorial 6 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo vetorial 7 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo vetorial através da região limitada pelos planos x = –1, x = 1, y = –1, y = 1, z = –1 e z = 1. R.: –16 através da região limitada pelo cilindro x2 + y2 ≤ 4 e os planos z = 0 e z = 1. R.: 0 através da região limitada pela esfera x2+ y2 + z2 ≤ 4. R.: 32π através de uma superfície compreendida pelo cilindro circular x2 + y2 = 9 e os planos z = 0 e z = 2. R.: 132π ( ) , ,F y x z y y x= − − − ( )2 2 2 , ,F x y z= ( )2 , ,3F x xz z= ( ) 3 3 2, , F x y z x i y j z k= + + ( ) 2, , 2 3 F x y z xi yj z k= + + 30 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III através do cubo unitário, cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,0). R.: 6 TÓPICO 3 Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Determine o fluxo do campo vetorial F(x,y,z) = (3z,4x,y) considerando o paraboloide z = 4 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície orientada para baixo. R.: –16π 2 Calcule a integral de linha 3 Calcule a integral de linha usando o Teorema de Stokes, quando usando o Teorema de Stokes, quando e C o paraboloide z = 9 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície orientada para cima. R.: 18π C F d r → → ⋅∫ C F d r → → ⋅∫ 2 3( , , ) ( ,2 , )F x y z z x y= − 31 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 4 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho 5 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho 6 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho e C é o triangulo no plano x + y + z = 1 de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) com orientação anti-horária. R.: 0 numa partícula que percorre o retângulo C limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2 no plano z = x + y, com orientação horária. numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação horária. R.: 0 realizado pelo campo vetorial realizado pelo campo vetorial C W F d r → → = ⋅∫ C W F d r → → = ⋅∫ C W F d r → → = ⋅∫ ( ) 2 3 2, , 4 F x y z x i xy j y x k= + + R.: 50 3 − ( ) 2 2, , = + + F x y z xyi x j z k 32 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação anti- -horária. R.: 0 realizado pelo campo vetorial ( ) 2 2, , = + + F x y z xyi x j z k
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