E-BOOK FENÔMENOS DE TRANSPORTE

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROF. ME. ANDRÉS JOSÉ COCATO STELUTI
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Presidente da Mantenedora
Ricardo Benedito Oliveira
Reitor: 
Dr. Roberto Cezar de Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Gisele Colombari Gomes
Diretora de Ensino
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Edson Dias Vieira
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Camila Cristiane Moreschi
Danielly de Oliveira Nascimento
Fernando Sachetti Bomfim
Luana Luciano de Oliveira
Patrícia Garcia Costa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................5
1 DIMENSÕES E UNIDADES DE MEDIDA ...................................................................................................................6
2 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL ..........................................................................................................................9
3 FLUIDOS .................................................................................................................................................................... 11
3.1 DEFINIÇÃO DE FLUIDO .......................................................................................................................................... 11
3.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO – LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE .............................................................. 13
4 PRESSÃO E ESTÁTICA DOS FLUIDOS.....................................................................................................................20
4.1 TEOREMA DE STEVIN ........................................................................................................................................... 21
4.2 LEI DE PASCAL ......................................................................................................................................................24
4.3 CARGA DE PRESSÃO ............................................................................................................................................26
4.4 MEDIDORES DE PRESSÃO ...................................................................................................................................27
ESTÁTICA DOS FLUIDOS
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
4.4.1 EQUAÇÃO MANOMÉTRICA ................................................................................................................................28
5 EMPUXO ...................................................................................................................................................................34
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................35
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INTRODUÇÃO
O grande alcance dos fenômenos de transporte é essencial para o entendimento de muitos 
processos em engenharia, agricultura, meteorologia, fisiologia, biologia, química analítica, ciência 
dos materiais, farmácia e outras áreas. Fenômenos de transporte é um ramo bem desenvolvido da 
física, além de eminentemente útil, que permeia muitas áreas da ciência aplicada.
O assunto fenômenos de transporte inclui três tópicos intimamente relacionados: 
dinâmica dos fluidos, transferência de calor e transferência de massa. A dinâmica dos fluidos 
envolve o transporte de momento, a transferência de calor lida com o transporte de energia, e 
a transferência de massa diz respeito ao transporte de massa de várias espécies químicas. Esses 
três fenômenos de transporte, em geral, ocorrem simultaneamente em problemas industriais, 
biológicos, agrícolas e meteorológicos; na verdade, a ocorrência de qualquer um dos processos 
de transporte isoladamente é uma exceção em vez de uma regra (BIRD, 2013).
Os assuntos tratados em cada um dos tópicos de fenômenos de transporte são extensos 
e – como já dito – com muitas aplicações na engenharia. Como este material destina-se ao curso 
de engenharia elétrica, serão abordados, preferencialmente, os temas mais relevantes para este 
curso – que, neste caso, são a dinâmica dos fluidos e a transferência de calor. A transferência de 
massa será tratada de forma bem mais superficial.
As ferramentas matemáticas necessárias para descrever esses fenômenos são muito 
similares, e o conhecimento do cálculo diferencial integral se faz necessário. As equações 
matemáticas são dadas, na sua forma geral, em três dimensões, usando a notação vetorial (ou 
tensorial – quando for o caso). Para fins práticos e objetivos deste material, as equações matemáticas 
serão dadas e aplicadas em uma dimensão (unidimensional), simplificando, significativamente, o 
rigor matemático aplicado aos problemas.
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1 DIMENSÕES E UNIDADES DE MEDIDA
Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um 
fenômeno, passível de ser medida e, ainda, pode-se atribuir um valor numérico. A medição de 
uma grandeza pode ser efetuada por comparação direta com um padrão ou com um aparelho 
de medida (medição direta) ou, ainda, pode ser calculada através de uma expressão conhecida, à 
custa das medições de outras grandezas (medição indireta).
Uma dimensão é uma medida de uma grandeza física (sem os valores numéricos), 
e a unidade é uma forma de atribuir um número a essa dimensão. O Quadro 1 apresenta as 
dimensões primárias (ou dimensões fundamentais).
Dimensão Símbolo Unidades SI Unidade inglesa
Massa M kg (quilograma) lb (libra)
Comprimento L m (metro) ft (pé)
Tempo T s (segundo) s (segundo)
Temperatura θ k (kelvin) R (rankine)
Corrente elétrica I A (ampére) A (ampére)
Quantidade de luz C cd (candela) cd (candela)
Quantidade de matéria N mol mol
Quadro 1 – As dimensões primárias e suas unidades. Fonte: Os autores.
Exemplo 1
A velocidade (V) de um objeto é dada pela razão entre o deslocamento do objeto 
em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido o 
objeto se desloca. Usando colchetes [ ] para denotar “a dimensão de”, a dimensão da 
grandeza velocidade é . Já a aceleração (a) é a grandeza que determina a 
variação da velocidade em relação ao tempo. Em outras palavras, ela indica o aumento 
ou a diminuição da velocidade com o passar do tempo. Assim, a dimensão da grandeza 
aceleração é . 
Exemplo 2
Considere a Segunda Lei de Newton, que diz . Assim, temos que a grandeza 
força tem dimensão de 
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Exemplo 3
O termo pressão é utilizado em diversas áreas da ciência, como uma grandeza escalar 
que mensura a ação de uma ou mais forças sobre um determinado espaço, podendo este 
ser líquido, gasoso ou mesmo sólido. A pressão é uma propriedade intrínseca a qualquer 
sistema. Para problemas que envolvem gases e sólidos, a expressão matemática utilizada 
para expressar pressão é dada por em que F é a força normal, e A é a área. Assim, 
temos que a grandeza pressão tem dimensão de 
Exemplo 4
Energia em engenharia é um conceito extremamente importante e representa a 
capacidade de produzir trabalho. Esse conceito é também usado em outras áreas 
científicas, como a biologia, física e química. Energia potencial é a energia que pode ser 
armazenada em um sistema físico e tem a capacidade de ser transformada em energia 
cinética. A energia potencial é a energia que corresponde ao trabalho quea força peso 
realiza. A energia potencial pode ser equacionada como , em que m é a 
massa do corpo, g é a aceleração gravitacional e h é a altura em que se encontra o objeto 
de massa m em relação a um nível de referência.
Dessa forma, a dimensão de energia potencial é 
Por outro lado, a energia cinética é a forma de energia que os corpos em movimento 
possuem e é proporcional à massa e à velocidade da partícula que se move. A energia 
cinética é equacionada como em que m é a massa do objeto, V é a velocidade 
e 1∕2 é uma constante adimensional.
Dessa forma, a dimensão de energia cinética é Observe que 
tanto energia potencial quanto energia cinética apresentam a mesma dimensão. Isso já 
era de se esperar, pois se tratam da mesma grandeza física.
Exemplo 5
(ITA) Certa grandeza física A é definida como o produto da variação de energia de 
uma partícula pelo intervalo de tempo em que esta variação ocorre. Outra grandeza, 
B, é o produto da quantidade de movimento da partícula pela distância percorrida. A 
combinação que resulta em uma grandeza adimensional é 
(A) AB (B) A/B (C) A/B2 (D) A2/B (E) A2B 
Solução: Segue, do enunciado, que A = ∆E.∆t, em que ∆E é a variação de energia e ∆t 
é a variação do tempo. Por outro lado, temos que B = Q.d, em que Q é a quantidade 
de movimento e d é a distância percorrida. Assim, a dimensão da grandeza A é [A] = 
M.L2.T–2.T = M.L2.T–1 e a da grandeza B é [B] = M.L.T–1.L = M.L2.T–1. Como [A] = [B], 
segue que a razão entre as grandezas A e B resulta em uma grandeza adimensional.
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Exemplo 6
(ITA) Considere um corpo esférico de raio R, totalmente envolvido por um fluido com 
velocidade média V. De acordo com a lei de Stokes, para baixas velocidades, esse corpo 
sofrerá a ação de uma força de arrasto viscoso dada pela equação F = 6πRV∆, em que 
6π é uma constante adimensional e ∆ é uma propriedade do fluido. A dimensão de ∆ é
(A) LT–1. (B) LT–2 (C) MLT-2 (D) MLT-3 (E) ML-1 T-1.
Solução: Segue, do enunciado, que F = 6πRV∆, em que F é força (cuja dimensão é [F] = 
MLT-2), R é o raio (cuja dimensão é L), V é a velocidade (cuja dimensão é [V] = L T-1) e 
∆ é a grandeza cuja dimensão se deseja avaliar. Assim,
MLT-2 = LLT-1 [∆] → [∆] = ML-1T-1
Ou seja, a dimensão da grandeza ∆ é ML-1T-1, e responde à questão a alternativa (E).
O conhecimento acerca das dimensões e unidades de algumas grandezas físicas 
ajuda, e muito, no entendimento de algumas grandezas físicas. Na tabela a seguir, 
são apresentadas algumas grandezas físicas, suas dimensões e unidades no SI e 
no sistema inglês de unidades.
Grandeza Dimensão Unidades SI Unidades inglesas
Área L2 m2 ft2
Volume L3 m3 ft3
Velocidade L T-1 m s-1 ft s-1
Aceleração L T-2 m s-2 ft s-2
Força M L T-2 kg m s-2 lb ft s-2
Pressão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Tensão M L2 T-2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Massa específica M L3 kg m-3 lb ft-3
Viscosidade M L-1 T-1 kg m-1 s-1 lb ft-1 s-1
Energia M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Trabalho M L2 T2 kg m2 s-2 lb ft2 s-2
Potência M L2 T3 kg m2 s-3 lb ft2 s-3
Vazão volumétrica L3 T-1 m3 s-1 ft3 s-1
Vazão mássica M T-1 kg s-1 lb s-1
Quadro 2 - Grandezas físicas. Fonte: Os autores.
Algumas unidades recebem nomes especiais. A saber: 1 kg m-1 s-2 = 1 Pa 
(lê-se 1 Pascal); 1 M L2T-2 = 1 J (lê-se 1 Joule); 1 ML2T-3 = 1 W (lê-se 1 Watt).
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Exemplo 7
No século XIX, Osborne Reynolds estudou a transição entre os regimes laminar e 
turbulento em um tubo. O parâmetro que determinou o regime de escoamento, mais 
tarde, recebeu o nome de número de Reynolds, indicado por Re. O número de Reynolds 
é definido por:
em que ρ é a massa específica do fluido, V é a velocidade de escoamento, D é o diâmetro 
do tubo e μ, a viscosidade. Com base nessas informações, prove que o número de 
Reynolds é adimensional.
Solução: Segue, do enunciado, que . Assim,
Logo, o número de Reynolds é adimensional.
2 HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Todos sabem a expressão popular: “não podemos somar três maçãs com duas melancias”. 
Isso porque se tratam de coisas distintas. Na verdade, é a expressão simplificada de uma lei 
matemática mais fundamental e global, a lei da homogeneidade dimensional, enunciada como:
Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
 
Todas as equações teóricas, em qualquer ciência física, são dimensionalmente homogêneas. 
Vamos analisar os casos seguintes:
V = Vo + g.t Eq. (01)
V = Vo + g Eq. (02)
em que as unidades de V são Vo (m/s), g (m/s
2) e t (s). Vejamos primeiramente para a 
equação (1). Segue que: [V] = [Vo] + [g.t] ∴ [L/t] = [L/t] + [L/t2.t] ∴ [L/t] = [L/t]+[L/t]. Agora, 
para a equação (02), segue que: [V] = [Vo] + [g] ∴ [L/t] = [L/t] + [L/t2 ]. Note que a equação (01) 
é dimensionalmente consistente, enquanto (02) não o é.
Para serem dimensionalmente homogêneos, os termos de uma equação devem 
ter a mesma unidade.
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Exemplo 8
A equação de Bernoulli é provavelmente a equação mais discutida e utilizada em 
Mecânica dos Fluidos. Essa equação, para um escoamento irrotacional de um fluido 
incompressível, é dada por = constante , tal que P é a pressão, ρ é a massa 
específica, g é a aceleração da gravidade, V é a velocidade, e z, a cota referente à altura 
em relação à horizontal. Vamos analisar as dimensões de cada termo aditivo da equação 
de Bernoulli. Assim,
Como a dimensão de cada termo aditivo da equação de Bernoulli é a mesma e igual a 
L, segue que a essa equação segue o princípio da homogeneidade dimensional. Caso as 
dimensões de qualquer um dos termos fossem diferentes das outras, isso indicaria que 
um erro foi cometido em alguma parte da análise. 
Exemplo 9
Uma importante equação na teoria das vibrações é
em que m é a massa e x é a posição no instante t. Para uma equação dimensionalmente 
consistente, determine as dimensões de c, k e f(t).
Solução: Sabemos que é a derivada segunda da posição em relação ao tempo, ou seja, 
é a aceleração. Sabemos também que é a derivada primeira da posição em relação ao 
tempo, ou seja, é a velocidade. Assim, o termo m tem dimensão de , 
ou seja, tem dimensão de força.
Assim, os termos c e kx deverão ter dimensão de força para que a equação diferencial 
dada tenha consistência dimensional. Daí,
Portanto, as dimensões de c, k e f(t) são, respectivamente, M T-1, M T-2 e M T-2.
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3 FLUIDOS
3.1 Definição de Fluido
Numa primeira definição, podemos considerar que fluido é uma substância que não possui 
forma própria (assume o formato do recipiente) (Figura 1). Portanto, fluidos são os líquidos e os gases.
Figura 1 – Definição de fluido (líquidos e gases). Fonte: Brunetti (2005).
Sabemos que toda matéria é constituída de átomos, e estes, segundo alguns modelos 
atômicos, são constituídos por um núcleo e a eletrosfera. Daí, de acordo com essas considerações, 
a matéria é amplamente espaçada, em particular no estado gasoso. No entanto, para facilitar 
nosso estudo em Mecânica dos Fluidos, vamos assumir que a matéria é um meio contínuo e 
homogêneo e, a partir daí, podemos definir algumas propriedades dos fluidos.
A massa específica do fluido (ρ) é a massa (m) do fluido por unidade de volume (V).
Assim,
Eq. (03)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: kg ⁄ m3 , g ∕ L, g ∕ cm3, lb ∕ ft3, etc.
O volume específico do fluido (ϑ) é volume (V) do fluido ocupado por unidade de massa 
(m). Assim,
Eq. (04)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: m3 ⁄ kg, L ∕ g, cm3 ∕ g, ft3 ∕ lb, etc.
O peso específico do fluido (γ) é o produto da massaespecífica (ρ) pela aceleração 
gravitacional (g). Assim,
γ = ρg Eq. (05)
Com g = 9,8 m⁄s2. A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as 
possíveis unidades são: : N ⁄ m3 , dyna ∕ cm3, etc.
A densidade do fluido (d) é a razão do valor da massa específica (ρ) do fluido com o valor 
da massa específica (ρ) de um fluido padrão. O fluido padrão para líquidos é a água e, para gases, 
é o ar. Assim,
Eq. (06)
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A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que essa grandeza é 
adimensional.
Exemplo 10
Um recipiente de 7,5 m3 é parcialmente preenchido com 900 kg de um líquido cuja 
massa específica 2.400 kg/m3. O restante do volume do recipiente contém gás com 
massa específica igual a 3,6 kg/m3. Nesta situação, determine a massa de gás, em kg, no 
interior do recipiente.
Solução: Depreende-se do enunciado que parte do recipiente está preenchida com o 
líquido, e outra parte, com gás. Assim, pela Eq.(01), podemos determinar o volume do 
líquido contido no interior do recipiente, ou seja,
V = 0,375 m3
Como o volume do recipiente é 7,5 m3, segue que o volume de gás é igual a 7,5 - 0,375 
= 7,125m3. Aplicando novamente a Eq.(01), determina-se o valor da massa de gás no 
interior do tanque. Assim,
Portanto, a massa de gás no interior do recipiente é igual a 25,65 kg.
Exemplo 11
Dois líquidos X e Y possuem massas específicas, a 25° C, de 1000 kg/m3 e 1200 kg/
m3, respectivamente. Em um tanque mantido à temperatura constante de 25°C, serão 
misturados 160 m3 do líquido X com 240 m3 do líquido Y. Se os líquidos formarem uma 
mistura ideal, determine a massa específica média da mistura a 25° C, em kg/m3.
Solução: Depreende-se do enunciado que, para o líquido X, ρ = 1000 kg/m3 e V = 160 
m3. Já, para o líquido Y, ρ = 1200 kg/m3 e V = 240 m3. Como a mistura é ideal, segue que 
o volume final da mistura é igual à soma dos volumes dos líquidos X e Y, ou seja, 400 
m3. Aplicando a Eq.(01), determinamos a massa dos líquidos X e Y na mistura. Assim,
A massa total da mistura é igual a 448.000 kg, e a massa específica da mistura é 
determinada aplicando-se a Eq. (01). Assim,
Logo, a massa específica da mistura é igual a 1120 kg/m3.
A viscosidade do fluido (μ) é a propriedade que mede a resistência dele em escoar. Para 
obter uma equação para a viscosidade, considere que uma camada fluida seja colocada entre duas 
placas planas, paralelas e infinitas. Considere ainda que as placas estejam separadas por uma 
distância .
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No instante t = 0, considere que uma força F, constante e tangencial, seja aplicada sobre a 
placa superior, enquanto a placa inferior permanece parada. Após algum tempo, verifica-se que 
a placa superior se move continuamente sob a influência da força F, com velocidade constante 
V, como apresentado na Figura 2. Lembre-se que essa força F horizontal está sendo aplicada 
sobre uma área A da placa. A razão entre F e A é denominada tensão de cisalhamento (τ). Nessa 
experiência, o sólido e o fluido são presos entre duas placas planas, uma inferior fixa e outra 
solicitada por uma força tangencial FT constante na direção do plano da placa, conforme Fig. 2.
Figura 2 – Experiência das duas placas. Fonte: Fox, McDonald e Pritchard (2012).
Foram feitas as seguintes observações:
• O sólido se deforma angularmente até atingir uma nova configuração de equilíbrio 
estático, enquanto o fluido se deforma continuamente;
• Os pontos do fluido em contato com a placa superior adquirem a mesma velocidade v 
da placa superior, e os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficam parados junto 
a ela. Ou seja, os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida aderem aos 
pontos dela, com as quais estão em contato (princípio da aderência).
Pode-se, então, dizer que fluido é uma substância que se deforma continuamente quando 
submetido a uma força tangencial constante.
3.2 Tensão de Cisalhamento – Lei de Newton da Viscosidade
Avaliando com mais detalhes a experiência das duas placas, define-se uma importante 
propriedade dos fluidos – a viscosidade absoluta. Para tal, será necessária a definição de tensão 
de cisalhamento (τ).
Na Figura 3, uma força F é aplicada a uma área (A). A força F pode ser decomposta em 
duas componentes: normal (FN) e tangencial (FT). A relação entre a componente tangencial (FT) e 
a área (A) de aplicação da força é definida como tensão de cisalhamento (τ).
Tensão de cisalhamento → (N/m2 – SI).
Figura 3 – Definição de tensão de cisalhamento (τ). Fonte: Brunetti (2005).
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Na experiência das duas placas, após um intervalo de tempo dt, a placa superior adquire 
velocidade constante (v0). Isso demonstra que a força externa (FT) é equilibrada por forças internas 
ao fluido, visto que, não existindo aceleração, a força resultante deve ser nula (2ª Lei de Newton).
A variação da velocidade do fluido (de zero na placa inferior até v0 na placa superior – 
princípio da aderência) na direção y gera o deslizamento entre camadas adjacentes do fluido.
Figura 4 – Diagrama de velocidade e forças viscosas. Fonte: Brunetti (2005).
O deslizamento entre camadas origina tensões de cisalhamento, que, multiplicadas pela 
área da placa, originam uma força tangencial interna ao fluido. A Figura 4 mostra o aparecimento 
das tensões de cisalhamento internas (τ) devido à velocidade relativa v1 – v2. Newton verificou 
que, em muitos fluidos, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade, 
estabelecendo a seguinte lei: 
Lei de Newton da Viscosidade - a tensão de cisalhamento (τ) é diretamente proporcional 
ao gradiente de velocidade .
Eq. (07)
Para estabelecer a igualdade da relação da lei de Newton, é definida a constante de 
proporcionalidade, denominada viscosidade absoluta ou dinâmica, como na Equação 08. Os 
fluidos que obedecem a essa lei são chamados fluidos newtonianos.
 
Eq. (08)
Fluido ideal é aquele cuja viscosidade é nula, ou seja, não há forças tangenciais de atrito 
entre as camadas adjacentes do fluido (não existe na prática).
A maior parte dos fluidos comuns (como água, ar, gasolina e óleo) são fluidos newtonianos. 
Creme dental, piche, tintas e soluções de amido são exemplos de fluidos que não seguem a lei de 
Newton da viscosidade, e esses fluidos são denominados fluidos não newtonianos. 
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Para os fluidos newtonianos, há uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a 
taxa de deformação e, para os fluidos não newtonianos, a relação é não linear, como pode ser 
observado na Figura 5.
Figura 5 – Fluidos newtonianos e não newtonianos. Fonte: Os autores.
Os fluidos não newtonianos apresentam viscosidade aparente (η). Os fluidos 
pseudoplásticos são aqueles para os quais os valores da viscosidade aparente diminuem à medida 
que se aumenta a taxa de deformação e são exemplos de fluidos pseudoplásticos: soluções com 
partículas em suspensão, soluções poliméricas e outros. Os fluidos dilatantes têm os valores da 
viscosidade aparente aumentados à medida que se aumenta a taxa de deformação e são exemplos 
de fluidos dilatantes: areia em suspensão, solução de amido e outros. Existem fluidos, como creme 
dental, que inicialmente resistem a baixos valores de taxa de cisalhamento (e se comportam como 
sólidos inicialmente) e, ao excederem um valor limite de tensão, passam a escoar como um fluido. 
Esse tipo de fluido é denominado plástico de Bingham.
A viscosidade em líquidos e gases é afetada fortemente pela temperatura. Em líquidos, o 
aumento da temperatura ocasiona diminuição no valor da viscosidade. Isso porque, em líquidos, 
a viscosidade é causada pela coesão entre as moléculas e, à medida que se tema temperatura 
aumentada, há distanciamento entre as moléculas, o que, por sua vez, diminui a coesão e, por 
consequência, há diminuição do valor da viscosidade. Já nos gases, a viscosidade é causada pelos 
choques entre as moléculas gasosas. Dessa maneira, um aumento na temperatura ocasionará 
aumento no número de colisões entre as moléculas, o que, consequentemente, aumentará o valor 
da viscosidade.
A viscosidade cinemática do fluido (ν) é a razão entre os valores da viscosidade absoluta 
do fluido e a sua massa específica. Assim,
Eq. (09)
A análise das dimensões dessa grandeza nos permite afirmar que as possíveis unidades 
são: m2 ⁄ s, cm2 ∕ s, etc.
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Viscosidade absoluta, viscosidade aparente e viscosidade cinemática? E agora, 
professor???
A viscosidade é a propriedade inerente ao fluido, pela qual este oferece resistência 
ao cisalhamento, isto é, trata-se da medida da resistência do fluido à fluência quando 
sobre ele atua uma força exterior. Dessa maneira, não se pode confundir viscosidade 
absoluta, viscosidade aparente e viscosidade cinemática. A viscosidade absoluta 
(ou dinâmica) é a viscosidade apresentada por fluidos que seguem a Lei de 
Newton da Viscosidade (fluidos newtonianos) e é constante, independentemente 
dos valores da tensão de cisalhamento e taxa de deformação às quais o fluido está 
submetido. Por outro lado, os fluidos não newtonianos (aqueles que não seguem 
a Lei de Newton da Viscosidade) apresentam viscosidade aparente, e esse valor 
varia de acordo com a tensão de cisalhamento e taxa de deformação às quais 
esse fluido está submetido. Por fim, a viscosidade cinemática é a razão entre o 
valor da viscosidade (absoluta ou aparente) e a massa específica do fluido.
A decomposição de forças num plano inclinado é de grande 
importância para entendermos alguns fenômenos, e isso nos 
auxiliará na resolução do próximo exemplo.
Assista ao vídeo Dinâmica - Entendendo o plano inclinado.
Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=99uVkglDDn0.
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Exemplo 12
Um experimento consiste em um sistema de duas placas, sendo que uma está imóvel 
(v1 = 0), e a outra é puxada com uma força horizontal por unidade de área igual a 15 Pa, 
como ilustrado na Figura 6.
Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Um fluido viscoso ocupa o espaço entre as duas placas, que se situam a D = 15 mm 
uma da outra. Devido à viscosidade do fluido, a placa de cima se move paralelamente à 
primeira, com v2 = 300 cm/s. Determine a viscosidade absoluta do fluido.
Solução: Admitindo que o fluido em apreço seja newtoniano, podemos usar a Eq. (08) 
e determinar o valor da viscosidade absoluta desse fluido. Note que a referida equação 
é, na verdade, uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que pode ser 
resolvida por separação de variáveis. Assim,
 
Resolvendo as integrais anteriores, isso resulta em
Dessa forma, a viscosidade do fluido pode ser calculada por meio da equação
Como e, substituindo na equação anterior, temos que a viscosidade de um fluido 
newtoniano pode ser determinada por meio da equação
Do enunciado, depreende-se que = 15 Pa, D = 15 mm = 0,015 m e V = 300 cm/s = 
3 m/s. Substituindo, temos que
Logo, o valor da viscosidade absoluta do fluido é igual a 0,075 Pa.s.
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Exemplo 13
Na Figura 7, observa-se uma placa quadrada cuja área da base é 2 m2 e massa 2 kg, 
que desliza sobre uma lâmina de óleo depositada sobre um plano inclinado em 30º em 
relação à horizontal. A viscosidade desse óleo é 0,4 Pa.s, e a espessura da lâmina é de 10 
mm. Admita que a lâmina de óleo não escorra pelo plano inclinado, que o escoamento 
entre a placa e o plano seja laminar e que a aceleração da gravidade local seja igual a 10 
m/s2. Nessas condições, determine a velocidade terminal da placa escoando pelo plano 
inclinado.
Figura 7 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Como o fluido em apreço é óleo e esses são fluidos newtonianos, a Eq. (08) 
pode ser empregada. Resolvendo essa equação diferencial, escrevemos a equação para 
determinar o valor da velocidade
em que é a espessura da camada de óleo. Do enunciado, temos que = 10mm = 
0,01m; μ = 0,4 Pa.s; m =2kg. A força que atua nesse sistema é a força peso, ou seja, P = 
2 X 10 = 20 N. No entanto, devemos considerar apenas a componente da força que atua 
paralelamente ao escoamento. Assim, efetuando a decomposição dessa força, resulta 
que a força paralela ao escoamento será FH = 20 sen(30º) = 10N. Assim, a velocidade 
terminal da placa é
Logo, a velocidade terminal da placa é igual a 0,125 m/s.
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Exemplo 14
A placa da Figura 8 está apoiada no topo de um filme fino de água, que está a 25º C. 
Quando uma força F é aplicada, o perfil de velocidade através da espessura de fluido é 
descrito por
V = 40y – 800y2
em que V está em m/s e y, em m. Nessa situação, considerando que o fluido em 
escoamento seja newtoniano, de viscosidade cinemática 10-6 m2/s e massa específica 
1000 kg/m3, determine:
A) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a superfície fixa. 
B) o valor do módulo da tensão de cisalhamento no ponto localizado sobre a placa móvel.
Figura 8 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Por hipótese, o fluido em escoamento é newtoniano e, dessa maneira, podemos 
aplicar a lei de Newton da viscosidade – Eq. (08). Assim,
Note que a taxa de deformação – – é a derivada do perfil de velocidade em relação 
ao raio, isto é, 
Assim, a expressão que calcula o valor em módulo da tensão de cisalhamento é dada 
por: τ=[40-1600y]μ. Como μ=ν ρ, segue que τ = [40-1600y]νρ.
Do enunciado, depreende-se que ν = 10-6 m2/s; ρ = 1000 kg/m3. Substituindo na equação 
anterior, segue que τ = [40-1600y] × 10-6 × 1000
Logo, o valor do módulo da tensão de cisalhamento na superfície fixa (y = 0) é
τ = [40 – 1600 × 0] × 10-6 × 1000 = 0,04 Pa
Temos, ainda, que a tensão de cisalhamento num ponto localizado sobre a placa móvel 
(y = 15 mm = 0,015 m) é
Τ = [40 – 1600 × 0,015] × 10-6 × 1000 = 0,016 Pa
Note que o maior valor de tensão de cisalhamento se desenvolveu sobre a superfície fixa, 
e não sobre a superfície móvel, pois o gradiente de velocidade é máximo na superfície 
fixa.
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4 PRESSÃO E ESTÁTICA DOS FLUIDOS
A estática dos fluidos é a parte da mecânica dos fluidos que estuda o comportamento do 
fluido em uma condição de equilíbrio estático. O ponto fundamental desse estudo será o conceito 
de pressão.
Pressão média é definida como a força normal (FN) exercida sobre um fluido por unidade 
de área (A), como apresenta a equação a seguir:
Eq. (10)
A unidade de pressão no SI é o N/m2 (newton por metro quadrado), que usualmente é 
conhecido por Pascal (Pa). Podemos fazer uso das unidades: 1kPa = 103 Pa = 103 N/m2 e, também, 
1MPa = 106 Pa = 106 N/m2.
Outros exemplos de unidades de pressão, baseadas na sua definição (P=F/A), são: kgf/m2, 
kgf/cm2, lbf/in2 (psi), N/cm2 etc.
Note que a pressão é diretamente proporcional à força e inversamente proporcional à 
área de aplicação da força, ou seja, quanto menor a área, maior será a pressão, como ilustrado 
na Figura 9, na qual é aplicada uma força normal F= 100 N no êmbolo de dois pistões de áreas 
diferentes, e as pressões resultantes são diferentes.
 
Figura 9 – Definição de pressão. Fonte: Brunetti (2005).
Pressão atmosférica (Patm): é a pressão que o ar, presente na atmosfera, exerce sobre 
a superfície do planeta. A pressão atmosféricavaria com a altitude, sendo que, em pontos 
mais elevados (de maior altitude), a pressão é menor. Por esse motivo, o valor de referência da 
pressão atmosférica é medido em relação ao nível do mar, numa unidade denominada atmosfera 
(atm). Uma outra unidade de medida utilizada é o milímetro de mercúrio (mm Hg) devido ao 
experimento de Torricelli, que mostrou que a pressão atmosférica ao nível do mar equivale à 
pressão exercida por uma coluna de 760 mm de mercúrio (Hg).
A seguir, são mostradas algumas relações de unidades de pressão (algumas delas serão 
discutidas em tópicos posteriores).
Patm = 1atm = 760 mm Hg = 101,23 kPa = 1,033 kgf/cm
2 = 14,7psi = 10,33 mca = 1,01bar
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A pressão atmosférica também é denominada pressão barométrica devido ao fato de o 
barômetro ser um instrumento utilizado para sua medida.
A pressão em uma dada posição é denominada pressão absoluta e é medida em relação 
ao vácuo absoluto. No entanto, a maioria dos dispositivos medidores de pressão é calibrada 
para efetuar a leitura do zero na pressão atmosférica, e essa pressão é denominada de pressão 
manométrica, como pode ser observado na Figura 10. Assim,
Pressãoabsoluta = Pressãoatmosférica + Pressãomanométrica Eq. (11)
Figura 10 – Pressão absoluta e pressão manométrica. Fonte: Os autores.
A pressão é uma grandeza escalar, isto é, ela tem uma intensidade, e não uma direção 
específica. Dessa forma, a pressão, em qualquer ponto de um fluido, é igual em todas as direções. 
A magnitude do valor da pressão em fluidos aumenta com o aumento do valor da profundidade, 
e esse fato é apresentado pelo Teorema de Stevin.
4.1 Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do 
peso específico (y) do fluido pela diferença de cotas dos dois fluidos (∆h). A Figura 11 mostra a 
diferença de pressão entre A e B.
Figura 11 – Teorema de Stevin. Fonte: Fox, McDonald e Pritchard (2012).
Escrevendo o Teorema de Stevin como uma equação, temos:
P = γ ∆h = ρ g ∆h Eq. (12)
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Desse importante teorema, podem-se ressaltar as seguintes considerações:
A pressão no interior do fluido depende somente do fluido (propriedade: peso específico 
ou densidade) e da profundidade (h). Pontos de um mesmo fluido num mesmo nível horizontal 
possuem a mesma pressão. Na Figura 12, os pontos A, B, C e D estão no mesmo nível horizontal, 
logo, têm a mesma pressão. Idem para os pontos E, F e G.
Figura 12 – Pontos de um fluido num mesmo nível horizontal. Fonte: Os autores.
A pressão exercida pelo fluido num ponto com profundidade h, medida em relação à 
superfície livre do fluido, pode ser calculada por P = γ.h (Figura 13).
Figura 13 – Pressão no interior do fluido. Fonte: O autor.
Note que, para a pressão total (ou absoluta) no ponto, a pressão atmosférica deve ser 
somada à pressão do fluido. Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota 
entre dois pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.
Exemplo 15
Um tanque cilíndrico é preenchido por um óleo cuja massa específica é igual a 2500 
kg/m3. O óleo ocupa o tanque até a altura de 5 m, sendo que, na superfície do óleo, a 
pressão é a atmosférica, que foi estimada em 105 Pa. Determine a pressão absoluta na 
base do tanque, em kPa.
Solução: Da Eq. (11), segue que a pressão absoluta é a soma da pressão atmosférica, que, 
no enunciado, é dito ser 105 N/m2, com a pressão hidrostática, que é calculada pela Lei 
de Stevin. Assim, a pressão hidrostática é
Logo, a pressão absoluta no fundo do tanque é
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Exemplo 16
A pressão absoluta medida em um ponto no fundo do Oceano Atlântico foi de 100 
atm. Sabe-se que: (i) a pressão atmosférica local equivale a 1 atm = 105 Pa; (ii) a massa 
específica da água do mar vale 1,05 x 103 kg/m3; e (iii) a aceleração da gravidade local 
é de 9,8 m/s2. Determine a profundidade, em relação ao nível do mar, onde foi feita a 
medição da pressão.
Solução: Sabemos que a pressão absoluta é a soma da pressão manométrica (ou 
hidrostática) com a pressão atmosférica. Dessa forma, depreende-se do enunciado que 
a pressão hidrostática no fundo do oceano é igual a 99 atm = 9,9 × 106 Pa. Aplicando 
a Lei de Stevin, podemos determinar o valor da altura na qual ocorre esse valor de 
pressão hidrostática.
9,9 × 106 = 1,05 x 103 × 9,8 × ∆h ⇒ ∆h = 962,1 m.
Logo, a profundidade em relação ao nível do mar era de, aproximadamente, 962,1 m.
Exemplo 17
Em uma barragem, uma comporta quadrada de 1 m de lado está posicionada a 2 m de 
profundidade, como ilustrado pela Figura 14.
Figura 14 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Sabendo que a massa específica da água é 1000 kg/m3 e a aceleração gravitacional é 10 
m/s2, determine a força que a água exerce sobre essa comporta.
Solução: Sabemos que a pressão é a razão entre a força perpendicular que atua num 
objeto pela área de atuação da força. Pela Lei de Stevin, a pressão hidrostática é 
P = ρ g ∆h = 1000 × 10 × 2,5 = 25000 Pa
Observe que ∆h=2,5m, e não 2 m. Temos que recordar que a pressão atuará no centro 
de gravidade da comporta, que, nesse caso, está a 2,5 m abaixo do nível da água na 
placa. Temos que a área da comporta é igual a 1 m2. Daí, a força que atua na placa é 
25000 = F/1 ⇒ F = 25000 N = 25 kN. Logo, a força que atua na comporta é igual a 25 kN.
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4.2 Lei de Pascal
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a 
todos os pontos do fluido. Essa lei tem relevância em dispositivos que transmitem e ampliam uma 
força por meio da pressão aplicada num fluido. Tal dispositivo é mostrado na Figura 15 – prensa 
hidráulica utilizada para elevar um carro.
Figura 15 – Prensa hidráulica. Aplicação da Lei de Pascal. Fonte: Cengel e Cimbala (2007).
A pressão P1 exercida por F1 no êmbolo 1 transmite-se integralmente para o êmbolo 2, 
de modo que P1 = P2 = P. Como A2 >> A1, tem-se um ganho mecânico considerável no êmbolo 2, 
mesmo aplicando uma força F1 de pequena intensidade. Matematicamente: 
A prensa hidráulica é o exemplo clássico da aplicação do Princípio 
de Pascal.
Para visualizar o funcionamento de uma prensa hidráulica, acesse 
o vídeo disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=Gg0pp61xKtQ.
https://www.youtube.com/watch?v=Gg0pp61xKtQ
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Exemplo 18
Em uma oficina, um carro encontra-se suspenso por meio de uma prensa hidráulica, 
como apresentado na Figura 16. 
Figura 16 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
O diâmetro, D, do êmbolo maior que sustenta o carro é igual a 30 cm, enquanto que o 
diâmetro, d, do êmbolo menor é igual a 2,5 cm. Considere que o fluido interno na prensa 
seja ideal e que as massas dos êmbolos sejam desprezíveis. Se a massa do carro, suspenso 
no êmbolo de maior diâmetro, é de 2000 kg, determine a força a ser desenvolvida pelo 
compressor de ar (B) para subir o macaco (A) à velocidade constante.
Solução: Segue do Princípio de Pascal que a pressão exercida pelo compressor é 
transmitida igualmente para todos os pontos no interior da prensa. Dessa forma, como 
o sistema está em equilíbrio estático, escrevemos
em que P é a pressão, F é a força normal e A é a área. Como a força que atua no sistema 
é o peso e essa grandeza é o produto da massa do objeto com a gravidade, segue, após 
simplificações algébricas, que
em que m é a massa e d, D são diâmetros dos êmbolos menor e maior, respectivamente, 
e g é a aceleração gravitacional. Daí,
Logo, a força a ser desenvolvida pelo compressor é de 138,9 N.
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4.3 Carga de Pressão
Segundo o teorema de Stevin, P = γ.h, pressão e altura mantêm uma relação constante 
para um mesmo fluido. É possível expressar, então, a pressão num certo fluido em unidade de 
comprimento – relativo à unidade de altura: 
Essa altura, h, é denominada carga de pressão. É bastante comum, na prática, expressar a 
carga de pressão num ponto de tomada de pressão. A unidade de comprimento usualmente vem 
acompanhada da especificação do fluido. Exemplos de medidas de carga de pressão: m.c.a. (metros 
de coluna d’água); mmHg (milímetros de mercúrio), cmHg (centímetros de mercúrio) etc.
Num fluido estático, a determinação da carga de pressão num ponto do fluido é óbvia, 
conforme mostra a Figura 17, em que as cargas de pressão nos pontos A e B são hA e hB, 
respectivamente. 
Figura 17 – Carga de pressão nos pontos A e B. Fonte: Brunetti (2005).
Num fluido escoando numa tubulação sob determinada pressão, pode-se verificar a carga 
de pressão de fluido por meio da abertura de um pequeno orifício no tubo, canalizando o fluido 
num tubo de vidro acoplado ao orifício, conforme mostra a Figura 18. O fluido no tubo de vidro 
“sobe” até uma altura h, correspondente à carga de pressão do fluido. Esse dispositivo pode ser 
utilizado para medir pressão e é denominado piezômetro.
Figura 18 – Esquema de um piezômetro. Fonte: Brunetti (2005).
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4.4 Medidores de Pressão
O manômetro é o instrumento utilizado para se efetuar a medição da pressão. No setor 
industrial, existem diversos tipos e aplicações para os manômetros. Alguns exemplos são:
a) Manômetros utilitários: Recomendo para compressores de ar, equipamentos 
pneumáticos, linhas de ar, de gases, de líquidos e instalações em geral.
b) Manômetros industriais: São manômetros de construção robusta, com 
mecanismo reforçado e recursos para ajuste. São aplicados como componentes 
de quase todos os tipos de equipamentos industriais.
c) Manômetros herméticos ou com glicerina: São manômetros de construção 
robusta, com mecanismo reforçado e recursos para ajuste. Com a caixa estanque, 
pode ser enchida com líquido amortecedor (glicerina ou silicone). Adaptam-
se especialmente às instalações submetidas a vibrações ou pulsações da linha 
quando preenchida com líquido amortecedor.
[...]
f) Manômetros de baixa pressão (mmca): São manômetros capsular de latão ou de 
aço inox, para medir pressões baixas, aplicadas nos equipamentos de respiração 
artificial, ventilação e ar condicionado, teste de vazamentos, queimadores, 
secadores, etc. Recomenda-se não operar diretamente com líquidos, pois estes 
alteram seu funcionamento.
[...]
h) Manômetros sanitários: Os manômetros com selo sanitário, são construídos 
totalmente de aço inoxidável para aplicações em indústrias alimentícias, 
químicas e farmacêuticas (RODRIGUES, 2018).
Outros exemplos: manômetro para amônia (HH3), manômetro de dupla ação, manômetro 
diferencial, manômetro com contato elétrico, manômetros digitais, manômetro para freon etc.
Dentre os principais tipos de manômetros, destacamos o manômetro metálico ou de 
Bourbon e os manômetros com tubo em U.
Manômetro metálico ou de Bourbon: são muito empregados para medidas de pressões 
e depressões. A leitura é feita na escala efetiva, quando a parte externa do manômetro estiver 
exposta à pressão atmosférica. No caso de estar exposto a uma pressão externa diferente da 
atmosférica, a pressão lida será a diferença entre a pressão na tomada de pressão e a pressão 
externa – Figura 19.
Figura 19 – Leitura no manômetro de Bourbon. Fonte: Brunetti (2005).
Coluna Piezométrica ou piezômetro: faz a leitura da carga de pressão h, conforme 
discutido anteriormente. Consiste em um tubo de vidro simples, que, ligado ao reservatório, 
permite medir diretamente a altura h, conforme Figura 20. Algumas restrições a seu uso são: a) 
não são adequados para líquidos de baixo peso específico (o valor de h será muito grande); b) não 
servem para medição de gases, pois escapam; c) não medem pressões negativas.
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Figura 20 – Piezômetro ou coluna piezométrica. Fonte: Cengel e Cimbala (2007).
Manômetro com tubo em U: nesse tipo de manômetro, corrigem-se as restrições do 
piezômetro com a instalação de um tubo em U, com a presença de um fluido manométrico de elevado 
peso específico (usualmente mercúrio γHg = 13,6) no ponto de tomada de pressão –Figura 21.
Figura 21 – Tubo em U com fluido manométrico. Fonte: Fox (2009).
Os manômetros de tubo em U ligados a dois reservatórios – Figura 22 – chamam-se 
manômetros diferenciais, pois medem a diferença de pressão.
Figura 22 – Manômetro diferencial. Fonte: Brunetti (2005).
4.4.1 Equação manométrica
 É a expressão que permite, por meio de um manômetro de tubo em U, determinar a 
pressão de um reservatório (ou tanque) ou a diferença de pressão entre dois reservatórios – ponto 
onde se pretende medir a pressão. Para determinar essa expressão, basta aplicar o teorema de 
Stevin e, segundo Pascal, a pressão se transmite integralmente a todos os pontos de um fluido em 
repouso. Veja dois casos em que é feita a análise para obtenção da equação manométrica.
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CASO 1: Deseja-se medir a pressão do gás contido no tanque mostrado na Figura 23. 
Para tal, utilizou-se um manômetro em U com um fluido manométrico (γM).
Figura 23 – Medida da pressão de um tanque gás com manômetro em U. Fonte: Os autores.
a. A pressão do gás equivale à pressão no ponto (1), visto que o gás tem pequeno peso 
específico e, assim, a pressão pode ser considerada a mesma em todos os pontos ocupados 
pelo gás.
b. Os pontos (1) e (2) estão no mesmo nível horizontal, portanto, segundo a lei de Stevin, 
P1 = P2.
c. Para o cálculo de P2, deve-se considerar a pressão das colunas de fluido que estão acima 
do ponto (2): Patm (pois o tubo é aberto para atmosfera) mais a pressão da coluna h do 
fluido manométrico (P = γM.h), de modo que P2 = Patm + γM.h. 
No caso de líquidos, normalmente é utilizada a escala efetiva com Patm =0.
d. Portanto, pode-se calcular Pgas (= P1) a partir da equação:
CASO 2: Deseja-se obter a equação manométrica para determinar a pressão diferencial 
(P1 – P2) entre os pontos (1) e (2) de uma tubulação onde escoa um fluido com massa específica 
(ρ1) – Figura 24.
Figura 24 – Manômetro diferencial em U. Fonte: Cengel e Cimbala (2007).
a. Nos pontos (1) e (2), é acoplado um tubo em U com a presença de um fluido manométrico 
de massa específica (ρ2).
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b. Note que a configuração de equilíbrio que se estabelece no manômetro indica que a 
pressão no ponto 1 é maior que a pressão no ponto 2.
c. No manômetro, os pontos A e B estão num mesmo nível horizontal; logo, PA = PB.
d. Para obter a pressão em A e B, consideram-se as colunas de fluidos que estão acima desses 
pontos mais a pressão na tubulação (P1 e P2); logo:
Igualando os termos, PA = PB, e rearranjando, obtém-se:
 ou
e. Note que a pressão exercida pelo fluido (1), com altura ‘a’, nos dois ramos do manômetro 
não precisaria ser considerada nos cálculos, pois se cancela.
Segundo Brunetti (2005), a seguinte regra pode ser aplicada para determinar a equação 
manométrica num manômetro em U: começando do lado esquerdo – no manômetro mostrado 
na Figura 25 –, soma-se a pressão PA à pressão das colunas descendentes e subtrai-se aquela das 
colunas ascendentes. Note que as cotas são sempre dadas até a superfície de separação de dois 
fluidos do manômetro. Tem-se, portanto:
Figura 25 – Regra para obter equação manométrica. Fonte: Brunetti (2005).
Para um estudo mais detalhado dos tópicos apresentados nesta unidade,com 
discussão e resolução de exercícios, leia o Capítulo 3 (Pressão e Estática dos 
Fluidos) do livro Mecânica dos Fluidos - Fundamentos e Aplicações (de Cengel e 
Cimbala, pela editora McGrawHill).
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Exemplo 19
Considere o manômetro em U da Figura 26 e determine a equação manométrica que 
permite o cálculo da diferença de pressão entre os pontos A e B. Na figura, considere 
que γ1, γ2 e γ3 são os pesos específicos dos fluidos 1, 2 e 3, respectivamente, e que h1, h2 
e h3 são, respectivamente, os valores das alturas das colunas de fluidos 1, 2 e 3.
Figura 26 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Admita que PA e PB sejam os valores das pressões nas tubulações nos pontos A 
e B, respectivamente. Para determinar a equação manométrica dessa instalação, vamos 
iniciar as tomadas das medidas das pressões das colunas de fluidos a partir do lado 
esquerdo. Assim,
No ponto A e no ponto 1, as pressões são as mesmas (lembre-se de que nos pontos 
onde o fluido é o mesmo, na mesma cota as pressões são iguais). Entre os pontos 1 e 2, 
descemos uma coluna contendo o fluido 1, de altura h1. Logo, essa pressão é positiva e, 
pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de ∆P12 = γ1 . h1.
Nos pontos 2 e 3, as pressões são idênticas. Entre os pontos 3 e 4, subimos uma coluna 
contendo o fluido 2, de altura h2. Logo, essa pressão é negativa e, pela Lei de Stevin, seu 
valor é calculado por meio de ∆P34 = –γ2 . h2.
Entre os pontos 4 e 5, subimos uma coluna contendo o fluido 3, de altura h3. Logo, essa 
pressão é positiva e, pela Lei de Stevin, seu valor é calculado por meio de ∆P45 = –γ3 . h3.
Nos pontos 5 e B, as pressões são as mesmas. Assim, juntando esses valores, temos a 
equação manométrica escrita como:
PA + γ1 h1 - γ2 h2 - γ3 h3 = PB
Assim, a diferença de pressão entre os pontos A e B é dada por:
PA - PB = ∆P = γ2 h2 + γ3 h3 - γ1 h1
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Exemplo 20
O sistema ilustrado na Figura 27 foi utilizado para medir a pressão do gás contido no 
interior de um botijão de gás doméstico. O fluido manométrico é o mercúrio (Hg), cuja 
massa específica é 13600 kg/m3.
Figura 27 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Sabendo-se que, no local, a aceleração da gravidade é 10 m/s2 e que a pressão atmosférica 
é 8,00 x 104 Pa, determine o valor da pressão exercida pelo gás, em Pa.
Solução: Admita que PB seja o valor da pressão no interior do botijão. Assim, escrevemos 
a equação manométrica para o sistema da seguinte maneira:
PB - 0,40 × 10 × 13600 = Patm
PB - 54400 = 80000 ⇒ PB = 134400 Pa
Logo, a pressão absoluta no interior no botijão é igual a 134,4 kPa. Caso queiramos 
determinar apenas a pressão hidrostática, fazemos na equação manométrica anterior 
Patm = 0. Assim, a pressão manométrica correspondente é:
PB - 54400 = 0 ⇒ PB = 54400 Pa = 54,4 kPa
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Exemplo 21
No manômetro ilustrado na Figura 28, instalado em uma aula prática de mecânica dos 
fluidos, o fluido manométrico é o mercúrio, de massa específica 13,6 g/cm3. Há água, de 
massa específica 1,00 g/cm3 no ramo esquerdo, e óleo, de massa específica 0,80 g/cm3 
no ramo direito. Considerando a aceleração da gravidade local g = 10 m/s2, determine 
a diferença de pressão, PB – PA, em kPa.
Figura 28 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Sejam PA e PB os valores das pressões nas tubulações nos pontos A e B, 
respectivamente. Segue do enunciado que os pesos específicos do mercúrio, água e óleo 
são iguais a 136000, 10000 e 8000 N/m3. Assim, escrevemos a equação manométrica:
PA + 0,3 × sen(30º) × 10000 + 0,6 × sen(30º) × 136000 - 0,9 × sen(30º) × 8000 = PB
Lembre-se de que, ao usar as medidas que constam na figura e que estão em centímetros, 
temos de transformá-las para metro. Daí, resolvendo a equação, temos que
PB - PA = 38700 Pa = 38,7 kPa
Logo, a diferença de pressão entre os pontos B e A é igual a 38,7 kPa.
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5 Empuxo
Acreditamos que todos que fazem a leitura deste material já entraram em uma piscina ou 
em um riacho. Vocês observaram que nos sentimos mais leves quando estamos dentro da piscina? 
Pois bem, esse fato é explicado devido ao surgimento de uma força normal que surge orientada 
para cima, denominada empuxo. Note que o empuxo é um tipo de força, e suas unidades são N, 
dyna etc.
Princípio de Arquimedes
Todo corpo, quando imerso em um fluido, sofre ação de uma força empuxo orientada 
verticalmente para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido que esse corpo desloca.
Escrevendo o princípio de Arquimedes como uma equação, temos
E = ρ g Vdeslocado Eq. (13)
em que E é o empuxo; ρ a massa específica do fluido; g a aceleração gravitacional; e 
Vdeslocado é o volume de fluido deslocado.
O peso aparente de um corpo submerso em um fluido é calculado como:
Paparente = Preal – Empuxo Eq. (14)
Exemplo 22
Um bloco no formato de um cubo de 10 cm de aresta é parcialmente submerso em um 
fluido até1/4 de sua altura. Dado que a massa específica do fluido é 900 kg/m3 e que a 
aceleração gravitacional é igual a 10 m/s2, determine o empuxo sobre o bloco em N.
Solução: Segue do enunciado que o volume de fluido deslocado é
Vdeslocado = 0,10
2 × 1/4 × 0,10 = 2,5 × 10-4 m3
Assim, o valor do empuxo é
E = 900 × 10 × 2,5 × 10-4 = 2,25 N
Logo, o valor do empuxo é igual a 2,25 N.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, vimos conceitos importantes sobre os fluidos, suas propriedades e a 
estática dos fluidos – que trata dos fluidos em repouso. A aplicação desses conceitos na resolução 
de problemas de Engenharia é de fundamental importância.
A não apresentação de exemplos de cálculos de resolução de problemas relativos aos 
conceitos abordados aqui torna necessário, por parte do estudante, a consulta em livros de 
“Mecânica dos Fluidos”. Isso será primordial para o bom entendimento dos tópicos estudados 
aqui e para a resolução das questões desta unidade.
Novamente, reforçamos a importância para o uso e conversão das unidades de medida e 
a consistência dimensional na resolução dos problemas.
A resolução de problemas e a consulta em materiais complementares serão a chave para 
o sucesso nesta disciplina.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................38
1 CONCEITOS BÁSICOS ..............................................................................................................................................39
1.1 CLASSIFICAÇÕES DE ESCOAMENTO DE FLUIDOS .............................................................................................39
1.1.1 REGIME PERMANENTE E NÃO PERMANENTE (TRANSIENTE) .....................................................................39
1.1.2 ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL E INCOMPRESSÍVEL ...................................................................................39
1.1.3 ESCOAMENTO VISCOSO E NÃO VISCOSO (FLUIDO IDEAL) ...........................................................................40
1.1.4 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO ......................................................................................................40
1.1.5 ESCOAMENTO UNIDIMENSIONAL, BIDIMENSIONAL E TRIDIMENSIONAL ................................................ 41
1.2 SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE ................................................................................................................... 41
1.3 TRAJETÓRIAS E LINHAS DE CORRENTE .............................................................................................................422 CONSERVAÇÃO DA MASSA – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE .............................................................................43
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
E EQUAÇÃO DA ENERGIA
EM REGIME PERMANENTE
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
2.1 VAZÃO EM VOLUME E EM MASSA ......................................................................................................................43
2.2 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE ........................................................................47
3 EQUAÇÃO DA ENERGIA – FLUIDO INCOMPRESSÍVEL E REGIME PERMANENTE ............................................53
3.1 TIPOS DE ENERGIA MECÂNICA ASSOCIADA AO ESCOAMENTO .....................................................................53
3.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI ....................................................................................................................................54
3.3 EQUAÇÃO DA ENERGIA – FLUIDO REAL .............................................................................................................59
3.4 EQUAÇÃO DA ENERGIA NA PRESENÇA DE MÁQUINA .....................................................................................60
3.5 POTÊNCIA DA MÁQUINA E NOÇÃO DE RENDIMENTO .....................................................................................62
3.5.1 POTÊNCIA DE BOMBA (POTB) E POTÊNCIA DA TURBINA (POTT) ................................................................62
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................64
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INTRODUÇÃO
Visto os conceitos relacionados às propriedades dos fluidos e à estática dos fluidos, nesta 
unidade vamos estudar a cinemática (ou dinâmica) dos fluidos, ou seja, o fluido em movimento. 
Para fazer uma análise qualitativa e quantitativa do escoamento, precisamos conhecer bem as 
equações de conservação de massa e energia.
Iniciaremos esta unidade definindo alguns conceitos básicos relacionados à classificação 
dos fluidos. Esses conceitos são muito importantes e permitem um maior detalhamento descritivo 
e matemático do tipo de escoamento. Após classificar os escoamentos, iremos estudar a equação 
da continuidade ou equação da conservação da massa. Neste item, é importante compreender 
bem as equações relacionadas à vazão mássica (em massa) e volumétrica (em volume), bem como 
relacionar vazão e velocidade de escoamento. Nos problemas em regime permanente, a vazão 
em massa é sempre a mesma (constante) no escoamento, enquanto a velocidade pode variar 
conforme variar a área da seção transversal do tubo (ou o diâmetro). A equação da continuidade 
será muito utilizada na resolução de problemas.
Para que o fluido escoe de um ponto a outro, deve haver diferença de energia entre os 
dois pontos. Por exemplo, o rio escoa da “montanha” para o mar devido à diferença de energia 
potencial entre esses dois pontos. Para compreender bem a equação da energia, você deverá saber 
sobre os tipos de energia mecânica associada ao escoamento (energia potencial, de pressão e 
cinética) e saber aplicá-los nas situações práticas e na resolução de problema.
A equação da energia será apresentada desde uma forma mais simples (sem perdas 
de energia e sem máquina) até uma forma mais completa, considerando as perdas e máquina 
no trecho de estudo. Também serão apresentados conceitos básicos de máquinas hidráulicas 
(bombas e turbinas) e suas implicações na equação da energia.
Bons estudos!
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1 CONCEITOS BÁSICOS
1.1 Classificações de Escoamento de Fluidos
Para melhor caracterizar o escoamento de fluidos, há uma série de classificações que 
podem ser relativas a algumas variáveis do escoamento, tais como: variação das propriedades do 
fluido (como tempo e espaço), o efeito das forças viscosas à pressão, dentre outras. A seguir, serão 
apresentadas algumas dessas classificações.
1.1.1 Regime permanente e não permanente (transiente)
No regime permanente, não há variações com o tempo, ou seja, as propriedades do fluido 
são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo – no entanto, podem variar de ponto a 
ponto. A Figura 1 mostra um exemplo prático de regime permanente: escoamento de um fluido 
pela tubulação de um tanque com nível constante (NC). No regime transiente (não permanente), 
ocorrem variações com o tempo, sendo este uma variável a ser considerada no problema.
Figura 1 – Escoamento em regime permanente. Fonte: Brunetti (2005).
Na maioria dos casos práticos (análise de processos, balanços de massa e energia, 
dimensionamento de equipamentos etc.), é considerado o regime permanente. Em nossas análises 
e problemas, consideraremos somente o regime permanente.
Nos problemas que envolvem reservatórios, consideraremos sempre o nível constante – 
regime permanente. Reservatório de grandes dimensões é um termo utilizado para considerar 
que o nível do reservatório pode ser considerado constante.
1.1.2 Escoamento compressível e incompressível
Um escoamento é classificado como compressível ou incompressível, dependendo do nível 
de variação da densidade durante o escoamento. A incompressibilidade é uma aproximação, e um 
escoamento é dito ser incompressível se a densidade permanecer aproximadamente constante em 
todos os pontos.
Portanto, o volume de cada porção do fluido permanece inalterado durante o decorrer 
de seu movimento quando o escoamento for incompressível. As densidades dos líquidos são 
essencialmente constantes, desse modo, o escoamento dos líquidos é tipicamente incompressível. 
Portanto, os líquidos são usualmente designados como substâncias incompressíveis.
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Ao analisar foguetes, espaçonaves e outros sistemas que envolvem escoamentos de gás em 
altas velocidades, a velocidade do gás é frequentemente expressa em termos do número de Mach, 
adimensional, definido pela expressão:
em que c é a velocidade do som, cujo valor é 346 m/s no ar à temperatura ambiente e ao 
nível do mar. O escoamento é denominado sônico quando Ma = 1, subsônico quando Ma < 1, 
supersônico quando Ma > 1 e hipersônico quando Ma >> 1.
Os escoamentos dos líquidos são incompressíveis com alto nível de precisão, mas o nível 
de variação da densidade nos escoamentos de gases depende do número de Mach. Os escoamentos 
de gases podem ser considerados, em geral, como aproximadamente incompressíveis se as 
mudanças de densidade estiverem abaixo de cerca de 5%, que usualmente é o caso quando Ma 
< 0,3. Portanto, os efeitos da compressibilidade do ar podem ser desprezados para velocidades 
abaixo de cerca de 100 m/s. Observe que o escoamento de um gás não é necessariamente um 
escoamento incompressível.
1.1.3 Escoamento viscoso e não viscoso (fluido ideal)
Quando duas camadas fluidas se movem uma em relação à outra, desenvolve-se uma 
força de atrito entre elas, e a camada mais lenta tenta reduzir a velocidade da camada mais 
rápida. Tal resistência interna ao escoamento é quantificada pela propriedade do fluido chamada 
viscosidade, que é uma medida da aderência interna do fluido. A viscosidade é causada por forças 
coesivas entre as moléculas num líquido e por colisões moleculares nos gases.
Não existe fluido com viscosidade nula, assim, todo o escoamento dos fluidos envolve 
efeitos viscosos de algum grau. Os escoamentos em que os efeitos do atrito são significativos 
chamam-se escoamentos viscosos. Entretanto, em muitos escoamentos de interesse prático, há 
regiões onde as forças viscosas são desprezíveis se comparadas às forças inerciais e de pressão.
1.1.4 Escoamento laminar e turbulento
Alguns escoamentos são suaves e ordenados, enquanto outrossão um tanto caóticos. 
O movimento altamente ordenado dos fluidos, caracterizado por camadas suaves do fluido, é 
denominado laminar. A palavra laminar origina-se do movimento de partículas adjacentes do 
fluido, agrupadas em “lâminas”.
O escoamento dos fluidos de alta viscosidade (como os óleos com baixas velocidades) é 
tipicamente laminar. O movimento altamente desordenado dos fluidos que ocorre em velocidades 
altas e que é caracterizado por flutuações de velocidade é chamado de turbulento. O escoamento 
de fluidos de baixa viscosidade, como o ar em altas velocidades, é tipicamente turbulento.
O regime do escoamento tem grande influência sobre a potência requerida para 
bombeamento. Um escoamento que se alterna entre laminar e turbulento é chamado transitório 
(ou de transição). Os experimentos realizados por Osborn Reynolds resultaram na criação 
do número adimensional, denominado número de Reynolds, Re, como referência para a 
determinação do regime do escoamento.
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1.1.5 Escoamento unidimensional, bidimensional e tridimensional
No escoamento unidimensional, uma única coordenada é suficiente para descrever 
as propriedades do fluido enquanto, nos escoamentos bi e tridimensional, são duas e três 
coordenadas, respectivamente. Na Figura 2, temos o diagrama de velocidade de escoamentos 
unidimensional, v=f(x), e bidimensional, v = f(x,y).
Figura 2 – Escoamentos uni e bidimensional. Fonte: Brunetti (2005).
1.2 Sistema e Volume de Controle
Um sistema é definido como uma quantidade de matéria ou região do espaço escolhida 
para estudo. A massa ou região fora do sistema é denominada vizinhança. A superfície real ou 
imaginária que separa o sistema de sua vizinhança é chamada de fronteira. A fronteira pode ser 
fixa ou móvel. Num sistema, não há transferência de massa através da fronteira do mesmo – 
porém, pode haver transferência de calor e trabalho.
Volume de controle é uma região arbitrária do espaço. O que define o volume de controle é 
a superfície de controle, que pode ser física ou conceitual (imaginária). Em geral, compreende um 
dispositivo que inclui escoamento de massa, tal como um compressor, trecho de uma tubulação, 
bomba, turbina, bocal etc.
O escoamento através desses dispositivos é mais bem estudado selecionando-se, dentro 
do próprio dispositivo, a região a ser usada como volume de controle. Ambas, massa e energia, 
podem cruzar a fronteira do volume de controle. A Figura 3 mostra um sistema que consiste 
numa massa fixa de gás contida num pistão (a fronteira pode ser móvel, havendo variação de 
volume) e um volume de controle onde há escoamento de massa através da de sua fronteira.
Figura 3 – Sistema e volume de controle. Fonte: Cengel e Cimbala (2007).
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1.3 Trajetórias e Linhas de Corrente
Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes 
sucessivos. Uma visualização da trajetória será obtida por meio de uma fotografia, com tempo 
longo de exposição, de um flutuante colorido colocado num fluido em movimento (BRUNETTI, 
2005), conforme mostra a Figura 4.
Figura 4 – Trajetória de uma partícula. Fonte: Brunetti (2005).
Linha de corrente é a linha tangente aos vetores da velocidade de diferentes partículas 
no mesmo instante – o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a certo instante 
(BRUNETTI, 2005). As linhas de corrente e as trajetórias coincidem geometricamente no regime 
permanente.
Figura 5 – Linha de corrente. Fonte: Brunetti (2005).
Tubo de corrente é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de corrente que se 
apoiam numa linha geométrica fechada qualquer.
São propriedades dos tubos de corrente:
a. Os tubos de corrente são fixos quando o regime é permanente.
b. Os tubos de corrente são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não existe passagem 
de partículas de fluido através do tubo de corrente.
Figura 6 – Tubo de corrente. Fonte: Brunetti (2005).
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2 CONSERVAÇÃO DA MASSA – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
2.1 Vazão em Volume e em Massa
A quantidade de fluido que escoa na tubulação será dada em termos de vazão. A vazão 
pode ser dada em termos volumétrico e mássico. A seguir, serão apresentadas as definições.
• Vazão em volume (Q): é a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seção 
do escoamento por unidade de tempo.
Eq. (01)
As unidades podem ser: m3/s (SI), Litros/s, m3/h ou qualquer outra unidade de volume 
por unidade de tempo. Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade 
do fluido. A vazão em volume pode ser calculada pelo produto da velocidade média do fluido e a 
área da seção transversal da tubulação:
Eq. (02)
A Figura 7 ilustra o significado físico da Eq. (02).
Figura 7 – Vazão x velocidade e área da seção do tubo. Fonte: Os autores.
Note que o produto Velocidade x Área tem as unidades de vazão:
 (SI).
No entanto, essa expressão é válida somente se a velocidade for uniforme na seção. 
Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é unidimensional; contudo, considerando 
a velocidade média na seção como uma velocidade uniforme (que, substituída no lugar da 
velocidade real, reproduziria a mesma vazão na seção), obtém-se a seguinte expressão para o 
cálculo da velocidade média:
Eq. (03)
Para efeito de cálculos e resolução de problemas, estaremos sempre considerando a 
velocidade média na seção. A Figura 8 mostra as velocidades média e real na seção de escoamento. 
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Figura 8 - Velocidade média e real do escoamento. Fonte: Brunetti (2005).
• Vazão em massa (Qm): é a quantidade, em massa, de fluido que atravessa uma dada seção 
do escoamento por unidade de tempo.
Eq. (04)
As unidades podem ser: kg/s (SI), g/s, kg/h, ton/dia ou qualquer outra unidade de massa 
por unidade de tempo. Utilizando a definição de massa específica, podemos escrever:
Eq. (05)
Eq. (06)
Exemplo 1
Uma torneira leva 200 s para encher um tanque de água de volume 10 litros. Considerando 
que a área de saída da torneira é A = 5 cm2, determine a velocidade de saída Vs da água 
na torneira, em m/s.
Solução: Considerando regime permanente e aplicando a Eq. (01), temos que a vazão 
volumétrica é igual a
Agora, aplicando a Eq. (02), segue que a velocidade de saída da água será igual a
Logo, a velocidade de saída da água pela torneira é igual a 0,1 m/s.
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Exemplo 2
(FGV) Considerando uma rede de esgotos que escoa por uma tubulação circular de 100 
mm de diâmetro, determine a vazão desse esgoto, sendo a velocidade do fluido de 1,5 
m/s:
(A) 0,0118 L/s. (B) 11,8 L/s. (C) 117,8 L/s. (D) 5,54 L/s. (E) 15,54 L/s.
Solução: Considerando o regime permanente e aplicando a Eq. (02), segue que
Logo, a vazão volumétrica é, aproximadamente, igual a 11,8 l/s, e responde à questão a 
alternativa (B).
Exemplo 3
Calcule a vazão mássica e volumétrica de um líquido que escoa por uma tubulação de 
0,3 m de diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 1,0 m/s e a massa 
específica do fluido é igual a 950 kg/m3.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (06), 
segue que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente, igual a 67,2 kg/s.
Exemplo 4
Um fluido incompressível escoa, permanentemente, com velocidade de 0,8 m/s em uma 
tubulação cilíndrica com 5,0 cm de diâmetro. Se a massa específica do fluido é igual a 
750 kg/m3, determine a vazão mássica do escoamento.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (06), 
segue que
Logo, a vazão mássica de escoamento é, aproximadamente,igual a 1,2 kg/s.
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Exemplo 5
O perfil de velocidade em um escoamento laminar, incompressível e completamente 
desenvolvido entre em um tubo circular de 15 m de comprimento, é dado pela expressão: 
em que R é o raio do tubo, r é a distância radial do centro do tubo e Vmáx é a velocidade 
máxima do escoamento que ocorre no centro do tubo, como mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Nessa situação, considerando que o fluido em escoamento seja newtoniano de massa 
específica 1000 kg/m3, Vmáx = 2 m/s e que o raio da tubulação é R = 10 cm, determine a 
velocidade média desse escoamento, em m/s.
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, temos do enunciado 
que o perfil de velocidade do escoamento pode ser escrito como:
Da Eq. (03), temos que
Na situação descrita, como a tubulação apresenta seção transversal na forma de círculo, 
segue que A = π r2 e, daí, dA = 2 π r dr. Assim, reescrevemos a Eq. (08) como:
Na integral anterior, como o escoamento é unidimensional, a variação da velocidade é 
na direção radial, e o raio está variando de 0 até 0,10 m. Assim,
Portanto, a velocidade média de escoamento é igual a 1 m/s.
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2.2 Equação da Continuidade para Regime Permanente
A equação da continuidade considera que a vazão em massa de um fluido qualquer 
(líquido ou gás) em regime permanente é constante. Isso decorre do fato de que, em regime 
permanente, não há fluxo lateral de massa num tubo de corrente. Logo, para um fluido qualquer, 
a vazão que entra no volume de controle Qm1 é igual à vazão que sai Qm2 (Figura 10).
Esse fato fica equacionado como:
 Qm = ρ V A Eq. (07)
Como Qm1 = Qm2, segue que
ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2 Eq. (08)
Figura 10 - Equação da continuidade para um fluido qualquer num tubo de corrente. Fonte: Os autores.
No caso de o fluido ser incompressível, a massa específica ρ é a mesma na entrada e na 
saída do volume (ρ1 = ρ2), logo, para fluidos incompressíveis, podemos considerar que a vazão em 
volume também é constante.
V1 A1 = V2 A2 Eq. (09)
Exemplo 6
Um gás escoa, em regime permanente, no trecho de uma tubulação como apresentado 
na Figura 11. 
Figura 11 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Na seção (A), tem-se área igual a 20 cm2, massa específica de 4 kg/m3 e velocidade igual 
a 30 m/s. Na seção (B), tem-se área igual a 10 cm2, massa específica de 12kg/m3. Qual a 
velocidade na seção (B)?
Solução: Admitindo regime permanente e aplicando a Eq. (09), segue que ρA VA AA = ρB 
VB AB. Substituindo os valores apresentados no enunciado, temos
4 × 30 × 0,002 = 12 × VB × 0,001 ⇒ VB = 20 m/s
Logo, a velocidade na seção B é igual a 20 m/s.
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Exemplo 7
Considere o escoamento de um fluido de processo industrial num tubo convergente-
divergente, tal como o da Figura 12. Considerando-se o escoamento do fluido em 
regime permanente através do tubo de Venturi apresentado e que o índice 1 se refere à 
seção de entrada do tubo e o 2, à seção da garganta, determine a velocidade na seção de 
entrada, em m/s.
Figura 12 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Admitindo regime permanente, fluido incompressível e aplicando a Eq. (09), 
segue que ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2. Como o fluido em apreço é incompressível, segue que sua 
massa específica não será modificada no escoamento. Assim, temos que V1 A1 = V2 A2.
Daí,
V1 × 0,003 = 10 × 0,0006 ⇒ V1 = 2 m/s
Logo, a velocidade na seção 1 é igual a 2 m/s.
Observações sobre a equação da continuidade de fluidos incompressíveis:
• No escoamento mostrado na Figura 13, ocorre uma redução da seção transversal do tubo 
na seção 2 (A2). Logo, a velocidade em (2) irá aumentar, visto que v1. A1 = v2. A2. No caso 
inverso (aumento da seção), a velocidade diminui.
Figura 13 - Redução da seção transversal do tubo. Fonte: Cengel e Cimbala (2007).
• No caso de os diâmetros nas seções (1) e (2) serem iguais (d1 = d2 → A1 = A2), as velocidades 
nas seções (1) e (2) serão também iguais, visto que v1. A1 = v2. A2.
• Para o caso de diversas entradas e saídas de fluidos, a equação da continuidade pode ser 
generalizada para:
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Fluido qualquer: 
Fluido incompressível: 
O sistema mostrado na Figura 14 ilustra a aplicação da equação da continuidade para 
diversas entradas e saídas.
Figura 14 - Equação da continuidade para diversas entradas e saídas. Fonte: Os autores.
Para o sistema apresentado na Figura 14, caso ele apresentasse n entradas e m saídas, a Eq. 
(11) ficaria reescrita como
Eq. (10)
A Eq. (10) é conhecida como equação da continuidade, ou lei da conservação da massa, 
e é sempre empregada quando o sistema em observação está em regime permanente.
As tubulações em série são formadas por trechos de características distintas, são 
interligadas nas extremidades e conduzem vazão constante de um dado fluido.
Por outro lado, as tubulações em paralelo são aquelas que possuem as 
extremidades de montante reunidas num só ponto, e as de jusante, em outro ponto.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 8
Um propulsor a jato queima 1,5 kg/s de combustível quando o avião está na velocidade 
de 200 m/s, como ilustrado pela Figura 15. Considerando que a massa específica do ar 
é igual a 1,2 kg/m3, dos gases de combustão de 0,5 kg/m3, e que na figura A1 = 0,45m
2 e 
A2 = 0,30 m
2, determine a velocidade de saída dos gases de combustão (V2).
Figura 15 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da 
continuidade para múltiplas entradas e saídas é escrita como
Como temos duas entradas e uma saída, a equação fica reescrita como ρ1 V1 A1 + ρ2 
V2 A2 = ρ3 V3 A3, em que os subíndices 1 e 2 denotam as entradas e 3 denota a saída. 
Como as massas específicas das duas entradas e da saída são distintas, não podemos 
simplificar a expressão anterior. Substituindo os valores, segue que:
1,2 × 200 × 0,45 + 1,5 = 0,5 × V3 × 0,30
V3 = 730 m/s
Logo, a velocidade de saída dos gases de combustão é igual a 730 m/s.
Exemplo 9
Considere o escoamento em estado estacionário de um fluido incompressível, com 
massa específica igual a 3,0 × 103 kg/m3, através de uma tubulação da Figura 16. 
Admitindo que as vazões mássicas nos pontos 2 e 3 (Figura 16) equivalem a 4,5 kg/s e 3 
kg/s, respectivamente, determine a vazão volumétrica no ponto 1, em m3/h.
Figura 16 – Representação do exercício. Fonte: Os autores.
Solução: Considerando o regime permanente, fluido incompressível e aplicando a 
Eq. (10), segue que Q1 = 4,5 + 3 = 7,5 kg/s. Aplicando a Eq. (09), segue que a vazão 
volumétrica é:
QV = 7,5 / 3000 = 2,5 × 10
-3 m3/s= 9 m3/h
Portanto, a vazão volumétrica no ponto é igual a 9 m3/h.
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Exemplo 10
Considere o escoamento permanente de água em uma junção em T que une três tubos. 
As áreas das seções dos tubos são iguais a 0,15 m2, 0,2 m2 e 0,1 m2, respectivamente. 
Sabe-se, também, que: a água entra apenas pela seção de área 0,15 m2; há um vazamento 
para fora na junção, com vazão volumétrica estimada em 0,05 m3/s; e as velocidades 
médias nas seções de 0,15 m2 e 0,1 m2 são de 15 m/s e 10 m/s, respectivamente. Qual o 
módulo da velocidade de escoamento no tubo de seção 0,2 m2, em m/s? 
Solução: Considerando regime permanente e fluido incompressível, a equação da 
continuidade para múltiplas entradas e saídas é escrita como:
Como temos uma entrada e três saídas (a terceira saída é a perda devido ao furo), 
a equação fica reescrita como