APS II - Leis da estática dos fluidos

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COORDENADORIA DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
Carlos Eduardo Penha Prado RA:2233740 
Kerol in Fernanda Tessari RA:2225895 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA I I – LEIS DA 
ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sorocaba/SP 
2022 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 BIOGRAFIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.1 B iog ra f ia de Arqu imedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.2 B iog ra f ia de Pasca l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
1.3 B iog ra f ia de S tev in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
2 EXPOSIÇÃO DAS IDEIAS, TEORIAS E/OU LEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
2.1 O pr inc íp io de A rqu imedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
2.2 Le i de Pasca l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
2.3 Le i de S tev in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 
3 IMPACTOS PRODUZIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
3.1 A rqu imedes de S i racusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
3.2 B la ise Pasca l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
3.3 S imon S tev in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 
4 DISSERTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
5 MONTAGEM DO PROJETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
6 OBSERVAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
3 
 
1 BIOGRAFIAS 
1.1 Biograf ia de Arquimedes 
Arqu imedes nasceu em 287 a .C. na co lôn ia g rega de S i racusa , 
na S ic í l ia , fo i um f í s i co , matemát ico e inven to r . É desconhec ido , 
po r exemp lo , se e le se casou ou teve f i lhos . Arqu imedes es tudou 
na esco la de matemát i ca de A lexand r ia , Eg i to , onde en t rou em 
con ta to com o que hav ia de ma is tecno lóg ico da época . 
Quando conc lu iu seus es tudos , A rqu imedes in i c iou o 
desenvo lv imento de seus p ro je tos . As ca tapu l tas , a rmas de gue r ra 
e o Pa ra fuso de A rqu imedes, u t i l i zado pa ra e leva r água , são 
exemplos de c r iações desenvo lv idas pe lo f í s i co . Out ro impor tan te 
inven to de A rqu imedes fo i o uso das a lavancas pa ra move r cargas 
pesadas. Arqu imedes d isse : “Deem -me um ponto de apo io e uma 
a lavanca e eu movere i o mundo . ” 
A rqu imedes mor reu em 212 a .C. , S i racusa . Du ran te a Segunda 
Guer ra Pún ica , quando romanos invad i ram a c idade de S i racusa . 
As ú l t imas pa lav ras de A rqu imedes fo ram: "Não pe r tu rbe meus 
c í rcu los" , uma re fe rênc ia ao p rob lema cu ja so lução b uscava , 
c í rcu los no desenho matemát i co que e le hav ia fe i to quando 
pe r tu rbado pe lo so ldado romano. 
O túmulo de A rqu imedes con t inha uma escu l tu ra i lus t rando 
sua demons t ração matemát i ca favo r i ta , cons is t indo de uma es fe ra 
e um c i l ind ro de mesma a l tu ra e d iâm et ro . A rqu imedes t inha 
p rovado que o vo lume e a á rea da supe r f í c ie da es fe ra são do is 
te rços da do c i l ind ro inc lu indo suas bases . Em 75 a .C, 137 anos 
após sua mor te , o o rado r romano Cícero es tava t raba lhando como 
questo r na S ic í l ia . E le t inha ouv ido h is tó r ias sob re o túmu lo de 
A rqu imedes, mas nenhum dos morado res fo i capaz de lhe da r a 
loca l ização . Após a lgum tempo, e le encon t rou o túmu lo p róx imo ao 
Po r tão de Ag r igen t ino em S i racusa , em cond ição neg l igenc iada e 
cobe r to de a rbus tos . Cíce ro l impou o túmu lo , e fo i capaz de ve r a 
4 
 
escu l tu ra e le r a lguns dos ve rsos que hav iam s ido ad ic ionados como 
insc r i ção . [19 ] 
As ve rsões conhec idas a respe i to da v ida de A rqu imedes 
fo ram escr i t as mui to tempo depo is de sua mor te pe los h is to r iadores 
da Roma Ant iga . O re la to do ce rc o a S i racusa dado po r Po l íb io em 
seu His tó r ia Un ive rsa l fo i esc r i to po r vo l ta de se ten ta anos depo is 
da mor te de A rqu imedes, e fo i u t i l i zado pos te r io rmente como fon te 
po r P lu ta rco e L ív io . E le esc la rece pouco sob re Arqu imedes como 
uma pessoa, e cen t ra -se nas máqu inas de gue r ra que e le 
supos tamente cons t ru iu a f im de de fende r a c idade . [20 ] 
1.2 Biograf ia de Pascal 
Bla ise Pasca l nasceu em C le rmont -Fe r rand , Puy -de -Dôme, 
F rança , em 19 de junho de 1623 e mor reu em Par is em 19 de agosto 
de 1662. 
A mãe de Pasca l mor reu quando e le t inha apenas t rês anos de 
idade . Em 1631 , seu pa i , E t ienne , renunc iou ao cargo de ju i z e 
mudou-se pa ra Pa r is com seus f i lhos , G i lbe r t , B la ise e Jacque l ine . 
Pasca l nunca fo i à esco la ou un ivers idade e fo i ens inado po r seu 
pa i . Sua educação imprudentemen te pouco o r todoxa p romoveu em 
Be l ize um esp í r i t o in te lec tua l independente e uma cer ta a r rogânc ia . 
O jovem Pasca l in ic iou seus es tudos c ien t í f i cos por vo l t a de 1635 
lendo os E lementos de Geomet r ia de Euc l ides . Suas hab i l idades 
ex t rao rd iná r ias impress iona ram imed ia tamen te a todos . Logo após 
a fundação da Ma ison em 1635, Pasca l acompanhou seu pa i aos 
cursos da Academia de Pa r i s , desempenhando um pape l impor tan te 
desde o in íc io . 
Pasca l mos t rou ta len tos ex t raord iná r ios em c iênc ias na tu ra is 
e ma temát ica quando começou seus es tudos, e a ma io r pa r te de 
seu t raba lho fo i p roduz ida nesses do is campos. E le e ra v ersá t i l , 
esc revendo uma tese sob re temas re lac ionados ao som aos 12 anos 
e uma tese sobre geomet r ia aos 16 . Es te a r t igo é tão re levan te que 
5 
 
a ide ia que surg iu de le é chamada de teo r ia de Pasca l . 
Pesqu isadores nesse campo ac red i tam que essas ide ias deram um a 
con t r ibu ição s ign i f i ca t i va pa ra o desenvo lv imento da geomet r ia 
p ro je t iva . O t í tu lo des te a r t igo e ra Essay pour les con iques (Ensa io 
sob re as côn icas , em po r tuguês) . An tes da pub l i cação des te 
t raba lho , Pasca l hav ia s ido aconse lhado por a lguns dos me lho res 
geômet ras da F rança , po is desde os qua to rze anos e le t inha 
reun iões semana is com G i l les de Robbe, um dos p r inc ipa is 
c ien t i s tas des ta p rop r iedade do sécu lo XVI I , F rans . Va l (G i l les de 
Roberva l ) . Já em 1642 , Pasca l traba lhava em uma máqu ina que 
a juda r ia seu pa i nos cá lcu los . A máqu ina o a judou a t raba lha r , po is 
e ra cob rado r de impostos do re i da F rança em Rouen. En tão Pasca l 
c r iou a ca lcu lado ra mecân ica . Es ta ca lcu lado ra fo i au toma t i zada e 
desenvo lv ida quando Pasca l t inha menos de 20 anos. E le ten tou 
desenvo lve r uma máqu ina que pudesse fazer todas as qua t ro 
ope rações, mas só consegu iu inven ta r uma ca lcu lado ra que 
pudesse somar e sub t ra i r . Es ta ca lcu lado ra é chamada de 
Pasca l ine . Apesar de suas exp lo rações inovado ras , Pasca l ine 
nunca teve sucesso , po is e ra mu i to complexo e ca ro de operar , o 
que s ign i f i cava que apenas um g rupo mu i to l im i tado de pessoas 
pode r ia acessá - lo . Ac red i ta -se que B la ise Pasca l tenha cons t ru ído 
cerca de 40 dessas ca lcu ladoras du ran te sua v ida . Pasca l também 
fez ou t ras con t r ibu ições mu i to i mpor tan tes nos campos da 
matemát i ca e da f í s ica . 
Nos ú l t imos anos de sua v ida , B la ise Pasca l con t inuou a 
rea l i za r impor tan tes pesqu isas nos campos da f i l oso f ia e da 
matemát i ca . Segu ido r do jansen ismo, e le levava um es t i lo de v ida 
ascé t i co , que teve um e fe i to p ro fundo em sua saúde , em par te 
po rque recusou t ra tamento méd ico quando adoeceu. Após a mor te 
de sua i rmã em 1661 , e le também ca iu em dep ressão e sua saúde 
se de te r io rou rap idamen te . E le morreu em 19 de agos to de 1662 de 
suspe i ta de p rob lemas es tomaca is g raves , bem como tubercu lose e 
uma fo r te do r de cabeça . 
6 
 
1.3 Biograf ia de S tev in 
Simon Stephens nasceu em Bruges , F land res (a tua l Bé lg ica ) . 
An tes de se mudar para Le iden , t raba lhou como con tado r em 
An tué rp ia e como esc r i tu rá r io em uma repa r t ição de f inanç as em 
Bruges. Lá e le fo i para a esco la pa ra ap rende r la t im . En tão , em 
1583 , aos t r in ta e c inco anos, ing ressou na Un ive rs idade de Le iden. 
Em 1593 e le se jun tou ao exé rc i to ho landês e lá permaneceu a té o 
f im de sua v ida . Du ran te es te per íodo , S tev in fo i um exce len te 
engenhe i ro : cons t ru iu mu i tas ob ras , como mo inhos de ven to e 
po r tos . 
S tev in to rnou -se conhec ido po r inven ta r um s is tema pa ra 
inunda r reg iões ba ixas , mov imen tando compor tas em d iques 
p rev iamen te cons t ru ídos , imped indo , ass im, a mov imentação de 
t ropas in im igas . 
Aumen tou o conhec imen to de es ta t í s t ica e teo r ia h id ros tá t ica . 
Demons t rou que a p ressão de um l íqu ido sob re uma supe r f íc ie 
depende da a l tu ra do l íqu ido e da supe r f íc ie . 
Superv is ionou a cons t rução de es t radas, de v ias navegáve is 
e de ou t ras ob ras púb l icas como engenhe i ro . Exe rceu , a inda , o 
cargo de che fe do se to r de in tendênc ia do exé rc i to . 
S tev in pub l i cou onze l i v ros , fazendo impor tan tes con t r ibu ições 
pa ra t r igonomet r ia , geog ra f ia e navegação. Em Were ldsch r i f t , e le 
de fende a tese de Copérn ico de que o so l é o cen t ro do un ive rso . 
Em 1585 e le pub l icou seu "De Th iende" , no qua l deu uma desc r i ção 
bás ica e comp le ta dos números dec ima is . Embora não tenha 
inven tado os números dec ima is , como já e ram usados pe los á rabes 
e pe los ch ineses , fo i e le quem in t roduz iu os números dec ima is na 
matemát i ca . De pa r t icu la r impor tânc ia fo i a v isua l i zação de 
números rea is - ma is ta rde ace i to po r quase todos os es tud iosos - 
e o uso de números negat ivos po r S tev in . Po r ou t ro lado , os 
números imag inár ios não e ram ace i tos p o r e le , o que a t rasou seu 
uso na matemát ica . 
7 
 
Stev in ap resen tou regras pa ra cá lcu lo de ju ros s imp les e 
compostos , d i scu te vá r ios exemp los e , fo rnece as tabe las 
necessá r ias . Todos os banque i ros da Eu ropa u t i l i za ram sua ob ra . 
 T rês anos an tes de Ga l i leu , em 1586 , S tev in re la tou que 
pesos d i fe ren tes pe rcor r iam a mesma d is tânc ia no mesmo pe r íodo 
de tempo. 
S imon S tev in morreu em Ha ia , Ho landa , aos 72 anos . 
 
2 EXPOSIÇÃO DAS IDEIAS, TEORIAS E/OU LEIS 
2.1 O pr inc íp io de Arquimedes 
Cons t rução A rqu imedes de S i racusa fo i um dos ma io res 
matemát i cos e inven to res de todos os tempos , mas sua descober ta 
ma is famosa fo i a f o rça dos f lu idos . Segundo a lenda , A rqu imedes 
descob r iu a f lu idez enquan to tomava banho em uma banhe i ra . A 
água que sa iu de sua banhe i ra e ra igua l a o vo lume de seu co rpo 
submerso . Segundo a h is tó r ia , A rqu imedes f i cou tão en tus iasmado 
com sua descober ta que pu lou da banhe i ra , co r reu nu pe la rua 
g r i tando "Eureka , Eu reka ! " (g rego pa ra um sáb io que descob re a lgo ) 
Ou t ra h is tó r ia d iz que o Re i He ro I I e nca r regou A rqu imedes de 
inves t iga r a compos ição da co roa que e le encomendou . O re i 
o rdenou que sua co roa fosse de ou ro pu ro , mas quando a 
consegu iu , suspe i tou que pode r ia con te r ou t ros meta is . 
A rqu imedes mergu lhou a co roa e do is co rpos só l idos de ou ro 
pu ro em um vaso che io de água e p ra ta , seu peso e ra exa tamente 
igua l ao da co roa , e obse rvou que a co roa pe rdeu menos l íqu ido 
que o ou ro , mas ma is l íqu ido que a p ra ta , o que ind icava que não 
e ra in te i ramente composta de ou ro . Ass im c r iou -se o p r inc íp io de 
A rqu imedes ou ago ra chamadas de fo rça de empuxo. A med ida 
dessa fo rça é igua l ao peso do f lu ido que se move rá quando 
co loca rmos um corpo ne le . Es ta é a fo rça que impede os nav ios de 
a funda r ou os fazem f lu tua r na água. 
8 
 
Sabemos que o empuxo cor responde ao peso do l íqu ido que é 
des locado po r a lgum ob je to deba ixo d 'água . Se nos lembra rmos da 
re lação en t re massa , dens idade e vo lume do l íqu ido , podemos 
esc rever a fo rça de empuxo com essas quan t idades , o que to rna 
es ta fo rça ma is fác i l de ca lcu la r . A fó rmu la u t i l i za da pa ra ca lcu la r 
o empuxo é mos t rada a segu i r : 
 
F i g u r a 2 . 1 - F ó r m u l a d a f o r ç a d e e m p u x o 
 
 F o n t e : ( H e l e r b r o c k , P r i n c í p i o d e A r q u im e d e s , 2 0 2 2 ) 
 
Em re lação à fó rmu la , é impor tan te lembra r que o vo lume de 
f lu ído des locado é igua l ao vo lume do ob je to submerso , l embre -se 
também que a dens idade u t i l i zada na fó rmu la se re fe re à dens idade 
do f lu ido , não do ob je to submerso . 
2.2 Le i de Pascal 
O p r inc íp io de Pasca l é uma le i que a f i rma que a p ressão 
exe rc ida sob re um f lu ido em equ i l íb r io é igua lmente d is t r ibu ída em 
todos os pon tos . O p r inc íp io de Pasca l é uma le i da mecân ica dos 
f lu idos que descreve a mudança na p ressão h id ráu l ica em um 
de te rm inado f lu ido em equ i l íb r io . Es ta le i usa a lguma pesqu isa 
h id ros tá t ica e es tá re lac ionada ao teo rema de S tev in . E s te p r inc íp io 
fo i c r iado por B la ise Pasca l , que fo i um f i lóso fo , f í s ico e matemáti co 
f rancês que concent rou sua pesqu isa em á reas como teo log ia , 
h id ros tá t ica e geomet r ia , a lém de p robab i l idade e combina tó r ia . 
Nesse sen t ido , a a f i rmação do p r inc íp io de Pasc a l base ia -se na 
9 
 
i de ia de que a p ressão exe rc ida sob re um l íqu ido em equ i l í b r io 
es tá t i co é d i s t r i bu ída un i fo rmemente e oco r re sem pe rdas pa ra 
todas as par tes , inc lus ive as pa redes do rec ip ien te . 
Como o p r inc íp io de Pasca l é uma le i que a f i rma que a p ressão 
exe rc ida sob re l íqu idos em equ i l íb r io é d i s t r ibu ída un i fo rmemente e 
sem pe rda de pa r te , a fó rmu la pode se r desc r i ta como: 
 
F i g u r a 2 . 2 - Ex e m p l o p r á t i c o d o p r i n c í p i o d e P a s c a l e m u m t u b o c o m l í q u i d o 
e p r e s s ã o 
 
 F o n t e : ( B r a g a , 2 0 2 2 ) 
 
A un idade usada pa ra med i r essa quan t idade é o Pasca l (Pa) , 
em homenagem ao c ien t i s ta que descob r iu o p r inc íp io . No en tan to , 
a p ressão é uma quan t idade de te rminada pe la re lação en t re a fo rça 
ap l icada e a fa ixa de ope ração . 
2.3 Le i de S tev in 
O f í s i co e ma temát i co be lga S imon S tev in es tudou o 
compor tamento h id ros tá t ico da p ressão e fo rmu lou o p r inc íp io 
bás ico da h id ros tá t i ca . S imon chegou à conc lusão a t ravés de 
expe r imen tos que a p ressão exe rc ida po r um l íqu ido (gases ou 
l íqu idos ) depende de su a a l tu ra , ou se ja , depo is de encont ra r um 
es tado de equ i l íb r io , a a l tu ra dos l íqu idos é a mesma. 
Es ta le i rea lmente se ap l ica a f l u idos em repouso . Um exemplo 
10 
 
c láss ico e co t id iano é dado em d ive rsos l i v ros e também nas au las 
de f í s ica . Es tes são vasos com un ican tes (conectando do is ou ma is 
vasos com um tubo ) . As ca ixas mun ic ipa is de d is t r ibu ição de água 
são cons t ru ídas com base em bases de comun icação. É comum que 
as bac ias de d is t r i bu ição de água es te jam sempre loca l i zadas nos 
pon tos ma is a l tos da c idade . I sso oco r re po rque os p r inc íp ios dos 
vasos comun ican tes de te rm inam que a a l t u ra das co lunas de l íqu ido 
é sempre a mesma e pon tos na mesma p ro fund idade também têm a 
mesma p ressão . 
Es tas cond ições são ace i tas pa ra a aná l i se de um ún ico 
l íqu ido . 
Ou t ro exemp lo comum é o uso de uma mangue i ra t ranspa ren te 
com água den t ro , u t i l i zada po r pedre i ros na cons t rução c iv i l . Es ta 
ide ia u t i l i za p r inc íp ios h id ros tá t i cos , espec ia lmente vasos de 
l i gação , e pode se r usada pa ra n ive la r ou de te rm inar se o t raba lho 
es tá no mesmo p lano ho r i zon ta l . 
 
F i g u r a 2 . 3 - Ex e m p l o d e a p l i c a ç ã o v a s o s c o m u n i c a n t e s 
 
 F o n t e : ( P u c c i , 2 0 2 2 ) 
11 
 
3 IMPACTOS PRODUZIDOS 
3.1 Arquimedes de S i racusa 
Cons ide rado um dos ma io res matemát i cos da h is tó r ia , 
A rqu imedes desenvo lveu métodos para encont ra r a á rea de um 
c í rcu lo e de f in iu a esp i ra l a lém de esc la recer a lgumas ques tões . 
mecan ismos como o uso de uma a lavanca . Embora mu i to do que lhe 
fo i a t r ibu ído se ja mero m i to , sua impor tânc ia como matemát i co é 
inegáve l . Não é à toa que seu ros to es tá g ravado na Meda lha F ie lds , 
a ma is a l ta hon rar ia da ma temát ica . 
Na Gréc ia , na época de Euc l ides , e t c . , a p rova de resu l tados 
geomét r i cos e ra fe i ta de ta l f o rma que não se pod ia en tender de 
onde e les t i ra ram a ide ia . Acon tece que e le es tá cer to , mas como 
e les t i ve ram a ide ia é desconhec ido . Mu i to recen temente , fo i 
descober to o l i v ro "Método" de A rqu imedes, no qua l e le mos t ra o 
método mecân ico pe lo qua l chegou a essas ide ias geomét r icas . I sso 
é in te ressan te porque é a ra iz mecân ica da geomet r ia . 
O método de Arqu imedes pa ra encont ra r a á rea de um c í rcu lo 
também é in f luenc iado pe lo g rego Eudoxo , como mos t ra Roque em 
seu l i v ro Reescrevendo a h i s tó r ia da ma temát ica . Eudoxus 
desenhou po l ígonos regu la res em um c í rcu lo e dob rou o número de 
lados a té que a d i fe rença de á rea en t re as duas f i gu ras fosse 
reduz ida . Ass im a á rea do po l ígono desenhado f i ca r ia mu i to 
p róx ima da á rea do c í rcu lo . Arqu imedes re f inou es te mé todo . Pa ra 
ca lcu la r a á rea de um c í rcu lo , e le desenha um po l ígono regu la r 
den t ro do c í rcu lo e inc lu i ou t ro po l ígono regu la r fo ra do c í rcu lo , 
depo is soma o número de lados . À med ida que o número de lados 
aumen ta , esses po l ígonos se ap rox imam de um c í rcu lo . Ass im e le 
c r ia uma l i gação en t re a á rea de um c í rcu lo e a á rea de po l ígonos . 
Em O Contado r de A re ia , A rqu imedes suge re med i r o tamanho do 
un iverso pe lo número de g rãos de a re ia necessár ios pa ra p reenchê -
lo . 
12 
 
Ele fo i impor tan te po rque c r iou mu i tas técn icas matemát i cas 
pa ra reso lve r p rob lemas geomét r i cos que t inham l igação com a 
mecân ica . E le teve um pape l na invenção de a lguns ob je tos 
mecân icos re lac ionados à geomet r ia e aos p rob lemas geomét r i cos 
que reso lv ia . 
A impor tânc ia de A rqu imedes como matemát i co lhe rendeu a 
hon ra de ins t i tu i r a Meda lha F ie lds , o ma is impor tan te p rêmio 
matemát i co conced ido pe la Un ião In te rnac iona l de Ma temát ica 
desde 1932. A meda lha e ra conced ida a cada qua t ro anos a 
impor tan tes ma temát icos e , por ma is de 40 anos , o ros to de 
A rqu imedes em um de seus ros tos . 
3.2 Bla ise Pasca l 
F ie l ao sen t ido dos novos conce i tos do re g is t ro de Desargues , 
Pasca l ado tou as ide ias bás icas do p ro je to de B ru i l lon : a in t rodução 
de e lementos ao in f in i to ; de f in i ção de cone como qua lque r seção 
p lana de um cone de base c i r cu la r ; 
Em junho de 1639, Pasca l fez sua p r ime i ra g rande descobe r ta : 
o "hexag rama m is te r ioso" de Pasca l ; segundo e le , os t rês pon tos 
de in te rseção dos lados opostos do hexágono insc r i to são 
esca lonados. Logo depo is , v iu a poss ib i l idade de inves t iga r a cu rva 
côn ica a pa r t i r dessa p rop r iedade. E le en tão esc reveu “Essa i pou r 
l es con iques” , um l i v ro de ed ição l im i tada . Um p lano pa ra novas 
pesqu isas , i lus t rado por uma dec la ração das p ropos ições mode lo 
que e le hav ia descobe r to , es ta d isse r tação fo rmou o esboço de um 
g rande t ra tado sob re cu rvas quad rá t i cas que e le hav ia acabado de 
conceber e es tava p reparando. Ma is ta rde , e le ob teve a so lução 
geomét r i ca f ina l do p rob lema de Pappus. Em 1654, Pasca l hav ia 
quase conc lu ído uma tese sob re a p ropos ição , uma ide ia que e le 
concebeu an tes dos 16 anos . E le também menc iona os p rob lemas 
geomét r i cos espec ia i s aos qua is seu mé todo p ro je t i vo pode ser 
ap l icado com e f ic iênc ia : um c í rcu lo ou es fe ra de f in ida po r t rês ou 
13 
 
qua t ro te rmos; f o rma côn ica de fin ida po r c inco e lementos (pon tos 
ou sombras ) ; um luga r geomét r i co fo rmado po r l inhas , c í rcu los ou 
cones ; e mé todos ge ra is de perspect i va . O a r t igo nunca fo i 
pub l icado e pa rece que apenas Le ibn iz v iu o manuscr i to e conhec ia 
seus mín imos de ta lhes . Se as poucas f rases dos t ra tados res tan tes 
de Le ibn iz não desc revem seu con teúdo comple to , e las são 
su f ic ien tes pa ra mos t ra r a r iqueza e a c la reza do pensamento de 
Pasca l . É razoáve l supo r que a pub l icação des te t raba lho i rá 
ace le ra r o desenvo lv imento da geomet r ia p ro je t iva . Computação 
Mecân ica Ans ioso pa ra a juda r seu pa i , cu jo t raba lho ex ig ia um 
g rande número de cá lcu los , Pasca l ten tou mecan iza r as duas 
ope rações bás icas da a r i tmét ica , ad ição e sub t ração . No f i na l de 
1642 , p ropôs -se p ro je ta r uma máqu ina que reduz isse essas 
ope rações a s imp les mov imen tos de eng renagens . Depo is de 
reso lve r o p rob lema teór i co , e le teve que p roduz i r a máqu ina que 
deve r ia ser ráp ida , con f iáve l e fác i l de usa r . No en tan to , a 
cons t rução fo i d i f i cu l tada pe las técn icas imprec isas e g rosse i ras 
d ispon íve is . Nesse empreend imento , Pasca l demonst rou uma 
p ra t i c idade ex t rao rd iná r ia , um grande in te resse pe la e f ic iênc ia e 
uma de te rminação inegáve l . E le l ide rou uma equ ipe que cons t ru iu 
o p r ime i ro mode lo em poucos meses , mas achando -o insa t i s fa tó r io 
dec id iu me lho rá - lo . F rus t rado com os p rob lema s que encont rou , 
acabou abandonando o p ro je to . No in í c io de 1644, incen t ivado po r 
mu i tos , vo l tou à ca lcu ladora e segundo e le , "de c inquen ta mode los" 
f ina lmente fez a f ina l . E le mesmo o rgan iza a fab r icação e venda de 
máqu inas . É d i f í c i l ava l ia r o sucesso da ca lcu lado ra Pasca l , que fo i 
a p r ime i ra ca lcu lado ra a en t ra r no mercado. Embora sua mecân ica 
se ja complexa , a máqu ina func iona re la t i vamente bem, pe lo menos 
nas duas ope rações pa ra as qua is fo i p ro je tada . No en tan to , seu 
a l to p reço l im i tava suas vendas e d espe r tava ma is cur ios idade do 
que in te resse em sua u t i l idade . Se te máqu inas em co leções 
púb l icas e p r ivadas. Em 1652, e le demonst rou seu uso em uma 
con fe rênc ia e p resen teou a ra inha Cr i s t ina da Suéc ia . Cá lcu lo de 
P robab i l idades 1654 fo i um ano mu i to luc ra t i vo pa ra Pasca l . E le 
14 
 
não apenas ape r fe içoou seus t ra tados de geomet r ia e f í s i ca , mas 
também fez es tudos impor tan tes em a r i tmét ica , aná l i se ha rmôn ica 
e cá lcu lo . Ca r tas t rocadas com Verma sob re as reg ras do jogo . As 
d iscussões en t re e les g i ravam em to rno de duas ques tões 
p r inc ipa is . A p r ime i ra questão é a p robab i l idade de um jogado r 
ace r ta r uma face em um de te rm inado dado em um de te rminado 
número de jogadas . A segunda, ma is comp lexa , é de te rminar o va lo r 
da aposta que se rá devo lv ido a cada jogado r se o jogo p a ra r , para 
qua lque r jogo de aza r em que pa r t ic ipem mui tos jogado res . Dessa 
cong ruênc ia su rg iu o t r iângu lo a r i tmét ico ( t r iângu lo de Pasca l ) e 
uma fó rmu la engenhosa pa ra ca lcu la r p robab i l i dades, que Pasca l 
chamou de "a matemát i ca do acaso" . A ap l i cação es ta t ís t i ca des te 
t raba lho é c la ra e pode se r v is ta como um passo em d i reção ao 
cá lcu lo (descober to po r Newton e Le ibn iz ce rca de 30 anos depo is ) . 
A abo rdagem de Pasca l fo i a lém dos aspectos puramente 
matemát i cos do p rob lema pa ra re lac ionar dec isões e even tos 
ince r tos . Seu p ropós i to não e ra de f in i r o caso matemát i co do 
conce i to de p robab i l idade - e le não usou o te rmo - mas abordar a 
d is t r ibu ição de apostas . Es te es fo rço deve se r inse r ido no con tex to 
das re f lexões de ju r is tas , es tud iosos e e t i c i s tas dos sécu los X VI e 
XV I I sob re as consequênc ias do acaso nas ma is d iversas 
c i r cuns tânc ias da v ida ind iv idua l e soc ia l . 
3.3 S imon Stev in 
Stev in é au to r de vá r ios l i v ros sob re ma temát ica , f í s i ca , 
as t ronom ia , navegação e engenhar ia . Em seu t raba lho , e le dá uma 
nova fo rma a conce i tos fam i l ia res enquanto t ransmi te mu i tas de 
suas p róp r ias ide ias . E le também ap resen ta as reg ras pa ra ca lcu la r 
j u ros s imp les e compostos , d iscu te vár ios exemp los e , f i na lmen te , 
fo rnece as tabe las necessá r ias . O t raba lho de S tev in fo i usado po r 
todos os banque i ros da Europa . Devemos a S tev in o p r ime i ro es tudo 
s i s temát i co e ab rangen te do s i s tema dec ima l (e seus usos ) , in te i ros 
15 
 
e números i r rac iona is . E le fo rnece um t ra tamento ab rangente de 
equações quad rá t i cas e ap resen ta métodos para ob te r so luções 
ap rox imadas de funções quadrá t icas , bem como métodos para ob te r 
so luções ap rox imadas de equações a lgéb r icas de o rdem a rb i t rá r ia . 
A lém de desenvo lver a teo r ia das f rações dec ima is , S imon Stev in 
também a f i rmou que o s is tema dec ima l de med ição se r ia ge ra lmente 
ace i to . E le também es tudou o equ i l íb r io dos co rpos em p lanos 
inc l inados e descob r iu o paradoxo h id ros tá t i co (o l íqu ido exe rce 
p ressão na supe r f í c ie , e a p ressão independe da fo rma do 
rec ip ien te , depende apenas da a l tu ra e da supe r f í c ie ) . Ao longo de 
sua v ida , S tev in d iscu t iu t r igonomet r ia , geog ra f ia , fo r t i f i cação e 
navegação com esp í r i to inovado r . Em uma de suas invenções ma is 
inus i tadas , um ca r ro (com capac idade pa ra 26 passage i ros) se 
move pe la a re ia , mov ido pe lo ven to . 
 
4 DISSERTAÇÃO 
Fo i se lec ionad a, pa ra es ta a t iv idade , a montagem de um b raço 
h id ráu l i co com 3 e ixos , um pa ra ro tação e do is pa ra içamento , pa ra 
demonst ra r a ap l icação da Le i de Pasca l . Os e ixos se rão 
con t ro lados a t ravés da l igação en t re se r ingas , a pa r t i r da ap l i cação 
de p ressão nas ser ingas de con t ro le e resu l tando em mov imentação 
nas se r ingas con t idas nos e ixos e , por consequênc ia , na 
mov imentação dos b raços , dev ido à p ressão d is t r i bu ída . Pa ra 
rea l i za r a montagem fo ram u t i l i zados os segu in tes i tens : 
• Base de made i ra ; 
• Rec ip ien te p lás t ico pa ra uso como e ixo de ro tação do 
b raço h id ráu l i co ; 
• Made i ra rec ic lada ; 
• Dob rad iças ; 
 
 
 
16 
 
F i g u r a 4 . 1 - Ex e m p l o d e d o b r a d i ç a 
 
 F o n t e : ( M a h l e r i n o x , 2 0 2 2 ) 
 
• 06 se r ingas de 10m l ; 
 
F i g u r a 4 . 2 - Ex e m p l o d e s e r i n g a 
 
F o n t e : ( F i b r a c i r ú r g i c a , 2 0 2 2 ) 
 
• 02 tubos de PVC; 
• Mangue i ras pa ra conexão en t re as ser ingas ; 
• 01 gancho pa ra i çamento . 
 
F i g u r a 4 . 3 - Ex e m p l o d e g a n c h o 
 
F o n t e : ( L e r o y M e r l i n , 2 0 2 2 ) 
17 
 
A montagem do b raço h id ráu l ico tem o in tu i to de i ça r e move r 
obje tos a t ravés de seu gancho e da mov imentação dos e ixos 
montado no ex t remo do b raço . 
 
5 MONTAGEM DO PROJETO 
A segu i r , fo tos da mon tagem do b raço h id ráu l i co . 
 
F i g u r a 5 . 1 – M a d e i r a r e c i c l a d a e m a t e r i a i s p a r a c o r t e 
 
F o n t e : A u t o r e s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
F i g u r a 5 . 2 – P r i m e i r a p a r t e d o b r a ç o , c o m r e c i p i e n t e s e n d o u t i l i z a d o c o m o 
e i x o d e r o t a ç ã o 
 
 F o n t e : A u t o r e s 
 
 
 
 
 
19 
 
 
F i g u r a 5 . 3 – R e f o r ç o n a p a r t e i n t e r n a d o r e c i p i e n t e v i s a n d o d i s t r i b u i ç ã o d e 
c a r g a e r e d u ç ã o n a t o r ç ã o d o s i s t e m a 
 
F o n t e : A u t o r e s 
 
F i g u r a 5 . 4 – B r a ç o m o n t a d o s e m o s i s t e m a h i d r á u l i c o 
 
F o n t e : A u t o r e s 
 
 
20 
 
 
F i g u r a 5 . 5 – B r a ç o h i d r á u l i c o m o n t a d o 
 
 F o n t e : A u t o r e s 
21 
 
F i g u r a 5 . 6 – B r a ç o h i d r á u l i c o c o m s e u s e i x o s n o d e s l o c a m e n t o m á x i m o
 
 F o n t e : Au t o r e s 
 
 
 
 
22 
 
F i g u r a 5 . 7 – E x e m p lo d o b r a ç o c o m o g a n c h o r e c o lh i d o 
 
 F o n t e : A u t o r e s 
 
23 
 
6 OBSERVAÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS 
A Le i de Pasca l a f i rma que a p ressão ap l i cada sob re um f lu ido 
em equ i l íb r io es tá t i co é d is t r ibu ída igua lmente , sem perdas , pa ra 
todas as suas pa r tes , ou se ja ∆𝑃1 = ∆𝑃2. U t i l i zando a equação 𝑃 =
𝐹
𝐴
, 
en tão 
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
. Ao ap l ica r uma fo rça sobre um s is tem a h id ráu l ico , 
como em um êmbo lo de uma s e r inga , cons ide rando que o f l u ido 
es te ja em con tan to com ou t ra se r inga , o aumento de p ressão sob re 
o ou t ro êmbo lo será un i fo rme e igua lmente p ropo rc iona l . Caso ha ja 
uma d i fe rença na á rea dos êmbo los , a fo rç a exe rc ida se rá 
d i re tamen te p ropo rc iona l a á rea do êmb o lo , po rém o aumento de 
p ressão em cada ser inga se rá i gua l . 
No b raço h id ráu l i co montado nes t a a t iv idade p rá t i ca as 
ser ingas possuem mesma á rea de êmbo lo , ass im a fo rça ap l i cada 
em um lado do s is tema se rá a mesma fo rça resu l tan te no ou t ro lado 
do s i s tema . Uma poss íve l me lho ra no b raço h id ráu l ico se r ia a 
a l te ração das ser ingas de con t ro le pa ra se r inga s com um êmbo lo 
de á rea menor , ob tendo uma fo rça ma io r nos e ixos do s b raços com 
uma ap l i cação de fo rça menor nas ser ingas de con t ro le . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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