Edited - Aula 2 - Polinômios - 2022 - 2 - Integrado

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Aula 2 – Polinômios – Profº: Davi Pereira Fortes Araujo 
 
1 
 
 
2. Polinômios 
 
2.1 Definição 
 
Um polinômio na variável complexa x é 
uma expressão dada por: 
 
 
1 2
1 2 1 0
n n
n na x a x a x a x a

         
 
Onde: 
 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a são números 
complexos fixos chamados de coeficientes do 
polinômio. 
 0a é o coeficiente independente do polinômio. 
 n é um número natural. 
 o grau do polinômio P (indica-se grau de P ) é 
o número natural correspondente ao maior expoente 
de x, com coeficiente não nulo. 
 1 21 2 1 0, , , ,
n n
n na x a x a x a x e a

    são 
chamados de monômios. 
 
Exemplo 1: Decida se as expressões a seguir 
representam ou não polinômios. Em caso 
afirmativo, determine o grau do polinômio: 
a) 
4 3 16 7 20
5
x x x    
Solução: Pela definição dada é um polinômio e seu 
grau é 4 . 
 
b) 
2 2 3x x  
Solução: Pela definição dada é um polinômio e seu 
grau é 2 . 
 
c) 3 10x 
Solução: Pela definição dada é um polinômio e seu 
grau é 1. 
 
d) 3 
Solução: Pela definição dada é um polinômio e seu 
grau é 0 . 
 
e) 
3 2 1x x x x   
Solução: Pela definição dada NÃO é um polinômio. 
Pois tem um termo com expoente negativo. 
 
2.2 Coeficiente dominante 
 
Seja 
1 2
1 2 1 0
n n
n na x a x a x a x a

         , 
com 0na  , um polinômio de grau n. O coeficiente 
na é denominado coeficiente dominante do 
polinômio. 
Exemplo 2: Qual é o coeficiente dominante dos 
polinômios a seguir: 
a) 
5 23 5x x x   Resposta: 3 
b) 
2 3 61 21 2
3 5
x x x x    Resposta: 
2
5
 
2.3 Função polinomial 
 
Seja :f  uma função que 
a cada x associa o polinômio 
1 2
1 2 1 0
n n
n na x a x a x a x a

         . Ou seja, 
  1 21 2 1 0
n n
n nf x a x a x a x a x a

          . 
Essa função é chamada de função polinomial. 
 
 
Exemplo 3: São funções polinomiais: 
a)   2 2 3f x x x   
b)   4 3 210 3 8g x x x x x     
c)   2 51P x x x x    
OBS: Geralmente os termos função polinomial e 
polinômio são utilizados para tratar do mesmo 
objeto matemático. No entanto, é mais comum a 
utilização do termo polinômio. 
 
2.4 Polinômio nulo 
 
Polinômio nulo (ou polinômio 
identicamente nulo) é aquele que possui todos os 
coeficientes iguais a zero. Dessa forma, se 
  1 21 2 1 0
n n
n nP x a x a x a x a x a

         
é nulo, então 1 2 1 0 0n na a a a a      . 
IMPORTANTE: uma vez que o polinômio nulo 
possui todos os seus coeficientes iguais a zero, 
NÃO se define o grau do polinômio nulo. 
 
Exemplo 4: Determine os valores de m, n e p 
para os quais o polinômio 
       4 23 9 3P x m x n m x m n p       é 
identicamente nulo. 
 
Solução: Pela definição dada, temos que ter: 
1º) 
9
3 9 0 3
3
m m m      
2º)
3
3 0 1
3 3
m
n m n n n        
3º) 0 3 1 2m n p p m n p p           
Portanto, 3, 1 2m n e p   . 
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2 
 
 
2.5 Valor numérico e Raiz 
Seja  e P um polinômio dado por 
  1 21 2 1 0
n n
n nP x a x a x a x a x a

          . 
O valor numérico de P em  é igual ao número 
complexo obtido quando substituímos x por  . 
Assim: 
  1 21 2 1 0
n n
n nP a a a a a    

         
 
Exemplo 5: Considere o polinômio 
  4 3 23 3 2P x x x x x     . Calcule o valor 
numérico de P para x = 1 e x = – 2. 
Solução: Basta calcular  1P e  2P  . Daí, 
temos: 
  4 3 21 1 3 1 3 1 1 2 1 3 3 1 2 0P              
         
 
4 3 2
2 2 3 2 3 2 2 2
2 16 24 12 2 2 48
P
P
           
      
 
Seja  e P um polinômio dado por 
  1 21 2 1 0
n n
n nP x a x a x a x a x a

          . 
Dizemos que  é raiz de P quando   0P   . 
No Exemplo 5, vemos que 1 é raiz de P, 
enquanto – 2 não é. 
 
2.6 Igualdade de polinômios 
 
Sejam M e P dois polinômios, tais que: 
  1 21 2 1 0
n n
n nM x a x a x a x a x a

         
e 
  1 21 2 1 0
n n
n nP x b x b x b x b x b

          
Dizemos que M e P são iguais (ou 
idênticos) quando assumem o mesmo valor 
numérico para qualquer valor de x. Ou seja, 
 
    ,M P M x P x x     
 
Utilizando a definição acima, pode-se 
demonstrar que dois polinômios M e P são iguais se 
e somente se os seus coeficientes são 
ordenadamente iguais, isto é, se os coeficientes dos 
termos de mesmo expoente são iguais. Ou seja, 
 
1 1 1 1 0 0, , , ,n n n nM P a b a b a b a b       
 
Exemplo 6: Determine os valores de a, b e c para 
que os polinômios    2 1 5ax b x c    e 23 5x x . 
 
Solução: Pela igualdade de polinômios, temos: 
1º) 5a   
2º) 1 3 4b b    
3º) 5 0 5c c     
 
Exemplo 7: Determine os valores de A e B para os 
quais ocorre a igualdade a seguir: 
2
3
, 2 2
4 2 2
x A B
x e x
x x x

    
  
 
 
Solução: Temos que: 
 
   
  
   
2
2
4
2 23
2 2 3
4 2 2
2 2 3
x
A x B xx
A x B x x
x x x
Ax A Bx B x

  
      
  
     
 
Agrupando os termos semelhantes, temos: 
 
   
2 2 3
2 2 3
Ax Bx A B x
A B x A B x
    
     
 
Pela igualdade de polinômios, temos: 
1
2 2 3
A B
A B
 

  
 
Resolvendo o sistema, encontramos: 
1
4
A   e 
5
4
B  
2.7 Operações com polinômios 
 
Adição, subtração e multiplicação 
 
Essas operações já devem ter sido estudadas 
no 8º ano do ensino fundamental. Mas mesmo que 
você não lembre ou não tenha estudado, iremos por 
meio de exemplos ver como podemos realizar tais 
operações. 
 
Exemplo 8: Considere os polinômios 
  5 410 2 3 5A x x x x     ,   6 2B x x  e 
  2 4 5C x x x   . Determine: 
a)    A x B x b)    C x A x c)    B x C x 
Solução: Temos: 
 
a) 
   
   
   
5 4
5 4
5 4
( 10 2 3 5) (6 2)
10 2 3 5 6 2
10 2 9 7
A x B x x x x x
A x B x x x x x
A x B x x x x
       
       
     
 
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3 
 
 
b) 
   
   
   
2 5 4
2 5 4
5 4 2
( 4 5) ( 10 2 3 5)
4 5 10 2 3 5
10 2 7
C x A x x x x x x
C x A x x x x x x
C x A x x x x x
        
       
    
c) 
    2(6 2) ( 4 5)B x C x x x x      
Aplicando a propriedade distributiva, temos: 
   
   
   
2
3 2 2
3 2
(6 2) ( 4 5)
6 24 30 2 8 10
6 26 22 10
B x C x x x x
B x C x x x x x x
B x C x x x x
     
      
    
 
Divisão 
Sejam  f x e  g x , com   0g x  . 
Dividir  f x (dividendo) por  g x (divisor) 
consiste em determinar dois outros polinômios, 
 q x (quociente) e  r x (resto), que satisfaçam as 
duas condições a seguir: 
i)        f x g x q x r x   
ii) grau de  r x < grau de  g x ou   0r x  . 
Um método utilizado para dividir 
polinômios é conhecido como método da chave. 
Esse método é idêntico ao método que utilizamos 
para realizar a divisão de números inteiros. Para 
facilitar a compreensão iremos fazer o Exemplo 9. 
Exemplo 9: Sejam   4 3 26 3 1f x x x x x     e 
  22 3g x x x   . Determine o quociente e o 
resto da divisão de  f x por  g x . 
Solução: Na aula. 
 
Resposta:   23 2 7q x x x   e   14 22r x x   
IMPORTANTE: Quando a divisão de  f x por 
 g x , com   0g x  , for exata, ou seja,   0r x  , 
dizemos que  f x é divisível  g x ,ou ainda que 
 g x divide  f x . 
 
Exemplo10: Calcule m e n para que o polinômio 
32x mx n   seja divisívelpor 
2 6 1x x   . 
 
Solução: Na aula. Resposta: 70m  e 12n   
2.8 Divisão por x – a 
Seja  f x um polinômio de grau n 
 1n  , dividindo  f x por um polinômio da 
forma x a , obtemos: 
       f x x a q x r x    
Como o grau do resto  r x tem que ser 
menor do que o grau do divisor ( x a ), temos: 
     1 0 0grau de r x grau de r x ou r x   
 
     0 , 0grau de r x r x c c c     
2.9 Teorema do resto e Teorema de D’Alembert 
Dividindo   3 24 5 8f x x x x    por 
  2g x x  , obtemos   24 9 13q x x x   e 
  34r x  (Verifique!). Mas observe que o valor 
numérico do polinômio  f x calculado na raiz de 
 g x , ou seja, em 2x  é  2 34f  , que é 
justamente o valor do resto da divisão de  f x por 
 g x . Note que é muito mais fácil calcular  2f , 
do que dividir  f x por  g x e calcular o resto. 
Vejamos o teorema a seguir: 
 
Teorema do resto: O resto da divisão de um 
polinômio  f x por x a é igual a  f a . 
Exemplo 11: Determine o resto da divisão de 
  3 23 17 15P x x x x     por 1x . 
Solução: Para resolver o problema, vamos: 
 
1º) Calcular a raiz do divisor. 
Daí, temos: 1 0 1x x    
2º) Usar o Teorema do resto. 
 
Pelo Teorema do resto, temos: 
  3 22 1 3 1 17 1 15 1 3 17 15 0P             
Exemplo 12: Um polinômio  P x possui resto 5 
quando dividido por 3x e resto 2 quando 
dividido por 1x . Determine o resto da divisão de 
 P x por   3 1x x  . 
Solução: Em aula. Resposta:  
3 11
4 4
r x x  
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4 
 
 
IMPORTANTE: Uma consequência importante do 
Teorema do resto é um teorema conhecido como o 
Teorema de D’Alembert. 
 
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f é 
divisível por x a se, e somente se, a for raiz de f. 
 
Exemplo 13: Calcule o valor de m para que o 
polinômio   3 22 5P x x x mx     seja 
divisível por 2x . 
 
Solução: Pelo Teorema de D’Alembert 2x  deve 
ser raiz de  P x , ou seja,  2 0P  . Assim, temos: 
 
3 2
2
7
2 2 2 2 5 0 2 7 0
2
P
m m m            
2.10 Algoritmo de Briot-Ruffini ou Dispositivo 
prático de Briot-Ruffini 
 
É um dispositivo que permite efetuar 
divisões por polinômios do tipo x a de um modo 
muito simples e rápido. Vamos ver com o exemplo 
a seguir como é utilizado o algoritmo de 
Briot-Ruffini. 
 
Exemplo 14: Qual é o quociente e o resto da divisão 
de   3 23 5 2p x x x x    por   2d x x  ? 
Resp:   23 3q x x x   e   4r x  
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Determine o grau dos polinômios a seguir: 
a) 
4 23 6 5 1x x x   d)  
2
10112 1x x  
b) 
32x x e)   2 10 121 x x x x   
c) 
81 x x  f) 2023 
 
02)(EsSA) O grau do polinômio 
   24 1 3 1x x x x    é 
A) 6 B) 5 C) 3 D) 4 E) 2 
 
03) Determine o grau do polinômio abaixo: 
 
     2000 5 15 20 2 37 4 3 6 3 1 4P x x x x x x x     
04) Considere o polinômio 
   4 3 216 3 7 1P x k x x x     . Determine k 
para que  P x seja um polinômio de: 
a) grau 2. b) grau 3. 
05) Para que valores de m o polinômio 
   3 5 4 22 54 2 1f x m x x x     possui grau 4? 
 
06)(EEAR) Dado o polinômio 
 3 22 4ax a b x cx d     , os valores de a e b 
para que ele seja um polinômio do 2ºgrau são: 
 
A) 0 0a e b  C) 0 0a e b  
B) 1 0a e b  D) 1 0a e b   
07) Dado o polinômio   3 2 1P x x x x    , 
calcule        3 , 1 , 0 1P P P e P x   . 
 
08) Considere a função polinomial 
 
  2022 2021 2020 2 1f x x x x x x       
Calcule    0 , 1f f e  1f  . 
09) Sabendo que – 4 é uma raiz do polinômio 
  2 3p x x ax   , determine o valor de a. 
 
10) Determine  a fim de que – 1 seja raiz do 
polinômio    3 22 4 3 8f x x x x      . 
 
11) Seja   3 22 1p x ax x bx    . Calcule a e b 
sabendo que 1 é raiz de  p x e que  2 3p  . 
 
12) Determine números reais a, b e c de modo que o 
polinômio        32 2 3P x a x b x c      
seja nulo. 
 
13) Determine a, b e c de modo que a função 
polinomial 
       25 7f x a b x b c x a c        
seja identicamente nula. 
 
14) Para que valor(es) de a o polinômio 
       3 2 22 1 1 4 2 4p x a x a x a x      é 
um polinômio nulo? 
 
15)(EEAR)O polinômio    23 5m n x m n x     
será identicamente nulo, se o valor de 
2 2m n for 
 
A) 12 B) 5 C) 10 D) 15 
 
16) Sejam os polinômios  f x x , 
  3g x x x  e   32 5h x x x  , determine 
números reais  e  tais que h f g   . 
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5 
 
 
17) Sejam os polinômios   2f x x ,   2 4g x x x  , 
  2 4 6h x x x x   e   6 4 23 6 2k x x x x   
determine números reais  ,  e  tais que 
k f g h     . 
18)(UFPA)O polinômio   3 2P x ax bx cx d    
é idêntico a   25 3 4Q x x x   . Então, temos 
que a b c d   é igual a 
A) 6 B) 5 C) 4 D) 0 E) 3 
19) Determine os valores das constantes A e B 
sabendo que a igualdade é válida para todo número 
real x, onde 0x  e 1x  . 
 
3 4
1 1
A B x
x x x x
 
 
 
 
20)(UFG) Sendo , 1x x  , encontre os valores 
de A, B e C para os quais vale a decomposição 
   22 1 11 1
x A Bx C
x xx x

 
  
 
21) Obtenha os valores das constantes A, B e C tais 
que a igualdade a seguir se verifique para todo 
número real x tal que 0x  , 1x  e 1x   . 
 
3
2 1
1 1
x A B C
x x x x x

  
  
 
 
22) A igualdade abaixo é verdadeira para todo 
 2,0,2x   . Calcule os valores de A, B e C. 
2
3
5 8
2 2 4
A B C x x
x x x x x
 
  
  
 
 
23)(2ª Prova INFO – 2022/1) Calcule A, B, C e D 
para que a igualdade a seguir seja válida para todo 
número real x tal que 0x  e 5x  . 
3
4 3 2 3
17 10
5 5
x x A B C D
x x x x x x
 
   
 
 
24) Seja   2P x x ax b   , onde a e b são 
constantes reais. Determine o valor de cada uma 
dessas constantes, de forma que 
     4 1 2 0P x P x P   para todo x . 
 
25) Sejam a, b e c números reais e o polinômio 
  3 2
1
3
P x x ax bx c    . 
 
a) Determine os valores de a, b e c para os quais 
    21P x P x x   . 
b) Use o item a) para calcular, em função de n, a 
soma: 
2 2 2 21 2 3S n     
26) Considere os polinômios   22 3 4f x x x   , 
  3 1g x x x   e   2 4h x x x    , 
determine: 
a)    f x g x c)      f x g x h x  
b)    g x h x d)    f x h x 
27) Sejam os polinômios   2 3f x x  , 
  4 5g x x   e   23 5 4h x x x   .Determine 
o polinômio        p x f x g x h x   . 
28)(EEAR) Sejam os polinômios 
  3 22 4A x x x x    ,   3 2 4 1B x ax bx x    
e      P x A x B x  . Para que  P x seja de grau 
2, é necessário que 
A) 1 2a e b   C) 1 2a e b   
B) 1 2a e b   D) 1 2a e b   
29) Determine o quociente  q x e o resto  r x da 
divisão de  f x por  g x em cada caso: 
a)   23 5 7f x x x   e   3 1g x x  
b)   3 24 5 1f x x x x     e   2 1g x x  
c)   4 3 25 3 2 4 1f x x x x x     e   2 4g x x  
d)   5 3 23 4 2 1f x x x x x     e   3 2 1g x x x   
30)(EEAR) Ao dividir 
3 23 8 3 4x x x   por 
2 3 2x x  obtém-se ______________como resto. 
A)6 B) 5 C) 4 D) 3 
31)(EEAR) Se   2Q x ax bx c   é quociente da 
divisão de   3 26 5 7 4G x x x x    por 
  1H x x  , então o valor de b c é 
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 
 
32)(EEAR) Ao dividir 
5 4 23 2 5x x x x    por 
3x obtém-se um quociente cuja soma dos 
coeficientes é 
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 
 Aula 2 – Polinômios – Profº: Davi Pereira Fortes Araujo 
 
6 
 
 
33)(ESPCEX) O polinômio 
  5 3 2 1f x x x x    , quando dividido por 
  3 3 2q x x x   deixa resto  r x . Sabendo 
disso, o valor numérico de  1r  é 
A) 10 B) 4 C) 0 D) 4 E) 10 
 
34)(UFMS) Sabendo-se que o polinômio 
  3 2p x x x mx n    é divisível pelo 
polinômio   2 2q x x x   , é correto afirmar 
que: 
A) 0m n  C) 
4
3
m   E) 1m n  
B) 2m n D) 2 4m n  
 
35)(IME) Calcule m e n, de modo que o polinômio 
4 3 2 2x x mx nx    seja divisível por 
2 2x x  . 
 
36)(ESCOLA NAVAL) 
4 3 22 2x x mx n   é 
divisível por 
2 2x x  . O valor de m n é igual a: 
 
A) – 17 B) – 14 C) – 10 D) – 8 E) – 1 
 
37) O polinômio 
4 3 22 64x x ax x b    é 
divisível por 
2 6 5x x  . Determine a e b. 
 
38)(UFPB) O polinômio 
4 3 24 4x x mx x n    
é divisível por   1 2x x  . Calcule 5 2m n . 
 
39)(ITA) Os valores de  , e que torna o 
polinômio   5 4 3 24 2 2P x x x x x x        
divisível por   3 22 2 1Q x x x x    satisfazem 
as desigualdades 
 
A)     C)    E)     
B)     D)     
 
40)(UFGO) Determine o valor de k , para que 
o polinômio    3 21 2 6P x kx k x kx     seja 
divisível por 
2 2x  . 
 
41)(UNICAMP) O polinômio 
  3 22p x x ax bx c    é divisível por 
22 4x x  . O valor de 2c b a  é: 
 
A) 9 B) 15 C) 21 D) 25 
42)(ITA) Sejam a, b, c e d constantes reais. 
Sabendo que a divisão de   4 21P x x ax b   por 
  22 2 4P x x x   é exata, e que a divisão de 
  3 23 3P x x cx dx    por  
2
4 2P x x x   
tem resto igual a – 5, determine o valor de 
a b c d   . 
43) O comprimento de um retângulo é expresso por 
2x , e sua área é expressa por 23 5 2x x  . 
Determine a expressão da altura desse retângulo. 
44)(UFPE) Um polinômio  P x , com coeficientes 
reais, é tal que  1 1P  e  2 1P   . Calcule 
11
2
R
 
 
 
 se  R x é o resto da divisão de  P x 
por 
2 3 2x x  . 
 
45)(ITA) O resto da divisão do polinômio 
  100P x x pelo polinômio   2D x x x  é: 
A) 0 B) 1 C) x D) x E) 2x 
 
46)(ESPCEX) Considere os polinômios 
  80 79 23 1p x x x x x     e   2 2 3b x x x   . 
Sendo  r x o resto da divisão de  p x por  b x , 
o valor de 
1
2
r
 
 
 
 é igual a: 
A) 0 B) 
1
2
 C) 1 D) 2 E) 
5
2
 
47)(IME) Qual o resto da divisão do polinômio 
  26 25 24 4 3 26 5 16 3P x x x x x x x      pelo 
polinômio 
3 23 3x x x   ? 
A) 
2 2x x  C) 3 9x E) 6 1x 
B) 
26 4 3x x  D) 26 17 3x x  
48) Aplique o teorema do resto para determinar o 
resto da divisão de  f x por  g x nos itens a 
seguir: 
 
a)   23 4f x x x   e   2g x x  
b)   3 24 5 1f x x x x     e   2g x x  
c)    
2022
4f x x  e   4g x x  
d)   5 3 22 1f x x x x    e  g x x 
 Aula 2 – Polinômios – Profº: Davi Pereira Fortes Araujo 
 
7 
 
 
49) Nos itens a seguir,  P x é divisível por  Q x . 
Determine o valor de m : 
a)   23 4P x x x m    e   2Q x x  
b)   3 24 5 3P x x x mx    e   3Q x x  
c)   5 4 23 2 1P x x x x mx     e   1Q x x  
51) Um polinômio  P x , quando dividido por 
1x dá resto 2 e, dividido por 1x dá resto 3. 
Qual o resto da divisão de  P x por   1 1x x  ? 
52) Um polinômio  P x , quando dividido por 
2x dá resto 3 e, dividido por 5x dá resto – 2 . 
Qual o resto da divisão de  P x por 2 3 10x x  ? 
53)(IME) O polinômio  P x , dividido por 2x 
dá resto 10 e, por 3x dá resto – 5 . Calcular o 
resto da divisão de  P x por   2 3x x  . 
 
54)(2ª Prova ADM 161 – 2022/1) O resto da divisão 
do polinômio  P x por 8x é 3 , e por 5x é 6 . 
Sabendo que  R x é o resto da divisão de 
 P x por   8 5x x  , calcule  1R  . 
 
55)(ESPCEX) Dividindo-se o polinômio 
  4 32 5 1P x x x kx    por  3x  e  2x  , os 
restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a: 
 
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 
56)(FUVEST) O polinômio   3 2P x x ax bx   , 
em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 
quando divididos por  2x  e  1x  , 
respectivamente. Assim, o valor de a é: 
A) – 6 B) – 7 C) – 8 D) – 9 E) – 10 
 
57)(AFA) Considere o polinômio 
  2 2 15 4 2n nP x x x    , em que n é um número 
natural. Dividindo  P x por  1x  , o resto r 
encontrado é tal que 
A) 2r  B) 2 5r  C) 5 8r  D) 8r  
 
58)(UNICAMP) Considere o polinômio 
  1n mp x x x   , em que 1n m  . Se o resto 
da divisão de  p x por 1x é igual a 3, então 
A) n é par e m é par C) n é par e m é ímpar 
B) n é ímpar e m é ímpar D) n é ímpar e m é par 
 
59)(UECE) Se o polinômio 
  5 4 3 2P x x x x x x k      , onde k é um 
número real, é divisível por 1x , então, o valor da 
soma    2 2P P  é 
A) 10 B) 30 C) 20 D) 40 
 
60)(IFF) É dado o polinômio 
  3 2 10p x ax bx x    . Sabendo que 
   1 1p p  e que o resto da divisão de  p x 
por 2x é igual a 0, podemos afirmar que a e b 
são, respectivamente, 
A) 1 e – 1 C) 3 e 0 E) – 1 e – 2 
B) – 1 e – 1 D) 3 e – 9 
 
61)(ITA) Dividindo-se o polinômio 
  5 4 2 1P x x ax bx cx     por  1x  , 
obtém-se resto igual a 2. Dividindo-se  P x por 
 1x  , obtém-se resto igual a 3. Sabendo que 
 P x é divisível por  2x  , tem-se que o valor de 
ab
c
 é igual a 
A) – 6 B) – 4 C) 4 D) 7 E) 9 
62)(ITA) Seja  p x um polinômio de grau 4 com 
coeficientes reais. Na divisão de  p x por 2x 
obtém-se um quociente  q x e resto igual a 26. Na 
divisão de  p x por 2 1x x  obtém-se um 
quociente  h x e resto 8 5x .Sabe-se que 
 0 13q  e  1 26q  . Então,    2 3h h é 
igual a: 
 
A) 16 B) 0 C) – 47 D) – 28 E) 1 
63)(ITA) Seja  P x um polinômio divisível por 
1x . Dividindo-o por 2x x , obtém-se o 
quociente   2 3Q x x  e o resto  R x . Se 
 4 10R  , então o coeficiente do termo de grau 1 
de  P x é igual a: 
A) – 5 B) – 3 C) – 1 D) 1 E) 3 
 Aula 2 – Polinômios – Profº: Davi Pereira Fortes Araujo 
 
8 
 
 
64)(ITA) A divisão de um polinômio  f x por 
  1 2x x  tem resto 1x . Se os restos das 
divisões de  f x por 1x e 2x são, 
respectivamente, os números a e b, então 
2 2a b 
vale: 
 
A) 13 B) 5 C) 2 D) 1 E) 0 
 
65)(ITA) Seja  p x um polinômio com 
coeficientes inteiros tal que  51 391p  e 
 0 3 12p  . Então,  3p é igual a: 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
66)(ITA) Determine os valores de a e b, tais que os 
polinômios  3 22 3 3x ax a b x b   e 
 3 2 2x a b x a   sejam divisíveis por 1x . 
A) 0a  e 3b   D) 5a  e 1b   
B) 3a  e 4b   E) 1a  e 7b   
C) 4a  e 2b   
67)(ITA) Um polinômio  p x quando dividido por 
1x dá resto 3. O quociente desta divisão é então 
dividido por 2x , obtendo-se resto 2. O resto da 
divisão de  p x por   1 2x x  será: 
A) 3 2x C) 2 1x E) NDA 
B) 3 1x D) 4 x 
 
68) Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini para 
determinar o quociente e o resto da divisão de 
 f x por  g x : 
a)   3 22 4 5 1f x x x x     e   3g x x  
b)    
2
3 2f x x  e   2g x x  
c)   4 23 2f x x x x    e   1g x x  
d)   3 1f x x  e  g x x 
 
69) Dividindo-se 
3 22 4x x mx   por 2x , 
obtém-se quociente 
2 4 5x x  . Qual é o resto 
dessa divisão? 
 
70) O polinômio   4 24 5 2p x x x x m    
 m é divisível por 2x . Determine o 
quociente e o resto da divisão de  p x por 3x . 
GABARITO: 01) a) 4, b) 3, c) 8, d) 2022, e) 22, 
f) 0; 02) D); 03) 2023;04) a) 2k   , b)  2,2  ; 
05) 3m   ; 06) C); 07)  3 20P    ,  1 0P   , 
 0 1P  e   3 21 4 6 4P x x x x     ; 08)  0 1f  , 
 1 2023f  e  1 1f   ; 09) 13/4; 10) 5  ; 
11) a = 1 e b = 2; 12) 2a  , 2b   e 3c  ; 
13) 1a   , 6b  e 1c  ; 14) 1/2; 15) D); 
16) 3  e 2  ; 17) 8  , 9   e 3  ; 
18) A); 19) A = – 4 e B = 1; 20)
1
2
A  , 
1
2
B   e 
1
2
C  ; 21) A = – 1, B = 3/2 e C = – 1/2 ; 
22) A = 2, B = 3/4 e C = – 7/4 ; 23) A = 3/5, 
B = 3, C = – 2 e D = 2/5; 24) a = – 4 e b = 3; 
25) a) a = 1/2, b = 1/6 e c pode ser 
qualquer número real, b)
3 21 1 1
3 2 6
S n n n   ; 
26)a)
3 22 4 5x x x   , b) 3 2 2 5x x x   , 
c)
3 23 3 7x x x    , 
d)
4 3 22 5 15 16 16x x x x     ; 27)   25 7 19p x x x    ; 
28) C); 29) a)   2q x x  e   9r x  , 
b)   4q x x   e   6 5r x x   , 
c)   25 3 18q x x x   e   16 71r x x  , 
d)   23 3 2q x x x   e   23 5 1r x x x   ; 
30) A); 31) D); 32) D); 33) A); 34) D); 35) m = – 3 
e n = – 5; 36) B); 37) a = – 5 e b = 70; 38) 7; 
39) B); 40) 2; 41) A); 42) 21 ; 43)3 1x ; 44) 14; 
45)D);46)A);47)D); 48) a) 14, b) 35, c) 12, d) 1; 
49)a)m = 4, b) m = – 50, c) m = 1; 
51)
1 5
2 2
x  ;52)
5 11
7 7
x  ;53)3 4x ; 54) 
60
13
; 
55) B); 56) A); 57) C); 58) A); 59) C; 60) B); 
61) E); 62) A); 63) C); 64) A); 65) C); 66) B); 
67)C); 68) a)   22 2 11q x x x    e   32r x   , 
b)   9 6q x x  e   16r x  ,c)   3 2 2 3q x x x x    
e   5r x   d)   2q x x e   1r x   ; 69) – 6; 
70)   3 24 12 31 91q x x x x    e   225r x  .