APOSTILA-DE-DERIVADAS-PARTE-1

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 1 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
DERIVADAS - INTRODUÇÃO 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 
Seja 
 
 
Uma função contínua e , 
dizemos que f é derivável em p, se e 
somente se, existir o limite 
 
 
 
Além disso, definimos a derivada de f 
em p, como o valor do limite acima, ou 
seja, 
 
 
 
Como a derivada é um limite, 
necessariamente os limites laterais 
devem coincidir, então defino as 
derivadas laterais por 
 
 
e 
. 
Então se uma função é derivável em p 
as derivadas laterais existem e coincidem. 
 
IMPORTANTE: A derivada de uma 
função em um ponto é um limite, logo 
para que a derivada exista é necessário 
que os limites laterais existam, então o 
ponto necessariamente tem que pertencer 
ao interior do domínio da função. 
 
IMPORTANTE: Se uma função for 
derivável em um ponto então a função é 
contínua neste ponto, para isto basta 
provar que se 
 
 
Então 
 
Pois, 
 
 
Logo, se uma função for descontínua 
em um ponto então esta função não é 
derivável neste ponto. 
De uma forma geral, uma função será 
derivável em um ponto, se e somente se, a 
função for contínua neste ponto e as 
derivadas laterais existirem e forem 
iguais. 
Dizemos que uma função é derivável, 
se e somente se for derivável em todos os 
pontos do seu domínio, logo, neste caso o 
domínio da função deve ser um 
subconjunto aberto da reta Real. 
 
 
2. PROPRIEDADES 
 
Sejam 
 
e 
 
 
funções contínuas, tal que 
 sejam deriváveis em p. 
 
2.1. DERIVADA DA SOMA 
 
 
IRD:f f 
)D(Intp f
h
)p(f)hp(f
lim
0h


h
)p(f)hp(f
lim)p(f
0h
' 

h
)p(f)hp(f
lim)p(f
0h
' 


h
)p(f)hp(f
lim)p(f
0h
' 


px
)p(f)x(f
lim
px 



))p(f)x(f(lim
px


 
 
.)p(f)x(flim
Então
0pxlim
px
)p(f)x(f
lim
px
px
)p(f)x(f
lim))p(f)x(f(lim
px
pxpx
pxpx



























IRD:f
1f1

IRD:f
2f2

)D(Int)D(Intp
21 ff

21 fef
  )p(f)p(f)p(ff '2
'
1
'
21 
 
 
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 2 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
 
2.2. DERIVADA DA 
MULTIPLICAÇÃO 
 
 
 
 
2.3. DERIVADA DA DIVISÃO 
 
Se então 
 
 
 
 
 
3. DERIVADAS DAS PRINCIPAIS 
FUNÇÕES 
 
3.1. FUNÇÃO CONSTANTE 
 
 
Então pois, 
 
 
 
3.2. POLINÔMIOS 
 
Primeiramente provaremos para as 
seguintes funções 
 
 
 
Então , pois, 
 
 
 
 
 
 
Na realidade, provaremos no próximo 
tópico que se 
 
. 
 
Então . 
 
 
EXEMPLO 3.2. 
 
 
Então 
 
Como 
 
Agora sim, seja o polinômio real de grau 
n 
 
 
Então 
 
Pois 
 
 
3.3. FUNÇÃO SENO 
 
 
 
Então 
  )p(f)p(f)p(f)p(f)p(ff '212
'
1
'
21 
0)p(f2 
 22
'
212
'
1
'
2
1
)p(f
)p(f)p(f)p(f)p(f
)p(
f
f 








.ctec,c)x(fx
IRIR:f



,0)x(f,IRx ' 
0
h
cc
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h0h
' 





INn,x)x(fx
IRIR:f
n 


INn,xn)x(f,IRx 1n'  
 
0
h
hx
p
n
lim
h
xhx
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
1n
0p
pnp
0h
nn
0h
0h
'




















.xnx
1n
n
hx
p
n
lim)x(f
1n1n
1n
op
1pnp
0h
'























 
IRr,x)x(fx
IRIR:f
r 


IRr,xr)x(f,IRx 1r'  
nxc)x(fx
tetanconsIRc,INn,IRIR:f



.IRx,xnc)x(f 1n'  
 
   
1n
1nn
'nn'
'n'
xnc
xncx0
xcxc
xc)x(f






n
1n
1
n
o a...xaxa)x(px
IRIR:p



  .IRx,a...xa1nxan)x(p 1n
2n
1
1n
o
'  

 
     
  '1n
2n
1
1n
o
n
'1n
1
'n
o
'
n
1n
1
n
o
'
a...xa1nxan
axaxa
a...xaxa)x(p







 
)x(sen)x(fx
1,1IR:f



.IRx,)x(cos)x(f ' 
 
 
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 3 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
 
 
 
3.4. FUNÇÃO COSSENO 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
3.5. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
3.6 . FUNÇÃO LOGARITMO 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
4. REGRA DA CADEIA 
 
Sejam 
 
 
e 
 
 
funções reais, deriváveis, tais que 
 
 
 
está bem definida e seja derivável. Então 
 
 
 
EXEMPLO 4.1. 
Derive 
 
 
 
Estando bem definida, podemos escolher 
 
 
e 
)x(cos1)x(cos0)x(sen
h
)h(sen
lim)xcos(
h
)1)h(cos(
lim)x(sen
h
)h(sen)xcos(
lim
h
)1)h(cos()x(sen
lim
h
)h(sen)xcos()1)h(cos()x(sen
lim
h
)x(sen)hx(sen
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h0h
0h0h
0h
0h
0h
'


















 
)x(cos)x(fx
1,1IR:f



.IRx,)x(sen)x(f ' 
)x(sen1)x(sen0)xcos(
h
)h(sen
lim)x(sen
h
)1)h(cos(
lim)xcos(
h
)h(sen)x(sen
lim
h
)1)h(cos()xcos(
lim
h
)h(sen)x(sen)1)h(cos()xcos(
lim
h
)xcos()hxcos(
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h0h
0h0h
0h
0h
0h
'


















xe)x(fx
IRIR:f



.IRx,e)x(f x' 
x'
h
0h
h
0h
x
hx
0h
xhx
0h
0h
'
e)x(f
!Verifique,1
h
1e
limComo
h
1e
lime
h
)1e(e
lim
h
ee
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f

















xln)x(fx
IRIR:f *



.IRx,
x
1
)x(f *' 
h
)xln()hxln(
lim
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
0h
'






x
1
)e(ln
x
h
1limln)x(f
continuafunçãoumaéaritmologoJá
x
h
1lnlim
x
1
h
1
h
1
0h
'
0h




























IRD:f f 
IRD:g g 
IRD:fg f 
f
''' Dx,)x(f))x(f(g)x()fg( 
3x2x)x(hx
IRIR:h
2 


x)x(gx
IRIR:g *



 
 
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 4 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
 
 
Derivando, temos 
 
 
e 
 
então 
 
 
 
e obtemos 
 
 
EXEMPLO 4.2. 
Derive 
 
 
 
Estando bem definida, podemos escolher 
 
 
e 
 
Derivando, temos 
 
 
 
e 
 
 
então 
 
 
e obtemos 
 
 
5. DERIVADA DA FUNÇÃO 
INVERSA 
 
Seja 
 
 
 
uma função real, bijetora e 
 
 
a sua função inversa, então 
 
 
onde e consequentemente , 
logo 
 
 
 
6. NOTAÇÃO DE LEIBNIZ 
 
Sejam 
 
 
 
uma função derivável. Cada ponto do 
gráfico de f, é representado por um par 
ordenado , onde . É comum 
representar a derivada e f em relação a x 
ou a derivada de y em relação a x por , 
ou seja, a notação anterior nada mais é do 
que 
 
3x2x)x(fx
IRIR:f
2 


x2
1
)x(gx
IRIR:g
'
*'



2x2)x(fx
IRIR:f
'
'



3x2x
1x
)2x2(
3x2x2
1
)x(f))x(f(g
)x()fg()x(h
2
2
''
''







 
3x2x
1x
)x(hx
IRIR:h
2
'
'





)x(sen)x(hx
IRIR:h
3


xsen)x(gx
IRIR:g



3x)x(fx
IRIR:f



xcos)x(gx
IRIR:g
'
*'



2'
'
x3)x(fx
IRIR:f



)x3()x(cos
)x(f))x(f(g
)x()fg()x(h
23
''
''


 
)x(cosx3)x(hx
IRIR:h
32'
'



IRD:f f 
IRD:g g 
x)x(ff 1  
y)x(f  x)y(g 
))y(f(f
1
)y()f(
1)x(f))x(f()f(
1)x()ff(
''
'1
''1
'1







IRD:f f 
)y,x( )x(fy 
dx
dy
)x(f
dx
dy '
 
 
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 5 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
 
EXEMPLO 6.1. 
Derive 
 
 
Usando a notação de Leibniz a regra 
da cadeia se resume a 
 
 
onde e . Na notação de 
Leibniz a derivada da inversa se resuma a 
. 
 
EXEMPLO 6.2. 
 
Seja , determine . 
 
Seja , logo como e 
temos 
 
EXEMPLO 6.3. 
 
Seja , determine . 
 
Seja ,logo como 
temos 
 
 
 
a notação , significa somente a 
derivada de y em relação a x no ponto 
, logo 
 
. 
 
 
7. DERIVADA IMPLÍCITA 
 
Seja 
 
 
Função Real, uma equação da forma 
 
 
 
é chamada de equação implícita. 
 
EXEMPLO 7.1. 
 
A equação 
 
 
é uma equação implícita, basta considerar 
 
. 
 
Podemos escrever a equação acima 
ainda da seguinte forma 
 
lembrando apenas que . 
 Ao derivarmos uma equação implícita 
derivamos normalmente, usando as 
propriedades de derivadas, lembrando 
apenas que a variável y é uma função de 
x. 
 
EXEMPLO 7.2.Determine onde 
. 
 
Derivando obtemos 
 
 
Repare que está bem definida se e 
somente se . 
 
xsen)2x5x2(y 3 
xcos)2x5x2(xsen)5x6(
)xsen()2x5x2(xsen)2x5x2(
dx
dy
32
'3'3


dx
dt
dt
dy
dx
dy

)x(fgy  )x(ft 
dy
dx
1
dx
dy

)1x(lny 2 
dx
dy
1xt 2 
t
1
dt
dy
 x2
dx
dt

1x
x2
t
x2
dx
dt
dt
dy
dx
dy
2 

x2x3ey  1x
dx
dy

x2xt 3 
te
dt
dy
 2x3
dx
dt 2 
)2x3(e)2x3(e
dx
dt
dt
dy
dx
dy 2x2x2t 3  
1x
dx
dy

1x 
32121
1x e5)213(e
dx
dy 3
 
IRD:f f 
0))x(f,x(g 
4xln)x(fxe )x(f 
4xln)x(fxe))x(f,x(g )x(f 
4xlnyxey 
)x(fy 
)x(f '
4xln)x(fxe )x(f 
 
.
)xe(x
1)x(fx
)x(f
x
1
)x(fxe)x(f
0
x
1
)x(fx)x(f)x(fe
)x(f
'
)x(f'
'')x(f





)x(f '
0)xe(x )x(f 
 
 
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 6 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
Sendo 
 
 
uma função real e derivável . Definindo 
 e pela derivada de u em relação 
a , obtemos da regra da cadeia que: 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Derive. 
a) y = xe
3x 
 
b) y = e
x
 cos 2x 
c) y = e
–x
 sen x 
d) y = e
–2t
 sen 3t 
e) f (x) = e + 1n (2x + 1) 
f) g (t) = 
g) y = 
h) f (x) = (e
–x
 + e )
3
 
i) y = t
3
e
–3t 
 
j) g (x) e 1n (1 + ) 
l) y = (sen 3x + cos 2x)
3 
 
m) y = 
n) y = 1n (x + 
o) y = 
p) y = x 1n (2x + 1) 
q) y = [ 1n (x
2
 + 1)]
3
 
r) y = 1n (sec x + tg x) 
s) y = cos
3
 x
3
 
t) f (x) = 
u) f (t) = 
 
 
2. Calcule a derivada segunda. 
a) y = sen 5t 
b) y = cos 4t 
c) x = sen t,  constante 
d) y = e
–3x
 
e) y = e 
f) y = 
g) y = ln (x
2
 + 1) 
h) y = 
i) y = e
–x
 – e
–2x
 
j) y = e
–x
 cos 2x 
l) y = 
 
3. Seja g : IR  IR uma função 
diferenciável e seja f dada por f (x) = x 
g (x
2
). Verifique que 
 
 f ’(x) = g (x
2
) + 2x
2
 g’(x
2
). 
 
4. Seja g : IR  IR uma função 
diferenciável e seja f dada por f (x) = x 
g (x
2
). Calcule f ’ (1) supondo 
g (1) = 4 e g ’ (1) = 2. 
 
5. Seja g : IR  IR diferenciável tal 
que g (1) = 2 e g’(1) = 3. 
 
Calcule f ’(0), sendo f dada por f (x) 
= e
x
 g (3x + 1). 
 
6. Determine  de modo que y = e
x
 
verifique – 2 + 2y = 0. 
 
7. Derive. 
a) y = tg 3x 
b) y = sec 4x 
IRD:f f 
)x(fu 
'u
x
0u,
alnu
u
)ulog(
0u,
u
u
)uln(
uaaln)a(
ue)e(
uuseccos)ucot(
ugucotuseccos)useccos(
utguusec)usec(
uusec)utg(
uusen)ucos(
uucos)usen(
IRn,uun)u(
'
'
a
'
'
'u'u
'u'u
'2'
''
''
'2'
''
''
'1n'n












 
2x
tt
tt
ee
ee




x2sen
x5cos
2x
2x x
xx ee 
)1x2 
x2 ex 
xsen
xcos
2
)1t3(n1
te t2

2x
1x
ex

1x
x2

1x
x
2 
2
2
dx
yd
dx
yd
 
 
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 7 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
c) y = cotg x
2
 
d) y = sec (tg x) 
e) y = sec x
3
 
f) y = e
tg
 
g) y = cosec 2x 
h) y = x
3
 tg 4x 
i) y = ln (sec 3x + tg 3x) 
j) y = e
-x
 sec x
2
 
l) y = (x
2
 + cotg x
2
)
3
 
m) y = x
2
 tg 2x 
 
8. Seja y = f (x) uma função derivável 
num intervalo aberto I, em 1  I. 
Suponha f (1) = 1 e que, para todo x em 
I, f ’(x) = x + [f (x)]
3
. 
 
a) Mostre que f ”(x) existe para todo x 
em I. 
b) Calcule f ” (1). 
c) Determine a equação da reta tangente 
ao gráfico de f no ponto de abscissa 
1. 
 
9. Seja y = , onde x = x (t) é uma 
função derivável num intervalo aberto I. 
Suponha que, para todo t em I, x (t)  0 
e = ,  constante. Verifique que 
. 
10.Seja f uma função diferenciável e 
suponha que, para todo x  Df, 3x
2
 + x 
sen f (x) = 2. 
Mostre que f ’(x) = – , para 
todo x  Df, com x cos f (x)  0. 
 
11. Sejam f e g deriváveis em A, com f 
(x) > 0 em A. Verifique que, para todo x 
em A,[ f (x)
g (x) 
]’ = 
+ . 
Observe: (1) é a derivada de f (x)
g (x)
, 
supondo constante; (2) é a derivada de f 
(x)
g (x)
, supondo g constante. 
 
12. Utilizando o resultado obtido no 
exerc. 26, calcule a derivada. 
a) y = (x + 2)
x
 
b) y = (1 + e
x
) 
c) y = (4 + sen 3x)
x
 
d) y = (x + 3) 
e) y = (3 + ) 
f) y = (x
2
 + 1)
 
 
13. Suponha que y = f (x) seja uma 
função derivável e dada implicitamente 
pela equação xy
2
 + y + x = 1 
Mostre que f ’(x) = em todo x 
 Df, com 2x f (x) + 1  0. 
 
14. Determine uma função y = f (x) que 
seja dada implicitamente pela equação 
xy
2
 + y + x = 1. 
 
15. Expresse em termos de x e de y, 
onde y = f (x) é uma função diferenciável 
dada implicitamente pela equação 
 
a) x
2
 – y
2
 = 4 
b) y
3
 + x
2
y = x + 4 
c) xy
2
 + 2y = 3 
d) y
5
 + y = x 
e) x
2
 + 4y
2
 = 3 
f) xy + y
3
 = x 
g) x
2
 + y
2
 + 2y = 0 
h) x
2
y
3
 + xy = 2 
i) xe
y
 + xy = 3 
j) y + ln (x
2
 + y
2
) = 4 
l) 5y + cos y = xy 
m) 2y + sen y = x 
 
16. Calcule ’ ((x)) sendo  dada por 
a)  (x) = sen x 
2x
x
4
dt
dx
3
2
2
2
x
8
dt
yd 

)x(fcosx
)x(fsenx6 
  
)1(
)x(g )x(fln)x('g)x(f   
)2(
1)x(g )x('f)x(f)x(g 
2x
2x
2x
1)x(fx2
)]x(f[1 2


dx
dy
 
 
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 8 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
b)  (x) = 
c)  (x) = ln (x
2
 + 1) 
d)  (x) = e 
 
17. Para cada  do exercício anterior, 
calcule ( ( (x)))’. 
 
18. Determine a derivada. 
a) y = x arc tg x 
b) f (x) = arc sen 3x 
c) g (x) = arc sen x
3
 
d) y = arc tg x
2
 
e) y = 3 arc tg (2x + 3) 
f) y = arc sen e
x
 
g) y = e
3x
 arc sen 2x 
h) y = 
i) y = x
2
 e
arc tg 2x
 
j) y = 
 
19. Seja f (x) = x + e
x
 e seja g a inversa 
de f. Mostre que g é derivável e que g’ 
(x) = . 
 
20. Seja f (x) = x + e
x
 e seja g a função 
inversa de f. Calcule g’ (1) e g” (1). 
 
21. Seja f (x) = x + x
3
. 
a) Mostre que f admite função inversa g 
b) Expresse g’ (x) em termos de g (x) 
c) Calcule g’ (0) 
 
22. Verifique que 
a) = arc tg x 
b) = x
2
 arc sen x 
c) =arc tg 
d) 
 
23. Calcule. 
a) 
 
b) 
c) x e d) x e 
e) 
f) 
 
24.EN 2013 Considere f e f ' funções 
reais de variável real, deriváveis, onde 
f(1) = f ' (1) = 1. Qual o valor da derivada 
da função h(x) = para x = 0? 
 
(A) –1 (B) –
 
(C) 0 
(D) –
 
(E) 1 
 
25. EN 2009_2010 Considere a função 
real f de variável real e as seguintes 
proposições: 
 
I) Se f é contínua em um intervalo aberto 
contendo x = x0 e tem um máximo local 
em x = x0 então f’(x0)=0 e f”(x0)<0. 
 
II) Se f é derivável em um interval aberto 
contendo x = x0 e f’(x0) = 0 então f 
tem um máximo ou um mínimo local em 
x = x0. 
III) Se f tem derivada estritamente 
positiva em todo o seu domínio então f é 
crescente em todo o seu domínio. 
 
IV) Se f(x) = 1 e g(x) é 
infinito então (f(x))
g(x)
 = 1. 
 
V) Se f e derivavel x  IR, então 
 = 2f’(x). 
 
Podemos afirmar que 
 
2
1
2x
x4tgarc
x3sen
x2cos
xtgarcx
)x(ge1
1

dx
d






 2x1(ln
2
1
xtgarcx
dx
d










 2
23
x1
9
2x
xsenarc
3
x
dx
d  xxtgarc)1x(  x
dx
d
4x4xx
1
2x
x2
senarc
2
1
2 
















 

x
lim
3
x
x
e
x
lim
x
3
e
x
 0x
lim x
1
 0x
lim x
1
x
lim
x
xln
x
lim
xln
ex
f (1 sen2x)
1
2
1
3
lim
x a
lim
x a
lim
x a
f (x) f (x 2s)lim
s 0 2s
 

 
 
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 9 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
(A) todas são falsas 
(E) todas são verdadeiras 
(C) apenas uma delas é verdadeira 
(D) apenas duas delas são verdadeiras 
(E) apenas uma delas é falsa 
 
26. EN 2009 Considere a função real f, 
de variável real, definida por (x) = x + 
ln x, x > 0. Se g é a função inversade f, 
então g”(1) vale 
 
(A) 1 (B) 0,5 (C) 0,125 
(D) 0,25 (E) 0. 
 
27. EN 2006 Sejam f e g duas funções 
reais e deriváveis tais que 
e , . Pode-se afirmar que 
 é igual a: 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
 
28. EN 2004Seja uma função real, 
derivável até a 3ª ordem para todo x real, 
tal que e . Se 
uma função real definida por: 
, 
então é igual a: 
 
(A) 16. (B) 12. (C) 8. (D) 4. 
(E) 0. 
29. EN 2004 A função real satisfaz a 
seguinte equação: . 
Considere a função g, definida por 
 com e . Sabendo que 
, podemos afirmar que o valor da 
constante real k para que 
g’(2) = f’(2) é: 
 
(A) . (B) . (C) . 
(D) . (E) 2. 
 
30. EN 2005 O valor das constantes reais 
a e b para as quais a função real 
 seja derivável 
para todo x é: 
 
(A) e . 
(B) e . 
(C) e . 
(D) e . 
(E) e . 
 
31. EN 2001 Sejam f e g funções 
definidas em R e deriváveis em x = 0, tais 
que f(0) = 3, f’(0) = 4, g(0) = 1 e g’(0) = -
1. 
Então (0) é igual a: 
 
(A) 21/6 (B) 7/5 
(C) –21/4 (D) –21/2. 
 
32. EN 1999 Supondo que y = f(x) seja 
uma função real derivável e que satisfaz a 
equação xy
2
 + y + x = 1, podemos afirmar 
que: 
 
(A) f’(x) = (B) f’(x) = 
(C) f’(x) = (D) f’(x) = 
(E) f’(x) = . 
)x(cossen(x)f 
)(xfg(x) 2 *Rx 
)(xg 2
)x(cossenx2 2
)x(coscosx2 22
)x(cossenx2 22
)x(coscosx2
)x(cossenx2 2
)x(g
0(0)g'g(0)  16(0)g"  )x(f








0xse0
0xse
x2
)x(g
)x(f
)(' 0f
)x(f
3
2
x
)x(fx)x(f
2
x
sen 






x
(x)f
kg(x)  0x  Rk
1f(2) 
2
1
4
3
3
4
8
3







1xse2bxxa
1xsebxa
(x)g
3
2
1
a  1b 
1a 
2
1
b 
2
1
a  1b 
1a 
2
1
b 
2
1
a  1b 
'
gf
g2f








1)x(xf2
)x(f


1)x(xf2
))x(f(1 2


1)x(xf2
))x(f( 2


1)x(xf2
))x(f(1 2


1)x(xf2
))x(f(1 2


 
 
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 10 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
 
33. EN 1998 Seja y = x
3
 – 3x + 5, 
onde x = g(t), g’(2) = 3 
e g(2) = 4. A derivada de y no ponto t = 2 
é 
 
(A) 9 (B) 27 (C) 45 
(D) 90 (E) 135. 
34. EN 1998 A derivada da função f(x) = 
arctg é 
 
(A) (B) 
(C)
 
(D) 
(E) . 
 
35. EN 1997 A derivada de y = 1/2 tg
2
 x 
+ In (cos x) é 
 
(A) sen
2
 x – tg x 
(B) 
(C) tg
3
 x 
(D) 
(E) 0. 
 
36. EN 1993 Se f(x) = ln , o valor 
de f ’ é: 
 
(A) 0 (B) 1/3 (C) 2/3 
(D) 4/3 (E) 8/3 
 
37. EN 1992 Se f (x) = então f '(2) 
vale: 
 
(A) – 0,4 (B) – 0,12 (C) 0 
(D) 0,12 (E) 0,4 
 
38. EN 1991 Se f(x) = ln sen
2
x determine 
f’(π/4). 
 
(A) – ln 2 (B) 1 (C) π/4 
(D) 2 (E) 2 
 
39. EN 1990 A derivada da função f(x) = 
x / e
x
 é: 
 
(A) f’(x) = 1/ e
x
 
(B) f’(x) = 
(C) f’(x) = 
 
(D) f`(x) = 
(E) f`(x) = x + 1/e
2x
 
 
40. EN 1989 Se f(x) = tg
3
(2x), podemos 
afirmar que f” é igual a 
 
(A) 0 (B) 72 
(C) 144 (D) 96 
 
(E) 24 
 
41. EN 1985 Se f ’ (x) = cos
2
 (e
x+1
), 
f (0) = 3, 
g (x)= f (x – 1) e g
-1
 é a inversa de g, o 
valor de (g
-1
)
1
 (3) é: 
 
(A) cos
2
e (B) sec
2
e (C) tge 
(D) e
3
 (E) 1. 
 
42. EN 1985 A derivada de ordem n da 
função f(x) = x . e
x
 para x = 1 é: 
 
(A) e (B) ne (C) 
2ne 
(D) ne
n 
 (E) (n + 1) e. 
 
 
 
 






x
1
1x
x
2
2

2x1
1

2x1
1


)x1(x
1
22 

x
1
xcos
1xcos
2

xcos
xcosxsen
3
2








x1
x1






2
1
1x
x
2 
2
xe
x1
xe
1x 
x2e
x






8
π
 
 
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 11 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
GABARITO 
 
1. a) e
3x
(1 + 3x) 
b) e
x
 (cos 2x – 2 sen 2x) 
c) e
-x
 (cos x – sen x) 
d) e
-2t
(3 cos 3t – 2 sen 3t) 
e) –2x e + 
f) 
g) – 
h) 3 (e
-x
 + e )
2
 (–e
-x
 + 2x e ) 
i) 3t
2
 e
-3t
 (1 – t) 
j) e 
l) 3(sen 3x + cos 2x)2 (3 cos 3x – 2 sen 2x) 
m) 
n) 
o) 
p) 1n (2x + 1) = 
q) 
r) sec x 
s) –9x
2
 cos
2
 x
3
 sen x
3 
t) – 
u) e
2t 
 
2. a)–25 sen 5t 
b) –16 cos 4t 
c) –w
2
 sen wt 
d) 9e
-3x
 
e) 2e (2x
2
 – 1) 
f) 
g) 
h) 
i) e
–x
 –4e
–2x
 
j) e
–x
(4 sen 2x – 3 cos 2x) 
l) 
 
3. Regra da cadeia 
 
4. 8 
 
5. 11 
 
6. 1 ou 2 
 
7.a) 3 sec
2
 3x 
b) 4 sec 4x tg 4x 
c) –2x cosec x
2
 
d) sec
2
 x sec (tg x) tg (tg x) 
e) 3x
2
 sec x
3
 tg x
3 
f) 2x sec
2
 x
2
 e
 tg
 
g) –2 cosec 2x cotg 2x 
h) x
2
 [3 tg 4x + 4x sec
2
 4x] 
i) 3 sec 3x 
j) –e
-x
 séc x
2
 [1 – 2x tg x
2
] 
l) 6x (x
2
 + xotg x
2
)
2
 (1–cosec
2
 x
2
) 
m) 2x [tg 2x + x sec
2
 2x] 
 
8. b) f" (1) = 7 c) y – 1 = 2(x –1) 
 
9. Demonstração 
 
10.Demonstração 
 
11.Demonstração 
 
2x
1x2
2

2tt )ee(
4

x2sen
x2cosx5cos2x2senx5sen5
2

2x 2x
2x










)xx(2
1
)x1(n1x2
xx
xx
ee2
ee




1x
1
2 
x3
x
exx4
exx4


1x2
x2

1x
)]1x(n1[x6
2
22


xsen
xcos2xsen
3
22 
2)]1t3(n1[
1t3
t3
)1t3(n1)t21(



2x
3
2x
)1x(
)1x(e


22
2
)1x(
)x1(2


3)1x(
2

32
2
)1x(
)3x(x2


2x
 
 
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 12 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
12. a) (x + 2)
x
 ln (x + 2) + x (x + 2)
x-1
 
b) 2x (1 + e
x
) ln (1 + e
x
) + 
 x
2
 (1 + e
x
) e
x 
c) (4 + sen 3x)
x
 ln (4 + sen 3x + x (4 + 
sen 3x)
x-1
 (3 cos 3x) 
d) 2x (x + 3) ln (x + 3) + 
 x
2
(x + 3) 
e) 2x (3 + ) ln (3 + ) 
f) 2x (x
2
 + 1)
-1 
 
13.Demonstração 
 
14. y = 
 
15. a) = 
b) = – 
c) = – 
d) = 
e) = – 
f) = 
g) = – 
h) = – 
i) = – 
j) = – 
l) = 
m) = 
 
16. a) cos (sen x) b) –x
2
 
c) d) 2 e e 
 
17. a) cos (sen x) cos x b) 1 
 
18. a) arc tg x + 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) e
3x 
h) 
i) 2x e
arc tg 2x
 
j) 
 
19. Demonstração 
 
20.g’ (1) = e g” (1) = 
 
21.b) g’ (x) = 
c) g’ (0) = 1 
 
22. Demonstração 
 
23. 
a)  b) 0 c)  d) – e) 0 f)  
24. C 
25. C 
26. C 
27. C 
28. D 
2x
12x 
2x
12x 
2x
x2
1x4x41 2 
dx
dy
y
x
dx
dy
22 xy3
1xy2


dx
dy
2xy2
y2

dx
dy
4y51
1

dx
dy
y4
x
dx
dy
2y3x
y1


dx
dy
1y
x

dx
dy
xyx3
yxy2
22
3


dx
dy
xex
ey
y
y


dx
dy
y2yx
x2
22 
dx
dy
xysen5
y

dx
dy
ycos2
1

22
2
])1x([ln1
)1x(ln2

 2x
2)2xe(
2x1
x

2x91
3

6
2
x1
x3

4x1
x2

2)3x2(1
6

x2
x
e1
e











2x41
2
x2senarc3
22
2
)x4tgarc()x161(
x3sen4x4tgarcx3cos)x161(3










2x41
x
1
x2cos
x2senxtgarcx2x2cos
x1
x
xtgarc
2
2








2
1
8
1
2))x(g(31
1

 
 
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 13 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 1) 
29. D 
30. C 
31. C 
32. B 
33. E 
34. C 
35. C 
36. E 
37. B 
38. D 
39. B 
40. 12 
41. B 
42. E