APOSTILA-DE-DERIVADAS-PARTE-2

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 1 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
APLICAÇÕES DE DERIVADA 
 
1. RETA TANGENTE 
 
A interpretação geométrica da 
definição de derivada de uma função em 
um ponto nos conduz a conclusão de que 
a derivada de uma função em um ponto, 
quando existir , é o coeficiente angular da 
reta tangente ao gráfico da função neste 
ponto. A equação da reta tangente ao 
gráfico de uma função f, derivável, no 
ponto de abscissa , é determinada 
pela equação: 
 
 
 
 
 
Além disso, uma vez que 
 
 
a equação da reta normal ao gráfico de 
uma função f, derivável, no ponto de 
abscissa , é 
 
 
caso , ou 
 
 
 
 
 
caso contrário, ou seja, 
 
EXEMPLO 1 
Seja 
 
a equação da reta tangente ao gráfico de f 
no ponto de abscissa , é obtida por 
 
 
 
como 
 
e 
 
temos 
 
. 
 
Logo a equação da reta tangente ao 
gráfico de f no ponto de abscissa , é 
 
 
 
e a equação da reta normal ao gráfico de f 
é determinada por: 
 
 
já que , então 
 
 
0xx
.)xx()x(f)x(fy
:)t(
00
'
0 
0mcaso,1mm tnt 
0xx
,)xx(
)x(f
1
)x(fy
:)n(
0
0
'0

0)x(f 0
' 
,xx
:)n(
0
.0)x(f 0
' 
x2x)x(fx
IRIR:f
3 


1x
)1x()1(f)1(fy ' 
3121)1(f 3 
5)1(f2x3)x(f '2' 
02x5y)1x(53y 
1x
,02x5y
:)t(

)1x(
)1(f
1
)1(fy
)n(
'

05)1(f ' 
 
 
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 2 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
 
 
2. MÁXIMOS MÍINIMOS E 
PONTODE INFLEXÃO 
 
Teorema 8.1. Seja 
 
. 
derivável e um aberto, então 
 
a) Se então f é estritamente 
crescente em . 
b) Se então f é estritamente 
decrescente em . 
 
Geometricamente, no intervalo de 
crescimento o coeficiente angular da reta 
tangente é positivo e no intervalo de 
decrescimento o coeficiente angular da 
reta tangente é negativo. 
 
DEFINIÇÃO 1. Seja 
 
 
 
Dizemos que um ponto é um ponto 
de máximo absoluto de f, se e somente se 
 
. 
 
 
DEFINIÇÃO 2. Seja 
 
 
 
Dizemos que um ponto é um ponto 
de mínimo absoluto de f, se e somente se 
 
. 
DEFINIÇÃO 3. Seja 
 
 
 
dizemos que um ponto é um ponto 
de máximo relativo ou local de f, se e 
somente se 
 
 
 
DEFINIÇÃO 4. Seja 
 
 
 
dizemos que um ponto é um ponto 
de mínimo relativo ou local de f, se e 
somente se 
 
 
 
Teorema 2. Seja 
 
 
 
derivável e , se então se 
 
a) 
 
 
Então p é um máximo local. 
 
Ou 
 
b) 
016xy5
)n(
)1x(
5
1
3y
)n(



IRD:f f 
fDI 
Ix,0)x(f ' 
I
Ix,0)x(f ' 
I
IRD:f f 
fDc
fDx,)c(f)x(f 
IRD:f f 
fDc
fDx,)x(f)c(f 
IRD:f f 
fDc
)c(f)x(f,)c(Bx:0  
IRD:f f 
fDc
)x(f)c(f,)c(Bx:0  
IRD:f f 
fDp 0)p(f
' 
 
 


p,px,0)x(f
ep,px,0)x(f
:0
'
'
 
 
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 3 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
Então p é um mínimo local. 
 
 
EXEMPLO 2 
 
 
Como então 
Note que é um mínimo local já que 
 
 
EXEMPLO 3 
 
 
Como então 
Note que é um máximo local já que 
 
 
EXEMPLO 4 
 
 
não é derivável em , porém é 
um mínimo local, pois 
 
 
DEFINIÇÃO 5. Seja 
 
 
derivável e , então f tem 
concavidade para cima em se e somente 
se 
 
 
DEFINIÇÃO 6. Seja 
 
 
 
 
derivável e , então f tem 
concavidade para baixo em se e somente 
se 
 
 
DEFINIÇÃO 7. Seja 
 
 
derivável e , p é um ponto 
de inflexão, se nas vizinhanças laterais de 
p, as concavidades forem diferentes. 
 
Teorema 3. Seja 
 
 
derivável de segunda ordem e 
, se 
 
a) 
 b) 
 
 
EXEMPLO 5 
 
 
Como f tem concavidade 
para cima em todo seu domínio. 
 
EXEMPLO 6 
 
 
Note que é um ponto de inflexão já 
que 
 
 


p,px,0)x(f
ep,px,0)x(f
:0
'
'
2x)x(fx
IRIR:f



x2)x(f '  .0x0)x(f ' 
0x 
.0x2)x(f0x
0x2)x(f0x
'
'


2x)x(fx
IRIR:f



x2)x(f '  .0x0)x(f ' 
0x 
.0x2)x(f0x
0x2)x(f0x
'
'









0x,x
0x,x
x)x(fx
IRIR:f

f 0x  0x 
.01)x(f0x
01)x(f0x
'
'


IRD:f f 
IpeabertoDI f 
I
.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f ' 
IRD:f f 
IpeabertoDI f 
I
.px,Ip,x,)px()p(f)p(fy)x(f ' 
IRD:f f 
IpeabertoDI f 
IRD:f f 
IpeabertoDI f 
IemcimaparaeconcavidadtemfIx,0)x(f )2( 
IembaixoparaeconcavidadtemfIx,0)x(f )2( 
2x)x(fx
IRIR:f



IRx,02)x(f )2( 
3x)x(fx
IRIR:f



0x 
 
 
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CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
 
O esboço de um gráfico pode ser feito 
através de um procedimento, que será 
descrito a seguir. 
 
1° Passo 
Determinar o domínio da função. 
 
2° Passo 
Fazer os limites laterais nos pontos de 
fronteira do Domínio da função. 
 
3° Passo 
Determinar as raízes da função, ou pelo 
menos localizá-las, usando a continuidade 
da função caso seja o caso. 
 
4° Passo 
Determinar os pontos de descontinuidade 
da função, bem como os limites laterais 
destes pontos. 
 
5° Passo 
Análise do sinal da primeira derivada, 
quando derivável. Determinação dos 
intervalos de crescimento e decrescimento 
e dos pontos extremos locais. 
 
6° Passo 
Análise do sinal da segunda derivada, 
quando derivável de segunda ordem. 
Estudo da concavidade da função e 
determinação dos pontos de inflexão. 
 
7° Passo 
Determinação das assíntotas ao gráfico da 
função. 
As assíntotas do gráfico de uma função 
podem ser verticais ou não-verticais. 
 
Assíntotas Verticais 
 
é uma assíntota vertical se e somente 
se 
 
 
 
 
Assíntotas Não-Verticais 
 
é uma assíntota não-vertical se 
e somente se existirem os limites, 
 
 
e 
 
 
EXEMPLO 7 
 
Seja 
 
1° Passo 
 
 
2° Passo 
.econcavidad,0x6)x(f0x
econcavidad,0x6)x(f0x
)2(
)2(


0xx












0
0
0
0
xx
xx
xx
xx
lom
ou
lom
ou
lom
ou
lom
hmxy 
x
)x(f
limm
x 

)mx)x(f(limh
x


 
x
1
x)x(fx
IR0\IR:f
2 


 0\IRDf 
 
 
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CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
3° Passo 
Raízes da função 
 
 
 
 
4° Passo 
O único ponto de descontinuidade da 
função e os limites laterais já foram 
calculados. 
 
5° Passo 
 
Então 
 
Logo a função é crescente em 
E decrescente em e 
é ponto de mínimo local. 
 
6° Passo 
 
Então 
 
Logo a função tem concavidade voltada 
para cima em 
 
e tem concavidade voltada para baixo em 
 
e é ponto de inflexão. 
 
7° Passo 
 
é uma assíntota vertical já que 
 
O gráfico não possui assíntotas não-
verticais. 
 
 
 
4. CINEMÁTICA 
 
Seja 
 
 
A função deslocamento de uma 
partícula, suponha que esta função seja 
derivável de segunda ordem. 
A velocidade desta partícula é definida 
como, 
 
 
E a aceleração é definida como, 






)
x
1
x(lim)x(flim
)
x
1
x(lim)x(flim
2
0x0x
2
0x0x
.IRx,1x
1x
x
1
x
0
x
1
x0)x(f
3
2
2




0x 
2
'
x
1
x2)x(f 
 


















32
'
32
'
2
1
,00,x0
x
1
x2)x(f
,
2
1
x0
x
1
x2)x(f








,
2
1
3
 









3 2
1
,00,
3 2
1
x
3
)2(
x
2
2)x(f 
   
 0,1x0
x
2
2)x(f
,01,x0
x
2
2)x(f
3
)2(
3
)2(


    ,01,
 0,1
1x 
0x 






0x
0x
lim
e
lim
)t(st
IRIR:s


)t(
dt
ds
)t(vt
IRIR:v



 
 
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CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
 
EXEMPLO 8 
 
 
Imagine uma partícula deslocando-se 
com função posição em metros dada 
, onde t é o tempo em 
segundos sua posição inicial é e 
sua velocidade é dada por 
, 
 
e sua aceleração é dada por 
 
. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. A função y = f (x), y > 0, é dada 
implicitamente por x
2
 +4y
2
 = 2. 
Determine a equação da reta tangente ao 
gráfico de f, no ponto de abscissa 1. 
 
2. Suponha que y = f (x) seja uma função 
derivável dada implicitamente pela 
equação y
3
 + 2xy
2
 + x = 4. Suponha, 
ainda, que 1 Df. 
 
a) Calcule f(1) 
b) Determine a equação da reta tangente 
ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 
 
3. Uma partícula desloca-se sobre o 
eixo Ox com função de posição x = 3 + 
2t – t
2
, t  0. 
 
a) Qual a velocidade no instante t? 
b) Qual a aceleração no instante t? 
c) Estude a variação do sinal de v(t) 
d) Esboce o gráfico da função de posição. 
 
4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo 
0x com função de posição x = t + 1, t  
0. 
 
a) Determine a velocidade no instante t 
b) Qual a aceleração no instante t? 
c) Esboce o gráfico da função de posição. 
 
5. A posição de uma partícula que se 
desloca ao longo do eixo Ox depende 
do tempo de acordo com a equação 
x = –t
3
 + 3t
2
, t  0. 
 
a) Estude o sinal de v (t) 
b) Estude o sinal de a (t) 
c) Calcule (–t
3
 + 3t
2
) 
d) Esboce o gráfico da função 
x = –t
3
 + 3t
2
, t  0 
 
6.Seja f(t) = t
3
 + 3t
2
. 
 
a) Estude o sinal de f ’(t) 
b) Estude o sinal de f ” (t) 
c) Calcule (t
3
 + 3t
2
) 
e (t
3
 + 3t
2
) 
d) Utilizando as informações, esboce o 
gráfico de f. 
 
7. Um ponto move-se sobre a 
semicircunferência x
2
 + 
y
2
 = 5, y  0. Suponha > 0. Determine 
o ponto da curva em que a velocidade de 
y seja o dobro da de x. 
 
)t(
dt
sd
)t(
dt
dv
)t(at
IRIR:a
2
2



0t,tt56)t(s 2 
m6)0(S 
s/mt25)t(
dt
ds
)t(v 
2
2
2
s/m2)t(
dt
sd
)t(
dt
dv
)t(a 
2
1
t
lim
t
lim
t
lim
dt
dx
 
 
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 7 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
8.Uma escada de 8m está encostada em 
uma parede. Se a extremidade inferior da 
escada for afastada do pé da parede a uma 
velocidade constante de 2 (m/s), com que 
velocidade a extremidade superior estará 
descendo no instante em que a inferior 
estiver a 3 m da parede? 
 
9. Seja f(x) = x
2
. Determine a equação da 
reta que é tangente ao gráfico de f e 
paralela à reta y = x + 3. 
 
10. Determine para que y = x – 2 
seja tangente ao gráfico de f (x) = x
3
 – 
4x. 
 
11. Os lados x e y de um retângulo 
estão variando a taxas constantes de 0,2 
m/s e 0,1 m/s respectivamente. A que 
taxa estará variando a área do retângulo 
no instante em que x = 1 m e y = 2 m? 
 
12. O raio r e a altura h de um cilindro 
circular reto estão variando de modo a 
manter constante o volume V. Num 
determinado instante h = 3 cm e r = 1 cm 
e, neste instante, a altura está variando à 
uma taxa de 0,2 cm/s. A que estará 
variando o raio neste instante? 
 
13. Considere uma partícula que se 
desloca sobre o eixo 0x com função de 
posição x = cos 3t. 
 
a) Verifique que a aceleração é 
proporcional à posição. 
b) Calcule a aceleração no instante em 
que a partícula se encontra na posição 
x = . 
 
14. Considere uma partícula que se 
desloca sobre o eixo 0x com função de 
posição x = . 
 
a) Verifique que a aceleração é 
proporcional ao cubo da posição 
b) Qual a aceleração no instante em que a 
partícula se encontra na posição x = 
? 
 
 
15.EFOMM 2015 Sabe-se que uma 
partícula move-se segundo a equação S(t) 
= 3 21 1t t t 2
3 2
   , onde t é o tempo em 
segundos e S é a posição em metros. 
Pode-se afirmar que a aceleração da 
partícula, quando t =2s é 
 
(A) 3m/ s2 . (B) 5m/ s2 . 
(C) 7m/ s2 . (D) 8m/ s2 . 
(E) 10m/ s2 . 
 
16.EFOMM 2015. Deseja-se construir 
uma janela que possuindo a forma de um 
retângulo sob um semicírculo, conforme 
figura abaixo, permita o máximo de 
passagem de luz possível. 
 
Sabe-se que: o vidro do retângulo será 
transparente; o vidro do semicírculo será 
colorido, transmitindo, por unidade de 
área, apenas metade da luz incidente em 
relação ao vidro transparente; o perímetro 
total da janela é fixo e vale p. 
Nessas condições, determine as medidas 
da parte retangular da janela, em função 
do perímetro p. 
Obs: Ignore a espessura do caixilho. 
 
2
1

2
1
1t2
1

3 7
 
 
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 8 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(A) e 
(B) e 
(C) e 
(D) e 
(E) e 
 
17. EFOMM 2013. O gráfico de f(x) = (x 
– 3)
2
 . e
x
, x  IR tem uma assíntota 
horizontal r. Se o gráfico de f intercepta r 
 
no ponto P = (a,b) , então a
2
 + b. – 4a 
é igual a: 
 
(A) –3. (B) –2 . (C) 3 . (D) 
2 . (E) 
 
18. EFOMM 2014 Sabendo que a 
velocidade de uma partícula é dada pela 
equação v(t) =2 +3.t +5.t 
2
, pode-se 
afirmar que, no instante t = 5, sua 
aceleração é 
 
(A) 28 m/s² (B) 30 m/s² 
(C) 36 m/s² (D) 47 m/s² 
(E) 53 m/s² 
 
19.EN 2015 Considere a função real de 
variável real f(x) = x
2
e
x
 . 
A que intervalo pertence à abscissa do 
ponto de máximo local de f em  ,  ? 
 
(A) [–3, –1] 
(B) [–1, 1[( 
 C) 10,
2
 
 
  
(D) ]1, 2] 
(E) ]2, 4] 
 
20.EN 2015 A concentração de um certo 
remédio no sangue, t horas após sua 
administração, é dada pela fórmula y(t) =
2
10t
(t 1)
, t  0. Em qual dos intervalos 
abaixo a função y(t) é crescente? 
 
(A) t  0 
(B) t > 10 
(C) t > 1 
(D) 0  t < 1 
(E) 1
2
< t < 10 
 
21. EN 2000 A reta tangente à curva de 
equação 
 + = 1 no ponto P é dada 
por 
 
(A) 20 + 9 = 75 (B) 5 – 5 = 3 
(C) 5 + 15 = 51 (D) 20 – 9 = 45 
(E) – 5 = 75. 
 
22. EN 2010 Sejam f e g funções reais 
de variável real definidas por f(x) = 2 – 
arcsen (x
2
 + 2x) com e g(x) = 
f(3x). Seja L a reta normal ao gráfico g
–
1
 no ponto (2, g
–2
(2)), onde g
–1
 representa 
a função inversa da função g. A reta L 
contém o ponto 
 
(A) (–1, 6) (B) (–4, –1) (C) (1, 3) 
(D) (1, –6) (E) (2, 1) 
 
23.EN 2007 A reta r tangente à curva de 
equação , no ponto , é 
paralela ao eixo das abscissas. Pode-se 
afirmar que o ponto P também pertence à 
reta de equação: 
 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
4
P
3 8π 
4
P
2(3 8)
π
π


2
P
3 8π 
4
P
4(3 8)
π
π


8
P
3 8π 
4
P
3 8
π
π


6
P
3 8π 
3( 4)
P
4(3 8)
π
π


4
P
3 8π 
8
P
3 8)π 
2sen ae
1
2
25
x 2
9
y2








5
12
,3
y x y x
y x y x
y x
x
18 18
 
 
1yxyx  y),(xP 
0x  1y 
02xy  01xy 
01x3y3 
 
 
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 9 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
24. EN 2006 Seja L a reta tangente ao 
gráfico da função real, de variável real, 
 no ponto . 
Se P e Q são os pontos de interseção de L 
com os eixos coordenados, a medida da 
área do triângulo de vértices P, Q e 
é: 
 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
25. EN 1999 A reta S passa pelo ponto (3, 
0) e é normal ao gráfico de f(x) = x
2
 no 
ponto P(x, y). As coordenadas x e y de P, 
são, respectivamente: 
 
(A) 2 e 4 (B) 
 
(C) 1 e 1 
(D) 
 
(E) . 
 
26. EN 1991 As tangentes à curva de 
equação y = x
2
 que passam pelo ponto P 
(–2 , 0) formam ângulo α. Determine tgα. 
 
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 
6 (E) 8 
 
27. EN 1987 A equação da reta que é 
tangente à curva 
 
y = e que contém o ponto (3, 2) é: 
 
(A) y = –5x + 17 (B) y = –4x + 14 
(C) y = –3x + 11 (D) y = –2x + 8 
(E) y = –x + 5. 
 
28. EN 2011_2012Em que ponto da curva 
y
2 
= 2x
3
 a reta tangente é perpendicular à 
reta de equação 4x – 3y + 2 = 0? 
 
(A)
 
(B)
 
(C)
 
(D) (2, –4) (E) 
 
 
29. EN 2009_2010 Sejam: 
a) f uma função real de variável real 
definida por 
f(x) = arctg , x > 1e 
b) Lareta tangente ao gráfico da 
função y = f
–1
(x)no ponto (0, f
–1
 (0)). 
Quanto mede, em unidades de área, a área 
do triângulo formado pela reta Le os eixos 
coordenados? 
 
(A)
 
(B) 3 (C) 1 (D) 
 
(E) 
 
30. EN 2008 A função real f, de variável 
real, é definida por . 
Podemos afirmar que a equação da reta 
normal ao gráfico de função inversa 
no ponto é: 
 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
31. EN 2008 Sejam a reta tangente ao 
gráfico da função real no 
ponto P(–1,f(–1) e L2 a reta tangente ao 
gráfico da função no ponto 
. A abscissa do ponto de 
interseção de e L2 é: 
 














2x
4
3π
coseY(x)
3
2
π
x








2
2
,
2
π
0),(0
2
)1(2 
8
)1(2 2
2
1
24
2








4
)1(2 2
2
2
22
2








4
1
e
2
1
9
1
e
3
1
4
25
e
2
5
1x
3x2


1 1
,
8 16
 
 
 
1 2
,
4 16
 
 
 
(1, 2)
1 1
,
2 2
 
 
 
3x
x
3
 
 
 
3
2
2
3
4
3
x)x(xnf(x) 35  
1f 
3))n(f,3n( 1  
13n3x3y   33nxy3  
127nx3y   33nxy3  
33nx3y  
1L
3x2xef(x) 
(x)fy 
1))(f,1Q( 
1L
 
 
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 10 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(A) . (B) . (C) . 
(D) . (E) 1. 
 
32.EN 2007 Sejam r e s retas do plano 
tais que: 
(i) r possui coeficiente angular positivo e 
não intercepta a curva de equação 
 
 
 
(ii) s é tangente ao gráfico da função real 
f definida por 
 no ponto 
. 
Se I é o ponto de interseção de r e s, então 
a soma de suas coordenadas vale: 
 
(A) . (B) . (C) .
 
(D) 
 
(E) . 
 
33. EN 2005 A equação da reta que passa 
pelo centro da curva e é 
normal ao gráfico da função real 
 no ponto de abscissa é: 
 
(A) . (B) . 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
34. EN 1998 Considere r a reta tangente 
ao gráfico da função y = f(x) no ponto 
(1, f(1)). Sejam f(1) = 3 e 
f’(1) = 2.Se r intercepta o gráfico 
da função g(x) = x
2
 – 3x + 7 
nos pontos (x1, y1) e (x2, y2) então os 
valores de y1 e y2 são respectivamente 
 
(A) 1 e 2 (B) 2 e 3 (C) 3 e 
5 
(D) 5 e 7 (E) 7 e 9. 
 
35. EN 1993 A área do triângulo formado 
pelos eixos coordenados e pela tangente à 
curva y = 4x
2
 no ponto (1,4) vale: 
 
(A) 8 (B) 4 (C) 2 
(D) 1 (E) 1/2 
 
 
36. EN 1986 O valor de a para o qual 
as curvas de equações y = a – x
2
 e xy = 
16 são tangentes é: 
 
(A) 12 
(B) –4 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 1. 
 
37. EN 2011_2012Em que ponto da curva 
y
2 
= 2x
3
 a reta tangente é perpendicular à 
reta de equação 4x – 3y + 2 = 0? 
 
(A)
 
(B)
 
(C) (D) (2, –4) 
(E) 
 
38. EN 2013 Considere a função real de 
variável real definida por f(x) = 3x
4
 – 4x
3
 
+ 5. É verdade afirmar que 
 
(A) f tem um ponto de mínimo em ]–, 
0[. 
(B) f tem um ponto de inflexão em 
(C) f tem um ponto de máximo em [0, 
+[ 
(D) f é crescente em [0, 1] 
(E) f é decrescente em [–, 2]. 
9
1

3
1

9
1
3
1
1
4
1)(y
9
2)(x 22




]1)(x[1n23x.ef(x) 41)
2(x   
1),P(1
25
4
17
11
25
12
25
21
17
16
04y4xy4x 22 
xsenarc(x)f 
2
1
x 
03x2y2  03xy 
01xy  03x2y2 
01xy 
1 1
,
8 16
 
 
 
1 2
,
4 16
 
 
 
(1, 2)
1 1
,
2 2
 
 
 
1 1
,
2 2
 
 
 
 
 
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 11 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
39. EN 2010 Seja L uma letra de forma 
cilíndrica, sem tampa, de rampa da base r 
e altura h. Se a área da superfície de L 
mede 54 π a
2
 cm
2
, qual deve ser o valor 
de , para que L tenha volume 
máximo? 
 
(A) a cm (B) 3a cm 
(C) 6a cm (D) 9a cm 
(E) 12a cm 
 
 
40. EN 2009_2010 Os gráficos das 
funções reais f e g de variável real, 
definidas por f(x) = 4 – x
2 
e g(x) = 
interceptam-se nos pontos A = (a,f(a)) e 
B = (b,f(b)), a  b. Considere os 
polígonos CAPBD onde C e D são as 
projeções ortogonais de A e B 
respectivamente sobre o eixo x e P(x,y), a 
 x  b um ponto qualquer do gráfico da 
f. Dentre esses polígonos, seja ,aquele 
que tem área máxima. Qual o valor da 
área de , em unidades de área? 
 
(A)
 
(B)
 
(C) 
(D)
 
(E) 
 
41. EN 2008 O valor mínimo relativo de 
função f, de variável real x, definida por 
, onde , vale: 
 
(A) (B) 
(C) (D) 
 
(E) . 
 
42. EN 2009 Nas proposições abaixo 
coloque (V) na coluna à esquerda quando 
a proposição for verdadeira e (F) quando 
for falsa. 
( ) O triângulo cujos vértices são obtidos 
pela interseção das retas y – x + 2 = 0, y 
+ x – 8 = 0 e y = 0 é isósceles. 
( ) A equação da circunferência cujo 
centro coincide com o centro da hipérbole 
2y
2
 – x
2 
= 6e que passa pelos focos desta é 
x
2 
+ y
2 
= 8. 
( ) Seja  uma função real de 
variável real. Se a pertence ao 
domínio da  e (x) = (x) = 
b,então (a) – b . 
( ) Seja  uma função real de variável 
real. Se  possui derivadas de todas as 
ordens em um intervalo I  IR, x0 I e 
"(xo) = 0,então (x0, (x0))é um ponto de 
inflexão do gráfico da . 
( ) Se a,be c, são respectivamente, 
as medidas dos lados opostos aos 
ângulos Â, e de um triângulo ABC, 
então o determinante 
= énulo, para 
quaisquer a,b,cem IR*. 
 
Lendo a coluna da esquerda, de cima para 
baixo, encontra-se 
 
A) V V V F V 
B) V V V V F 
C) F F F V F 
D) F F V V V 
E) V F F F V 
 
43.EN 2007 O cone circular reto, de 
volume mínimo, circunscrito a um 
hemisfério de raio R e apoiado no plano 
diametral, tem por volume o número real: 
 
(A) . (B) . 
2 2r h
5 x
2

530
64
505
64
445
64
125
64
95
64
xcos
b
xsen
a
f(x)
2
2
2
2
 *Rb,a 
 2b2a  22 ba 
ab2  2ba 
2)ba(2 
 ax
lim
 ax
lim
B̂ Ĉ
ĈsenB̂senAsen
cba
111

3R
3
 3R
3
3

 
 
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 12 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(C) . (D) . 
(E) . 
 
44. EN 2006 Um recipiente cilíndrico 
que deve ter de volume vai ser 
construído nas oficinas do Arsenal de 
Marinha, para atender a um dos navios da 
MB. Na lateral e na tampa, será utilizado 
um material cujo preço é R$ 1.000,00 por 
 
 e, no fundo, um material cujo preço é 
R$ 2.000,00 por . Que dimensões deve 
ter o recipiente, para que a MB tenha a 
menor despesa possível? 
 
(A) e . 
(B) e . 
(C) e . 
(D) e . 
(E) e . 
 
45.EN 2002 De um ponto P do cais, 
João observa um barco AB ancorado. 
Para um sistema de eixos ortogonais os 
pontos A e B têm coordenadas 
respectivamente iguais a (0,20) e (0,40), 
enquanto P encontra-se no semi-eixo 
positivo das abscissas. Se o ângulo A B 
de observação é máximo, então a abscissa 
de P é igual a: 
 
(A) 20 (B) 20 (C) 
20 
(D) 15 (E) 10. 
 
46. EN 1999 Na confecção da raia de tiro 
para navios da Marinha, verificou-se que 
o alvo ideal seria um retângulo. As 
dimensões de um retângulo de área 
máxima com base no eixo x e vértices 
superiores sobre a parábola y = 12 – x
2
 
pertencem ao intervalo: 
 
(A) [2, 5] 
(B) [0, 3] 
(C) ]3, 7] 
(D) [4, 9[ 
(E) [0, 6[. 
 
 
47. EN 1999 Um navio levará estocado 
um latão de óleo contendo100  dm
3
 de 
volume e deve ter a forma de um cilindro 
com base plana e parte superior 
hemisférica, conforme a figura. 
Desprezando a espessura do material, 
podemos afirmar que o raio r da base, 
para que seja gasto a menor quantidade 
possível de material para a confecção do 
latão é: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) . 
 
48. EN 1998 A relação entre os 
coeficientes b e c para que a equação x
3
 + 
bx+ c = 0 possua duas raízes iguais é 
 
(A) 4 b
3
 + 27 c
2
 = 0 
(B) b
3
 + c
2
 = 0 
(C) 2b
3
 + 3c
2
 = 0 
(D) b
3
 + c
2
 = 0 
(E) 3b = c. 
 
49. EN 1998 A função f(x) = x e
1/x
 é 
decrescente no intervalo 
 
3R
3R
3
2

3R
2
3

3m1
2m
2m
m
3
1
3 
m
3
1
2
m
3
1
3 
m
9
1
3 2
m
3
1
3
m
9
1
3 2
m
3
1
3 
m
9
3

m
3
1
3 
m
9
1
3 2
P̂
2 3
603
152
504
3 153
3 60
 
 
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 13 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(A) ] 1, [ (B) ] – , 1[ 
(C) ] – , 0[ (D) ] 0, + [ 
(E) ] 0, 1[. 
 
50. EN 1998 Considere um cone circular 
reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm. 
As dimensões do raio e da altura do 
cilindro circular reto, de maior volume, 
que pode ser inscrito neste cone, são 
respectivamente 
 
(A) e 4 
(B) 4 e 10 
 (C) 3 e 
 
(D)
 
 
(E) e 5. 
 
51. EN 1998 Podemos observar que o 
gráfico de 
y = 
 
(A) cresce em ] – 
(B) tem (0, –1) como ponto de inflexão 
(C) tem assíntota horizontal em y = 1 e 
assíntota vertical em x = 1 e x = –1 
(D) tem cavidade voltada para cima 
qualquer x ] –1, 1[ 
(E) está definido para x R. 
 
52. EN 1994A menor distância entre um 
ponto da parábola e a origem é 
igual a: 
 
(A) 1 (B) (C)
 
(D) (E) . 
 
53. EN 1991 O mínimo valor de 
, x real , é: 
 
(A) 0,50 
(B) 0,80 
(C) 0,85 
(D) 0,95 
(E) 1 
 
54. EN 1987 Para x > 0, o valor mínimo 
de x
x
 é obtido para x igual a: 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
(D) 
 
(E) 1. 
 
55. EN 1987 A equação da reta que é 
tangente à curva y = e que contém o 
ponto (3, 2) é: 
 
(A) y = –5x + 17 
(B) y = –4x + 14 
(C) y = –3x + 11 
(D) y = –2x + 8 
(E) y = –x + 5. 
 
56. EN 1987 O volume do cone de 
revolução de volume máximo que pode 
ser inscrito em uma esfera de raio R é: 
 
(A) 
 
(B) 
 
 (C) 
 
(D) 
 
(E) . 
 
57. EN 1986 Os valores mínimo e 
máximo de f(x) = no intervalo | 0, 1 | 
são respectivamente: 
 
 
 
3
10
3
14
4
23
e
5
9
2
5
1x
1x
2
2


[1,0]]1, 


2x1y 
4
7
4
1
2
3
4
3
22
24
)1x(
5xx


10
1
3
1
e
1
2
1
1x
3x2


81
R16 3
3
R3
81
R32 3
27
R16 3
27
R32 3
2xxe
 
 
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CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(A) 0 e
 
(B) 0 e 
(C) 
 
(D) 0 e 
(E) 0 e e. 
 
58. EN 1985 O brilho de uma fonte 
luminosa de intensidade I a uma distância 
d é dada por . Suponha que haja uma 
fonte de intensidade A na origem e outra 
 
de intensidade B no ponto (1, 0). A razão 
 que torna o ponto ( , 0) o menos 
iluminado de todos é: 
 
(A) 1 (B) (C) 
 (D) 
 
(E) . 
 
59. ESCOLA NAVAL 2013 Um ponto 
P(x, y) move-se ao longo da curva plana 
de equação x
2
 + 4y
2
 = 1, com y > 0. Se a 
abscissa x está variando a uma 
velocidade = sen4t, pode-se afirmar 
que a aceleração da ordenada y tem por 
expressão 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
60. EN 2011_2012 A taxa de 
depreciação de determinada máquina é 
inversamente proporcional ao quadrado 
de t+1, onde V é o valor, em reais, da 
máquina t anos depois de ter sido 
comprada. Se a máquina foi comprada 
por R$ 500.000,00 e seu valor decresceu 
R$100.000,00 no primeiro ano, qual o 
valor estimado da maquina daqui após 4 
anos? 
 
(A) R$ 350.000,00 (B) R$ 340.000,00 
(C) R$ 260.000,00 (D) R$ 250.000,00 
(E) R$ 14.000,00 
 
 
61. EN 2011_2012 Ao meio dia, o navio 
NE-Brasil encontra-se a 100km a leste do 
navio Aeródromo São Paulo. O NE-Brasil 
navega para oeste com a velocidade de 12 
km/h e o São Paulo para o sul a 10 km/h. 
Em que instante, aproximadamente, os 
navios estarão mais próximos um do 
outro? 
 
(A) 5,3 h (B) 5,1 h (C) 4,9 h 
(D) 4,4 h (E) 4,1 h 
 
62. EN 2011 Considere o triângulo 
isosceles ABC inscrito em um circuito, 
conforme figura abaixo. Suponha que o 
raio do circuito cresce a uma taxa de 
3cm/s e a altura do triângulo cresce a 
uma taxa de 5cm/s. A taxa de 
crescimento da área do triângulo no 
instante em que o raio e a altura 
medem, respectivamente, 10cm e 16cm, é 
 
 
(A) 78 cm
2
/s 
(B) 76 cm
2
/s 
(C) 64 cm
2
/s 
(D) 56 cm
2
/s 
(E) 52 cm
2
/s 
 
 
63. EN 2009_2010 Considere o triângulo 
ABC dado abaixo, onde M1,M2 e M3 são 
e
1
e2
1
e2
1
e
e
1
4e2
1
2d
I
B
A
3
1
3
1
3
2
8
1
2
3
dx
dt
2 2 3
3
(1 x) sen 4t 4x cos4t
8y
 
2 2
3
x sen4t 4xcos 4t
16y

2 2
3
sen 4t 16xy cos4t
16y
 
2 2
3
x sen4t 4xcos 4t
8y

2 2
3
sen 4t 16xy cos4t
16y
 
dV
dt
AD
AD
 
 
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 15 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
os pontos médios dos lados AC, BCe AB, 
respectivamente e ka razão da área do 
triângulo AIB para a área do triângulo 
IM1M2 e f(x) = ( x
3
 + x
2
 – 2x – 11) . 
Se um cubo se expande de tal modo que 
num determinado instante sua aresta 
mede 5dme aumenta à razão de 
então podemos afirmar que a 
taxa de variação da área total da 
superfície deste sólido, neste instante, 
vale em 
 
 
 
 
(A) 240 (B) 330 (C) 420 
(D)940 (E) 1740 
 
64. EN 1999 Um míssil, lançado 
verticalmente de uma Fragata, é rastreado 
por uma estação de radar localizada a 3 
milhas do ponto de lançamento. Sabendo-
se que em um certo instante a distância do 
míssil à estação radar é de 5 milhas e que 
esta distância está aumentando à taxa de 5 
mi/h, podemos afirmar que a velocidades 
vertical do míssil neste instante é de: 
 
(A) 4100 mi/h 
(B) 5250 mi/h 
(C) 5750 mi/h 
(D) 6100 mi/h 
(E) 6250 mi/h. 
 
65. EN 1997 Dois trens se deslocam 
sobre trilhos paralelos, separados por 1/4 
km. A velocidade do primeiro é 40 km/h 
e a do segundo 60 km/h, no mesmo 
sentido que o primeiro. O passageiro A 
do trem mais lento observa o passageiro 
B do trem mais rápido. A velocidade 
com que muda a distância entre eles 
quando A está a 1/8 km à frente de B é, 
em km/h. 
 
(A)
 
(B) (C) 0 
 (D) – (E) . 
 
66. EN 1993 Um reservatório tem a 
forma de uma esfera com uma pequena 
abertura na parte de cima. Enche-se o 
 
reservatório por intermédio de uma 
torneira de vazão constante. O gráfico que 
melhor representa a altura da água no 
reservatório em função do tempo é: 
 
(A) (B) 
 
(C) (D) 
 
 
(E) 
 
 
67. EN 2014 Numa vidraçaria há um 
pedaço de espelho, sob a forma de um 
triângulo retângulo de lados 30 cm, 40 cm 
e 50 cm. Deseja-se a partir dele, recortar 
um espelhos retangular, com a maior área 
possível, conforme figura abaixo. Então 
as dimensões do espelho são 
1
2
2
f (k) dm min
2dm min
2 2 2
2 2
5
20
5
5
5
20
 
 
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 16 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
 
(A) 25 cm e 12 cm 
(B) 20 cm e 15 cm 
(C) 10 cm e 30 cm 
(D) 12,5 cm e 24 cm 
(E) 10 cm e 10 cm 
 
 
 
68. EN 2015.A função real de variável 
real f(x) = 
2
2x a
bx cx 2

 
, onde a, b, c são 
constantes reais, possui as seguintes 
propriedades: 
 
I. o gráfico de f passa peço ponto (1,0) e 
II. a reta y = 1 é uma assíntota para o 
gráfico de f. 
 
O valor de a + b + c é 
 
(A) –2 (B) –1 
(C) 4 (D) 3 
(E) 2 
 
69.EN 2015 O gráfico que melhor 
representa a função real de variável real 
f(x) = ln x 1
ln x 1


 é 
 
(A) (B) 
 
 
 
 
 
(C) (D) 
 
 
(E)70. EN 2014 O gráfico que melhor 
representa a função real f, definida por 
 é 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
3 3
x 1 x
x se x 1
f (x) x 1
x x se x 1
 
  
 
  
 
 
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CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(E) 
 
 
71. ESCOLA NAVAL 2013 A figura 
que melhor representa o gráfico da função 
 é 
 
 
 
 
(A) (B) 
 
 
(C) (D) 
 
 
(E) 
 
 
72. EN 2011_2012 O gráfico que melhor 
representa a função real , definida por 
(x) = é 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
(E) 
 
73. EN 2011 A figura que melhor 
representa o gráfico da função é 
 
(A) 
 
 
 
1
yx y e
3 21
x 3x
4

x 1
x 1y e


 
 
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 18 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
74. EN 2009 A melhor representação 
gráfica para a função real , de variável 
real, definida por (x) = é 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
 
 
(E) 
 
 
75. EN 2008 Seja f a função real, de 
variável real, definida por . 
Podemos afirmar que: 
 
(A) f é derivável . 
(B) f é crescente . 
(C) f é positiva e é 
ponto de inflexão. 
(D) a reta é uma assíntota 
ao gráfico de f e é ponto de 
máximo local. 
(E) f é derivável e 
é uma assíntota do gráfico de f. 
 
76. EN 2007 O gráfico que melhor 
representa a função real 
xln
x
3 23 xxf(x) 
*Rx
 Rx
 Rx ))1(f,1(
01x3y3 
))0(f,0(
 1Rx *  01x3y3 
 
 
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 19 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
, com , é: 
 
(A) 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
77. EN 2006 Dentre as opções abaixo, 
aquela que melhor representa o gráfico da 
função real de variável real 
é: 
 
(A) 
 
(B) 
 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
78. EN 2004 Considere a função real f 
definida por: 
 









0xsexn
exsee1x
ex0sexn
(x)f


*Rx
1 xe1
f(x)
1 xe1
f(x)
1 xe1
f(x)
1 xe1
f(x)
1 xe1
f(x)
xarctg2xf(x) 
x
y
x
y
x
y
x
y
1
x
y
1
 
 
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 20 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
 
 
A imagem da função f é o conjunto: 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
 
79. EN 2004 
 
 
A figura acima é a representação gráfica 
de uma função . 
Dos gráficos abaixo, aquele que melhor 
representa a função onde
 é: 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
 
80. EN 2002 O número de soluções reais 
da equação sen = x – 2 é igual a n; 
assim, pode-se concluir que: 
 
(A) n = 0 (B) n = 1 
(C) n = 2 (D) n = 3 
(E) n > 3. 
 
81. EN 1997 O gráfico da função f(x) = 
 é 
(A) 
 
 
(B) 
 
 
 


























1xse2
1xse2
2xsex
2x1se
1x
3
1x1se
1x
3
1x2se
1x
3
2xse1x
)x(f
3
2
2
2
2
[,1[]3,]  
[,2[]1,]  
[,1][1,1]]3,]  
[,1][1,2]]2,]  
 1,1R 
x
y
f(x)y 
RR:f 
RR:g 
)|x|(f)x(g 
x
y
g(x)y 
x
y
g(x)y 
x
y
g(x)y 
x
y
g(x)y 
x
y
g(x)y 






x
1
1xIn
1xIn


 
 
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 21 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
 
82. EN 1994 Os números de assíntotas 
horizontais distintas e verticais distintas 
da curva são, respectivamente, 
iguais a: 
 
(A) 0 e 2 
(B) 1 e 1 
(C) 1 e 2 
(D) 2 e 1 
(E) 2 e 2. 
 
GABARITO 
 
1. y = – x + 1 
2. a) 1 b) y – 1 = – (x – 1) 
3. a) 2 – 2t b) –2 
c) v (t) > 0 em [0, 1[ v (t) < 0 em ]1, 
+[ 
d) 
 
 
 
4.Demonstração 
 
5. a) v(t) > 0 em ]0, 2[ 
 v(t) < 0 em ]2, + [ 
 b) a(t) > 0 em [0, 1[ 
 a(t) < 0 em ] 1, + [ 
 c) – 
 d) 
 
 
 
6.Demonstração 
 
7. (–2, 1) 
8. – 
9.y = x – 
 
10. –1 
 
11.0,5 m
2
/s 
 
12.– cm/s 
 
13.a) = –9x b) – 
 
14.Demonstração 
 
15. B 
16. A 
17. A 
18. E 
19. A 
20. D 
21. A 
22. D 
23. D 
24. B 
25. C 
2x
x3
y
2 

2
1
7
3
55
6
2
1
16
1
3
1,0
2
2
dt
xd
2
9
 
 
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 22 
CÁLCULO – DERIVADAS (PARTE 2) 
26. E 
27. A 
28. A 
29. E 
30. C 
31. A 
32. E 
33. D 
34. D 
35. D 
36. A 
37. A 
38. A 
39. C 
40. A 
41. D 
42. A 
43. E 
44. D 
45. A 
46. D 
47. E 
48. A 
49. B 
50. A 
51. C 
52. A 
53. A 
54. B 
55. A 
56. C 
57. B 
58. D 
59. C 
60. B 
61. C 
62. D 
63. E 
64. E 
65. E 
66. A 
67. A 
68. C 
69. D 
70. E 
71. C 
72. A 
73. A 
74. B 
75. D 
76. A 
77. A 
78. A 
79. E 
80. B 
81. C 
82. C