CA II A10 - Pilares - Exemplos de cálculo de pilares de canto

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"O DISCENTE declara-se ciente de que qualquer 
tipo de filmagem e/ou forma de reprodução do 
material de vídeo disponibilizado nas aulas remotas 
ou em EAD, através de exibição pública ou não, 
parcial ou total, independentemente da intenção de 
auferir lucro, o sujeitará às sanções civis e 
criminais cabíveis, sem prejuízo do dever de 
indenizar a (o) CONTRATADA (O) por todos os 
danos e prejuízos causados." 
São Luís – MA | 2021.1 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
CONCRETO ARMADO II 
Prof. Me. Felipe Ferreira | felipe005228@ceuma.com.br 
São Luís – MA | 2021.1 
UNIVERSIDADE CEUMA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
CAMPUS RENASCENÇA 
 CÁLCULO DOS PILARES DE 
CANTO 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
A. Pilares biapoiados sem cargas transversais 
𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 ∙
𝑀𝐵
𝑀𝐴
→ 1 ≥ 𝛼𝑏 ≥ 0,4 
 
 𝑀𝐴 e 𝑀𝐵 são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, no 
caso de nós fixos; e momentos totais (1ª ordem + 2ª ordem 
global) no caso de nós móveis. 
 
𝑀𝐴 é o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado; 
𝑀𝐵 possui sinal positivo, se tracionar a mesmo face que 𝑀𝐴; 
𝑀𝐵 possui sinal negativo, se não tracionar a mesma face que 
𝑀𝐴. 
 
4 
Pilares 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
A. Pilares biapoiados sem cargas transversais 
𝑀𝐵 possui sinal positivo, se tracionar a mesmo face que 𝑀𝐴; 
 
5 
Pilares 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
A. Pilares biapoiados sem cargas transversais 
𝑀𝐵 possui sinal negativo, se não tracionar a mesma face que 
𝑀𝐴. 
 
6 
Pilares 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
B. Pilares biapoiados com cargas transversais 
significativas ao longo da altura 
𝛼𝑏 = 1,0 
7 
Pilares 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
C. Pilares em balanço 
𝛼𝑏 = 0,80 + 0,20 ∙
𝑀𝐶
𝑀𝐴
≥ 0,85 → 1 ≥ 𝛼𝑏 ≥ 0,85 
𝑀𝐶 é o momento de primeira ordem no meio do pilar. 
 
8 
Pilares 
0.𝜶𝒃 e 𝑴𝟏𝒅,𝑨 (𝑴𝟏𝒅,𝑩) 
 O valores de 𝛼𝑏 e 𝑀1𝑑,𝐴 seguem os seguintes limites: 
D. Pilares biapoiados ou em balanço com momentos 
menor que o mínimo. 
𝛼𝑏 = 1,0 
9 
Pilares 
1.ROTEIRO DE CÁLCULO 
 No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes 
sobre o pilar, tem-se que os momentos fletores de 1ª ordem 
são nulos em ambas as direções do pilar (𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 = 0), 
portanto, 𝑒1 = 0. 
A. Esforços solicitantes; 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛 ∙ 𝛾𝑓 ∙ 𝑁𝑘 , 
onde: 
𝑁𝑘 = força normal característica do pilar; 
𝛾𝑛 = coeficiente de majoração da força normal (6118); 
𝛾𝑓= coeficiente de ponderação das ações no ELU (6118). 
10 
Pilares 
1.ROTEIRO DE CÁLCULO 
 B. Índice de esbeltez; 
𝜆 =
𝑙𝑒
𝑖
, 𝑖 =
𝐼
𝐴
 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜆 = 3,46 ∙
𝑙𝑒
ℎ
 
 
C. Momento fletor mínimo; 
M1d,𝑚í𝑛 = Nd ∙ 1,5 + 0,03 ∙ h , 
com h = dimensão do pilar, em cm, na direção 
considerada. 
11 
Pilares 
1.ROTEIRO DE CÁLCULO 
 D. Esbeltez limite; 
𝜆1 =
25 + 12,5 ∙
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
, 𝑐𝑜𝑚 35 ≤ 𝜆1 ≤ 90 
𝑒1 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖á𝑟𝑖𝑜 
𝜆 ≤ 𝜆1 → ñ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑓. 𝑙𝑜𝑐. 𝑑𝑒 2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟. 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝜆 > 𝜆1 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑓. 𝑙𝑜𝑐. 𝑑𝑒 2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟. 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 
 
12 
Pilares 
1.ROTEIRO DE CÁLCULO 
 E. Momento de 2ª ordem 
Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 ∙ 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 ∙
𝑙𝑒
2
10
∙
1
𝑟
≥ 
𝑀1𝑑,𝐴
𝑀1𝑑,𝑚í𝑚
𝑒 𝑀1𝑑,𝐴 ≥ 𝑀1𝑑,𝑚í𝑚 
A NORMA permite fazer a seguinte aproximação da curvatura 
1
𝑟
=
0,005
ℎ ∙ (𝜈 + 0,5)
≤
0,005
ℎ
, 
Onde 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑
→ 
13 
Pilares 
1.ROTEIRO DE CÁLCULO 
 E. Momento de 2𝑎 ordem 
Método do pilar-padrão com rigidez 𝜿 aproximada 
 
19200𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
2 + 3840ℎ𝑁𝑑 − 𝜆
2ℎ𝑁𝑑 − 19200𝛼𝑏𝑀1𝑑,𝐴 𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡
− 3840𝛼𝑏ℎ𝑁𝑑𝑀1𝑑,𝐴 = 0 
14 
Pilares 
2.EXEMPLO: 
 Dimensionar a armadura do pilar mostrado na Figura (canto, 
biapoiado na base e no topo, de nós fixos e sem forças 
transversais atuantes) sendo conhecidos: concreto 𝐶20 ; 
𝑎ç𝑜 𝐶𝐴 − 50; 𝑑’ = 4,0 𝑐𝑚; 
15 
Pilar de Canto 
𝑁𝑘 = 360𝑘𝑁; 
𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑥= 2.683𝑘𝑁𝑐𝑚; 
(𝑒1𝑥,𝐴 = −𝑒1𝑥,𝐵 = 5,32𝑐𝑚) 
 
𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑦= 1.105𝑘𝑁𝑐𝑚; 
(𝑒1𝑦,𝐴 = −𝑒1𝑦,𝐵 = 2,19𝑐𝑚) 
 
seção transversal 20𝑥30 ( 𝐴𝑐 =
600𝑐𝑚2) e comprimento equivalente 
de flambagem 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙𝑒𝑦 = 280 𝑐𝑚 
 
2.EXEMPLO: 
 A seguinte figura mostra como ocorre a solicitação do pilar pelos 
momentos fletores de 1ª ordem, e as excentricidades 
correspondentes. 
16 
Pilar de Canto 
Momentos fletores de 1ª ordem de cálculo (kN.cm) nas direções x e y. 
 
2.EXEMPLO: 
 
17 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 A. ESFORÇOS SOLICITANTES 
 𝑁𝑑 = 𝛾𝑛 ∙ 𝛾𝑓 ∙ 𝑁𝑘 
𝑁𝑑 = 1 ∙ 1,4 ∙ 360 𝑘𝑁 ≅ 504 𝑘𝑁 
 
OBS.: Além da força normal, ocorrem também momentos 
fletores nos extremos do pilar 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑥= 2.683𝑘𝑁𝑐𝑚 na 
direção x e 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 = −𝑀1𝑑,𝐵,𝑦= 1. 105𝑘𝑁𝑐𝑚 na direção y, em 
função de existirem duas vigas não contínuas sobre o pilar nas 
direções x e y. 
18 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 B. ÍNDICE DE ESBELTEZ; 
𝜆𝑥 = 3,46 ∙
𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 ∙ 280 𝑐𝑚
30 𝑐𝑚
= 32,3 
𝜆𝑦 = 3,46 ∙
𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
=
3,46 ∙ 280 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
= 48,4 
 
19 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 C. MOMENTO FLETOR MÍNIMO de 𝟏ª 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒎****; 
M1d,𝑚í𝑛 = Nd ∙ 1,5 + 0,03 ∙ h 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 504 1,5 + 0,03 ∙ 20 = 1.209,6 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 = 504 1,5 + 0,03 ∙ 70 = 1.058,4 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝑒1𝑥,𝑚í𝑛 =
1.209,6𝑘𝑁. 𝑐𝑚
504𝑘𝑁
= 2,40𝑐𝑚 
𝑒1𝑦,𝑚í𝑛 =
1.058,4𝑘𝑁. 𝑐𝑚
504𝑘𝑁
= 2,10𝑐𝑚 
 
 
 
20 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 D. ESBELTEZ LIMITE; 
Direção X 
A excentricidade de 1ª ordem 𝑒1 na direção x é 5,32 𝑐𝑚. Os 
momentos fletores de 1ª ordem na direção x são 𝑀1𝑑,𝐴,𝑥 =
−𝑀1𝑑,𝐵,𝑥= 2.683𝑘𝑁𝑐𝑚 , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção (𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 1.209,6𝑘𝑁. 𝑐𝑚), o que 
leva ao cálculo de 𝛼𝑏 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4
𝑀𝐵
𝑀𝐴
, 𝑐𝑜𝑚 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4
(−2.683)
2.683
= 0,2 → 𝛼𝑏 = 0,4 
𝜆1,𝑥 =
25 + 12,5 ∙
5,32
30
0,4
= 68,0 ≥ 35 → 𝜆1,𝑥 = 68,0 
 
 
 
 
 
21 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 D. ESBELTEZ LIMITE; 
Direção Y 
A excentricidade de 1ª ordem 𝑒1 na direção y é 2,19 𝑐𝑚. Os 
momentos fletores de 1ª ordem na direção y são 𝑀1𝑑,𝐴,𝑦 =
−𝑀1𝑑,𝐵,𝑦= 1.105 𝑘𝑁𝑐𝑚 , maiores que o momento fletor 
mínimo nesta direção (𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑦 = 1.058,4𝑘𝑁. 𝑐𝑚), o que 
leva ao cálculo de 𝛼𝑏 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4
𝑀𝐵
𝑀𝐴
, 𝑐𝑜𝑚 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4
(−1.105)
1.105
= 0,2 → 𝛼𝑏 = 0,4 
𝜆1,𝑦 =
25 + 12,5 ∙
2,19
20
0,4
= 65,9 ≥ 35 → 𝜆1,𝑦 = 65,9 
 
 
 
 
22 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 D. ESBELTEZ LIMITE; 
Dessa forma: 
𝜆𝑥 = 32,3 < 𝜆1,𝑥 → 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑓. 𝑙𝑜𝑐. 𝑑𝑒 2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟. 𝑥; 
𝜆𝑦 = 13,8 ≤ 𝜆1,𝑦 → 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑓. 𝑙𝑜𝑐. 𝑑𝑒 2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟. 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
23 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 E. MOMENTOS FLETORES TOATIAS NAS DUAS 
DIREÇÕES; 
Como não ocorrem momentos fletores de 2ª ordem (𝑀2 = 0), os 
momentos fletores máximos ocorrem nas extremidades do pilar e 
correspondem aos momentos fletores de 1ª ordem: 
DIREÇÃO X 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑥 = 2.683 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 ≥ 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 1.209,6 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 
DIREÇÃO Y 
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑦 = 1.105 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 ≥ 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛,𝑥 = 1.058,4 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 → 𝑂𝐾 
 
24 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 F. CÁLCULO DA ARMADURA; 
Força normal adimensional: 
𝜈 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑
=
(504𝑘𝑁)
600𝑐𝑚2
2,0𝑘𝑁/𝑐𝑚21,4
= 0,59 
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑥
ℎ𝑥𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
=
(2.683,0𝑘𝑁. 𝑐𝑚)
30𝑐𝑚 600𝑐𝑚2
2,0𝑘𝑁/𝑐𝑚2
1,4
= 0,10 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡,𝑦
ℎ𝑦𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
=
(1105,0𝑘𝑁. 𝑐𝑚)
20𝑐𝑚 600𝑐𝑚2
2,0𝑘𝑁/𝑐𝑚2
1,4
= 0,06 
𝑑𝑥
′
ℎ𝑥
=
4𝑐𝑚
30𝑐𝑚
= 0,13 ≅ 0,15 
𝑑𝑦
′
ℎ𝑦
=
4𝑐𝑚
20𝑐𝑚
= 0,20 
 
25 
Pilar de Canto 
2.EXEMPLO: SOL 
 F. CÁLCULO DA 
ARMADURA; 
Com 𝜈 = 0,59 e utilizando o 
ábaco XXX de PINHEIRO 
(XX) para Flexão Composta 
Oblíqua, a taxa de armadura 
resulta: 
𝜈 = 0,59 
𝜇𝑥 = 0,10 
𝜇𝑦 = 0,06 
𝑑𝑥
′
ℎ𝑥
= 0,15 
𝑑𝑦
′
ℎ𝑦
= 0,20 
26 
2.EXEMPLO: SOL 
 F. CÁLCULO DA ARMADURA; 
𝜈 = 0,59 
𝜇𝑥 = 0,10 
𝜇𝑦 = 0,06 
𝑑𝑥
′
ℎ𝑥
= 0,15 
𝑑𝑦
′
ℎ𝑦
= 0,20 
𝜔 =? ? 
 
27 
2.EXEMPLO: SOL 
 F. CÁLCULO DA ARMADURA; 
𝐴𝑠 =
𝜔𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 =
0,20 600𝑐𝑚2
2,0𝑘𝑁/𝑐𝑚2
1,4
50𝑘𝑁/𝑐𝑚2
1,15
 
𝐴𝑠 = 3,94𝑐𝑚
2 
28 
Pilar de Canto