Sistemas Lineares Prova 2

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica
EGM0002 - Sistemas Lineares
Prof. Carlos Eduardo Trabuco Dórea
Semestre 2017.1 - Segunda Avaliação - 18/05/2017
1. (Valor: 4,0 pontos) Considere um sistema linear invariante no tempo, cont́ınuo,
representado por:
ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t)
y(t) = Cx(t) +Du(t)
, (1)
sendo:
A =
[
0 1
−a2 −2a
]
, B =
[
0
1
]
,
C =
[
1 0
]
, D = 2.
(a) (2,0 pontos) Calcular os autovalores e autovetores (generalizados, se for o
caso) da matriz A e obter sua forma de Jordan;
(b) (1,0 ponto) Calcular a matriz eAt;
(c) (1,0 ponto) Calcular a resposta livre do sistema para a = 1, x(0) =
[
0
−1
]
.
2. (Valor: 4,0 pontos) Considere um sistema linear representado por:


x1[k + 1]
x2[k + 1]
x3[k + 1]

 =


0 −1, 5 + L1 0
1 −3, 5 + L2 0
1 L3 1




x1[k]
x2[k]
x3[k]

+


0, 5
1
1

u[k],
y[k] =
[
0 1 0
]


x1[k]
x2[k]
x3[k]

 .
(a) (2,0 pontos) Para L1 = L2 = L3 = 0, analisar a controlabilidade e a
observabilidade do sistema e determinar, caso existam, os autovalores não-
controláveis e os autovalores não-observáveis;
(b) (2,0 pontos) Determinar, se posśıvel, L1, L2, e L3 de modo que a resposta
do sistema ao degrau, para condições iniciais nulas, tenha a seguinte forma:
y[k] = E(0, 5)k + F, para k ≥ 0,
sendo E e F constantes. Determinar também os valores de E e F .
3. (Valor: 2,0 pontos) Considere o circuito representado na figura 1.
Para K 6= 2, sua representação de estado é dada pela equação (1), com:
A =
[
−1
2−K
1
2−K
−1+K
2−K
−1
2−K
]
, B =
[
1
2−K
1−K
2−K
]
,
C =
[
−1
2−K
−−1+K
2−K
]
, D =
1
2−K
.
Analisar a estabilidade BIBO e assintótica do circuito em função do ganho K.
+
−
+
_
+
_
u(t) vL(t) y(t)
K.vL(t)1Ω1Ω
1H
1F
x1(t)
x2(t)
Figura 1:
1