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Sistemas de numeração: evolução 
histórica e sistema de numeração decimal
APRESENTAÇÃO
O sistema de numeração decimal é um bem cultural de grande importância. Por estar há tanto 
tempo presente na sociedade moderna, em diferentes países, é comum que se acredite que 
sempre foi assim. Mesmo para quem conhece a história da evolução dos sistemas numéricos, é 
normal esquecer os caminhos que a humanidade já percorreu nesse tema.
É quase impensável a possibilidade de que a sociedade moderna volte a utilizar sistemas em 
desuso, como o sistema de numeração romano. Ou, ainda, que seja capaz de conceber um 
sistema numérico mais simples e útil que o atual sistema decimal.
Obviamente, existem outros sistemas em uso, seja por valia cultural ou mesmo empregados na 
tecnologia, como o sistema binário. No caso da valia cultural, preserva-se um bem, o sistema 
numérico, em prol da cultura de um povo. Já quanto ao emprego tecnológico do sistema de base 
binária, por exemplo, para os processadores, lidar com apenas dois algarismos e impulsos pode 
facilitar o processo. Porém, para as operações manuais e para a representação visual, esse 
sistema não seria conveniente.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai ver a história dos sistemas de numeração até o atual 
sistema decimal, bem como irá reconhecer a organização dos algarismos na formação de um 
número nesse sistema. Por fim, você vai identificar o princípio posicional que faz com que seja 
possível escrever qualquer número usando os mesmos algarismos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Descrever a evolução histórica do sistema de numeração.•
Reconhecer a organização do sistema de numeração decimal.•
Identificar o posicionamento dos números de acordo com seus agrupamentos e trocas.•
DESAFIO
Os algarismos utilizados para representar números são símbolos que, por construção cultural e 
por consequência da escolarização, passaram a ter um significado, um valor. Contudo, ao longo 
da Educação Infantil e dos anos iniciais do Ensino Fundamental, essa construção de 
significado faz com que o aluno tenha dificuldades de abstração dos números. Esse problema 
pode ser visualizado quando o aluno passa a utilizar letras para representar números 
desconhecidos.
Neste Desafio, reconstruindo o valor histórico desses algarismos, determine, na divisão acima, 
os números da operação e o número que completa a lacuna.
INFOGRÁFICO
A escrita numérica evoluiu ao longo da História. Sendo assim, essa representação escrita do 
pensamento matemático ficou cada vez mais rica e complexa.
Veja, no Infográfico, os passos dessa evolução.
Confira.
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CONTEÚDO DO LIVRO
Denomina-se sistema de numeração o conjunto dos símbolos e de regras que permitem 
representar qualquer número. Os sistemas de numeração, por definição, aparecem juntamente 
com o surgimento dos símbolos que representam os números. 
Leia o capítulo Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal, do 
livro Metodologia do ensino da Matemática, para conhecer a evolução da escrita numérica e a 
organização do sistema decimal.
 
Boa leitura.
METODOLOGIA 
DO ENSINO DA 
MATEMÁTICA
Tiago Loyo Silveira
Sistemas de numeração: 
evolução histórica e sistema 
de numeração decimal
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever a evolução histórica do sistema de numeração.
  Reconhecer a organização do sistema de numeração decimal.
  Identificar o posicionamento dos números de acordo com seus agru-
pamentos e trocas.
Introdução
O sistema de numeração decimal é um bem cultural de tamanha impor-
tância e está há tanto tempo presente em diferentes países que é comum 
se acreditar que sempre foi assim. Mas houve toda uma evolução para 
que ele fosse tão utilizado no mundo todo. Além disso, como você pode 
imaginar, existem outros sistemas em uso, seja por valia cultural ou mesmo 
devido à tecnologia, como no caso do sistema binário. 
Neste capítulo, você vai conhecer a história dos sistemas de nume-
ração e ver como surgiu o atual sistema decimal. Você também vai ver a 
organização dos algarismos na formação de um número nesse sistema. 
Além disso, vai conhecer o princípio posicional, que possibilita escrever 
qualquer número usando os mesmos algarismos.
Evolução histórica do sistema de numeração
Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras que permitem 
representar qualquer número. Os sistemas de numeração, por defi nição, surgem 
junto aos símbolos que representam os números. O osso Ishango (Figura 1), 
por exemplo, um dos objetos matemáticos mais antigos de que se têm registro, 
possui uma organização para seus entalhes. 
Estudiosos desconfiam haver dois sistemas de numeração, simultaneamen-
te, no Bastão de Ishango, pois estudando o sistema baali (etnia do Alto 
Congo), 4 e 6 são os números de base. O papel do 10, base do sistema de 
numeração decimal, é desempenhado pelo 24 (4 × 6). Quando o 576 (242) 
é obtido, é inventada uma nova palavra e o método de contagem recomeça 
desde o início. Os ndaaka (etnia do noroeste do Congo) misturam as bases 
10 e 32; o 10 é conhecido como bokuboku; o 12 por bokuboku no bepi 
(10 + 2); o 32 é edi; o 64 é edibepi (32 × 2), entre outros (SANTOS, 2016, 
documento on-line).
Figura 1. Osso Ishango.
Fonte: Santos (2016, documento on-line).
Existem diferentes correntes de historiadores e matemáticos que buscam 
apreender a lógica por trás dos riscos no osso Ishango, mas é quase certo que 
existe algum tipo de organização para os agrupamentos. Mesmo em situações 
extremamente rudimentares, o homem realiza processos de agrupamentos 
lógicos. Um exemplo é a contagem de grandes quantidades de objetos: é 
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal2
comum que crianças, ao realizarem operações algébricas maiores, façam 
representações com riscos e os agrupem. Presos e náufragos, reais ou fictícios, 
têm o mesmo costume.
Esse tipo de agrupamento facilita não só a visualização, mas, sendo 
múltiplo de cinco, facilita também a contagem nos dedos das mãos. Ou seja, 
juntamente aos símbolos para representar quantidades, o homem desenvolveu 
formas de facilitar a leitura e a ordenação. Esses fenômenos são os sistemas 
de numeração.
Ao longo da história da humanidade, diferentes povos usaram sistemas de 
numeração distintos. Nem todos sofreram influência externa. Alguns surgiram 
dentro de determinada cultura e despareceram junto a ela. Já outros sofreram 
influência externa de diferentes culturas e sistemas. Assim, se adaptaram ou 
evoluíram de acordo com a necessidade.
A seguir, você vai conhecer alguns sistemas de numeração e os algaris-
mos utilizados por eles. Porém, você deve ter em mente que existem muitos 
registros de sistemas numéricos e seus diferentes algarismos. Para começar, 
observe a Figura 2, a seguir.
Figura 2. Algarismos de diferentes civilizações — escrita do numeral 7 por 
diferentes povos.
Fonte: Bezerra (2016, documento on-line).
Sistema de numeração egípcio
Segundo Gonçalves (c2018), a civilização egípcia se estendeu por um período 
extremamente longo da história da humanidade. Talvez, tratada como império 
3Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
ou civilização superior, pelo maior período de que se tem registro (quase toda a 
Antiguidade). A história do Antigo Egito registra que seu império durou mais 
de 3 mil anos, bem mais tempo do que os cerca de cinco séculos do Império 
Romano. O sistema de numeração egípcio possuía algarismos com valores 
específi cos (Figura 3).
Figura 3. Hieróglifos numéricos egípcios.
Fonte: O'Connor e Robertson (2000, documento on-line).
Além disso, o sistema egípcio não levava em conta a ordem dos símbolos, 
apenas o seu agrupamento. Os símbolos eram operados por adição, o que erachamado de princípio aditivo. Dessa forma, o número 120 poderia ser escrito 
de diferentes formas:
 ou ou 
Apesar de serem comuns os registros dos símbolos em ordem decrescente de 
valor, isso nem sempre ocorria. Mesmo ocorrendo, registrar números maiores 
implicava usar grande quantidade de símbolos. Veja:
2.693 = 
Observe que poderia ser muito cansativo escrever números relativamente 
simples. Imagine como seria escrever 9.999 ou números maiores.
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal4
Sistema de numeração romano
No fi nal da Antiguidade e nos primeiros séculos da era cristã, o Império 
Romano se espalhou por quase toda a Europa, pelo oeste da Ásia e pelo norte 
da África. Sua infl uência foi forte por cerca de 500 anos. Mesmo após sua 
decadência, sua infl uência cultural se manteve presente e é importante até 
hoje em diversos países, seja na linguagem, na engenharia, na arquitetura, 
na arte, entre outras áreas.
O sistema de numeração romano utilizava sete símbolos para escrever 
qualquer número. São eles:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1.000
Além disso, o sistema romano utilizava uma variação de símbolos entre 
múltiplos de 5 e de 10, o que possivelmente decorre da quantidade de dedos 
das mãos. O sistema romano é semiposicional. Dessa forma, apesar de cada 
símbolo ter valor específico, eles podem variar de acordo com algumas regras 
do sistema.
Veja a seguir algumas dessas regras.
  Os algarismos I, X, C e M podem ser repetidos até três vezes no mesmo 
número. Por exemplo:
3 = III 30 = XXX 3.000 = MMM
  Antes de chegar ao símbolo seguinte, esse símbolo é “anunciado”. 
Assim, o símbolo à esquerda é subtraído do símbolo à direita. Por 
exemplo:
4 = IV (você pode ler como: falta I para V ou falta 1 para 5)
9 = IX (você pode ler como: falta I para X ou falta 1 para 10)
40 = XL (você pode ler como: falta X para L ou faltam 10 para 50)
5Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
  Um símbolo escrito à direita de outro tem seu valor somado. De forma 
similar ao que ocorria no sistema egípcio, o sistema romano também 
utilizava o princípio aditivo. A exceção é a regra anterior, já que IV, IX, 
XL, XC, CD e CM representavam a mudança para o próximo algarismo. 
Veja um exemplo:
6 = VI 13 = XIII 24 = XXIV
  Uma barra horizontal sobre o algarismo indica que um ou mais símbolos 
estão multiplicados por 1.000. Por exemplo:
4.000 = 26.000 = 
Porém, de forma similar ao que ocorria no sistema egípcio, era trabalhoso 
escrever grandes números. Veja este exemplo:
9.999 = 
Com o crescimento do comércio, as operações com os algarismos romanos 
começaram a se mostrar extremamente cansativas e trabalhosas para serem 
feitas no papel. Quase sempre, os comerciantes utilizavam apenas o ábaco 
para realizar operações aritméticas básicas.
Entre o final do século XII e o início do século XIII, na Europa, viveu 
Leonardo Fibonacci (1170–1250). Leonardo era filho de um comerciante e, 
como consequência, teve contato com diversas culturas, incluindo a árabe. 
Assim, conheceu os algarismos indo-arábicos e o sistema decimal posicional. 
Fibonacci ficou tão encantado com as facilidades desse sistema, se comparado 
aos algarismos romanos, que decidiu escrever um manual de conversão entre 
os sistemas. Ele intitulou esse manual de Liber Abaci (1202/1228), ou seja, 
Livro do Ábaco. 
O Liber Abaci é uma coletânea de problemas, muitos de contextualiza-
ção comercial, que usavam os algarismos indo-arábicos. O livro começa 
com a frase: “As nove figuras dos hindus são 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com 
essas nove, e com o símbolo 0, que os árabes chamam zephirum, podem se 
escrever todos os números”. O Liber Abaci foi copiado centenas de vezes, 
propagando pela Europa, principalmente entre matemáticos e comerciantes, 
o sistema de algarismos árabes. Mas foi com a invenção da imprensa, na 
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal6
metade do século XV, que o livro tomou a Europa, chegando ao norte da 
África e à Rússia em pouco tempo.
No link a seguir, conheça a biografia de Leonardo Fibonacci e suas contribuições para 
a matemática.
https://goo.gl/bh5GMv
Além disso, neste outro link, acompanhe a tradução resumida de alguns dos pro-
blemas do Liber Abaci.
https://goo.gl/EZNvc8
O ábaco (Figura 4) é um instrumento utilizado para fazer cálculos, uma 
tecnologia inovadora em sua época. Em função, se assemelha à calculadora 
contemporânea. Antigamente, havia ábacos de diversos modelos. Seu funciona-
mento consiste em barras verticais ou horizontais que representam cada ordem 
do sistema decimal. Em cada barra, existem argolas ou contas, normalmente 
10, que representam cada unidade da ordem.
Figura 4. Ábaco.
Fonte: Cruz (2012, documento on-line).
7Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
Organização do sistema de numeração decimal
Atualmente, o sistema padrão em quase todo o mundo é o sistema de nume-
ração decimal com os algarismos indo-arábicos (Figura 5). Uma apropriação 
importante desse sistema é a incorporação de um símbolo para representar a 
“ausência”. O símbolo zero, quando utilizado pelos hindus e pelos árabes, não 
era considerado um número. Na verdade, era considerado um símbolo para a 
ausência de número.
Figura 5. Evolução dos algarismos indo-arábicos.
Fonte: Nunes (2017, documento on-line).
Os sistemas egípcio e romano tinham como base símbolos fixos para 
cada quantidade, além de utilizarem o princípio aditivo. Por isso, não havia a 
necessidade de incluir um símbolo para representar a ausência, mesmo porque 
o zero é o elemento neutro aditivo.
O sistema decimal utiliza os 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). 
Dessa forma, todo número formado nesse sistema é agrupado em potências 
de base 10. Assim, um mesmo algarismo assume diferentes valores de acordo 
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal8
com a posição que ocupa. Esse fato se chama princípio posicional. O valor 
absoluto é o valor de um algarismo de forma isolada. Já o valor relativo é o 
valor que o algarismo assume de acordo com a posição que ocupa no número. 
Veja alguns exemplos a seguir.
555
5 5 5
Valor absoluto: 5
Valor relativo: 500
Valor absoluto: 5
Valor relativo: 50
Valor absoluto: 5
Valor relativo: 5
5 × 102 5 × 101 5 × 100
6.043
6 0 4 3
Valor absoluto: 6
Valor relativo: 6.000
Valor absoluto: 0
Valor relativo: 0
Valor absoluto: 4
Valor relativo: 40
Valor absoluto: 3
Valor relativo: 3
6 × 103 0 × 102 4 × 101 3 × 100
Cada posição à esquerda vale 10 vezes a posição à direita. Como um mesmo 
algarismo possui diferentes valores de acordo com sua posição e como cada 
posição ocupada tem um valor 10 vezes maior do que a posição à direita, 
esse sistema é chamado de decimal posicional. A soma dos valores relativos 
equivale ao total do valor numérico.
13.458
1 3 4 5 8
1 × 104 = 10.000 3 × 103 = 3.000 4 × 102 = 400 5 × 101 = 50 8 × 100 = 8
13.458 = 10.000 + 3.000 + 400 + 50 + 8
Na próxima seção, você vai aprender mais sobre o ordenamento e a leitura 
dos números no sistema decimal.
9Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
Posicionamento dos números
Os números, independentemente do sistema adotado ou dos algarismos uti-
lizados, estão presentes desde os primórdios da humanidade. Portanto, para 
exercer a cidadania de forma plena, é necessário manipular os números por 
meio da leitura, da escrita e das operações básicas. Veja este exemplo de uso 
dos números:
Segundo dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), 
em certo momento do ano de 2010 a população brasileira era de 190.732.694 
habitantes. Lê-se: cento e noventa milhões, setecentos e trinta e dois mil, 
seiscentos e noventa e quatro habitantes. Esse número tem nove algarismos. 
Partindo da direita para a esquerda, cada algarismo corresponde a uma ordem 
(ANDRINI; VASCONCELLOS, 2012, p. 16).
Noteque existe, usualmente, uma separação dos dígitos, seja por espaços 
ou pelo uso do ponto (.). Essa separação tem finalidade matemática e também 
visual. A leitura do mesmo número sem nenhum tipo de separação (190732694) 
dificultaria a identificação do valor relativo dos algarismos. Consequentemente, 
impediria a leitura correta.
A cada três dígitos, da esquerda para a direita, surge uma nova classe. 
Cada classe possui três ordens. São elas:
10ª 
or-
dem
9ª or-
dem
8ª or-
dem
7ª or-
dem
6ª or-
dem
5ª or-
dem
4ª or-
dem
3ª or-
dem
2ª or-
dem
1ª or-
dem
Unida-
des de 
bilhão
Cente-
nas de 
milhão
Deze-
nas de 
milhão
Unida-
des de 
milhão
Cente-
nas de 
milhar
Deze-
nas de 
milhar
Unida-
des de 
milhar
Cen-
tenas
Deze-
nas
Uni-
dades
Classe 
dos 
bilhões
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades 
simples
À esquerda, as ordens e as classes continuariam a surgir. As próximas 
classes seriam as dos trilhões, quatrilhões e assim sucessivamente. Apesar de 
os números serem escritos e agrupados da direita para a esquerda, a leitura 
é feita da esquerda para a direita. Por isso é que a separação com espaços 
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal10
ou com pontos auxilia a leitura. Você ainda deve notar que a classe mais à 
esquerda não precisa estar preenchida com todas as suas ordens. Veja os 
exemplos a seguir.
2.728 lê-se: dois mil, setecentos e vinte e oito.
23.506.319 lê-se: vinte e três milhões, quinhentos e seis mil, 
trezentos e dezenove.
Vale ressaltar que, na sua forma por extenso, as classes são separadas 
com vírgula. Para compreender melhor o sistema decimal e o seu princípio 
posicional, que tal analisar o número 234.234.234?
Inicialmente, você deve perceber que ele possui três classes. Portanto, sua 
leitura é da ordem dos milhões. Em seguida, verifique que, na classe mais à 
esquerda, classe dos milhões, há três ordens. Dessa forma, a leitura inicial será 
nas centenas de milhões. Assim, a leitura correta do número será: duzentos 
e trinta e quatro milhões, duzentos e trinta e quatro mil, duzentos e trinta e 
quatro. Observe que, ao final da leitura de cada classe, está a sua nomenclatura, 
sendo a classe das unidades simples dispensada dessa leitura. 
Além da leitura, nesse mesmo número, você pode verificar a diferença 
dos valores posicionais, de acordo com a ordem que os algarismos ocupam:
2 3 4 2 3 4 2 3 4
9ª 
ordem
8ª 
ordem
7ª 
ordem
6ª 
ordem
5ª 
ordem
4ª 
ordem
3ª 
ordem
2ª 
ordem
1ª 
ordem
Cente-
nas de 
milhão
Deze-
nas de 
milhão
Unida-
des de 
milhão
Cente-
nas de 
milhar
Deze-
nas de 
milhar
Unida-
des de 
milhar
Cen-
tenas
Dezenas Unida-
des
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades simples
Na 9ª, na 6ª e na 3ª ordens, o algarismo 2 é o valor absoluto. Porém, na 
9ª ordem, seu valor relativo é 2 × 108 → 2 × 100.000.000 = 200.000.000 
(duzentos milhões). Na 6ª ordem, seu valor relativo é 2 × 105 → 2 × 100.000 
= 200.000 (duzentos mil). Na 3ª ordem, seu valor relativo é 2 × 10² → 2 × 
100 = 200 (duzentos). 
Na 8ª, na 5ª e na 2ª ordens, o algarismo 3 é o valor absoluto. Porém, na 
8ª ordem, seu valor relativo é 3 × 107 → 3 × 10.000.000 = 30.000.000 (trinta 
11Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
milhões). Na 5ª ordem, seu valor relativo é 3 × 104 → 3 × 10.000 = 30.000 
(trinta mil). Na 2ª ordem, seu valor relativo é 3 × 101 → 3 × 10 = 30 (trinta).
Na 7ª, na 4ª e na 1ª ordens, o algarismo 4 é o valor absoluto. Porém, na 
7ª ordem, seu valor relativo é 4 × 106 → 4 × 1.000.000 = 4.000.000 (quatro 
milhões). Na 4ª ordem, seu valor relativo é 4 × 103 → 4 × 1.000 = 4.000 (quatro 
mil). Na 1ª ordem, seu valor relativo é 4 × 100 → 4 × 1 = 4 (quatro).
Como você pode notar, os expoentes das potências de 10 são sempre em 
número uma unidade menor do que a ordem correspondente. Com isso, o número 
234.234.234 poderia ser reescrito pela soma dos valores relativos de cada ordem:
234.234.234 = 200.000.000 + 30.000.000 + 4.000.000 
+ 200.000 + 30.000 + 4.000 + 200 + 30 + 4
Com os 10 algarismos indo-arábicos do sistema decimal, é possível es-
crever qualquer número. Além disso, o sistema posicional facilitou o uso dos 
algoritmos operatórios. Assim, esse sistema logo se propagou e basicamente 
substituiu todos os sistemas anteriores. Alguns poucos ainda resistem, devido 
principalmente ao seu valor para determinadas culturas. Porém, você pode 
considerar, na atualidade, o sistema decimal como padrão da humanidade 
para expressar números e operações.
ANDRINI, Á.; VASCONCELLOS, M. J. Praticando matemática, 6. 3. ed. São Paulo: Editora 
do Brasil, 2012. (Coleção Praticando Matemática).
BEZERRA, L. Origem do sistema de numeração decimal, egípcio e romano. 2016. Disponível 
em: <http://cursinhoexato.blogspot.com/2016/04/origem-do-sistema-de-numeracao-
-decimal.html>. Acesso em: 09 out. 2018.
CRUZ, D. ATPS. 2012. Disponível em: <http://matemagicapedagogia.blogspot.com/p/
atps.html>. Acesso em: 09 out. 2018.
GONÇALVES, R. Antigo Império Egípcio: história do Antigo Império Egípcio. c2018. Dis-
ponível em: <https://historiadomundo.uol.com.br/egipcia/civilizacao-egipcio.htm>. 
Acesso em: 09 out. 2018.
NUNES, L. S. Algarismos. 2017. Disponível em: <https://altodomoinho.blogspot.
com/2017/05/algarismos.html>. Acesso em: 09 out. 2018.
Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal12
O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. Egyptian numerals. 2000. Disponível em: <http://www-
-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Egyptian_numerals.html>. Acesso em: 09 out. 2018.
SANTOS, J. A matemática no continente africano: o osso de Ishango. 2016. Disponível 
em: <https://www.matematicaefacil.com.br/2016/07/matematica-continente-africano-
-osso-ishango.html>. Acesso em: 09 out. 2018.
Leituras recomendadas
BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
LIBER ABACI. 1202. Disponível em: <http://jnsilva.ludicum.org/hm2008_9/LiberAbaci.
pdf>. Acesso em: 09 out. 2018.
MIRANDA, D. Sistema de numeração decimal. [c2018]. Disponível em: <https://mun-
doeducacao.bol.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-decimal.htm>. Acesso 
em: 09 out. 2018.
RAMOS, A. M. Números reais: conceitos e representações. 2014. 119 f. Dissertação (Mes-
trado Profissional em Matemática) – Centro de Ciências Exatas, Universidade Federal 
do Espírito Santos, Vitória, 2014. Disponível em: <http://portais4.ufes.br/posgrad/teses/
tese_8302_Vers%E3o%20Final%20Disserta%E7%E3o.pdf>. Acesso em: 09 out. 2018.
SÓ MATEMÁTICA. Leonardo Fibonacci. [2018]. Disponível em: <https://www.somate-
matica.com.br/biograf/fibo.php>. Acesso em: 09 out. 2018.
13Sistemas de numeração: evolução histórica e sistema de numeração decimal
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
O ábaco é um instrumento para fazer cálculos, uma tecnologia em sua época. Em função, se 
assemelhava à calculadora dos nossos dias. Haviam ábacos de diversos modelos. Seu 
funcionamento consiste em barras verticais ou horizontais que representam cada ordem do 
sistema decimal. Em cada barra, existem argolas ou contas, normalmente dez, que 
representavam cada unidade da ordem.
Veja, na Dica do Professor, como utilizar o ábaco no ensino da Matematica. 
Confira.
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EXERCÍCIOS
1) Qual é o principal motivo pelo qual o sistema de numeração egípcio e o sistema 
romano não possuíam algarismos para representar o zero?
A) Ambos utilizavam o princípio aditivo, e o zero poderia alterar o valor do número de acordo 
com a posição que ocupasse.
B) O sistema egípcio usava o princípio aditivo, sendo o zero o elemento neutro da adição, 
enquanto que o sistema romano utilizava o zero.
C) Ambos os sistemas desconheciam o zero e por isso não o utilizavam.
D) Ambos utilizam o zero para representar a ausência de números.
E) Ambos utilizavam o princípio aditivo, e o zero é o elemento neutroda adição.
2) 
Um número composto por 35 dezenas, 33 centenas, meia unidade de 3a ordem e 6 
unidades simples é:
A) 3706.
B) 4156.
C) 3656.
D) 686.
E) 3671.
3) No número 2.453.706, o algarismo que ocupa a 5a ordem e seu valor relativo são, 
respectivamente:
A) 5; 5.000.
B) 7; 7.
C) 7; 700.
D) 5; 5.
E) 5; 50.000.
4) Se em um ábaco estão 3 marcadores na vareta de 5a ordem, 5 marcadores na vareta 
das centenas de milhar, 4 marcadores nas dezenas simples e 1 marcador na vareta de 
1a ordem, qual número está representado nesse ábaco?
A) 53.041.
B) 530.041.
C) 350.041.
D) 35.041.
E) 531.040.
5) Qual é o principal motivo para a substituição gradual do sistema de algarismos 
romanos pelo sistema decimal de algarismos indo-arábicos?
A) Com os algarismos indo-arábicos era possível escrever qualquer número, por mais ordens 
que tivesse.
B) O sistema decimal utiliza menos símbolos que o sistema romano.
C) Ambos tinham a mesma quantidade de algarismos, mas os árabes usavam o zero.
D) O sistema indo-arábico facilitava as operações com o ábaco.
E) O sistema romano era limitado ao número 1000 (M).
NA PRÁTICA
No final da Antiguidade e nos primeiros séculos da era cristã, o Império Romano se espalhou 
por quase toda a Europa, oeste da Ásia e norte da África. Sua ação foi forte e, mesmo após sua 
decadência, sua influência cultural se mantém presente até os dias de hoje.
Veja, Na Prática, onde ainda é possível encontrar o sistema de algarismos romanos.
Acompanhe.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Leonardo Fibonacci
Conheça a biografia de Leonardo Fibonacci e suas contribuições para a Matemática.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Liber Abaci
Neste link, veja a tradução resumida de alguns dos problemas do Liber Abaci, o Livro do Ábaco 
ou do Cálculo, escrito por Fibonacci. Conheça, ainda, como estavam contextualizados na Idade 
Média.
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Operações com números reais e 
intervalos numéricos
APRESENTAÇÃO
Na matemática, definimos conjunto como uma coleção de objetos quaisquer, o que torna essa 
noção fundamental, pois, a partir dela, podemos expressar diversas teorias e conceitos 
matemáticos.
Muitas teorias dentro da matemática são desenvolvidas considerando como universo o conjunto 
dos números reais ou seus subconjuntos, de modo que é muito importante conhecer suas formas 
de representação. Quando trabalhamos com números naturais ou inteiros, os seus subconjuntos 
podem ser enumerados. No entanto, com números reais, os subconjuntos são descritos em uma 
representação denominada intervalos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos as operações com números reais e intervalos 
numéricos por meio de sua definição, suas representações e exemplos.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer os subconjuntos do conjunto dos números reais.•
Identificar as propriedades e as operações com números reais.•
Associar os três tipos de intervalos numéricos.•
DESAFIO
Em situações aplicadas, é comum lidarmos com problemas numéricos. Quando isso ocorre, é 
fundamental identificarmos qual é o contexto do problema para que, após a resolução, saibamos 
se a resposta encontrada está inserida no intervalo de definição do problema.
No caso de situações envolvendo questões financeiras, estamos lidando com um subconjunto 
dos números reais. Assim, todas as propriedades e operações com números reais são válidas 
nesse contexto.
Imagine que você trabalha no Recursos Humanos (RH) de uma indústria farmacêutica que 
dispõe de 10 representantes comerciais e, como deseja ampliar sua participação no mercado, 
definiu que precisa contratar mais colaboradores para fortalecer sua equipe de vendas.
O departamento financeiro da empresa informou que o orçamento mensal máximo para 
pagamento dos salários e encargos de representantes é de R$ 33.000,00.
Sabendo que o salário líquido de um representante comercial é calculado a partir do salário 
bruto (que consiste no salário-base mais a comissão) menos o custo de INSS devido pelo 
empregado e que, sobre o salário bruto, incidem impostos devidos pela empresa, considere as 
seguintes informações:
Salário-base = R$ 800,00 
Comissão = R$ 1.000,00 
INSS (parte do empregado) = 8% 
INSS (parte do empregador) = 20% 
FGTS = 8%
Como gestor da indústria farmacêutica, calcule o custo mensal com cada representante 
comercial e o custo atual com os representantes. Em seguida, decida se será possível contratar 
mais e, se sim, quantos representantes poderão ser contratados a partir do orçamento financeiro 
disponível.
INFOGRÁFICO
Os intervalos são representações de subconjuntos de números reais. Eles podem ser abertos ou 
fechados, com extremidades numéricas ou no infinito.
O Infográfico apresenta exemplos de subconjuntos dos números reais, representados de três 
formas: na reta numérica, por intervalos numéricos e usando a notação de conjuntos.
CONTEÚDO DO LIVRO
O conjunto dos números reais também pode ser compreendido como o conjunto universo. As 
propriedades e operações dos números reais são fundamentais para o estudo da álgebra.
Acompanhe o conteúdo a partir do capítulo Operações com números reais e intervalos 
numéricos do livro Fundamentos de matemática, base teórica desta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
Luciana Maria Margoti 
Araujo
Operações com números 
reais e intervalos numéricos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Reconhecer o conjunto dos números reais.
 � Identificar as propriedades e operações com números reais.
 � Associar os três tipos de intervalos numéricos.
Introdução
Neste capítulo, você aprenderá sobre o conjunto dos números reais 
e verificará que ele é uma reunião de vários subconjuntos numéricos. 
Dessa maneira, é possível utilizar as notações da teoria de conjuntos 
para relacionar o conjunto dos números reais com os demais conjuntos.
Dentro dos números reais, podemos estabelecer relações de igual-
dade ou desigualdade entre seus elementos, facilitando o entendimento 
da representação no eixo real. Os conjuntos numéricos podem ser re-
presentados em notação de conjuntos utilizando chaves e colchetes, ou 
sobre a reta ordenada, em que os números ficam dispostos em ordem 
crescente.
Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais (R) é formado por todos os números racionais 
e irracionais. Por sua vez, os conjuntos dos números racionais e irracionais 
abrangem outros conjuntos que podem ser verificados a seguir. 
O conjunto dos números naturais é aquele formado pelos números 0, 1, 2, ...ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Na sequência, observe o conjunto dos números inteiros, representado por 
Z, formado por números inteiros, positivos e negativos.ℤ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números racionais (ℚ) é composto por números que tam-
bém podem assumir valores positivos e negativos. Porém, nesse conjunto, as 
frações numéricas são incorporadas. Esses números podem estar representados 
na forma de fração ou decimal. No conjunto dos números racionais, estão 
também presentes as dízimas periódicas simples e compostas, sendo esses 
originados de uma fração possível de ser reescrita na forma a/b, em que a e 
b são números inteiros, e b ≠ 0.
ℚ = {..., –2, ..., –1,25, ..., –1, ... –0,33, ... 0, ...1, ... , ..., 2, ...}
15
13
Por fim, vem o conjunto dos números irracionais (𝕀), que são os decimais 
que não podem ser representados em forma de uma fração. Por exemplo, o 
número π, √p , sendo p um número positivo, sem raiz quadrada exata, etc.
� = {..., –√2, ..., √2, ... ̟, ...}
Podemos dizer que todos esses conjuntos descritos são subconjuntos do 
conjunto dos números reais. A relação desses subconjuntos, entre si, estádemonstrada na Figura 1. Todos eles estão contidos em R:ℝ = 𝕀 ∪ ℚ
Figura 1. Representação dos conjuntos dos números racionais e irracionais.
�
ℤ
ℕ
ℚ
Operações com números reais e intervalos numéricos2
Para o conjunto dos números reais, também são válidas todas as notações 
da teoria de conjuntos. Você pode verificar, de acordo com a Figura 1, que o 
conjunto Q está contido no conjunto R, ou simplesmente:ℚ ⊂ ℝ
ou, ainda, que o conjunto dos números irracionais, I, unido ao conjunto 
dos números racionais, Q, resulta no conjunto dos números reais:𝕀 ∪ ℚ = ℝ
Essas mesmas relações da teoria de conjuntos podem ser utilizadas com 
os elementos que compõem o conjunto dos números reais, R.
Considerando as opções a seguir, quais são verdadeiras?a) ℕ ⊂ 𝕀b) ℝ ∪ ℚ= ℝc) (–7) ∉ ℝd) ℝ ∩ 𝕀 = 𝕀
As alternativas (b) e (d) estão corretas. Em (b), a união entre o conjunto dos números 
reais com o conjunto dos números racionais é o próprio conjunto dos números reais. 
Já em (d), a interseção, ou o que há de comum, entre o conjunto dos números reais 
e o conjunto dos números irracionais é o próprio conjunto dos números irracionais.
Do exercício anterior, reescreva as relações que você julgou como falsas de forma 
a torná-las verdadeiras.
Transformando as opções (a) e (c) em afirmações verdadeiras:�� ℕ ⊂ ℚ�� (–7) ∈ ℝ
Propriedades e operações com números reais
a) Propriedades dos números reais
3Operações com números reais e intervalos numéricos
 Ao realizar operações matemáticas com os números reais, as proprieda-
des básicas utilizadas com qualquer outro conjunto numérico também 
se aplicam. Na sequência, você relembrará e exercitará um pouco cada 
uma dessas propriedades e verá alguns exemplos.
 Não existe divisão de um número real por zero:
a
0
= ∄, ∀ a ∈ ℝ
–4
0
= ∄
 Zero dividido por qualquer número real será sempre zero:
0
a
= 0, ∀ a ∈ ℝ
0
7
= 0 ; = 0
0
–10
 Qualquer número real, diferente de zero e elevado a zero, valerá 1:
a0 = 1, ∀ a ∈ ℝ
50 = 1 ; (–9)0 = 1
 Existe raiz de índice par somente para os números reais positivos:
√b, ∀ b ∈ ℝ+
n
n sendo um número par:
√16 = 2 ; √–16 = ∄ em ℝ
√–81 = ∄ em ℝ
4
2
4
Operações com números reais e intervalos numéricos4
 Qualquer número real, positivo ou negativo, elevado a um expoente 
par, sempre resultará em um número real positivo:
(a)n > 0, ∀ a ∈ ℝ, sendo n um número par”
(5)4 = 625 ; (–9)2 = 81
 No conjunto dos números reais, uma multiplicação de potências de 
mesma base apresentará como resultado na conservação da base, com 
a soma dos expoentes:
am × an = am+n
(–3)5 × (–3)3 = (–3)5+3 = (–3)8 = 6.561
 No conjunto dos números reais, uma divisão de potências de mesma base 
apresentará como resultado na conservação da base, com a subtração 
dos expoentes:
27 ÷ 24 = 27–4 = 23 = 8
 Sempre que um número real estiver representado com uma potência 
de potência, conserve a base e multiplique os expoentes:
(am)n = am×n
[(–17)3]3 = (–17)3×3 = (–17)9 = –118.587.876.497
 Potência de sinal negativo inverte o número que está sob a potência, 
caso mude o sinal:
( )
a
b( )
–m
b
a
m
= , A a, b ≠ 0
= = (–3)2 = 9
–3
9( ) ( )
–2 29
–3
5Operações com números reais e intervalos numéricos
 É possível transformar uma operação de radiciação em uma de poten-
ciação, da seguinte maneira:
√an = an/m
√(–6)2 = (–6)2/4 ≈ 2,4495
m
4
Existe raiz de índice ímpar, cujo radicando é um número real negativo:
√–7.776 = –6
5
b) Operações com números reais
 Para realizar as operações matemáticas, inclusive no uso das proprieda-
des que você acabou de verificar, algumas regras devem ser seguidas. 
Acompanhe, a seguir, como operar em relação aos sinais (positivo e 
negativo) dos números reais.
 Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompa-
nham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado 
permanecerá com o mesmo sinal:
+4 +7 = +11
–9 –2 = –11
 Nas operações de adição e subtração, quando os sinais que acompanham 
os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado 
apresentará o mesmo sinal do número com maior módulo:
+7 –2 = +5
–11 + 4 = –7
–2,35 + 8 = +5,65
Operações com números reais e intervalos numéricos6
 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acom-
panham os números que estão sob a operação forem iguais, o resultado 
apresentará sinal positivo (+):
(–7) × (–3,7) = +25,9
(+6,3) × (+9) = +56,7
(–50) ÷ (–2,5) = 20
(+50) ÷ (+5) = +10
 Nas operações de multiplicação e divisão, quando os sinais que acompa-
nham os números que estão sob a operação forem diferentes, o resultado 
apresentará sinal negativo (–):
(–7) × (+3,7) = –25,9
(–6,3) × (+9) = –56,7
(+50) ÷ (–2,5) = –20
(+50) ÷ (–5) = –10
Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que 
está entre parênteses; após, a que está entre colchetes; por fim, aquela expressão que 
se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações, que 
é primeiro a multiplicação e divisão e, depois, a adição e subtração.
7Operações com números reais e intervalos numéricos
Tipos de intervalos numéricos
Assim como em qualquer outro conjunto, os números reais (R) podem ser 
representados sobre uma reta orientada. Esta reta tem como origem o ponto 0 
(zero) e orientação para a direita, indicando o sentido crescente da sequência 
numérica, conforme mostrado na Figura 2.
Figura 2. Reta numérica, com a representação da origem e orientação.
0
Sobre essa reta, a representação numérica será realizada unidade à unidade, 
pelo conjunto dos inteiros (Z), a fim de facilitar a representação numérica. A 
partir do ponto de origem, para o lado direito, serão colocados os números 
positivos e, para o esquerdo, os negativos, como mostrado na Figura 3.
Figura 3. Eixo real.
Fonte: Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Ainda sobre essa reta, caso seja necessário, é possível representar os demais 
números racionais e irracionais, complementando o conjunto dos números 
reais (R), conforme a Figura 4.
Figura 4. Eixo real.
Fonte: Safier (2012, p. 3).
l
–5 –π –1,5 0 2/3 √5 3
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Operações com números reais e intervalos numéricos8
Sendo necessário referir-se aos números reais positivos, excluindo-se o 
zero, a notação R+* deverá ser utilizada. De maneira análoga, os números 
reais negativos, excluindo-se o zero, podem ser representados pela notação 
R-*. Definimos, assim, os conjuntos:
R+* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
R–* = {..., –5, –4, –3, –2, –1}
Desse modo, para qualquer a pertencente a R+*, dizemos que a é maior que zero:
a > 0, ∀ a ∈ ℝ+*
Também de forma semelhante:
a < 0, ∀ a ∈ ℝ–*
A partir daí, você já consegue definir o conjunto dos números reais maiores 
que zero (positivos) sobre a reta real. 
Figura 5. Números reais positivos.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Na Figura 5, um círculo aberto sobre o zero indica que o mesmo não está 
dentro do intervalo numérico representado. O mesmo pode ser observado 
na Figura 6, a seguir, com a representação dos números reais negativos, ou 
menores que zero.
Figura 6. Números reais negativos.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
9Operações com números reais e intervalos numéricos
O intervalo da Figura 5 pode ser, ainda, representado como:
]0, ∞[
em que o colchete aberto, ou os parênteses, indica que o número que vem 
após não pertence ao intervalo. Já o intervalo da Figura 6, em que o número 
que precede o colchete não pertenceráao intervalo, pode ser expresso por:
]–∞, 0[
ou:
(–∞, 0)
Sempre que for necessário representar conjuntos numéricos em uma reta, 
caso o primeiro número da sequência a ser representada pertença ao conjunto 
desejado, o círculo deverá ser preenchido, o que também deverá ocorrer com 
o último número da sequência a ser representada. Como exemplo, verifique 
que, na Figura 7, está representado o intervalo entre o número 2, inclusive, 
até o número 4, que também pertencerá ao conjunto da expressão:
[2 ,4]
ou:
{x ∈ ℝ│2 ≤ x ≤ 4}
Figura 7. Intervalo [2,4] representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Verifique, agora, este outro intervalo:
]–3, 2]
Operações com números reais e intervalos numéricos10
O colchete aberto em –3 indica que esse número não pertence ao intervalo 
que iremos representaremos. Por outro lado, o número 2 ainda está dentro 
desse conjunto. Assim, queremos representar na reta real o conjunto de todos 
os x, maiores que –3 e menores ou iguais a 2 (Figura 8), ou pela expressão:
{x ∈ ℝ│–3 < x ≤ 2}
Figura 8. Intervalo ]-3,2] representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
Quando nenhum dos dois extremos do intervalo que queremos representar 
pertencer ao conjunto, os dois colchetes ficarão abertos, e, consequentemente, 
na reta, os círculos sobre os números também. Veja o exemplo a seguir:
]–1, +3[
Temos um intervalo entre -1 e +3, em que esses dois números não pertencem 
ao intervalo:
{x ∈ ℝ│–1 < x < +3}
ou na reta representada na Figura 9, a seguir.
Figura 9. Intervalo ]-1,+3[ representado no eixo real.
Fonte: Adaptada de Adami, Dornelles Filho e Lorandil (2015, p. 3).
–5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5
11Operações com números reais e intervalos numéricos
Sejam três números, a, b e c. Estando a à direita de b na reta real, temos 
a garantia que a é maior que b; e estando c à esquerda de b, temos a garantia 
que c é menor que b, o que pode ser representado pelas expressões a seguir, 
respectivamente:
a > b;
c < b
Ainda sobre os números a, b e c, podemos escrever as relações entre eles 
em uma única expressão:
c < b < a
em que você lerá que b é menor que a e maior que c.
Assim, você também pode verificar que c é menor que a:
c < a
Com exemplo numérico, seguindo a mesma ordem apresentada nas relações 
acima, sejam os números –7, –3 e 2:
2 > –3
–7 < –3
– 7< –3 < 2
e ainda:
–7 < 2
Além dos operadores "maior que" (>) e "menor que" (<), podemos utilizar o operador 
diferente (≠). Por exemplo, os números 3 e 7 são diferentes, ou 3≠7.
Operações com números reais e intervalos numéricos12
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDIL, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. (Coleção Schaum).
Leituras recomendadas
CHAMBERS, P. Ensinando matemática para adolescente. Porto Alegre: Penso, 2015.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; MILANI, E. Cadernos de mathema – ensino fundamental: jogos 
de matemática de 6º ao 9º ano. Porto Alegre: Artmed, 2006. v. 2.
SMOLE, K. S.; MUNIZ, C. A. A matemática em sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2013.
13Operações com números reais e intervalos numéricos
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Muitos problemas aplicados envolvem operações com números reais. Conhecer os números 
reais e as suas propriedades é fundamental para a resolução desses problemas. 
A Dica do Professor aborda o conjunto dos números reais, as suas regras operacionais e a 
representação de seus subconjuntos por meio da notação de intervalos.
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EXERCÍCIOS
1) Os subconjuntos dos números reais podem ser representados por meio de intervalos. 
Após essa representação, é possível realizar operações com esses intervalos, como, 
por exemplo, a união e a interseção. Considere os conjuntos expressos por intervalos 
numéricos: A = ]1, 5[ e B = [3,7]. Determine o conjunto A U B.
A) A U B = ]1,7].
B) A U B = [1,7].
C) A U B = ]1,7] e x ≠ 5.
D) A U B = ]5,7].
E) A U B = [3,5[.
2) Na matemática, os símbolos <, >, 3, £ e 1 são utilizados para representar 
desigualdades. Marque a opção que apresenta uma desigualdade representada 
corretamente. 
A) 4 > 5.
B) 9 < 5.
C) 3 está à direita de 6 na reta real.
D) 3 está à esquerda de 8 na reta real.
E) 8 está à esquerda de 3 na reta real.
3) Os intervalos numéricos são subconjuntos dos números reais e podem ser 
representados na reta numérica por conjuntos ou por meio da notação específica de 
intervalos. Considere o intervalo real:
Selecione a representação correta do conjunto T na reta real.
A) 
 B) 
C) 
D) 
E) 
4) Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que 
está entre parênteses; após, da que está entre colchetes; por fim, daquela expressão 
que se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações 
— primeiramente, a multiplicação e a divisão e, depois, a adição e a subtração. Com 
base no exposto, marque a alternativa que apresenta a solução correta da operação: 
(-2)(+4) (3 -1)2 + 11:
A) 43.
B) -21.
C) 120.
D) -120.
E) -43.
5) Em operações com números reais (R), a prioridade continua sendo da expressão que 
está entre parênteses; após, da que está entre colchetes; por fim, daquela expressão 
que se encontra dentro das chaves. Segue, também, a ordem prioritária de operações 
— primeiramente, a multiplicação e a divisão e, depois, a adição e a subtração. Com 
base no exposto, marque a alternativa que apresenta a solução correta da expressão 
numérica (– 4 + 3)2 ÷ 1/5 - 2.
A) -0,56.
B) -7.
C) 0,56.
D) -3.
E) 3.
NA PRÁTICA
Situações do nosso dia a dia podem ser bem representadas por meio de conjuntos numéricos, 
como, por exemplo, os números reais. Conhecer as operações com números reais pode nos 
ajudar na tomada de decisões, como vemos na situação a seguir.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Conjuntos numéricos: intervalos reais, operações e propriedades
Este vídeo apresenta a ideia de intervalos reais, ressaltando que os intervalos numéricos são 
subconjuntos de números reais determinados por desigualdades. São apresentadas as definições 
de cada tipo de intervalo, abertos, fechados, finitos e infinitos, seguido de exemplos e das 
operações entre intervalos.
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Pré-cálculo: Safier
Este livro aborda de forma sucinta, no capítulo 1, os conjuntos numéricos trabalhados em 
álgebra, enfatizando os axiomas para os números reais, as propriedades e as operações. 
Apresenta também a representação da reta real e, ao final do capítulo, uma lista com exercícios 
resolvidos.
Pré-cálculo: Adami, Dorneles e Lorandil
Acompanhe o Capítulo 1 – Matemática básica – deste livro, que fornece uma breve revisão de 
alguns tópicos de matemática básica como, por exemplo, conjuntos numéricos e intervalos, 
operações com frações, regras de potenciação e radiação e simplificação de expressões 
algébricas fracionárias.
Conversão de bases numéricas
APRESENTAÇÃO
No nosso cotidiano, estamos acostumados a usar a base numérica decimal para o que fazemos, 
não é mesmo? Porém, na computação, a comunicação de dados não se dá com a mesma base 
numérica, pois é o conjunto de 8 bits que formam 1 byte, e não 10. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer as conversões de bases numéricas. Serão 
apresentadas as bases numéricas e suas finalidades, bem como a maneira de conversão entre 
elas. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Converter basesnuméricas (binário, octal, decimal e hexadecimal).•
Reconhecer a utilidade das bases numéricas em tecnologia da informação.•
Resolver exercícios de conversão de base numérica.•
DESAFIO
Você foi designado para converter cores para o padrão hexadecimal para o programador 
HTML/CSS da sua empresa. Portanto, sabe que as cores RGB representam a intensidade 
relativa de vermelho (Red), verde (Green) e azul (Blue) que forma uma determinada cor e que o 
valor (decimal) de cada componente (R, G e B) deve ser um número inteiro entre 0 e 255.
Ex: RGB(255, 0, 0) representa a cor vermelha.
Partindo dessa necessidade, indique o código hexadecimal para a cor roxa e explique o processo 
para chegar a esse resultado.
INFOGRÁFICO
No infográfico a seguir, você poderá visualizar os cálculos necessários para a conversão de base 
numérica de decimal para binário, octal e hexadecimal, de forma facilitada, utilizando apenas 
divisões. Observe!
CONTEÚDO DO LIVRO
A utilidade dos números binários, bem como outras bases numerais, nos leva a estudar sua 
origem e conversão entre bases para ter um melhor entendimento da arquitetura da computação.
Acompanhe a leitura de um trecho da obra "Sistemas Operacionais" para aprofundar o 
entendimento da história e conversão de bases numéricas.
SISTEMAS 
OPERACIONAIS
Cleverson 
Lopes Ledur
Conversão de bases 
numéricas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Converter bases numéricas (binário, octal, decimal e hexadecimal).
 � Reconhecer a utilidade das bases numéricas em tecnologia da 
informação.
 � Resolver exercícios de conversão de base numérica.
Introdução
Um sistema numeral é um sistema de escrita para expressar números; 
isto é, uma notação matemática para representar números de um deter-
minado conjunto, usando dígitos ou outros símbolos de uma maneira 
consistente. A mesma sequência de símbolos pode representar números 
diferentes em diferentes sistemas numéricos. Por exemplo, “11” representa 
o número três no sistema numérico binário e o número onze no sistema 
numeral decimal.
Na computação, temos diferentes usos de sistemas numéricos para 
representar os valores. Por exemplo, é comum vermos cores sendo ex-
pressas com o uso de valores hexadecimais. Já no baixo nível, próximo 
ao hardware, o computador opera com o sistema binário. No entanto, é 
comum que, na programação de sistemas de informação, por exemplo, 
utilizemos amplamente o sistema decimal, que é comum no nosso dia 
a dia.
Assim, neste capítulo, você vai aprender a converter bases numéri-
cas (binário, octal, decimal e hexadecimal), reconhecer a utilidade das 
bases numéricas em tecnologia da informação e resolver exercícios de 
conversão de base numérica.
Bases numéricas e conversões
As bases numéricas representam os símbolos possíveis que temos disponí-
veis para demonstrar ou representar um número ou contagem. No Quadro 1, 
você pode ver quais são os símbolos que podemos usar em cada sistema de 
numeração (THURSTON, 2007).
Base numérica Símbolos
Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Octal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7
Binário 0 e 1
Hexadecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F
Quadro 1. Símbolos para cada uma das bases numéricas mais utilizadas
Dependendo da base numérica utilizada, podemos diferenciar os símbolos 
a partir de uma representação diferente. Veja, a seguir, alguns exemplos de 
representação no Quadro 2.
Base numérica Representação
Decimal 1000
Binário 1111101000
2
Octal 1750
8
Hexadecimal 3E8
16
Quadro 2. Representação de bases numéricas
Note que dificilmente conseguimos identificar a base numérica de um 
número se ele não informar, do lado direito inferior, qual é a sua base. Por 
exemplo, o número 111110100 poderia ser interpretado como um decimal, já 
que números decimais não exigem que a base esteja explícita. No entanto, 
Conversão de bases numéricas2
vimos, no Quadro 2, que se trata de um número de base binária 1111101000
2
; 
logo, trata-se do valor 1000, mas com outra representação.
Conversões: binário
Para converter números decimais para números binários, devemos realizar 
divisões consecutivas, dividindo o número da base decimal por 2 até que 
não seja mais divisível ao final (THURSTON, 2007). O número binário é o 
resultado da última divisão combinado com todos os restos de divisão de baixo 
para cima. Veja, na Figura 1, como fazer essa conversão.
Figura 1. Conversão de base decimal para binária.
Fonte: Math Only Math (2018, documento on-line).
Podemos verificar, então, que o número decimal 4215
10
 torna-se o 
1000001110111
2
 em binário, já que fizemos a leitura de baixo para cima dos 
resultados da divisão. Agora, como fazemos o contrário? Partindo de um 
número binário, queremos descobrir qual é o seu valor em decimal. Como 
exemplo, veja a Figura 2, que mostra a conversão do número binário 11011001
2
 
para decimal.
3Conversão de bases numéricas
Figura 2. Conversão de base binária para decimal.
Fonte: Javarevisited (2017, documento on-line).
Podemos verificar que sempre precisamos multiplicar cada símbolo do 
número binário por 2 elevado à sua posição da esquerda para a direita, iniciando 
em zero sempre. Logo, o resultado final é 217
10
.
Conversões: hexadecimal
Hexadecimal é um sistema numérico de base 16, e decimal é um número de 
base 10. Para saber o equivalente decimal de cada dígito de número hexadecimal 
(THURSTON, 2007), siga os seguintes passos:
1. Obtenha o equivalente decimal em uma tabela hexadecimal para decimal.
2. Multiplique cada dígito por 16 elevado no número de posição (locali-
zação) do dígito (por exemplo, iniciando em zero, 7DE: a localização 
E é 0, a localização D é 1 e a localização 7 é 2).
3. Some todos os multiplicadores.
Observe, na Figura 3, a demonstração dessa conversão com o número 
hexadecimal A59C
16
, que representa o número decimal 42,396
10
.
Conversão de bases numéricas4
Figura 3. Conversão de base hexadecimal para decimal.
Fonte: Math Only Math (2018, documento on-line).
Conversões: octal
Um número decimal regular é a soma dos dígitos multiplicados por 10n 
(THURSTON, 2007).
Exemplo 1
137 na base 10 é igual a cada dígito multiplicado pelo seu corres-
pondente 10n:
13710 = 1 × 102 + 3 × 101 + 7 × 100 = 100 + 30 + 7
Os números octais são lidos da mesma maneira, mas cada dígito conta 8n 
em vez de 10n.
Multiplique cada dígito do número hexadecimal pelo correspondente 8n.
Exemplo 2
37 na base 8 é igual a cada dígito multiplicado pelo seu correspon-
dente 8n:
378 = 3 × 81 + 7 × 80 = 24 + 7 = 31
Exemplo 3
7014 na base 8 é igual a cada dígito multiplicado pela sua potência 
correspondente de 8:
70148 = 7 × 83 + 0 × 82 + 1 × 81 + 4 × 80 = 3584 + 0 + 8 + 4 = 3596
5Conversão de bases numéricas
Veja o exemplo que ilustra essa conversão na Figura 4.
Figura 4. Conversão de base octal para decimal.
Fonte: Math Only Math (2018, documento on-line).
A importância das bases numéricas na 
Tecnologia da Informação
Todo computador é composto por muitos componentes eletrônicos. É por isso 
que é necessário um conhecimento básico de eletrônica para entender como 
e por que números binários são usados em computadores. 
Um computador é construído com muitas conexões e componentes, que 
são usados para transferir e armazenar dados, além de se comunicar com 
outros componentes. A maior parte desse armazenamento, transferência e 
comunicação acontece com a eletrônica digital. A eletrônica digital usa o 
sistema binário (ON/OFF) — um sinal com uma série de pulsos ON/OFF é 
igual a um número binário.
Na eletrônica, um nível de tensão ou fluxo de corrente é uma maneira 
de representar um valor. Por exemplo, 5 V (volts) ou 0,5 A (amperes). Os 
fabricantes de dispositivos eletrônicos poderiam, é claro, atribuir qualquer 
significado que desejassem a diferentes valores de tensão. Se você precisa 
de 10 valores, pode dividir o intervalo de 0 V – 4 V (incluindo 0, que cria5 
“etapas”) por 10 — você acabaria com 0,5 V por etapa. Logo, podemos verificar 
que podemos ter 2 estados, um ligado e outro desligado (1/0). 
Conversão de bases numéricas6
Numerais hexadecimais são amplamente utilizados por programadores e 
programadores de sistemas de computador, pois fornecem uma representação 
mais humana dos valores codificados em binários. Cada dígito hexadecimal 
representa quatro dígitos binários, também conhecidos como nibble, que são 
meio byte. Por exemplo, um único byte pode ter valores variando de 0000 
0000 a 1111 1111 na forma binária e pode ser representado de forma mais 
conveniente como 00 a FF em hexadecimal.
O octal tornou-se amplamente utilizado na computação quando sistemas 
como os mainframes PDP-8, ICL 1900 e IBM empregavam palavras de 12 
bits, 24 bits ou 36 bits. Octal foi uma abreviação ideal de binário para essas 
máquinas, porque o tamanho da palavra é divisível por três (cada dígito octal 
representa três dígitos binários). Então, quatro, oito ou doze dígitos podem 
exibir de forma concisa uma palavra de máquina inteira. Ele também reduz 
custos ao permitir que tubos Nixie, monitores de sete segmentos e calculado-
ras sejam usados para os consoles do operador, já que os monitores binários 
eram muito complexos para serem usados, monitores decimais precisavam 
de hardware complexo para converter e monitores hexadecimais, necessários 
para exibir mais numerais (FERDJALLAH, 2011).
Todas as plataformas de computação modernas, no entanto, usam palavras 
de 16, 32 ou 64 bits divididas em bytes de oito bits. Nesses sistemas, seriam 
necessários três dígitos octal por byte, com o dígito octal mais significativo 
representando dois dígitos binários (mais um bit do próximo byte significativo, 
se houver). A representação octal de uma palavra de 16 bits requer 6 dígitos, 
mas o dígito octal mais significativo representa (bastante deselegantemente) 
apenas um bit (0 ou 1). Essa representação não oferece nenhuma maneira de 
ler facilmente o byte mais significativo, porque ele é espalhado por quatro 
dígitos octal. Portanto, hexadecimal é mais comumente usado em linguagens de 
programação hoje, já que dois dígitos hexadecimais especificam exatamente um 
byte. Algumas plataformas com um tamanho de palavra de duas palavras ainda 
têm subwords de instrução que são mais facilmente entendidas se exibidas em 
octal; isso inclui a família PDP-11 e Motorola 68000. A moderna arquitetura 
x86 ubíqua também pertence a essa categoria, mas o octal raramente é usado 
nessa plataforma, embora certas propriedades da codificação binária de op-
codes se tornem mais prontamente aparentes quando exibidas em octal — por 
exemplo, o byte ModRM, que é dividido em campos de 2, 3 e 3 bits —, então 
o octal pode ser útil na descrição dessas codificações (FERDJALLAH, 2011).
Às vezes, o octal é usado na computação em vez de hexadecimal — talvez 
na maioria das vezes nos tempos modernos — em conjunto com as permissões 
de arquivo em sistemas Unix (veja chmod). Tem a vantagem de não exigir 
7Conversão de bases numéricas
símbolos extras como dígitos (o sistema hexadecimal é base-16 e, portanto, 
precisa de seis símbolos adicionais além de 0 a 9) e é usado para displays 
digitais.
Nas linguagens de programação, os literais octal são tipicamente identi-
ficados com uma variedade de prefixos, incluindo o dígito 0, as letras o ou q, 
a combinação de dígitos e letras 0o, ou os símbolos & ou $. Na convenção da 
Motorola, os números octal são prefixados com @, enquanto uma pequena 
letra o é adicionada como um postfix após a convenção da Intel. No DR-DOS 
e no Multiuser DOS, várias variáveis de ambiente, como $ CLS, $ ON, $ OFF, 
$ HEADER ou $ FOOTER, suportam uma notação de número \ nnn octal, 
e o DEBUG DR-DOS utiliza \ to como prefixo de números octal também.
Por exemplo, o literal 73 (base 8) pode ser representado por 073, o73, q73, 
0o73, \ 73, 73 e 73, 73 ou 73o em varias linguagens de programação.
Linguagens de programação mais novas têm abandonado o prefixo 0, já que 
números decimais são frequentemente representados com zeros à esquerda. 
O prefixo q foi introduzido para evitar que o prefixo o seja confundido com 
um zero, enquanto o prefixo 0o foi introduzido para evitar iniciar um literal 
numérico com um caractere alfabético (como o ou q), uma vez que isso poderia 
confundir o literal com um nome variável. O prefixo 0o também segue o modelo 
definido pelo prefixo 0x usado para literais hexadecimais na linguagem C; é 
suportado por Haskell, OCaml, Perl 6, Python a partir da versão 3.0, Ruby, 
Tcl a partir da versão 9, e destina-se a ser suportado pelo ECMAScript 6 (o 
prefixo 0 foi desencorajado no ECMAScript 3 e descartado no ECMAScript 
5) (FERDJALLAH, 2011).
Números octais que são usados em algumas linguagens de programação 
(C, Perl, PostScript…) para representações textuais e gráficas de cadeias de 
bytes quando alguns valores de byte (não representados em uma página de 
códigos, não gráficos, tendo significado especial no contexto atual ou não 
desejados) tem que ser para escapar como \ nnn. A representação octal pode 
ser particularmente útil com bytes não ASCII de UTF-8, que codifica grupos 
de 6 bits, e onde qualquer byte inicial tem valor octal \ 3nn e qualquer byte de 
continuação tem valor octal \ 2nn.
Convertendo bases numéricas
Embora você já tenha visto como fazer a conversão de um número binário, 
octal ou hexadecimal para decimal, é importante praticar e verificar como 
realizar as conversões no caminho inverso.
Conversão de bases numéricas8
Conversões: decimal para octal 
Lembre-se que “decimal” é chamado de base 10 porque cada dígito representa 
uma potência de 10. Nós chamamos os primeiros três dígitos de 1s, 10s, 
100s, mas também podemos escrever isso como o 100 lugar, o 101 lugar e o 
102 lugar. O octal ou sistema de numeração de base 8 usa potências de 8 em 
vez de potências de 10. Escreva algumas dessas potências de 8 em uma linha 
horizontal, da maior para a menor. Note que esses números são todos escritos 
em decimal (base 10) (THURSTON, 2007).
Para converter um decimal para octal, você deve apenas dividir por 8 o 
número e pegar o resto da divisão de baixo para cima. Veja, na Figura 5, uma 
ilustração de como fazer essa conversão.
Figura 5. Conversão de base decimal para octal.
Fonte: Math Only Math (2018, documento on-line).
Conversões: decimal para hexadecimal 
A conversão de um número decimal para hexadecimal é muito simples. Você 
vai precisar seguir as seguintes etapas para realizar essa conversão:
1. Divida o número por 16.
2. Obtenha o quociente inteiro para a próxima iteração.
3. Obtenha o restante para o dígito hexadecimal.
4. Repita as etapas até que o quociente seja igual a 0.
O processo é muito similar ao da conversão realizada do decimal para o 
octal, mas, aqui, fazemos a divisão pelo 16. Veja, na Figura 6, um exemplo de 
conversão do número 65535 para a base hexadecimal, resultando no número 
FFFF
16
.
9Conversão de bases numéricas
Figura 6. Conversão base decimal para hexadecimal.
Fonte: Math Only Math (2018, documento on-line).
No método de expansão, a conversão de números binários em seus equivalentes 
decimais é mostrada com a ajuda dos exemplos. Observe o exemplo de como converter 
o número decimal 256 em seu equivalente binário.
256 128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
Como o dado número 256 aparece na primeira linha, colocamos 1 no slot abaixo de 
256 e preenchemos todos os outros slots à direita desse slot com zeros.
Assim, 256
10
 = 100000000
2
FERDJALLAH, M. Introduction to digital systems: Modeling, Synthesis, and Simulation 
Using VHDL. Hoboken: Wiley-Blackwell, 2011. 
JAVAREVISITED. How to convert binary number to decimal in java – algorithm. 28 jan. 2017. 
Disponível em: <https://javarevisited.blogspot.com/2015/01/how-to-convert-binary- 
number-to-decimal.html>. Acesso em: 31 out. 2018.
MATH ONLY MATH. Conversion of numbers. 2018. Disponível em: <https://www.math- 
only-math.com/conversion-of-numbers.html>.Acesso em: 31 out. 2018.
Conversão de bases numéricas10
THURSTON, H. A. The number system. New York: Dover, 2007. (Dover Books on 
Mathematics).
Leituras recomendadas
ARPACI-DUSSEAU, R. H.; ARPACI-DUSSEAU, A. C. Operating systems: Three Easy Pieces. 
Madison: Arpaci-Dusseau Books, 2014.
GERALDI, L. M. A.; GALASSI, C. R.; FORMICE, C. R. Elucidando os sistemas operacionais. 
Taquaritinga: Dos autores, 2013.
SILBERSCHATZ, A.; GALVIN, P. B.; GAGNE, G. Sistemas operacionais com Java. 8. ed. Rio 
de Janeiro: Campus, 2016.
TANENBAUM, A. S.; BOS, H. Sistemas operacionais modernos. 4. ed. São Paulo: Pearson, 
2016.
11Conversão de bases numéricas
Conteúdo:
DICA DO PROFESSOR
Neste vídeo, você vai conhecer a história da base binária e o método de cálculo para conversões 
para números decimais.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Converta o numeral binário 10101010 para a base octal. Marque a alternativa que 
contempla a resposta correta.
A) 80.
B) 250.
C) 252.
D) 153.
E) 302.
2) Converta o número decimal 67 para a base octal. Marque a alternativa que 
contempla a resposta correta.
A) 103.
B) 81.
C) 8,375.
D) 536.
E) 100.
3) Converta o número hexadecimal FEA para a base decimal. Marque a alternativa que 
contempla a resposta correta.
A) 4044.
B) A342.
C) 4504.
D) 4074.
E) 4740.
4) Realize a soma dos números binários 1010010001 e 1000010101. Marque a 
alternativa onde apresenta a resposta correta para a soma:
A) 10010100110.
B) 0010100110.
C) 01100101001.
D) 01011100110.
E) 52041.
5) Some os dois números binários 111 + 101 e dê o resultado em número decimal.
A) 10.
B) 20.
C) 15.
D) 11.
E) 12.
NA PRÁTICA
Usando a operação de apenas dois dígitos ou estados da álgebra booleana (sim ou não, 
verdadeiro ou falso, ligado ou desligado e 0 ou 1, por exemplo), o sistema binário permite que 
os computadores processem dados com maior efetividade. Isso é uma grande vantagem em 
relação aos mecanismos que processam informações de maneira analógica, os quais são mais 
suscetíveis a distorções na transmissão de dados.
Aliado à lógica booleana, o sistema binário permite representar números, caracteres ou 
símbolos, e realizar operações lógicas ou aritméticas por meio de circuitos eletrônicos digitais 
(também chamados de portas lógicas).
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Aritmética binária
Você sabe como fazer soma e subtração binária? No próximo vídeo você poderá ver como 
proceder para realizar os cálculos binários.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Windows 7: a calculadora multifunções
No windows 7, as calculadoras dispõem de diferentes recursos, como a possibilidade de fazer 
cálculos estatísticos ou para programação.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Sistema Binário
Amplie seus conhecimentos sobre a conversão de sistemas binários em sistemas decimais e 
vice-versa.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Noções de funções lineares e quadráticas
APRESENTAÇÃO
O estudo de funções lineares e quadráticas é essencial para as mais diversas profissões. Essas 
funções apresentam características e comportamentos diferentes e estão relacionadas aos mais 
variados assuntos, por exemplo, você sabia que o comportamento do crescimento de uma planta, 
a lei de queda dos corpos, o cálculo do índice de massa corpórea, tudo isso está intimamente 
relacionado à matemática? Por isso, conhecer o comportamento gráfico das funções é 
fundamental ao seu trabalho.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai conhecer um pouco mais as funções lineares e 
quadráticas, além de suas definições e sua lei de formação.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Aplicar os conceitos de funções lineares e quadráticas. •
Analisar gráficos de funções lineares e quadráticas. •
Resolver fenômenos científicos a partir das funções matemáticas apresentadas. •
DESAFIO
O uso de funções quadráticas, de segundo grau, é muito recorrente em problemas na biologia. 
Utilizando os conceitos aprendidos nesta Unidade de Aprendizagem, você será capaz de resolver 
uma situação real, aplicando as funções quadráticas.
Considere que você está trabalhando em determinada pesquisa sobre a prevalência de pacientes 
com Alzheimer. Veja.
Nessa fase inicial, sua tarefa é verificar qual é a porcentagem estimada da população dos 
Estados Unidos com Alzheimer aos 65 e 90 anos de idade. Além disso, deverá apresentar o 
gráfico que evidencia o comportamento da prevalência desses pacientes.
Com as informações dadas e os conhecimentos adquiridos acerca das funções quadráticas, seu 
Desafio é encontrar a solução do problema.
Sua tarefa é responder as seguintes questões.
1. Qual é a porcentagem estimada da população dos Estados Unidos com Alzheimer aos 65 
anos?
2. E aos 90 anos?
3. Trace o gráfico que evidencia o comportamento da prevalência desses pacientes.
INFOGRÁFICO
Conhecer as possíveis raízes de uma equação do segundo grau é fundamental ao seu dia a dia de 
trabalho.
No Infográfico a seguir, veja tais informações conforme o sinal do determinante. A 
representação gráfica auxilia na compreensão.
CONTEÚDO DO LIVRO
Conhecer conceitos e aprender a fazer a representação gráfica das funções lineares e quadráticas 
ajuda a perceber que elas apresentam comportamentos diferentes.
Na obra Fundamentos de física de matemática, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, 
leia o capítulo Noções de funções lineares e quadráticas e conheça o modelo linear e quadrático 
das funções, seu conceito, os principais elementos e aplicações.
FUNDAMENTOS 
DE FÍSICA E 
MATEMÁTICA
Cristiane da Silva
Noções de funções 
lineares e quadráticas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Aplicar os conceitos de funções lineares e quadráticas.
  Analisar gráficos de funções lineares e quadráticas.
  Resolver fenômenos científicos a partir das funções matemáticas 
apresentadas.
Introdução
Neste capítulo, você conhecerá o modelo linear e quadrático das funções, 
o seu conceito, os principais elementos e as aplicações. O comportamento 
gráfico das funções será explicitado, bem como exemplos práticos de 
aplicação de função afim e quadrática.
Funções lineares e quadráticas
Você aprenderá a identifi car o coefi ciente angular, o coefi ciente linear e o 
zero da função afi m. Em seguida, estudará o conceito de função quadrática 
e os seus elementos característicos, e aprenderá a calcular as coordenadas do 
vértice da parábola.
Você verá ainda a relação existente entre a biologia e a matemática, por 
meio de exemplos que buscam elucidar as funções afins e quadráticas, como 
o comportamento de crescimento de uma planta, a lei de queda dos corpos e 
o índice de massa corporal. 
Funções lineares
Oliveira (2016) destaca que podemos encontrar números desconhecidos em 
cálculos de matemática, física, química, biologia, assim como em problemas do 
nosso cotidiano. Quando reunimos informações sobre esse valor para expressá-
-lo de forma algébrica, isso resultará em uma equação. As equações lineares — 
ou do primeiro grau — são aquelas em que o expoente da incógnita é um.
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 42) formalizam a função afim 
da seguinte forma: “Chama-se de função afim ou função polinomial do 1º grau 
a toda função definida por , onde as constantes a e b 
pertencem ao conjunto dos números reais e a e b devem ser diferentes de zero”.
Para compreender melhor o conceito de função afim na prática, pense 
no crescimento das plantas: cada uma tem o seu ritmo, que, por natureza, é 
diferente entre as espécies. O bambu é um dos recordistas em crescimento. 
Após uma pesquisa, verificou-se que ele cresce em média um metro pordia. 
Vejamos um exemplo de função afim específica para esse caso do bambu.
Sabendo que o bambu cresce em média um metro por dia, construímos o quadro a 
seguir, que pode representar o crescimento diário e o tamanho do bambu. Temos aqui 
uma função afim, pois o comportamento da função é linear e, pelo gráfico, podemos 
observar que uma reta é gerada com base nas informações da planta.
x y = x
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
Noções de funções lineares e quadráticas2
Note que a equação do exemplo está com a variável x em primeira potên-
cia; portanto, o que temos é uma equação do primeiro grau — função afim. 
A busca agora é pela compreensão dos coeficientes de uma função afim, ou 
seja, a partir da equação geral dessa função, você aprenderá o que representa 
o a e o b da equação.
Coeficiente angular
O coefi ciente angular, na equação geral da função afi m y = ax + b, é repre-
sentado pela letra a e é a razão entre a variação da função e a variação da 
variável independente x (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Vamos entender 
essa defi nição analisando o gráfi co da Figura 1.
3Noções de funções lineares e quadráticas
Figura 1. Representação gráfica do coeficiente angular.
Fonte: Friedrich e Manzini (2010, p. 44).
Note que , e isso ocorre para quaisquer dois pontos escolhidos, 
pois os triângulos formados são semelhantes. Essa razão é constante para cada 
função e depende apenas da inclinação da reta. Por esse motivo, a é denominado 
coeficiente angular, também conhecido como declividade ou taxa de variação.
Coeficiente linear
O coefi ciente linear, na equação geral da função afi m y = ax + b, é representado 
pela letra e é a ordenada do ponto em que o gráfi co da função cruza o eixo das 
ordenadas y (FRIEDRICH; MANZINI, 2010). Vamos entender essa defi nição 
analisando o gráfi co da Figura 2.
Noções de funções lineares e quadráticas4
Figura 2. Representação gráfica do coeficiente linear.
Fonte: Friedrich e Manzini (2010, p. 47).
Note que b é o ponto que corta o eixo y.
Funções quadráticas
Equações em que o expoente de maior grau é 2 são chamadas de equações do 
segundo grau — ou funções quadráticas. Nem sempre é possível resolver esse 
tipo de equação isolando a incógnita. É importante mencionar que se chama 
de raiz de uma equação o valor para o qual a equação se anula. No caso da 
equação do segundo grau, ela terá de zero até duas raízes reais e pode ser 
escrita, de forma geral, como y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números 
reais e a ≠ 0 (OLIVEIRA, 2016).
5Noções de funções lineares e quadráticas
As funções quadráticas têm diversas aplicações. Veja alguns exemplos.
Exemplo 1: A lei da queda dos corpos
Se você ainda não estudou essa lei, aprenderá que . Nessa fórmula:
d é a distância percorrida pelo corpo até chegar ao chão;
G é a constante de aceleração da gravidade;
t é o tempo que o corpo leva para chegar ao chão.
Exemplo 2: Índice de Massa Corporal (IMC)
É importante acompanhar esse índice, já que a obesidade é um problema sério. Ela é 
considerada uma doença grave quando o IMC do indivíduo se apresenta superior a 
30. Para calcular o IMC, utilizamos a fórmula:
, ou seja, 
Note que, nas equações dos exemplos acima, as variáveis independentes 
(t, m) estão em segunda potência. Portanto, o que temos são equações do 
segundo grau (funções quadráticas). 
Raízes da função quadrática
Vimos que a equação do segundo grau terá de zero até duas raízes reais e 
pode ser escrita, de forma geral, como y = ax² + bx + c. Assim, para resolvê-la, 
utilizamos a conhecida fórmula de Bhaskara, que nos permite encontrar as 
raízes da função quadrática. Para isso, vamos relembrá-la:
Para resolver essa fórmula, olhamos para a forma geral da função quadrática 
e buscamos seus elementos: a, b e c.
Friedrich e Manzini (2010) lembram que a expressão b² – 4ac é conhecida 
como discriminante e pode ser representada pela letra grega ∆. Portanto, 
podemos reescrever a fórmula de Bhaskara como:
Noções de funções lineares e quadráticas6
Nesse contexto, Friedrich e Manzini (2010, p. 65) definem a função quadrá-
tica da seguinte forma: “A função f: R → R, definida por f(x) = ax² + bx + c, 
com a, b e c reais e a diferente de zero, é chamada de função quadrática ou 
função do segundo grau”.
Representação gráfica
As funções afi ns, em função das suas características, vão gerar como repre-
sentação gráfi ca no plano cartesiano uma reta; já as funções quadráticas vão 
gerar parábolas. Veremos a seguir essas representações.
Função afim
Tan (2014) mostra a representação de duas retas e explica as suas declividades. 
Veja o exemplo a seguir.
A Figura 3 mostra uma reta L
1
 com declividade 2. Note que, nessa reta, o aumento 
de uma unidade em x resulta em um aumento de duas unidades em y. Para ver isso, 
basta recordar que:
Figura 3. Reta crescente (com a > 0).
7Noções de funções lineares e quadráticas
Função quadrática
Estudamos que o gráfi co de uma função quadrática é uma parábola. Agora 
vamos entender o que caracteriza a parábola com concavidade voltada para 
cima ou para baixo. Oliveira (2016) mostra esses casos com exemplos gráfi cos, 
como você pode ver a seguir.
Na Figura 4, a reta L
2
 tem declividade −1. Nesta reta, o aumento de uma unidade em 
x resulta em uma redução de uma unidades em y.
Figura 4. Reta decrescente (com a < 0).
Fonte: Tan (2014, p. 33–34).
Observe que uma reta com declividade positiva se inclina para cima, da esquerda 
para direita (y cresce à medida que x cresce), enquanto uma reta com declividade 
negativa se inclina para baixo, da esquerda para direita (y decresce à medida que 
x cresce).
Noções de funções lineares e quadráticas8
O coeficiente a diz se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo 
(Figuras 5 e 6). Lembre-se de que a lei de formação de uma função quadrática é dada 
por y = ax2 + bx + c.
Figura 5. Concavidade para cima (com a > 0).
Figura 6. Concavidade para baixo (com a < 0).
Fonte: Oliveira (2016, p. 66–67).
O coeficiente c indica a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo y, ou seja, 
em (0, c). Os pontos em que as funções cortam o eixo x são as raízes ou os zeros da 
função. Para encontrá-los, basta resolver a equação do segundo grau f(x) = 0.
9Noções de funções lineares e quadráticas
Vértice da parábola
Uma parábola tem infi nitos pontos; um deles é o vértice v(x
v
, y
v
). O vértice se 
encontra no ponto médio das raízes da equação do segundo grau e pode ser 
obtido pela seguinte fórmula . Para encontrar o y
v
, basta substituir o 
valor do x encontrado na função ou fazer (FRIEDRICH; MANZINI, 
2010). Observe no exemplo o signifi cado do vértice da parábola.
Se a > 0, o vértice é o ponto que tem o menor valor de y entre todos os pontos da 
curva. Por isso, é chamado também de ponto de mínimo absoluto da função. 
Assim, o ponto mínimo da função y = x2 – 4x + 3 é o ponto (2, –1), como mostra 
a Figura 7.
Figura 7. Vértice da parábola (com a > 0).
O vértice também pode ser o ponto que tem o maior valor de y entre todos os 
pontos da curva. Por isso, é chamado também de ponto de máximo absoluto da 
função, como mostra a Figura 8.
Noções de funções lineares e quadráticas10
Resoluções matemáticas
Existe uma forte relação entre matemática e biologia. O exemplo mais co-
mumente discutido é a relação das bactérias geradas pelo nosso corpo, 
revelando-se pelo suor ou pela saliva, por exemplo. Além disso, a poluição 
do ar nas cidades é calculada em função do número de carros em circulação; 
a sobrevivência de um inseto, em função da temperatura. Para discutir a 
afi nidade entre biologia e matemática, veja um exemplo de um experimento 
em uma cultura de bactérias.
Figura 8. Vértice da parábola (com a < 0).
Fonte: Friedrich e Manzini (2010, p. 69).
Vamos abordar um experimento que ocorreu em um laboratório, com o objetivo de 
compreender a reação de um cultivo de bactérias a determinada toxina. Foi introduzida 
a toxina em uma cultura de bactérias, cuja população, no momento da