Álgebra Linear - Lista 07

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Universidade Federal do Tocantins 
 
7. Lista de Exercícios de Álgebra Linear 
 
1) Expressar o vetor v = (1, -2, 5) em R
3
 como combinação linear dos vetores u1 = (1, -3, 2), 
u2 = (2, -4, -1) e u3 = (1, -5, 7). 
 
2) Expressar o polinômio real p = t² + 4t – 3 como combinação linear dos polinômios: 
p1 = t² – 2t + 5, p2 = 2t² – 3t e p3 = t + 3. 
 
3) Escrever a matriz E = 





11
13
como combinação linear das matrizes A = 





01
11
, B = 





11
00
 
e C = 





10
20
. 
 
4) Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad – bc = 0, mostrar que eles são LD. 
Se ad – bc ≠ 0, mostrar que eles são LI. 
 
5) Determinar se os vetores do R³: u = (1, -2, 1), v = (2, 1, -1) e w = (7, -4, 1) são LI ou LD. 
 
6) Considerar o espaço vetorial P(t) de polinômios sobre R. Determinar se os polinômios 
p1 = t³ + 4t² – 2t + 3, p2 = t³ + 6t² – t + 4 e p3 = 3t³ + 8t² – 8t + 7 são LI ou LD. 
 
7) Seja V o espaço vetorial das matrizes 2x2. Determinar se as matrizes são LI ou LD, em que: 
 
A= 





11
11
, B= 





10
01
 e C= 





00
11
. 
 
8) Suponha que u,v,w são vetores LI. Mostrar que u + v, u – v e u – 2v + w também são LI. 
 
9) Seja V um espaço vetorial. 
a) Mostrar que se A = {v} V e v ≠ 0, então A é LI. 
b) Mostrar que se A  V contém o vetor nulo, então A é LD. 
c) Mostrar que se uma parte de um conjunto A  V é LD, então A também é LD. 
d) Mostrar que se A = {v1, v2,..., vn} V é LI e B = {w1, w2,..., wn} V é LD, então w é 
combinação linear de v1, v2,..., vn. 
 
10) Considerar S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] um subespaço de R
4
. 
a) O vetor (
3
2
, 1, -1, 2) pertence a S? 
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 
 
11) Seja W o subespaço de M2x2 definido por: W=














Rba
ba
baa
,/
0
22
. 
a) ?
10
20
W




 
 b) ?
13
20
W





 
 
12) Mostrar que 






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
 é base de M2x2. 
 
13) Descreva uma base para o espaço das matrizes nxn. Qual a dimensão deste espaço? 
 
14) Quais as coordenadas do vetor x = (1, 0, 0) em relação à base β = {(1,1,1), (-1,1,0), (1,0,-1)}? 
 
15) Qual seria uma base “natural” para Pn: espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n? 
Qual a dimensão do espaço? 
 
16) Mostrar que os polinômios 1- t³, (i - t)², 1- t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau menor 
ou igual a 3. 
 
17) Seja V o espaço das matrizes 2x2 e seja W o subespaço gerado por: 





































15
71
,
75
42
,
51
11
,
24
51
. Encontre a base e a dimensão de W. 
 
18) Dada uma matriz A de ordem mxn, podemos considerar as m linhas de A como vetores do R
n
 e 
o subespaço V, de R
n
, gerado por estes vetores. Mostrar que os vetores dados pelas linhas não nulas 
de uma matriz linha reduzida à forma escada são LI. 
 
19) Considerar o subespaço de R
4
 gerado pelos vetores: v1 = (1,-1,0,0), v2 = (0,0,1,1), v3 = (-2, 1, 1) 
e v4 = (1,0,0,0). 
a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,, v2, v3, v4]? 
b) Exibir uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a sua dimensão? 
c) [v1, v2, v3, v4] = R
4
? Por quê? 
 
20) Considerar o subespaço de R³ gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, -1, 1) e v3 = (1, 1, 1). 
[v1,, v2, v3] = R³? Por quê? 
 
21) Considerar o sistema linear : (*)
1 2 3
1 2 3
2 3
2 4 6
4
6 14
x x x a
x x x b
x x c
  

  
  
 
Seja W = {(x1, x2, x3)  R³ / (x1, x2, x3) é a solução de (*)}. Isto é, W é o conjunto solução do 
sistema. 
a) Que condições devemos impor para a, b e c para que W seja subespaço vetorial de R³? 
b) Nas condições impostas em (a) encontrar uma base para W. 
c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado 
válido para quaisquer sistemas homogêneos? 
 
22) Ilustrar com um exemplo a proposição: “ Se U e W são subespaços de um subespaço vetorial V 
que tem dimensão finita, então: dim (U + W) = dim (U) + dim (W) – dim (UW)”.