ELEMENTOS DE EUCLIDES n175

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Se a pirâmide cônica ABCDL (Figs. 19 e 20.) não tiver para a pirâmide 
cônica EFGHN a razão triplicada da de AC para EG, poderá haver um sólido ou 
menor, ou maior que a pirâmide cônica EFGHN, para o qual sólido a pirâmide 
cônica ABCDL tenha a, dita razão triplicada. Seja X êste sólido, o qual se 
suponha, primeiramente, ser menor que a pirâmide cônica EFGHN. Feita a 
mesma construção, que fizemos na Proposição precedente, poder-se-á 
demonstrar, que a ao pirâmide da base polígona EOFPGRHS, e do vértice N é 
maior que o sólido X. Inscreva-se no círculo ABCD o polígono ATBYCVDQ; 
semelhante ao polígono EOFPGRHS; e sôbre o polígono ATBYCVDQ seja 
formada uma pirâmide, que tenha o mesmo vértice da pirâmide cônica. Seja 
LAQ um dos triângulos, que compreendem a pirâmide da base ATBYCVDQ; e 
do vértice L, e seja NES outro triângulo daqueles, que compreendem a 
pirâmide da base EOFPGRHS e do vértice N. Tirem-se os semidiâmetros KQ, 
MS. Como as pirâmides cônicas ABCDL, EFGHN são semelhantes, será 
AC:EG::KL:MN (Def. 24.11.). Mas é AC:EG::AK:EM (Pr. 15.5.). Logo, será 
AK:EM::KL:MN, e permutando AK:KL::EM:MN. Mas, sendo retos os ângulos 
AKL, EMN, são também iguais. Logo, sendo proporcionais os lados que formam 
os ângulos iguais, os triângulos AKL, EMN serão semelhantes (Pr. 6.6.); Do 
mesmo modo, sendo AK:KQ::EM:MS, e sendo iguais entre si também Os 
ângulos AKQ, EMS, feitos pelos lados AK, KQ, EM, MS, por ser cada um dos 
ditos ângulos a mesma parte de quatro ângulos retos, que existem ao redor 
tanto do centro K, como do centro M, será o triângulo AKQ semelhante ao 
triângulo EMS. E como se tem já demonstrado ser AK:KL::EM:MN, e temos AK 
= KQ, e EM = MS, será QK:KL::SM:MN. Logo, são proporcionais os lados que 
formam os ângulos retos, e por conseqüência iguais QKL, SMN. Logo, o 
triângulo LKQ é semelhante ao triângulo NMS. Sendo pois, pela semelhança 
dos triângulos AKL, EMN, LA:AK::NE:EM, e pela semelhança dos triângulos 
AKQ, EMS, sendo também KA:AQ::ME:ES, será por igual (Pr. 22.5.) 
LA:AQ::NE:ES. Do mesmo modo, sendo semelhantes os triângulos LQK, NSM, 
será LQ:QK::NS:SM; e sendo também semelhantes os triângulos KAQ, MES, 
será KQ:QA::MS:SE. Logo, será por igual LQ:QA::NS:SE. Mas temos visto ser 
LA:AQ::NE:ES, isto é, invertendo, QA:AL::SE:EN. Logo, será outra vez por 
igual QL:LA::SN:NE. Logo, sendo proporcionais entre si os lados dos triângulos 
LQA, NSE, êstes triângulos serão eqüiângulos, e por conseqüência também 
semelhantes (Pr. 5.6.). Logo, a pirâmide, cuja base é o triângulo AKQ, e o 
vértice o ponto L, será semelhante à pirâmide, cuja base é o triângulo EMS, e 
o vértice o ponto N, por serem iguais (Pr. B .11.) entre si, respectivamente, os 
ângulos sólidos de ambas as pirâmides; e por serem ambas as mesmas 
pirâmides formadas por planos semelhantes e em número igual. Mas as 
pirâmides semelhantes, e com bases triangulares, estão entre si na razão 
triplicada dos lados homólogos (Pr. 8.12.). Logo, a pirâmide AKQL tem para a 
pirâmide EMSN a razão triplicada da de AK para EM. Da mesma maneira, 
tirados os semidiâmetros entre os pontos T, B, Y, C, V, D, e o centro K, e 
também entre os pontos O, F, P, G, R, H, e o centro M; formadas sôbre os 
triângulos, que assim ficam feitos, outras tantas pirâmides, que tenham os 
mesmos vértices, que as pirâmides cônicas, demonstraremos que cada uma 
das pirâmides da primeira série tem para a sua correspondente, na segunda