ELEMENTOS DE EUCLIDES n179

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altura o eixo MP. Sendo pela hipótese iguais entre si os cilindros AX, EO, será 
o cilindro AX para o cilindro ES, como o cilindro EO é para o mesmo cilindro ES 
(Pr. 7.5.). Mas o cilindro AX é para o cilindro ES, como a base ABCD é para a 
base EFGH, visto serem igualmente altos os cilindros AX, ES; e o cilindro EO é 
para o cilindro ES, como a altura MN para a altura MP (Pr. 13.12), por estar 
cortado o cilindro EO pelo plano TYS, paralelo aos planos opostos. Logo, deve 
ser a base ABCD para a base EFGH, como a altura MN é para a altura MP. Mas 
é MP = KL. Logo, será a base ABCD para a base EFGH, como a altura MN é 
para a altura KL. Logo, as bases e alturas dos cilindros iguais AX, EO são 
reciprocamente proporcionais.
Suponham-se agora reciprocamente proporcionais as bases e alturas 
dos cilindros AX, EO; isto é, suponha-se ser a base ABCD para a base EFGH, 
como a altura MN é para a altura KL. Digo que os cilindros AX, EO serão 
iguais.
Sejam, primeiramente, iguais as bases ABCD, EFGH. Porque temos 
suposto ser a base ABCD para a base EFGH, como a altura MN é para a altura 
KL; e agora se supõem, iguais entre si as bases ABCD, EFGH, será MN = KL 
(Pr. A. 5.), por conseqüência serão iguais (Pr. 11.12.) os cilindros AX, EO.
Suponham-se agora desiguais as bases ABCD, EFGH, e seja 
ABCD>EFGH. Sendo a base ABCD para a base EFGH, como a altura MN é para 
a altura KL, será MN>KL (Pr. A.5.). Feita pois a mesma construção, que 
fizemos anteriormente, sendo a base ABCD para a base EFGH, como a altura 
MN é para a altura KL, e tendo nós KL = MP; será a base ABCD para a base 
EFGH, como o cilindro AX é para o cilindro ES, por terem êstes cilindros alturas 
iguais. Mas a altura MN é para a altura MP, ou KL, como o cilindro EO é para o 
cilindro ES. Logo, será o cilindro AX para o cilindro ES, como o cilindro EO é 
para o mesmo cilindro ES; e assim serão iguais entre si os cilindros AX, EO.
A mesma demonstração, e pelo mesmo método, se pode fazer também 
a respeito das pirâmides cônicas.
PROP. XVI. PROB.
Dados dois círculos concêntricos, inscrever no círculo maior um 
polígono de lados iguais, e de número par, de maneira que não 
toque o círculo menor (Fig. 25.).
Sejam dados os círculos ABCD, EFGH, cujo centro comum seja o ponto 
K. Deve-se inscrever, no círculo maior ABCD, um polígono de lados iguais, e 
de número par, de sorte que não toque o círculo menor EFGH.
Tire-se o diâmetro BD, sôbre o qual se levante do ponto G a 
perpendicular GA. Produza-se esta até o ponto C. Será a reta AC uma 
tangente (Pr. 16.3.) do círculo EFGH no ponto G; Se a semicircunferência BAD 
fôr dividida pelo meio, e uma das metades fôr também dividida em partes 
iguais, ê isto se continuar sempre assim, finalmente viremos a ter um arco 
menor (Lema I.) que o arco AD. Seja LD êste arco menor do que o arco AD. 
Caia do ponto L perpendicularmente sôbre o diâmetro BD e reta LM, a qual 
seja produzida até o ponto N. Tirem-se as cordas LD, DN. Será LD = DN (Pr. 
3.3. e 4.1. ). E como LN é paralela a AC, que toca o círculo EFGH no ponto G;