ELEMENTOS DE EUCLIDES n181

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PROP. XVII. PROB.
Dadas duas esferas concêntricas, inscrever na esfera maior um 
sólido poliedro, cuja superfície não toque a esfera menor, (Fig. 
27.).
Suponham-se duas esferas concêntricas, e seja o ponto, A o centro 
comum de ambas. Deve-se inscrever na esfera maior um sólido poliedro, cuja 
superfície não toque a esfera menor.
Pelo centro comum A de ambas as esferas considere-se passar um 
plano, que corte as mesmas esferas. As seções comuns do dito plano e das 
superfícies esféricas devem ser círculos; porque, ficando uma esfera descrita 
pela revolução inteira de, um semicírculo ao redor do diâmetro considerado 
como imóvel, qualquer que fôr a situação em que esteja o dito semicírcuio, o 
plano que passar por êle, sendo produzido para tôdas as partes, 
necessàriamente marcará na superfície esférica: a circunferência de um 
círculo:, e é manifesto que êste deve ser um círculo máximo, porque o 
diâmetro da esfera, que é o mesmo que o diâmetro dêste círculo, é a reta 
maior de quantas se podem conduzir (Pr. 15.3.) dentro de um círculo, ou 
dentro de uma esfera. Seja êste pois o círculo BCDE na esfera maior, e na 
menor o círculo FGH. Tirem-se os diâmetros BD, CE, reciprocamente 
perpendiculares entre si. Inscreva-se (Pr. 16.12.) no círculo maior BCDE um 
polígono de lados iguais, e de número par e que não toque o círculo menor 
FGH. Sejam as retas BK, KL, LM, ME. os lados dêste polígono, pertencentes ao 
quadrante BE do mesmo círculo BCDE. Tire-se o diâmetro KN. Levante-se do 
ponto A a reta AX perpendicularmente sôbre o plano do círculo BCDE. A reta 
AX encontrará a superfície da esfera em um ponto X. Pela reta AX e pelos 
diâmetros BD, KN façam-se passar dois planos os quais, pelo que temos dito, 
farão na superfície esférica dois círculos máximos. Sejam os semicírculos 
dêstes círculos máximos os dois BXD, KXN, que estão postos sôbre os 
diâmetros BD, KN. Como a reta XA é perpendicular ao plano do círculo BCDE, 
todos os planos, que passarem pela reta XA, serão perpendiculares (Pr. 
18.11.) ao mesmo plano do círculo BCDE. Logo, os semicírculos BXD, KXN são 
perpendiculares ao plano do dito círculo BCDE. E como os semicírculos BED, 
BXD, KXN são iguais entre si, por serem iguais os diâmetros dêles BD, KN; 
também os quadrantes BE, BX, KX, que são as metades dos ditos semicírculos, 
serão iguais. Logo, em cada um dos quadrantes BX, KX poderá haver um 
número de lados inscritos igual ao número dos lados BK, KL, LM, ME inscritos 
no quadrante BE, de maneira que sejam iguais entre si todos êstes lados 
inscritos nos ditos três quadrantes. Inscrevam-se pois, e sejam os lados BO, 
OP, PR, RX os lados inscritos no quadrante BX; e no quadrante KX os lados 
KS, ST, TY, e YX, e tiradas as retas OS, PT, RY dos pontos O, S, sejam 
conduzidas as perpendiculares OV, SQ sôbre os raios AB, AK.
Como o plano BOXD é perpendicular ao plano BCDE, e no plano BOXD 
existe a reta OV perpendicular ao semidiâmetro AB, que é a seção comum dos 
ditos planos, será a reta OV perpendicular (Def. 4.11.) ao plano BCDE. Pela 
mesma razão, a reta SQ é perpendicular ao mesmo plano BCDE, por ser o