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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Um pouco sobre a história dos logaritmos 
Os logaritmos surgiram da necessidade de tornar mais 
simples as operações de multiplicação, divisão, 
exponenciação e radiciação, já que no fim do século XVI, 
como o desenvolvimento da Astronomia por Kepler, a 
mecânica por Galileu e o auge das grandes navegações, 
os cálculos estavam cada vez mais longos e trabalhosos e 
precisavam de métodos mais rápidos e precisos. Assim, a 
precisão dos cálculos era necessária para o sucesso 
dessas jornadas. 
Foram então desenvolvidos alguns métodos, baseados 
nas fórmulas trigonométricas, que transformavam 
produto em soma e subtração, conhecidos como fórmulas 
de Werner, pois foram criados pelo matemático alemão 
Johannes Werner (1468-1522) 
O escocês John Neper (1550-1617) foi um dos que 
impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do 
início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos 
logaritmos, muito embora outros matemáticos da época 
também tenham trabalhado com ele. As primeiras tábuas 
de logaritmos foram publicadas por Napier e Briggs, em 
1614 e 1620, respectivamente. 
A proposta de Napier se baseou na propriedade de 
multiplicação de potências de mesma base, ou seja, o 
resultado é uma potência de mesma base, mas cujo 
 
expoente é a somas dos dois expoentes das potências 
anteriores. 
Lembramos que hoje em dia, com a popularização dos 
computadores e calculadoras, fica até difícil imaginar 
como isto se dava em tempos em que não existiam 
instrumentos para realizar cálculos, exceto os ábacos. 
Então porque ainda estudamos logaritmos? Sequer 
utilizamos mais as famosas tábuas de logaritmos. Estas 
são as principais razões: 
Serem funções inversas das funções exponenciais, que 
modelam vários problemas. 
Servem para mensurar certos fenômenos cujas medidas 
se dão por números muito grandes ou muito pequenos. A 
escala Richter, por exemplo, é uma escala de base 10 
para medir a magnitude de terremotos. Logaritmos 
também servem para medir o PH de substâncias 
químicas. 
Para isso o logaritmo é essencial. 
 
Ao estudar função exponencial, vimos como resolver uma 
equação exponencial quando é possível obter potências 
de mesma base nos dois membros da equação. Isso, no 
entanto nem sempre ocorre, como, por exemplo, na 
equação 5 12x  , que não conseguimos colocar as 
potências na mesma base. São muitos os 
acontecimentos em que aparecem equações como essa. 
Vejamos a seguinte situação: 
 
O número de indivíduos de uma população de bactérias 
no instante t é definido pela função: 
1095( ) 30.3 tf t  , em que t é o tempo em minutos. 
Deseja-se saber após quantos minutos essa população 
chegará a 11.100 bactérias. 
De acordo com os dados do problema, temos: 
1095 109511100 30.3 3 370t t   
E agora? Como não é possível obter potências de bases 
iguais nos dois membros, o que fazer? Estudar 
logaritmos, pois um dos objetivos desse estudo é 
justamente fornecer condições para a resolução de 
equações desse tipo. 
Definição de logaritmo: 
Sejam a e b número reais, positivos, com 1a  . 
Chamamos logaritmo de b na base a o número real x 
tal que 
xa b . Ou seja: 
   
x
alog b x b a 
Assim: 
a) 5log 25 2 , pois 
25 25 ; 
b) 1
2
log 4 2  , pois 
2
1
4
2

 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcular o valor de: 
a) 2log 16 b) 36log 6 c) 1
27
log 9 d)
9log 3 
Solução: 
Indicando o valor procurado por x, temos: 
a) 
4
2log 16 2 16 2 2 4
x xx x       
Portanto 2log 16 4 . 
 
b) 2 2 1
36
1
log 6 36 6 (6 ) 6 6 6 2 1
2
x x xx x x          
 
Portanto 36
1
log 6
2
 
 
c) 
3 3
2
1
27
2
1 1 1
log 9 9 3
27 3 3
1 2
3 2
3 3
x
x x
x
x x

      
            
       
 
       
 
 
Portanto, 
1
27
2
log 9
3
  . 
 
 
d) 
 
 
2
9
11
2 22
3 9 3 3
1 1
3 3 3 2
2 4
x
x
x
log x
x x
    
      
 
Portanto, 
9
1
log 3
4
 . 
 
Propriedades dos logaritmos 
 
Para quaisquer números reais x > 0 e y > 0 temos: 
 
 1 0 1 a alog e log a 
Regra do produto: 
 .  a a alog x y log x log y 
Regra do quociente: 
  a a a
x
log log x log y
y
 
Regra da potência: 
 .
y
a alog x y log x 
 
 
 
 
 
 
Mudança de base 
 
Considere o logaritmo 
alog b , com b > 0 e 0 < a < 1. 
Suponha que desejamos escrever este logaritmo em 
outra base c, c > 0 , c 1. Temos a seguinte 
propriedade: 
 
  c
a
c
log b
log b
log a
 
Exemplo: escrever 
3 4log na base 4. 
 4
3 3 4
4 4
4 1
4 4. 3 1
3 3
log
log log log
log log
    
 
 
Função logarítmica 
Sendo a um número real, positivo e diferente de 1, 
chamamos função logarítmica de base a a função: 
:g , definida por ( ) logag x x 
Observe que o domínio da função é , ou seja, 
somente valores positivos poderão ser atribuídos a x . 
 
Vamos analisar dois exemplos. N ,x yo primeiro, a base 
é maior que 1 e, no segundo, a base está entre 0 e 1 (os 
dois únicos tipos possíveis de base). 
Vamos verificar também o gráfico de cada tipo de função. 
 
Exemplo 1 
Consideremos a função definida por 3logy x ou 
3( ) logf x x . 
Atribuindo valores arbitrários a x e calculando ( )f x , 
obtemos uma tabela de pontos que pertencem ao gráfico 
da função 3logy x . 
x Ponto ( x,y ) 
1
9
 
-2 1
, 2
9
A
 
 
 
 
2
3
1
log 3 3 2
9
yy y      
1
3
 
-1 1
, 1
3
B
 
 
 
 
1
3
1
log 3 3 1
3
yy y     
 
1 0 (1,0)C 03log 1 3 1 3 3 0
y yy y      
 
3 1 (3,1)D 1 0
3log 3 3 3 3 1
yy y     
 
9 2 (9,2)E 23log 9 3 9 3 3 2
y yy y       
 
 
 
Observe que, por conveniência, atribuímos a x somente 
valores que são potências de expoente inteiro da base, 
pois desse modo obtemos valores inteiros para o 
logaritmo. 
No caso de tomarmos um valor qualquer parax , por 
exemplo, 3,5x  , ainda não sabemos o valor de 
3(3,5) log 3,5f  , mas sabemos onde está esse valor. 
Veja no gráfico que: 
31 log 3,5 2  
Observe também que, quanto mais o valor de x 
(positivo) “se aproxima de zero”, mais os pontos do 
gráfico “se aproximam do eixo y ”, sem, porém, atingi-lo. 
Desse modo, a reta suporte do eixo yé assíntota à curva. 
 
Mas muito importante, evidenciada até na definição, é a 
propriedade de logaritmo e exponencial de mesma base 
serem função inversas entre si. 
Função inversa 
Dizemos que uma função f(x), definida de A em B é 
inversa de uma função g(x) se a composta fog(x) =IdB e 
gof(x) =IdA, sendo B=Im(A) e A = Im(B) (ambas são 
funções bijetoras). 
E veja o que acontece com os gráficos de duas funções 
que são inversas uma da outra. 
 
Observem que os gráficos são simétricos em relação à 
reta y = x, que é a reta bissetriz do 1° e 3° quadrantes. 
 
Assim sendo, vejamos juntos no plano cartesiano os 
gráficos de 2xy  . e 2 y log x . 
 
Observem que neste caso a base a = 2 >1 
De uma maneira geral, vejam como ficam os gráficos das 
funções 
xy a e ay log x , nos casos em que 0< a< 
1 e a > 1 
 
 
Observem que a função logaritmo sempre intercepta o 
eixo X no ponto (1,0), é crescente quando se a > 1 e 
decrescente quando 0 < a < 1. 
O fato de serem inversas as funções exponenciais e a 
logaritmo de mesma base implica em: 
, 0 a
log u
a u u e   valog a v 
Observação: se a base do logaritmo é 10 ela não 
aparece na notação, por exemplo, log 100 = 2. 
 
 
 
O número e 
A base de logaritmos adotada por Neper foi o número 
irracional e, um número fantástico, que aparece de 
maneira natural na resolução de problemas. Não vamos 
deduzir rigorosamente este número, mas é possível ter 
uma ideia de qual irracional ele é. 
Considere a expressão 
1
1
n
n
 
 
 
, para n natural, n = 1, 
2, 3, ..., ou seja n crescendo indefinidamente. 
Alguns valores podem ser observados na tabela abaixo: 
 
Fonte: Bianchinnie Pacolla ( ano?, p. 177) 
Podemos observar que para valores maiores de n que os 
valores não se alteram muito. De fato, a expressão 
1
1
n
e
n
 
  
 
. Então este irracional fica entre 2 e 3, 
2 < e < 3, e em uma aproximação decimal 
71828e   (não tem período, pois é irracional). 
Temos então que 
xy e é conhecida como função 
exponencial natural, crescente, pois e > 1. Portanto, tem 
sua inversa, o logaritmo de base e, conhecido também 
como logaritmo natural, que tem uma notação especial, 
ou seja: lney log x x  . 
 
Observação: nas calculadoras costumamos encontrar 
log (base 10) e ln (base e). 
 
Exercícios resolvidos 
1.Calcular o valor de: 
a) 
 23 52
log
 
b) 
 52 45
log
 
c) 
 72. 37
log
 
d) 
 22. 9alog loga 
Solução: 
a) 
 2 23 5 532 2 .2 8.5 40
log log
   
b) 
 5
5
2
2 4
4
5 25
5
5 4
log
log

  
c) 
   7 7
22. 3 3 27 7 3 9
log log
   
d) 
     22 2
92. 9 92
2 9a a
loglog log loglog
a a   
 
2.Qual é a solução do sistema de equações 
   
13 
log log log36
x y
x y
 
  
 
 
Solução: 
log (x) + log (y) = log (x.y) pela propriedade de produto. 
Como log (x) + log (y) = log 36, então temos: 
log (x.y) = log 36 e, portanto, x.y = 36. 
Então nosso sistema pode ser reescrito:  13. 36 
x y
x y
 

 
Da primeira equação y = 13 – x, daí, substituindo na 
segunda equação temos: 
x.(13 – x) = 36  13x – x2 = 13  x2 – 13x + 36 = 0 
x = 4 e x = 9. 
Então o conjunto solução do sistema dado é S = {4, 9}. 
 
Aplicações 
1. Uma pessoa deposita certa quantia em caderneta de 
poupança à taxa de 2% ao mês. Em quantos meses a 
quantia depositada triplica? 
Solução: A função que modela este tipo de problema é 
   0 1
t
Q t Q i  , sendo  Q t a quantia após tempo 
t, 0Q a quantidade inicial, e i a taxa de juros, medida na 
mesma unidade do tempo. 
Portanto, para o nosso problema    0 1,02
t
Q t Q e 
queremos saber quando   03Q t Q . 
 
Assim:    0 03 1,02 1,02 3
t t
Q Q   
Vamos aplicar log em ambos os membros: 
   
 
1,02 3 .log 1,02 3
3 0,4771212
55,48
log 1,02 0,0086
t
log log t log
log
t
   
   
 
Portanto, a quantia inicial (qualquer que seja) aplicada à 
taxa de 2% ao mês só irá triplicar após 55 meses. 
Observação: os valores (aproximados sempre) dos 
logaritmos na base 10 foram obtidos na calculadora. 
 
2. Segundo a Lei de Resfriamento de Newton, a 
temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja 
temperatura é T0 obedece à seguinte equação: 
     0 ktamb ambT t T T T e
   
Nesta equação, as temperaturas são medidas na escala 
Celsius, T0 a temperatura inicial de um corpo, Tamb é a 
temperatura ambiente onde o corpo foi colocado, o 
tempo t é medido em horas e T(t) é a temperatura no 
instante t, a partir do momento em que o corpo for 
colocado no ambiente, k é uma constante a ser 
determinada de acordo com as condições do problema. 
Considere uma xícara contendo café, inicialmente à 
temperatura de 100°C, colocada numa sala à 
 
temperatura de 20°C. Vinte minutos depois, a 
temperatura do café passa a ser de 40°C. 
Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara 
ter sido colocada na sala. 
 
Solução: 
Vamos usar os dados da questão para encontrar as 
constantes: T(0) = 100°C, Tamb = 20°C e T(10)=60°C. 
Como t é medido em horas, 20 minutos é 1/3 da hora e 
50 minutos é 5/6 da hora. 
Mas 
 
    
  
0
3 3
3 3
0 0 20 (100 20) 100
1
0 20 80. 40
3
1
80. 20
4
amb amb
k k
amb amb
k k
T T T T e
T T T T e e
e e
 
 
      
 
      
 
  
 
Elevando ao cubo ambos os membros: 
1
64
ke  
Então nossa equação neste caso é: 
   
1
20 80. 20 80. 20 80.
64
t
t
ct kT t e e 
 
       
 
 
 
Agora podemos encontrar a temperatura do café, 50 
minutos, ou 
5
 
6
hora: 
 
5 5
6 6
6
5
5 1 1
20 80. 20 80.
6 64 2
1 80 5
20 80. 20 20 22,5
2 32 2
T
C
     
         
     
       
 
Após 50 minutos o café estará pouco acima da 
temperatura ambiente. 
 
3. A caverna de Lascaux, na França, é famosa pelas 
pinturas notáveis feitas em suas paredes por homens 
pré-históricos. Nela foram encontrados pedaços de 
carvão vegetal nas pinturas, nos quais a radioatividade 
do carbono-14 era 0,415 vezes a radioatividade 
normalmente encontrada num pedaço de carvão feito 
hoje. Sabendo que a meia vida do C14 é de 5730 anos, 
calcule a idade aproximada das pinturas encontradas na 
caverna. 
 
 
Sabendo que a meia vida do C14 é de 5730 anos, calcule 
a idade aproximada das pinturas encontradas 
na caverna. 
Obs: meia-vida é o tempo que uma substância radioativa 
leva para reduzir sua massa à metade. 
Solução: 
Trata-se de decaimento radioativo e a equação que o 
expressa é   0.
ktQ t Q e , sendo  Q t a quantidade 
de massa da sustância após t anos, 0Q a quantidade 
inicial e k a constante de decaimento que depende de 
cada substância. 
Sabendo que a substância é o C14 (que é encontrado nos 
seres vivos e decai após a morte do mesmo) e que sua 
meia-vida é de 5730 anos, temos: 
para t = 5730 anos,   05730 0,5 Q Q , portanto: 
 
5730. 5730.
0 0. 0,5. 0,5
k kQ e Q e   
Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros 
temos: 
 
5730. ln 0,5 5730. ln 0,5
0 ,5 0,693147
0,00012
5730 5730
klne k
ln
k
   
     
 
Portanto, nossa equação é:   0.00012.0.
tQ t Q e 
 
Agora, queremos encontrar t tal que   00,415.Q t Q . 
Substituindo na equação: 
 
0,00012. 0,00012.
0 00,415. . 0,415
t tQ Q e e    
Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros, 
temos: 
 
   0,00012.ln 0,415 ln 0,415 0,00012.tlne t   
 
Portanto: 
 ln 0,415 0,879476
7328,97
0,00012 0,00012
t

  
 
 
Logo, essas pinturas têm aproximadamente 7.329 anos.