Física Mecânica - 2 Movimento na reta

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MOVIMENTO NA RETA
Introdução ao movimento na reta
Tudo está em movimento. Galáxias, planetas, massas de ar, pessoas, 
partículas de poeira, moléculas, elétrons... 
Mesmo alguns corpos que parecem estacionários estão em 
movimento. 
Uma estrada, por exemplo, na verdade está se movendo no universo 
devido à rotação e translação da Terra. 
Na Física, o estudo do movimento dos corpos é chamado 
de cinemática (do grego kinema, movimento).
O estudo do movimento é do interesse de muitas áreas do 
conhecimento e possui inúmeras aplicações, como: 
• Análise do trânsito e fluxo de veículos em uma via;
• Mapeamento de processos em uma indústria;
• Estudo do movimento de placas tectônicas;
• Desenvolvimento de motores mais eficientes;
• Mapeamento do fluxo de sangue em uma artéria obstruída;
• Compreensão do comportamento da economia;
• Análise do movimento de massas de ar e previsão do 
clima, etc.
O movimento de um objeto pode ser muito complexo. 
Entretanto, podemos começar a análise fazendo uma série de 
simplificações:
1. Consideramos que o movimento é unidimensional;
2. O objeto em movimento é uma partícula;
3. Vamos analisar apenas movimentos uniformes.
Mesmo com essas simplificações, conseguimos chegar em resultados 
bem interessantes e úteis.
A partir daí, vamos generalizar nossas conclusões para casos mais 
amplos.
Por isso, é fundamental você entender e aprender bem os conceitos 
apresentados nas próximas aulas.
Além disso, procure compreender a linha de raciocínio 
que vamos utilizar no desenvolvimento das ideias.
Posição
Inicialmente, traçamos uma reta com um sentido positivo e a 
chamamos de eixo coordenado 𝑥.
Vamos definir um ponto de referência na reta chamado de origem ou 
referencial.
Estabelecemos uma unidade de medida e indicamos os pontos da reta 
usando o padrão adotado. 
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
O sentido positivo é o sentido em que os valores do eixo crescem e o 
sentido negativo é o sentido em que os valores do eixo diminuem.
A posição 𝑥 (também chamado de espaço 𝑠) de uma partícula é a sua 
localização no eixo em um dado instante.
A unidade padrão de medida de posição é o metro, m.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
Se a posição de uma pessoa é 𝑥 = 3 m, significa que ela está a 3 m da 
origem no sentido positivo.
Se a posição é 𝑥 = −2 m, então significa que ela está a 2 m da origem 
no sentido negativo.
Uma coordenada de −4 m é menor que uma de −1 m.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
O sinal positivo de uma coordenada não precisa ser mostrado 
explicitamente, mas o sinal negativo deve sempre ser mostrado.
A posição pode assumir quaisquer valores reais, como 1,5 m, 𝜋 m, − 3
m, etc.
Podemos usar os eixos 𝑦 ou 𝑧 em vez do eixo 𝑥.
Da mesma forma, poderíamos ter escolhido o sentido 
positivo como para a esquerda, em vez de para a direita.
Ex: Uma formiga está sobre uma régua. Uma pessoa registra a posição do inseto 
nos instantes 𝑡 = 0 s, 1 s, 2 s, e assim por diante.
a) Se a posição da formiga é 𝑥 = 5,0 cm em todos os instantes considerados, o que 
podemos concluir?
Que provavelmente a formiga está parada.
b) Se a posição da formiga é 𝑥1 = 5,0 cm em 𝑡1 = 0 e 𝑥2 = 6,0 cm em 𝑡2 = 10 s, o 
que podemos concluir?
Que, com certeza, a formiga se moveu.
c) Qual é a condição para garantir que a formiga está parada?
A posição dela deve ser a mesma em todos os instantes.
Deslocamento
Considere que uma pessoa se move de 𝑥 = 1 m para 𝑥 = 4 m. 
Dizemos que houve um deslocamento Δ𝑥 (ou variação da posição) de 
Δ𝑥 = 4 − 1 = 3 m
Observe que o tempo que a pessoa gastou no movimento não afeta o 
valor do deslocamento.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
De forma geral, quando um objeto vai de uma posição inicial 𝑥𝑖 para 
uma posição final 𝑥𝑓, o deslocamento Δ𝑥 é dado por 
Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
A unidade de deslocamento é o metro, m.
O sinal do deslocamento é positivo se o objeto se move no sentido 
positivo do eixo, e negativo se ele se move no sentido negativo do eixo.
Note que posição e deslocamento são grandezas diferentes.
Observe também que o deslocamento não depende do caminho
realizado pelo objeto (ou seja, as posições intermediárias dele).
Imagine que uma pessoa sai de 𝑥𝑖 = 1m, vai até 𝑥
′ = −1m e depois 
segue para 𝑥𝑓 = 4m. 
O deslocamento da pessoa nesse caso é de Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 3m.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
Ex: Avalie a afirmação a seguir como verdadeira ou falsa: 
Um objeto realiza um deslocamento negativo, logo ele está à esquerda 
da origem no eixo coordenado mostrado.
R: Falso, pois um deslocamento negativo significa que o objeto está se 
movendo no sentido negativo do eixo. Porém, ele pode ter ido, por 
exemplo, de 𝑥𝑖 = 3m para 𝑥𝑓 = 2m.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
Ex: Calcule o deslocamento em cada um dos casos listados na tabela a 
seguir.
𝑥𝑖 (m) 𝑥𝑓 (m) Δ𝑥 (m)
2 7 7 − 2 = 5
7 2 2 − 7 = −5
−1 1 1 − −1 = 2
−4 −1 −1 − −4 = +3
−2 −6 −6 − −2 = −4
Ex: Um eixo coordenado é estabelecido com seu sentido positivo 
apontando verticalmente para baixo. Um objeto parte do ponto 
inicial 𝑦𝑖 = 2,0 m e realiza um deslocamento Δ𝑦 = −3,0 m. Qual 
é a posição final desse objeto?
Deslocamentos no mesmo sentido do eixo são considerados 
positivos, e deslocamentos no sentido contrário são negativos.
Como o eixo é definido com seu sentido positivo para baixo e o 
deslocamento é negativo, então isso significa que o objeto se 
moveu para cima.
Δ𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖
Portanto, a posição final do objeto é 
𝑦𝑓 = 𝑦𝑖 + Δ𝑦 = 2,0 + −3,0 = −1,0 m
𝑦 m
0
1
2
3
–3
–2
–1
Vetor deslocamento
Quando consideramos apenas o valor do deslocamento, sem o sinal, 
obtemos o seu módulo (também chamado de intensidade ou valor 
absoluto).
Por exemplo, se o deslocamento é Δ𝑥 = +5m, seu módulo é igual a 
5 m. 
E se Δ𝑥 = −3m, o módulo do deslocamento nesse caso vale 3 m.
Observe então que, para descrever completamente um 
deslocamento, não basta saber o seu módulo.
Por exemplo, considere que o deslocamento de um carro é de 1 km. 
Para onde ele foi?
Mesmo se o carro estiver em uma estrada retilínea, não basta saber 
apenas o módulo do seu deslocamento.
Precisamos de mais duas informações para caracterizar o movimento 
do carro: a direção e o sentido.
A direção é a reta do movimento, o sentido é a seta para 
onde o movimento aponta.
A direção pode ser horizontal ou vertical.
O sentido pode ser para a direita ou esquerda, para frente ou para trás, 
para cima ou para baixo.
Para descrever completamente um deslocamento, precisamos de três 
informações: módulo, direção e sentido.
Assim, dizemos que o deslocamento é um vetor.
É por isso que o sinal do deslocamento é importante.
Podemos representar o vetor deslocamento com uma setinha em cima 
da letra
Δ Ԧ𝑥
Essa notação inclui o módulo, a direção e o sentido do deslocamento.
Por outro lado, quando escrevemos apenas 
Δ𝑥
estamos apenas nos referindo ao módulo do vetor 
deslocamento.
Distância
Vimos que o que importa para o deslocamento é somente a posição 
inicial e a posição final do objeto. 
O que acontece no meio do movimento não afeta o deslocamento.
Porém, é óbvio que dois movimentos podem ser bem diferentes e 
ainda assim terem o mesmo valor de deslocamento.
Por isso, definimos uma nova grandeza física chamada 
de distância 𝑑, que leva em consideração o caminho
percorrido pelo objeto no movimento.
A distância corresponde ao tamanho da trajetória do objeto, ou seja, 
ao espaço total percorrido por ele.
Considere o caso em que a pessoa sai de 𝑥𝑖 = 1m, vai até 𝑥
′ = −1m
e depois segue para 𝑥𝑓 = 4m. 
A distância percorrida por ela nessa situação é 𝑑 = 7 m.
𝑥 (m)𝑥
0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1
A unidade de distância também é o metro, m.
Observe que a distância é sempre positiva.
Vimos que o deslocamento é um vetor e por isso ele deve ser descrito 
com seu módulo, direção e sentido.
Já a distância é descrita completamente apenaspelo seu módulo.
Não podemos dizer que a distância é horizontal ou que 
ela aponta para cima, por exemplo.
Por isso, dizemos que a distância é uma grandeza física escalar.
Observe ainda que, no dia-a-dia, costumamos usar as palavras posição, 
deslocamento e distância sem muita distinção, com todas se referindo 
a um movimento.
Porém, é muito importante você diferenciar o uso das palavras e dos 
conceitos na física e no cotidiano.
Na física, posição, deslocamento e distância são conceitos 
relacionados, mas diferentes entre si.
Velocidade
Você já está muito familiarizado com o conceito de velocidade.
Estamos o tempo todo nos referindo à ideia de rapidez ou velocidade
de um corpo, um objeto ou um sistema, como por exemplo nas frases:
• Usain Bolt é um ex-velocista jamaicano multicampeão olímpico;
• O carro mais rápido do mundo supera os 450 km/h;
• A velocidade da internet está muito baixa;
• O mundo está cada vez mais rápido.
A palavra velocidade está diretamente relacionada à ideia 
de taxa de movimento ou de mudança.
Quando estudamos os conceitos de deslocamento e de distância, 
vimos que o tempo não influencia nos valores dessas duas grandezas.
Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑑 = espaço total percorrido
O deslocamento depende apenas dos pontos inicial e final da partícula, 
enquanto a distância depende da trajetória do corpo.
Podemos incluir a influência do tempo no movimento 
definindo uma nova grandeza física, a velocidade.
A velocidade está relacionada à taxa ou rapidez com que um objeto 
muda sua posição. 
Considere que uma pessoa vai de 𝑥𝑖 = 0m a 𝑥𝑓 = 4 m em um 
intervalo de tempo Δ𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 2 s.
Isso significa que ela percorreu, em média, 2 metros a cada 1 segundo.
𝑥 (m)𝑥
4 5 6 7 80 1 2 3
Δ𝑡 = 2 s
Imagine agora que a pessoa realiza um deslocamento de Δ𝑥 = 8 m, ou 
seja, o dobro do valor anterior.
Se ela gastar o mesmo tempo Δ𝑡 = 2 s, isso significa que ela percorreu, 
em média, 4 metros em 1 segundo.
Logo, ela desenvolveu o dobro da velocidade anterior.
𝑥 (m)𝑥
4 5 6 7 80 1 2 3
Δ𝑡 = 2 s
E se, em vez disso, ela tiver realizado um deslocamento de Δ𝑥 = 2 m
no mesmo intervalo de tempo Δ𝑡 = 2 s?
Isso significa que ela realizou metade do deslocamento no mesmo 
intervalo de tempo e percorreu em média 1 m a cada 1 s.
Portanto, ela e desenvolveu a metade da velocidade do primeiro caso.
𝑥 (m)𝑥
4 5 6 7 80 1 2 3
Δ𝑡 = 2 s
Imagine agora que a pessoa percorreu 4 metros, mas dessa vez gastou 
o dobro do tempo inicial, Δ𝑡 = 4 s.
Logo, ela percorreu, em média, 1 m a cada 1 s e ela desenvolveu 
metade da velocidade (ou da rapidez) do primeiro caso.
A mesma ideia pode ser aplicada para um intervalo de tempo Δ𝑡 = 1 s.
𝑥 (m)𝑥
4 5 6 7 80 1 2 3
Δ𝑡 = 4 s
Portanto, concluímos que, se o intervalo de tempo for constante, a 
velocidade é diretamente proporcional ao deslocamento,
𝑣 ∝ Δ𝑥
Da mesma forma, se fixarmos o deslocamento, vemos que a velocidade 
é inversamente proporcional ao tempo gasto,
𝑣 ∝
1
Δ𝑡
Na física, existem quatro tipos de velocidades: média,
escalar média, constante e instantânea.
Velocidade média
A velocidade média de um corpo é definida como a taxa média de 
variação da posição com o tempo,
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
A unidade de 𝑣𝑚 é o metro por segundo, m/s.
Note que um carro pode atingir a velocidade de 100 km/h e ainda 
assim ter velocidade média de 20 km/h.
Além disso, se Δ𝑥 = 0, então 𝑣𝑚 = 0.
Ex: Um homem está caminhando em uma pista de cooper. Ele parte da posição 
𝑥𝑖 = 300 m e dispara um cronômetro. Ele corre os primeiros 1.000 m em 200 s; 
depois caminha mais 1.000 m em 500 s; em seguida, volta a correr mais 1.000 m 
em 150 s; e finaliza caminhando mais 600 m em 350 s. Ele chega na marca final de 
𝑥𝑓 = 3.900 m e vê que o cronômetro marcou Δ𝑡 = 20 min. Qual foi a velocidade 
média do homem, em m/s?
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Δ𝑡 = 20 min = 20 ⋅ 60 s = 1.200 s
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
Δ𝑡
=
3.900 − 300
1.200
=
3.600
1.200
𝑣𝑚 = 3,0 m/s
Ex: Um carro parte do km 163 de uma rodovia às 16h21 e chega ao km 43 às 17h51. 
O motorista parou para abastecer o veículo no km 95 às 16h58 e gastou 7 minutos 
na parada. Qual foi a velocidade média do veículo, em km/h?
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Δ𝑥 = 43 − 163 = −120 km
Δ𝑡 = 17h51 − 16h21 = 1h30 = 1,5 h
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
−120
1,5
𝑣𝑚 = −80 km/h
Observe que se o deslocamento for negativo, então a velocidade 
média também será negativa.
Embora a unidade de medida de velocidade no SI seja m/s, é muito 
comum medirmos velocidades em km/h.
Assim, observe que 
1
km
h
= 1 ⋅
1 km
1 h
= 1 ⋅
1.000 m
3.600 s
=
1
3,6
m
s
• km/h para m/s: divida por 3,6
• m/s para km/h: multiplique por 3,6
Podemos também pensar que 10 m/s = 36 km/h.
Ex: Complete a tabela abaixo de conversão de unidades de velocidade.
𝑣 m/s 10 15 20 25 30 40 50
𝑣 km/h 36 54 72 90 108 144 180
Velocidade escalar média
Vimos que as grandezas posição, deslocamento e distância estão 
relacionadas, mas são diferentes.
Deslocamento é a variação da posição de um corpo, e distância é o 
espaço total percorrido por ele.
Vimos também que a velocidade média é definida a partir do 
deslocamento: 
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
No estudo de deslocamento, entendemos que o deslocamento é um 
vetor, ou seja, precisamos indicar seu módulo, direção e sentido.
Pelo mesmo motivo, a velocidade média também é um vetor, já que ela 
é definida como a razão entre um vetor (o deslocamento) e um escalar 
(a variação do tempo).
Assim, para descrever completamente a velocidade média, precisamos 
do seu módulo, direção e sentido.
Por outro lado, a distância é um escalar, já que ela é descrita apenas 
pelo seu módulo.
Assim, definimos a velocidade escalar média como
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑
Δ𝑡
em que 𝑑 é a distância percorrida pelo objeto.
A velocidade escalar média, como o próprio nome diz, é 
um escalar e, portanto, ela possui apenas módulo.
Ex: Um corpo parte de 𝑥𝑖 = 82 m no instante 𝑡𝑖 = 15 s, chega no ponto 𝑥
′ = 55 m
em 𝑡′ = 20 s, e depois inverte o sentido do seu movimento, chegando no ponto 
𝑥𝑓 = 127 m em 𝑡𝑓 = 24 s. 
a) Qual foi a velocidade média do móvel, em m/s? 
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥𝑓−𝑥𝑖
𝑡𝑓−𝑡𝑖
=
127−82
24−15
=
45
9
𝑣𝑚 = 5m/s
b) E sua velocidade escalar média?
𝑑 = 55 − 82 + 127 − 55 = 27 + 72 = 99 m
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑
Δ𝑡
=
99
9
𝑣𝑒𝑚 = 11 m/s
Velocidade constante
Se a velocidade média de um corpo é de 3 metros por segundo, isso 
significa que, em média, ele percorreu 3 metros a cada segundo.
Mas e se ele tiver percorrido exatamente 3 metros a cada segundo, em 
qualquer intervalo de tempo?
A velocidade média dele continua sendo de 3 m/s. 
Porém, agora podemos dizer também que a velocidade 
do objeto é constante e igual a 3 m/s.
De forma mais geral, podemos dizer que:
Se a velocidade média de um ponto móvel sempre tiver o mesmo valor 
independente do intervalo considerado, então a velocidade desse móvel 
é constante.
Observe que este não é um caminho de mão-dupla: se a velocidade de 
um corpo é constante e seu valor é conhecido, então sabemos o valor 
da velocidade média; mas se apenas sabemos o valor da 
velocidade média, então não podemos concluir que ela é 
constante.
Se a velocidade de um objeto é constante, então o deslocamento e a 
distância serão sempre iguais.
Assim, como 𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
e 𝑣𝑚 = 𝑣 = const., podemos escrever 
𝑣 =
𝑑
𝑡
em que 𝑑 pode representar tanto o deslocamento quanto a distância 
percorrida, e 𝑡 é o intervalo de tempo do movimento.
Outra forma bastante comum de escrever a fórmula é
𝑑 = 𝑣𝑡
Observe, porém, que essa equação só é válida quando a velocidade é 
constante.
Dizemos nesse caso que a partícula descreve um movimento retilíneo 
uniforme (MRU), já que ela se move em linha reta e com velocidade 
constante.
Ex: O corpo humano não é sensível à velocidade. Para comprovar isso, calcule a 
velocidade com que a Terra se move em torno do Sol, em km/h, no movimentode 
translação. 
Sabe-se que a distância da Terra ao Sol é de 149.600.000 km.
𝑣 =
𝑑
𝑡
Considerando um ano completo, temos
𝑑 = 2𝜋𝑅
𝑅 = 149.600.000 km = 1,5 × 108 km
𝑑 = 2𝜋 ⋅ 1,5 × 108 = 9,42 × 108 km
𝑡 = 365 dias ⋅ 24 horas/dia = 8.760 horas
𝑣 =
9,42 × 108
8.760
= 107.300 km/h
Ex: Um jogador lança uma bola de boliche em uma pista de 𝐿 = 17,0 m de
comprimento e ouve o som da colisão da bola com os pinos 4,30 s após o 
lançamento. Supondo a velocidade do som no ar constante e igual a 340 m/s, qual 
foi a velocidade com que a bola se moveu, suposta constante?
Equação do MRU: 𝑑 = 𝑣𝑡
Tempo de movimento do som: 𝑡𝑠 =
𝐿
𝑣𝑠
=
17,0
340
= 0,05 s
Tempo de movimento da bola: 𝑡𝑏 = 𝑡𝑡 − 𝑡𝑠 = 4,30 − 0,05 = 4,25 s
Velocidade da bola: 𝑣𝑏 =
𝐿
𝑡𝑏
=
17,0
4,25
= 4,0 m/s
𝐿 = 17 m 𝐿 = 17 m
𝑣𝑏 = ? 𝑣𝑠 = 340 m/s
Velocidade constante 
de um corpo extenso
Na maioria das situações analisadas, consideramos o movimento de 
um objeto pontual, ou seja, um corpo cujas dimensões podem ser 
desprezadas. 
Vamos agora generalizar para casos em que os corpos são extensos e 
suas dimensões devem ser consideradas.
Para isso, basta considerar o movimento de um ponto desse corpo.
Ex: Um trem de 100 metros de comprimento se move com velocidade constante de 
18 km/h. Quanto tempo ele levará para atravessar completamente um túnel de 200 
metros?
𝑑 = 𝑑trem + 𝑑túnel = 300 m
𝑣 = 18 Τkm h =
18
3,6
Τm s = 5,0 m/s
𝑡 =
𝑑
𝑣
=
300
5,0
= 60 s = 1 min
túneltrem
𝑑túnel = 200 m𝑑trem = 100 m
Gráfico de velocidade 
versus tempo no MRU
Podemos representar visualmente o movimento de um corpo em MRU 
através de um gráfico de velocidade versus tempo (ou velocidade em 
função do tempo, 𝑣 × 𝑡).
Nesse caso, o eixo vertical (das ordenadas) corresponde à velocidade, 
enquanto o eixo horizontal (das abscissas) corresponde ao tempo.
Como a velocidade é constante, o gráfico é uma linha reta horizontal, e 
temos basicamente três situações possíveis.
Muita atenção aos eixos quando for analisar um gráfico!
Im
agem
: H
elo
u
. Tó
p
ico
s d
e Física
Velocidade constante e positiva
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: H
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. Tó
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ico
s d
e Física
Velocidade constante e negativa
Im
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: H
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. Tó
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e Física
Velocidade constante e nula
Em um gráfico de velocidade versus tempo, a área debaixo da curva 
corresponde à distância percorrida pelo objeto.
Im
agem
: H
elo
u
. Tó
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ico
s d
e Física
Equação horária 
da posição no MRU
Vimos que a velocidade média é definida por
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Quando a velocidade é constante, podemos escrever
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
Se fizermos Δ𝑥 = 𝑑 e Δ𝑡 = 𝑡, teremos a forma mais 
conhecida da equação do MRU, 
𝑑 = 𝑣𝑡
Considere que 𝑡𝑖 = 0 e 𝑡𝑓 = 𝑡. Logo, temos da equação da velocidade 
constante que
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
=
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑡
que podemos reescrever como 
𝑣𝑡 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
ou seja, 
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡
É comum escrever 𝑥 e 𝑥0 no lugar de 𝑥𝑓 e 𝑥𝑖, respectivamente, de 
forma que temos
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
Ou ainda:
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
Esta é a equação horária da posição no MRU, pois ela fornece a posição 
𝑥 𝑡 em função do tempo quando a velocidade é constante.
Note que a posição inicial 𝑥0 também é uma constante.
Ex: A equação horária da posição de um objeto que descreve um MRU é dada por 
𝑥 𝑡 = 15𝑡 − 9, com 𝑥 dado em metros e 𝑡 em segundos. Quais são a) a posição 
inicial e b) a velocidade desse objeto?
a) Por comparação com 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡, vemos que 𝑥0 é igual ao termo 
independente, logo 𝑥0 = −9m.
Outra forma de fazer é 
𝑥0 = 𝑥 𝑡 = 0 = 15 ⋅ 0 − 9 = −9 m
b) Novamente, por comparação vemos que 𝑣 corresponde ao termo que multiplica 
o tempo, ou seja, 𝑣 = 15 m/s.
Outra forma seria perceber que 𝑥 𝑡 = 1 s = 15 − 9 = 6 m e 
𝑣 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
𝑥 𝑡 = 1 s − 𝑥 𝑡 = 0
1 − 0
=
6 − −9
1
= 15 m/s
Ex: Um carro parte do km 0 de uma rodovia com velocidade de 50 km/h. Ao mesmo 
tempo, uma moto parte do km 520 da mesma rodovia, com velocidade de 80 km/h. 
Os dois veículos vão um de encontro ao outro e mantém suas velocidades 
constantes. Assim, a) em que instante e b) em que ponto eles irão se cruzar?
a) Equação horária da posição do carro: 𝑥𝑐 = 0 + 50𝑡, com 𝑥 em km e 𝑡 em horas
Equação horária da posição da moto: 𝑥𝑚 = 520 − 80𝑡
Quando eles se cruzam, 𝑥𝑐 = 𝑥𝑚, logo:
0 + 50𝑡 = 520 − 80𝑡
130𝑡 = 520
𝑡 =
520
130
= 4 h
b) Substituindo 𝑡 na equação do carro: 𝑥𝑐 = 0 + 50 ⋅ 4 = 200 km
Podemos também fazer: 𝑥𝑚 = 520 − 80 ⋅ 4 = 200 km
Gráfico de posição 
versus tempo no MRU
Novamente, podemos representar visualmente o movimento em MRU 
através de um gráfico.
Porém, dessa vez vamos fazer um gráfico de posição em função do 
tempo 𝑥 × 𝑡 .
Da equação horária da posição no MRU, temos que 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡, ou
𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0
que podemos comparar com a equação da reta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Na equação da reta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, o coeficiente angular 𝑚 representa a 
inclinação da reta.
Por outro lado, o coeficiente linear 𝑛 é o ponto que a reta corta o eixo 
vertical 𝑦.
Em um gráfico de posição versus tempo no MRU, como 𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0, 
então
• 𝑚 = 𝑣, a velocidade corresponde à inclinação da reta;
• 𝑛 = 𝑥0, a posição inicial é o ponto em que a reta corta
o eixo vertical.
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e Física
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Calculo numérico da 
velocidade instantânea
Considere um móvel cuja equação horária é dada por 𝑥 𝑡 = 5 + 3𝑡, 
com as unidades no SI. Vamos estudar numericamente o movimento 
desse corpo no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 s.
𝑡 s 𝑥𝑖 m 𝑥𝑓 m Δ𝑥 m 𝑣𝑚 m/s
1 5 8 3 3
2 5 11 6 3
3 5 14 9 3
4 5 17 12 3
5 5 20 15 3
Vamos agora analisar o movimento de um objeto cuja equação horária 
é dada por 𝑥 𝑡 = 5 + 3𝑡 + 𝑡2 no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 s. Note que este 
não é um MRU.
𝑡 s 𝑥𝑖 m 𝑥𝑓 m Δ𝑥 m 𝑣𝑚 m/s
1 5 9 4 4
2 5 15 10 5
3 5 23 18 6
4 5 33 28 7
5 5 45 40 8
Observe que em todos os casos nós calculamos a velocidade média
entre o instante considerado e 𝑡𝑖 = 0. 
E se quisermos saber o valor da velocidade exatamente em 𝑡 = 2 s? 
Podemos dizer que ela vale 5 m/s?
Não necessariamente, pois a velocidade é variável. 
De fato, se fizermos 𝑡𝑖 = 1 s e 𝑡𝑓 = 2 s, teremos:
𝑣𝑚 =
𝑥 𝑡 = 2 s − 𝑥 𝑡 = 1 s
2 − 1
=
15 − 9
1
= 6 m/s
Também não podemos fazer 𝑡𝑖 = 𝑡𝑓 = 2 s porque senão teremos
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
=
Δ𝑥
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
=
Δ𝑥
0
e essa divisão não é definida.
Portanto, vamos analisar a velocidade média em torno do instante 
𝑡𝑖 = 2 s, fazendo Δ𝑡 tão pequeno quanto possível, mas diferente de 
zero.
Vamos analisar a função 𝑥 𝑡 = 5 + 3𝑡 + 𝑡2 em torno de 𝑡0 = 2 s, de 
forma que a posição inicial é 𝑥0 = 5 + 3 ⋅ 2 + 2
2 = 15 m e fazer 
Δ𝑡 → 0.
𝑡 s Δ𝑡 s 𝑥𝑓 m Δ𝑥 m 𝑣𝑚 m/s
2,500 0,500 18,750 3,750 7,500
2,300 0,300 17,190 2,190 7,300
2,100 0,100 15,710 0,710 7,100
2,010 0,010 15,070 0,070 7,010
2,001 0,001 15,007 0,007 7,001
Se fizermos ainda 𝑡0 = 2 s e Δ𝑡 = 0,000 001 s, teremos
𝑣𝑚 =
𝑥 𝑡0 + Δ𝑡 − 𝑥 𝑡0
𝑡0 + Δ𝑡 − 𝑡0
=
𝑥 𝑡0 + Δ𝑡 − 𝑥 𝑡0
Δ𝑡
=
5 + 3 ⋅ 2,000 001 + 2,000 0012 − 5 + 3 ⋅ 2 + 22
0,000 001
=
15,000 007 000 001 − 15
0,000 001
= 7,000 001 m/s
Observe que a velocidade média tende para 𝑣 = 7 m/s
conforme Δ𝑡 → 0. Assim, podemos intuir que a velocidade 
exatamente no instante 𝑡 = 2 s é 𝑣 = 7 m/s.
Velocidade instantânea
Queremos saber a velocidade exata de um móvel em um instante 𝑡.
Vimos que, quando fazemos Δ𝑡 muito pequeno, a velocidade média 
tende para a velocidade do objeto exatamente naquele instante. 
Assim, definimos a velocidade instantânea como 
𝑣 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
ou seja, a velocidade instantânea é o limite quando 
Δ𝑡 → 0 da velocidademédia.
Uma forma mais concisa de representar essa ideia é:
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Portanto, a velocidade instantânea é a derivada da posição em função 
do tempo.
Se tivermos a função horária da posição de qualquer objeto (mesmo 
que ele não esteja em MRU), podemos determinar sua 
velocidade em qualquer instante através da derivada.
Ex: A equação horária da posição de uma partícula é dada por 
𝑥 𝑡 = 18,1 + 4,7𝑡. Qual é a velocidade desse objeto em 𝑡 = 5,0 s?
Já sabemos que este objeto está em MRU, portanto sua velocidade 
deve ser constante.
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
18,1 + 4,7𝑡 = 0 + 4,7
𝑣 𝑡 = 5 s = 4,7 m/s
Observe que a velocidade não depende do tempo, portanto ela é 
constante – e, de fato, o objeto está em MRU.
Esse mesmo resultado seria obtido por comparação com 
a equação 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡.
Ex: A equação horária da posição de uma partícula é dada por 
𝑥 𝑡 = 18,1 + 4,7𝑡 + 2,6𝑡2. Qual é sua velocidade em 𝑡 = 5,0 s?
Este objeto não está em MRU. Ainda assim, podemos calcular sua 
velocidade fazendo
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
18,1 + 4,7𝑡 + 2,6𝑡2 = 4,7 + 5,2𝑡
𝑣 𝑡 = 5 s = 4,7 + 5,2 ⋅ 5
𝑣 𝑡 = 5 s = 30,7 m/s
Note que precisamos primeiro determinar a função da 
velocidade para depois jogar o valor do tempo 𝑡.
A derivada 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
corresponde à inclinação do gráfico 𝑥 × 𝑡 em cada ponto.
Como 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, então a velocidade é obtida pela inclinação da curva no 
gráfico de posição versus tempo, como visto anteriormente.
Aceleração
No dia-a-dia, usamos a palavra aceleração para nos referir a algo 
relacionado a movimento.
O problema é que os conceitos se confundem muito. 
Por exemplo, dizemos “ele saiu acelerado” como sinônimo de “ele saiu 
em alta velocidade”.
Se você dirige, você sabe que é preciso deixar o pé no 
acelerador do carro para manter uma velocidade 
constante.
Na física, os conceitos de aceleração e velocidade estão relacionados, 
mas são diferentes.
A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade de um 
corpo. 
Ou seja, quando a velocidade de um corpo varia, isso significa que ele 
possui uma aceleração.
A aceleração depende não só da variação da velocidade, 
mas também do intervalo de tempo em que isso ocorre.
Quanto maior a variação da velocidade, num mesmo intervalo de 
tempo, maior será a aceleração, ou seja, elas são diretamente 
proporcionais
𝑎 ∝ Δ𝑣
Note que, se a velocidade é constante, então a aceleração é nula.
Por outro, para uma mesma variação de velocidade, quanto menor o 
intervalo de tempo gasto, maior será a aceleração
𝑎 ∝
1
Δ𝑡
Nosso corpo não é sensível a velocidades, mas é sensível a acelerações.
Por exemplo, a velocidade média de translação da Terra em torno do 
Sol é de 107.300 km/h!
E mesmo assim as pessoas acreditaram durante muito tempo que era o 
Sol que se movia em torno da Terra, por não sentirem esse movimento 
do planeta.
Apesar da velocidade de translação da Terra ser alta, sua 
aceleração é muito baixa.
Por outro lado, imagine que você está em um ônibus que está parado.
Se o motorista pisar bruscamente no acelerador, você vai sentir um 
tranco devido à alta aceleração, mesmo a velocidade do ônibus ainda 
sendo baixa. 
Agora imagine que o ônibus se move a 40 km/h.
Se o motorista pisar bruscamente no freio, você também 
sentirá um tranco devido à alta desaceleração.
É a aceleração – e não a velocidade – que provoca, por exemplo, a 
sensação de emoção nas montanhas-russas.
Por exemplo, a Fire Whip, no Beto Carrero World, chega a 100 km/h, 
que não é uma velocidade tão significativa.
Grandes acelerações às vezes são expressas em termos da aceleração 
da gravidade terrestre 𝑔, de modo que 1 𝑔 = 9,8 m/s².
A aceleração em uma montanha-russa chega a 3𝑔.
Aceleração média
Definimos a aceleração média como
𝑎𝑚 =
Δ𝑣
Δ𝑡
Ou seja, a aceleração média é a taxa média de variação da velocidade 
em função do tempo.
Note que essa relação é muito parecida com a definição da velocidade 
média,
𝑣𝑚 =
Δ𝑥
Δ𝑡
A unidade de 𝑎𝑚 é o metro por segundo por segundo, ou metro por 
segundo ao quadrado, m/s².
Isso acontece porque a aceleração é a variação da velocidade (dada em 
m/s) dividida pelo tempo (em s).
Assim, se a aceleração média de um corpo é de 3,0 m/s², isso significa 
que a velocidade aumenta 3,0 m/s a cada s, como na tabela abaixo:
𝑡 s 0 1 2 3 4
𝑣 m/s 1,2 4,2 7,2 10,2 13,2
Ex: Um carro esportivo vai de 0 a 108 km/h em apenas 3,0 s. Qual é a 
aceleração média do carro nessa situação?
𝑎𝑚 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡
𝑣𝑓 = 108 Τkm h =
108
3,6
Τm s = 30 m/s
𝑎𝑚 =
30 − 0
3,0
𝑎𝑚 = 10 m/s
2
Ex: Na hora de fazer publicidade de um carro, as montadoras adoram dizer em 
quanto tempo o carro vai de 0 a 100 km/h. Porém, nenhuma delas faz questão de 
informar em quanto tempo o carro consegue frear a partir de uma dada 
velocidade. Suponha um carro que consiga ir de 108 km/h a 0 em 5,0 s. Qual é a 
desaceleração média do carro nessa situação?
𝑎𝑚 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡
𝑣𝑖 = 108 Τkm h =
108
3,6
Τm s = 30 m/s
𝑎𝑚 =
0 − 30
5,0
𝑎𝑚 = −6,0 m/s
2
Sentido da aceleração
Vimos que o deslocamento é um vetor, e portanto precisamos saber 
seu módulo, direção e sentido para descrevê-lo completamente. 
A velocidade média também é um vetor, já que ela é definida a partir 
do deslocamento.
A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade – por 
isso, a aceleração também é um vetor.
Logo, a direção e o sentido da aceleração importam!
Considere um carro se movendo em um eixo positivo para a direita.
Situação Sinal de 𝑎 Variação de 𝑣
positivo aumentando
negativo diminuindo
positivo diminuindo
negativo aumentando
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
Ԧ𝑎
Ԧ𝑎
Ԧ𝑎
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Ԧ𝑣
Portanto, podemos concluir que:
1. Se a velocidade é positiva, então o objeto se move no sentido positivo do eixo, 
e vice-versa;
2. Se a aceleração é positiva, significa que ela aponta no sentido positivo do eixo, 
e vice-versa;
3. Os vetores velocidade e aceleração podem ter direções e sentidos diferentes;
4. Mesmo se a aceleração for positiva, o objeto pode estar se movendo no 
sentido negativo do eixo;
5. Se os vetores velocidade e aceleração possuem mesma direção 
e sentido, então o módulo da velocidade está aumentando; 
se possuem sentidos opostos, o módulo da velocidade está 
diminuindo.
Aceleração constante
Quando dizemos que a aceleração média de um corpo é de 3 metros 
por segundo ao quadrado, isso significa que, em média, a velocidade 
aumentou 3 metros por segundo a cada segundo.
Mas e se ela tiver aumentado exatamente 3 metros por segundo a cada 
segundo, em qualquer intervalo de tempo?
Então agora podemos dizer também que a aceleração do objeto é 
constante e igual a 3 m/s².
De forma mais geral, podemos dizer que:
Se a aceleração média de um ponto móvel sempre tiver o mesmo valor 
independente do intervalo considerado, então a aceleração desse 
móvel é constante.
Assim como no caso da velocidade constante, este não é um caminho 
de mão-dupla: se a aceleração de um corpo é constante e seu valor é 
conhecido, então sabemos o valor da aceleração média; 
mas se apenas sabemos o valor da aceleração média, 
então não podemos concluir que ela é constante.
Se a aceleração é constante, então escrevemos
𝑎 =
Δ𝑣
𝑡
Perceba que deixamos de lado o subíndice 𝑚 de 𝑎𝑚 e supusemos que 
𝑡0 = 0.
Dizemos nesse caso que a partícula descreve um movimento retilíneo 
uniformemente variado (MRUV), já que ela se move em 
linha reta e com taxa de variação (aceleração) constante.
Ex: Na hora de definir os parâmetros de operação do elevador de um prédio 
residencial, o técnico responsável deve levar em conta dois fatores a princípio 
conflitantes: por um lado, a velocidade deve ser a maior possível, para que o tempo 
de viagem seja reduzido, e Por outro, a aceleração não pode ser muito grande, para 
que não cause desconforto nos passageiros, principalmente em idosos, grávidase 
pessoas com peso acima do normal. Considere que um elevador, partindo do 
repouso, alcance a velocidade de 28,8 km/h após 6,4 segundos. Qual foi a 
aceleração desenvolvida por ele, suposta constante?
Repouso: 𝑣𝑖 = 0
𝑣𝑓 = 28,8 Τkm h =
28,8
3,6
Τm s = 8,0 m/s
𝑎 =
Δ𝑣
𝑡
=
8,0 − 0
6,4
= 1,25 m/s2
Gráfico de aceleração versus tempo
Podemos construir um gráfico de aceleração em função do tempo 
𝑎 × 𝑡 para representar visualmente o movimento do objeto.
Neste caso, colocamos a aceleração no eixo vertical e o tempo no eixo 
horizontal.
Se um corpo está em MRUV, sua aceleração é constante.
Portanto, o gráfico será uma reta horizontal que corta o 
eixo vertical em um ponto positivo (se 𝑎 > 0), negativo
(se 𝑎 < 0) ou na origem (se 𝑎 = 0).
O gráfico mostra um objeto se movendo com aceleração constante e 
positiva.
A área do gráfico corresponde à variação da velocidade 
do corpo no intervalo considerado.
Im
agem
: H
elo
u
. Tó
p
ico
s d
e Física
Equação horária da 
velocidade no MRUV
Vimos que a aceleração média é definida por
𝑎𝑚 =
Δ𝑣
Δ𝑡
Quando a aceleração é constante, podemos escrever
𝑎 =
Δ𝑣
𝑡
Assim como fizemos no MRU, podemos desenvolver essa 
equação para obter uma equação horária.
Temos que 
𝑎 =
Δ𝑣
𝑡
=
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑡
Manipulando os termos,
𝑎𝑡 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
ou ainda 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
É comum escrever 𝑣 e 𝑣0 no lugar de 𝑣𝑓 e 𝑣𝑖, respectivamente:
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Ou ainda
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Esta é a equação horária da velocidade no MRUV, pois ela fornece a 
velocidade 𝑣 𝑡 em função do tempo, com 𝑎 e 𝑣0 constantes.
Ela é semelhante à equação horária da posição no MRU,
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
Ex: Ao deixar um objeto cair a partir de uma certa altura, ele estará 
sujeito a uma aceleração constante de aproximadamente 10 m/s², se 
desconsiderarmos os efeitos de resistência do ar. Essa aceleração é 
chamada de aceleração da gravidade. Qual é a velocidade de um 
objeto após 2 segundos de queda, se ele é solto a partir do repouso?
Consideramos um eixo com sentido positivo para baixo.
Repouso: 𝑣0 = 0
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 = 0 + 10 ⋅ 𝑡 = 10𝑡
𝑣 𝑡 = 2 s = 10 ⋅ 2 = 20 m/s
Ex: A equação horária da velocidade de um corpo que descreve um MRUV é dada 
por 𝑣 𝑡 = 7𝑡 − 12, com 𝑣 dado em metros por segundo e 𝑡 em segundos. Quais 
são a) a velocidade inicial e b) a aceleração desse objeto?
a) Por comparação com 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, vemos que 𝑣0 é igual ao termo 
independente, logo 𝑣0 = −12 m/s.
Outra forma de fazer é 
𝑣0 = 𝑣 𝑡 = 0 = 7 ⋅ 0 − 12 = −12 m/s
b) Novamente, por comparação vemos que 𝑎 corresponde ao termo que multiplica 
o tempo, ou seja, 𝑎 = 7 m/s2.
Outra forma seria fazer 𝑣 𝑡 = 1 s = 7 ⋅ 1 − 12 = −5 m/s e 
𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
𝑣 𝑡 = 1 s − 𝑣 𝑡 = 0
1 − 0
=
−5 − −12
1
= 7m/s2
Gráfico de velocidade versus tempo
A equação horária da velocidade no MRUV 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 pode ser 
escrita como
𝑣 = 𝑎𝑡 + 𝑣0
Essa equação tem o formato da equação de uma reta
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Assim:
• 𝑚 = 𝑎, a aceleração é a inclinação da reta;
• 𝑛 = 𝑣0, a velocidade inicial é o ponto de interseção 
com o eixo vertical.
Com isso, podemos analisar o gráfico da velocidade em função do 
tempo 𝑣 × 𝑡 de um objeto em MRUV.
Im
agem
: B
rasil Esco
la
Assim no caso do MRU, a área sob o gráfico de velocidade em função 
do tempo corresponde ao deslocamento do objeto.
Im
agem
: B
rasil Esco
la
Equação horária 
da posição no MRUV
Considere o gráfico 𝑣 × 𝑡 de uma partícula que se move 
em MRUV.
A área do gráfico representa o deslocamento 𝑑 do 
móvel. 
Observe que, no caso considerado, a partícula possui 
uma velocidade inicial 𝑣0.
Além disso, no instante 𝑡, ela possui uma velocidade 𝑣.
𝑣
𝑡
𝑣0
Assim, temos que a área sob o gráfico é a área de um 
trapézio cujas bases medem 𝑣0 e 𝑣 e a altura mede 𝑡:
Área =
𝑣0 + 𝑣 ⋅ 𝑡
2
Como, no MRUV, 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, temos 
Área =
𝑣0 + 𝑣0 + 𝑎𝑡 ⋅ 𝑡
2
ou seja,
Área =
2𝑣0 + 𝑎𝑡 ⋅ 𝑡
2
𝑣
𝑡
𝑣0
Portanto, 
Área =
2𝑣0𝑡 + 𝑎𝑡
2
2
Logo,
Área = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
A área do gráfico 𝑣 × 𝑡 é igual ao deslocamento, então
𝑑 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑣
𝑡
𝑣0
Como 𝑑 = Δ𝑥, podemos também escrever
Δ𝑥 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
E como Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥0, temos
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
ou ainda
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
Portanto, a posição de um móvel em função do tempo no MRUV é 
dada por
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
Essa é a equação horária da posição no MRUV.
Ela depende do quadrado do tempo, ao contrário das equações 
anteriores, que tinham dependência linear.
Note que 𝑥0, 𝑣0 e 𝑎 são todos parâmetros constantes.
Ex: A equação horária da posição de um objeto que descreve um MRUV é dada por 
𝑦 𝑡 = 𝑡2 − 13𝑡 + 11, com todas as unidades no SI. Quais são a) a posição inicial, 
b) a velocidade inicial e c) a aceleração desse objeto?
a) Por comparação com 𝑦 𝑡 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, vemos que 𝑦0 é igual ao 
coeficiente independente, logo 𝑦0 = 11 m.
b) Da mesma forma, 𝑣0 corresponde ao coeficiente linear, que acompanha o 𝑡, logo 
𝑣0 = −13 m/s.
c) Pelo mesmo raciocínio, 
1
2
𝑎 é o coeficiente quadrático, que 
multiplica o 𝑡2. Portanto 
1
2
𝑎 = 1 e 𝑎 = 2 ⋅ 1 = 2 m/s2.
Gráfico de posição versus tempo
A equação horária da posição no MRUV, 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, pode 
ser reescrita como
𝑥 =
1
2
𝑎𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0
Essa equação descreve uma parábola do tipo
𝑦 = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Assim, 𝑎2 =
1
2
𝑎 e, portanto, 𝑎 = 2𝑎2; 𝑎1 = 𝑣0; e 𝑎0 = 𝑥0.
Se a aceleração da partícula é positiva, a parábola possui concavidade 
também positiva, e vice-versa.
Ex: O gráfico mostra a posição de um corpo 
em função do tempo. Qual é a aceleração do 
objeto, se ele parte do repouso?
Do gráfico, temos que
𝑥0 = 0
𝑥 𝑡 = 4,0 s = 9,6 m
Jogando os valores na equação horária da posição no MRUV, temos
𝑥 =
1
2
𝑎𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑥0
9,6 =
1
2
𝑎 ⋅ 4,02 + 0 ⋅ 4,0 + 0
𝑎 = 1,2 m/s2
Equação de Torricelli
Estudamos as duas equações horárias do MRUV, a da velocidade 
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
e a da posição 𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, que vamos escrever como
𝑑 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
As duas equações possuem uma dependência em relação ao tempo, 
que pode ser eliminada combinando as duas equações.
Começamos isolando o tempo na equação horária da velocidade
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
e obtemos
𝑡 =
𝑣 − 𝑣0
𝑎
Em seguida, substituímos essa expressão na equação horária da 
posição, 𝑑 = 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2, de forma que
𝑑 = 𝑣0
𝑣 − 𝑣0
𝑎
+
1
2
𝑎
𝑣 − 𝑣0
𝑎
2
Assim, temos
𝑑 =
𝑣𝑣0 − 𝑣0
2
𝑎
+
1
2
𝑎 ⋅
𝑣2 − 2𝑣𝑣0 + 𝑣0
2
𝑎2
ou seja,
𝑑 =
𝑣𝑣0 − 𝑣0
2
𝑎
+
𝑣2 − 2𝑣𝑣0 + 𝑣0
2
2𝑎
Logo,
𝑑 =
𝑣𝑣0
𝑎
−
𝑣0
2
𝑎
+
𝑣2
2𝑎
−
2𝑣𝑣0
2𝑎
+
𝑣0
2
2𝑎
Dessa forma,
𝑑 =
𝑣𝑣0
𝑎
−
2𝑣0
2
2𝑎
+
𝑣2
2𝑎
−
𝑣𝑣0
𝑎
+
𝑣0
2
2𝑎
Combinamos os termos de mesma cor,
𝑑 =
𝑣2
2𝑎
−
𝑣0
2
2𝑎
Multiplicando os dois lados da equação por 2𝑎, temos
2𝑎𝑑 = 𝑣2 − 𝑣0
2
Finalmente, obtemos
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎𝑑
Esta é a chamada equação de Torricelli, que também pode ser escrita 
como
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎Δ𝑥
A equação de Torricelli é bastante útil em situações em que a duração 
do movimento é desconhecida.
Ex: Um carro se move a 108 km/h. O motorista vê um obstáculo à 
frente e imediatamente pisa no freio, imprimindo uma desaceleração 
aproximadamente constante de 5,0 m/s² ao veículo. Qual é a distância 
mínima que o carro deve estar do obstáculo para que não haja colisão?
𝑣0 = 108 Τkm h =
108
3,6
Τm s = 30 m/s
𝑣 = 0
𝑎 = −5,0 m/s2
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎𝑑
𝑑 =
𝑣2−𝑣0
2
2𝑎
=
02−302
2⋅ −5,0
=
−900
−10
𝑑 = 90 m (e se a velocidade inicial fosse de 54 km/h?)
Gráfico de velocidade versus posição
Em geral, analisamos gráficos que estão em função do tempo.
Dessa forma, vimos os gráficos de posição versus tempo, velocidade 
versus tempo e aceleração versus tempo.
Entretanto, podemos ter tambémgráficos em que o eixo horizontal 
seja um outro parâmetro.
Vamos estudar o gráfico de velocidade em função da 
posição usando a equação de Torricelli.
Ex: Uma bola é lançada verticalmente para cima (de 
forma que o módulo da aceleração é de 10 m/s²) ao 
longo de um eixo 𝑦. A distância 𝑑 no gráfico é 0,40 m. 
Determine o módulo da velocidade 𝑣𝐴, em m/s.
Considerando 𝑣0 = 𝑣𝐴 e 𝑣 =
1
3
𝑣𝐴, de Torricelli temos
1
3
𝑣𝐴
2
= 𝑣𝐴
2 + 2𝑎𝑑
1
9
𝑣𝐴
2 = 𝑣𝐴
2 + 2 ⋅ −10 ⋅ 0,40
1
9
𝑣𝐴
2 − 𝑣𝐴
2 = −8,0
−
8
9
𝑣𝐴
2 = −8,0
𝑣𝐴 = 3,0 m/s
Aceleração instantânea
Anteriormente, definimos a velocidade instantânea como o limite da 
velocidade média quando fazemos Δ𝑡 tender a zero. 
De forma semelhante, definimos a aceleração instantânea como 
𝑎 = lim
Δ𝑡→0
Δ𝑣
Δ𝑡
ou seja, a aceleração instantânea é o limite quando Δ𝑡 → 0 da razão 
entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo.
De forma mais concisa, podemos escrever a aceleração instantânea 
como a derivada da velocidade em função do tempo.
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Tendo a função 𝑣 𝑡 de qualquer objeto (mesmo que ele não esteja em 
MRUV), podemos determinar sua aceleração em qualquer instante.
Como 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, então podemos também escrever
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
Ex: A equação horária da velocidade de uma partícula é dada por 
𝑣 𝑡 = −3,5 + 9,2𝑡. Determine a aceleração desse objeto no instante 
𝑡 = 4,0 s.
Já sabemos que este objeto está em MRUV, portanto sua aceleração 
deve ser constante. 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
−3,5 + 9,2𝑡 = 9,2
𝑎 𝑡 = 4,0 s = 9,2 m/s2
Observe que a aceleração não depende do tempo, logo 
ela é constante – e, de fato, o objeto está em MRUV.
Ex: A equação horária da velocidade de uma partícula é dada por 
𝑣 𝑡 = −3,5 + 9,2𝑡 − 1,8𝑡2. Determine a aceleração desse objeto em 
𝑡 = 4,0 s.
Este objeto não está em MRUV. Ainda assim, podemos calcular sua 
aceleração fazendo
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
−3,5 + 9,2𝑡 − 1,8𝑡2 = 9,2 − 3,6𝑡
𝑎 𝑡 = 4,0 s = 9,2 − 3,6 ⋅ 4,0
𝑎 𝑡 = 4,0 s = −5,2 m/s2
Note que precisamos primeiro determinar a equação da 
aceleração para depois jogar o valor do tempo 𝑡.
Ex: A equação horária da posição de uma partícula é dada por 
𝑥 𝑡 = 18,1 + 4,7𝑡 + 2,6𝑡2. Qual é a aceleração desse objeto no 
instante 𝑡 = 5,0 s?
Sabemos agora que esse objeto está em MRUV, e portanto ele deve ter 
uma aceleração constante.
𝑎 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑2
𝑑𝑡2
18,1 + 4,7𝑡 + 2,6𝑡2 = 5,2
𝑎 𝑡 = 5 s = 5,2 m/s2
Esse resultado poderia também ser obtido comparando a 
equação horária da posição no MRUV, com 
1
2
𝑎 = 2,6.
A derivada 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
corresponde à inclinação do gráfico 𝑣 × 𝑡 em cada ponto.
Como 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
, então a aceleração é obtida pela inclinação da curva no 
gráfico de velocidade versus tempo, como visto anteriormente.
Queda com resistência do ar
Você provavelmente já ouviu falar do experimento de 
Galileu na torre de Pisa.
Essa história hoje é considerada fictícia. Entretanto, as 
conclusões que podemos tirar dela continuam válidas.
Imagine que você sobe no alto da torre de Pisa e solta, 
ao mesmo tempo, duas esferas de massas diferentes.
Antes de Galileu, a ideia mais aceita era de que a esfera 
mais pesada chegaria primeiro ao solo.
Im
agem
: W
ikim
ed
ia
C
o
m
m
o
n
s
O argumento de Galileu era de que as duas esferas 
chegariam juntas ao chão.
Ainda hoje, isso é contraintuitivo. A tendência é pensar 
que os objetos mais pesados chegam primeiro no chão.
De fato, se você tentar soltar vários objetos juntos 
(como uma pena e uma maçã, por exemplo), eles não
vão chegar no solo no mesmo tempo.
Mas será que o motivo é a massa (ou o peso) deles?
Im
agem
: W
ikim
ed
ia
C
o
m
m
o
n
s
Podemos descartar essa ideia com um experimento 
simples, que você pode fazer em casa.
Pegue duas folhas de papel. Amasse uma delas, fazendo 
uma bolinha, e mantenha a outra esticada.
Solte simultaneamente os dois objetos da mesma 
altura. Qual vai chegar primeiro no chão?
Obviamente, a bolinha vai atingir primeiro o solo.
Im
agem
: Esco
la K
id
s
Mas você concorda que, nesse caso, os dois objetos possuem a mesma 
massa (e portanto, o mesmo peso)?
A questão não é a massa, e sim a resistência do ar.
Conforme os objetos caem, eles ficam sujeitos a uma força de interação 
com o ar, que pode dificultar mais ou menos a queda. 
É a resistência do ar que faz com que seja possível, por 
exemplo, pular de paraquedas (e sobreviver).
Agora, pegue um livro maior que a folha de papel e 
coloque a folha sobre o livro.
Em seguida, solte novamente o livro e a bolinha de 
papel da mesma altura e no mesmo instante. 
O que você acha que vai acontecer dessa vez?
Os dois vão chegar juntos, porque o livro reduz 
consideravelmente a resistência do ar.
Im
agem
: U
n
esp
E se fôssemos capazes de retirar toda a influência da 
resistência do ar?
Então esses quaisquer dois objetos, soltos da mesma 
altura, devem chegar juntos no solo.
De fato, hoje existem câmaras de vácuo em que é 
possível realizar esse experimento.
Quando um objeto cai sem resistência do ar, dizemos 
que ele está em queda livre.
Im
agem
: H
allid
ay, R
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ick
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 W
alker. Fu
n
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a
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e Física
.
Queda livre
Imagine dois veículos, uma moto e um carro, parados um do lado do 
outro ao longo de uma pista retilínea.
Ao som de um sinal, os dois veículos passam a se mover desenvolvendo 
a mesma aceleração durante todo o intervalo de tempo considerado.
Quem vai alcançar primeiro a linha de chegada que está a 100 metros 
de distância? 
E quem atingirá primeiro a velocidade de 100 km/h?
Eles alcançam juntos a linha de chegada e atingem a velocidade de 100 
km/h ao mesmo tempo porque os dois possuem a mesma aceleração.
Quando um objeto é solto a partir de uma certa altura e cai sem a ação 
de resistência do ar, dizemos que ele está em queda livre.
No dia-a-dia, é praticamente impossível eliminarmos a resistência do ar. 
Entretanto, quando o objeto possui uma área de seção 
transversal pequena e a queda ocorre próximo à superfície 
da Terra, a resistência do ar pode ser desconsiderada.
Quando dois objetos são soltos a partir do repouso e caem em queda 
livre, eles sempre vão chegar no chão ao mesmo tempo, independente 
das suas massas.
Isso acontece porque os dois estão sujeitos à mesma aceleração.
Assim, quando um objeto está em queda livre, dizemos que ele está 
sujeito à aceleração da gravidade 𝑔.
A aceleração da gravidade terrestre vale 𝑔 = 9,81 m/s2.
Esse valor não é fixo e muda de acordo com o lugar e com a altitude.
Muitas vezes consideramos 𝑔 = 10 m/s2 e constante.
Para comparação, os valores da gravidade em alguns astros são:
• Lua: 1,62 m/s²;
• Júpiter: 24,8 m/s²;
• Sol: 274 m/s²
Você já deve ter ouvido falar em buraco negro, uma 
região de gravidade tão intensa que nada escapa dele.
Como a aceleração da gravidade é constante, podemos utilizar as 
equações do MRUV para analisar o movimento.
Se considerarmos o eixo como positivo para cima, então a aceleração 
será negativa, com 𝑎 = −𝑔. 
Fazendo algumas alterações nas equações do MRUV, temos:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2
𝑣2 = 𝑣0
2 − 2𝑔Δ𝑦
Ex: Uma pequena pedra é solta a partir do repouso do alto de um prédio de 15 
andares. Supondo que cada andar possui 3 metros de altura e que a resistência do 
ar pode ser desprezada, com qual velocidade, em km/h, a pedra chegará ao solo? 
Utilize 𝑔 = 10 m/s2.
𝑣0 = 0
Δ𝑦 = −15 ⋅ 3 = −45 m
𝑎 = −𝑔 = −10 m/s2
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎Δ𝑦
𝑣 = 02 + 2 ⋅ −10 ⋅ −45
𝑣 = 900
𝑣 = 30 Τm s = 30 ⋅ 3,6 km/h
𝑣 = 108 km/h
Lançamento vertical
Quando deixamos um objeto cair em queda livre, ele fica sujeito à 
aceleração da gravidade, que é constante.
Da mesma forma, se jogamos o objeto para cima com uma velocidade 
inicial, ele também se move sob a ação da gravidade.
Esse caso é chamado de lançamentovertical.
O lançamento vertical, portanto, também é um MRUV.
Considere um objeto que é arremessado para cima com 
velocidade inicial de 30 m/s, livre da resistência do ar.
Estabelecemos um eixo 𝑦 positivo para cima. 
Assim, a velocidade inicial é positiva, 𝑣0 = +30 m/s e a 
aceleração é negativa 𝑎 = −10 m/s2.
Isso significa que a velocidade vai diminuir em 10 m/s a 
cada segundo, devido à aceleração da gravidade. 
Im
agem
: H
ew
itt. Física
 co
n
ceitu
a
l
Quando o corpo chega no ponto mais alto da trajetória, 
sua velocidade é nula.
Isso significa que no ponto mais alto do lançamento, o 
objeto para momentaneamente.
Observe que, mesmo no ponto mais alto, a aceleração 
continua sendo constante e valendo 𝑎 = −10 m/s2.
Após chegar no ponto mais alto da trajetória, o objeto 
começa o movimento de descida.
Im
agem
: H
ew
itt. Física
 co
n
ceitu
a
l
Agora, o corpo possui uma velocidade para baixo e uma 
aceleração também para baixo.
Portanto, o módulo da velocidade vai aumentar 10 m/s 
a cada segundo.
Como a velocidade aponta para baixo, ela é negativa.
O tempo gasto na subida é igual ao tempo de descida 
e o objeto chega ao ponto de partida com o mesmo 
módulo de velocidade com que foi lançado.
Im
agem
: H
ew
itt. Física
 co
n
ceitu
a
l
𝑡 s 𝑣 m/s 𝑎 m/s2
0 +30 −10
1 +20 −10
2 +10 −10
3 0 −10
4 −10 −10
5 −20 −10
6 −30 −10
Im
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ceitu
a
l
Movimento relativo na reta
Considere dois carros 𝐴 e 𝐵 se movendo em 
uma pista retilínea e plana com velocidades de
10 m/s e 3 m/s, respectivamente.
Ao dizer que essas são as velocidades dos carros, implicitamente 
estabelecemos que essas são as velocidades em relação ao solo.
Porém, podemos pensar que, no referencial do motorista do carro 𝐵, 
ele está parado e o carro 𝐴 está se movendo para a direita
(ou seja, se aproximando de 𝐵) com velocidade
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵 = 10 − 3 = 7 m/s
Im
agem
: D
esco
m
p
lica
Da mesma forma, no referencial do carro 𝐴, ele
está parado e o carro 𝐵 está se movendo para a 
esquerda (ou seja, se aproximando de 𝐴) com
velocidade
𝑣𝐵𝐴 = 𝑣𝐵 − 𝑣𝐴 = 3 − 10 = −7m/s
Portanto, se dois corpos se movem na mesma direção e mesmo 
sentido, o módulo da velocidade relativa entre eles é o módulo da 
diferença entre as velocidades:
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐵𝐴 = 𝑣𝐴 − 𝑣𝐵
Im
agem
: D
esco
m
p
lica
E se os carros estiverem se movendo em 
sentidos contrários?
Nesse caso, no referencial de 𝐵, ele está parado e o carro 𝐴 se move 
para a direita com velocidade
𝑣𝐴𝐵 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵 = 10 + 3 = 13 m/s
Por outro lado, no referencial de 𝐴, ele está parado e o carro 𝐵 se move 
para a esquerda com velocidade
𝑣𝐵𝐴 = − 𝑣𝐵 + 𝑣𝐴 = − 3 + 10 = −13 m/s
Im
agem
: D
esco
m
p
lica
Ex: Um homem corre por uma esteira rolante comprida e horizontal, levando 2,5 s 
para ir de uma extremidade à outra da esteira. Depois, o homem corre no sentido 
contrário, mantendo o mesmo ritmo de movimento, e leva 10,0 s para voltar ao 
ponto de partida. A velocidade do homem é quantas vezes maior que a velocidade 
da esteira?
Ida: 𝑣𝑖 = 𝑣ℎ + 𝑣𝑒 =
𝑑
𝑡𝑖
=
𝑑
2,5
Volta: 𝑣𝑣 = 𝑣ℎ − 𝑣𝑒 =
𝑑
𝑡𝑣
=
𝑑
10
Dividindo a primeira equação pela segunda: 
𝑣ℎ+𝑣𝑒
𝑣ℎ−𝑣𝑒
=
Τ𝑑 2,5
Τ𝑑 10
=
𝑑
2,5
⋅
10
𝑑
= 4
𝑣ℎ + 𝑣𝑒 = 4 𝑣ℎ − 𝑣𝑒 = 4𝑣ℎ − 4𝑣𝑒
4𝑣ℎ − 𝑣ℎ = 𝑣𝑒 + 4𝑣𝑒
𝑣ℎ = 5𝑣𝑒/3 = 1,67𝑣𝑒
	Introdução ao movimento na reta
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	Posição
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	Deslocamento
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	Vetor deslocamento
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	Distância
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	Velocidade
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	Velocidade média
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	Slide 42
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	Velocidade escalar média
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	Velocidade constante
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	Slide 55
	Velocidade constante de um corpo extenso
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	Gráfico de velocidade versus tempo no MRU
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	Slide 62
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	Equação horária da posição no MRU
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	Slide 70
	Gráfico de posição versus tempo no MRU
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	Cálculo numérico da velocidade instantânea
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	Velocidade instantânea
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	Aceleração
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	Aceleração média
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	Sentido da aceleração
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	Aceleração constante
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	Gráfico de aceleração versus tempo no MRUV
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	Equação horária da velocidade no MRUV
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	Gráfico de velocidade versus tempo no MRUV
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	Equação horária da posição no MRUV
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	Gráfico de posição versus tempo no MRUV
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	Equação de Torricelli
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	Gráfico de velocidade versus posição no MRUV
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	Aceleração instantânea
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	Queda com resistência do ar
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	Queda livre
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	Lançamento vertical
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	Movimento relativo na reta
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