Moda_Mediana_Média alt

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MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
É o campo da matemática 
que relaciona fatos e 
números com um 
conjunto de métodos que 
nos possibilita coletar 
dados e analisá-los, assim 
como a realização alguma 
interpretação deles.
Medidas de tendência central
São medidas de posição que tendem a se agrupar em torno dos 
valores centrais de uma distribuição, tendo a capacidade de 
representá-la como um todo.
As mais utilizadas são:
Média Aritmética 
Moda
Mediana
Média Ponderada
Média aritmética
A média aritmética é a soma das observações dividida
pelo número delas. Cada amostragem tende a ter
diferentes valores de média. A média tem a mesma
unidade dos dados avaliados.
Média aritmética (X ou µ ou Ms)
Média aritmética (X ou µ ou Ms)
Se os dados estiverem numa lista ou conjunto, basta somar 
todos e dividir pelo o total da amostra.
EXEMPLO : Calcule a média aritmética do seguinte conjunto 
de dados {1, 1, 3, 4, 4} :
ഥ𝐗 =
𝟏 + 𝟏 + 𝟑 + 𝟒 + 𝟒
𝟓
=
𝟏𝟑
𝟓
= 𝟐, 𝟔
(ENEM 2016) O gráfico mostra a média de produção diária de 
petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 
2010.
Se essas estimativas tivessem sido confirmadas, a média de 
produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 
2012, teria sido igual a 
a) 1,940 b) 2,134 c) 2,167 d) 2,420 e) 6,402
(ENEM 2016) O gráfico mostra a média de produção diária de 
petróleo no Brasil, em milhão de barris, no período de 2004 a 
2010.
Se essas estimativas tivessem sido confirmadas, a média de 
produção diária de petróleo no Brasil, em milhão de barris, em 
2012, teria sido igual a 
a) 1,940 b) 2,134 c) 2,167 d) 2,420 e) 6,402
Moda (Mo)
Mo é o valor que ocorre com mais frequência na distribuição, isto é, o valor 
que mais se repete. 
Quando há dois valores que se repetem na mesma quantidade, chamamos a 
série de BIMODAL. 
Analogamente, para a TRIMODAL e POLIMODAL.
Se todos os valores se repetirem na mesma quantidade então a série é 
AMODAL, isto é, não existe moda.
Moda (Mo)
2 5 5 5 6 7 9 9 9 10 10
Mo1 = 5 e Mo2 = 9 → Série Bimodal
4 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9 9
Mo1= 4, Mo2= 7 e Mo3= 9 → Série Trimodal
2 2 5 5 9 9 12 12
Não existe moda→ Série Amodal
Mo1 = 9 → Série modal → moda 9
2 2 5 7 9 9 9 10 10 11 12 18
(ENEM 2015) Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com 
alguns alunos de um curso, coletou as idades dos 
entrevistados e organizou esses dados em um gráfico.
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados? 
a) 9
b) 12
c) 13
d) 15
e) 21
(ENEM 2015) Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com 
alguns alunos de um curso, coletou as idades dos 
entrevistados e organizou esses dados em um gráfico.
Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados? 
a) 9
b) 12
c) 13
d) 15
e) 21
Mediana (Md)
Md é o valor central da distribuição que a divide em 
duas partes iguais.
A mediana é a realização que ocupa a posição 
central da série de observações quando estas estão 
ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou 
decrescente). 
Cálculo da Mediana
Quando o número de dados (n) é ímpar, por 
exemplo, considerando as cinco observações, em 
ordem crescente, de um conjunto de dados como 3, 
4, 7, 8 e 8, a mediana correspondente à terceira 
observação ((n+1)/2), ou seja, o valor: 
𝑴𝒆 = 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
= 𝟕
Cálculo da Mediana
Quando o número de nados (n+1) é par, usa-se como 
mediana a média aritmética das duas observações 
centrais (n/2 e n/2+1). Assim, se os elementos do 
conjunto, em ordem crescente, de dados são 3, 4, 7, 
8, 8 e 9, a mediana é o valor :
𝑴𝒆 =
𝑿𝒏
𝟐
 + 𝑿𝒏
𝟐+𝟏
 
𝟐
=
𝟕+𝟖
𝟐
= 𝟕, 𝟓 
(ENEM 2022) Até a Copa de 2010, apenas sete jogadores haviam 
conseguido o feito de marcar 8 ou mais gols em uma mesma 
edição da Copa do Mundo. O quadro apresenta os anos das 
edições da copa nas quais ocorreram esses feitos, quais foram os 
jogadores que os realizaram e os respectivos números de gols 
marcados por cada um deles. Para facilitar a análise sobre a 
quantidade de gols marcados por esses artilheiros nas referidas 
copas, foi calculada a mediana da distribuição dos números de 
gols marcados por eles nas sete copas especificadas no quadro. 
A mediana dessa distribuição é igual a
a) 9 b) 9,7 c) 10 d) 10,2 e) 13
(ENEM 2022) Até a Copa de 2010, apenas sete jogadores haviam 
conseguido o feito de marcar 8 ou mais gols em uma mesma 
edição da Copa do Mundo. O quadro apresenta os anos das 
edições da copa nas quais ocorreram esses feitos, quais foram os 
jogadores que os realizaram e os respectivos números de gols 
marcados por cada um deles. Para facilitar a análise sobre a 
quantidade de gols marcados por esses artilheiros nas referidas 
copas, foi calculada a mediana da distribuição dos números de 
gols marcados por eles nas sete copas especificadas no quadro. 
A mediana dessa distribuição é igual a
a) 9 b) 9,7 c) 10 d) 10,2 e) 13
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for par:
𝑴𝒆 =
𝑿𝒏
𝟐
 + 𝑿𝒏
𝟐+𝟏
 
𝟐
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for par:
𝑴𝒆 =
𝑿𝒏
𝟐
 + 𝑿𝒏
𝟐+𝟏
 
𝟐
Como n=50, ou seja, um 
número par, a mediana será a 
média aritmética dos dois 
valores centrais. Estes 
valores estão na 25ª e 26ª 
posição.
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for par:
𝑴𝒆 =
𝑿𝒏
𝟐
 + 𝑿𝒏
𝟐+𝟏
 
𝟐
Para saber que variável está na 
posição 25ª e 26ª, precisamos 
da frequência acumulada “abaixo 
de”.
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for par:
𝑴𝒆 =
𝑿𝟓𝟎
𝟐
 + 𝑿𝟓𝟎
𝟐 +𝟏
 
𝟐
=
𝑿𝟐𝟓 + 𝑿𝟐𝟔 
𝟐
=
𝟏 + 𝟐
𝟐
 = 1,5 sessão
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for ímpar:
𝑴𝒆 = 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for ímpar:
𝑴𝒆 = 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
Como n=59, ou seja, um número 
ímpar, a mediana será a variável 
que estiver na posição 59+1/2, ou 
seja, 30ª posição.
Mediana (Me)
Na tabela de frequência simples, para encontrar o valor 
mediano devemos, primeiramente ver a quantidade total 
da amostra (n).
Se “n” for ímpar:
𝑴𝒆 = 𝑿𝒏+𝟏
𝟐
Como n=59, ou seja, um número 
ímpar, a mediana será a variável 
que estiver na posição 59+1/2, ou 
seja, 30ª posição.
= 𝑿𝟓𝟗+𝟏
𝟐
 = 𝑿𝟔𝟎
𝟐
= 𝑿𝟑𝟎 = 𝟐 𝒔𝒆𝒔𝒔õ𝒆𝒔
(ENEM 2014) Os salários, em reais, dos funcionários de uma 
empresa são distribuídos conforme o quadro: 
 
A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais, 
a) 622,00 b) 933,00 c) 1 244,00 d) 2 021,50 e) 2 799,00
(ENEM 2014) Os salários, em reais, dos funcionários de uma 
empresa são distribuídos conforme o quadro: 
 
A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais, 
a) 622,00 b) 933,00 c) 1 244,00 d) 2 021,50 e) 2 799,00
Média Aritmética Ponderada
Em cálculos envolvendo média aritmética simples, 
todas as ocorrências têm exatamente o mesmo peso. 
No entanto, existem casos onde as ocorrências têm 
pesos relativos diferentes. Nestas situações, o cálculo 
da média deve levar em conta o peso relativo. Este 
tipo de média chama-se média aritmética ponderada.
Média Ponderada
.
Média Ponderada
.
(ENEM 2018) Os alunos da disciplina de 
estatística, em um curso universitário,realizam 
quatro avaliações por semestre com os pesos 
de 20%, 10%, 30% e 40%, respectivamente. No 
final do semestre, precisam obter uma média 
nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos 
para serem aprovados. Um estudante dessa 
disciplina obteve os seguintes pontos nas três 
primeiras avaliações: 46, 60 e 50, 
respectivamente. O mínimo de pontos que esse 
estudante precisa obter na quarta avaliação 
para ser aprovado é
a) 29,8 b) 71,0 c) 74,5 d) 75,5 e) 84,0
(ENEM 2018) Os alunos da disciplina de 
estatística, em um curso universitário, realizam 
quatro avaliações por semestre com os pesos 
de 20%, 10%, 30% e 40%, respectivamente. No 
final do semestre, precisam obter uma média 
nas quatro avaliações de, no mínimo, 60 pontos 
para serem aprovados. Um estudante dessa 
disciplina obteve os seguintes pontos nas três 
primeiras avaliações: 46, 60 e 50, 
respectivamente. O mínimo de pontos que esse 
estudante precisa obter na quarta avaliação 
para ser aprovado é
a) 29,8 b) 71,0 c) 74,5 d) 75,5 e) 84,0
PRÉ-VESTIBULAR DR.LUIZ GAMA
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3: ESTATÍSTICA
	Slide 4: Medidas de tendência central
	Slide 5: Média aritmética
	Slide 6: Média aritmética (X ou µ ou Ms)
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9: Moda (Mo)
	Slide 10: Moda (Mo)
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13: Mediana (Md)
	Slide 14: Cálculo da Mediana
	Slide 15: Cálculo da Mediana
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18: Mediana (Me)
	Slide 19: Mediana (Me)
	Slide 20: Mediana (Me)
	Slide 21: Mediana (Me)
	Slide 22: Mediana (Me)
	Slide 23: Mediana (Me)
	Slide 24: Mediana (Me)
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27: Média Aritmética Ponderada
	Slide 28: Média Ponderada
	Slide 29: Média Ponderada
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32