CIRCUITOS ELÉTRICOS I UNI 4

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CIRCUITOS ELÉTRICOS ICIRCUITOS ELÉTRICOS I
CIRCUITOS DE SEGUNDACIRCUITOS DE SEGUNDA
ORDEM E EM CORRENTEORDEM E EM CORRENTE
ALTERNADAALTERNADA
Autor: Esp. Afonso Genta Palandri
Revisor : L isandro Mart ins
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Circuitos compostos por resistores e dois tipos de armazenadores de energia,
indutores e capacitores são chamados de circuitos . Eles são
denominados circuitos de segunda ordem, pois as equações que irão
descrevê-los serão compostas por derivadas de segundo grau. Analisaremos a
�m de obter a resposta ao degrau em circuitos cujos componentes estejam
associados em série e circuitos em que os elementos estejam associados em
paralelo. Faremos análises das respostas de circuitos , em regime
transitório e em regime permanente. Faremos cálculos de potência e análises
de circuitos quando os mesmos são submissos a uma corrente
contínua ( ) e também a uma corrente alternada ( ).
RLC
RLC
RLC
cc ca
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A �m de iniciarmos nossos estudos em circuito de 2ª ordem, iniciaremos pela
análise de circuito de em série, conforme a Figura 4.1, o qual contém
um resistor , indutor e um capacitor .
Circuitos de 2ªCircuitos de 2ª
OrdemOrdem
em Sérieem Série
RLC
R L C
Figura 4.1 - Circuito em série sem fonte
Fonte: Sadiku, Musa, Alexander (2014, p. 282).
RLC
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O circuito apresentado é excitado pela energia inicialmente armazenada nos
armazenadores de energia, sendo esses elementos o indutor e o capacitor,
sendo representada pela tensão inicial no capacitor e pela corrente inicial
 no indutor.
Aplicando a no circuito, fazendo a análise matemática, a �m de
simpli�car e organizar a equação resultante, temos a seguinte equação:
 (4.1)
Sendo esta a equação diferencial de segunda ordem, é o motivo para os
circuitos serem chamados de circuitos de segunda ordem. A �m de
resolvermos esta equação, é necessário termos duas condições iniciais: o
valor de e sua primeira derivada ou os valores iniciais de alguma e .
A �m de solucionar a Equação 4.1, vamos utilizar a forma exponencial.
 (4.2)
Substituindo em 4.1
 (4.3)
em que e são constantes a serem determinadas, assim, podemos
simpli�car e procurar somente a seguinte expressão:
 (4.4)
Para Sadiku, Musa e Alexander   (2014, p. 283), “A equação quadrática é
conhecida como equação característica da equação diferencial”, sendo esta a
Equação 4.1, uma vez que as raízes da equação ditam as características
básicas de . As duas raízes são de�nidas de forma condensada como:
  (4.5)
 (4.6)
Em que:
V0
I0
LKT
+ + = 0id
2 
dt2
R
L
di
dt
i
LC
RLC
i i v
i = Aest
A + s + = 0s2 est AR
L
est A
LC
est
A s
+ s + = 0s2 R
L
1
LC
i
= α +s1 −α2 ω02
− −−−−−−√
= α −s2 −α2 ω02
− −−−−−−√
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 (4.7)
 (4.8)
As raízes e naturais são chamadas de frequências naturais, medidas em
nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural do
circuito; é conhecido como frequência ressonante ou frequência natural
não amortecida expressa em radianos por segundo (rad/s); e é a frequência
de neper ou fator de amortecimento expresso em nepers por segundo.
Reescrevendo a Equação 4.4 em função de e , temos:
 (4.9)
Sendo a Equação 4.1 uma equação linear, a combinação das soluções acima
gera a solução completa desta, logo a resposta natural de um circuito 
em série é:
 (4.10)
Em que e são determinadas a partir dos valores iniciais de i(0) e
di(0)/dt.
Dada as soluções e , temos três tipos de soluções:
1. Se , temos o caso de amortecimento supercrítico;
2. Se , temos o caso de amortecimento crítico;
3. Se , temos o caso de subamortecimento.
Agora, podemos fazer a análise da resposta a um degrau de um circuito 
em série.
α = R2L
=ω0
1
LC√
s1 s2
ω0
α
α ω0
+ 2αs + = 0s2 ω02
RLC
i (t) = +A1e ts1 A2e ts2
A1 A2
s1 s2
α > ω0
α = ω0
α < ω0
RLC
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Tendo como base a Figura 4.2, aplicamos a no circuito para .
Fazendo as simpli�cações matemáticas, temos:
 (4.11)
Ela tem a mesma forma da Equação 4.1. Os coe�cientes são os mesmos, no
entanto a variável é diferente. Logo, a equação característica para o circuito
 em série não é afetada pela presença da fonte .
Logo, a resposta da Equação 4.11 tem duas componentes: a resposta (ou
componente) transitória e resposta de estado estável :
 (4.12)
Sabendo que a resposta transiente é a componente da resposta total
que se exige com o tempo, a solução é obtida conforme a Equação 4.10. A
resposta de estado estável é o valor �nal de . Para o circuito da Figura 4.2,
o valor �nal, então, é o mesmo da fonte .
A solução completa para os casos é descrita conforme:
 (Amortecimento supercrítico) (4.13)
Figura 4.2 - Tensão em degrau aplicada a circuito em série
Fonte: Sadiku,  Musa, Alexander (2014, p. 294).
RLC
LKT t > 0
+ + =vd
2 
dt2
R
L
dv
dt
v
LC
Vs 
LC
RLC CC
(t)vt (t)vss
v (t) = (t) + (t)vt vss
(t)vt
v(t)
vs
v (t) = + +Vs A1e ts1 A2e ts2
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 (Amortecimento crítico) (4.14)
 (Subamortecimento) (4.15)
Sendo e constantes obtidas das condições iniciais: e .
Dessa maneira, �nalizamos a obtenção da resposta de um circuito em
série a um degrau de tensão. Um circuito em série é muito utilizado em
sistemas de rádio e telecomunicações e também em sistemas de
instrumentação. A característica de amortecimento e frequência de oscilação
permite que o mesmo seja utilizado como um �ltro de corrente, bloqueando
uma determinada faixa de frequência e permitindo a passagem de outra faixa
de frequência.
Sadiku, Musa e Alexander (2014) a�rmam que circuitos ressonantes, sejam
em série e ou em paralelo são comumente usados em receptores de TV e
rádio, para separar sinais de áudio da onda portadora de radiofrequência, por
exemplo.
v (t) = + ( + t)Vs A1 A2 e−αt
v (t) = + ( cos ( t) + sen ( t))Vs A1 ωd A2 ωd e−αt
A1 A2 v(0) dv(0)/dt
RLC
RLC
saibamais
Saiba mais
Filtros RLC são usados principalmente em
sistemas de telecomunicações, mas como e
quando tudo isso começou e como foi o
processo de evolução, dessa área tão
presente nas nossas vidas hoje, como por
exemplo, telecomunicações.
Saiba mais acessando o material disponível
no link a seguir.
ASS IST IR
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praticar
Vamos Praticar
Filtros são usados principalmente em sistemas de telecomunicação, nos quais
se deseja �ltrar ou atenuar certas faixas de frequências, sendo que essas podem
estar acima, abaixo ou entre valores de range do �ltro. Dado o circuito conforme a
Figura 4.1, em que = 40 , = 4 , = 1/4 , calcule as raízes características e
 do circuito.
a) = 0,101 e = 9,899.
b) = 0,010 e = -9,899.
c) = -0,101 e = 8,998.
d) = -0,1010 e = -9,899.
e) = 18 e = 98.
RLC
R Ω L H C F 1s
2s
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
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Circuitos em paralelo tem diversas aplicações, como em projetos de
�ltros e redes de comunicações.
Circuitos de 2ªCircuitos de 2ª
OrdemOrdem
em Paraleloem Paralelo
RLC
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A Figura 4.3 mostra um circuito em paralelo, em que a resistência , o
indutor e o capacitor estão associados em paralelo; todos os
componentes têm a mesma diferença de potencial em seus nós.
Figura 4.3 - Circuito em paralelo sem fonte
Fonte:Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 288).
Aplicando a ao nó superior e fazendo a análise matemática, a �m de
simpli�car a equação resultante, chegamos à seguinte expressão:
 (4.16)
Logo, fazendo as simpli�cações conforme usada a análise dos circuitos 
em série, chegamos à seguinte simpli�cação:
 (4.17)
As raízes dessa equação podem ser expressas pelas seguintes equações:
  (4.18)
 (4.19)
RLC R
L C
RLC
LKC
+ + = 0vd
2 
dt2
1
RC
dv
dt
v
LC
RLC
+ s + = 0s2 1
RC
1
LC
= α +s1 −α2 ω02
− −−−−−−√
= α −s2 −α2 ω02
− −−−−−−√
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em que:
 (4.20)
 (4.21)
Os nomes desses termos permanecem conforme já mencionado
anteriormente. Repetindo a solução da equação de segundo grau, temos três
soluções possíveis dependendo das relações de e .
A �m de obtermos a resposta de um circuito em paralelo a um degrau,
tomaremos como base a Figura 4.4.
Queremos determinar , resultante da aplicação súbita de uma corrente .
Aplicando a ao nó superior para e fazendo as análises e
simpli�cações matemáticas, chegamos à seguinte equação:
 (4.16)
A solução a essa equação consiste na soma da resposta transiente e da
resposta de estado estável .
 (4.23)
α = 1
2RC
=ω0
1
LC√
α ω0
RLC
Figura 4.4 - Circuito em paralelo com corrente aplicada
Fonte: Sadiku, Musa e Alexander (2014, p. 299).
RLC
i CC
LKC t > 0
+ + =id
2 
dt2
1
RC
di
dt
i
LC
IS
LC
(t)it
(t)Iss
i (t) = (t) + (t)it iss
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Sabendo que a resposta transiente é a componente da resposta total
que se exige com o tempo, a resposta de estado estável é o valor �nal de
. Para o circuito da Figura 4.4, o valor �nal é o mesmo da fonte .
A solução completa para os casos é descrita conforme:
 (Amortecimento supercrítico) (4.13)
 (Amortecimento crítico) (4.14)
 (Subamortecimento) (4.15)
Sendo e constantes obtidas das condições iniciais: e .
Dessa maneira, �nalizamos a obtenção da resposta de um circuito em
paralelo a um degrau de tensão. O circuito paralelo é muito encontrado
(como o circuito série) em sistemas de telecomunicações. Nos rádios
antigos, era utilizado um arranjo paralelo para efetuar a sintonia da
rádio desejada, por meio de um capacitor variável (para mudar as frequências
do circuito).
Posteriormente, tais capacitores variáveis foram substituídos por varicaps
(que são diodos que possuem capacitância variável) e, por �m, no rádio
digital, é comum que o processo de sintonia seja feito exclusivamente via
software (rádios que apresentam esse sistema são chamados de SDR -
Software De�ned Radio ou Rádio de�nido por Software (tradução livre).
praticar
Vamos Praticar
(t)it
(t)it iss
i (t) = + +Is A1e ts1 A2e ts2
i (t) = + ( + t)Is A1 A2 e−αt
i (t) = + ( cos ( t) + sen ( t))Is A1 ωd A2 ωd e−αt
A1 A2 i(0) di(0)/dt
RLC
RLC
RLC
RLC
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Dado um circuito conforme o da �gura, com = 200 , = 50 mH e = 0,2 ,
determine se a resposta será superamortecida, subamortecida ou criticamente
amortecida.
Figura - Circuito RLC
Fonte: Nilsson, Riedel (2009, p. 201).
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos . 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2009.
a) A resposta é criticamente amortecida.
b) A resposta é subamortecida.
c) A resposta é inexistente, pois o valor das variáveis não resolve as
equações.
d) A resposta é superamortecida.
e) A resposta é imaginária.
R Ω L C μF
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Para Sadiku, Musa e Alexander (2014), existem quatro etapas para
determinarmos as respostas a um degrau , dado um circuito de segunda
ordem, sendo esse método aplicado a circuitos em série ou em
paralelo, com uma ou mais fontes independentes com valores constantes.
Seguem os quatros passos para análise.
1. Primeiramente, determinamos as condições iniciais e 
e o valor �nal .
2. Desativamos as fontes independentes e encontramos a forma da
resposta transiente , aplicando e . Assim que for
obtida uma equação diferencial de segunda ordem, determinamos
suas raízes características. Dependendo se a resposta for com
amortecimento supercrítico, com amortecimento crítico ou
subamortecimento, obtemos com duas constantes conhecidas,
como �zemos anteriormente.
3. Obtemos a resposta de estado estável como = , em
que o segundo termo é o valor �nal de , obtido na etapa 1.
Circuito RLC emCircuito RLC em
Corrente ContínuaCorrente Contínua
x(t)
RLC
x(0) dx(0)/dt
x(∞)
(t)xt LKC LKT
(t)xt
(t)Xss X(∞)
x
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4. A resposta total agora é encontrada com a soma das respostas
transientes e de estado estável. Estabelecemos as constantes
associadas com a resposta transiente impondo as condições iniciais
 e , determinadas no item 1.
Dessa maneira, conseguimos encontrar a resposta a um degrau de um
circuito de segunda ordem, inclusive aqueles com ampli�cadores
operacionais.
praticar
Vamos Praticar
x(0) dx(0)/dt
Figura 4.5 - Exemplos de circuitos RLC em paralelo e série
Fonte: Nilsson e Riedel (2009, p. 201).
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Vamos Praticar
Dado um circuito, conforme o da �gura seguinte, com e ,
determine as raízes da equação característica.
NILSSON, J.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos . 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2009.
a) = 200 e = -200.
b) = 979,80 e = -979,80.
c) = 200 e = 200.
d) = -200+j 979,80 e = -200-979,80.
e) = 979,8 e = 979,8.
V 0 = 0 I0 = −12, 5mA
Figura - Circuito RLC paralelo
Fonte: Nilsson e Riedel (2009, p. 208).
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
S1 S2
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Até o presente momento, temos limitado nossos estudos a circuito de
corrente contínua. Agora iniciaremos os conceitos de circuitos nos quais a
tensão ou a corrente variam com o tempo. Abordaremos conceitos de
circuitos com corrente alternada, cálculos de potencias e circuitos em
corrente alternada de maneira rápida. Por meio do cálculo de potências de
um circuito , podemos modelar o efeito observado nas linhas de
transmissão de energia, em que parte da energia transmitida é perdida em
forma de campo elétrico e magnético.
Circuito de Corrente Alternada
Estudaremos particularmente a excitação senoidal com variação no tempo ou
simplesmente senoide.
Sadiku,   Musa e Alexander (2014) de�nem uma senoide com um sinal que
possui a forma da função cosseno ou seno. Dessa maneira, uma corrente
senoidal é conhecida como corrente alternada ( ).
Circuito RLC emCircuito RLC em
Corrente AlternadaCorrente Alternada
RLC
RLC
CA
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Consideremos a tensão senoidal:
 (4.27)
em que é a amplitude da senoide, é a frequência angular em radianos/s
e é o argumento da senoide.
Tendo um sinal senoidal, ela se repete em períodos; representaremos esse
período da senoide pela letra , em que seu valor é equivalente a 2 . O
inverso desse valor é conhecido com frequência cíclica, representado pela
letra , sendo equivalente a e dada em hertz (Hz).
Sadiku,   Musa e Alexander (2014) a�rmam que senoides são expressas de
maneira simples em termos de fasores, que são mais convenientes de serem
trabalhados que as funções seno e cosseno, sendo que um fasor é de�nido
pelo mesmo com um número complexo que representa a amplitude e a fase
de uma senoide.
Não é nosso objetivo entrar em todas as propriedades de um fasor, como
também fazer operações com o mesmo, mas, sim, apresentar como as
v (t) = sen (ωt)Vm
V ω
ωt
T π/ω
f T −1
Figura 4.6 - Esboço de uma senoide (a) em função de ; (b) em função de 
Fonte: Sadiku,Musa e Alexander (2014, p. 331).
wt t
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técnicas já trabalhadas, associadas a técnicas que serão trabalhadas
posteriormente, permitem a análise de circuitos sujeitos a corrente contínua e
alternada.
Para se realizar análises de circuitos com correntes alternadas, podemos
utilizar a lei de ohm, leis de Kirchho� e outros métodos já descritos em outras
unidades, aplicando conforme a necessidade, visto que essas leis são válidas
para circuitos .
Segundo Sadiku,   Musa e Alexander (2014), a análise de circuitos 
normalmente requer três etapas:
1. transformar o circuito para o domínio de fasores ou da frequência;
2. solucionar o problema usando técnicas de circuitos;
3. transformar o fasor resultante para o domínio do tempo.
Logo, os métodos e as leis já estudados podem ser usados para nossas
futuras análises. Circuitos de corrente alternada estão presentes em toda a
rede elétrica de distribuição, na grande maioria das indústrias e nos grandes
sistemas elétricos de potência.
Cálculos de Potência
A potência é o valor mais importante em sistemas de energia elétrica,
eletrônicos e de comunicação, pois envolve a transmissão de energia de um
ponto para outro.
CA
CA
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Estudaremos a potência instantânea e a potência média de um sistema.
Para Sadiku,   Musa e Alexander (2014), a potência instantânea é a potência
em qualquer instante, medida em watts, logo, ela é a taxa na qual um
elemento absorve energia. Esta é dada pela seguinte equação:
 (4.28)
sendo a tensão e a corrente elementos que variam com o tempo, a
potência instantânea também apresenta esse comportamento, portanto, é
difícil de ser medida.
A potência média é a média da potência ao longo de um período, medida em
watts, logo, fazendo a análise matemática do mesmo, em um período. Tendo
os componentes em , chegaremos à seguinte equação:
 (4.29)
Em que e são os ângulos de defasagem da tensão e corrente,
respectivamente.
reflita
Re�ita
Sabendo que existem correntes
alternadas e correntes contínuas e
que a análise de sistemas de correntes
contínuas é mais simples, por que
todo o sistema de distribuição de
energia elétrica aos consumidores é
baseado em corrente alternada?
p (t) = v (t) i (t)
v(t) i(t)
CA
P = Re [V I∗] = cos ( − )12
1
2 VmIm θv θi
θv θi
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Sabendo que essa equação implica em um circuito puramente resistivo, pois
esse tipo de carga sempre absorve potência, enquanto uma carga reativa (
ou ) não absorve nenhuma potência média.
praticar
Vamos Praticar
Sabemos que a frequência mais comumente utilizada pelas concessionárias de
energia no mundo são 50 Hz e 60 Hz, a COPEL, concessionária de energia elétrica do
estado do Paraná, utiliza a frequência de 60 hz em suas redes e a tensão entre fase-
fase para consumidores de baixa tensão de 220 volts. Dada uma tensão = 120
 (377 +45°) e uma corrente = 10 (377 -10°) , determine a potência
instantânea.
a) = 344,2 + 377 (754 +35°) .
b) = 344,2 + 344,2 (754 +35°) .
c) = 377 + 377 (377 +35°) .
d) = 344,2 + 600 (754 +35°) .
e) = 344,2 + 377 (377 +377°) .
L
C
v(t)
cos t V i(t) cos t A
P (t) cos t W
P (t) cos t W
P (t) cos t W
P (t) cos t W
P (t) cos t W
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indicações
Material
Complementar
FILME
O jogo da imitação
Ano : 2014
Comentário : O �lme mostra como foi desenvolvido o
primeiro computador. Esse é um princípio prático da
aplicação de diversos tipos de circuitos elétricos; o
mesmo ocorre durante a segunda guerra mundial.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a
seguir.
TRA ILER
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LIVRO
Fundamentos de circuitos elétricos
Editora : Bookman
Autor : Sadiku
ISBN : 978-85-8055-173-0
Comentário : Livro que contém análises profundas
sobre diversos modelos de circuitos, que é
extremamente necessário para um bom entendimento
do tema. O aprofundamento do estudo de análises em
corrente alternada é extremamente interessante, logo,
deve-se focar a partir da parte 2 do livro.
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conclusão
Conclusão
Aprendemos como fazer associação de circuitos com dois armazenadores de
energia diferentes, conseguindo identi�car que, para realizar a análise da
resposta desses circuitos, chegamos a derivadas de segunda ordem, em que
precisamos utilizar métodos matemáticos para solucionar. Após essa
veri�cação, vimos as particularidades das associações em série ou em
paralelo desses componentes e seguimos uma análise em que se gera um
modelo genérico para a realização desses tipos de análises, e�cientes para
ambos os casos.
Depois, foram introduzidas análises de circuitos de corrente contínua, sendo
apresentados a senoidal, os fasores e cálculos de potência instantânea e
média nesses circuitos.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos . 5.
ed. São Paulo: Editora Bookman, 2013.
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NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos . 8. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
SADIKU, M. N. O.; MUSA S. M.; ALEXANDER C. K. Análise de circuitos
elétricos com aplicações . 5. ed. São Paulo: Editora AMGH Editora, 2014.
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