Análise de Circuitos (UniFatecie)

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EduFatecie
E D I T O R A
ANÁLISE DE CIRCUITOS
Professor Me. Lucas Delapria Dias dos Santos
 REITOR Prof. Ms. Gilmar de Oliveira
 DIRETOR DE ENSINO PRESENCIAL Prof. Ms. Daniel de Lima
 DIRETORA DE ENSINO EAD Prof. Dra. Giani Andrea Linde Colauto 
 DIRETOR FINANCEIRO EAD Prof. Eduardo Luiz Campano Santini
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 SECRETÁRIO ACADÊMICO Tiago Pereira da Silva
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 COORDENAÇÃO DOS CURSOS - ÁREAS DE GESTÃO E CIÊNCIAS SOCIAIS Prof. Dra. Ariane Maria Machado de Oliveira
 COORDENAÇÃO DOS CURSOS - ÁREAS DE T.I E ENGENHARIAS Prof. Me. Arthur Rosinski do Nascimento
 COORDENAÇÃO DOS CURSOS - ÁREAS DE SAÚDE E LICENCIATURAS Prof. Dra. Katiúscia Kelli Montanari Coelho 
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 Kauê Berto
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 PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO André Dudatt
 Vitor Amaral Poltronieri
 ESTÚDIO, PRODUÇÃO E EDIÇÃO André Oliveira Vaz 
 DE VÍDEO Carlos Henrique Moraes dos Anjos 
 Pedro Vinícius de Lima Machado
 
 
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 Zineide Pereira dos Santos
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 SETOR TÉCNICO Fernando dos Santos Barbosa
 FICHA CATALOGRÁFICA
 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP
S237a Santos, Lucas Delapria dos
 Análise de circuitos / Lucas Delapria dos Santos.
 Paranavaí: EduFatecie, 2023.
 107 p.: il. Color.
 ISBN 978-65-5433-046-6 
1. Circuitos elétricos. 2. Circuitos magnéticos. I. Centro 
 Universitário UniFatecie. II. Núcleo de Educação a
 Distância. III. Título. 
 
 
 CDD: 23 ed. 621.3195
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577
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AUTOR
Professor Me. Lucas Delapria Dias dos Santos
 ● Mestre Bioenergia e energias renováveis pela UEM – Universidade Estadual de 
Maringá. 
 ● Bacharel em Engenharia Elétrica pela UEM – Universidade Estadual de Maringá.
 ● Bacharel em Engenharia de Produção pela Unicesumar.
 ● Especialista em Engenharia de segurança do trabalho pela Universidade 
Cândido Mendes.
 ● Especialista em Gestão da qualidade pela UniFCV.
 ● Professor Formador EAD – Unicesumar.
 ● Tutor EAD Unicesumar.
Vasta experiência com projetos elétricos de sistemas fotovoltaicos, instalações 
prediais e em obras de subestações e linhas de transmissão de 69 a 550 kV. Atuo 
na área da docência desde 2018, já tendo elaborado materiais didáticos, banco de 
questões, vídeo aulas e podcasts para diversos centros universitários, além de ser 
professor formador dos cursos de engenharia da Unicesumar desde 2020. 
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/2332132875006556 
http://lattes.cnpq.br/2332132875006556 
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Seja muito bem-vindo (a)!
Prezado (a) aluno (a), se você se interessou pelo assunto desta disciplina, isso já é 
o início de uma grande jornada que vamos trilhar juntos a partir de agora. Proponho, junto 
com você, construir nosso conhecimento sobre os conceitos fundamentais da estratégia de 
marketing, ou seja, os produtos e as marcas. Além de conhecer seus principais conceitos 
e definições, vamos explorar as mais diversas aplicações do desenvolvimento e gestão de 
marcas e produtos pelas organizações. 
Na unidade I começaremos a nossa jornada pelo conceito de produto, os dife-
rentes níveis que um produto pode possuir, bem como as classificações dos produtos e 
implicâncias nas decisões de compra dos consumidores. Esta noção é necessária para 
que possamos trabalhar a segunda unidade do livro, que versará sobre o desenvolvimen-
to de novos produtos.
Já na unidade II vamos ampliar nossos conhecimentos sobre a concepção de 
produtos. Para isso, vamos detalhar cada uma das etapas para o desenvolvimento de um 
produto, para que serve a prototipagem e o pré-teste e, por fim, as funções da do designer 
e embalagens e sua classificação.
Depois, nas unidades III e IV vamos tratar especificamente da marca, sua con-
cepção (criação), o desenvolvimento do posicionamento e a gestão da marca, também 
conhecida como branding. Ao longo da unidade III, vamos destacar porque as marcas são 
tão importantes para o sucesso das empresas e também vamos conhecer as características 
para a criação de uma marca forte. Na unidade IV, vamos entender o papel da criação de 
valor para a satisfação do consumidor e sua fidelização. 
Aproveito para reforçar o convite a você, para junto conosco percorrer esta jornada 
de conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em 
nosso material. Esperamos contribuir para seu crescimento pessoal e profissional. 
Muito obrigado e bom estudo !
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
SUMÁRIO
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Plano de Estudos
• Leis da eletricidade;
• Associação de resistores, capacitores e indutores;
• Fontes independentes e dependentes.
Objetivos da Aprendizagem
• Conceituar e contextualizar as leis da eletricidade;
• Compreender o método de associação de resistores, 
 capacitores e indutores;
• Estabelecer a importância das fontes dependentes
 e independentes.
1UNIDADEUNIDADE
INTRODUÇÃO ÀINTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE ANÁLISE DE 
CIRCUITOSCIRCUITOS
Professor Me. Lucas Delapria Dias Dos Santos
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Olá, aluno (a), tudo bem?
Seja bem-vindo (a) ao primeiro capítulo do nosso material de Análise de Circui-
tos.repentinamente retirada do circuito e a energia do 
capacitor é entregue a um ou mais resistores a ele associados.
A seguir, vamos dividir nossa análise em duas etapas: Circuitos com fonte de ten-
são e, posteriormente, sem fontes de tensão. Apesar de utilizarmos fontes de tensão nas 
análises, é possível também fazê-las com fontes de corrente.
1.1 Circuito RC com Fonte de Tensão
Na Figura 1, temos um circuito RC associado a uma fonte de tensão. Neste circuito, 
o valor de tensão Vs é constante e uma corrente irá variar no tempo para carregar o capa-
citor C através do resistor R. Contudo, para este circuito, fica difícil estabelecer o momento 
exato em que a corrente começa a fluir pelo resistor até chegar ao capacitor. Para isso, 
iremos adicionar uma chave ideal ao circuito RC para ilustrar esta dinâmica.
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 1 CIRCUITOS DE
 PRIMEIRA
 ORDEM
TÓPICO
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
FIGURA 01 – CIRCUITO RC
Fonte: O autor (2022).
Em termos de eletricidade, uma chave ideal simboliza um dispositivo teórico que 
tem a capacidade de interromper ou permitir a passagem de corrente elétrica pelos seus 
terminais, de forma perfeita, ou seja, sem perdas. Por definição, em uma chave ideal, quan-
do aberta, a corrente será nula. Agora quando esta estiver fechada, a tensão sobre ela será 
nula e a corrente será uma consequência dos demais elementos conectados ao circuito.
Seguindo para o circuito da Figura 2, o elemento S simboliza a chave ideal. A seta 
que atravessa a chave simboliza o movimento da chave e em qual momento este movimen-
to acontece.
FIGURA 02 – CIRCUITO RC COM UMA CHAVE S
Fonte: O autor (2022).
Descrevendo a dinâmica do circuito: no tempo t = 0 , a chave passa instantanea-
mente da posição aberta para a fechada, conectando a fonte Vs ao resistor e capacitor, 
permitindo a passagem de corrente.
Aplicando LKT no circuito após o fechamento da chave (t > 0 ), temos
 
58UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Você pode acompanhar todo o desenvolvimento matemático das derivadas e inte-
grais em nosso livro base. O intuito aqui é chegar em uma equação matemática que nos 
ajude a resolver problemas relacionados a circuitos de primeira ordem.
Dessa forma, ao final da resolução das equações (1) e (2), teremos que a equação 
dê a tensão no capacitor durante a carga é:
Em que Vc é a tensão no capacitor em função do tempo, Vs é a tensão cc da fonte 
(ou valor final), V0 é a tensão cc armazenada no capacitor até o instante t0 (ou tensão 
inicial), R é a resistência série com o capacitor e C é a capacitância.
Um caso particular acontece quando o capacitor está totalmente descarregado no 
instante t = t0 , ou seja, V0 = 0. Desta forma, podemos simplificar a Equação (3)
Em ambas as equações (3) e (4) aparece um coeficiente que divide o tempo t, a 
constante de tempo ꞇ, onde
Desta forma, podemos reescrever as equações (3) e (4)
Em que ꞇ é a constante de tempo do circuito RC, medida em segundos, R é a 
resistência em Ω e C é a capacitância em farads.
O conceito da constante de tempo t apresenta um parâmetro importante na análise 
de circuitos RC. Uma vez que conhecemos este parâmetro, podemos estimar qual o tempo 
necessário para a tensão do capacitor atingir um valor de interesse. A Tabela 1 relaciona 
esses valores a partir da equação (7). Na Figura 3 está ilustrada a curva de carga de um 
capacitor.
59UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
TABELA 01 - RELAÇÃO DA CARGA DO CAPACITOR EM 
RELAÇÃO AOS VALORES DE T MÚLTIPLOS DE ꞇ
Fonte: O autor (2022).
FIGURA 03 – COMPORTAMENTO DA TENSÃO DO CAPACITOR EM RELAÇÃO AO VALOR DE T
Fonte: O autor (2022).
1.1.1 Circuito Rc sem Fonte de Tensão
A segunda situação que estudaremos acontece quando um capacitor é carregado 
por uma fonte de tensão e, em um momento posterior, a fonte independente é retirada e o 
capacitor é descarregado de maneira natural nos demais elementos passivos do circuito. 
A Figura 4 ilustra o circuito com um capacitor C e um resistor R. A seta atravessando 
a chave S simboliza a sua abertura, desconectando a fonte Vs do circuito RC.
FIGURA 04 – CIRCUITO RC SEM FONTE
Fonte: O autor (2022).
60UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Entende-se que, no exato momento anterior à abertura da chave S, o capacitor está 
carregado com tensão Vs. Após a abertura da chave, a energia acumulada pelo capacitor 
será dissipada pelo resistor R. Dessa forma, podemos dizer que o capacitor atua momen-
taneamente como uma fonte de energia. 
O comportamento da tensão no capacitor é o inverso da estudada anteriormente: a 
tensão decai exponencialmente após partir de um valor máximo. Matematicamente, pode-
mos assumir que na junção entre o capacitor e o resistor temos um nó e aplicamos LKC e 
as mesmas técnicas de desenvolvimento do tópico anterior, teremos que:
O comportamento da tensão no capacitor dado pela equação (8) é mostrado na 
Figura 5.
FIGURA 05 - COMPORTAMENTO DA TENSÃO NO CAPACITOR 
DURANTE A DESCARGA EM RELAÇÃO AO VALOR DE ꞇ
Fonte: O autor (2022).
1.2 Circuitos RL
De forma análoga ao circuito RC, vamos analisar o circuito com Resistores e Indu-
tores, chamado de Circuito RL. Vejamos.
O indutor é, assim como o capacitor, um armazenador de energia e, portanto, a 
dinâmica do circuito RL é semelhante ao do circuito RC, contemplando as situações: 
1. Quando uma fonte cc é conectada repentinamente ao circuito, fornece energia 
ao indutor, que se carrega. 
2. Quando uma fonte cc é desconectada repentinamente do circuito e a energia do 
indutor é entregue à rede de componentes conectados a ele. 
61UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Vamos, a seguir, separar nossa análise em duas etapas: Circuitos RL com fonte de 
tensão e, posteriormente, Circuito RL sem fonte de tensão.
1.2.1 Circuito RL com fonte de tensão
A Figura 6 mostra um circuito RL alimentado por uma fonte de tensão independente. 
A tensão constante da fonte Vs fornece uma corrente que irá variar no tempo até carregar 
totalmente o indutor L e atingir a estabilidade. Para facilitar a compreensão do momento em 
que os eventos acontecem, vamos utilizar o conceito de chave ideal.
FIGURA 06 - CIRCUITO RL COM FONTE DE TENSÃO
Fonte: O autor (2022).
A Figura 7 mostra o circuito RL da Figura 17 com a adição de uma chave ideal.
FIGURA 7 - CIRCUITO RL COM FONTE DE TENSÃO E CHAVE S
Fonte: O autor (2022).
A partir do instante em que a chave S se fecha, uma corrente Is flui através do re-
sistor e do indutor. A seguir, vamos descrever o comportamento do circuito. Aplicando LKT 
no circuito após o fechamento da chave S e realizando os desenvolvimentos necessários, 
teremos que:
62UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Em que iL é a corrente no indutor em função do tempo, iS é o valor máximo da 
corrente cc fornecida pela fonte (ou valor final), i0 é a corrente cc armazenada no indutor 
até o instante t0 (ou corrente inicial), R é a resistência série com o indutor e L é a indutância. 
Assim como fizemos na equação (9) para o capacitor, temos que ꞇ = L/R.
Assim, podemos reescrever a equação que define a corrente no indutor como:
Caso o indutor não tenha corrente armazenada em t = 0, podemos simplificar a 
equação:
Perceba que, se substituirmos a fonte de tensão Vs no circuito da Figura 7 por uma 
fonte de corrente Is, a equação se manterá. 
A Tabela 1 também é válida para os circuitos RL. Perceba que o comportamento da 
corrente no indutor é semelhante ao comportamento da tensão no capacitor.
FIGURA 08 – COMPORTAMENTO DA CORRENTE NO INDUTOR EM RELAÇÃO AO VALOR DE T
Fonte: O autor (2022).
63UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
1.2.2 Circuito RL sem Fonte de Tensão
Assim como no tópico “Circuito RC sem Fonte de Tensão”, em que analisamos o 
circuito RC sem uma fonte de alimentação, faremos o mesmo com o circuito RL. Neste 
caso, a fontede tensão será retirada e a energia armazenada no indutor se dissipará nos 
outros elementos do circuito que L está inserido. A Figura 9 mostra o circuito com um 
indutor L e um resistor R. A seta atravessando a chave S simboliza a sua abertura, a qual 
desconecta a fonte Vs do circuito.
FIGURA 09 - CIRCUITO RL SEM FONTE
Fonte: O autor (2022).
O comportamento da corrente a partir do instante da abertura da chave S é inverso 
ao do gráfico da Figura 9, ou seja, ela decai exponencialmente após partir de um valor 
máximo. Isso é mostrado na Figura 10.
FIGURA 10 - COMPORTAMENTO DA TENSÃO NO CAPACITOR
 DURANTE A DESCARGA EM RELAÇÃO AO VALOR DE T
Fonte: O autor (2022).
Na próxima unidade, trataremos de algumas situações em que os três componentes 
estarão, de alguma forma, associados, os chamados RLC.
64UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
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No tópico 1, estudamos aqueles circuitos que possuem, além de um resistor, ape-
nas um elemento armazenador: capacitor ou indutor. Agora, abordaremos circuitos com 
dois elementos armazenadores no mesmo circuito. 
O resultado da análise será, equações com derivadas segundas, também conhe-
cidas como circuitos de segunda ordem. Apesar de circuitos com dois capacitores ou com 
dois indutores também serem circuitos de segunda ordem, exploraremos com mais ênfase 
aqueles com um capacitor e um indutor. 
A análise destes circuitos será semelhante àquela aplicada aos circuitos anteriores: 
uma chave altera a alimentação do circuito que dará início a um comportamento transitório 
da tensão e da corrente nos elementos até atingir novamente a estabilidade. 
Valor inicial (V0 ou I0) é um valor estável (cc) nulo ou armazenado pelo capacitor, ou 
indutor antes da etapa transitória do circuito. Valor final (V∞ ou I∞) é um valor estável (cc) 
nulo ou armazenado pelo capacitor, ou indutor, momentos após a etapa transitória do circuito.
É importante entendermos que os valores iniciais e finais ocorrem antes e depois 
do período transiente.
“Um capacitor sem variação de tensão (cc estável) é entendido como um circuito 
aberto. Um indutor sem variação de corrente (cc estável) é entendido como um curto-circui-
to.” (Alexander e Sadiku, 2013, p. 278)
Para exemplificar, vamos determinar os valores iniciais e finais da tensão no capa-
citor e da corrente no indutor do circuito RLC da Figura 11.
65
 2 CIRCUITOS DE
 SEGUNDA ORDEM
TÓPICO
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Considere que a chave S1 ficou fechada por um longo período de tempo e em t = 
0 abriu.
FIGURA 11 - CÁLCULO DOS VALORES INICIAIS E FINAIS
Fonte: O autor (2022).
Vamos dividir a análise para encontrar os valores iniciais e finais em duas etapas: 
• Antes da abertura da chave, em que o instante t=0- significa o exato momento 
anterior à mudança de estado da chave.
• E em uma segunda etapa, muito tempo após a abertura (em t=∞).
Analisando o circuito da Figura 11, a chave está fechada e a fonte de tensão de 
12 V está conectada aos elementos. Logo, o capacitor e o indutor estão completamente 
carregados e estabilizados. Sabemos que o capacitor é, em cc, entendido como um circuito 
aberto. Da mesma forma, dizemos que um indutor é, em cc, um curto-circuito. Com essas 
definições, podemos refazer o diagrama da Figura 12:
FIGURA 12 – CIRCUITO EQUIVALENTE EM T = 0-
Fonte: O autor (2022).
66UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Perceba que, uma vez que o capacitor é entendido como um circuito aberto, o 
resistor de 500 Ω não é mais percorrido por corrente, portanto, não apresenta queda de 
tensão, podendo ser desconsiderado da análise, neste momento.
A corrente iL(0-) será a própria corrente que sairá da fonte em um único caminho por 
meio dos resistores de 800 Ω e 400 Ω.
e a tensão Vc0- será a tensão sobre o resistor de 400 Ω
Assim, já determinamos os valores iniciais de tensão no capacitor e corrente no 
indutor.
O próximo passo é determinar os valores finais para as mesmas variáveis. Para isso, 
devemos considerar que a chave S1 mudou de estado (abriu) e a fonte de 12V foi desconec-
tada do circuito. Logo, as fontes de energia serão o capacitor e o indutor. Independentemente 
do valor da energia armazenada, em algum momento estes valores serão reduzidos a zero. 
Logo, os valores finais de tensão no capacitor e corrente no indutor serão nulos:
67UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
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Muitas vezes devemos criar sistemas lineares para resolver problemas de circuitos 
elétricos. Neste contexto, realizar operações com funções trigonométricas, como seno e cos-
seno, pode não ser muito conveniente. Uma alternativa para esta questão é aplicar Fasores. 
Desta forma, iremos nos deparar com operações matemáticas mais simples quando traba-
lhamos com fasores em vez de funções seno ou cosseno. “Um Fasor é um número complexo 
que contém a amplitude e a fase de uma senóide.” (Alexander e Sadiku, 2013, p. 335).
Antes de adentrarmos ao mundo dos fasores, temos que entender o que são senóides. 
Uma senóide representa um sinal elétrico alternado que respeita a função trigono-
métrica seno ou cosseno e é a forma natural da conhecida corrente alternada. Apesar de 
existirem vários outros aspectos, a forma senoidal é a mais aplicada e toda esta seção é 
baseada neste modelo. 
A forma senoidal da corrente ou tensão elétrica é comumente percebida, pois é o 
resultado natural do movimento circular de um gerador elétrico de uma usina hidrelétrica, 
por exemplo. Da mesma forma, quando aplicada a máquinas elétricas como motores de in-
dução, cria naturalmente campos eletromagnéticos girantes responsáveis pelo movimento 
circular desses dispositivos. 
A Figura 13 ilustra uma senóide e suas características. Perceba que, tomando como 
referência qualquer ponto da forma de onda, obteremos o mesmo valor a uma distância “T”, 
seja ela para a direita ou esquerda. Além disso, podemos identificar o seu valor máximo, 
o qual chamamos de Amplitude, simbolizada por Vs . Note que o módulo do valor máximo 
também aparece como valor mínimo. Isso porque a onda é puramente alternada, ou seja, 
não possui componente CC.
68
 3 ESTUDO DE CIRCUITOS 
 EM REGIME PERMANENTE
 SENOIDAL
TÓPICO
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
FIGURA 13 - CARACTERÍSTICAS DE UMA SENÓIDE
Fonte: O autor (2022).
A forma de onda da senóide pode ser expressa na forma de equação:
Em que v(t) representa uma senóide de tensão que varia no tempo, VS representa a 
amplitude do sinal alternado e t, o tempo medido em segundos. Para obter o entendimento 
completo das manipulações matemáticas e acrescentar certa simplicidade na análise, é 
comum expressarmos a senóide da seguinte forma:
Em que ω é conhecida como frequência angular medida em radianos por segundo 
(rad/s). Podemos obter a frequência angular em função da frequência em hertz, fazendo:
Operando a função seno ou cosseno em radianos,podemos definir que todo ciclo 
completo de uma onda senoidal possui o período de 2π radianos. Assim, não se faz neces-
sário trabalhar matematicamente com a unidade segundos, o que torna mais simples as 
operações matemáticas com estes sinais. 
Na Figura 14, ilustramos a função seno em função de ωt:
69UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
FIGURA 14 – ESBOÇO DO SINAL DE V EM FUNÇÃO DE ΩT
Fonte: O autor (2022).
Outro parâmetro importante de uma senóide é o ângulo de fase ou simplesmente 
fase. A fase ɸ representa o deslocamento horizontal que a onda apresenta. Na Figura 15, 
as senóides estão defasadas, em que v2(ωt) está adiantada em relação à v1(ωt) por um 
deslocamento ɸ. Neste caso, escrevemos as senóides como:
FIGURA 15 - ONDAS SENOIDAIS DEFASADAS POR ɸ
Fonte: O autor (2022).
70UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
É importante destacar que ɸ representa um ângulo e deve ser expresso de acordo 
com a variável cuja senóide está em função. Por exemplo, se estamos expressando o 
período completo como 2π radianos, logo ɸ deve ser expresso em radianos. Contudo, é 
comum que o ângulo de fase seja expresso em graus. Logo, é necessário converter ωt em 
graus caso deseje somar os valores.
A relação entre uma senóide z(t) e um fasor Z é a seguinte:
Em que A representa a amplitude (valor máximo) da senóide e também o módulo 
do fasor Z, ω é a frequência angular e ɸ o ângulo de fase. 
Perceba que as variáveis frequência angular e tempo não são representadas na 
forma fasorial. Isto porque quando trabalhamos com fasor, devemos compreender que 
estamos analisando um comportamento em regime permanente, ou seja, estável. Além 
disso, entende-se que a frequência também não sofrerá alterações. 
Um detalhe importante é que só podemos realizar operações entre fasores para 
aqueles sinais que possuem a mesma frequência. Para converter uma senóide em fasor, 
vamos adotar como convenção que a função no tempo deve sempre estar na forma de 
cosseno positivo. Para converter de uma função, seno para cosseno, basta seguirmos a 
relação a seguir:
QUADRO 01 - CONVERSÃO DE SENÓIDES NA FORMA DE COSSENO POSITIVO
Fonte: O autor (2022).
Exemplo: Converta para fasor as senóides a seguir
71UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
Solução 
a) Primeiro, devemos expressar a senoide na forma de cosseno:
Em seguida, utilizar a forma de cosseno para obter o módulo e o ângulo
b) 
c) 
3.1 Tensão e Corrente Senoidais em um Resistor
Se considerarmos que um resistor R, percorrido por uma corrente senoidal i(ωt) , 
tal que:
Em que Ip é a amplitude da senoide e ɸ o ângulo de fase, a tensão nos terminais 
desse resistor pode ser encontrada aplicando a Lei de Ohm:
Perceba que o ângulo de fase da tensão resultante é o mesmo da corrente aplicada 
ao resistor. Neste caso, dizemos que a tensão e a corrente no resistor estão em fase. 
Isto porque a relação entre a corrente e a tensão em um resistor é a multiplicação pela 
constante R.
No domínio fasorial, teremos:
em que:
72UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
3.2 Tensões e Correntes Senoidais em um Indutor
No domínio fasorial, podemos escrever a tensão no indutor como:
e como o fasor de corrente é:
Temos:
3.3 Tensões e Correntes Senoidais em um Capacitor
No domínio fasorial, podemos escrever a corrente no capacitor como
e como o fasor de tensão é:
Temos:
73UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
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Quando pensamos no estudo da potência em corrente alternada, essencialmente 
estamos falando em analisar correntes e tensões senoidais. Os valores de tensão e corren-
te em um elemento estão variando no tempo e a potência instantânea é aquela cujo valor 
é dependente do tempo. 
Vamos considerar um elemento sendo abastecido por uma fonte de corrente alter-
nada. Esta potência é entregue pelo sistema de alimentação e pode ser calculada como o 
produto entre a tensão v t - entre os terminais do elemento e a corrente i(t) que o atravessa:
Em que p(t) representa a potência instantânea.
FIGURA 16 - CORRENTE E TENSÃO EM UMA IMPEDÂNCIA
Fonte: O autor (2022).
74
 4 ANÁLISE DE 
 POTÊNCIA EM
 CIRCUITOS CA
TÓPICO
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
A potência instantânea é o produto das senóides de tensão e corrente em um 
elemento e pode ser calculada em qualquer instante, medida em watts (W). O sentido da 
corrente e a polaridade da tensão indicam se a potência é absorvida ou fornecida pelo 
elemento. Podemos dizer que:
Perceba que a potência mostrada na acima contém duas componentes: a primeira 
não possui a variável t, portanto, não depende do tempo. A segunda possui a variável t 
dentro do cosseno e varia com o tempo, mais precisamente com o dobro da frequência das 
senóides de tensão e corrente.
4.1 Potência Média
A potência instantânea varia no tempo e é difícil de medir. A potência média não 
depende do tempo, portanto é mais conveniente de ser medida. A média de uma onda de 
tensão e corrente puramente senoidal é nula. Contudo, percebemos que a média da onda 
de potência pode não ser nula. 
A potência média é aquela especificada nos equipamentos como motores e eletro-
domésticos, sendo esse o valor medido pelo wattímetro.
A potência média pode ser calculada por:
Em que P é a potência média, em watts , Vp representa o valor de pico da onda de 
tensão, Ip é o valor de pico da senóide de corrente, ɸv é o ângulo de fase da tensão e ɸi é o 
ângulo de fase da corrente. Vimos, anteriormente, que para analisar circuitos em corrente 
alternada é conveniente trabalhar com fasores. A forma fasorial das senóides de tensão e 
corrente são, respectivamente.
e podemos representar P em função dos fasores:
75UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
4.1.1 Potência Média em um Resistor, Capacitor e indutor
Como vimos, a relação tensão-corrente é dada pela constante R e não altera a 
relação de fase entre as variáveis. Portanto, dizemos que, para um resistor, a tensão e a 
corrente sempre estão em fase ou ɸv= ɸi . Logo, para o cálculo da potência, temos:
Para o capacitor ou para o indutor, vimos que a relação entre a tensão e a corrente 
são defasadas em 90°, em que ɸv - ɸi = ±90 . Podemos afirmar que a potência média em um 
resistor é sempre máxima enquanto para capacitores e indutores a potência média é zero.
Exemplo: Uma impedância Z=10+j10 possui uma tensão em seus terminais igual 
a v(t)=100cos cos (377t + 120°) V . Determine a expressão da potência instantânea e o 
valor da potência média absorvida neste elemento. 
Solução: 
O ângulo e o módulo da carga são, respectivamente:
então, podemos concluir que a corrente i(t) pode ser expressa como:
A potência instantânea pode ser escrita como:
A potência média é determinada por:
76UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
77UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II 77
O mundo em que vivemos hoje não seria possível sem os avanços que a tecnologia de corrente alternada 
nos proporcionou. Geradores e motores elétricos, sistemas de transmissão e distribuição de energia, além 
dos eletrodomésticos, usam em grande maioria tensões e correntes variantes no tempo. Isso graças a um 
engenheiro eletricista austríaco que viveu entre o final do século XIX e o início do século XX: Nikola Tesla. 
Dentre suas principais invenções, destaca-se o motor de indução e os transformadoresde alta tensão. 
Tesla viveu na mesma época que outro grande inventor do mundo da eletricidade, Thomas Edison e juntos 
firmaram a chamada “guerra das correntes”, em que Edison defendia os sistemas baseados em correntes 
contínuas, chegando a fazer campanhas contra os sistemas CA, criado por Tesla. Após se associar a George 
Westinghouse, um engenheiro e grande empresário americano, Tesla construiu a primeira usina hidrelétri-
ca moderna, tecnologia que usamos até hoje. 
Fonte: SESI PARANÁ. A guerra das correntes. Disponível em: https://www.sesipr.org.br/idiomas/a-guerra-das-
-correntes-1-19487-221944.shtml#:~:text=A%20Guerra%20das%20Correntes%20 Acesso em: 07 jul. 2022.
A frequência f de uma onda alternada representa o número de vezes que o sinal se repetiu no intervalo de 
um segundo, medida em hertz (Hz). 
Fonte: Dorf e Svoboda (2013, p. 427).
https://www.sesipr.org.br/idiomas/a-guerra-das-correntes-1-19487-221944.shtml#:~:text=A%20Guerra%20das%20Correntes%20
https://www.sesipr.org.br/idiomas/a-guerra-das-correntes-1-19487-221944.shtml#:~:text=A%20Guerra%20das%20Correntes%20
78
Nesta unidade, caro aluno (a), nos aprofundamos um pouco mais nas análises de 
circuitos, onde introduzimos os elementos capacitivos e indutivos em nossos circuitos. 
Como foi visto, estes elementos armazenadores de energia mudam completa-
mente o equacionamento dos circuitos, tornando-os mais complexos de resolverem. Além 
disso, ao decorrer desta unidade aprendemos que as relações de fase nos elementos são 
extremamente importantes para o entendimento do comportamento dos circuitos em CA. 
É também interessante destacar que este ângulo entre a tensão e a corrente sobre os 
elementos não depende de seus valores das amplitudes das senóides. 
Espero que você tenha entendido como se analisar circuitos de primeira ordem (RL 
e RC) e circuitos de segunda ordem (RLC). 
Nos vemos na próxima unidade !
CONSIDERAÇÕES FINAIS
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
79
Como leitura complementar, indico o artigo “Análise De Circuito Elétrico Rlc De Se-
gunda Ordem”, escrito pelos pesquisadores, Manoel Lucas Dantas dos Santos e Idalmir de 
Souza Queiroz Júnior. Neste artigo, os autores trazem uma abordagem através de software 
para a resolução de problemas envolvendo circuitos elétricos e equações de primeira e 
segunda ordem. Vale a pena conferir!
Fonte: DOS SANTOS, M. L. D; JÚNIOR, I. S. Q. Análise de Circuito Elétrico RLC 
de Segunda Ordem. Universidade Federal Rural do Semiárido – UFERSA. Curso de 
Bacharelado em Ciência e Tecnologia, 2017. Disponível em: https://repositorio.ufersa.edu.
br/bitstream/prefix/4572/1/ManoelLDS_ART.pdf Acesso em: 05 jul. 2022. 
LEITURA COMPLEMENTAR
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
https://repositorio.ufersa.edu.br/bitstream/prefix/4572/1/ManoelLDS_ART.pdf
https://repositorio.ufersa.edu.br/bitstream/prefix/4572/1/ManoelLDS_ART.pdf
80
LIVRO
Título: Análise Básica de Circuitos para Engenharia
Autor: J. David Irwin e R. Mark Nelms.
Editora: LTC.
Sinopse: Análise Básica de Circuitos de Engenharia é considera-
da uma fonte confiável para os cursos de engenharia elétrica e 
afins. Os principais conceitos são explicados claramente e ilus-
trados, o que permite que os alunos trabalhem com problemas 
semelhantes e comparem seus resultados com as respostas 
fornecidas.
FILME / VÍDEO 
Título: Catching the Sun
Ano: 2015.
Sinopse: Talvez o documentário mais disseminado sobre 
energia solar até hoje, ele mostra as histórias de trabalhado-
res americanos desempregados em busca de recolocação no 
mercado de energia solar, em Richmond, na Califórnia. Sua 
saga é entrelaçada com a de um ativista do Partido do Chá, 
assim como a de empresários chineses em busca de liderança 
mundial na direção de um futuro de energia limpa. A cineasta 
e ativista ambiental Shalini Kantayya, procura encontrar as res-
postas para questões sobre como construir uma economia de 
energia limpa e renovável, a partir do olhar dos trabalhadores 
envolvidos com essa atividade.
MATERIAL COMPLEMENTAR
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
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Plano de Estudos
• Circuitos Polifásicos;
• Circuitos Acoplados Magneticamente;
• Frequência Complexa;
• Análise de Circuitos usando transformada de Laplace.
Objetivos da Aprendizagem
• Conceituar e contextualizar circuitos polifásicos;
• Compreender o que são os circuitos acoplados 
 magneticamente;
• Entender como se aplica a frequência complexa;
• Realizar análises de circuitos usando 
 transformada de Laplace.
4UNIDADEUNIDADE
 CIRCUITOS CIRCUITOS
 MAGNÉTICOS MAGNÉTICOS
 E ESTUDOS DE E ESTUDOS DE
 FREQUÊNCIAS FREQUÊNCIAS
Professor Me. Lucas Delapria Dias dos Santos
82
Eletromagnetismo é o ramo da engenharia elétrica (ou da física) que lida com aná-
lise e aplicação de campos elétricos e magnéticos. Veremos, em eletromagnetismo, que a 
análise de circuitos elétricos é aplicada em baixas frequências.
Os princípios do eletromagnetismo (EM) são aplicados em várias disciplinas afins, 
como máquinas elétricas, conversão de energia eletromecânica, meteorologia com uso de 
radares, sensoriamento remoto, comunicação via satélite, bioeletromagnetismo, compatibi-
lidade e interferência eletromagnética, plasmas e fibra óptica. Entre os dispositivos eletro-
magnéticos, temos motores e geradores elétricos, transformadores, eletroímãs, levitação 
magnética, antenas, radares, fornos de micro-ondas, antenas parabólicas de micro-ondas, 
supercondutores e eletrocardiogramas. O projeto desses dispositivos requer um conheci-
mento abrangente das leis e dos princípios dessa área.
Eletromagnetismo é considerado uma das disciplinas mais difíceis da engenharia 
elétrica. Uma razão para tal é que os fenômenos eletromagnéticos são bastante abstra-
tos. Mas, se a pessoa gostar de matemática e for capaz de visualizar o invisível, deveria 
considerar a possibilidade de se tornar um especialista em eletromagnetismo, já que 
poucos engenheiros elétricos se especializam nessa área, e os que se especializam são 
necessários na indústria de micro-ondas, estações de rádio/TV, laboratórios de pesquisa 
em eletromagnetismo e vários outros setores da comunicação.
INTRODUÇÃO
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
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Chegamos à última e não menos importante unidade de nosso estudo de funda-
mentos de Circuitos Elétricos. O estudo dos sistemas trifásicos é amplo e o objetivo desta 
seção é apresentar um parecer geral que possibilite análises avançadas no futuro. Iniciare-
mos apresentandoa estrutura básica de um sistema trifásico e, em seguida, analisaremos 
um circuito trifásico balanceado em diversas configurações.
Um gerador elétrico trifásico converte a energia da forma mecânica para energia 
elétrica. Esta energia mecânica pode ser proveniente da energia potencial das barragens 
em hidrelétricas, da energia cinética em parques eólicos ou mesmo do acoplamento de 
motores à combustão em geradores diesel.
Um gerador elétrico trifásico é constituído, basicamente, por um rotor que gira 
envolto por um estator. O estator é formado por três ou mais grupos de bobinas chamados 
enrolamentos de armadura (a, b e c) dispostos 120° afastados uns dos outros, conforme 
mostrado na Figura 1. À medida que o eixo gira, três tensões são induzidas nas bobinas 
conforme a Lei de Faraday e o movimento rotacional do gerador dá origem à forma senoidal 
das tensões.
 1 CIRCUITOS
 POLIFÁSICOS
TÓPICO
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
FIGURA 01 – GERADOR TRIFÁSICO E TENSÕES SIMÉTRICAS
Fonte: O autor (2022).
Perceba que as três tensões senoidais têm a mesma amplitude e frequência, 
sendo diferentes apenas na fase. Estas tensões podem ser aproveitadas separadamente 
em circuitos monofásicos ou, de forma associada, nos circuitos trifásicos. Nesta unidade, 
daremos ênfase à última forma citada.
Usando como referência a fase a , as demais fases b e c são defasadas em 120° 
conforme o diagrama fasorial da Figura 2. Podemos escrever as três senoides da forma:
em que Vp , representa o valor de pico da senóide.
As defasagens apresentadas em (1) representam a sequência positiva que indica 
que a senoide b está atrasada 120° em relação a a e, consequentemente, a senoide c está 
atrasada 120° em relação à c . Este modelo é o mais usado e será o adotado por padrão, 
exceto se for citado o contrário.
84UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
FIGURA 02 – DIAGRAMA FASORIAL EM SEQUÊNCIA POSITIVA
Fonte: O autor (2022).
Podemos escrever as tensões trifásicas na forma de fasor:
O sistema formado pelas tensões geradas é dito balanceado, pois todas possuem 
o mesmo valor de amplitude e frequência, defasadas em 120°. Podemos provar o balan-
ceamento fazendo
Um sistema trifásico é, portanto, formado por três fontes de tensão que podem ser 
conectadas à carga por meio de três ou quatro fios a partir de uma linha de transmissão (ou 
barramento). As fontes de tensão podem ser ligadas de duas formas: configuração estrela 
(também chamada de Y) ou triângulo (também conhecida como delta). A Figura 3 mostra 
as duas formas de conexão.
85UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
FIGURA 03 – CONFIGURAÇÕES TRIFÁSICAS: (A) ESTRELA E (B) TRIÂNGULO 
Fonte: O autor (2022).
Cada uma das configurações do sistema trifásico implica em uma forma diferente 
de entregar as tensões e correntes à carga.
Na configuração estrela, você pode perceber que as correntes que atravessam as 
fontes de tensão são as mesmas aos terminais da linha de transmissão. Em contrapartida, 
a tensão entregue à linha de transmissão é a diferença entre as tensões nodais Va e Vb. 
Podemos determinar a tensão Vab fazendo
Em que
Neste caso, escrevemos:
86UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Então podemos concluir que a tensão entregue à linha de transmissão possui am-
plitude maior em um fator √3 e é adiantada em 30°. Vamos conferir no diagrama fasorial.
FIGURA 04 – DIAGRAMA FASORIAL DA FORMAÇÃO DA TENSÃO DE LINHA VAB 
Fonte: O autor (2022).
O mesmo vale para as tensões . Às tensões damos 
o nome de Tensões de Linha. As tensões são chamadas de Tensões de Fase.
Na configuração triângulo, as tensões das fontes já são as próprias tensões de 
linha. Em contrapartida, as correntes de linha não são as mesmas correntes que saem das 
fontes. A relação entre as correntes para a configuração triângulo é
Em que representa o ângulo entre a tensão e a corrente.
Da mesma forma que as fontes de tensão, as impedâncias de carga também podem 
ser configuradas em estrela ou triângulo. Isso irá depender da forma em que o circuito será 
aplicado. A Figura 5 ilustra as impedâncias ligadas em estrela e em triângulo. A conexão n 
se refere ao ponto neutro. Na conexão da carga, ele pode ou não ser conectado.
87UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
FIGURA 05 - CARGAS LIGADAS EM (A) ESTRELA E (B) TRIÂNGULO 
Fonte: O autor (2022).
Quando estamos lidando com um sistema em estrela equilibrada, a relação entre 
as impedâncias é:
Da mesma forma, para um sistema em triângulo, temos
Podemos converter um sistema de cargas em triângulo para estrela e vice-versa 
aplicando a transformação, já vista em disciplinas anteriores, temos:
E
A seguir, vamos analisar os circuitos unindo as fontes de tensão trifásicas às cargas 
trifásicas nas formas:
• Y - Y equilibrada. 
• Y - Δ equilibrada. 
• Δ - Δ equilibrada. 
• Δ - Y equilibrada.
88UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
1.1 Circuito Estrela-Estrela
Vamos começar nossas análises pelo circuito Estrela-Estrela equilibrado. Perce-
ba que, além das fontes de tensão, temos também a impedância série de cada gerador 
 . A conexão entre a carga e as fontes de tensão é uma impedância da linha . 
E a conexão do neutro é feita a partir da impedância de neutro, (BOYLESTAD, 2012)
FIGURA 06 - CIRCUITO ESTRELA-ESTRELA EQUILIBRADO 
Fonte: O autor (2022).
Quando consideramos um circuito equilibrado, temos:
Considerando as tensões fase em sequência positiva, temos
Como vimos, as tensões de entre linhas, ou simplesmente tensões de linha, são
Neste caso, como temos as fontes de tensão equilibradas, as correntes também 
terão mesma amplitude e diferença de fase de 120° entre si e, por consequência, a corrente 
no neutro In será nula para qualquer valor de .
89UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Uma vez que não há corrente circulando no neutro, podemos dizer que não há dife-
rença de potencial entre os nós n e N. Logo, a impedância de neutro Zn não cria nenhuma 
influência no circuito, podendo ser até removida da análise (BOYLESTAD, 2012).
Definindo que o circuito trifásico é totalmente balanceado, podemos analisá-lo por 
um circuito monofásico equivalente por fase, como indicado na Figura 7.
FIGURA 07 – CIRCUITO MONOFÁSICO EQUIVALENTE PARA A FASE A 
Fonte: O autor (2022).
Uma vez que temos, agora, um circuito em série, podemos encontrar a corrente Ia 
fazendo
de onde podemos simplificar fazendo
chegando a
Exemplo: Uma carga equilibrada em estrela com impedância de 5+j10 está co-
nectada a um gerador trifásico equilibrado e sequência positiva ligado em triângulo com 
que possui uma impedância série de por meio de uma linha de 
transmissão com impedância de . Calcule as correntes de linha, as tensões de 
linha entre os terminais de entrada da carga (A, B e C) e a corrente que atravessa cada 
impedância da carga (BOYLESTAD, 2012).
90UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Solução:
Com o sistema equilibrado, podemos calcular a impedância equivalente estrela 
fazendo
A corrente de linha será conforme
Como as tensões de fase complementares são
Então as correntes de linha serão:
Para calcular as tensões de linha no terminal de carga, fazemos
em que
e
resolvendo, chegamos a
A tensão de linha nos terminais da carga será
Ou, ainda, podemos fazer
91UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Então
Por fim, a corrente que atravessa a impedância de carga é a mesma corrente de linha
92UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
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93
Os circuitos estudados até agora podem ser considerados como acoplamento 
condutivo, pois afetam o vizinho pela condução de eletricidade. Quando dois circuitos com 
ou sem contatos entre eles se afetam por meio do campo magnético gerado por um deles, 
diz-se que são acoplados magneticamente.
Os transformadores são um dispositivo elétrico projetado tendo como base o 
conceito de acoplamento magnético, pois usam bobinas acopladas magneticamente para 
transferir energia de um circuito para outro. Também são elementos de circuito fundamen-
tais, utilizados em sistemas de geração de energia elétrica para elevar ou abaixar tensões 
ou correntes CA, assim como são usados em circuitos como receptores de rádio e televisão 
para finalidades como casamento de impedâncias, isolar uma parte de um circuito de outra 
e, repetido, elevar ou abaixar tensões ou correntes C.
Iniciaremos com o conceito de indutância mútua e introduziremos a convenção do 
ponto usada para determinar as polaridades das tensões de componentes acopladas indu-
tivamente. Tomando como base o conceito de indutância mútua, introduziremos a seguir o 
elemento de circuito conhecido como transformador.
Quando dois indutores (ou bobinas) estiverem bem próximos um do outro, o fluxo 
magnético provocado pela corrente em uma bobina se associa com a outra bobina induzin-
do, consequentemente, tensão nessa última. Esse fenômeno é conhecido como indutância 
mútua (BOYLESTAD, 2012).
 2 CIRCUITOS 
 ACOPLADOS
 MAGNETICAMENTE
TÓPICO
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Consideremos, primeiro, um único indutor, uma bobina com N espiras. Quando a 
corrente i flui através da bobina, é produzido um fluxo magnético ɸ em torno dela
FIGURA 08 - FLUXO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA ÚNICA BOBINA COM N ESPIRAS
Fonte: O autor (2022).
A indutância L do indutor é dada, portanto, por
Essa indutância é comumente denominada auto indutância, pois ela relaciona a 
tensão induzida em uma bobina por uma corrente variável no tempo na mesma bobina. 
Consideremos agora duas bobinas com auto indutâncias L1 e L2 que estão bem 
próximas uma da outra, como na Figura 9
FIGURA 09 - INDUTÂNCIA MÚTUA M21 DA BOBINA 2 EM RELAÇÃO À BOBINA 1
Fonte: O autor (2022).
A tensão mútua no circuito aberto (ou tensão induzida) na bobina 2 é
M21 é conhecida como a indutância mútua da bobina 2 em relação à bobina 1. O 
subscrito 21 indica que a indutância M21 relaciona a tensão induzida na bobina 2 com a 
corrente na bobina 1.
A tensão mútua de circuito aberto na bobina 1 é
94UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
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O conceito de transformação deve lhe ser familiar agora. Ao usar fasores para a aná-
lise de circuitos, transformamos o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência 
ou para o domínio fasorial. Assim que obtemos o resultado fasorial, o transformamos de volta 
para o domínio do tempo. O método das transformadas de Laplace segue o mesmo processo: 
usamos as transformadas de Laplace para transformar o circuito do domínio do tempo para 
o domínio da frequência, obtemos a solução e aplicamos a transformada de Laplace inversa 
ao resultado para transformá-lo novamente para o domínio do tempo.
Dada uma função f(t), sua transformada de Laplace, representada por F(s) ou L[f(t)] 
é definida por
em que s é uma variável complexa dada por
Quando a transformada de Laplace é aplicada à análise de circuitos, as equações 
diferenciais representam o circuito no domínio do tempo. Os termos nas equações dife-
renciais tomam o lugar de f(t). Suas transformadas de Laplace, que correspondem a F(s), 
constituem equações algébricas representando o circuito no domínio da frequência.
 3 FREQUÊNCIA
 COMPLEXA
TÓPICO
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
3.1 Propriedades das transformadas de Laplace
As propriedades das transformadas de Laplace nos ajudam a obter pares de trans-
formação sem usar diretamente a equação anterior.
A Tabela 1 fornece uma lista das propriedades da transformada de Laplace. Existem 
outras propriedades, porém, estas já são suficientes para os propósitos atuais. 
TABELA 01 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Fonte: O autor (2022).
96UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
A Tabela 2 traz um resumo das transformadas de Laplace de algumas funções 
comuns. Omitimos o fator u(t), exceto onde ele for necessário.
TABELA 02 - PARES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Fonte: O autor (2022).
97UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Exemplo 01:
Obtenha a transformada de Laplace de 
Solução: Pela propriedade da linearidade,
Exemplo 02: 
Determine a transformada de Laplace de 
Solução: Sabemos que
Usando diferenciação de frequência
98UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
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Agora que introduzimos as transformadas de Laplace, veremos o que fazer com 
elas. Tenha em mente que, com as transformações de Laplace, temos, efetivamente, uma 
das mais poderosas ferramentas matemáticas para análise, síntese e projeto. Ser capaz de 
analisar circuitos e sistemas no domínio só pode nos ajudar a compreender como nossos 
circuitos e sistemas realmente funcionam.
É totalmente apropriado considerar os circuitos como sistemas. Historicamente, os 
circuitos foram discutidos como um tópico separado de sistemas, de modo que, na verdade, 
trataremos de circuitos e sistemas neste capítulo cientes de que circuitos nada mais são 
que uma classe de sistemas elétricos.
Sistema é um modelo matemático de um processo físico que estabelece uma rela-
ção entre entrada e saída.
4.1 Etapas na aplicação da transformada de Laplace: 
1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio s. 
2. Resolver o circuito usando análise nodal, análise de malhas, transformação de 
fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos com a qual estejamos 
familiarizados. 
3. Efetuar a transformada inversa da solução e, portanto, obter a solução factível 
no domínio do tempo
 4 ANÁLISE DE CIRCUITOS
 USANDO TRANSFORMADA
 DE LAPLACE
TÓPICO
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Os equivalentes no domínio são mostrados na Figura 10. Com equivalentes no 
domínio das transformadas de Laplace podem ser usadas imediatamente.
FIGURA 10: REPRESENTAÇÃO DE UM CAPACITOR: 
(A) EQUIVALENTE NO DOMÍNIO DO TEMPO; (B) E (C) EQUIVALENTES NO DOMÍNIO S
Fonte: O autor (2022).
Além disso, definimos a impedância no domínio s como a razão entre a transfor-
mada de tensão e a transformada de corrente sob condições iniciais zero. Portanto, as 
impedâncias dos três elementos de circuitos são:
TABELA 03 - IMPEDÂNCIA DE UM ELEMENTONO DOMÍNIO S.*
Fonte: O autor (2022).
Exemplo: 
Determine vo(t) no circuito supondo condições iniciais zero.
100UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
Solução: 
Primeiro, transformamos o circuito do domínio do tempo para o domínio s.
O circuito resultante no domínio s é aquele indicado na Figura a seguir. 
Aplicaremos, agora, a análise de malhas. Para a malha 1,
Para a malha 2:
Substituindo essa última na Equação anterior: 
Multiplicando por 3s, obtemos
Extraindo a transformada inversa nos leva
101UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
102UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
James Clerk Maxwell (1831-1879), formado em matemática pela Cambridge University, Maxwell escreveu, 
em 1865, um artigo memorável no qual ele unificou matematicamente as leis de Faraday e de Ampère. Essa 
relação entre os campos elétrico e magnético serviu como base para o que, mais tarde, foi denominado 
ondas e campos eletromagnéticos, um importante campo de estudo da engenharia elétrica. O Institute of 
Electrical and Electronics Engineers (IEEE) usa uma representação gráfica desse princípio em seu logotipo, 
no qual uma seta em linha reta representa corrente e uma seta em linha curva representa o campo ele-
tromagnético. Essa relação é comumente conhecida como a regra da mão direita. Maxwell foi um cientista 
e teórico muito ativo. Ele é mais conhecido pelas “equações de Maxwell”. O Maxwell, unidade de fluxo 
magnético, recebeu esse nome em sua homenagem. 
Fonte: ALEXANDER, C. K; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
O transformador é um dispositivo magnético que tira proveito do fenômeno da indutância mútua, e o 
introduzimos como um novo elemento de circuito.
Fonte: O autor (2022).
103
Todo o conteúdo visto até aqui é aplicado em diversos campos da engenharia, como 
sistemas de controle é uma área da engenharia elétrica que usa em larga escala a análise 
de circuitos. Um sistema de controle projetado para regular o comportamento de uma ou 
mais variáveis de alguma forma desejada e que desempenha importantes funções em nos-
sa vida cotidiana. Eletrodomésticos como sistemas de aquecimento e de ar-condicionado, 
termostatos controlados por chaves, máquinas de lavar roupa e secadoras, instrumentação 
de bordo em automóveis, elevadores, semáforos, plantas industriais, sistemas de navega-
ção – todos esses equipamentos utilizam sistemas de controle. 
A engenharia de controle integra as teorias de circuitos e de comunicações. Não 
se limitando a qualquer disciplina específica da engenharia, pode envolver os seguintes 
campos da engenharia: química, aeronáutica, mecânica, civil e elétrica. Por exemplo, uma 
tarefa comum para um engenheiro de sistemas de controle poderia ser: projetar um regu-
lador de velocidade para a cabeça de uma unidade de disco. Dominar completamente as 
técnicas de sistemas de controle é essencial para o engenheiro elétrico e é de grande valia 
no projeto de sistemas de controle para realizar a tarefa desejada. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
104
O Artigos “ TECNOLOGIA DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA SEM FIO (WIRE-
LESS POWER TRANSFER) ”, disponível no link a seguir: https://periodicos.unis.edu.br/
index.php/mythos/article/view/567, tem como tema a tecnologia de transmissão de energia 
sem fio (Wireless Power Transfer – WPT). Assim como a comunicação verbal que se de-
senvolveu com a implementação do rádio, celulares e depois com a internet, temos hoje a 
WPT, que consiste em transmitir cargas elétricas sem condutores. O artigo busca esclarecer 
dúvidas sobre o tema explicando: O que é? Como funciona? Quais os ganhos e as perdas 
em relação a energia transmitida através de condutores? Para isso, os autores utilizaram 
os conhecimentos de eletromagnetismo e circuitos elétricos estudados ao decorrer da gra-
duação, além da pesquisa em artigos, monografias e teses sobre o tema.
Fonte: CASTRO, W. R, et al. Tecnologia de Transmissão de Energia sem fio (Wi-
reless Power Transfer). Revista Mythos, 15(1), p. 105-117, 2021. Disponível em: https://
periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/issue/view/48 Acesso em: 10 ago. 2022.
LEITURA COMPLEMENTAR
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
https://periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/article/view/567
https://periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/article/view/567
https://periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/issue/view/48
https://periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/issue/view/48
https://periodicos.unis.edu.br/index.php/mythos/issue/view/48
105
LIVRO 
Título: Análise De Circuitos
Autor: J ohn O’malley.
Editora: Pearson; 2ª edição.
Sinopse: O livro é focado para prática e assimilação por reso-
lução de exercícios. Seu ponto forte é esse, não reservando 
tempo nem muito espaço para longas e detalhadas explicações 
sobre o tema.
FILME / VÍDEO 
Título: A batalha das correntes
Ano: 2019.
Sinopse: Ambientado no final do século XIX, a Guerra das 
Correntes, que foi uma disputa entre Thomas Edison (Benedict 
Cumberbatch) e George Westinghouse (Michael Shannon) so-
bre como deveria ser feita a distribuição da eletricidade. Edison 
fez uma campanha pela utilização da corrente contínua para 
isso, enquanto Westinghouse defendia a corrente alternada.
MATERIAL COMPLEMENTAR
UNIDADE 4 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ESTUDOS DE FREQUÊNCIA
106
ALEXANDER, C. K; SADIKU, M.N.O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. Introdução à Análise de Circuitos. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introduction to electric circuits - 9th. Wiley, 2013.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
107
Bom, caro estudante, chegamos ao fim da nossa disciplina de Análise de cir-
cuitos elétricos. Ao longo destes quatro capítulos, passamos por diversos assuntos 
e conceitos que servirão como norte em todas as disciplinas relacionadas à energia, 
eletricidade e magnetismo. 
Durante a primeira unidade, vimos de perto as leis da eletricidade, quais são os 
princípios físicos que regem os circuitos elétricos, como funciona a associação de resisto-
res, capacitores e indutores. Essas associações são importantes na criação, composição 
e análise de qualquer tipo de circuito elétrico. Além disso, vimos a existência e o funciona-
mento de fontes dependentes e independentes de tensão e de corrente. 
No segundo capítulo, aprendemos alguns dos principais métodos utilizados na leitu-
ra e análise de circuitos elétricos, como análise de malhas, análise nodal e conceitos como 
super malha e super nó. Todos esses conceitos e métodos de análise serão aplicados em 
circuitos elétricos CA e CC, veremos aplicabilidade em sinais e sistemas lineares, circuitos 
de microeletrônica e diversos outros campos da engenharia elétrica. 
Seguindo para a unidade seguinte, estudamos os circuitos RL e RLC, classificados 
como circuitos de primeira e segunda ordem, respectivamente. Nestes circuitos são introdu-
zidos elementos que tornam a nossa análise mais complexa, como indutores e capacitores. 
Indo mais além, estudamos a análise desses circuitos em regime senoidal permanente, 
além de aprendermos a analisar a potência em circuitos CA.
Por fim, em nossa última unidade, fomos mais ainda mais longe em nossas análises, 
onde abordamos circuitos acoplados magneticamente, frequência complexa e aprendemos 
a analisar circuitos utilizando o método da transformada de Laplace. Este método nos per-
mite simplificar a análise de circuitos de primeira e segunda ordem. 
Com todo este conteúdo, você, caro aluno (a), está pronto para seguir os seus 
estudos em nosso curso. 
CONCLUSÃO GERAL
ENDEREÇO MEGAPOLO SEDE
 Praça Brasil , 250 - Centro
 CEP 87702 - 320
 Paranavaí - PR - Brasil 
TELEFONE (44) 3045 - 9898
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	Botão 11: 
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	Unidade 01: 
	Unidade 02: 
	Unidade 03: 
	Unidade 04:Como sabemos, o estudo da engenharia elétrica é dividido em, basicamente, duas 
teorias não exclusivas: a teoria dos circuitos elétricos e a teoria do eletromagnetismo. 
Todo e qualquer curso cuja base seja uma ramificação da engenharia elétrica (como, por 
exemplo, engenharia de energia, instrumentação, eletrônica, computação, entre outras) 
estuda, de uma forma ou de outra, a teoria dos circuitos elétricos.
A teoria de circuitos elétricos, por sua vez, pode ser dividida em dois ramos distintos: 
a análise de circuitos de corrente contínua, e a análise de circuitos de corrente alternada. 
Nesta unidade, caro estudante, começaremos aprendendo o básico para que possamos 
realizar uma análise completa de um circuito elétrico. Aqui, veremos as leis da eletricidade 
aplicadas ao circuito elétrico, entenderemos como ocorre a associação de resistores, capa-
citores e indutores e calcularemos o valor equivalente desta associação, e finalizaremos o 
material estudando fontes dependentes e independentes em circuitos elétricos. 
Vamos lá ?!
INTRODUÇÃO
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Iniciaremos agora os estudos de conceitos básicos que permeiam o estudo da 
eletricidade.
1.1 Campo Elétrico 
O campo elétrico é um fenômeno que ocorre devido à interação entre átomos pró-
ximos. Logo, é necessário um entendimento básico sobre o átomo e sua estrutura, para 
prosseguirmos na análise do campo elétrico.
Um átomo é formado por prótons, nêutrons e elétrons, dividido em duas regiões 
distintas. Os prótons e nêutrons existem no que chamamos de núcleo atômico, enquanto 
os elétrons existem em camadas concêntricas orbitais em torno do núcleo.
FIGURA 1 - REPRESENTAÇÃO DOS ÁTOMOS DE HIDROGÊNIO E HÉLIO 
Fonte: Adaptado de: Boylestad, (2012, p. 25).
 1 LEIS DA
 ELETRICIDADE
TÓPICO
UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Na figura Representação dos átomos de hidrogênio e hélio, em (a) temos os átomos 
de hidrogênio, que contém um único próton e um único elétron, e em (b) temos um átomo 
de hélio, que contém dois prótons, dois elétrons, e dois nêutrons.
Como o próprio nome já diz, a eletricidade se baseia na interação entre elétrons. 
Logo, nosso estudo será focado nesta partícula. Um elétron apresenta, por definição, uma 
carga elétrica negativa, igual em módulo à carga positiva do próton. Logo, um elétron 
cancela um próton, e átomos estáveis apresentam um número igual de prótons e elétrons. 
Átomos que possuem núcleos mais complexos (com maior quantidade de prótons) ne-
cessitam de mais elétrons para se cancelarem e se tornarem estáveis, e sendo assim, é 
necessário comportar estes elétrons em torno do núcleo. Cada camada pode comportar um 
número finito de elétrons. A primeira camada comporta 2 elétrons, e as camadas seguintes 
comportam 2n2 elétrons, onde n é o número de camadas.
Tomamos o átomo de cobre como exemplo. O cobre é o metal mais comumente 
utilizado na indústria eletroeletrônica, pois apresenta uma excelente interação eletrônica. 
Essa interação se dá devido à configuração eletrônica desse átomo. O cobre apresenta 
29 prótons e 29 nêutrons em seu núcleo, e consequentemente, necessita de 29 elétrons 
para ser estável. Seguindo a regra das camadas exposta no parágrafo anterior, a primeira 
camada possui 2 elétrons, a segunda camada, 2.22 = 8 elétrons, a terceira camada, 2.32 
= 18 elétrons, e a quarta camada, poderia comportar no máximo 2.42 = 32 elétrons. Mas 
lembre-se que o cobre possui somente 29 elétrons! Logo, na quarta (última) camada, temos 
somente um único elétron (pois 2 elétrons na 1ª camada + 8 elétrons na 2ª camada + 18 
elétrons na 3ª camada totalizam 28 elétrons, sobrando somente 1 elétron para a última 
camada). Esta configuração é ilustrada na figura Estrutura atômica do cobre.
FIGURA 02 - ESTRUTURA ATÔMICA DO COBRE
Fonte: Adaptado de Boylestad, (2012, p. 25).
9UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Este último elétron apresenta algumas características importantes. Primeiro, 
átomos com camadas completas apresentam uma interação entre o núcleo e os elétrons 
mais fortes. Quanto mais próximo do número máximo de elétrons da camada, mais forte 
esta interação (ou seja, mais estável esta camada está). Segundo, quanto mais longe do 
núcleo os elétrons estão, mais fraca a interação entre o núcleo e o elétron. Logo, o cobre 
apresenta uma camada com interação extremamente fraca, pois esta camada apresenta o 
menor número de elétrons possível e este elétron está o mais longe o possível do núcleo. O 
resultado é que este último elétron está ligado ao núcleo de maneira extremamente fraca, e 
pouca energia é necessária para que este elétron se desvencilhar do átomo original. Caso 
isto aconteça, este átomo é chamado de elétron livre.
1.2 Diferença de potencial elétrico (tensão elétrica)
Suponha agora duas regiões que apresentem uma diferença eletrônica, apresen-
tada na figura Definição de tensão entre dois pontos (a). Logo, existirá uma interação entre 
elas, mas não é possível que elétrons migrem de uma região para a outra. Ou seja, existe 
uma diferença de potencial elétrico que é mantida. Suponha ainda que seja colocado 
uma carga negativa de 1 coulomb próximo a região com carga positiva, e queremos mo-
vimentar esta carga negativa para próximo da região com carga negativa. Para tal, será 
necessário despender de energia para vencer a força de repulsão entre a carga negativa 
de 1 coulomb e a região negativa. Neste processo de deslocamento da carga de um ponto 
a outro, define-se a unidade volt (V), utilizada para representar uma diferença de potencial 
elétrico, comumente chamado de Tensão Elétrica.
Tensão (ou diferença de potencial) é a energia necessária para deslocar uma carga 
unitária através de um elemento, medida em volts (V).
10UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
O cobre não é o melhor condutor elétrico, e sim a prata. Relativamente falando, a prata apresenta con-
dutibilidade de 108%, o cobre 100%, o ouro 70%, alumínio 60%, e titânio apenas 1% (todos relativos ao 
cobre). Em linhas de transmissão de alta tensão, utiliza-se alumínio no lugar do cobre. Por que você acha 
que isso acontece?
Fonte: Boylestad (2012, p. 30).
FIGURA 03 - DEFINIÇÃO DE TENSÃO ENTRE DOIS PONTOS
Fonte: Adaptado de Boylestad, (2012, p. 27)
A Figura 3-(b) mostra que, se necessitamos de 1 joule para movimentar uma carga 
de 1 coulomb, temos 1 volt de diferença de potencial ou tensão elétrica. Se necessitamos 
de 2 joules para movimentar a mesma carga, temos 2 volts de tensão, conforme mostra a 
Figura 3-(c). Por conseguinte, necessitando de 4,8 joules, temos uma tensão de 4,8 volts, 
conforme Figura 4-(d). 
Utilizando um caso do cotidiano, as baterias utilizadas nos carros são especificadas 
para uma tensão de 12V. Isso quer dizer que, para movimentar uma carga negativa de 1 
coulomb, é necessário 12 joules de energia.
1.3 Carga e Corrente Elétrica
Agora, vamos considerar a corrente elétrica. Junto com a tensão, forma-se a base 
de qualquer fenômeno que envolve a eletricidade.
Suponha que pegamos um fio de cobre e que utilizamos este fio para conectar 
duas regiões com carga elétrica diferente (os pólos de uma bateria de 12V, por exemplo). 
Os últimos elétrons dos átomos do fio de cobre estão sujeitos a tensão elétrica da bateria, 
e por consequência, querem migrar para a região em que tem poucos elétrons. De outra 
forma, as cargas positivas se deslocam para o terminal negativo, e as cargas negativas se 
deslocam para o terminal positivo,buscando o equilíbrio. É importante notar que cargas 
elétricas não são criadas nem destruídas, apenas transferidas. Logo, a soma algébrica 
de um sistema não se altera.
A este deslocamento de cargas dá-se o nome de corrente elétrica. Por definição: 
Corrente elétrica é o fluxo de carga por unidade de tempo, medido em ampères (A).
11UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
A corrente não necessita ser constante, ela pode variar conforme o tempo. Pode-
mos classificar a corrente elétrica de duas formas básicas: (1) se a corrente não muda com 
o tempo (ou seja, é constante), chamamos de corrente contínua (CC); (2) se a corrente 
varia com o tempo segundo uma função senoidal, chamamos de corrente alternada (CA). 
12UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
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13
2.1 Associação de Resistores
Muitas vezes, é conveniente (e possível) associar resistores em série e em paralelo 
a fim de reduzir uma rede resistiva a uma única resistência equivalente, facilitando a análise 
de redes complexas.
Para entendermos como funciona uma associação de resistores em série, utilizare-
mos da Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) e da Lei de Ohm.
2.1.1 Resistência equivalente em série
Suponha um circuito com dois resistores, e , conectados em série, conforme mostra 
a Figura 4.
FIGURA 04 - UM CIRCUITO COM UM ÚNICO LAÇO E DOIS RESISTORES EM SÉRIE
Fonte: Alexander e Sadiku, (2013, p. 39).
 2 ASSOCIAÇÃO DE
 RESISTORES,
 CAPACITORES E INDUTORES
TÓPICO
UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Sabemos que, para elementos conectados em série, a corrente que passa por eles 
é a mesma. Logo, a corrente em ambos os resistores será a mesma. Aplicando a Lei de 
Ohm em ambos os resistores, temos:
Aplicando a LKT no laço, obtemos a seguinte equação:
 
Combinando as equações (1) e (2):
 
Ou, ainda:
Pela equação (3), vemos que a resistência total do circuito é a soma de R1 com R2. 
Logo, podemos substituí-los por um único resistor equivalente 
 
FIGURA 05 - CIRCUITO EQUIVALENTE AO APRESENTADO NA FIGURA 1
Fonte: Alexander e Sadiku, (2013, p. 39).
Assim, dizemos que o circuito da Figura 5 é equivalente ao circuito da Figura 4. A 
resistência equivalente de qualquer número de resistores ligados em série é igual a soma 
das resistências individuais.
14UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Se tivermos N resistores em série, podemos, matematicamente, definir a resistência 
equivalente como:
A equivalência de resistores em série é útil quando queremos simplificar a análise 
de um circuito, pois podemos reduzir o número de elementos do mesmo.
2.1.2 Divisor de tensão
Veja que, caso desejamos obter a tensão em cada um dos resistores do circuito da 
figura 4, simplesmente substituímos a equação (4) na equação (1), assim:
Pela equação (7), notamos que a tensão é dividida de forma proporcional às resis-
tências. Quanto maior for a resistência, maior será a queda de tensão no resistor. O circuito 
da Figura 4 é denominado divisor de tensão. 
2.1.3 Resistência equivalente em paralelo
Considere um circuito com dois resistores, R1 e R2, conectados em paralelo com 
uma fonte de tensão, mostrado na Figura 6.
FIGURA 06 - CIRCUITO COM DOIS RESISTORES EM PARALELO
Fonte: Alexander e Sadiku, (2013, p. 40).
15UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Sabemos que, para elementos conectados em paralelo, a tensão entre eles deve 
ser a mesma. Logo, a tensão nos resistores deve ser, pela Lei de Ohm:
 Ou ainda:
 Aplicando a LKC ao nó a, obtém-se:
 Substituindo a equação (9) em (10), temos:
 
 Onde Req é a resistência equivalente dos resistores em paralelo:
 Simplificando algebricamente a equação (12), tem-se:
 
A equação (13) mostra como é a equivalência de dois resistores em paralelo. A 
resistência equivalente de dois resistores em paralelo é igual ao produto de suas resis-
tências dividido pela sua soma.
 Para N resistores em paralelo, estendemos a equação (13):
DICA: Caso os resistores forem TODOS de mesma resistência, a resistência equi-
valente é igual a resistência individual, dividido pelo número de resistores. No caso, Req = 
40/4 = 10Ω
Por exemplo, se tivermos quatro resistores de 40Ω ligados em paralelo, a resistên-
cia equivalente deste arranjo será de 10Ω.
16UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
2.1.4 Divisor de corrente
Sabendo a resistência equivalente do arranjo, como podemos obter as correntes 
individuais de cada resistor? Pela Lei de Ohm:
Combinando as equações (10) com a (15), temos:
A equação (16) mostra que a corrente i é dividida com os resistores numa proporção 
inversa à sua resistência. Ou seja, em um arranjo paralelo, quanto maior a resistência, 
menor será a corrente. Este comportamento é conhecido como princípio da divisão de 
corrente, e o circuito apresentado na Figura 6 é conhecido como divisor de corrente. Para 
um divisor de corrente, é importante analisarmos o caso especial de uma das resistências 
do arranjo para um curto-circuito, ou um circuito aberto.
Quando temos um curto-circuito em paralelo com algum elemento (comumente 
referenciado como elemento em curto), é necessário considerar duas coisas:
1. A resistência equivalente é nula (Req= 0), vide equação (16) com R2 = 0;
2. Toda a corrente flui pelo curto-circuito.
Já quando temos um circuito aberto, consideramos também duas coisas:
A resistência equivalente é igual a resistência;
Toda a corrente flui pela resistência (não existe corrente em um circuito aberto).
2.2 Associação de capacitores
A associação de elementos permite a simplificação de arranjos, a fim de diminuir o 
trabalho ao se analisar um circuito. Nesse âmbito, é possível simplificar arranjos de capaci-
tores, utilizando as mesmas técnicas usadas para redes resistivas.
2.2.1 Associação de vários capacitores em série e em paralelo
Considere, inicialmente, um arranjo de N capacitores em paralelo, apresentado, 
como exemplo, na Figura 7.
17UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
FIGURA 07 - N CAPACITORES EM PARALELO
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 196).
Aplicando a LCK no circuito, há:
A corrente no capacitor k, no entanto, é ik = Ck dv/dt . Assim, é possível reescrever (17):
Sendo que:
A capacitância equivalente de N capacitores ligados em paralelo é a soma de suas 
capacitâncias individuais (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 196). 
Agora, considere um arranjo de N capacitores em série, conforme ilustra a Figura 8.
FIGURA 08 - N CAPACITORES EM SÉRIE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 197).
Aplicando a LTK no circuito, obtemos:
18UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
A relação (19), todavia, fornece a tensão em um capacitor:
Desenvolvendo essa integral, temos que:
A capacitância equivalente de N capacitores associados em série é o inverso da 
soma dos inversos das capacitâncias individuais (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 197). 
Desse modo, é possível afirmar que a associação em série de capacitores é calcu-
lada de modo semelhante à associação em paralelo de resistores.
2.3 Associação de indutores
De forma análoga à associação de capacitores, é possível associar indutores, a fim 
de simplificar a análise de circuitos, obtendo-se um equivalente mais simples.
2.3.1 Associação de vários indutores em série e em paralelo
Considere um arranjo de N indutores em série, conforme demonstra a Figura 9.
FIGURA 09 - N INDUTORES EM SÉRIE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 203).
Aplicando a LTK no circuito, há:
19UNIDADE 1 INTRODUÇÃOÀ ANÁLISE DE CIRCUITOS
Porém, para um indutor, vk = Lk di/dt. Assim, reescrevendo (22):
Em que:
A indutância equivalente de N indutores conectados em série é a soma das indutân-
cias individuais (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 203). 
Assim, os indutores em série são associados da mesma forma que os resistores 
em série. Considere, agora, um circuito com N capacitores conectados em paralelo, como 
o exposto na Figura 10.
FIGURA 10 - N INDUTORES EM PARALELO
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 203).
Aplicando a LCK, há:
Para um indutor, a sua corrente é determinada pela relação a seguir:
Unindo as equações (24) e (25) e simplificando, temos:
20UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
A indutância equivalente de indutores em paralelo é o inverso da soma dos inversos 
das indutâncias individuais.
Desse modo, os indutores em paralelo se comportam de forma semelhante a resis-
tores em paralelo.
21UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
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Focamos agora na separação das cargas, a fim de criar uma diferença de potencial, 
e como representar, na teoria de circuitos, tais diferenças de potencial.
Existem diversas formas de se separar a carga e estabelecer uma tensão elétrica. 
A forma mais simples é por ação química, utilizada nas mais diversas baterias. Podemos 
ainda transformar energia mecânica em tensão elétrica, como, por exemplo, em hidrelétri-
cas ou moinhos de vento. Todas as formas, no entanto, têm o único objetivo de criar uma 
separação da carga, gerando tensão elétrica.
Estas regiões de carga positiva e negativa são usualmente chamadas de polos. 
Toda fonte de tensão apresenta dois pólos, um com carga positiva, e outro com carga 
negativa. Usualmente, o polo positivo é representado pela cor vermelha, e o polo negativo, 
com a cor preta. Lembre-se que estamos falando de diferenças de cargas entre regiões, ou 
seja, a tensão só existe quando comparamos duas regiões com diferença de cargas. 
Entenderemos melhor o efeito que as fontes de tensão causam em um circuito elétrico. 
3.1 Fontes de tensão
Para representarmos uma fonte de tensão em diagramas de circuitos elétricos, uti-
lizamos da simbologia demonstrada na Figura 11, onde em (a) temos uma fonte de tensão 
independente (representada por um círculo), e em (b), uma fonte de tensão dependente 
(representada por um losango). Ambas simbolizam uma separação de cargas elétricas, 
mas enquanto a fonte independente fornece uma tensão elétrica constante (por exemplo, 
9V), a fonte dependente fornece uma tensão elétrica variável, dependente de alguma outra 
variável do circuito.
 3 FONTES 
 INDEPENDENTES
 E DEPENDENTES
TÓPICO
UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
FIGURA 11 - SIMBOLOGIA DE FONTES DE TENSÃO
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 14).
A Figura 12 mostra a tensão através de um elemento, representado por um bloco 
retangular, cujos terminais são denominados a e b. Os sinais positivo (+) e negativo (-) são 
utilizados para denominar a polaridade (ou a região com maior ou menor carga elétrica) e 
podemos interpretar esta tensão de duas formas: (1) se dissermos que o ponto a possui um 
potencial maior que o ponto b, ou que (2) o ponto b possui um potencial maior que o ponto 
a. Logicamente que, para um mesmo elemento, Vab = Vba.
FIGURA 12 - POLARIDADE DA TENSÃO VAB
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 09).
23UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
É importante notar que, uma fonte de tensão ideal irá fornecer qualquer corrente 
necessária para garantir a tensão especificada. Em outras palavras, em uma fonte de ten-
são, conhecemos a tensão, mas não a sua corrente.
3.2 Fontes de corrente
Uma fonte de corrente é um elemento da teoria de circuitos cuja função é fornecer 
corrente. De forma recíproca a uma fonte de tensão ideal, uma fonte de corrente ideal 
irá fornecer a tensão necessária para garantir o fluxo de corrente especificado. Em outras 
palavras, para uma fonte de corrente, somente a sua corrente é conhecida, e não a sua 
tensão. Na Figura 13, temos a simbologia das fontes de corrente para a teoria de circuitos, 
cujo em (a) temos uma fonte de corrente independente, e em (b), uma fonte de corrente 
dependente.
FIGURA 13 - SIMBOLOGIA DE FONTES DE CORRENTE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 14).
Uma fonte ideal (de tensão ou de corrente) pode, teoricamente, fornecer uma quan-
tidade de energia infinita, ou ainda, absorver energia.
24UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
25UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
Como vimos, podemos associar elementos de consumo em série e em paralelo. Você sabe o que acontece 
se ligarmos duas lâmpadas idênticas em série a uma fonte de tensão? Se considerarmos que cada uma das 
lâmpadas são, na verdade, equipamentos resisitivos, a corrente e a tensão irão respeitar os princípios de 
divisor de corrente e divisor de tensão vistos ao longo desta unidade.
Fonte: O autor (2022).
26
A energia elétrica é fundamental para o nosso estilo de vida contemporâneo. Para 
entender como ela funciona, começamos com os conceitos elementares de eletricidade 
abordados neste capítulo. 
A corrente elétrica resultante da interação entre um campo elétrico e elétrons livres, 
permite a transmissão de energia entre dois pontos distintos, possibilitando a transmissão 
de energia elétrica ou de sinais de comunicação. Como elemento condutor, muitas aplica-
ções fazem uso extensivo do cobre e do alumínio (por exemplo, em linhas de transmissão 
de energia e condutores), do ouro e da prata (por exemplo, em circuitos eletrônicos e em 
baterias automotivas), e agora entendemos o porquê. 
Além disso, aprendemos a calcular a associação equivalente de resistores, capaci-
tores e indutores em série e em paralelo. Tal conhecimento irá simplificar as nossas futuras 
análises em circuitos elétricos. 
Por fim, os conceitos apresentados neste capítulo irão acompanhar o leitor durante 
todo o estudo de análise de circuitos elétricos, sendo necessária uma boa fixação conceitual.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
27
LIVRO 
Título: Fundamentos da física: Eletromagnetismo
Autor: Halliday & Resnick.
Editora: LTC – Livros técnicos e científicos.
Sinopse: Fundamentos de Eletricidade cobre tudo o que se 
precisa saber do assunto, desde o estudo das cargas elétricas 
estáticas e suas manifestações até os vários tipos de circuitos. 
O livro é rico em diagramas, figuras e exercícios resolvidos, 
necessários para o melhor entendimento dos conceitos apre-
sentados. O estudante encontrará ainda, nos dois apêndices 
do livro, uma relação de equipamentos de laboratório e as 
respostas dos exercícios numéricos.
 
FILME / VÍDEO
Título: A batalha das correntes
Ano: 2019.
Sinopse: Ambientado no final do século XIX, a Guerra das 
Correntes, que foi uma disputa entre Thomas Edison (Benedict 
Cumberbatch) e George Westinghouse (Michael Shannon) so-
bre como deveria ser feita a distribuição da eletricidade. Edison 
fez uma campanha pela utilização da corrente contínua para 
isso, enquanto Westinghouse defendia a corrente alternada.
MATERIAL COMPLEMENTAR
UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CIRCUITOS
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Plano de Estudos
• Teoremas aplicados (superposição) a circuitos elétricos;
• Introdução a teorias de circuitos;
• Métodos para análise de circuitos em CC.
Objetivos da Aprendizagem
• Conceituar o teorema da superposição;
• Conhecer as teorias aplicadas em circuitos elétricos;
• Compreender a teoria e métodos de análise 
 dos circuitos em corrente contínua.
2UNIDADEUNIDADE
TEOREMAS E TEOREMAS E 
MÉTODOS PARA MÉTODOS PARA 
ANÁLISES DEANÁLISES DE
CIRCUITOS ICIRCUITOS I
Professor Me. Lucas Delapria Dias Dos Santos
29
Caro estudante, neste capítulo apresentaremos algumas técnicas para análise de 
circuitos elétricos. A habilidade de analisar o mesmo problema através de diversos prismas 
diferentes, é uma necessidade para a Engenharia, pois, muitas vezes, um problema dito 
complexo pode ser analisado e simplificado, simplesmente, por meio de uma abordagem 
alternativa mais conveniente. Além disso, veremos conceitos como Linearidade. 
No contexto da análise de circuitos, quando é possível simplificar um circuito, a fim 
de facilitar o trabalho de analisá-lo? Ao se transformar elementos do circuito, de fato, ele 
está sendo simplificado?
A linearidade dos circuitos elétricos é fundamental para permitir a simplificação da 
sua análise, permitindo, por exemplo, que grandes redes de transmissão de energia sejam 
modeladas por circuitos mais simples, que podem ser analisados mais facilmente.
A linearidade também permite a construção, análise e uso de circuitos especiais 
(filtros) para o tratamento de sinais de áudio, vídeo, etc.
Vamos lá ?!
INTRODUÇÃO
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
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1.1 Linearidade
A linearidade é a propriedade de um elemento de apresentar uma relação linear 
entre causa e efeito. Embora a linearidade seja também a característica de alguns outros 
elementos de circuitos, o foco deste capítulo são os resistores. 
Ademais, a linearidade é composta por duas propriedades: a homogeneidade 
(fator de escala) e a aditividade. Quando um elemento obedece a ambas as propriedades, 
ele obedece à linearidade, ou seja, é linear.
A propriedade da homogeneidade refere-se ao modo particular de reagir de um 
elemento (saída), de acordo com o estímulo recebido (entrada). Por exemplo, se o elemento 
for linear e o estímulo dobrar, a reação desse elemento também deve dobrar. Para o caso 
de um resistor, considere a Lei de Ohm, que relaciona a entrada, i , com a saída, v : 
Caso a entrada seja aumentada por uma constante, k, a saída também deve au-
mentar k vezes. Matematicamente,
v = iR # (1)
No que se refere à propriedade da aditividade, para uma entrada composta por 
uma soma de entradas, a saída será composta pela soma das respostas do elemento a 
cada entrada aplicada individualmente. Por exemplo, segundo a Lei de Ohm, um mesmo 
resistor, sujeito a correntes diferentes, i1 e i2 , resultará em quedas de tensão proporcionais, 
v1 e v2 . Matematicamente,
kv = kiR # (2)
303030
 1 TEOREMAS 
 APLICADOS À
 CIRCUITOS ELÉTRICOS
TÓPICO
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Caso esse mesmo resistor, R, seja estimulado por uma corrente composta pela 
soma de i1 e i2, então, a queda de tensão gerada será a soma de v1 e v2 . Logo,
Um circuito é linear se todos os elementos que o compõem forem lineares. Ademais, 
um circuito linear pode ser analisado por meio do Princípio da Superposição dos Efeitos, 
assunto deste capítulo, e de técnicas como a Análise Nodal e Análise de Malhas.
Também é importante notar que a relação de potência-tensão, ou potência-cor-
rente, não é linear, pois ambas as relações ( P = v2 / R e P = Ri2 ) apresentam um termo 
quadrático e, assim, não linear.
1.2 Princípio de superposição para tensões e correntes
Pela linearidade, é possível analisar um circuito de forma diferente. Ao ser excitado 
por mais de uma fonte, o efeito final será determinado pela soma dos efeitos de cada uma 
das fontes. Essa característica é denominada Princípio da Superposição dos Efeitos.
“O Princípio da Superposição afirma que a tensão (ou corrente) em um elemento 
de um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões (ou correntes) naquele ele-
mento, em virtude da atuação isolada de cada uma das fontes independentes” (ALEXAN-
DER; SADIKU, 2013, p. 115).
Tendo em vista que o efeito de cada fonte será determinado de maneira indepen-
dente, o número de circuitos a ser analisado será igual ao número de fontes (BOYLESTAD, 
2012, p. 287). Para aplicar o princípio da superposição, é preciso considerar uma fonte 
independente por vez, calculando o efeito gerado por ela, desligando todas as outras fontes 
independentes.
Desligar uma fonte independente significa substituir uma fonte de tensão por um 
curto-circuito (ou seja, zero volt), ou uma fonte de corrente por um circuito aberto (ou seja, 
zero ampère) (BOYLESTAD, 2012, p. 287).
Também é necessário frisar que fontes dependentes permanecem inalteradas, pois 
elas são controladas por outras variáveis do circuito e, portanto, sua influência depende de 
como o circuito reage à excitação.
Para analisar um circuito pelo princípio da superposição, é possível determinar três 
etapas, as quais estão expostas a seguir. 
1. Desative todas as fontes independentes, menos uma, e calcule a variável de 
interesse (tensão ou corrente) gerada por essa fonte;
2. Repita a etapa 1 para todas as demais fontes independentes;
3. Calcule a soma algébrica de cada uma das contribuições individuais, obtendo, 
assim, o valor final da variável de interesse desejada (tensão ou corrente).
31UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Agora, considere a Figura “Circuito com duas fontes independentes”, sendo que 
a intenção é obter a tensão no resistor de 4 Ω. Para isso, é utilizado o princípio da 
superposição.
FIGURA 01 - CIRCUITO COM DUAS FONTES INDEPENDENTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 116).
Por meio da superposição, é possível saber que a tensão v no resistor de 4 Ω é 
resultante da influência individual das fontes de 6 V e 3 A. Logo, 
Nesse caso, v1 e v2 são as quedas de tensão geradas pelas fontes de 6 V e 3 A, 
respectivamente. Para obter v1 , é necessário desligar a fonte de corrente de 3 A, e calcular 
a queda de tensão no resistor de 4 Ω. Tal circuito é apresentado na Figura 2.
FIGURA 02 - CIRCUITO COM UMAS DAS FONTES DESLIGADAS
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 116).
32UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Os dois resistores formam um divisor de tensão. Calculando a tensão no resistor 
de 4 Ω , obtemos:
É possível utilizar qualquer técnica para calcular a saída (tensão ou corrente), como: 
divisor de tensão/corrente, Lei de Kirchhoff das Tensões/Correntes ou Análise Nodal/Malha.
Para obter v2 , é preciso desligar a fonte de tensão e ligar a fonte de corrente, o que 
resulta no circuito apresentado na Figura “Circuito coma fonte remanescente ligada”.
FIGURA 03 - CIRCUITO COM A FONTE REMANESCENTE LIGADA
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 116).
Nesse caso, há um divisor de corrente. Primeiramente, deve-se calcular a corrente i3 :
Calculando a tensão no resistor de 4 Ω , obtemos:
 Combinando as Equações (6) e (8) com a Equação (5), temos:
 
O Princípio da Superposição não pode ser aplicado para calcular diretamente a po-
tência final em um resistor como a soma de potências individuais, pois a potência varia com o 
quadrado das tensões e correntes. A potência final, entretanto, pode ser calculada a partir da 
tensão ou corrente final, obtida pelo princípio da superposição. (BOYLESTAD, 2012).
33UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
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As técnicas de análise de circuitos, embora genéricas, normalmente resultam em 
análises complexas. Ao utilizar técnicas de simplificação do circuito, como a associação 
de resistores, é necessário simplificar a análise do problema, sendo que a capacidade de 
transformar fontes é mais uma ferramenta desse nicho de simplificação.
2.1 Transformação de fontes
A transformação de fontes é o processo de substituir uma fonte de tensão em série 
a um resistor por uma fonte de corrente em paralelo a um mesmo resistor, ou vice-versa 
(ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 120).
2.1.1 Conceito de equivalência
Qualquer técnica de simplificação baseia-se no princípio da equivalência. Dois 
circuitos (ou elementos) são equivalentes se eles apresentam as mesmas características 
de tensão e corrente do ponto de vista do restante do circuito, que está conectado ao trecho 
substituído pelo circuito equivalente (ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 120).
2.1.2 Transformação para fontes independentes
Na Figura 4, há dois circuitos equivalentes entre si.
34
 2 INTRODUÇÃO À
 TEORIA DE CIRCUITOS
TÓPICO
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
FIGURA 04 - TRANSFORMAÇÃO DE FONTES INDEPENDENTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 120).
Por inspeção, é possível verificar a equivalência dos dois circuitos. Se as fontes 
fossem desligadas, ambos os circuitos apresentariam uma resistência entre os terminais ab 
igual a R. Por sua vez, caso os terminais ab sejam curto-circuitados, a corrente que irá fluir 
no curto será a mesma ( is ). Logo, utiliza-se a Lei de Ohm como ferramenta matemática:
É importante frisar a necessidade do resistor em série/paralelo, para que seja 
possível efetuar uma transformação de fontes. Fontes de tensão necessitam de resistores 
em série, enquanto fontes de corrente necessitam de resistores em paralelo. Considere o 
circuito apresentado na Figura 5.
FIGURA 05 - EXEMPLO PARA O TÓPICO DE TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 121).
Para obter a tensão vo no resistor de 8 Ω, é preciso utilizar a transformação de 
fontes, para simplificar a análise. Primeiramente, a fonte de tensão de 12 V pode ser trans-
formada com a associação em série dos resistores de 4 Ω e 2 Ω, resultando em uma fonte 
de corrente de 2 A (pois is = 12/6 =2 A) em paralelo ao resistor de 6 Ω, como demonstra 
a figura “Primeira simplificação do exemplo”. 
35UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Observe o sentido da nova fonte de corrente, apontando para baixo. Ela obedece 
ao sentido da antiga fonte de tensão (que também apontava para baixo).
FIGURA 06 - PRIMEIRA SIMPLIFICAÇÃO DO EXEMPLO
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 121).
Associando os resistores de e em paralelo, o resultado é um resistor de . Da 
mesma forma, as fontes de corrente de e em paralelo resultam em uma fonte de corrente 
de , pois, pela Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK), a soma das correntes que entram e 
saem de um nó deve ser zero, como mostra a Figura 7.
FIGURA 07 - SEGUNDA SIMPLIFICAÇÃO DO EXEMPLO
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 121).
Como os resistores de 8 Ω e 2 Ω estão em paralelo, eles possuem a mesma tensão. 
Logo, o resistor equivalente da associação em paralelo desses dois resistores terá a mesma 
tensão vo. Assim, 8 Ω em paralelo a 2 Ω resulta em um resistor de 1,6 Ω que, sujeito a uma 
corrente de 2 A da fonte de corrente, resulta em uma tensão vo = 3,2 V.
2.1.3 Transformação para fontes dependentes
A transformação de fontes dependentes funciona da mesma forma, utilizando a 
mesma relação (9) apresentada anteriormente. Na Figura “Transformação de fontes depen-
dentes”, há a simbologia utilizada em fontes dependentes.
36UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
FIGURA 08 - TRANSFORMAÇÃO DE FONTES DEPENDENTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 120).
Tanto para as fontes dependentes como independentes, o sentido da fonte de 
corrente segue a polaridade da fonte de tensão e vice-versa. Agora, considere o circuito 
apresentado na Figura 9. Nesse caso, é possível obter a tensão vx sobre o resistor de 2 Ω .
FIGURA 09 - EXEMPLO PARA A TRANSFORMAÇÃO DE FONTE DEPENDENTE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 122).
Transformando a fonte de corrente de 0,25vx associada em paralelo com o resistor 
de 4 Ω, obtém-se uma fonte de tensão vs = 4.0,25vx = vx , associada em série a uma 
resistência de 4 Ω. Também é possível transformar a fonte de tensão de 6 V em série com o 
resistor de 2 Ω, resultando em uma fonte de corrente is = 6/2 = 3 A, associada em paralelo 
a um resistor de 2 Ω, conforme mostra a Figura 10.
FIGURA 10 - PRIMEIRA SIMPLIFICAÇÃO DO EXEMPLO
 DE TRANSFORMAÇÃO DE FONTES DEPENDENTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 122).
37UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Assim, é possível associar os dois resistores de 2 Ω em paralelo, resultando em 
uma resistência de 1 Ω, associada em paralelo à fonte de 3 A. Transformando essa asso-
ciação de fonte de corrente e resistência em série, obtém-se uma fonte de tensão vs= 3 V, 
associada em série a um resistor de 1 Ω, conforme mostra a Figura 11.
O resistor de 2 Ω, sobre o qual há a tensão vx no circuito original, agora, não está 
mais no circuito. A tensão vx , no entanto, permanece entre os mesmos pontos.
FIGURA 11 - SEGUNDA SIMPLIFICAÇÃO DO EXEMPLO 
DE TRANSFORMAÇÃO DE FONTES DEPENDENTES
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 122).
Finalmente, é possível aplicar a LTK na malha resultante:
Observe, porém, que vx é a soma das tensões da fonte de tensão de 3 V com a 
queda de tensão do resistor de 1 Ω , ou seja, 
Combinando (11) e (12), é possível calcular a corrente da malha:
Assim, combinando (12) e (13), obtém-se vx :
Por fim, confira os exercícios apresentados na bibliografia básica, a fim de fixar os 
conceitos apresentados neste capítulo. 
38UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
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3.1 Análise Nodal 
A análise nodal é uma técnica de análise de circuitos baseada na aplicação sis-
temática da Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK). Ao analisar as tensões dos nós (no 
lugar das tensões dos elementos), reduz-se a quantidade de equações necessárias para 
a análise docircuito. Por exemplo, em um circuito com N nós, utilizando a análise nodal, 
deve-se obter a tensão de (N-1) nós, que exige a solução de (N-1) equações simultâneas 
(BOYLESTAD, 2012, p. 254).
3.1.1 Análise Nodal Com Fontes De Corrente Independente e Dependente
Supondo um circuito genérico com n nós, podemos obter as tensões nodais se-
guindo três etapas simples (BOYLESTAD, 2012, p. 254):
1. Escolha um nó de referência e rotule cada nó restante com um valor subscrito 
de tensão v1 , v2 , e assim por diante;
2. Defina arbitrariamente o sentido das correntes do circuito, e aplique a LCK 
a todos os nós, exceto ao nó de referência, respeitando o sentido arbitrário 
escolhido;
3. Resolva o sistema de equações resultante para obter as tensões nodais.
39
 3 MÉTODOS PARA 
 ANÁLISE DE
 CIRCUITOS EM CC
TÓPICO
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Embora possa parecer complexo, será esmiuçada cada uma das etapas. Primeiro, 
seleciona-se o nó de referência, comumente chamado de terra (GND). Pode ser qualquer 
nó do circuito. As tensões nodais serão diferentes, mas as tensões reais sobre os elementos 
serão as mesmas, independente do nó de referência adotado. Esse nó é representado por 
um dos três símbolos apresentados na Figura 13.
FIGURA 13 - SÍMBOLOS COMUNS PARA NÓ DE REFERÊNCIA
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 72).
Em qualquer um desses casos, o referencial tem o mesmo objetivo: servir como 
referência de tensão para as outras tensões nodais.
Assim que escolhido o nó de referência, atribuem-se tensões simbólicas a cada um 
dos nós do circuito. Considere o circuito ilustrado na Figura 14. Para tal circuito, há três nós: 
o nó de referência e os nós 1 e 2. Veja que os elementos R1 e R3 apresentam tensões v1 e 
v2, respectivamente. Essas tensões não são tensões nodais, mas sim as tensões sobre os 
elementos indicados.
40UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
O termo terra é comum em equipamentos elétricos. A tomada residencial, por exemplo, tem um pino para 
a conexão do terra. Por que o referencial é chamado de terra? Existe alguma correlação, em sua opinião, 
com o termo aterramento?
Fonte: O autor (2022).
FIGURA 15 - CIRCUITO EXEMPLO PARA ANÁLISE NODAL
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 72).
É importante não confundir as tensões nodais v1 e v2 com as quedas de tensões 
nos resistores R1 e R3 . Para esse fim e para simplificar a representação do circuito (e 
evitar a poluição do desenho), esse circuito é redesenhado, conforme a Figura 16, em 
que retiramos as tensões dos resistores e adicionamos as correntes i1 , i2 e i3 que fluem 
nos ramos de R1 , R2 e R3 , respectivamente.
FIGURA 16 - CIRCUITO EXEMPLO REDESENHADO PARA MOSTRAR AS TENSÕES NODAIS
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 72).
É necessário lembrar de que, pela convenção de sinal passivo, a corrente sempre 
deve fluir do maior para o menor potencial. Ao referenciar o nó inferior como terra, supõe-se 
que as tensões nodais v1 e v2 são maiores que o referencial; portanto, a corrente deve fluir 
dos nós e para o nó GND. Após a resolução do circuito, é possível, a partir do sinal das 
tensões nodais calculadas, definir o sentido real das correntes. 
41UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Para analisar circuito da Figura 16, primeiramente, aplica-se a LCK no nó 1:
I1 = I2 + i1 + i2 (15) 
E no nó 2:
I1 + i2 = i3 (16) 
Agora, aplica-se a Lei de Ohm para expressarmos as tensões nodais em termos de i1 , i2 
e i3 . Pela convenção do sinal passivo, pode-se expressar a Lei de Ohm da seguinte forma:
 
Sendo assim, obtêm-se as seguintes relações:
Substituindo as Equações (18), (19) e (20) nas Equações (15) e (16), encontramos 
duas equações:
Multiplicando a Equação (21) por R1 R2 e a Equação (22) por R2 R3 , e simplificando, 
obtemos:
Na forma matricial, podemos escrever as Equações (23) e (24) como:
42UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
A terceira etapa da análise nodal consiste em resolver o sistema de equações 
(constituído pelas Equações (23) e (24), nesse caso), assim obtendo as tensões nodais. 
A resolução do sistema de equações não é foco deste material, porém pode-se utilizar 
qualquer método-padrão que o leitor se sinta à vontade, como substituição, eliminação, 
regra de Cramer, ou, ainda, inversão de matrizes.
Na análise nodal, muitas vezes, é interessante trabalhar com condutâncias (ao in-
vés de resistências). Isso se dá devido ao processo matemático, as resistências do circuito 
sempre aparecem no denominador das equações. Para evitar uma manipulação algébrica 
tediosa, reescrevem-se as Equações (21) e (22) em termos de condutâncias:
 
Podemos, enfim, representar tal sistema na forma matricial, para resolvê-lo pelo 
método de Cramer:
Além das técnicas já mencionadas, podemos ainda resolver tais sistemas utilizando 
ferramentas computacionais, como calculadoras, e softwares, como SciLAB (gratuito) ou 
MatLAB (licença paga).
A inserção de uma fonte de corrente dependente não atrapalha o método já des-
crito. A única diferença se dá pelo fato de que a corrente que referencia a fonte de corrente 
dependente já tem nome e sentido definido e é necessário respeitá-los. Atente-se: uma 
fonte de corrente dependente pode depender não somente de uma corrente, mas também 
de uma tensão em outra parte do circuito.
3.1.2 Análise Nodal Com Fontes De Tensão
Será estudado, agora, o caso da análise nodal com fontes de tensão. Caso a fonte 
de tensão (dependente ou independente) esteja conectada por meio de um de seus nós 
ao nó de referência, simplesmente define-se a tensão nodal do nó que não é de referência 
como sendo a tensão da fonte. Considere a fonte de tensão de 10 V, ilustrada na Figura 
17. Nesse caso, definimos a tensão nodal v1 :
43UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
O raciocínio se desenvolve da seguinte forma: se for definido que o nó de referência 
possui 0 V e a fonte de tensão apresenta uma diferença de potencial de 10 V entre o nó de 
referência e o nó 1, então, v1 , obrigatoriamente, deve ter 10 V em relação ao referencial. 
Pode-se, então, seguir com a análise normalmente, porém já conhecendo uma das tensões 
(efetivamente, simplificando a análise).
FIGURA 17 - CIRCUITO EXEMPLO COM FONTE DE TENSÃO E SUPERNÓ
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 78).
3.1.3 Conceito De Supernó
Se a fonte de tensão estiver conectada em dois nós, que não sejam de referência 
(por exemplo, a fonte de da Figura 17), esses dois nós formam o que chamamos de 
supernó, e é necessário aplicar tanto a LCK quanto a LTK para a análise do circuito (ALE-
XANDER; SADIKU, 2013, p. 78).
“Um supernó é formado por uma fonte de tensão (dependente ou independente), 
conectada em dois nós quaisquer que não sejam o de referência, e quaisquer elementos 
conectados em paralelo a essa fonte” (ALEXANDER; SADIKU, 2013, p. 78).
Um supernó apresenta algumas propriedades pertinentes.
1. A fonte de tensão dentro do supernó fornece uma equação necessária para a 
solução das tensões nodais;
2. Um supernó não apresenta tensão própria;
3. É necessário aplicar tanto a LCK quanto a LTK para analisar um supernó.
44UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Formado o supernó, continua-se a análise normalmente, aplicando a LCK nos nós, 
a fim de determinar as equações nodais do circuito.
Vejamos um exemplo: 
FIGURA 18 – CIRCUITO ELÉTRICO COM SUPERNÓ
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 79).
Observe que esse circuito apresenta quatro nós, além do nó de referência, e que, 
entre eles, há dois supernós, um entre os nós 1 e 2 e outro entre os nós 3 e 4. Montando 
os supernós e definindo o sentido das correntes no circuito, nos resultando na Figura 19:
FIGURA 19 – CIRCUITO ELÉTRICO COM SUPERNÓ
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 79).
Aplicando a LCK no supernó 1-2, observa-se a seguinte relação:
45UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISEDE CIRCUITOS I
Reescrevendo (30) pela Lei de Ohm:
Simplificando (31):
De forma similar, aplicando a LCK no supernó 3-4:
Aplicando a LTK nos supernós, inicialmente, no supernó 1-2:
Ou, ainda:
E, agora, no supernó 3-4:
Porém, vx = v1 - v4 . Logo, (36) pode ser reescrita como:
Ou, finalmente:
Assim, constitui-se o sistema com as Equações (32), (33), (35) e (38):
46UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Resolvendo o sistema, obtém-se os seguintes resultados:
Como o circuito apresentado tem quatro tensões nodais, o sistema resultante será 
de quatro equações, e a sua solução, muitas vezes, é problemática. Por exemplo, se tentar-
mos resolver pelo método de Cramer, será necessário calcular o determinante de matrizes 
4x4, tarefa essa também problemática.
3.2 Análise de malhas 
A análise de malhas é um método para analisar circuitos elétricos, com o qual 
procura-se estudar as correntes que fluem nas malhas de tais circuitos. Esse método é 
conveniente, pois fornece uma metodologia padrão para análise e, muitas vezes, diminui a 
quantidade de equações matemáticas necessárias para a solução do problema (SADIKU; 
ALEXANDER, 2013, p. 81).
Alguns conceitos importantes: Uma malha é um laço que não contém nenhum outro 
laço em seu interior (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 82).
Um laço é um caminho fechado que não passa mais de uma vez pelo mesmo nó. 
Logo, uma malha é um caminho fechado que não passa no mesmo nó e que não contém 
nenhum outro laço em seu interior. 
FIGURA 20 - CIRCUITO COM DUAS MALHAS
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 82).
47UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Observe que esse circuito apresenta três laços: abefa, bcdeb e abcdefa. Desses 
três laços, dois são malhas, abefa e bcdeb. O laço abcdefa não é uma malha, pois, dentro 
dele, temos outros dois laços (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 82).
Na análise de malha, interessam as correntes i1 e i2 que circulam nas malhas abefa 
e bcdeb, respectivamente. Essas correntes são chamadas de correntes de malha. Para 
se obterem essas correntes, utiliza-se a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK), seguindo três 
passos simples (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 82):
 ● Atribuir correntes de malha i1 , i2, ..., in a n malhas.
 ● Aplicar a LTK em cada uma das n malhas, usando a Lei de Ohm para expressar 
as tensões dos resistores em termos das correntes de malha.
 ● Resolver as n equações simultaneamente, obtendo assim as correntes de malha.
Como exemplo para as etapas apresentadas, considere um circuito com resistores 
e fontes de tensão independentes, conforme apresentado anteriormente na Figura 19
A primeira etapa diz para atribuírem-se correntes a cada uma das duas malhas. Con-
vencionalmente, se atribuem correntes no sentido horário, nesse caso, as correntes i1 e i2 .
Na segunda etapa, aplica-se a LTK em ambas as malhas, obtendo, assim, duas 
equações para duas correntes de malha. Para a primeira malha, tem-se:
Já para a segunda malha, tem-se:
Preste atenção nos termos R3 (i1- i2) da Equação (39) e - R3 (i1- i2) da Equação 
(40). Essas subtrações vêm da Lei de Ohm, pois, para que a corrente obedeça à Lei de 
Ohm, ela deve fluir do terminal positivo para o negativo do resistor, obedecendo ao sentido 
mostrado pela corrente I3.
Ao analisar a interação das duas correntes de malha i1 e i2 no ramo de R3, supondo 
ambas correntes positivas, percebe-se que, como as duas correntes fluem em sentidos 
opostos (i1 flui do nó b para o nó e, enquanto i2 flui do nó e para o nó b), então, seus efeitos 
são contrários, sendo necessário subtraí-las. Obedecendo à polaridade imposta, nota-se 
que a corrente no ramo de R3 deve fluir do nó b para o nó e e, então, tem-se a subtração 
(i1- i2) como corrente desse ramo. Veja que esse termo é usado em ambas as Equações 
(39) e (40). O sinal positivo de R3 (i1- i2) na Equação (39) é obtido, pois, ao ser aplicada 
48UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
a LTK na malha, acompanha-se a polaridade do ramo (terminal positivo para o terminal 
negativo). Já na Equação (40), ao ser aplicada a LTK, o sinal encontrado ao caminhar pela 
malha 2 é negativo e, assim, é necessário o sinal negativo em R3 (i1- i2).
As Equações (39) e (40) constituem um sistema de equações com duas variáveis, 
i1 e i2. Colocando essas variáveis em evidência em ambas as equações, pode-se represen-
tá-las como um sistema de equações, na forma:
Na forma matricial, o sistema (41) é apresentado como:
É possível resolver esse sistema da forma que você desejar, obtendo, assim, as 
correntes de malha i1 e i2 . É importante notar, porém, que correntes de malha são diferentes 
das correntes dos ramos ( apresentadas no circuito exemplo como I1, I2 e I3 ). Para diferen-
ciar umas das outras, use a letra minúscula para correntes de malha, e a letra maiúscula, 
para correntes de ramo. Pode-se relacionar as correntes de ramo e de malha por inspeção 
do próprio circuito. As correntes de malha são distintas das correntes reais nos elementos 
apenas nos ramos em que há mais de uma corrente de malha atuando. Nesses casos, a 
corrente real é obtida pela combinação das correntes de malha, observando o sentido da 
corrente resultante. No circuito exemplo apresentado, temos:
Assim, podem ser relacionadas as correntes que fluem nos elementos do circuito 
com as correntes de malha.
A existência de fontes de tensão dependentes no circuito não influencia em nada 
a análise de malha. Só é necessária atenção na hora de aplicar a LTK, pois essas fontes 
dependentes utilizam como referencial variáveis do próprio circuito. 
A existência de fontes de corrente no circuito facilita a aplicação da análise de ma-
lha. No caso de a fonte de corrente estar posicionada de forma que ela faça parte somente 
de uma malha, como na Figura 21, simplesmente, define-se a corrente de malha como 
sendo a corrente da fonte, e a análise segue. Assim, i2 = - 5 A.
49UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
FIGURA 21 - CIRCUITO COM FONTE DE CORRENTE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 85).
Já no caso de a fonte de corrente estar posicionada entre duas malhas, temos o que 
chamamos de supermalha. Uma supermalha resulta da combinação de duas malhas que 
possuem uma fonte de corrente (dependente ou independente) em comum, como ilustrado 
na Figura 22 (SADIKU; ALEXANDER, 2013, p. 86).
FIGURA 22 - DUAS MALHAS COM FONTE DE CORRENTE EM COMUM
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 86).
Para analisar o caso da supermalha, considere o circuito apresentado na Figura 
acima. Para constituir uma supermalha, são retirados a fonte de 6 A e todos os elementos 
associados em série a ela. A malha resultante da exclusão desses elementos é a superma-
lha, como vemos na figura 23.
50UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
FIGURA 23 - SUPERMALHA RESULTANTE
Fonte: Alexander; Sadiku, (2013, p. 86).
Caso um circuito tenha duas ou mais supermalhas, e elas se interceptam, deve-
se combiná-las, formando uma supermalha maior. Uma supermalha apresenta algumas 
características:
a) a fonte de corrente que existe na supermalha fornece a equação necessária 
para a solução do problema;
b) uma supermalha não possui corrente;
c) uma supermalha necessita tanto da LTK quanto da LCK.
Formada a supermalha, aplica-se a LTK normalmente a ela, tomando o cuidado de 
respeitar as correntes de malhas respectivas de cada elemento do circuito. No caso, tem-se:
 Simplificando:
 Há duas variáveis no circuito, porém somente uma equação. Para se obter 
a segunda equação necessária para a solução do circuito, é preciso aplicar a LCK em 
algum nó do circuito original ligado ao nó comum às duas malhas. No caso da Figura “Duas 
malhas com fontes de corrente em comum”, aplicando a LCK no nó 0, tem-se:
 
51UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
Resultando em i1 = -3,2 A e i2 = 2,8 A.
A existência de fontes dependentes não mudaa análise nodal com fontes de cor-
rente. É necessária, novamente, a atenção ao aplicar a LTK. 
52UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
“Os circuitos elétricos são utilizados para ligar dispositivos elétricos e eletrônicos, de acordo com suas es-
pecificações de funcionamento, referentes à tensão elétrica de operação e à corrente elétrica suportada 
pelo dispositivo. Além disso, são usados para distribuição da energia elétrica em residências e indústrias, 
conectando diversos dispositivos elétricos por meio de fios condutores, conectores e tomadas.
De acordo com seus componentes básicos, um circuito elétrico pode desempenhar diversas funções: eli-
minar picos de corrente elétrica, que são prejudiciais para alguns aparelhos mais sensíveis; aumentar a 
tensão elétrica de entrada ou, até mesmo, abaixá-la; transformar uma corrente alternada em uma corrente 
contínua; aquecer algo, entre outras.”
Fonte: HELERBROCK, R. Circuitos elétricos. Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/
fisica/circuitos-eletricos.htm. Acesso em: 20 jun. 2022.
https://brasilescola.uol.com.br/
http://fisica/circuitos-eletricos.htm. 
53
Como você já sabe, para a análise de circuitos por meio do Princípio da Superpo-
sição, os elementos que constituem o circuito deve ser lineares, sendo que um elemento 
linear obedece a dois princípios: a homogeneidade e a aditividade. Para que seja possível 
simplificar um circuito mediante a técnica estudada, com o fim de facilitar a análise, é ne-
cessário que todos os seus elementos tenham comportamento linear.
Nesse contexto, é possível afirmar que elementos práticos não apresentam linea-
ridade completa, pois sua resposta característica depende de fatores externos, como tem-
peratura ou umidade. Logo, são comuns elementos apresentarem comportamento linear 
dentro de somente uma região de funcionamento. Assim, desde que sejam respeitadas 
estas faixas de operação, as técnicas trabalhadas são válidas e representativas.
Ademais, uma forma de interpretar um circuito é a superposição, na qual o efeito 
ocasionado por uma combinação de fontes é calculado pela soma dos efeitos individuais 
provocados por cada uma das fontes. Vale ressaltar que esse conceito é genérico e é 
utilizado, extensivamente, nos mais diversos campos da Engenharia.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
54
LIVRO 
Título: Teoria e desenvolvimento de projetos de circuitos eletrônicos
Autor: Otávio Markus e Waldir Sandrini Antonio Marco V. Cipelli.
Editora: Érica.
Sinopse: Esta publicação aborda os principais dispositivos 
eletrônicos discretos e integrados, desde os princípios de fun-
cionamento até às especificações técnicas. Dentre eles estão 
os diodos (zener e retificadores controlado e não controlado), 
transistores (bipolar, FET e UJT), sensores (PTC, NTC e LDR), 
reguladores de tensão, amplificador operacional, temporizador 
e amplificador integrado. Para cada dispositivo apresenta as 
aplicações mais comuns e os métodos de projeto dos circuitos 
que os empregam, principalmente as diversas configurações 
de e de alimentação e amplificadores transistorizados.
FILME / VÍDEO
Título: O jogo da imitação
Ano: 2015.
Sinopse: Durante a Segunda Guerra Mundial, o governo britâni-
co monta uma equipe que tem por objetivo quebrar o Enigma, 
o famoso código que os alemães usam para enviar mensagens 
aos submarinos. Um de seus integrantes é Alan Turing (Benedict 
Cumberbatch), um matemático de 27 anos estritamente lógico 
e focado no trabalho, que tem problemas de relacionamento 
com praticamente todos à sua volta. Não demora muito para 
que Turing, apesar de sua intransigência, lidere a equipe. Seu 
grande projeto é construir uma máquina que permita analisar 
todas as possibilidades de codificação do Enigma em apenas 18 
horas, de forma que os ingleses conheçam as ordens enviadas 
antes que elas sejam executadas. Entretanto, para que o proje-
to dê certo, Turing terá que aprender a trabalhar em equipe e 
tem Joan Clarke (Keira Knightley) sua grande incentivadora.
MATERIAL COMPLEMENTAR
UNIDADE 2 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS I
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Plano de Estudos
• Circuitos de primeira ordem;
• Circuitos de segunda ordem;
• Estudo de circuitos em regime permanente senoidal;
• Análise de potência em circuitos CA.
Objetivos da Aprendizagem
• Conceituar circuitos de primeira e segunda ordem;
• Compreender a análise de circuitos em regime 
 permanente senoidal;
• Aprender a realizar análises de potência em circuitos CA.
3UNIDADEUNIDADE
 Professor Me. Lucas Delapria Dias Dos Santos
TEOREMAS E TEOREMAS E 
MÉTODOS PARA MÉTODOS PARA 
ANÁLISES DEANÁLISES DE
CIRCUITOS IICIRCUITOS II
56
Olá, estudante, tudo bem? Seja bem-vindo a nossa terceira unidade da disciplina 
de Análise de circuitos. Há esta altura em nossos estudos, já conhecemos os principais 
elementos que podem existir em um circuito elétrico, correto? Recapitulando, temos os 
resistores, capacitores, indutores e fontes de corrente e tensão. 
Nesta unidade, estudaremos aqueles circuitos que possuem, além do resistor, um 
elemento armazenador: capacitor ou indutor. A partir deste ponto, abordaremos os circuitos 
de Primeira e Segunda ordem. Ou seja, aqueles circuitos com um ou com dois elementos 
armazenadores. 
O resultado da análise será, equações com derivadas de primeira e segunda ordem. 
Apesar de circuitos com dois capacitores ou com dois indutores também serem circuitos de 
segunda ordem, exploraremos com mais ênfase aqueles com um capacitor e um indutor. 
A análise destes circuitos será semelhante àquela aplicada aos circuitos das 
unidades anteriores: uma chave altera a alimentação do circuito que dará início a um 
comportamento transitório da tensão e da corrente nos elementos até atingir novamente a 
estabilidade. 
Agora que já entendemos um pouquinho do que vem pela frente, estamos prontos 
para mergulhar nestes tópicos! Vamos lá?!
INTRODUÇÃO
UNIDADE 3 TEOREMAS E MÉTODOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS II
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Quando unimos um capacitor e um resistor ou um indutor e um resistor em um cir-
cuito, temos a configuração conhecida como circuito RC ou RL. Estes circuitos são conhe-
cidos como Circuitos de Primeira Ordem, visto que as suas condições iniciais são definidas 
através de equações com derivadas de primeira ordem. Primeiramente estudaremos os 
circuitos RC. Este circuito possibilita duas situações:
1. Quando uma fonte CC é conectada repentinamente ao circuito, fornecendo 
energia ao capacitor, que se carrega; 
2. Quando uma fonte CC é