4-Funções

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Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
1 
Unidade 4: Funções 
Tema 1: Generalidades sobre funções 
 
 Pág. 102 
1.      ℝ1 , \ 0ff x D
x
 ;     ℝ0, gg x x D ;      ℝ1,2 h
x
h x D 
1.1. a)   :f g g fD x x D g x D      � ℝ ℝ 
Cálculo auxiliar 
              ℝ 0 0 0 0g fx D g x D x x x x x 
        1f g x f g x f x
x
  � 
f gD

�
ℝ e    1f g x
x
� 
 
b)   :f h h fD x x D h x D    � ℝ   ℝ \ 2 
Cálculo auxiliar 
  1 0 2
2h f
x
x D h x D x x         ℝ 
      11
2 1
2
x
f h x f h x f
x
 
     
  
� 
1 2
2 2
2
x x

 
 
 \ 2f hD � ℝ e   
2
2
f h x
x


� 
 
c)    0:h g g hD x x D g x D      � ℝ ℝ 
Cálculo auxiliar 
          ℝ ℝ0 0g hx D g x D x x x 
        1
2
x
h g x h g x h x   � 
0h gD

�
ℝ e    1
2
x
h g x  � 
 
1.2.         � ℝ ℝ:g f f gD x x D f x D 
Cálculo auxiliar 
  10 0 0f gx D f x D x x
x
         
          
 
�
1 1 1
( )g f x g f x g
x x x
 
 
� �
ℝg f f gD D e       � �
1
g f x f g x
x
 
f e g são permutáveis. 
 
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2 
Pág. 103 
2.    ℝ ℝ: \ 3 \ 1f com   
 3
x
f x
x
 
2.1. Queremos provar que para cada  ℝ \ 1y existe um e apenas um  ℝ \ 3x tal que  y f x . 
   

             
 
3 3
3 3 1 3
3 1
xx y
y f x y x xy y xy x y x y y x
x y
 
 3x , porque   ℝ \ 1y ,  1y y 
Como, para cada  1y , a equação  y f x tem uma única solução, 

3
1
y
x
y
, tal que  ℝ \ 3x ,a 
função f é bijetiva. 
 
2.2. Expressão da função inversa: 
     
 
3
3 1
x y
y f x y x
x y
 (de 2.1.) 
  

1 3
1
x
f x
x
 
    ℝ ℝ1 : \ 1 \ 3f 

3
1
x
x
x
1 
 
2.3.          
   
1 3 3 0
3 1 3 1
x x x x
f x f x
x x x x
 
   
  
  
           
 
2 21 3 3 0 3 9 0 3 1
3 1
x x x x
x x x x x x
x x
 
22 8 0 3 1x x x x         
            2 4 0 3 1 0 4x x x x x x 
 
Pág. 105 
3.   2 , 4fD e    1 3f 
    2g x f x ;      3h x f x ; e     i x g x 
 
3.1.             : 2 : 2 2 4 1, 2g fD x x D x x 
              : 3 : 2 3 4 5 , 1h fD x x D x x 
                    : : 1 2 : 2 1 2 , 1i gD x x D x x x x 
 
3.2. a)                  1 2 7 2 6 3 2 3g x g x g x f x 
Como    1 3f , uma solução é    12 1
2
x x . 
b)              3 0 3 3 3h x h x f x 
Como    1 3f , uma solução é     3 1 2x x 
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Pág. 108 
4.    16 2g x x 
4.1.       OAPBA OA AP x g x 
Seja f a função que para cada valor de x dá a área do retângulo  OAPB . 
           216 2 16 2f x x g x x x x x 
        0,8: 0 16 2 0fD x x x 
                     22 2 2 2 216 2 2 8 2 2 4 4 4 2 4 32f x x x x x x x x 
A área máxima é igual a 32, para  4x . 
 
4.2.              224 0 , 8 16 2 24 0 , 8f x x x x 
        22 16 24 0 0 , 8x x x 
       2 8 12 0 0 , 8x x x 
   2 , 6x 
Cálculo auxiliar: 
 
        2
8 64 48
8 12 0 2 6
2
x x x x x 
 
Pág. 109 
5.   

4 11
2
x
f x
x
;    
2
7
3
4
x
g x
x
 
5.1.      
   
           
  
2
4 11 24 11 4 11
2 2 2 0 0
2 2 2
x xx x
f x x x x
x x x
 
                  2 24 11 4 4 0 2 0 4 11 4 4 0 2x x x x x x x x 
   
              

2 8 64 4 158 15 0 2 2 3 5
2
x x x x x x x 
    

4 3 11
3 1
2
f
x
 e     

4 5 11
5 3
2
f
x
 
O gráfico de f interseta a reta de equação   2y x nos pontos de coordenadas  3 , 1 e  5 , 3 . 
 
5.2.     2
4 11 7
3
2 4
x x
f x g x
x x
 
    
 
 
2
4 11 7
3 0
2 4
x x
x x
 
    
 
 
           
  

2
2
4 11 2 3 4 7
0
4
x x x x
x
 
      
  

2 2
2
4 8 11 22 3 12 7
0
4
x x x x x
x
 
          

2
2
2 3
0 2 , 1 2 , 3
4
x x
x
x
 
 
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Cálculo auxiliar 
2 2 4 122 3 0 1 3
2
x x x x x
 
          
2 4 0 2 2x x x       
  2 1 2 3 
 2 2 3x x + + + 0    0 + 
2 4x + 0    0 + + + 
 

2
2
2 3
4
x x
x
+  0 +  0 + 
 
Pág. 110 
6    
2 224 4AD x 
6.1.    216 8 1AD x x 
  2 8 32x x 
  AB BC CD AD 
     24 4 8 32x x x 
      28 8 32f x x x x 
 
6.2.          220 8 32 8 20f x x x x 
2 8 32 12x x x      
2 28 32 144 24x x x x       
   16 112 7x x 
Verificação: 
       49 56 32 7 8 20 25 15 20 (verdadeiro) 
Se x = 7,  7AB . 
trapézio
7 4
4 22
2 2
AB DC
A BC
 
     
 
Pág. 111 
7.     

ℝ
2
, \ 1
1 f
x x
f x D
x
 ;      ℝ
2 1
, \ 0g
x
g x D
x
 
7.1.           
   
          
  
2 2
1 1 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1
f g f g 
 
7.2.         ℝ ℝ ℝ\ 1 \ 0 \ 0 , 1f gD D 
             
   
        
 
2 2
21 1 11
1
1 1
x x x xx x x
f g x f x g x x
x x x x
 
   ℝ \ 0 , 1f gD e        
2
1f g x x 
 
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5 
7.3.               
2
210 0 1 0 0 1 1
x
g x x x x x
x
 
         ℝ ℝ: 0 \ 1 , 0 , 1f gD D x g x 
   
 
 
     

            
2
2
2 2
11
1 1 11 1
x x
f x x x xf xxx
g g x x x xx x
x
 
  ℝ \ 1 , 0 , 1f
g
D e  
 
 
 
 
2
2
1
f x
x
g x
 
 
Pág. 112 
8. 



 
  
ℕ
1
1
5
4
,
2
n
n
u
u
u n
 
 
  12
4 5 4 9
2 2 2
u
u ; 

   33
9 17
44 172 2
2 2 2 4
u
u ; 

   34
17 33
44 334 4
2 2 2 8
u
u 
 
Pág. 113 
9. 



 
  
ℕ
1
1
5
4
,
2
n
n
u
u
u n
 
     1
1
4
2n n
P n u é a condição que pretendemos provar ser universal em ℕ . 
(i)          1 1 11 1
1 1
1 4 4 5
12
P u u u 
 1P é uma proposição verdadeira. 
(ii) Hipótese de indução:      1
1
4
2n n
P n u 
Tese:           1 11 1
1 1
1 4 4
2 2n nn n
P n u u 


 1
4
2
n
n
u
u 

 
 
1
1
4 4
2
2
n
 
  
  
    
1 1 1
1 1 1
4 4 8 82 2 2
2 2 2 2
n n n
 
  
     
1 1 1
1 1 1
4 4 4
2 2 2 2n n n
 
Ficou provado que       ℕ , 1n P n P n 
Logo, por indução matemática, provou-se que 

   ℕ
1
1
, 4
2n n
n u . 
1 Por hipótese, 3 3 nnu
 
 Pela fórmula de recorrência
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6 
10.1.           
ℕ ℕ1 1
2 2
, ,
2 3 2 3n n n n
n u u n u u
n n
 

       

ℕ2 3
0 2 3 0 2
2 3 2
n
n n n
n
 
Logo,  nu não é monótona pois: 
 para  1,n     
 2 1
2
2 0
2 1 3
u u 
 para  2n ,    
 3 2
2
2 0
2 2 3
u u ou seja, 2 1u u e 3 2u u 
 
10.2. 1u a 
     
  2 1
2 2
2
2 1 3 1
u u a a 
     
 3 2
2
2 2
2 2 3
u u a a 
Resposta: (C) 
 
Pág. 114 
11.1.    25 4570 , 130u u 
a)  45 25 45 25u u r     
130 70 20r      
     20 60 3r r 
 25 25nu u n r     
   70 25 3nu n        
       70 3 75 5 3
n n
u n u n 
 
b)  
 

  
           
50
20 50
20 21 50
20
55 145
... 50 20 1 31 3100
2 2nn
u u
u u u u 
Cálculo auxiliar 
20 5 3 20 55u      ; 50 5 3 50 145u     11.2.     ℕ9 12
1 1
; , 0,
9 243 n
v v v n 
a)      12 9 312 9
1 1
243 9
v v r r      3 3
1 1 1
9
243 27 3
r r r 
  99
n
n
v v r 

           
 
9
2 9 71 1 3 3 3
9 3
n
n n
n n n
v v v 
 
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7 
b) 

           
 

9
99 9
6 6
1
1
1 11 1
1 3 33 3
1 21 1
3 3
k
k
r
v v
r
 
 
 
    

7 9 9
9 2
3 3 1 3 1 19 682 9841
2 2 9 93 2 3
 
12.            ℕ ℕ1 15 , 5,n n n nu u n u u n 
 nu é uma progressão aritmética de razão  5r 
        5 1 1 14 21 20 1u u r u u 
            20 1 19 1 19 5 1 95 96u u r 
   
   20
1 96
20 970
2
S 
 
Pág. 115 
13.            
2 2
1 12 , 2 ,n n n nu n u n N u u n n N 
Para  1n ,      22 1 1 2 1 0u u . 
Para  1n ,   1 0n nu u dado que     ℕ2 2 0 , \ 1n n . 
Portanto,  nu não é monótona. 
Resposta: (D) 
 
14. 5 , 1x x  e x + 5 
14.1.                          
 
2 2 21 5 1 5 5 5 1 2 1 25 2 26 13
5 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
 
  1 13 5 8a 
  2 13 1 12a 
  3 13 5 18a 
 
14.2.    2
1
18 12 3
12 8 2
a
r
a
 
  11
n
n
a a r 

    
 
1
3
8
2
n
n
a 
 
15. Sejam 1 , 2 ,…,6 as amplitudes, em graus, dos ângulos internos do hexágono. 
 1 90º 
  6 1 5r sendo r a razão da progressão aritmética 
              1 2 3 4 5 6 6 2 180 (em graus) 
 
   1 6 6 720
2
 
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8 
       1 1 5 3 720r 
   1
720
2 5
3
r 
    2 90 5 240r 
   5 240 180r 
  
60
5
r 
  12r 
      6 1 5 90 5 12 150r 
A medida da amplitude do maior ângulo é 150º. 
 
Pág. 116 
16.1. Seja  nl a sucessão das medidas dos lados dos quadrados.  nl é uma progressão geométrica de 
razão 
1
2
 sendo, 1 1l . Então, 

   
 
1
1
2
n
nl . 
O comprimento do quarto de circunferência inscrito num quadrado de lado a é dado por: 
 
  
2
4 2
a
c a  r a 
Então, 

     
 
1
1
2 2
n
na . 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
2
, sendo 

1 2
a . 
16.2. 
                      
5
5 5
5 1
1 11 11 32 1 312 2 2
1 11 2 2 2 32 321
2 2
r
S a
r
 
 
17.  

       
22 2 2 2
0
2 2 2 8 4 2
BC
BC AB BC BC BC 

 1
2 2
2
2
A u.a. 

 2
1 1 1
2 2
A u.a. 

 3
1 1
12 2
2 8
A u.a. 
  32
1 2
1
...
4
AA
A A
 
 nA é uma progressão geométrica de razão 
1
4
. 
 
  
                      
       
11 2 2 2
1 2 2 3 2
1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 2 2
nn n
n n n
nA A r 
 
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9 
Ou 
Pelo processo descrito podemos concluir qua as dimensões dos triângulos estão em progressão 
geométrica de razão 
1
2
. Logo, as áreas correspondentes estão em progressão geométrica de razão 
 
 
 
2
1 1
2 4
. 
 
Pág. 117 
18. O gráfico da função g pode ser obtido do gráfico da função f por uma translação de vetor 
 2 , 0 seguida de uma reflexão de eixo Ox dos pontos de ordenada negativa. 
        2 2f x f x f x 
Resposta: (C) 
 
19.     2f x x 
Expressão de g: 
   1g x ax 
          2 5 2 1 5 2 4 2g a a a 
   2 1g x x 
                            � 4 4 4 2 4 2 4 1 9 9 2 5f g f f g f f g f g f f 
Resposta: (D) 
 
20. 
 
O vértice da parábola tem coordenadas   4 , 4f com   4 0f porque    3 2f f . 
     , 4fD f 
Resposta: (A) 
 
Pág. 118 
21.    16f x x 
21.1.              
 
2
2 2 2
16 16
7 7 7
x x x
f x x x 
 
         
2
24 416 49 784 4 4 0
49
x x
x x x x 
   
       

2
2 53 53 4 78053 780 0
2
x x x 
    65 12x x 
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Propostas de Resolução 
10 
Verificação: 
65x  : 

    
2 65
65 16 9 9
7
 (falso) 
12x   : 

    
2 12
12 16 2 2
7
 (verdadeiro) 
12 é a única solução. 
     12 12 16 2f 
O ponto de interseção dos gráficos tem coordenadas (– 12 , 2). 
 
21.2.   ,P x f x 
    0 0 16 4f 
 0 , 4A ;  , 4B x ;  0 , 1E ;  , 1D x ;  , 0C x 
a)   0AB x x (x > 0) 
      4 4BP f x f x     4, ff x x D 
 
   
          
4 1 1
16 4 16 2
2 2 2 2ABP
x f xAB BP
A x x x x x 
    0,5 16 2g x x x x 
 
b)   1OCDEA OC CD x x     
       0,5 16 2g x x x x x x 
    0,5 16 3 0x x x 
 0,5 16 3 0x x     
      0 0,5 16 3 0x x 
     0 16 6x x 
0 16 36 0 20x x x x         
Como 0x  apenas devemos considerar 20x  . 
Verificação: 
0,5 20 20 16 3 20 0 10 6 60 0          (verdadeiro) 
A abcissa de P é 20. 
 
Pág. 119 
22. 
22.1.    1f x x 
 ℝ
f
D . Logo, se 
f
x D , então  
f
x D . 
         1 1f x x x f x 
Portanto,          ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função par. 
 
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11 
22.2.    f x x x 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
      ℝ :x f x f x e        ℝ :x f x f x 
Logo, f não é par nem é ímpar. 
 
22.3.   f x x x 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
          f x x x x x f x 
Portanto,           ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função ímpar. 
 
22.4.   

5
2 1
x
f x
x
 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
   
 
 
 
      
  
5 5 5
2 2 21 11
x x x
f x f x
x xx
 
Portanto,           ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função ímpar. 
 
23.1. Sejam f e g funções pares: 
         ,f fx D x D f x f x e 
         ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                             ,f g f gx D D x D D f g x f x g x f x g x f g x 
Portanto,               ,f g f gx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
23.2. Sejam f e g funções ímpares: 
          ,f fx D x D f x f x e 
          ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                   ,f g f gx D D x D D f g x f x g x 
                    f x g x f x g x f g x 
Portanto,                ,f g f gx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função ímpar. 
 
 
 
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12 
23.3. Sejam f e g funções pares. 
         ,f fx D x D f x f x e 
         ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                             ,f g f gx D D x D D f g x f x g x f x g x f g x 
Portanto,              ,fg fgx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
23.4. Sejam f e g funções ímpares: 
          ,f fx D x D f x f x e 
          ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                   ,f g f gx D D x D D f g x f x g x 
                    f x g x f x g x f g x 
Portanto,              ,fg fgx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
24. Seja f uma função ímpar tal que 0
f
D : 
Então,      0 0f f , ou seja,     0 0f f . 
                   0 0 0 0 0 2 0 0 0 0f f f f f f 
Portanto, se f é uma função ímpar e 0
f
D , então   0 0f . 
 
25. Seja f uma função simultaneamente par e ímpar. 
                 ,f fx D x D f x f x f x f x 
Então: 
              ,fx D f xf x f x f x 
Como                     2 0 0f x f x f x f x f x f x , então: 
   , 0fx D f x 
 
26. Sejam  nu e  nv progressões aritméticas de razões 1r e 2r , respetivamente, e  n n nw u v 
Então,   1 1n nu u r e   1 2n nv v r . 
                     1 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n nw w u v u v u u v v r r 
Portanto,     n n nw u v é uma progressão aritmética de razão igual a 1 2r r 
 
 
 
 
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13 
27. Se  nu é uma progressão aritmética de razão 2 então    ℕ 1, 2n nn u u 
  34 2 nu
n
v 
 
 

 
    
 

      

1 1
11
3 3
33 3 3 21
3 3 6
4 2 2 1 1
2 2 2
6424 2 2
n n
n nn n
n n
u u
u uu un
u u
n
v
v
 
Logo,  nv é uma progressão geométrica de razão 
1
64
. 
 
Pág. 120 
28.           � 2 2 1 1f g f g f 
          � 2 2 3 0g f g f g 
           � 1 13 3 2 1g f g f g 
            �1 1 11 1 1 2g f g f g 
Resposta: (B) 
 
29.       � �14 2f g g f 
       14 2f g g f 
       11 2f g 
  2 2 0 
Cálculo auxiliar 
  3 3 2 6
2 2
x x
g x y y y x y          
 1 2 6g x x   
 1 2 4 6 2g       
Resposta: (C) 
 
30.    1
2
x
f x 
  

4
3 2
x
g x
x
 
           
 
� 1
2
a
g f a g f a g 
       
     
 
4 1
4 2 4 22
3 2 1
3 2 1
2
a
a a
a a a
 
        

�
4 2
1 1
1
a
g f a
a
 
         4 2 1 1 5a a a a 
Resposta: (B) 
 
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14 
31.    2f x x 
  2 2 2 2 4 2f x x x x          
Verificação:        2 2 2 4 2 2 2 (verdadeiro) 
Se  2 2f   , então  12 2f   . 
Resposta: (A) 
 
32.     ℝ : 0gD x f x 
O domínio de g pode ser  2 se f(2) = 0 ou um intervalo I contido em [a , b] sendo a e b os zeros de f, 
caso existam. 
 
  2gD   ,gD a b  gD 
O domínio de g não pode ser ℝ0 . 
Resposta: (C) 
 
33.    

4
2
4
f x
x
 
33.1.   44 2 4
4
f x
x
      

 
4
2 0
4 x
   

 
 

4 8 2
0
4
x
x
 
12 2
0
4
x
x

 


  

2 12
0
4
x
x
 
       , 4 6 ,x 
Cálculo auxiliar 
x  4 6 
  
2 12x  – – – 0 + 
4x  – 0 + + + 
 Quociente + n.d. – 0 + 
 
 
33.2.      

4
0 2 1
4 0
f 
           

4
0 2 0 4 8 2 0 2
4
f x x x
x
 
B é o ponto de interseção da reta de equação  4y com o eixo Oy . 
Logo, B tem coordenadas  0 , 4 . 
C é o ponto de interseção da reta de equação  4y com o gráfico de f . 
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15 
              
  
4 4 4 8 2
4 2 4 2 0 0
4 4 4
x
f x
x x x
 
      12 2 0 4 6x x x 
Logo, C tem coordenadas  6 , 4 . 
 0 , 1A  ;  0 , 4B  ;  6 , 4C  ;  2 , 0D 
 
 
  
1 2
1
2 2OAD
OA OD
A 
 
 
    
2 6
4 16
2 2OBCD
OD BC
A OB 
         16 1 15ABCD OBCD OADA A A 
 
34.    1 1 , \ 2
2 f
f x D
x
  

ℝ 
   1 , 1,gg x x D      
 
34.1.         

1
2 1 2
2
f x
x
 
 
     
 
1 1 2
1 0 0
2 2
x
x x
 
3 3
0 0
2 2
x x
x x
 
    
 
 
       , 2 3 ,x 
Cálculos auxiliares 
3 0 3x x    
2 0 2x x    
x  2 3 
 
3x  – – – 0 + 
2x  – 0 + + + 
Quociente + n.d. – 0 + 
 
 
 
Pág. 121 
34.2.       : 1, 3 3 ,f g g fD x x D g x D         � ℝ 
Cálculo auxiliar 
  1 1 2 1 3g fx D g x D x x x x              
        11 1
2 1
f g x f g x f x
x
    
 
� 
     
 
�
1
1
2 1
f g x
x
 
       � 1 , 3 3 ,f gD 
 
 
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16 
34.3.    1g x x ;     1,gD ;     0 ,gD 
  2 21 1 1g x y x y x y x y          
   1 2 1g x x 
   1
2
: 0 , 1,
1
g
x x
      
1
 
 
35.      220 , 0 , 20ff x x x D 
     ℝ8 , gg x x D 
 
35.1.   220f x x x x x     
2 2 220 20 2 0x x x x x       
 2 10 0 0 10x x x x       
Verificação 
0x  :  0 0 0 (verdadeiro) 
10x  :     220 10 10 10 100 10 (verdadeiro) 
  0 , 10S 
 
35.2.     220 8f x g x x x x      
2 2 220 64 16 2 36 64 0x x x x x x          
2
2 18 18 12818 32 0
2
x x x
 
       
   2 16x x 
Verificação 
2x  :      220 2 2 8 2 36 6 (verdadeiro) 
16x  :       220 16 16 8 16 64 8 (falso) 
 2 8 2 6g    
O ponto de interseção dos gráficos de f e g tem coordenadas (2 , 6). 
 
35.3.     : 12 , 8f g g fD x x D g x D      � ℝ 
Cálculo auxiliar 
  0 8 20g fx D g x D x x         ℝ 
8 0 8 20 8 12x x x x           
         220 8 8f g x f g x x x     � 
 2 2160 20 64 16 4 96x x x x x         
 
2
: 12 , 8
4 96
f g
x x x
 
  
� ℝ
1
 
 
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Propostas de Resolução 
17 
35.4.                       

�
2 2 4 16 4 960 4 96 0 4 96 0 12 8
2
f g x x x x x x x x 
 
�
12 f gD e  �8 f gD 
Verificação: 
12x   :         212 4 12 96 0 0 0 (verdadeiro) 
8x  :       28 4 8 96 0 0 0 (verdadeiro) 
  12 , 8S 
 
36.    5 , \ 2
2 g
x
g x D
x
  

ℝ 
 
36.1.     , , , 0B x g x A x ;   0 ,C g x 
OA x ;  AB g x 
    2OABCP OA AB 
             
2 25 2 5 2 14
2 2
2 2 2
x x x x x x
P x x
x x x
 
 
36.2.          
 
2 22 14 2 14
12 12 12 0
2 2
x x x x
P x
x x
 
  
         

2
22 14 12 24 0 2 2 24 0 2
2
x x x
x x x
x
 
  
      
2 4 192
4 3
4
x x x 
Como x > 0, temos x = 3. 
   

15
3 3
3 2
g 
 3 , 3B 
 
36.3.          
 
2 22 14 2 14
24 24 24 0
2 2
x x x x
P x
x x
 
  
 

22 14 24 48
0
2
x x x
x
 
 

22 10 48
0
2
x x
x
 0 , 8x  
Cálculos auxiliares: 
2
2 10 10 8 482 10 48 0 8 3
4
x x x x x
  
          
Como 0x  , temos 8x  . 
Dado que 2 0,x x    ℝ : 
22 10 48
0
2
x x
x
 
 

 
    22 10 48 0x x 
0
0 8
x
x

   
 
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Propostas de Resolução 
18 
36.4.         
25
Área
2OABC
x
OA AB x g x
x
 
  
                

2 2
2 25 81 81 20 162 981 5 81 162 0 5 81 162 0 18
2 10 5
x
x x x x x x x x
x
Como 0x  , a área do retângulo [OABC] é igual a 81 cm2 se 18x  cm. 
     

22 18 14 18
18 45
18 2
P 
  18 45P cm 
 
37.    2 1 , \ 2
2 f
x
f x D
x

 

ℝ 
37.1.       
  
   
      
    
2 1 3 4 24 2 1 4
0 0
3 2 3 2 3
x x x xx x x
f x
x x x x x
 
  
      
    
   
2 2 2
2
2 7 3 8 4 2 3
0 0
2 3 5 6
x x x x x x
x x x x
 
       
3
1, 2 , 3
2
x 
Cálculos auxiliares 
2 1 1 24 32 3 0 1
4 2
x x x x x
 
          
2 5 6 0 2 3x x x x       
x  −1 
3
2
 2 3 
22 3x x  + 0 − 0 + + + + + 
2 5 6x x  + + + + + 0 – 0 + 
Quociente + 0 – 0 + n.d. – n.d. + 
 
 
37.2. a)     3g x kx 
          
 
            
 
�
2 3 1
1 1 1 1 3 1 1
2 3
k
f g f g f k
k
 
  
      
  
2 6 1 2 7
1 0 1 0
2 3 5
k k
k k
 
   
     
 
2 7 5 2
0 0 2
5 5
k k k
k
k k
 
 
b)           1 3 2 2 3 2 3 3g g k 
   2 6 3k k 
 
38.    21 , \ 2
2 f
f x D
x
  

ℝ 
 
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Propostas de Resolução 
19 
 
38.1.               
  
2 2 2 2
2 1 2 1 0 0
2 2 2
x
f x
x x x
 

 

4
0
2
x
x
    , 2 4 ,x      
 
Cálculo auxiliar: 
x  2 4 
  
4x  – – – 0 + 
2 x + 0 – + – 
 Quociente – n.d. + 0 – 
 
 
38.2.     ℝ2, gg x x D 
         �f g x x f g x x 
 2 2
2
1
2
f x x x
x
     

 
2 3
2 2
2 2 2 2
1 0 0
2 2
x x x
x
x x
   
      
 
 
       3 2 22 0 2 0x x x x 
       2 22 0 2x x x x 
         2 20 2 0 2x x x x 
  
        
 
21 1 80 2
2
x x x 
      0 2 1x x x 
  1, 0 , 2S 
 
38.3. Os gráficos das funções f e 1f  são simétricos relativamente à reta de equação y = x. Portanto, os 
pontos de interseção destes gráficos, quando existem, pertencem aquela reta. Por isso, as equações 
 f x x ,   1f x x e     1f x f x são equivalentes. 
          
 
2 2
1 1 0
2 2
f x y y y
x x
 
   
  

2 2 2
0
2
x y xy
x
 
2 0 2x y xy x        
       

2
1 2 2
1
y
x y y x x
y
 
  

1 2
1
x
f x
x
 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
20 
        
 
1 2 21 0
2 1
x
f x f x
x x
 
      
  
     
  
 
2 1 2 1 2 2
0
2 1
x x x x x
x x
 
   
      
  
 
2 23 2 2 2 4 2
0
2 1
x x x x x
x x
 
       2 3 0 2 1x x x x 
 3 0 2 1 0 3x x x x x x           
      

2
1
2
f x x x
x
   
 

22 2 2
0
2
x x x
x
 
            23 0 2 3 0 2x x x x x x 
   0 3x x 
  0 , 3S 
 
39. 
39.1. Os triângulos [MDF] e [CDE] são semelhantes. 
 2EC ; 
2
x
MD ;  1MC ; 

  
2
1
2 2
x x
CD 

MF MD
EC CD
 
 
    
 
22 2
22 2 2
2
x
MF x
MF
x x
2
2
x
MF
x


 
Portanto,   

2
2
x
h x
x
. 
 
39.2.   base
1
altura
3
V A 
   
3
21 2 2
3 2 3 6
x x
V x x V x
x x
    
 
 
 
39.3.     
 
32 6 432
6 36
3 6 6 12
V cm 3 
 
39.4.  
3 32 2
36 36 36 0
3 6 3 6
x x
V x
x x
      
 
 
       32 108 216 0 3 6 0x x x 

      
2
3 54 108 0 2
x
x x x 
    6 3 3 3x x 
As possíveis medidas da aresta da base são 6 cm e 3 3 3 cm. 
 
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Propostas de Resolução 
21 
Cálculos auxiliares 
Sabemos que 6 é uma solução da equação 3 54 108 0x x   . 
 1 0 – 54 108 
6 6 36 – 108 
 1 6 – 18 0 
2 6 36 72 6 1086 18 0
2 2
x x x x
   
        
6 6 3
3 3 3 3 3 3
2
x x x
 
          
Como 2x  , temos 3 3 3x   . 
 
Pág. 122 
1.   2 , ff x x k D   ℝ 
   2 , \ 0gg x D
x
  ℝ 
                  

�
2
3 2 3 9 2 2 9 1 8
9
g f g f g k k k
k
 
Resposta: (B) 
 
2.    3 , 2fD 
                             3 2 3 1 2 0 1 3 0 2 1 6 1 2 1 1 7f x f x f x f x f x 
  [1 , 7]gD 
Resposta: (B) 
 
3. Se o contradomínio é    , 0f , Oy é o eixo de simetria do gráfico de f. Logo, f é uma função par. 
Resposta: (D) 
 
4.     3 3 2f x x x ;     4 3 22g x x x x 
 
4.1. 
 1 0 –3 –2 
2 2 4 2 
 
1 2 1 0 
 
       30 3 2 0f x x x 
       22 2 1 0x x x 
      22 1 0x x 
       22 0 1 0x x   21 0,x x   ℝ 
     2 1x x 
   1 2 ,x      
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Propostas de Resolução 
22 
 
4.2.      4 5 22g x x x x 
    2 2 2x x x 
     2 1 2x x x 
         0 0 1 2g x x x x 
   
 
   
   
  
  
 
2
2 2
2 1 1
1 2
f x x x x
h x
g x x x x x
 
 
2
: \ 1 , 0 , 2
1
h
x
x
x
 

ℝ ℝ
1
 
4.3.          ℝ2
1
0 0 \ 1, 0 , 2
x
h x x
x
 
       ℝ1 0 \ 1, 0 , 2x x 
       ℝ1 \ 1, 0 , 2x x 
     1, 0 0, 2 2 ,x       
 
5. A(5 , 12) e P(x , 0) 
5.1. 2 25 12 13OA    
OP x 
 2 25 12AP x         2 210 25 144 10 169x x x x 
Perímetro de [OPA] =  OP OA AP 
      213 10 169f x x x x 
 
5.2.          290 13 10 169 90f x x x x 
2 10 169 77x x x      
2 2 210 169 77 154x x x x       
2144 77 169x    
   144 5760 40x x 
 40OP 
Verificação: 
        240 13 40 10 40 169 90 53 37 90 (verdadeiro) 
 

 
40 12
240
2OPA
A 
 
5.3. Se o triângulo é retângulo em P, então x = 5. 
         25 5 13 5 50 169 18 12 30f 
 
2 2 0
1 1 8
2
1 2
x x
x
x x
   
 
  
    
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Propostas de Resolução 
23 
5.4.              
222 2 2 213 13 169 10 169x f x x x x x 
    2 2169 10 169x x x   10 2 169x   33,8x 
Para este valor, pelo recíproco do Teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo em A dado que 
 , 13OP x OA ,    13AP f x x pelo que  
2 2 2
OP OA AP . 
 
6.1. 
n
P é a medida da hipotenusa do triângulo de ordem n. 
Então, 
2
nP é a medida dos catetos do triângulo de ordem n + 1. 
  
   
          
   
2 2 2
2
1 1 1
2
2
2 2 4 4
n n n
n n n n
P P P
P P P P 

    
1
1
2 2
2 2
n
n n
n
P
P P
P
 
 nP é uma progressão geométrica de razão 
2
2
. 
    2 2 21 16 16 16 2 16 2P 
 
               
  

8
8
8 1
2 11 121 2 151616 2 16 2 16 2
1 162 2 2 2 2
1
2 2
r
S P
r
 
   

     

30 2 2 230 2
15 2 2 2 30 2 30
4 22 2
 
 
6.2. a) A área de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem a unidades é dado por 

  
2
21
2 2 2
a a a
A a . 
Se b é a medida da hipotenusa,  2 2 2b a a donde 
2
2
2
b
a . 
Assim,   
2
21 1
2 2 4
b
A b . 
A área do triângulo de ordem n é   21
4n n
a b , dado que 
n
b é o comprimento da hipotenusa. 
A área do triângulo de ordem 1n  é   
2
1 1
1
4n n
a b . 
 
 
 
  
          
222
11 1
2
2 1
2 2
nn n
n nn
ba b
a bb
 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
2
. 
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Propostas de Resolução 
24 
b) 
                      
7
7 7
7 1
1 11 11 1 1 12 216 16 256 256 1 256 2 254
1 11 2 2 1281
2 2
r
S a
r
 
 
7.   4 1 , ff x x D   ℝ 
  11 8 , ,
8g
g x x D
 
     
 
 
7.1.       � ℝ :f g g fD x x D g x D     
1
,
8
 
             � 1 8 4 1 8 1f g x f g x f x x 
1
: , 
8
 4 1 8 1
f g
x x
 
   
 
� ℝ
1 
 
            �
ℝ
9
: ,
32g f f g
D x x D f x D 
                � 4 1 1 8 4 1g f x g f x g x x 
    1 32 8 9 32x x 
9
: , 
32
 9 32
g f
x x
 
   

� ℝ
1 
 
 
 
7.2.             � � 4 1 8 1 9 32f g x g f x x x 
               4 1 8 9 32 1 16 1 8 9 32 2 9 32 1x x x x x 
           16 128 9 32 1 2 9 32 6 96 2 9 32x x x x x 
             2 2 236 2 6 96 96 4 9 32 36 1152 9216 36 128x x x x x x 
             2 2 19216 1024 0 9 0 9 1 0 0
9
x x x x x x x x 
Verificação 
0 :x  4 1 8 0 1 9 32 0 4 1 3         (verdadeiro) 
1
9
x  : 
8 32 1 49 4 7
4 1 1 9 4 1 1
9 9 9 9 3 3
            (falso) 
  0S 
 
 
7.3. Não, porque � �f g g f . 
 
 
 
 
Cálculo auxiliar
1
1 8
8
1
8
g fx D g x D
x x
x
   
     
 
ℝ
 
Cálculo auxiliar
1
4 1
8
9 9
4
8 32
f gx D f x D
x x
x x
   
     
   
ℝ
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
25 
7.4.   11 8 , ,
8g
g x x D
 
     
 
   g x y   1 8x y  21 8x y    
2
2 18 1
8
y
x y x 
  
2
1 1
8
x
g x 
1
0
2
1
: ,
8
1
8
g
x
x
      

ℝ
1
 
 
 
7.5.               ℝ
2
1
0
1
3 4 3 1
8
x
g x f x x x 
             2 21 32 96 8 0 32 105 0 0x x x x x x 
                
232 32 4 105
0 3 35 0 3
2
x x x x x x 
 
  3S 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
26 
Tema 2: Funções e sucessões. Limites e continuidade 
 
Pág. 124 
1.1.        2 2lim 3 lim 3n n n 
 
1.2.         4 2 4lim 2 2 lim 2n n n 
 
Pág. 125 
1.3.       
 
3 3
2 3 3
2 6 6
lim lim lim 3 3
2 2
n n n
n n n
 
 
1.4. 
4 3 4 4
2
2 2 2
2 2 1 2 2
lim lim lim lim2
2
n n n n
n
n n n n
 
    

 
 
1.5. 
    
  
 
3 2 3
5 5 2
2 1 2 2
lim lim lim 0
1
n n n
n n n n
 
 
1.6. 
 
     
 
2 2
3 3 3 3
2 2
1 1 1 1
lim lim lim
8 8 28 8
n n n
n n n
 
 
1.7. 
           
     
 
2
2
2 23 3
2 3 2 3 0 3
lim lim lim lim 3
1 1 1 01
1 11
n
n n n n
n n
nn
n nn
 
 
1.8. 
                   
     
 
24 2
334 3
2 2 2
2
2
1 11 1 11 1
lim lim lim lim
11 1 1
1
nn n n n nnnn n n n
n n n
n
n
 
 
 
  

3
2
1 1
1
1 0 0
lim 1
1 1 0
1
nn
n
 
 
1.9.     
     
    
  
2 3 2 3
lim 2 3 lim
2 3
n n n n
n n
n n
 
 2 3 1 1
lim lim 0
2 3 2 3
n n
n n n n
    
   
     
 
 
 
1.10.     
   
   
 
2 2
2
2
3 3 3 3
lim 3 3 lim
3 3
n n n n n n
n n n
n n n
 
 
   
              
2 2
2
3 3
lim lim lim
11 1
3 33 3 3 3
n n n n n
n nn n n
nn n
 
    

 
1 1 1 3 3 3
lim
2 3 61 3 3 2 3 2 3 3
3 3
n
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
27 
Pág. 126 
1.11.     
     
    
   
22 1 2 1 2 1
lim 2 1 lim lim
2 1 2 1
n n n n n n
n n
n n n n
 
        
            
2
2
2 2
1
2
2 1
lim lim
2 1 2 1
1
n n
n n n
n n n
n nn n
 
     
    
 
 
2
1
2
2 0
lim
12 1 0 0 1
1
n
n
n n
 
1.12.        
     
    
   
2 2 2 2
2
2 2
2 4 3 2 4 3 4 4 3
lim 2 4 3 lim lim
2 4 3 2 4 3
n n n n n n n n n
n n n
n n n n n n
 
  
   
              
2
3 3 3
lim lim lim
33 3
2 42 4 2 4
n n n
n nn n n
nn n
 
 
   
 
 
3 3 3
lim
43 2 4 0
2 4
n
 
 
1.13. 
          
  
   
 
2
3 3 31 1 1
3 1 0 1
lim lim lim lim
22 1 2 0
2 22
n
n n n n
n n nn
n
nnn
 
 
1.14. 

                   
          
1
33
3 3 0
lim lim lim lim
1 02 2 2 21 1
n
n
n n n n n
n n n n n n
n
 
 
1.15. 
 
    

              
     
2 212
1 1 1 1 1
1
2
1 2
3 2 29 2 3 2 2 1 0 2 13
lim lim lim lim 3
13 1 3 3 1 3 3 1 3 0 3
3
3
n
nn
nn n n
n n n
n
 
 
1.16.  
 
 
    
                
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 2
lim lim lim lim lim
3 9 2 93 3 3 3
n nn n
n n
 
 
1.17.  

 
                                  
1
1 2 3 2 3 3 2lim 3 2 3 lim lim lim 3 0 3 3
3 33 3
n nn n n
n n n
n n
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
28 
2.1.  3 n
n
a 
  
  

    ℕ
1
11 3 13 ,
33
n
n nn
n
n
a
n
a
 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
3
r 
 
   


      ℕ
11 1
1 2 11
2
1
1
2 12 2 2 ,
1 22
2
nn
n nn
n
n
n
b
n
b
 
 nb é uma progressão geométrica de razão 
1
2
r 
 
2.2.  1
1
1
3
3
a ; 
1
3
r 
                          
1
1 11 1
1 1 1 1 3 1 1 13 3 1 1
1 21 3 3 3 2 23 3
1
3 3
p
p p
p p p
r
S a
r
 
 
2.3.          
  
1 1 1 1
lim lim 1 1 0
2 2 23
n n
S 
 
2.4 

 
1
1
lim lim
2
n
n n
i
a S 
 1 1 1
1 1
2 4
b 
 nb é uma progressão geométrica de razão 
1
2
r 

                  
  
 1
1
1
1
1 1 2
lim lim lim
11 4
1
2
n
nn
n
i
r
b b
r
 
 
  
        
   
1 1 2 1
2 1 lim 1 0
4 2 4 2
n
 
Portanto,  
 
  
 
 
1 1
1 1
1lim
2lim 1
1
lim
2
n n
n n
i i
n n
n n
i i
a a
b b
 
3. 
 
   
 
1
1
lim lim
1
n
n
r
S a
r
 

  
 
1
1
1 0
1 1
a
a
r r
 
 
 
   Se 0 1 , lim 0nr r
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
29 
Pág. 127 
4. 
   


2 3 1
1
n
nu
n
 
4.1. 
    
   

1
1
2 3 1 2 3 1
1 1 2 2
u ; 
 
    
  

2
2
2 3 1 2 3 5
2 1 3 3
u ; 
 3
3
2 3 1 2 3 1
3 1 4 4
u
   
   

 
Como   
2 1 3 2
u u u u , a sucessão  nu é não monótona. 
 
 
4.2.  1 n toma apenas os valores 1 e 1. Portanto,    2 3 1 n define uma sucessão limitada dado que 
        ℕ ,2 3 2 3 1 2 3nn , ou seja,        ℕ , 1 2 3 1 5nn . 
   
           
2 3 1 1
2 3 1
1 1
n
n
nu
n n
 e 

1
lim 0
1n
. 
Logo, lim 0
n
u dado que  nu é o produto de uma sucessão limitada por uma sucessão de limite nulo. 
Como lim 0
n
u ,  nu é convergente. 
 
4.3. Toda a sucessão convergente é limitada. Logo, como  nu é convergente, então é limitada. 
 
5. 



1 2
5
n
n
u
n
 e 


 
 1
2 se 10
 se 10
n
n
n
u n
v
u n
 
5.1. 
  
      
1 1
1 2 1 1 1
2 2 2
1 5 6 3
v u 
  
      
10 10
1 2 10 19 38
2 2 2
10 5 15 15
v u 

 
    
11 11 1 12
1 2 12 23
12 5 17
v u u 
 
5.2. 
 
     
1
1 2 2
lim lim lim lim lim 2
5
n n n
n n
v u u
n n
 
 
Pág. 128 
6.1  nu : 



 
  

ℕ
1
2
1
1
5
,
5
n
n
u
u
u n
 
a) Pretende-se provar que   ℕ
3
,
2
nn u . 
Para  1n , temos   1
3 3
1
2 2
u (proposição verdadeira) 
Admitamos, por hipótese, que para dado ℕn , 
3
2
nu . Pretendemos provar que  1
3
2
nu . 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
30 
 
    
 
2
23 3
2 2
n n
u u 
  
        
 
2
2 59 1 9 205 5
4 5 5 4 4
n
n
u
u 
    1 1
29 3
20 2
n n
u u 
Ficou provado, por indução matemática, que   ℕ
3
,
2
nn u 
b) Vamos provar, por indução matemática, que   ℕ 1, n nn u u 
Para  1n vem 
 
      
2 2
1
2 1
5 1 5 6
1 1 1
5 5 5
u
u u (proposição verdadeira) 
Admitindo, para dado ℕn , que  1n nu u vamos provar que  2 1n nu u . 
    
2 2
1 1n n n n
u u u u 
    
2 2
1
5 5
n n
u u 
    
2 2
1
5 5
5 5
n n
u u
 
  2 1n nu u 
Mostrámos que   ℕ 1, n nn u u , ou seja,  nu é crescente. 
 
c)  nu é monótona e limitada. Logo,  nu é convergente. 
Se  nu é convergente ,  1lim limn nu u . 


   
2
1
5
lim lim lim lim
5
n
n n n
u
u u u 
  
  
2
lim 5
lim
5
n
n
u
u 

         
2
2 25 5 5 5 5 0
5
x
x x x x x 
   
     
5 25 20 5 5 5 5
2 2 2
x x x 
Como   ℕ
3
,
2
nn u , vem 
3
lim
2
nu pelo que 


5 5
lim
2
nu . 
 
6.2.  nu : 



    
ℕ
1
1
1
4
,
4
n
n
u
u n
u
 
 
a) Vamos provar, por indução matemática, que   ℕ 1, n nn u u . 
Para  1n vem       
 2 1
1
4 4 4
1 1 1
4 4 1 3
u u
u
 (proposição verdadeira) 
 
 
    ℕ| , 4 2 0, da definição de n nn u u
   ℕ, 0, da definição de n nn u u
 
3 30 29
2 20 20
   ℕ| , 0 da definição de .n nn u u
|Fazendo lim
n
u x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
31 
Admitindo, para dado ℕn , que  1n nu u vamos provar que  2 1nnu u . 
      1 1n n n nu u u u 
    14 4n nu u 

  
 
1
1 1
4 4
n n
u u
 

  
 
1
4 4
4 4
n n
u u
 
  2 1n nu u 
Mostrámos que   ℕ 1, n nn u u , ou seja,  nu é crescente. 
b) Se  nu é convergente, então  1lim limn nu u . 
       1
4 4
lim lim lim lim lim
4 4 lim
n n n n
n n
u u u u
u u
 
 
       
  
24 4 4 4
0 0
4 4 4
x x
x x
x x x
 
   

         

2
22
0 2 0 4 0 2
4
x
x x x
x
 
Logo, se  nu é convergente, então lim 2nu 
 
c) Vamos provar que   ℕ , 2
n
n u . 
Para  1n , temos   
1
2 1 2u (proposição verdadeira) 
Admitamos, por hipótese, que para dado ℕn ,  2
n
u . Pretendemos provar que  1 2nu . 
         2 2 4 4 2
n n n
u u u 
     

1 1
4 2
4 2
n
n
u
u
 
    1
4 4
2
4 2
n
n
u
u
 
Ficou provado, por indução matemática, que   ℕ , 2
n
n u . 
Portanto, como toda a sucessão crescente e majorada é convergente, podemos concluir que  nu é 
convergente, sendo lim 2
n
u . 
 
7. 



 
 
ℕ
1
1
5
4
,
3
n
n
u
u
u n
 e   2
n n
v u 
 
7.1. Pretendemos provar que    ℕ 2, 3 2n
n
n u 
 Para  1n , temos 
      2 1
1
3 2 5 3 2 5 5u , que é uma proposição verdadeira 
 
 
Fazendo lim nu x

  
      

    
ℕ
ℕ ℕ
ℝ
É dado que , 0. 
4
Logo, , 0, ou seja, , 4 0 .
4
1 1
, ,
n
n
n
n u
n n u
u
x y x y
x y
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
32 
 Admitindo, para dado ℕn , que  23 2n
n
u , temos de provar que  
 
  
2 1
1
3 2
n
n
u 


 
1
4
3
n
n
u
u 
  
 
24 3 2
3
n
 |Por hipótese 
 
   
2 23 6 3 6
3 3 3
n n
 
      2 12 13 2 3 2nn 
Fica, assim, provada a hereditariedade da propriedade. 
Pelo princípio de indução matemática, pode-se concluir que    ℕ 2, 3 2n
n
n u 
 
7.2.         ℕ 2 2, 2 3 2 2 3n n
n n
n v u 
 
 
   
      
 
     
2 1 2 1
1 2 1 2 11
2 2
3 3 1
3 3 3
33 3
n n
n n n nn
n n
n
v
v
 
Como   ℕ 1
1
,
3
n
n
v
n
v
,  nv é uma progressão geométrica de razão 
1
3
r 
7.3. 

 
1
1
1
n
n
r
S v
r
,  2 1
1
3 3v e 
1
3
r 
                      
 
 
  
1 1
1 1 lim
1 0 3 93 3
lim lim 3 3 3 3
1 2 2 2 2
1
3 3 3
n n
n
S 
Resposta: (B) 
 
Pág. 129 
8.1. a) 

    
   
 2 2 2 2
1
...
1 2
n
n
k
n n n n
u
n k n n n n
 
Como 
2
n
n n
 é a menor das n parcelas da soma e 
2 1
n
n
 é a maior, temos: 

          
    
ℕ ℕ
2 2
2 2 2 2 2
1
, ,
1 1
n
n
k
n n n n n
n n n n u
n n n k n n n n
 
Por outro lado, como  

2 2
2 2
lim lim 1
n n
n n n
 e  

2 2
2 2
lim lim 1
1
n n
n n
, podemos concluir, pelo teorema 
das sucessões enquadradas, que lim 1
n
u . 
 
b) 
     
                
8 1 6 1 2
3 6 3 3 6 3 2
n n n
n
n
v
n n n
 

2
2n
 define uma sucessão decrescente de termos positivos. 
Logo, para   ℕ 1n n : 
1
3
8 3 6
2
6
n n
n
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
33 
     
                            
2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 5 1 1 2 5
0
2 2 2 3 3 2 3 4 3 3 2 6 3 3 2 6
n n n
n n n n
 
 
Portanto,            
   
ℕ
1 5
\ 1 ,
3 6
n n
n
n v 
Atendendo a que 
   
    
   
1 5
lim lim 0
3 6
n n
, podemos concluir, pelo teorema das sucessões 
enquadradas, que lim 0
n
v . 
 
8.2. 
 
   
2 9
4
n
n
n
u
n
 
a) 
   
         
2 9 1
2
4 4
n n
n
n
u
n n
 
Para todo ℕn : 
 
          
1 1 1
0 2 2 2 2
4 4 4
n
n
n n n
 
Portanto,   ℕ, 2n
n
n u . 
 
b) Se   ℕ, 2n
n
n u e  2n , então  lim
n
u . 
9. Como , 1
n n
un v   ℕ e dado que , 0
n
un  ℕ , podemos concluir que ,
1
n
n
u
n v  ℕ . 
Por outro lado, se lim
n
u   , então: 
1
lim 0
n
u
 
Assim: , 0
1
n
n
u
n v  ℕ e 
1
lim0 lim 0
n
u
  
Portanto, pelo teorema das sucessões enquadradas, temos que lim 0
n
v  . 
 
Pág. 131 
10.1.      
 
      
55 4 5lim 4 1 lim 4
x x
x x x 
 
10.2.         
5 5lim lim
x x
x x x 
 
10.3.    
 
      4 4lim 3 2 1 lim 3
x x
x x x 
 
10.4.    
 
     5 5lim 1 3 2 lim 2
x x
x x x 
 
2 9 4
2 8 2
1
n n
n
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
34 
11.1. 


 
    
 
1
lim 2 2 
2x
x x

   
         
   
 
1 1
2 2 2 2
2 2
lim
1
2 2
2
x
x x x x
x x
1 1
2 2
2 2lim 0
1
2 2
2
x
x x
x x

 
  

 
 
 
11.2.  
     
 
   
  
 
2 2
2
2
2 4 1 2 2 1
lim 2 4 1 lim 
2 2 1x x
x x x x
x x
x x
 
   2 2
2
2 4 1
lim
2 2 1x
x x
x x
 
 
 
2 2
2
4 4 1 1
lim 0
2 2 1x
x x
x x
  
 
 
 
 
 
 
Pág. 132 
12.1. 


  
 
   

4 2 4
35 1 5 5lim lim lim
2 3 2 2x x x
x x x
x
x x 
 
 
12.2. 
 2 2
5 5 3
2 1 2 2 2
lim lim lim 0
x x x
x x
x x x x


  

   
  
 
 
 
12.3. 
 3 3
3 3
4 1 4 4
lim lim
33 3x x
x x
x x x


 

 

 
 
 
12.4. 
 
 
 

2 2
2 2
2 1 2 2
lim lim
33 2 3x x
x x x
x x
 
 
 
12.5. 
  
 
   

6 2 6 3
3 3
3 3 2 3 3
lim lim lim
22 2x x x
x x x x
x x x
 
 
 
12.6. 
  
 
  
 
2 2
3 3
2 3 2 1
lim lim lim 0
2 2x x x
x x x
xx x x
 
 
 
13.1. 
2
2 2
2
1 2 1 2
2 2 2 1 2
lim lim lim 0 lim lim 0
x x x x x
x x
x xx x x
x x x x x x
 
  
    
               
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
35 
13.2. 
 
  
   
               
         
   
2
2 2
22 2
1 1
1 1
4 4
lim lim lim lim
44 44
11 1
x x x x
x x
x x x x
x
xx x
xx x
 
 
         
 
   
2 2
1 11 1
1 0
lim lim 1
4 4 1 0
1 1
x x
x
x x
x
x x
 
 
13.3. 
 
  
  
          
  
2
22 2
1 11 1
1
lim lim lim
2 2 2x x x
x x x x
xx x x
x x x
 
 
 
           
   
 
2
2
11 1 11
1 1 0
lim lim 0
12 1 0
1
x x
xx x xx
x
x
x
 
13.4. 
 
  
 
               
 
3 2
3
3 23 3
1 1 1
2
2 1
lim lim
1 1x x
x x
xx xx x x
x x
 
 
     
  
 
3 3
3 2 3 2
1 1 1 1 1 1
2 2
lim lim
1 1x x
x x x x
x xx x x x
x x
 
 
 
              
   
 
3
33 2 33 2
3
1 1 1 1 1 12 2
2 0 0 0
lim lim 2
11 1 0
11
x x
x
xx x xx x
x
xx
 
 
13.5.  
     
 
     
    
  
4 1 2 4 1 2
lim 4 1 2 lim
4 1 2x x
x x x x
x x
x x
 
       
 
     
  
           
   
2 2
2 2
2 2
4 1 2 4 1 2
lim lim
4 1 2 4 1 1 2x x
x x x x
x x
x x
x xx x
 
 
      
 
       
 
2 2 2 2
1
3
3 1
lim lim
4 1 1 2 4 1 1 2x x
x
x x
x x x
x xx x x xx x
 


   
  
2 2
1
3
3
lim
04 1 1 2x
x
x xx x
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
36 
13.6.  
        
  
        
     
     
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 1 3 1 3 1
lim 3 1 lim lim
3 1 3 1x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
 
2 2
22
1
3
3 1
lim lim
3 13 1
1 11 1
x x
x
x x
x xx x
x xx x
 
      
           
   
 
2 2
1 1
3 3
lim lim
3 1 3 1
1 1 1 1
x x
x x
x x
x x x
x x x x
 
      
     
 
         
 
 
2
1
3
3 0 3
lim
23 1 1 0 1 0
1 1
x
x
x x

 
   
   
   
 
 
Pág. 133 
14.1. 
 
 
  
  
 
   
  
22 2
2 2 2
22 2
lim lim lim 2
x x x
x xx x x
x x x x x
 
 
14.2. 
 
 
  
  
 
   
  
22 2
2 2 2
22 2
lim lim lim 2
x x x
x xx x x
x x x x x
 
 
14.3. 
 
  
  
   
  
 
3 2 3 2 3
3 3 3
3 1 3 1 3 3
lim lim lim
22 1 2 1 2x x x
x x x x x
x x x
 
 
14.4. 
 
 
  
  
    
   
 
3 23 2 3
3 3 3
3 13 1 3 3
lim lim lim
22 1 2 1 2x x x
x xx x x
x x x
 
 
14.5. 

 


3 1
lim
x
x x
x x
 
 
   
      
     
 
3 1 4 1 4 4
lim lim lim 2
2 2 2x x x
x x x x
x x x x
 
 
Pág. 134 
15.1. 
    
  
23
23 3
3 3 927
lim lim
3 39x x
x x xx
x xx


 
  
 
 
 
2
3
3 9 9 9 9 27 9
lim
3 3 3 6 2x
x x
x
   
     
  
 
 
 
     
 Quando :
3 1 3 1 e 
x
x x x x
   
 
    2 2lim 2 lim 2
x x
x x x
   
 
    3 2 3lim 3 1 lim 3
x x
x x x
   
 
    3 2 3lim 3 1 lim 3
x x
x x x
1 0 0 27
3 3 9 27
1 3 9 0
  

   
 
    2 2lim 2 lim 2
x x
x x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
37 
15.2. 

2
0
5 3
lim
x
x x
x
 
 

0
0 
   
 

  
0 0
5 3
lim lim 5 3 3
x x
x x
x
x
 
 
15.3. 

 

3 2
31
2
lim
1x
x x
x
 
 

0
0 
   
   
  
 
  
2
21
1 2 2
lim
1 1x
x x x
x x x
 

   
  
  
2
21
2 2 1 2 2 5
lim
1 1 1 31x
x x
x x
 
 
15.4. 
 
  
 
 
 
 
  
 
    
0
22 3 0
3 22 2
22
lim lim
5 2 2 2 1x x
x xx x
x x x x x
 

 
   
  
2
22
4 4
lim
4 4 1 72 1x
x
x x
 
 
15.5. 
  
   
 
 
 
 
  
 
    
0
2 0
3 2 23 3
3 39
lim lim
2 9 27 3 2 3 9x x
x xx
x x x x x
 
 

  
 
 23
3 6
lim
02 3 9x
x
x x
 
 
2
3
3 6
lim
2 3 9 0x
x
x x 
  
  
 
 
 
 
  
  
 23
3 6
lim
2 3 9 0x
x
x x
 
Não existe 


 
2
3 23
9
lim
2 9 27x
x
x x
. 
 
16.1. 

 
22
2 2
lim
4x
x
x
 
 

0
0 
   
   
   

  22
2 2 2 2
lim
4 2 2x
x x
x x
 
 
   
2
2
22
2 2
lim
4 2 2x
x
x x
 
 
  
 
   22
2 4
lim
4 2 2x
x
x x
 
 
  
 
 
     
 
 
   2
2
lim
2 2 2 2x
x
x x x
 
  2
1
lim
2 2 2x x x

 
     


   
1 1
162 2 2 2 2
 
 
1 1 0 2
1 1 2 2
1 2 2 0

1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0

1 0 5 2
2 2 4 2
1 2 1 0
 
 
 
2 9 0 27
3 6 9 27
2 3 9 0

 
 
2 3 9
3 6 9
2 3 0
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
38 
16.2. 
 
 
 

 

  
0
2 0
1
2
lim
3 1 1x
x x
x x
 
  
  
    
 
     
2
1
2 3 1 1
lim
3 1 1 3 1 1x
x x x x
x x x x
 
   
   
   
  
         
  
   1 1
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
lim lim
3 1 1 2 1x x
x x x x x x x x
x x x
 
  

    
  
1
2 3 1 1 3 2 2
lim 3 2
2 2x
x x x
 
 
16.3. 

 
1
8 3
lim
1x
x
x
 
 

0
0 
     
     
    

   1
8 3 8 3 1
lim
1 8 3 1x
x x x
x x x
 
    
   
   
    
    
  
     1 1
8 9 1 1 1
lim lim
1 8 3 1 8 3x x
x x x x
x x x x
 

 
   
   1
1 1 1 2 1
lim
6 38 3 1 8 3x
x
x 
 
 
Pág. 135 
17.  

 
 
  
 
2 3
2
 se 0
1 se 0
 se 0
x
x
x x
f x x
x x
x
x x
 
17.1.  
 
  
 
   
 
 
 
   
 
  
  
0
0
2
0 0 0 0
lim lim lim lim
x x x x
x x x x x xx
f x
x xx x x x x x
 
   
 
  
 0 0
lim lim 0
1 1x x
x x x x x
x x x
 
 
 
    
 
 
 
   
 
   
 
0
22 3 20
2
0 0 0 0
lim lim lim lim 0
1 1x x x x
x x xx x x x
f x
x x xx x
 
 
17.2.   0 1f 
Os limites laterais de f no 0 são iguais mas diferentes de  0f . Logo, não existe  
0
lim
x
f x . 
 
 
Pág. 136 
18.1.    
  
 
 
 
   

   
  
0
2 0
21 1 1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1 1 21x x x x
x xx x x
f x
x x xx
 
 
1 1 2
1 1 2
1 2 0

Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
39 
18.2.    
 
 
 
 
  

   

0
2 0
21 11 1
1
lim lim lim lim
1 21x xx x
x x x
f x f x
xx
 
  1 2f 
Como 1
f
D e os limites laterais de f no ponto 1 são diferentes de  1f , não existe  
1
lim
x
f x 
 
18.3. 


 22
1
lim
4x
x
x
 
 
 
  
 22
1 1
lim
4 0x
x
x
 
 
 
  
 22
1 1
lim
4 0x
x
x
 
Não existe 


 22
1
lim
4x
x
x
. 
 
18.4. 
 



 


2
32
5 6
lim 
2x
x x
x
   
 32
2 3
lim
2x
x x
x
 


 
 
  
 
   

2 2
3 1
lim
02x
x
x
 
18.5. 
 


4
23
81
lim 
3x
x
x
 
 

0
0 
 
 
  
 
     
   
  
    
       
  
   
2
2 2 2 2 2 2
2 23 3 3 3
9 9 9 3 3 9 3 9
lim lim lim lim
3 3 33 3x x x x
x x x x x x x x
x x xx x
 
   
  
 
  

2
3
3 9 24
lim
3 0x
x x
x
 
   
  
 
  

2
3
3 9 24
lim
3 0x
x x
x
 
Logo, não existe 
 


4
23
81
lim
3x
x
x
. 
 
18.6. 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
0
2 0
3 2 20 0 0
3 2 3 23 6
lim lim lim
33 3x x x
x x xx x
x xx x x x
 
 
  

  
0
3 2 6
lim
3 0x
x
x x
 
 
  

  
0
3 2 6
lim
3 0x
x
x x
 
Não existe 



2
3 20
3 6
lim
3x
x x
x x
. 
18.7. 
 
      
 
    
    
2
3 2 222 2 2
1 1 3
lim lim lim
4 4 04 4 2x x x
x xx x x
x x x x x x x
 
 
1 5 6
2 2 6
1 3 0



Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
40 
19.1. 
  
   
0
0
2
1 1 1
11
lim lim lim
x x x
x x xx x x x x x
x xx x x x x x
  
 
 
 
  
    
  
  
 
 
 21 1 1
1
lim lim lim 1
1x x x
x xx x x x
x x xx x    

   

 
 
19.2. Já sabemos que    
1
lim 1 1
x
f x f

  . 
Falta verificar se  
1
lim 1
x
f x

 . 
 
0
3 0
1 1
1
lim lim
1x x
x
f x
x 
 
 
 
 

 

 
 
1
1
lim
x
x



 
 
2 1
1
x x
x
 

3 
Como    
1 1
lim lim
x x
f x f x
  
 , não existe  
1
lim
x
f x

. 
 
20.1. 
 
 
    
 

   
    
      
   
0
02 20
2 21 1 1 1
1 11 1 1 1 2
lim lim lim lim 1
2 2 1 2 2 12x x x x
x xx x x
x x xx x x x
 
 
20.2. 

  
 0
2
lim
x
x
x
 

0
0
lim
x

2 x x
x x
0
lim
x

2x
x x


0
2
lim
x x
  
2
0
 
 
20.3. 

    
32
1 2 8
lim
2 8x
x
x x
 
 
 
  
   2
22
2 4 1 
1 2 8
lim
2 2 2 4x
x x
x
x x x x
 
    
     
 
 
  
2
22
2 4 2 8
lim
2 2 4x
x x x
x x x
   
 
     


  
2
22
4
lim
2 2 4x
x
x x x
 
  
  22
2 2
lim
2 2 4x
x x
x x x
 
 
   
 
  
  22
2 2 2 4 1
lim
4 4 4 12 32 4x
x
x x
 
Pág. 137 
21.1. 
    
 
 
 
  
  
    
    
0
0
2 21 1 1
1 1 1 1 1
lim lim lim
1 01 1 1 1x x x
x x x
x x x x x
 
 
21.2. 
 
     


   
     
   20 0 0 0
1 1
lim lim lim lim
01 1 1x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
 
 
1 0 0 8
2 2 4 8
1 2 4 0

Cálculo auxiliar 
 1 0 0 1 
1 1 1 1 
 1 1 1 0 
 
Exame Final Nacional – MatemáticaA 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
41 
21.3. 



2
1
1
lim
1x
x
x
 
 
 
   

 
1
1 1
lim
1x
x x
x
 
 
 
  
  
1 se 1
1
1 se 1
x x
x
x x
 
      
 
 
    
   
     
  1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x x x x
x
x x
 
     
 
 
    
   
   
 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x x x x
x
x x
 
Não existe 



2
1
1
lim
1x
x
x
. 
 
21.4. 
       
0
02
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x xx
x
x x  
 
   
 
 
 
21.5. 


0
1
lim
x
x x
x
 
 

0
0 
  
 
 
0 0
1 1
lim lim
x x
x x x x x x
xx x
   0lim 1 0x x x 
 
21.6. 

3 2
0
lim
x
x
x
 
 

0
0 
  
 
3 2 2
3 3
30 0 03 3
1
lim lim lim
x x x
x x
x xx
 
 
    33 3
0
1 1
lim
0x x
 
33 3
0
1 1
lim
0x x 
     
Logo, não existe 

3 2
0
lim
x
x
x
. 
 
Pág. 138 
22.1.  

 
  

   
2
 se 0
 
1 se 0
1 se 0
x
x
x x
f x
x
x x x
no ponto  0x 
 
    
 
 
 
   
   
 
0
0
2
0 0 0 0
1
lim lim lim lim 1
1 1x x x x
x x
f x
x x xx x
 
           0 0lim lim 1 1 0 0 1x xf x x x 
  0 1f 
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x 
 
 Quando x 1, 0
Logo, 
x
x x
 

Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
42 
22.2.  


 
 
2
 se 2
 2
2 se 2
x
x
f x x
x
no ponto  2x 
 
  
  
0
0
2 2 2
2 22
lim lim lim
2 2 2x x x
x xx
f x
x x x
  
 
 
 
  
 
  
  
 
    
2 2
2 2
lim lim 2 2 2
2x x
x x
x
x  
 
   

 
 


.2
lim 2
x
f x 
Como    
  

2 2
lim lim
x x
f x f x , não existe  
2
lim
x
f x pelo que f não é contínua no ponto  2x . 
 
22.3.  
  

 
   
1 1
 se 0
 
1 2 4 se 0
x
x
f x x
x x
 no ponto  0x 
   
   
 
 
 
   
     
    
0
0
0 0 0 0
1 1 1 1
lim lim lim lim 1
x x x x
x x x
f x
x x x
 
            0 0lim lim 1 2 4 1 0 4 1x xf x x 
 0 1 0 4 1 2 1f        
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x 
 
23.1.    
 
   

   
29
 se 3
3 
6 3 se 3
x
x
k xf x
k x x
no ponto  3x 
 
 
  
0
2 0
3 3 3
3 39 1
lim lim lim
3 3x x x
x xx
f x
k x k x  
 
 
 
  
 
   
 
 
   
3
1 1 6
lim 3 6
x
x
k k k
        
                3 3lim lim 6 3 6 3 3 6 3x xf x k x k k f 
       2
6
6 1 1 1k k k k
k
 
f é contínua no ponto  3x se e só se    1 1k k . 
 
23.2.  
 

  
  
2
 se 0
 
2 se 0
x x
x
f x x x
kx k x
no ponto  0x 
 
  
  
0
0
0 0 0
22
lim lim lim
x x x
x x x xx x
f x
x x x x x x
  
 
 
 
  
 
  
  
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
43 
 
     
      
    
  
2
2
0 0 0
2 12 2 2 1 1
lim lim lim 1
1 1 1x x x
x x xx x x x x x x x
x x xx x
 
 

  
0
lim 2
x
kx k k 
f é contínua no ponto  0x se e só se     1 1k k . 
 
Pág. 139 
24.1. Dado que: 
 toda a função polinomial é continua em ℝ ; 
 a soma, a diferença e o quociente de funções contínuas são funções contínuas; 
 uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua; 
a função f é contínua em   , 0 e em   0 , . 
No ponto  0x : 
 
    
   
0
0
0 0 0 0
2 2 2 22 2 2 2
lim lim lim lim
2 2 2 2x x x x
x xx x
f x
x x x x x
      
      
   
   
 
   
     
   0 0
1 1 1 2 2
lim lim
42 2 2 2 2 2 2 2 22 2x x
x
xx x
 
   
  
 
   
 0 0
2 2 0 2
lim lim 0
4 4 0 4x x
x
f x f
x
 
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x . 
Portanto, f é contínua em ℝ . 
 
24.2.  
 

  
  
  
2
6
 se 3
 se 3 
3
 se 3
1 4
x
x
k k xf x
x
x
x
 
 
a) Dado que: 
 toda a função polinomial é continua em ℝ ; 
 a soma, a diferença e o quociente de funções contínuas são funções contínuas; 
 uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua, 
a função f é contínua em   , 3 e em   3 , , qualquer que seja o valor de k . 
 
b) No ponto  3x : 
 
  
  
3 3
6 6
lim lim 2
3x x
f x
x
 
 
  
  
  
    
 
 
 
   
     
   
      
0
0
3 3 3 3
3 1 4 3 1 43
lim lim lim lim
1 41 4 1 4 1 4x x x x
x x x xx
f x
xx x x
 
      
  
       
3 3
3 1 4
lim lim 1 4 1 4 3 2
3x x
x x
x
x
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
44 
   23f k k 
Se f é contínua no ponto  3x então existe  
3
lim
x
f x , ou seja: 
 
            2 2
1 1 8
2 2 0 1 2
2
k k k k k k k 
 
Pág. 140 
25.1.  
    
  
2 1 1
 se 
22 6 4
 
1
2 2 se 
2
x
x
x
f x
x x x
 
a)          2910 29 2,9
10
f x f x f x 
Dado que toda a função polinomial é continua em ℝ ,a diferença e o quociente de funções 
contínuas são funções contínuas e uma potência de expoente racional de uma função contínua é 
uma função contínua, a função f é contínua em 
 
  
1
,
2
 e também é contínua em 
 
   
5 3
,
2 2
. 
                        
 
5
2 1
5 5 1 62
3
2 2 42 6 105
2 6 4
2
f 
               
         
 
3
2 1
3 3 1 42
2 2 6 6 2 2 33
2 6 4
2
f 
 
  
      
    
 
4 2 2 3 4 2 2 3
3 1 2,73
4 122 2 3 2 2 3
 
   
          
   
3 5
3 1 2,9 3 2,9
2 2
f f 
ou 
Dado que: 
 f é contínua em 
 
   
5 3
,
2 2
 
 
 
   
      
   
3 5
2,9
2 2
f f 
 
podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, que         
5 5
, : 2,9
2 2
x f x , ou seja, a 
equação   10 29f x tem pelo penos uma solução no intervalo     
5 3
,
2 2
. 
 
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
45 
b) Já vimos que a função f é contínua em 
 
  
1
,
2
. 
Dado que toda a função polinomial é contínua em ℝ , a soma de funções contínuas é uma função 
contínua e uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua, a 
função f também é contínua em 
1
,
2
 
   
. 
No ponto 
1
2
x  : 
 
  
   
0
0
1 1 1
2 2 2
2 1 2 6 42 1
lim lim lim
2 6 4 2 6 4 2 6 4x x x
x xx
f x
x x x
  
 
 
 
  
  
  
     
 
  
 
   
 
 
     
  
  1 1
2 2
2 1 2 6 4 2 1 2 6 4
lim lim
4 6 4 4 2x x
x x x x
x x
 
  
   
      
   
1 1
2 2
2 1 2 6 4 2 6 4 2 6 2
lim lim 2
2 2 1 2 2x x
x x x
x
 
   
1 1
2 2
1 1 1
lim lim 2 2 2 2 2
2 2 2x x
f x x x f
 
 
 
         
 
 
Logo, existe  
1
2
lim
x
f x

 pelo que f é contínua no ponto 
1
2
x  . 
Portanto, f é contínua em ℝ . 
Para provar que o gráfico da função f interseta o gráfico da função g ,definida por    21g x x  , 
em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence ao intervalo  0 ,1 , vamos considerar a função h 
definida por      h x f x g x  , ou seja,      21h x f x x   . 
h é contínua em ℝ por ser a diferença de funções contínuas em ℝ (função f e uma função 
polinomial). Logo, h é contínua em  0,1 . 
     2 6 2 60 0 0 1 1 0
2 2
h f

       
 1 2 2 4 2 2 0h       
Dado que h é contínua em  0 ,1 e    0 1 0h h  podemos concluir, pelo corolário do Teorema de 
Bolzano-Cauchy, que    0 ,1 : 0x h x   , ou seja, a equação    f x g x tem pelo penos uma 
solução no intervalo  0 ,1 . 
 
 
25.2.  
    

  


4 2 se 1
 3
 se 1
3
x x x
g x x
x
x
 
a)  0 4 0 0 2 4 2 0g        ;   1 3 21 0
3 3
g

    
 
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Propostas de Resolução 
 
46 
b)                           
  
3
0 0 , 2 4 2 0 1 1 0 , 2
3
x
g x x x x x x x
x
 
   3 0 , 2x x x x       
Portanto,      0 , 2 , 0x g x 
Cálculos auxiliares: 
 4 2 0 1 2 4 1x x x x x x             
2 22 16 8 1 9 14 0 1x x x x x x x              
 9 81 56 1 7 2 1
2
x x x x x x
 
            
 
3
0 1 3 0 3 0 1 3
3
x
x x x x x
x

            
 
c) Não, porque a função g não é contínua em  0, 2 . 
   
1 1
lim lim 4 2 4 1 1 2 3 3
x x
g x x x
  
          
 
1 1
3 1 3
lim lim 2
2 2x x
x
g x
x  
 
    
Como    
1 1
lim lim
x x
g x g x
  
 , f é descontínua no ponto 1x  . 
 
26.   3f x k x  
Qualquer que seja o valor de k , a função f é contínua em ℝ por ser uma função polinomial. Logo, f é 
contínua em qualquer intervalo do tipo  0 , k . 
O Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de um zero de f no intervalo  0 , k para 
os valores de k tais que    0 0f f k  . 
  30 0f k k   e   3f k k k  
     30 0 0 0f f k k k k k        
 2 21 0 0k k k      
21 0 0k k      
 1 1 0k k k        
 1,k   
O Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de um zero de f no intervalo  0 , k para 
 1,k    . 
 
 
Pág. 141 
27.1.   2 1
2
x
f x
x



;  \ 2fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
2
2
0 ,
Cálculo auxiliar
1 0 1 1
k k
k k k
  
      
ℝ
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Propostas de Resolução 
 
47 
 
2 2
2 1 5
lim lim
2 0x x
x
f x
x   
 
   

 
 
2 2
2 1 5
lim lim
2 0x x
x
f x
x   
 
   

 
A reta de equação 2x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.2.  
24
x
f x
x


;  \ 2 , 2fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   

   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   

   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   
   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   
   

 
As retas de equações 2x   e 2x  são assíntotas ao gráfico de f . 
 
27.3.  
2
1
2
x
f x
x x


 
 
 2: 0 2 0fD x x x x       ℝ 
 : 0 2 1x x x x        ℝ 
   0 , 2 2 ,    
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
2
2 2
1 2 1
lim lim
2 0x x
x
f x
x x   
 
   
 
 
 
2
2 2
1 2 1
lim lim
2 0x x
x
f x
x x   
 
   
 
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.4.  
2
2
2 3
5 6
x x
f x
x x
 

 
 
   2: 5 6 0 \ 2 , 3fD x x x      ℝ ℝ 
 
2
2
2 2
2 3 3
lim lim
5 6 0x x
x x
f x
x x   
  
   
 
 
 
2
2
2 2
2 3 3
lim lim
5 6 0x x
x x
f x
x x   
  
   
 
 
   
 
  
    
2 2 0
1 1 8
2
1 2
x x
x
x x
    
  
  

   
2 5 6 0
5 25 24
2
2 3
x x
x
x x
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Propostas de Resolução 
 
48 
    
  
0
2 0
23 3 2
3 12 3
lim lim lim
2 35 6x x x
x xx x
f x
x xx x 
 
 
 
  
  
  
   
 
 3
1 4
lim 4
2 1x
x
x

   
  
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.5.  
1
x
f x
x


 
Como 
f
D  ℝ e f é contínua, o seu gráfico não tem assíntotas verticais. 
 
27.6.   2
1
x
f x
x



 
   : 1 0 \ 1, 1fD x x     ℝ ℝ 
 
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
As retas de equações 1x   e 1x  são assíntotas ao gráfico de f . 
 
27.7.  
1 1
x
f x
x

 
 
 : 1 0 1 1 0fD x x x       ℝ 
   1, 2 2 ,    
f é contínua 
 
2 2
2
lim lim
01 1x x
x
f x
x
   
   
 
 
 
2 2
2
lim lim
01 1x x
x
f x
x
   
   
 
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
 
 
Pág. 142 
28.1.  
2
1
x
f x
x


 
 \ 1fD  ℝ 
1 5 6
3 3 6
1 2 0
 


   
   
   
    
 
1 0 1
1 1 0
1 1
1 1 2
Verificação: 2 1 1 (V)
x x
x
x
x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
49 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
2
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
   

 
 
2
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
2 2
2
lim lim lim 1
1x x x
f x x x
m
x x x x  
   

 
 
2
lim lim
1x x
x
b f x mx x
x 
 
         
 
2 2
lim lim 1
1x x
x x x x
x x 
  
   

 
De igual modo, em  : 
 
 
2 2
2
lim lim lim 1
1x x x
f x x x
m
x x x x  
   

 
 
   
    
             
2 2 2
lim lim lim lim 1
1 1x x x x
x x x x x
b f x mx x
x x x
 
A reta de equação 1y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.2.  
3
1
x
f x
x


 
 \ 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
3
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
3
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
3 3
2
lim lim lim lim
1x x x x
f x x x
m x
x x x x   
     

 
 
De igual modo, em  : 
 
 
3 3
2
lim lim lim lim
1x x x x
f x x x
m x
x x x x   
     

 
Não existem assíntotas não verticais ao gráfico de f . 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
50 
28.3.  
3 2
2
2
1
x x
f x
x



 
 \ 1, 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
3 2
2
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   
 
   

 
 
3 2
2
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   
 
   

 
 
3 2
2
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
 
3 2
2
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
As retas de equações 1x   e 1x  são assíntotas ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
Em  : 
 
 
3 2 3
32
2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x x
m
x xx x  

   

 
 
3 2
2
2
lim lim 2
1x x
x x
b f x mx x
x 
 
         
 
3 2 3 2
2 2
2 2 2
lim lim 1
1x x
x x x x x
x x 
   
   

 
De igual modo, em  : 
  3
3
2
lim lim 2
x x
f x x
m
x x 
   
 
3 2 2
2 2
2
lim lim 2 lim 1
1x x x
x x x
b f x mx x
x x  
  
           
 
A reta de equação 2 1y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
 
28.4.   2 1
1
x
f x
x



 
 \ 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
1 1
2 1 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
 
   

 
 
1 1
2 1 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x    
   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
51 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
  2 1 2lim lim lim 2
1x x x
x x
f x
x x  

  

 
A reta de equação 2y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.5.  
4
3 2
1 2
1
x
f x
x x x


  
 
         ℝ ℝ3 2: 1 0 \ 1fD x x x x 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
  
4 4
3 2 21 1 1
1 2 1 2 1
lim lim lim
1 01 1x x x
x x
f x
x x x x x
     
  
    
    
 
 
   
4 4
3 2 21 1 1
1 2 1 2 1
lim lim lim
1 01 1x x x
x x
f x
x x x x x
     
  
    
    
 
A reta de equação 1x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
Em  : 
 
 
4 4
43 2
1 2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x
m
x xx x x x  
 
    
  
 
 
4
3 2
1 2
lim lim 2
1x x
x
b f x mx x
x x x 
 
           
 
4 4 3 2 3
3 2 3
1 2 2 2 2 2 2
lim lim 2
1x x
x x x x x x
x x x x 
     
   
  
 
De igual modo, em  : 
 
 
4 4
43 2
1 2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x
m
x xx x x x  
 
    
  
 
 
4 3
3 2 3
1 2 2
lim lim 2 lim 2
1x x x
x x
b f x mx x
x x x x  
  
             
 
A reta de equação 2 2y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.6.   2f x x x   
 2 ,fD     
Assíntotas verticais: 
f é contínua e todos os pontos aderentes a 
f
D pertencem a 
f
D . Logo, o gráfico de f não tem assíntotas 
verticais. 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
 
   
3 2
2
 Cálculos auxiliares
 Divisores de 1:1 e 1
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1
1 1
x x x
x x
 
 
   
  
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Propostas de Resolução 
 
52 
Em  : 
 
2
2
2 1
2
lim lim lim
x x x
x x
f x xxx x
m
x x x
 
  
  
          
 
 
     
   
2
2
2 12 1 1
lim lim
x x
xx x xxxx
x x
 
2
2 1
lim 1 0 0 1 1
x xx
 
        
 
 
   lim lim 2 lim 2
x x x
b f x mx x x x x
  
            
Logo, o gráfico de f não tem assíntotas não verticais. 
 
28.7.  
4x x
f x
x

 
       ℝ 4: 0 0fD x x x x 
   , 1 0 ,     
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
0
4 0
0 0
lim lim
x x
x x
f x
x
 
 
 
 

  
4 4
220 0
lim lim
x x
x x x x
xx
  
 
   
3
0
1 1
lim
0x
x
x 

    + 
A reta de equação 0x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
4 2
34 3
2 2 2 3
1 11 1
1
lim lim lim lim lim 1 0 1 1
x x x x x
x x
f x xx x xm
x x x x x
 
  
    
              
 
4 4 2
lim lim lim
x x x
x x x x x
b f x mx x
x x  
   
           
 
 
  
   
4 2 4 2
4 4
4 2 4 2
lim lim
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
 
     
  
   
 
4 2
1 1
lim 0
x x x x
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
x  1 0 
31 x  0 + + + 
x    0 + 
fD + 0  0 + 
 4 3
Cálculos auxiliares
0 1 0
0 1
x x x x
x x
    
    
2Se 0 ,x x x 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
53 
De igual modo, em  : 
  4
2 3
1
lim lim lim 1 0 1 1
x x x
f x x x
m
x x x
 
  
  

       
 
4 4 2
lim lim lim
x x x
x x x x x
b f x mx x
x x  
   
           
 
 
4 2
1 1
lim 0
x x x x
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
29. Se a reta de equação
1
2
3
y x  é assíntota ao gráfico de f em  então 
  1
lim
3x
f x
x
 
 
     
1 1 1
lim lim lim 3
1
lim
3
x x x
x
x
h x
f x f xf x
x x
  

     
Se  lim 3
x
h x

 então a reta de equação 3y  é uma assíntota do gráfico da função h. 
Resposta: (D) 
 
Pág. 143 
30.1.   2 1f x x  
f
D  ℝ 
f é contínua em ℝ . Logo, o seu gráfico não tem assíntotas verticais. 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
  
    
             
2
22 2
2
1 11 1
1 1
lim lim lim lim lim 1 1 0 1
x x x x x
x x
f x xx xm
x x x x x
 
   
    2 2
2
2
1 1
lim lim 1 lim
1x x x
x x x x
b f x mx x x
x x

  
   
        
 
 
2 2
2
1 1
lim 0
1x
x x
x x
 
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f em (  ). 
 
De igual modo, em  : 
 
2
22 2
1 11 1
1
lim lim lim lim
x x x x
x x
f x xx x
m
x x x x
 
  
   
          
2
2
1
1
1
lim lim 1 1 0 1
x x
x
x
x x 
 
         
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
54 
   
    
  
   
        
 
2 2
2
2
1 1
lim lim 1 lim
1x x x
x x x x
b f x mx x x
x x
 
2 2
2
1 1
lim 0
1x
x x
x x
 
  
 
 
A reta de equação y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
30.2.   1x xf x
x
 
 
     : 1 0 0 1,0 0 ,fD x x x          ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
0 0
1 1
lim lim
0x x
x x
f x
x   
  
    
 
0 0
1 1
lim lim
0x x
x x
f x
x   
  
    
A reta de equação 0x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
   
2
2
2 2
1 1
1
lim lim lim
x x x
x x
f x x xx x
m
x x x

  
          
2
2
2 2
1 11 1 1
lim lim
x x
xx x x xx x
x x 
 
     
    
2
1 1
1
1 0
lim 0
x
x x
x
 

  

 
 
2
1 1
1
lim lim lim
x x x
x x
x x x x
b f x mx
x x  
 
 
       
2
2
1 1
1
1 1
lim lim 1 1 0 1
x x
x
x x
x x x 
 
              
 
 
A reta de equação 1y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
30.3.   24f x x x x   
 2: 4 0fD x x x    ℝ  1, 0 ,
4
 
       
 
Assíntotas verticais: 
f é contínua e todos os pontos aderentes a 
f
D pertencem a 
f
D . Logo, o gráfico de f não tem assíntotas 
verticais. 
 
  
   
    
24 0
4 1 0
1
0
4
x x
x x
x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
55 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
2
2
1 14 4
4
lim lim lim 1 lim
x x x x
x x
f x xx x x x xm
x x x x x   
                
 
 
1
1 lim 4 1 4 1
x x
       
     2 2lim lim 4 lim 2 4
x x x
b f x mx x x x x x x x
  
            
     2 2 2 2
2
2 4 2 4 4 4
lim lim
11
2 42 4
x x
x x x x x x x x x
x xx x
xx
 
     
  
     
 
 
1 1 1
lim lim
41 2 4 01
2 42 4
x x
x
x
xx
 
  
   
   
    
 
 
A reta de equação 
1
4
y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
2
2
1 14 4
4
lim lim lim 1 lim
x x x x
x x
f x xx x x x xm
x x x x x   
                
 
 
1
4
1
1 lim 1 lim 4 1 4 3
x x
x
x
x x 
 
        
     
 
2 2lim lim 4 3 lim 2 4
x x x
b f x mx x x x x x x x

  
             
    2 2 2 2
2
2 4 2 4 4 4
lim lim
11
2 42 4
x x
x x x x x x x x x
x xx x
xx
 
     
    
     
 
 
  
  
           
       
 
1 1 1 1
lim lim
2 2 011 2 4 0
2 424
x x
x
x
xx
 
O gráfico de f não admite assíntota em  . 
 
30.4.   24 2 4 1f x x x    
f
D ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua em 
f
D ℝ . Logo, o gráfico de f não tem assíntotas verticais. 
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
56 
Assíntotas não verticais ( y mx b  ): 
Em  : 
 
2
2 2
2
4 4 1
4 2 4 1
lim lim lim
x x x
x x
f x x x x
m
x x x


 
 
 
  
            
2
2
2 12 4 44 4 1
lim lim
x x
xx x
x xx
x x 
 
     
    
2
2 1
lim 4 4 4 0 4 0 2
x x x
 
         
 
 
    
 
2lim lim 4 2 4 1 2
x x
b f x mx x x x
 



        
  2 2
2
4 2 (2 1) 4 2 (2 1)
lim
4 2 (2 1)x
x x x x
x x
     
 
  
 
2 2
2
22
4 2 4 4 1 4 1
lim lim
22
4 2 14 2 1
x x
x x x x
x xx x
xx
 
    
  
       
 
 
22
1 14 4
4 0
lim lim 1
2 1 4 0 2 02 1
4 24 2
x x
x
x x
x
x xx x
 
        
    
     
 
 
A reta de equação 2 1y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
  24 2 4 1
lim lim
x x
f x x x
m
x x 
  
   
2
2 2
2 24 4 1 4 4 1
lim lim
x x
x x x x
x x
x x 
       
    
2
2
2 12 4 44 4 1
lim lim
x x
xx x xxx
x x 
 
         
    

 
       
 
      
2
2 1
lim 4 4
4 0 4 0 6
x xx 
   2lim lim 4 2 4 1 6
x x
b f x mx x x x
 
          
 
     
 
2 2
2
2
4 2 2 1 4 2 (2 1)
lim 4 2 2 1 lim
4 2 2 1x x
x x x x
x x
x x

 
     
    
  
 


Se 0:x
x x
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Propostas de Resolução 
 
57 
 22 2 2
2
2
2
4 2 2 1 4 2 4 4 1
lim lim
24 2 2 1
4 2 1
x x
x x x x x
x x
x x
x
 
      
  
       
 
 
22
1 14 4
lim lim
2 12 1
4 24 2
x x
x
x x
x
xxxx
 
   
   
 
        
 
 
0 4 4
1
44 0 2 0
 
  
   
 
A reta de equação 6 1y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
30.5.  
216
1
x x
f x
x



 
        ℝ 2: 16 0 1 0fD x x x x 
   1, 0 , 1 1,
16
 
        
 
 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
2
1 1
16 17
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
 
2
1 1
16 17
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
A reta de equação 1x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
     
2
2
1 1 116 16 16
16 4
lim lim lim lim lim 0
1 1 1 1x x x x x
x x
f x xx x x xm
x x x x x x x x    
            
    
 
 
2
2
1 1 116 16 16
16 16
lim lim lim lim lim 4
111 1 1
11
x x x x x
x x
xx x x xb f x
x x
x
xx
    
            
     
 
 
A reta de equação 4y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
     
2
2
1 1 116 16 16
16 4
lim lim lim lim lim 0
1 1 1 1x x x x x
x x
f x xx x x xm
x x x x x x x x    
              
    
 
 
 
  
   
    
216 0
16 1 0
1
0
16
x x
x x
x x
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Propostas de Resolução 
 
58 
 
2
2
1
16
16
lim lim lim
1 1x x x
x
xx x
b f x
x x  
       
 
 
1 1
16 16
16
lim lim 4
11 1
11
x x
x
x x
x
xx
 
   

    
   
 
 
A reta de equação 4y   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
31. Se g tem domínio ℝ e o seu gráfico admite uma assíntota oblíqua, então existem em ℝ 
 
lim
x
g x
m
x
 
e  lim
x
b g x mx

    . 
   2 3 2 3
lim 0 lim 0
x x
g x x g x x
x x x 
 
      
 
 
   2
lim 3 0 2 lim 3
x x
g x g x
x x 
      
  3
lim
2x
g x
x
  
   2 3 4 2 3 4
lim 0 lim 0
2 2 2 2x x
g x x g x x
 
  
       
 
 
   3 3lim 2 0 lim 2
2 2x x
g x x g x x
 
   
         
   
 
Portanto, 
3
2
m  e 2b  pelo que a reta de equação 
3
2
2
y x  é uma assíntota ao gráfico de g . 
Resposta: (A) 
 
Pág. 144 
32.1.  
2 5
3
x
f x
x



 
 \ 3fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
2
3 3
5 4
lim lim
3 0x x
x
f x
x  

   

 
A reta de equação 3x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
2
2
2
5
 se 3
5 3
3 5
 se 3
3
x
x
x x
f x
x x
x
x
 
    
   
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
59 
Em  : 
 
 
2 2
2
5
lim lim lim 1
3x x x
f x x x
m
x x x x  

   

 
 
2 5
lim lim
3x x
x
b f x x x
x 
 
         
 
2 25 3 3
lim lim 3
3x x
x x x x
x x 
  
  

 
A reta de equação 3y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
 
2 2
2
5
lim lim lim 1
3x x x
f x x x
m
x x x x  

    
 
 
 
2 5
lim lim
3x x
x
b f x x x
x 
 
         
 
2 25 3 3
lim lim 3
3x x
x x x x
x x 
  
   
 
 
A reta de equação 3y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
32.2.  
2
1
1
x
f x
x



 
 \ 1, 1fD  ℝ 
Se 1x   ,    
  22
1 11 1
1 1 111
x xx
f x
x x xxx
    
   
  
. 
Se 1 0x   ,  
 
 
  2 2
1 11 1
1 1 11 1
x xx
f x
x x xx x
   
   
     
. 
Se 0 1x  ,  
    2 2
1 1 1 1
1 1 11 1
x x x
f x
x x xx x
   
   
     
. 
Se 1x  ,  
    2 2
1 1 1 1
1 1 11 1
x x x
f x
x x xx x
  
   
   
. 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
1 1
1 1 1
lim lim
1 2 2x x
f x
x  
 
  
 
 
 
1 1
1 1 1
lim lim
1 2 2x x
f x
x  

   
 
 
 
1 1
1 1 1
lim lim
1 2 2x x
f x
x  
 
   

 
 
1 1
1 1
lim lim
1 2x x
f x
x  
 

 
O gráfico de f não tem assíntotas verticais. 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
60 
Assíntotas não verticais: 
  1lim lim 0
1x x
f x
x 

 

 
  1lim lim 0
1x x
f x
x 
 

 
A reta de equação 0y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
32.3.   2
3
 se 3
3
3 se 3
x
x
x xf x
x x x

   
    
 
f
D  ℝ 
Assíntotas verticais: 
Para 3x   , f é contínua. 
 
 23 3 3 3
3 3 1 1
lim lim lim lim
3 33x x x x
x x
f x
x x xx x      
 
    

 
   
3 3
lim lim 3 3 3 3 3
x x
f x x x
  
          
O gráfico de f não tem assíntotas verticais. 
Assíntotas não verticais: 
Em  : 
 
2 2
3 1
lim lim lim lim 0
3x x x x
x x
f x
xx x x   

   

 
A reta de equação 0y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
2
2 2
1 3 1 3
3
lim lim lim 1 lim
x x x x
x x
f x x xx x x x x
x x x x x   
               
 
 
2
1 3
1 lim 1 0 1
x x x
      
     lim lim 3 lim 3
x x x
f x x x x x x
  
            
O gráfico de f não tem assíntota em  . 
 
32.4.  
2
3
4 1 se 0
1
 se 0
x x
f x
x
x
x
  

  
 

 
f
D  ℝ 
Assíntotas verticais: 
Para 0x  , f é contínua. 
  2
0 0
lim lim 4 1 0 1 1
x x
f x x
  
     
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
61 
 
3
0 0
1 0 1
lim lim
0x x
x
f x
x   
 
    
A reta de equação 0x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
2
2
1
4
4 1
lim lim lim
x x x
x
f x xx
m
x xx  
        
1 1
4 4
1
lim lim lim 4 2
x x x
x x
x x
x x x  
  
       
   
 
2lim 2 lim 4 1 2
x x
b f x x x x

 
        
  2 2
2
4 1 2 4 1 2
lim
4 1 2x
x x x x
x x
   
 
 
 
2 2
2 2
4 1 4 1 1
lim lim 0
4 1 2 4 1 2x x
x x
x x x x 
 
   
   
 
A reta de equação 2y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
4 2
43 4
2 2 2 4
1 1 1 1
1 1 1
lim lim lim lim lim 0
x x x x x
x x
f x x xx x xm
x xx x x x    
            
 
2
23 2
1 1
1
lim lim lim lim
x x x x
x x x x
xx x
m f x mx
x x x   
             
2
1
lim 0
x
x
x
       
Não existe assíntota ao gráfico de f em ( ). 
 
33.  
2 1 se 0
 se 0
x x
f x
x x x
  
 
 
 
Assíntotas verticais: 
f é contínua em  \ 0ℝ 
No ponto 0x  
  2
0 0
lim lim 1 0 1 1
x x
f x x
  
     
   
0 0
lim lim 0 0 0
x x
f x x x
  
     
Portanto, o gráfico de f não tem assíntotas verticais. 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
 
62 
Assíntotas não verticais  y mx b  
Em  : 
 
2
22
1
1
1
lim lim lim
x x x
x
f x xx
m
x x x
 
  
  
        
2 2
2
1 1
1 1
1
lim lim lim 1 1 0 1
x x x
x x
x x
x x x  
  
          
   
 
2lim lim 1
x x
b f x x x x

 
        
  2 2 2 2
2 2
1 1 1
lim lim
1 1x x
x x x x x x
x x x x 
     
  
   
 
2
1 1
lim 0
1x x x
  
 
 
A reta de equação y x  é uma assíntota ao gráfico de f quando x   . 
Em  : 
 
lim lim lim
x x x
f x x x x x
m
x x x x
 
  
  
 
      
 
 
1 lim 1 lim
x x
x x x
x x x x 

    
 
 
1 1
1 lim 1 1 0 1
x x
      

 
   lim lim lim
x x x
b f x x x x x x
  
          
Não existe assíntota ao gráfico de f quando x   
A reta de equação y x  é a única assíntota ao gráfico de f (em  ) 
 
Pág. 145 
34. Se f é uma função par temos que: 
      2 2 1f f 
      4 4 3f f 
Portanto, como: 
 f é contínua em [– 4 , 2] e        4 2 2f f 
 f é contínua em [2 , 4] e      4 2 2f f 
o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos uma solução da equação    2f x 
em cada um dos intervalos ]– 4 , – 2[ e ]2 , 4[. 
Resposta: (C) 
 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
 
63 
35. A equação    3f x tem três soluções distintas. 
Sendo      1 3g x f x , o gráfico de g obtém-se do gráfico de f por uma 
translação de vetor  
�
1, 3u . A imagem do ponto  0 , 3 do gráfico de f é o 
ponto (0 , 3) + (1 , 3) = (1 , 0) do gráfico de g. 
Portanto, a equação    0g x tem três soluções distintas: 
Resposta: (D) 
 
36. Seja g a função, de domínio [a , d], definida por     g x f x x . 
A função g é contínua por ser a diferença de duas funções contínuas 
    g a f a a 
Como  ,fD b c  e a b c d   vem  a b f a c d    . Logo,  f a a e    0 0f a a g a    
   g d f d d  . 
Temos, novamente,  a b f d c d    , pelo que  f d d , ou seja,   0f d d  e   0g d  . 
Como a função g é contínua em [a , d], e como g(a) > 0 e g(d) < 0, o Teorema de Bolzano-Cauchy 
garante que a função g tem pelo menos um zero no intervalo ]a , d[. 
Como           0 0g x f x x f x x podemos concluir que a equação f(x) = x tem pelo menos uma 
solução no intervalo ]a , d[. 
 
 
Pág. 146 
37. Seja     h x f x x 
h é contínua em [– 2 , 2] (diferença funções contínuas). 
              2 2 2 3 2 1h f 
       2 2 2 3 2 1h f 
Como h é contínua em [– 2 , 2] e      2 2 0h h , o Teorema de 
Bolzano-Cauchy garante que a função h tem pelo menos um zero em 
 2 , 2 . 
          0 0h x f x x f x x 
Resposta: (C) 
 
38. Se    3 2g g temos: 
    3 2g g       3 2 2 2g g g 
     3 2 2 2g g g        

 
3 2
2
2
g g
g 
e 
    3 2g g 
        2 3 3 2g g g 
       2 3 2 3g g g      

 
2 3
3
2
g g
g 
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Propostas de Resolução 
 
64 
Portanto,        

 
2 3
2 3
2
g g
g g 
Como a função g é contínua em ℝ , também o é no intervalo [2 , 3]. 
Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy podemos concluir que existe, pelo menos, um número real c, 
pertencente ao intervalo ]2 , 3[ tal que      


2 3
2
g g
g c . 
39. 
 
O contradomínio de f apenas pode ser   , 2 . 
Resposta: (A) 
 
40.     4f a f b 
  ℝ
f
D 
      3 2 ;g x f x f a 
g é contínua em ℝ (produto e diferença de funções contínuas em ℝ ). Logo, g é contínua em   ℝ,a b . 
          3 2 0g a f a f a f a porque   ℝfD . 
                  3 2 3 2 4 5 0g b f b f a f b f b f b
 
porque, sendo    ℝ , 0fD f b . 
Portanto,      0g a g b . 
Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy: 
 
   


 
é contínua em ,
0
g a b
g a g b
   , : 0x a b g x  
 
 
41.  

    lim 3 1x
h x    
 
    lim 3 1 lim 2
x x
h x h x 
 
 
 lim 2
y
h y

     
 

     lim 2y
h y  
 

   lim 2
y
h y  
 

 lim 2
y
h y 
Logo,  

lim 2
x
h x . 
Resposta: (B) 
 
 
   
 é ímparh
h y h y  
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Propostas de Resolução 
 
65 
Pág. 147 
42. (A)     g x x f x 
           
   
1 1 1 1 13
4 0
9 9 9 3 3
g f 
           
   
1 1 1 1 19
9 0
4 4 4 2 2
g f 
(B)     g x x f x 
            
   
1 1 1 1 11
4 0
9 9 9 3 3
g f 
            
   
1 1 1 1 17
9 0
4 9 9 2 2
g f 
(C)     1g x f x
x
 
           
   
1 1
9 9 4 13 0
9 9
g f 
           
   
1 1
4 4 9 13 0
4 4
g f 
(D)     1g x f x
x
 
           
   
1 1
9 9 4 5 0
9 9
g f 
            
   
1 1
4 4 9 5 0
4 4
g f 
g é uma função contínua em  ℝ \ 0 por ser a diferença de funções contínuas neste domínio. Logo, g é 
contínua em 
 
  
1 1
,
9 4
. Como 
       
   
1 1
0 e 0
9 4
g g , o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência 
de pelo menos um zero em 
 
  
1 1
,
9 4
. 
Resposta: (D) 
 
43. Seja m o declive da reta r. Tem-se 0m  
   
 
  lim lim 0
x x
f x f x
m
x x
 (opções (A) e (C)) 
           0 0 0 0
f x
g x f x x
x
 
Logo, os zeros não nulos de f são os zeros de g. 
Resposta: (A) 
 
 
 
 
 
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66 
Pág. 148 
44. Declive da reta s que passa nos pontos (2, 0) e (0, 1): 

 

1 0 1
0 2 2
m 
A ordenada na origem é b = 1. 
Logo, y = 
1
1
2
x é uma equação de s. 
Sendo a reta s uma assíntota ao gráfico de f, quando  x , então: 
   1lim 1 0 lim 1 0
2 2x x
x
f x x f x
 
    
              
 
Resposta: (B) 
 
45. 
 
  

  
0
lim
3 0x
f x
f x
, dado que  

 
0
lim
x
f x e    
0 3
lim 3 lim 0
x x
f x f x
 

 
   
Resposta: (A) 
 
46. 
     2 2 2
lim 5 lim 5 lim lim 1 5
x x x x
f x x x f x f xx x x
x x x x x x   
  
           
 
 
   
2 lim lim 6 2 lim lim 6
x x x x
f x f xx x x
x xx x x x   
       
     1
2 lim lim 6 2 lim 0 6 lim 3
x x x x
f x f x f x
x x xx   
       
O declive da assíntota é igual a 3 
 
Pág. 149 
47. Se h tem por domínio   0 , e se a reta de equação 
2 1
3 3
y x   é uma assíntota ao gráfico de h, terá 
de ser 
 

 
2
lim
3x
h x
x
. 
Resposta: (A) 
 
48. f é contínua; fD ℝ ;   1 4fD , . 
 


0
lim 
x
a f x 
   

 
0
lim 0
x
a f x f porque f é contínua em 0 . 
       

      
0
lim 0 0 0 0
x
a f x f a f a f 
Resposta: (B) 
 
 
 
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67 
49. 
      
 
2 2
1 1
1 ; lim lim 1 1n nx x
n n
 
Pela definição de limite de uma função num ponto (segundo Heine): 
   

   
1
lim lim limn n
x
u f x f x 
Resposta: (A) 
 
50. 
 ℝgD 
   
 

  
2 2
lim 0 lim
x x
g x x g x x
x x x
 
  
 
0    
 
   lim 2 0 lim 2
x x
g x g x
x x
 
Se o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua terá de ser quando  x e o seu declive 
 

 lim 2
x
g x
m
x
. 
Entre as alternativas apresentadas apenas a reta de equação  2y x tem declive igual a 2. 
Resposta: (B) 
51. 
       
 
 
   
 
lim lim
x x
f x g x f x g x
x x x
 
     
 
     lim lim 4 2 6
x x
f x g x
x x
 
Resposta: (A) 
 
52. Se 
 ℝgD e a reta de equação y = 3x – 6 é uma assíntota ao gráfico de g então: 
 

lim 3
x
g x
x
 e   

  lim 3 6
x
g x x 
 
 
  
  
    
 
22 33
lim lim
x x
xg x xx
x
g x g x
 
  
   
  
  

   
3
lim lim lim 3
x x x
x g x x x
g x x
g x g x
     
       
1 1
lim 6 6 2
3x g x
x
 
Resposta: (B) 
 
53. f e g são funções contínuas em [a , b]. 
Seja h a função definida por      h x f x g x  . 
h é uma função contínua em [a , b] por ser a diferença de funções contínuas neste intervalo. 
     h a f a g a  ;          0 0f a g a f a g a h a      
     h b f b g b  ;          0 0g b f b f b g b h b      
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68 
Portanto,     0h a h b  . 
Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy: 

   
 
é contínua em [ , ]
] , [ : ( ) 0
( ) ( ) 0
h a b
c a b h c
h a h b
 
Como               0 0h c f c g c f c g c podemos concluir que existe pelo menos um ponto onde 
os gráficos de f e g se intersetam. 
 
54. 
f
D  ℝ ;     f x f x , x    ℝ (f é ímpar) e a reta de equação 3 2y x  é uma assíntota ao gráfico de 
f quando x   , então: 
    

   lim 3 2 0
x
f x x 
    
 
        lim 3 2 0x
f x x 
   

        lim 3 2 0x
f x x 
   

       lim 3 2 0x
f x x 
   

       lim 3 2 0x
f x x 
   

     lim 3 2 0x
f x x 
Portanto, a reta de equação 3 2y x  é uma assíntota ao gráfico de f quando  x . 
55. 
 ℝ
f
D e     ℝ0,f x x 
 
 

2x
g x
f x
, 
 ℝgD 
Dado que a reta de equação y = – x é uma assíntota ao gráfico da função f, de domínio ℝ , temos 
    

  lim 0
x
f x x e 
   

   lim 1 1
x
f x
m
x
 . 
     lim 0 lim 0
x x
f x x f x x
 
            ;    
1 1
lim 1
1
lim
x
x
x
f xf x
x


   
 
 
 
 
 
 
   
 
     
                    
  
22
lim lim lim lim lim lim 0
x x x x x x
x x f xx x f xx x
g x x x x f x
f x f x f x f x
 
     lim 0 lim 0
x x
g x x g x x
 
            
Portanto, a reta de equação y = x é uma assíntota ao gráfico de g, quando x  + ∞. 
 
56. Seja g a função definida em ℝ por         2g x f x f x . 
A função g é contínua por ser definida pela composta e pela diferença de funções contínuas (a função f e 
uma função polinomial). 
             1 1 1 2 1 3g f f f f 
   ,f x f x x    ℝ
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Propostas de Resolução 
 
69 
Como    3 1f f , vem     1 3 0f f . Logo,   1 0g . 
             3 3 3 2 3 5g f f f f 
Como    3 1f f e    1 5f f , vem    3 5f f . Logo,     3 5 0f f , ou seja,   3 0g . 
Como a função g é contínua em [1 , 3] e   1 0g e   3 0g , o Teorema de Bolzano-Cauchy garante a 
existência de número real c no intervalo ]1 , 3[ tal que    0g c . 
                0 2 0 2g c f c f c f c f c , logo pelo Teorema de Bolzano-Cauchy existe um 
número real c no intervalo ]1 , 3[ tal que      2f c f c . 
 
Pág. 150 
1.  
 
 
 
1 se 2
1 se 2
x x
f x
x x
 
               
   
ℕ
1 1 1 1
2 2, , 2 2 1 3n f
n n n n
;
 
 
1
3nu
n
 
Resposta: (B) 
 
2. Exemplos de funções contínuas em [a , b] com   1f a  e   2f b  : 
 
f pode ter, ou não ter, zeros em ]a , b[ . 
Resposta: (A) 
 
3. Conforme se ilustra na representação gráfica a seguir, apenas se pode garantir que a equação    1f x 
é impossível em ]2, 5[, pois     2 , 5 3 , 9f  . 
 
Resposta: (B) 
 
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
70 
4. Se f não for contínua pode não ter zeros: 
Por exemplo: 
 
Resposta: (C) 
5. Se f é estritamente crescente em ℝ e se  3 0f  , então   0f x  , qualquer que seja    , 3x : 
 
Resposta: (A) 
 
6. A equação  g x b tem duas e só duas soluções se b = 1 ou b = 2. 
 
Resposta: (A) 
 
7.      
 
             lim 2 1 0 lim 2 1 0x x
h x x h x x  a reta de equação y = – 2x + 1 é uma assíntota 
ao gráfico de h quando x   
Dado que o declive da assíntota, quando  x é igual a – 2 vem que 
 

 lim 2
x
h x
x
. 
Resposta: (B) 
 
8. Se a reta de equação y = – x é uma assíntota ao gráfico de uma função f, de domínio ℝ , então 
 

 lim 1
x
f x
x
 (o declive da assíntota é igual a – 1). 
Resposta: (D) 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
71 
Pág. 151 
9. 
   
 
 
     
 
lim 1 lim 1
x x
f x x f x x
x x x
   
 
    lim 1 1 lim 0
x x
f x f x
x x
 
Logo, a assíntota não vertical tem declive nulo. Entre as equações apresentadas apenas y = 2 define 
uma reta de declive igual a 0. 
Resposta: (B) 
 
10. Dado que: 
 
 ℝ
f
D 
 f é estritamente crescente 
  2 0f  
 a reta de equação y = 1 é assíntota ao gráfico de f . 
Podemos concluir que  1 0 f  e  lim 1
x
f x 

 . Logo, 
 
 
 
 
          
1 1 1
lim 1 0
1 01 1x
f f f
f
f x
 . 
Resposta: (D) 
 
11. Se: 
 
 ℝ0gD e g é contínua 
 o gráfico de g tem uma única assíntota 
    limx g x 
podemos concluir que a assíntota ao gráfico de g terá de ser não vertical (g é contínua em 

ℝ
0 ) com 
declive positivo. 
Resposta: (C) 
 
12. 
 ℝ
f
D ;     ℝ0 f x , x 
  

lim 0
x
f x ;   

  lim
0x
x
f x
 
Resposta: (B) 
13.1. 
   
0
23 0
2
0 0 0
33
lim lim lim 3 0 3 3
x x x
x xx x
x
x x
 
 
 
  

      
13.2. 
  
0
0
20 0 0
1 1 1 1 1
lim lim lim
1 1 1 2 21x x x
x x
x x xx
 
 
 
  
 
    
   
 
13.3. 
    
0
2 0
3 3 3
3 58 15
lim lim lim 5 2
3 3x x x
x xx x
x
x x
 
 
 
  
  
    
 
 
13.4. 
 
 
  
 21
1 3 2
lim
1 0x
x
x 
1 8 15
3 3 15
1 5 0



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Propostas de Resolução 
 
72 
13.5. 
 
 
  
 21
1 3 2
lim
1 0x
x
x 
13.6. 
 

  
 21
1
lim
01x
x
x 
13.7. 
 
 
  
 21
1
lim
01x
x
x 
13.8. 
 
  
  
  
 
2 2
2 2
3 2
lim lim 1
1x x
x x x
x x 
13.9. 
 
  
  
 
  
2 2
3 3
3 1 3 3
lim lim lim 0
x x x
x x x
x x x 
 
14. Sim. A soma de duas funções contínuas em a é uma função contínua em a. 
 
15. Sim. 
Se f e g são descontínuas em a a função f + g pode ser contínua em a. 
Por exemplo, se f e g são funções definidas em ℝ por : 
 

 

0 se
1 se
x a
f x
x a
 
 e  

 

1 se
0 se
x a
g x
x a
 
 f e g são descontínuas em a e a função f + g é contínua em a dado que     1 , f g x x   ℝ . 
 
16. Não. Por exemplo se f e g são funções definidas em ℝ tais que     ℝ0,f x x e g é uma função 
descontínua em a tem-se que f  g é contínua em a porque       ℝ0,f g x x . 
 
17. Não. Por exemplo, sendo      2 1 , 2 2 0f x x f f     , f é contínua e, no entanto, f admite dois zeros 
em  2 , 2 . 
 
18. f é contínua em  0 1, . 
           0 , 1 0 1, 0 , 1fD f x x 
Seja     h x f x x . 
h é contínua em  0 1, por ser a diferença de funções contínuas (a função f e uma função polinomial). 
        0 0 0 0 0h f f 
    1 1 1h f 
     1 1 1 1 0 1 0f f h      
Dado que h é contínua em  0 ,1 e que     0 1 0h h , o Teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir 
que h admite pelo menos um zero no intervalo ]0, 1[. 
 
19. f é contínua em [0, 3] . 
   1, 2 1 2 ,f fD f x x D       
Pretende-se provar que a equação  f x x tem pelo menos uma solução. 
       0f x x f x x 
   0 1, 0 ,1f x x   
   0 1, 0 ,1f x x   
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Propostas de Resolução 
 
73 
Seja h a função definida por    h x f x x  . 
h é contínua em [0, 3] por ser definida pela diferença de funções contínuas (função f e uma função 
polinomial). 
     0 0 0 0 0h f f    porque   1 0 2f  . 
     3 3 3 0h f porque    3 2f  3 3 2 3f      3 0h . 
Dado que h é contínua em [0, 3] e    0 3 0h h  , podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, 
que h admite pelo menos um zero em ]0 , 3[. 
Como    0h x       0f x x f x x fica provado o que se pretendia. 
 
20.   0 ,fD 
A reta de equação y = 2x + 3 é uma assíntota ao gráfico de f . Logo, 
 

lim 2
x
f x
x
. 
     
  
 
   
 
1 4 1
lim lim lim 4
x x x
f x f x
h x
x x x
 
 
 
       
1
lim 4 lim 0 4 2 8
x x
f x
x x
 
Se  

 lim 8
x
h x , a reta de equação y = – 8 é uma assíntota ao gráfico de h. 
 
21. A reta de equação  y ax b é uma assíntota ao gráfico de f quando 
 

  lim
x
f x
x a
x
. 
A reta de equação  y cx d é uma assíntota ao gráfico de g quando 
 

  lim
x
g x
x c
x
. 
 
 
 
  
 lim lim
x x
f x
f x x
g xg x
x
 
 
 
lim
0
lim
x
x
f x
ax c
g x c
x


  p 
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Propostas de Resolução 
 
74 
Tema 3: Derivadas e aplicações 
 
Pág. 152 
1.    2f x x x 
1.1.  
   
 
 

   
   
 , 4, 2
2 4 6 4 10 5
t.m.v.
2 4 6 6 3f
f f
 
1.2.  
       

      
     
   , , 5
2 5 5 25
t.m.v. 2 2 2
5 5f a
a af f a
a a
 
        
     
   
10 5 2 5 2 10 2
2 0 0
5 5
a a a a a
a a
 
 

                 
 
5
0 5 0 5 0 5 5 5
5
a
a a a a a
a
 
  5a 
 
Pág. 153 
2.1    22 1f x x 
       
 
  
      
    
2 2
0 0 0
2 1 2 21 1 2 1 1 1
1 lim lim lim
h h h
h hf h f h
f
h h h
 
   
  
  
      
2
0 0 0
2 22 4 2 2
lim lim lim 2 2 4
h h h
h hh h
h
h h
 
Ponto de tangência:  1,1 
Declive:  4m 
          1 4 1 4 4 1 4 3y x y x y x 
 
2.2.   
 3
x
f x
x
 
     
0 0 0
4 4 4 4
4 4 4 3 7 7 74 lim lim lim
h h h
h h
f h f h hf
h h h  
 
          
   
 0 0 0
28 7 28 4 3
7 7 7 7 3
lim lim lim
7 7h h h
h h h
h h h
h h h h  
  
 
   

 
 0
3 3
lim
7 7 49h h
 

 
Ponto de tangência: 
 
 
 
4
4 ,
7
 
Declive: 
3
49
m 
          4 3 3 12 4 3 164
7 49 49 49 7 49 49
y x y x y x 
 
 
   
2 2 2 2 6
4 2 4 4 8 4 4
f
f
   
          
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Propostas de Resolução 
 
75 
2.3.  
  
 
 
2
1 se x 1
2 se x 1
x
f x
x x
 
       
  

  
    
    
0 0 0
1 1 01 1
1 lim lim lim
h h h
hf h f h
f
h h h
 
       
    
     
  0 0 0 0
1 1
lim lim lim lim
0h h h h
h h h
h h h h h
 
         
  

  
     
     
2
0 0 0
1 1 2 1 1 0 3
1 lim lim lim
0h h h
f h f h h
f
h h
 
Não existe   1f 
 
2.4.  

 
 
  

2
1
 se x
4
1
8 se x
4
x x
f x
x x
 
 
 

 
                                        
 
2
0 0
1 1 1 1 1 1
8
1 4 4 4 4 4 2
lim lim
4 h h
f h f h h
f
h h
 
  
             
   
2 2
0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 18 4 8
16 2 4 4 2 2 4 4 2lim lim
h h
h h h h h h
h h
 
   
    

    
2
0 0 0
5 85 8
lim lim lim 5 8 5
h h h
h hh h
h
h h
 
 


  
                                  
  0 0
1 1 1 1 1 1
1 4 4 4 4 4 2
lim lim
4 h h
f h f h h
f
h h
 
  
  
            
    
 
    
 
0 0
1 1 1 11 1
4 2 4 24 2lim lim
1 1
4 2
h h
h h h hh h
h
h h h
 
2
2 2
0 0 0
1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4lim lim lim
1 1 1 1 1 1
4 2 4 2 4 2
h h h
h h h h h h h h
h h h h h h h h h
    
                 
      
     
                  
     
 
 2
0 0 0
22 2 2
lim lim lim 2
1 11 11 1 1 1
2 24 24 2 4 2
h h h
h hh h h
h hh h h h h h
    
 
    
                 
   
 
 
Dado que 
    
       
   
1 1
4 4
f f , 
  
 
1
4
f não existe. 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
76 
2.5.    
    
   
   
2
2
2
2 se 0 2
2
2 se 0 2
x x x x
f x x x
x x x
 
     
       
    
       
        
   
22 2
1 1 1 1 1
2 1 2 11 1
1 lim lim lim lim lim 1 0
1 1 1 1x x x x x
x x x xf x f x
f x
x x x x
 
A reta tangente tem declive nulo (é horizontal) e passa no ponto  1,1 . Logo, é definida pela equação  1y . 
 
Pág. 154 
3.    1f x
x
 
       
       
 
           
  20 0 0 0 0
1 1
1 1
lim lim lim lim lim
h h h h h
x x h
f x h f x x x h hx h xf x
h h h hx x h x x h x
 
    2
1
f x
x
;     ℝ \ 0f fD D 
 
Pág. 155 
4.1.      34 12 1f x x x 
    212 12f x x 
 
4.2.  
4 35
2 3
x x
f x   
 
2
3 3 254 3 10
2 3
x
f x x x x      
 
4.3.  
             
1 1
11 12 2
10
0 4 0 4 10 0 4 10
x
f x , x , x x x , x x x
x x
 
 
             
1
12 2
2 3 2 3
2
1 10 1 10 1
0 4 10 0 4 0 4
2 22
f x , x x , ,
x x xx
 
 
4.4.  
5
3 5 3 22 2f x x x x x    
 
5 3
12 2 2 32 2
5 5 5
6 6 6
2 2 2
f x x x x x x x

       
 
4.5.  
1
2 2
2 1
2
2 1
2f x x x
x
x
    
 
1
13 2
3 3 3 3
2
1 4 1 4 1
2 2
2 22
f x x x
x x xx
            
 
4.6.  
1
2 2
2
3 3 3
7 3 7
22
f x x x
x x
      
 
                 
1 3
13 2 2
3 3 3 3 3
2
3 1 6 3 6 3 1 6 3
2 3
2 2 4 4 4
f x x x x
x x x xx
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
77 
4.7.       3 1f x x x x 
                123 31 1f x x x x x x x 
             
 
1
12 3 2
1
3 1 1 
2
x x x x x        
3
23 1 1
2
x x
x x
x
 
 
4.8.        
 
1
 1f x x x
x
 
                 
 
1 11 1f x x x x x x
x
             
 
2 11 1 1x x x
x
           
   
2
1 1
1 1 x x
x x
= 
        
2 2
1 1 1 1
1 1 2x x x
x xx x
 
 
Pág. 156 
 
4.9.   
2 3
3
x
f x
x
 
 
       
 
        
  
2 2 2
2 2
3 3 3 3 2 3 3 3
93
x x x x x x x
f x
xx
   
  
2 2 2 2
2 2 2
6 3 9 3 9 3
9 9 3
x x x x
x x x
 
 
4.10.  
1
x
f x
x


 
 
     
 
 
     
 
     
    
   
2 2 2 2
1 1 2
1
1 1 12 2
1 1 1 2 1
x x
x x
x x x x xx x
f x
x x x x x
 
 
4.11.      
 
5
1
f x
x
 
 
       
                
       
4 4
2 4 2 6
1 1 1 1 1 1 5
5 5 5f x
x x x x x x x
 
 
4.12.    41f x x  
           
        
3 3
3 3 4 1 2 11
4 1 1 4 1
2 2
x x
f x x x x
x x x
 
 
4.13.  
3
1
1f x
x
 
  
 
 
 
                             
       
2 22 2
2 2 2 4
1 3 11 1 1 1 1
3 1 1 3 3
x xx
f x
x x x x x x x
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
78 
4.14.    42 1f x x x  
                        
4 4 3 4
2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 1f x x x x x x x x x 
                      3 4 3 34 2 1 2 2 1 2 1 8 2 1 2 1 10 1x x x x x x x x 
 
4.15.   2 1f x x  
   
2 1 2 1
2 2 1 2 2 1 2 1
x
f x
x x x

   
  
 
 
4.16.    2f x x x  
        1 12 2 1 2 2 1
2 2
f x x x x x x x x x
x x
                
   
 
  1 22 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2
x x x
x x x x x x
x x x x
 
            
 
 
2 2 1 2 3 1x x x x x       
 
4.17.  
 
3
2
2 1
x
f x
x


 
 
       
 
     
 
2 32 23 3
3 2
4 4
1
2 1 2 2 1 22 1 2 1
3
2 1 2 1
x x xx x x x
x
f x
x x
             
 
 
    
 
     
 
2 3 232
3
3 32 2
4 4
2 1 4 3 2 12 1
4 2 1
3 3
2 1 2 1
x x x xx
x x
x x
x x
   
 
  
 
 
    
 
  
 
 
 
      
  
  
2 3 3
4 4 33 3 32 2 2
2 1 12 2 1 2 1 2 1 12 1 10
3 2 1 3 2 1 3 2 1
x x x x x x x
x x x x x x
 
 
 
4.18.    3 8 1f x x x   
                         
  
1 6 6 3 8 9 14
3 8 1 3 8 1 3 1 3 8
2 1 1 2 1
x x x
f x x x x x x x
x x x
 
 
Pág. 157 
5.1. a)   2f x x x  
  2 1f x x   
  21 1 1 2f    ; ponto de tangência:  1, 2 
 1 2 1 1 3f      ; declive: 3 
 2 3 1 3 1y x y x      
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Propostas de Resolução 
 
79 
b)   3f x x x   ; 
  11
2 3
f x
x
  

 
 2 2 2 3 1f         ; ponto de tangência:  2 , 1  
  1 32 1
22 2 3
f     
 
; declive: 
3
2
 
 3 31 2 2
2 2
y x y x      
c)  
 23
x
f x
x


 
 
   
 
   
 
  
   
                  
   
2 2 2
4 4 4 3
3 3 3 2 3 3 3 2 3
3 3 3 3
x x x x x x x x x x x
f x
x x x x
 
 
 2
1 1
1
41 3
f

   
 
; ponto de tangência: 
1
1,
4
 
  
 
 
   
 3
3 1 4 1
1
8 21 3
f
 
    
 
; declive: 
1
2
 
 1 1 1 11
4 2 2 4
y x y x      
 
d)   3 2f x x x  ; 0 3x   
    
 
 
   
3 3 3
2 2 23 3 3
3 21 4 6
2 2 2
3 2 3 2 3 2
x x x
f x x x x x x x
x x x
           
  
 
   33 3 3 2 3f        ; ponto de tangência:  3 , 3 
    
 23
4 3 6 6
3 2
33 3 2
f
   
    
 
; declive: 2 
  3 2 3 2 3y x y x        
5.2. Uma equação da reta que passa no ponto de coordenadas  0 , 1 tem uma equação do tipo 1y mx  . 
a)  
2
2
4
x
f x x   
  2
2
x
f x    
2
1 2
4
2
2
x
mx x
x
m

   

   

 
Desta conjunção resulta que: 
 
                         
 
2 2 2 2 2
222 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2
2 4 2 4 4 4
x x x x x x
x x x x x x x 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
80 
Há duas soluções: 
Para 2x   , 
2
2 3
2
m

    e 3 1y x  . 
Para 2x  , 
2
2 1
2
m     e 1y x  . 
 
b)   6 1
4
x
f x
x

 
       
 
 
 2 2 2 2
6 1 4 6 1 4 6 4 6 1 4 24 24 4 1
16 44 4
x x x x x x x x
f x
x xx x
           
    
2
6 1
1
4
1
4
x
mx
x
m
x

 

 

 
Desta conjunção resulta que 
2
1 6 1 1 6 1 1 4 6 1
1 1 0 0
4 4 4 44
x x x x
x
x x x xx
     
         
 
 
1 4 6 1
0 2 2 0 4 0 1
4
x x
x x x
x
  
          
Para 1x  , 
2
1 1
44 1
m  

 e 
1
1
4
y x  
 
5.3.   3f x x 
a) É uma equação do tipo 2y mx  . 
  23f x x  
 
3
2 3 3 3 3
2
2
3 2 3 2 1 1
3
mx x
x x x x x x x
m x
  
         

 
Para 1x  , 13 1 3m    e 3 2y x  . 
 
b) 3m  , ou seja,   2 23 3 3 1 1 1f x x x x x           
Para 1x   ,    31 1 1f      . 
Ponto de tangência:  1, 1  e 3m  
 1 3 1 3 2y x y x      
Para 1x  ,   31 1 1f   . 
Ponto de tangência:  1,1 e 3m  
 1 3 1 3 2y x y x      
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
81 
5.4.   4f x x :   2
a
g x
x
 
  34f x x  e   4 3
2 2a x a
g x
x x
 
    
    3 3
2 1
1 4 1 8 1
8
a
f x g x x a a
x
                
 
 
Pág. 158 
6.1.   3 ;f x x  
3 2
1
;
3
f x
x
  
  3g x x  
       
3 23 3 3 3
3 3
3 3 3 3 32 2 2 2 33
1 1 2 2 2 2 4
2 2 3 2
23 2 3 2 2 2 2 2
g f g
        

� 
 
6.2.   1g x x  ;   1
2 1
g x
x
 

 
 
 2
1
1
f x
x
  

 
       
 2
1 1 1 1 1
3 3 1 2
4 4 362 3 1 2 1
f g f f           
 
� 
 
7.   2
1
 se 1
3
 se 1
2
x
x
f x
x
x


 
 

 
7.1. Para 1x  ,   2
1 1
f x
x x
     
 
 
Para 1x  ,    
23 1
2
2 2
x
f x x x
 
       
 
 
        1 1 1 1 1
1 1
11 1 1
1 lim lim lim lim lim 1
1 1 1 1x x x x x
x
f x f xx xf
x x x x x x    

    

   
       
   
 
       
2 2
2
1 1 1 1
3 3 2
11 12 21 lim lim lim lim
1 1 1 2 1x x x x
x x
f x f x
f
x x x x   

   
  
 
     
   
 
  
 
 
1 1
1 1 1 2
lim lim 1
2 1 2 2x x
x x x
x  
     
    

 
   1 1 1f f     . Logo  1 1f    . 
 
2
1
 se 1
 1 se 1
 se 1
x
x
f x
x
x x

     
 
; 
f
D   ℝ 
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Propostas de Resolução 
 
82 
 
7.2. f é contínua no ponto 1x  porque toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto e 
 1 1f    . 
 
Pág. 159 
8.1. 
a)   2 2 1f x x x   ,  2 , 3x  
  2 2f x x   
f é contínua e diferenciável em ℝ por ser uma função polinomial. Logo, f é contínua em  2 , 3 e 
diferenciável em  2 , 3 , pelo que satisfaz, no intervalo  2 , 3 , as hipóteses do Teorema de Lagrange. 
Então existe pelo menos um   2 , 3c tal que      
3 2
3 2
f f
f c

 

. 
  23 3 2 3 1 2f      
  22 2 2 2 1 1f       
       
  
           

3 2 2 1 5
2 2 2 2 3 2 5
3 2 1 2
f f
f c c c c c 
 
b)   56f x x
x
   ,  1, 5x  
f é contínua e  \ 0ℝ (soma deuma função polinomial com uma função racional) 
  2
5
1f x
x
   
f é diferenciável em \ 0ℝ 
Logo, 
 f é contínua em  1, 5 e 
 f é diferenciável em  1, 5 
pelo que satisfaz, no intervalo  1, 5 , as hipóteses do Teorema de Lagrange. 
Então existe pelo menos um   1 , 5c tal que      
5 1
5 1
f f
f c

 

. 
  55 5 6 12
5
f     
  51 1 6 12
1
f     
     
 
              

2
2 2
5 1 5 12 12 5
1 1 0 5 5 5
5 1 4
f f
f c c c c
c c
 
Como   1 , 5c , temos 5c  . 
 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
 
83 
c)    23 1f x x  ,  1, 0x   
f
D  ℝ . f é contínua em ℝ (potência de expoente racional de uma função contínua). 
 
 
 
 
 
 
  3 32 42 33
2 1 2 1 2 1 2
3 1 1 3 13 13 1
x x x
f x
x x xxx
  
    
   
 
 
f é diferenciável em  \ 1ℝ 
Logo, f é contínua em  1, 0 e diferenciável em  1, 0 , pelo que satisfaz, no intervalo  1, 0 , as 
hipóteses do Teorema de Lagrange. 
Então, existe pelo menos um   1 , 0c tal que      
 
0 1
0 1
f f
f c
 
 
 
. 
   230 0 1 1f    
   231 1 1 0f      
     
 
3 3
3
0 1 2 1 0 2
2 3 1 1
0 1 1 33 1
f f
f c c c
c
  
          
  
 
3
2 8 8 19
1 1 1
3 27 27 27
c c c c
 
            
 
 
 
8.2.   2f x x x  
0fD
 ℝ . f é contínua (soma, produto e potência de expoente racional de funções contínuas). 
  1 11 2 1
2
f x
x x
     
f é diferenciável em ℝ . 
Logo, f é contínua em  0, 4 e diferenciável em  0 , 4 , pelo que satisfaz, no intervalo  0, 4 , as hipóteses 
do Teorema de Lagrange. 
Então, existe pelo menos um   0 , 4c tal que      
4 0
4 0
f f
f c

 

, ou seja, existe pelo menos um ponto do 
gráfico de f , de abcissa  0,4c  , onde a reta tangente a esse gráfico é paralela à reta AB, sendo 
 0 , (0)A f e  4 , (4)B f . 
 4 4 2 4 8f    
 0 0 2 0 0f    
 
   4 0 1 8 0 1 1
1 1 2 1 1 1
4 0 4
f f
f c c c
c c c
 
             

 
1 é solução dado que 1 1 . 
Ponto de tangência:    1, (1) 1, 3f  dado que  1 1 2 1 3f    
Declive da tangente: 2m  
Equação pedida:  3 2 1 2 1y x y x      
Portanto, 1c  e 2 1y x  . 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
84 
 
Pág. 160 
9.1      3 2 1f x x x x ;  ℝfD 
    23 2 1f x x x 
                    2 2 4 12 2 4 10 3 2 1 0 1
6 6 3
f x x x x x x x 
x  1 
1
3
 
f + 0  0 + 
f ր 0 ց 
32
27
 ր 
 Máx.. Mín 
f é estritamente crescente em   , 1 e em     
1
,
3
 e estritamente decrescente em 
 
  
1
1,
3
. A função 
f tem um máximo relativo igual a 0 para  1x e um mínimo relativo igual a 
32
27
 para 
1
3
x . 
 
9.2.         2 2 41 1 1f x x x x ;  ℝfD 
    34f x x 
       30 4 0 0f x x x 
x  0  
f + 0  
f ր 1 ց 
 Máx.. 
f é estritamente crescente em  , 0 e estritamente decrescente em  0 ,  . A função f tem um máximo 
relativo (e absoluto) igual a 1 para 0x  . 
 
9.3.    4 4f x x x ;  ℝfD 
   34 4f x x 
         3 30 4 4 0 1 1f x x x x 
x  1  
f  0 + 
f ց 3 ր 
 Máx.. 
f é estritamente decrescente em   , 1 e estritamente crescente em   1, . A função f tem um mínimo 
relativo (e absoluto) igual a 3 para  1x . 
 
9.4.     4 3 23 4 3
2
f x x x x ;  ℝ
f
D 
              23 2 26 12 6 6 2 1 6 1f x x x x x x x x x 
            20 6 1 0 0 1f x x x x x 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
85 
x  1 0 
6x    0 + 
 21x  + 0 + + + 
f  0  0 + 
f ց 1
2
 ց 0 ր 
 Mín 
f é estritamente decrescente em   , 0 e estritamente crescente em   0 , . A função f tem um 
mínimo relativo (e absoluto) igual a 0 para  0x . 
9.5.     5 4 315 15
2
f x x x x ;  ℝ
f
D 
              24 3 2 2 2 25 30 45 5 6 9 5 3f x x x x x x x x x 
          220 5 3 0 3f x x x x x 
     ℝ \ 0,3 , 0x f x 
Logo, f é estritamente crescente em ℝ . 
 
Pág. 161 
9.6.   
 2
2
2 4
x
f x
x x
 
      ℝ ℝ2: 2 4 0fD x x x 
 
      
 
    
 
2 2 2
2 22 2
2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2
2 4 2 4
x x x x x x x x x x
f x
x x x x
           
   
   
 
   
2 2 2
2 22 2
2 4 2 6 4 4
2 4 2 4
x x x x x x
x x x x
      
 
   
 
                 20 4 0 4 0 0 4f x x x x x x x 
x  4 0 
f  0 + 0  
f ց 
1
6
 ր 
1
2
 ց 
 Mín. Máx. 
f é estritamente decrescente em  , 4  e em   0, e estritamente crescente em  4 , 0 . A função f 
tem um mínimo relativo igual a 
1
6
 para 4x   e um máximo relativo igual a 
1
2
para  0x . 
9.7.     

16
4 6
2
f x x
x
;   ℝ \ 2fD 
 
 
 
 
 
   
 
2
2 2
4 2 1616
4
2 2
x
f x
x x
 
                    2 20 4 2 16 0 2 2 4 2f x x x x x 
           2 2 2 2 4 0x x x x 
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Propostas de Resolução 
 
86 
x  4 2 0 
f + 0   0 + 
f ր 30 ց ց 2 ր 
 Máx. Mín.. 
f é estritamente crescente em   , 4 e em   0, e estritamente decrescente em  4 , 2 e em 
 2 , 0 . A função f tem um máximo relativo igual a 30 para  4x e um mínimo relativo igual a 
2 para  0x . 
 
9.8.    

28 4 18
2 1
x x
f x
x
; 
 
  
 
ℝ
1
\
2f
D 
 
      
 
       
 

2 2
2
8 4 18 2 1 8 4 18 2 1
2 1
x x x x x x
f x
x
    
 
2
2
16 4 2 1 2 8 4 18
2 1
x x x x
x
    
 

 
 
2 2
2
32 24 4 16 8 36
2 1
x x x x
x
    
 
  
 
 
  

 
22
2 2
16 216 16 32
2 1 2 1
x xx x
x x
 
                   2 1 1 1 80 2 0 2 1
2 2
f x x x x x x x 
x  2 
1
2
 1 
f + 0   0 + 
f ր 14 ց ց 10 ր 
 Máx. Mín. 
f é estritamente crescente em   , 2 e em  1,   e estritamente decrescente em     
1
2 ,
2
e 
em 
 
  
1
, 1
2
. A função f tem um máximo relativo igual a 14 para  2x e um mínimo relativo 
igual a 10 para  1x . 
 
9.9.    

3 2
4
3
x
f x x
x
;   ℝ \ 3fD 
        
 
   
 2 2
3 2 3 3 2 3 2 3 3 2
4 4
3 3
x x x x x x
f x
x x
         
     
 
 
   
 
 
2
2 2 2
4 3 92 6 3 2 9
4 4
3 3 3
xx x
x x x
     
    
  
 
                       2 2 9 3 30 4 3 9 0 3 3 3 3
4 2 2
f x x x x x x      
3 9
2 2
x x 
x  
9
2
 3 
3
2
 
f + 0 +  0 + 
f ր 26 ց ց 2 ր 
 Máx. Mín.. 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
87 
f é estritamente crescente em 
 
   
9
,
2
 e em 
 
    
3
,
2
 e estritamente decrescente em 
 
   
9
, 3
2
e em 
 
   
3
3 ,
2
. A função f tem um máximo relativo igual a 26 para  
9
2
x e um 
mínimo relativo igual a 2 para  
3
2
x 
 
9.10.    
 
1 25
9 2 2
f x
x x
: 
 
   
 
ℝ
2
\ , 2
9f
D 
 
   

  
 
2 2
9 25
9 2 2
f x
x x
 
 
   
                
 
2 2
2 2
9 25
0 0 9 2 25 9 2 0
9 2 2
ff x x x x D
x x
 
                        5 9 2 3 2 5 9 2 3 2 0 fx x x x x D 
  2 142 4 (48 16) 0
21 3f
x x x D x x            
x  2 
1
3
 
2
9
 
2
21
  
f + + 0   0 + 
f ր ր -16 ց ց 
49
4
 ր 
 . MáxMín.. 
f é estritamente crescente em   , 2 , em     
1
2 ,
3
e em 
 
    
2
,
21
 e estritamente 
decrescente em 
 
   
1 2
,
3 9
e em 
 
   
2 2
,
9 21
. A função f tem um máximo relativo igual a 16 para 
 
1
3
x e um mínimo relativo igual a 
49
4
 para  
2
21
x . 
 
10.1.    3 3f x x x em   3, 3 
f é contínua em ℝ (função polinomial). Logo, f é contínua no intervalo   3, 3 pelo que, atendendo ao 
Teorema de Weierstrass, f admite nesse intervalo um mínimo e um máximo absolutos. 
   23 3f x x 
          20 3 3 0 1 1f x x x x 
x  3 1 1 3 
f + + 0  0 + + 
f 0 ր 2 ց -2 ր 0 
 Mín.. Máx Mín. Máx. 
Em   3, 3 , o mínimo absoluto de f é 2 e o máximo absoluto é 2. 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
88 
10.2.   

2
2 1
x
f x
x
 em  1, 2 
 ℝ
f
D e f é contínua por ser uma função racional. Logo, f é contínua em  1, 2 pelo que o Teorema de 
Weierstrass garante a existência, neste intervalo, um mínimo e um máximo absolutos. 
 
      
 
   
 
 
   
       
    
   
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 22 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1
x x x x x x x x x x x x
f x
x x x x
 
 
 
     

22
2
0 0 0
1
x
f x x
x
 
x 1 0 2 
f   0 + + 
f 1
2
 ց 0 ր 4
5
 
Máx. Mín. Máx.. 
Em  1, 2 , o mínimo absoluto de f é 0 e o máximo absoluto é 4
5
. 
 
10.3.     1f x x x em  0, 1 ;  ℝ0fD 
f é contínua por ser definida pelo produto de funções contínuas (função polinomial e potência de expoente 
racional de uma função polinomial). Portanto, f é contínua em  0, 1 pelo que, atendendo ao Teorema de 
Weierstrass, a função admite um mínimo e um máximo absolutos neste intervalo. 
                    1 2 1 3 11 1 1
2 2 2
x x x
f x x x x x x x
x x x
 
            3 10 0 3 1 0 0
2
x
f x x x x
x
 
    ℝ0 , 0x f x . Logo, f é estritamente crescente em  0, 1 pelo que, neste intervalo, 
      0 0 1 0 0f é o mínimo absoluto de f e       1 1 1 1 2f é o máximo absoluto. 
 
Pág. 162 
11.1.    3 22 9f x x x ,  ℝfD 
   26 18f x x x ; 
   12 18f x x 
         30 12 18 0
2
f x x x 
x  
3
2
 
f  0 + 
f { 272 
8 
Máx 
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em 
 
   
3
,
2
 e voltada para cima em 
 
    
3
,
2
 
O ponto de coordenadas 
 
 
 
3 27
,
2 2
 é um ponto de inflexão. 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
89 
 
11.2.   

1
2
x
f x
x
;   ℝ \ 2fD 
        
 
 
   
         
   
  
2 2 2
1 2 1 2 2 1 1
2 2 2
x x x x x x
f x
x x x
 
 
 
 
 
   
        
  
2
4 4 3
2 2 2 1 2
2 2 2
x x
f x
x x x
 
    0 , ff x x D 
x  2 
f  + 
f { 8 
 
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em   , 2 e voltada para cima em   2 , . Não 
tem pontos de inflexão 
 
11.3.   

2
2
1
3
x
f x
x
;  ℝ
f
D 
 
      
 
   
 
        
  
 
2 2 2 2 2 2
2 22 2
1 3 1 3 2 3 2 1
3 3
x x x x x x x x
f x
x x
 
 
   
  
 
 
2 2
2 22 2
2 3 1 4
3 3
x x x x
x x
 
 
     
 
   
 
             
 
2 2 22 2 2 2
4 42 2
4 3 4 3 4 3 4 2 3 2
3 3
x x x x x x x x
f x
x x
= 
   
     
 
 
          
   
2 2 2 22 2 2
4 3 3 32 2 2 2
3 4 3 16 12 14 12 16 12 12
3 3 3 3
x x x xx x x
x x x x
 
 
 
 

          

2
2
32
12 1
0 0 1 1 1
3
x
f x x x x
x
 
x  1 1  
f  0 + 0  
f { 12 
8 1
2
 { 
 Máx Mín.. 
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em   , 1 e em   1, e voltada para cima em 
 1, 1 . 
Os pontos de coordenadas 
 
 
 
1
1,
2
 e 
 
 
 
1
1,
2
 são pontos de inflexão. 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
90 
11.4.      6f x x x ; 0fD  ℝ 
                        1 2 6 3 66 6 6
2 2 2
x x x
f x x x x x x x
x x x
 
 
      
 
   
 
 
 
 
      
     
2 2 2
6 3 62
3 2 3 63 6 2 3 6 2 3 23 62
4 42 2 2
x x
x xx x x x xxx xf x
x x x xx x x
 
 
 3 2
0 0 2
4
x
f x x x
x x
       ℝ 
x 0 2 
f   0 + 
f 0 { 8 2 8 
 P.I. 
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em  0 , 2 e voltada para cima em  2,   . 
O ponto de coordenadas  2 , 8 2 é um ponto de inflexão. 
 
Pág. 163 
12.1.   3 3f x x x  ; 
f
D  ℝ 
  23 3f x x   
  2 20 3 3 0 1 0 1 1f x x x x x             
  6f x x  
 1 12 0f      e  1 12 0f    
f admite um máximo relativo para 1x   e um mínimo relativo para 1x  . 
 
12.2.   43f x x
x
   ; 
 \ 0fD  ℝ 
  2
4
1f x
x
   
  22
4
0 1 0 4 0 2 2f x x x x x
x
              
  4 3
4 2 8x
f x
x x
 
    
 
 3
8
2 1 0
2
f      

 e   3
8
2 1 0
2
f     
f admite um máximo relativo para 2x   e um mínimo relativo para 2x  . 
 
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Propostas de Resolução 
 
91 
12.3.  
 
3
2
1
x
f x
x


 
 \ 1fD  ℝ 
 
     
 
   
 
2 23 3 22 3
4 4
1 1 3 1 2 1
1 1
x x x x x x x x
f x
x x
            
 
 
  
   
 
 
3 2 3 23 2
4 3 3
1 3 3 2 33
1 1 1
x x x x x xx x
x x x
   
  
  
 
   
 
 
2
2
3
3
0 0 3 1 0 3
1
x x
f x x x x x x
x

           

 
 
       
 
3 33 2 3 2
6
3 1 3 1
1
x x x x x x
f x
x
         

 
      
 
3 22 3 2
6
3 6 1 3 3 1
1
x x x x x x
x
     
 

 
      
 
2 2 3 2
6
1 3 6 1 3 3
1
x x x x x x
x
        

 
   
3 2 2 3 2
4 4
3 3 6 6 3 9 6
1 1
x x x x x x x
x x
    
 
 
 
 
 4
6 3 18
3 0
163 1
f

   

 e  
 4
6 0
0 0
0 1
f

  

 
f admite um mínimo relativo para 3x  
Como  0 0f   e  0 0f   nada se pode concluir sobre a existência de extremo em 0x  . Para tal é 
necessário estudar 0 sinal de  f x . 
x  0 1 3 
2x + 0 + + + + + 
3x       0 + 
 31x     0 + + + 
f  + 0 +  0 + 
f ր 0 ր ց 
27
4
 ր 
 Mín 
Em 0x  não existe extremo porque f  não muda de sinal neste ponto. 
 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
 
92 
12.4.   41 xf x x
x
   
 \ 0fD  ℝ 
 
1 1
1
2 2
4 2
1 1 1 2 1 2
x x
f x x x x x x x
x x
 
            
 
3 3
2 2
1
1 2 1
2
f x x x
         
 
 
 
3 3
2 20 1 0 1 1f x x x x
 
         
 
5 5
2 2
3 3
2 2
f x x x
       
 
 
 
5
2
3 3
1 1 0
2 2
f

     
f admite um mínimo relativo para 1x  
 
Pág. 164 
13.   24 40 75x t t t   
13.1.  0 75x  
 1 4 40 75 119x     
 No instante 0t  a abcissa do ponto P é 75 e no instante 1t  é 119. 
 
13.2.  
 
média , 3 , 6
(6) 3 459 231
t.m.v. 76 m/s
6 3 3x
x x
V
 
   

 
 
13.3.  
2
2 40 40 16 75 5 150 4 40 75 0
8 2 2
x t t t t t t
   
             
    8 40v t x t t   
5 5
8 40 20
2 2
v
   
        
   
 
15 15
8 40 20
2 2
v
   
         
   
 
A partícula passou na origem nos instantes 2,5 st   e 7,5 st   com velocidades 20 m/s e 20 m/s . 
 
Pág. 165 
13.4.  
  2
média , 5 , 7
(7) 5 96 80
t.m.v. 8m/s
7 5 2v
x x
A
  
   

 
 
13.5. a)     8 40v t x t t   é estritamente crescente. Portanto, a velocidade mínima foi  0 40 m/sx  
b)      8 40 8a t x t t     . A aceleração é constante. Em qualquer instante é igual a 28 m/s 
 
 
 
     
     
6 4 36 40 6 75 459
3 4 9 40 3 75 231
x
x
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Propostas de Resolução 
 
93 
14.1. 2 2 8 4 4x y x y y x        
A xy 
      24 4A x x x A x x x      0 4x  
  4 2A x x   
  0 4 2 0 2A x x x       
x 0 2 4 
A + 0  
A ր 0 ց 
 Máx. 
A área é máxima para 2x  e 4 2 2y    
O retângulo de área máxima é um quadrado de lado 2. 
 
14.2 
 
10
4
x
l

 2
2
x
r x r   

 
2
10
4
x
A
 
  
 
_ 
2 2
2 4
x x
A
 
     
⊙
 
 
2 210
4 4
x x
A x
 
    
 
     
2 10 1 2 10 1 10 4
16 4 8 2 8
x x x x x
A x x
         
     
  
 
    100 10 4 0 4 10
4
A x x x x x

               
 
 
x 0 
10
4

 
 10 
A  0 + 
A ց ր 
 Mín. 
10 40
10
4 4

 
   
 
Devem ser cortados dois pedaços com 
10
4

 
 cm e 
40
4 
cm, respetivamente 
 
 
 
Função a maxim izar
Função a maxim izar
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94 
Pág. 166 
15. 2AX t 
20 2BX t  
3BY t 
 
    2
3 20 2
3 10 30 3
2 2XBY
t tBY BX
A t t t t
 
       
  230 3A t t t   0 10t  
  30 6A t t   
  0 30 6 0 6 30 5A t t t t         
t 0 5 10 
A + 0  
A ր ց 
 Máx. 
A área do triângulo [XBY] é máxima ao fim de 5 segundos. 
 
16.   23 4f x x  
16.1. Área do triângulo [OAP] 
   23 4
2 2 2
x f xOA AP x x  
    
3
33 4 3 2
2 2
x x
x x

   
  2 2 3 3 30 3 4 0
4 2 2
f x x x x x           
Como o ponto P se desloca no primeiro quadrante, temos 
3
0
2
x  
Portanto,   33 2
2
A x x x  , com 
3
0
2
x  . 
16.2.   3 23 32 6
2 2
A x x x x
      
 
 
  2 23 3 3 30 6 0 0 6 0
2 2 2 2
A x x x x x              
2 23 3 1 3 10 0
12 2 4 2 2
x x x x x            
 
 
 
 
 
 
A área do triângulo [OAP] é máxima para 
1
2
x  
 
x 0 
1
2
 3
2
 
A +  
A ր ց 
 Máx. 
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Propostas de Resolução 
 
95 
Pág. 167 
17. Seja y = mx + b uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. 
Ponto de tangência: (0, 1), dado que f (0) = 1. Logo, b = 1. 
Declive: m =        0 2 0 2 1 2f f , atendendo a que       ℝ2 f x f x , x 
Portanto, y = 2x + 1 é uma equação da reta referida. 
Resposta: (A) 
 
18. g’(a) é igual a tm , declive da reta t. 
Dado que a reta t passa nos pontos de coordenadas (a, 1) e (a + 1, 3) temos 

 
 
3 1
2
1t
m
a a
. 
Portanto, g’(a) = 2. 
Resposta: (D) 
 
19.      ℝ24 f x x , x 
      20 4 0f x x    2 2x x 
 
 
 
 
 
Resposta: (C) 
 
20. Se a reta de equação y = – 2x – 3 é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1 então 
podemos afirmar que: 
   1 2f 
       1 2 1 3 5f (o ponto de tangência pertence à reta) 
Como f é contínua no ponto 1, por existir derivada finita nesse ponto, temos que    


1
lim 1
x
f x f . Como 
   1 5f , vem  

 
1
lim 5
x
f x . 
Resposta: (B) 
 
Pág. 168 
21. Variação de g” e concavidade do gráfico de g: 
x  0a  + 
g – 0 + 
g { 8 
 P.I. 
Resposta: (A) 
 
 
 
x  – 2 2 + 
f – 0 + 0 – 
f ց ր ց 
 Mín. Máx. 
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Propostas de Resolução 
 
96 
22.      45f x x 
      34 5f x x 
x  5 + 
f  – 0 + 
f { 8 
 P.I. 
O gráfico de f tem um ponto de inflexão para x = 5. 
Resposta: (C) 
 
Pág. 169 
23. No intervalo I onde está representada graficamente, temos que    0g x . 
Portanto, neste intervalo, o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima 
Resposta: (D) 
 
 
24. Se           0, eh x h x h x h x têm sinais contrários nos pontos em que    0h x e    0h x . 
Logo, h terá de ser negativa    0h x com a concavidade do gráfico voltada para cima     0h x ou 
h terá de ser positiva    0h x com a concavidade do gráfico voltada para baixo     0h x . 
Resposta: (B) 
 
Pág. 170 
25. Dois lados adjacentes, x e y, de um retângulo nas condições do enunciado são catetos de um triângulo 
retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 4 2 . Temos, então: 
 
02
2 2 2 2 2 2 24 2 32 32 32
x
x y x y y x y x

           
 
 
25.1   232A x x x  ,  0 4 2x  
                
  
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 32 32 2
32 32 32
2 32 32 32
x x x x
A x x x x x x x
x x x
 
                  

2
2 2
2
32 2
0 0 32 2 0 0 4 2 16 0 4 2 4
32
x
A x x x x x x
x
 
x 0 4 4 2 
A + 0  
A ր ց 
 Máx. 
A área é máxima para 4x  
Se 4x  , 232 4 16 4y     
O retângulo de área máxima é um quadrado de lado 4. 
 
 
 
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97 
25.2.   22 2 2 2 32P x x y x x     
 
2
2 2
2 2 32 2
2 2
2 32 32
x x x
P x
x x
  
   
 
 
 
2
2 2
2
2 32 2
0 0 2 32 2 0 32 0 4 2
32
x x
P x x x x x x
x
 
              

 
2 232 0 4 2x x x       
2 16 0 4 2 4x x x       
x 0 4 4 2 
P + 0  
P ր ց 
 Máx. 
O perímetro também é é máximo para 4x  
Se 4x  , 232 4 16 4y     
O retângulo de perímetro máximo é um quadrado de lado 4. 
 
26. Atendendo aos dados (ver figura), temos: 
2 2 2 24 4h x h x     
 22 2 2y h x    
 22 24 2y x x      
2 2 24 4 4y x x x       
0
2 8 4 8 4
y
y x y x

      
  2 2 2 2P x y x    
  4 2 8 4 2P x x x    , 0 2x  
  4 4 2 8 42 2
2 8 4 8 4
x
P x
x x
   
    
 
 
  4 4 2 8 42 2
2 8 4 8 4
x
P x
x x
   
    
 
 
  0 4 2 8 4 0 0 2 8 4 2 0 2P x x x x x                 
8 4 4 0 2 1x x x        
x 0 1 2 
P + 0  
P ր ց 
 Máx. 
O perímetro é máximo para 1x  . 
 1 4 2 8 4 1 2 1 4 2 4 2 10P           
O perímetro máximo é 10. 
 2 24h x
 8 4 1 2 4 2 verdadeiro    
 
232 4 4
16 4 verdadeiro
  
 
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98 
27.   24,9 294 607,6a t t x    
 
27.1.   4,9 2 294 9,8 294a t t t        
  2940 9,8 294 0 30
9,8
a t t t t

         

 
t 0 30 
a + 0  
a ր 5017.6 ց 
 Máx. 
A altura máxima atingida pelo projétil foi 5017,6 metros. 
 
27.2. Aceleração média =  
   

  
   
, 27 , 30
30 27 0 29,4
t.m.v. 9,8
30 27 3a
a a
 
A aceleração média do projétil nos três segundos antes de atingir a altura máxima foi 29,8 m/s 
 
27.3.  
 22 294 294 4 4,9 607,60 4,9 294 607,6 0
9.8
a t t t t
     
        

 
0294 313,6
62
9.8
t
t t
 
   

 
  9,8 294a t t    
  9,8a t   
 62 9,8 62 294 313,6 m/sa       
  262 9,8 m/sa   
. 
Pág. 171 
28. A reta tangente em A tem declive negativo     0f x 
A reta tangente em A “corta” a curva     0f x 
Resposta: (A) 
 
29. A reta t passa nos pontos de coordenadas (0 , 1) e (2 , 2). 
O declive da reta t é igual a 



2 1 1
2 0 2
 
Portanto,    12
2
g 
Se     1,
2 2
x
g x temos        1 12 0
2 2
g g x 
Se      3 ,
2 2
x
g x temos         1 12 0
2 2
g g x 
Como na parte do gráfico representada,a concavidade é voltada pata baixo, terá de ser    0g x . 
Resposta: (C) 
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Propostas de Resolução 
 
99 
30. A reta de equação y = 2x + 1 é tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1. 
Então,      

      
1
1 2 e 1 2 1 1 3 lim
x
f f f x 
        
  
     
 
2
21 1
3 3
lim lim
1x x
f x f x f x f x
x x x x
   
 

 
1 1
3
lim lim
1x x
f x f x
x x
       


      
1
1 1
lim 3 1 3 2 6
1 1x
f f x f
f
x
 
Resposta: (C) 
 
31. f(0) = 0 
       
  
 
    
 0 0 0
0 0
lim 1 lim 1 lim 1
0 0x x x
f x f x f x f
x x x
 
  0 1f 
Se   0 1f , f é contínua no ponto 0. Logo existe  
0
lim
x
f x

 e    


0
lim 0
x
f x f , ou seja,  


0
lim 0
x
f x 
Resposta: (C) 
 
32. Sabemos que 
     f a g b declive de r 
Se     f a g b então       0f a g b 
Resposta: (B) 
 
33. Se o ponto de abcissa 0 é um ponto de inflexão então, neste ponto, a segunda derivada muda de sinal. 
Logo, a primeira derivada tem um extremo relativo. 
Resposta: (A) 
 
Pág. 172 
34.     1h x g x 
     h x g x 
Resposta: (D) 
 
35. Atendendo ao sinal de f e de g e sabendo que    0 0f g e    2 2f g podemos tirar conclusões 
sobre a posição relativa dos gráficos de f e de g: 
        2 , 3f x g x x 
Resposta: (B) 
 
36. Sinal de h , concavidade do gráfico de h e variação de h : 
 
 
 
 
 
O gráfico da função h tem dois pontos de inflexão. 
Resposta: (C) 
 
x 0x 1x 
h – 0 + 0 – 
h { P.I. 8 P.I. { 
h ց ր ց 
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Propostas de Resolução 
 
100 
37. Seja g uma função quadrática. 
      ℝ2 , , , e 0g x ax bx c a b c a 
   2g x ax b 
Temos de provar que existe um e um só ℝx , tal que    1g x , dado que a reta de equação y = x tem 
declive 1. 
     1 2 1g x ax b   2 1ax b   1
2
b
x
a
 
Como  0a , a solução existe sempre e é única. 
Logo, existe um e um só ponto do gráfico, cuja abcissa é 
1
2
b
a
, onde a reta tangente é paralela à 
bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
38. O declive das retas r e s são iguais a  f a e a  f b , respetivamente 
Dado que f é uma função crescente, temos que     ℝ0,f x x . Portanto,    0f a e    0f b e, 
consequentemente, não pode ser  
 
  

1
f a
f b
 pelo que, as retas r e s não podem ser perpendiculares. 
39. Se f é ímpar,        ℝ,f x f x x 
 
39.1.       0 0f f f é ímpar 
      0 0f f – 0 = 0 
      0 0 0f f 
      2 0 0 0 0f f 
 
39.2.        ℝ,f x f x x pois f é ímpar. 
                ℝ,f x f x x  
             ℝ,x f x f x x  
          ℝ,f x f x x  
        ℝ,f x f x x  
 f é uma função par 
 
40.   5
4
f x x x   
 
40.1.   11
2
f x
x
   
Ponto de tangência: 
1 1
,
4 2
 
 
 
 
Declive: 
1 2 2
1 1 2
4 21
2
4
m f
       
 
 
1 1 1 1
: 2 2 2 1
2 4 2 2
r y x y x y x
 
          
 
 
 
Derivada da função composta
          
 
1 1 1 5 4 1 1
4 4 4 4 4 2 2
f
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Propostas de Resolução 
 
101 
40.2.   2 6 5g x x x    
  2 6g x x    
  2 2 6 2 2 4 2g x x x x            
 2 2g   
  22 2 6 2 5 4 12 5 3g           
 3 2 2 2 4 3 2 1y x y x y x          
Logo, a reta : 2 1r y x  também é tangente ao gráfico de g no ponto de coordenadas  2 , 3 
 
41. Se f é uma função diferenciável em ℝ então f é contínua em  0 , x e diferenciável em  0 , x , 
qualquer que seja x ℝ . 
Logo, pelo Teorema de Lagrange, existe pelo menos um  0 ,c x tal que      
0
0
f x f
f c
x

 

, qualquer 
que seja x ℝ . 
Sabemos que  0 0f  e que  , 0 1x f x   ℝ pelo que, em particular,  0 1f c  . 
Portanto, temos 
   0
0 1 0 1
f x f x
x x

      . 
Como 0x  , temos 
   0 1 0
f x
f x x
x
     
Logo,  ,x f x x  ℝ 
 
 
Pág. 173 
1. 
     


   
1
1
lim 0 1 0
1x
h x h
h
x
 
Se   1 0,h h é contínua no ponto  1x porque toda a função com derivada finita num ponto é contínua 
nesse ponto. 
Resposta: (B) 
 
2. Na tabela seguinte apresenta-se o sinal de f e a consequente variação de f: 
 
 
 
 
Apenas a representação gráfica apresentada em (A) se ajusta à variação de f. 
Resposta: (A) 
 
 
 
 
 
x –a a 
f  – 0 + 0 – 
f ց Mín. ր Máx. ց 
 e são os zeros de a a f
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Propostas de Resolução 
 
102 
3. Em  , a ,   0f a  e   0f a  . Logo,     0f a f a   
Em  ,a b ,   0f a  e   0f a  . Logo,     0f a f a   
Em  ,b c ,   0f a  e   0f a  . Logo,     0f a f a   
Resposta: (C) 
 
4. Sinal de f e concavidade do gráfico de f: 
 
 
 
 
Resposta: (D) 
 
5. Se f é estritamente crescente em ℝ então é injetiva e, como tal, não pode ter mais do que um zero. 
(B), (C) e (D) são afirmações não necessariamente verdadeiras. 
Por exemplo sendo a função f , em ℝ , definida por    3f x x , f é estritamente crescente, f tem um 
zero, f é ímpar e o gráfico de f tem um ponto de inflexão – o ponto de coordenadas (0 , 0). 
Resposta: (A) 
 
6.   
2
2
1
x
f x
x
 
 
     
 
 
 
      
  
 
2 2 2
2 22 2
2 1 2 1 2 1 2 2
1 1
x x x x x x x
f x
x x    
  
  
 
2 2 2
2 22 2
2 2 4 2 2
1 1
x x x
x x
 
Ponto de tangência: 
       
4 4 4
2 , ; 2
3 4 1 3
P f 
Declive:  
 
 
     

2
2 4 2 10
2
94 1
m f 
Tangente:  y mx b 
     
4 10 32
2
3 9 9
b b 
  
10 32
9 9
y x é uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 2. 
 
7.         3 20 002 1 25 2 200 0 500R x , x , x x , x 
     20 006 2 5 2R x , x , x 
    0 012 2 5R x , x , 
         2 50 0 012 2 5 0
0 012
,
R x , x , x
,
 
208,33x  
 
 
x  1 + 
f  – 0 + 
f { 8 
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Propostas de Resolução 
 
103 
 
 
 
 
 
 
  208 3333 36 875 65R , , 
O ponto de inflexão do gráfico de f tem as coordenadas (208,33 ; 36 875,65). 
Para  208 33x , , a velocidade de crescimento de    R R x é máxima. 
 
Pág. 174 
8. Em (C) tem-se: 
    0 0td f a 
Existe uma vizinhança de a onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima, pelo que    0f a . 
Então, na opção (C),       0f a f a . 
Resposta: (C) 
 
9. Sinal de ,g concavidade do gráfico de g e variação de g : 
 
 
 
 
 
 
Resposta: (A) 
 
10. A condição   1 0f apenas é satisfeita em (B). 
Resposta: (B) 
 
11.       3 244 440 2f t t t t 
 
11.1.      23 88 440f t t t 
    6 88f t t 
          88 440 6 88 0
6 3
f t t t t 
 
 
 
 
 
 
x 0 208,33 500 
R + 0 – 
R 8 P.I. { 
R ր Máx. ց 
x b 
g + 0 – 
g 8 P.I. { 
g ր ց 
t 0 
44
3
 
f  + 0 – 
f 8 { 
 P.I. 
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Propostas de Resolução 
 
104 
                 
     
3 2
44 44 44 44
44 440 2 12 765 26
3 3 3 3
f , 

44
14 67
3
, 
Ponto de inflexão: (14,67; 12 765,26) 
 
11.2. 
 
 
 
 
             
   
2
44 44 44 3256
3 88 440 1085 33
3 3 3 3
f , 
O foguetão atinge a velocidade máxima de 1085,33 m/s. 
 
11.3. A velocidade é máxima para t  14,67 s, abcissa do ponto de inflexão. 
 
12. A resposta é negativa. 
Seja, por exemplo, a função definidaem ℝ por    2 4f x x . 
   
     
 
    
2
2
4 se 2 2
4 se 2 2
x x x
f x
x x
 
 
   
  
   
2 se 2 2
2 se 2 2
x x x
f x
x x
 
 
   
  
   
2 se 2 2
2 se 2 2
x x
f x
x
 
 
 
 
 
 
(– 2 , 0) e (2 , 0) são pontos de inflexão do gráfico mas f não tem extremo relativo em – 2 ou em 2 pois 
nem existe nestes pontos. 
 
13. 
13.1.        30 2 26 2v x x x x      3 24 112 780v x x x x,  0 13x 
    212 224 780v x x x 
         20 12 224 780 0 0 13v x x x x   4 63x , 
 
 
 
 
O volume da caixa é máximo para  4,63x cm. 
 
t 0 
44
3
 
f  + 0 – 
f ր ց 
 Máx. 
x  2 2 + 
f  + – + 
f 8 0 { 0 8 
x 0 4,63 13 
V  + 0 – 
V ր ց 
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Propostas de Resolução 
 
105 
13.2.     3 24 112 780V x x x x , 0 < x < 13 
        3 22 4 2 112 2 780 2 1144V 
            3 22 1144 4 112 780 1144V x V V x x x x    3 24 112 780 1144 0x x x 
Sabemos que 2 é uma solução da equação. 
Usando a Regra de Ruffini, temos 
    3 24 112 780 1144 0x x x 
  22 4 104 572 0x x x      
22 4 104 572 0x x x      
Como se pretende  2x , temos: 
   
     
2
2 104 104 4 4 5724 104 572 0
8
x x x 
  
    
104 1664 104 64 26
8 8
x x 

    
104 8 26
13 26
8
x x 
Como 0 13x  , o valor pedido é  13 26x cm. 
 
14.  30 36 dmV , ;  3360 cmV 
 
b
V A h 
  2V r h 
   

2
2
360
360r h h
r
 
Área total:  Base lateral2A A A 
    22 2A r rh 
      

2
2
360
2 2A r r r
r
      2 7202 0A r r , r
r
 
       
3
2 2
720 4 720
4
r
A r r
r r
 
 
 
       
3 0
3
2
4 720
0 0 4 720 0
rr
A r r
r
3 3 3
720 180 180
3 9
4
r r r r ,       
  
 
r 0 3,9 + 
A – 0 + 
A ց ր 
 Mín. 
A quantidade de material é mínima para  3 9 cmr , . 
4 112 780 1144
2 8 208 1144
4 104 572 0
 

