4-Funções

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Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
1 
Unidade 4: Funções 
Tema 1: Generalidades sobre funções 
 
 Pág. 102 
1.      ℝ1 , \ 0ff x D
x
 ;     ℝ0, gg x x D ;      ℝ1,2 h
x
h x D 
1.1. a)   :f g g fD x x D g x D      � ℝ ℝ 
Cálculo auxiliar 
              ℝ 0 0 0 0g fx D g x D x x x x x 
        1f g x f g x f x
x
  � 
f gD

�
ℝ e    1f g x
x
� 
 
b)   :f h h fD x x D h x D    � ℝ   ℝ \ 2 
Cálculo auxiliar 
  1 0 2
2h f
x
x D h x D x x         ℝ 
      11
2 1
2
x
f h x f h x f
x
 
     
  
� 
1 2
2 2
2
x x

 
 
 \ 2f hD � ℝ e   
2
2
f h x
x


� 
 
c)    0:h g g hD x x D g x D      � ℝ ℝ 
Cálculo auxiliar 
          ℝ ℝ0 0g hx D g x D x x x 
        1
2
x
h g x h g x h x   � 
0h gD

�
ℝ e    1
2
x
h g x  � 
 
1.2.         � ℝ ℝ:g f f gD x x D f x D 
Cálculo auxiliar 
  10 0 0f gx D f x D x x
x
         
          
 
�
1 1 1
( )g f x g f x g
x x x
 
 
� �
ℝg f f gD D e       � �
1
g f x f g x
x
 
f e g são permutáveis. 
 
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2 
Pág. 103 
2.    ℝ ℝ: \ 3 \ 1f com   
 3
x
f x
x
 
2.1. Queremos provar que para cada  ℝ \ 1y existe um e apenas um  ℝ \ 3x tal que  y f x . 
   

             
 
3 3
3 3 1 3
3 1
xx y
y f x y x xy y xy x y x y y x
x y
 
 3x , porque   ℝ \ 1y ,  1y y 
Como, para cada  1y , a equação  y f x tem uma única solução, 

3
1
y
x
y
, tal que  ℝ \ 3x ,a 
função f é bijetiva. 
 
2.2. Expressão da função inversa: 
     
 
3
3 1
x y
y f x y x
x y
 (de 2.1.) 
  

1 3
1
x
f x
x
 
    ℝ ℝ1 : \ 1 \ 3f 

3
1
x
x
x
1 
 
2.3.          
   
1 3 3 0
3 1 3 1
x x x x
f x f x
x x x x
 
   
  
  
           
 
2 21 3 3 0 3 9 0 3 1
3 1
x x x x
x x x x x x
x x
 
22 8 0 3 1x x x x         
            2 4 0 3 1 0 4x x x x x x 
 
Pág. 105 
3.   2 , 4fD e    1 3f 
    2g x f x ;      3h x f x ; e     i x g x 
 
3.1.             : 2 : 2 2 4 1, 2g fD x x D x x 
              : 3 : 2 3 4 5 , 1h fD x x D x x 
                    : : 1 2 : 2 1 2 , 1i gD x x D x x x x 
 
3.2. a)                  1 2 7 2 6 3 2 3g x g x g x f x 
Como    1 3f , uma solução é    12 1
2
x x . 
b)              3 0 3 3 3h x h x f x 
Como    1 3f , uma solução é     3 1 2x x 
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Pág. 108 
4.    16 2g x x 
4.1.       OAPBA OA AP x g x 
Seja f a função que para cada valor de x dá a área do retângulo  OAPB . 
           216 2 16 2f x x g x x x x x 
        0,8: 0 16 2 0fD x x x 
                     22 2 2 2 216 2 2 8 2 2 4 4 4 2 4 32f x x x x x x x x 
A área máxima é igual a 32, para  4x . 
 
4.2.              224 0 , 8 16 2 24 0 , 8f x x x x 
        22 16 24 0 0 , 8x x x 
       2 8 12 0 0 , 8x x x 
   2 , 6x 
Cálculo auxiliar: 
 
        2
8 64 48
8 12 0 2 6
2
x x x x x 
 
Pág. 109 
5.   

4 11
2
x
f x
x
;    
2
7
3
4
x
g x
x
 
5.1.      
   
           
  
2
4 11 24 11 4 11
2 2 2 0 0
2 2 2
x xx x
f x x x x
x x x
 
                  2 24 11 4 4 0 2 0 4 11 4 4 0 2x x x x x x x x 
   
              

2 8 64 4 158 15 0 2 2 3 5
2
x x x x x x x 
    

4 3 11
3 1
2
f
x
 e     

4 5 11
5 3
2
f
x
 
O gráfico de f interseta a reta de equação   2y x nos pontos de coordenadas  3 , 1 e  5 , 3 . 
 
5.2.     2
4 11 7
3
2 4
x x
f x g x
x x
 
    
 
 
2
4 11 7
3 0
2 4
x x
x x
 
    
 
 
           
  

2
2
4 11 2 3 4 7
0
4
x x x x
x
 
      
  

2 2
2
4 8 11 22 3 12 7
0
4
x x x x x
x
 
          

2
2
2 3
0 2 , 1 2 , 3
4
x x
x
x
 
 
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Cálculo auxiliar 
2 2 4 122 3 0 1 3
2
x x x x x
 
          
2 4 0 2 2x x x       
  2 1 2 3 
 2 2 3x x + + + 0    0 + 
2 4x + 0    0 + + + 
 

2
2
2 3
4
x x
x
+  0 +  0 + 
 
Pág. 110 
6    
2 224 4AD x 
6.1.    216 8 1AD x x 
  2 8 32x x 
  AB BC CD AD 
     24 4 8 32x x x 
      28 8 32f x x x x 
 
6.2.          220 8 32 8 20f x x x x 
2 8 32 12x x x      
2 28 32 144 24x x x x       
   16 112 7x x 
Verificação: 
       49 56 32 7 8 20 25 15 20 (verdadeiro) 
Se x = 7,  7AB . 
trapézio
7 4
4 22
2 2
AB DC
A BC
 
     
 
Pág. 111 
7.     

ℝ
2
, \ 1
1 f
x x
f x D
x
 ;      ℝ
2 1
, \ 0g
x
g x D
x
 
7.1.           
   
          
  
2 2
1 1 1 1
1 1 1 0 0 0
1 1 1
f g f g 
 
7.2.         ℝ ℝ ℝ\ 1 \ 0 \ 0 , 1f gD D 
             
   
        
 
2 2
21 1 11
1
1 1
x x x xx x x
f g x f x g x x
x x x x
 
   ℝ \ 0 , 1f gD e        
2
1f g x x 
 
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5 
7.3.               
2
210 0 1 0 0 1 1
x
g x x x x x
x
 
         ℝ ℝ: 0 \ 1 , 0 , 1f gD D x g x 
   
 
 
     

            
2
2
2 2
11
1 1 11 1
x x
f x x x xf xxx
g g x x x xx x
x
 
  ℝ \ 1 , 0 , 1f
g
D e  
 
 
 
 
2
2
1
f x
x
g x
 
 
Pág. 112 
8. 



 
  
ℕ
1
1
5
4
,
2
n
n
u
u
u n
 
 
  12
4 5 4 9
2 2 2
u
u ; 

   33
9 17
44 172 2
2 2 2 4
u
u ; 

   34
17 33
44 334 4
2 2 2 8
u
u 
 
Pág. 113 
9. 



 
  
ℕ
1
1
5
4
,
2
n
n
u
u
u n
 
     1
1
4
2n n
P n u é a condição que pretendemos provar ser universal em ℕ . 
(i)          1 1 11 1
1 1
1 4 4 5
12
P u u u 
 1P é uma proposição verdadeira. 
(ii) Hipótese de indução:      1
1
4
2n n
P n u 
Tese:           1 11 1
1 1
1 4 4
2 2n nn n
P n u u 


 1
4
2
n
n
u
u 

 
 
1
1
4 4
2
2
n
 
  
  
    
1 1 1
1 1 1
4 4 8 82 2 2
2 2 2 2
n n n
 
  
     
1 1 1
1 1 1
4 4 4
2 2 2 2n n n
 
Ficou provado que       ℕ , 1n P n P n 
Logo, por indução matemática, provou-se que 

   ℕ
1
1
, 4
2n n
n u . 
1 Por hipótese, 3 3 nnu
 
 Pela fórmula de recorrência
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6 
10.1.           
ℕ ℕ1 1
2 2
, ,
2 3 2 3n n n n
n u u n u u
n n
 

       

ℕ2 3
0 2 3 0 2
2 3 2
n
n n n
n
 
Logo,  nu não é monótona pois: 
 para  1,n     
 2 1
2
2 0
2 1 3
u u 
 para  2n ,    
 3 2
2
2 0
2 2 3
u u ou seja, 2 1u u e 3 2u u 
 
10.2. 1u a 
     
  2 1
2 2
2
2 1 3 1
u u a a 
     
 3 2
2
2 2
2 2 3
u u a a 
Resposta: (C) 
 
Pág. 114 
11.1.    25 4570 , 130u u 
a)  45 25 45 25u u r     
130 70 20r      
     20 60 3r r 
 25 25nu u n r     
   70 25 3nu n        
       70 3 75 5 3
n n
u n u n 
 
b)  
 

  
           
50
20 50
20 21 50
20
55 145
... 50 20 1 31 3100
2 2nn
u u
u u u u 
Cálculo auxiliar 
20 5 3 20 55u      ; 50 5 3 50 145u     11.2.     ℕ9 12
1 1
; , 0,
9 243 n
v v v n 
a)      12 9 312 9
1 1
243 9
v v r r      3 3
1 1 1
9
243 27 3
r r r 
  99
n
n
v v r 

           
 
9
2 9 71 1 3 3 3
9 3
n
n n
n n n
v v v 
 
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7 
b) 

           
 

9
99 9
6 6
1
1
1 11 1
1 3 33 3
1 21 1
3 3
k
k
r
v v
r
 
 
 
    

7 9 9
9 2
3 3 1 3 1 19 682 9841
2 2 9 93 2 3
 
12.            ℕ ℕ1 15 , 5,n n n nu u n u u n 
 nu é uma progressão aritmética de razão  5r 
        5 1 1 14 21 20 1u u r u u 
            20 1 19 1 19 5 1 95 96u u r 
   
   20
1 96
20 970
2
S 
 
Pág. 115 
13.            
2 2
1 12 , 2 ,n n n nu n u n N u u n n N 
Para  1n ,      22 1 1 2 1 0u u . 
Para  1n ,   1 0n nu u dado que     ℕ2 2 0 , \ 1n n . 
Portanto,  nu não é monótona. 
Resposta: (D) 
 
14. 5 , 1x x  e x + 5 
14.1.                          
 
2 2 21 5 1 5 5 5 1 2 1 25 2 26 13
5 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
 
  1 13 5 8a 
  2 13 1 12a 
  3 13 5 18a 
 
14.2.    2
1
18 12 3
12 8 2
a
r
a
 
  11
n
n
a a r 

    
 
1
3
8
2
n
n
a 
 
15. Sejam 1 , 2 ,…,6 as amplitudes, em graus, dos ângulos internos do hexágono. 
 1 90º 
  6 1 5r sendo r a razão da progressão aritmética 
              1 2 3 4 5 6 6 2 180 (em graus) 
 
   1 6 6 720
2
 
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8 
       1 1 5 3 720r 
   1
720
2 5
3
r 
    2 90 5 240r 
   5 240 180r 
  
60
5
r 
  12r 
      6 1 5 90 5 12 150r 
A medida da amplitude do maior ângulo é 150º. 
 
Pág. 116 
16.1. Seja  nl a sucessão das medidas dos lados dos quadrados.  nl é uma progressão geométrica de 
razão 
1
2
 sendo, 1 1l . Então, 

   
 
1
1
2
n
nl . 
O comprimento do quarto de circunferência inscrito num quadrado de lado a é dado por: 
 
  
2
4 2
a
c a  r a 
Então, 

     
 
1
1
2 2
n
na . 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
2
, sendo 

1 2
a . 
16.2. 
                      
5
5 5
5 1
1 11 11 32 1 312 2 2
1 11 2 2 2 32 321
2 2
r
S a
r
 
 
17.  

       
22 2 2 2
0
2 2 2 8 4 2
BC
BC AB BC BC BC 

 1
2 2
2
2
A u.a. 

 2
1 1 1
2 2
A u.a. 

 3
1 1
12 2
2 8
A u.a. 
  32
1 2
1
...
4
AA
A A
 
 nA é uma progressão geométrica de razão 
1
4
. 
 
  
                      
       
11 2 2 2
1 2 2 3 2
1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
4 2 2
nn n
n n n
nA A r 
 
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9 
Ou 
Pelo processo descrito podemos concluir qua as dimensões dos triângulos estão em progressão 
geométrica de razão 
1
2
. Logo, as áreas correspondentes estão em progressão geométrica de razão 
 
 
 
2
1 1
2 4
. 
 
Pág. 117 
18. O gráfico da função g pode ser obtido do gráfico da função f por uma translação de vetor 
 2 , 0 seguida de uma reflexão de eixo Ox dos pontos de ordenada negativa. 
        2 2f x f x f x 
Resposta: (C) 
 
19.     2f x x 
Expressão de g: 
   1g x ax 
          2 5 2 1 5 2 4 2g a a a 
   2 1g x x 
                            � 4 4 4 2 4 2 4 1 9 9 2 5f g f f g f f g f g f f 
Resposta: (D) 
 
20. 
 
O vértice da parábola tem coordenadas   4 , 4f com   4 0f porque    3 2f f . 
     , 4fD f 
Resposta: (A) 
 
Pág. 118 
21.    16f x x 
21.1.              
 
2
2 2 2
16 16
7 7 7
x x x
f x x x 
 
         
2
24 416 49 784 4 4 0
49
x x
x x x x 
   
       

2
2 53 53 4 78053 780 0
2
x x x 
    65 12x x 
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Propostas de Resolução 
10 
Verificação: 
65x  : 

    
2 65
65 16 9 9
7
 (falso) 
12x   : 

    
2 12
12 16 2 2
7
 (verdadeiro) 
12 é a única solução. 
     12 12 16 2f 
O ponto de interseção dos gráficos tem coordenadas (– 12 , 2). 
 
21.2.   ,P x f x 
    0 0 16 4f 
 0 , 4A ;  , 4B x ;  0 , 1E ;  , 1D x ;  , 0C x 
a)   0AB x x (x > 0) 
      4 4BP f x f x     4, ff x x D 
 
   
          
4 1 1
16 4 16 2
2 2 2 2ABP
x f xAB BP
A x x x x x 
    0,5 16 2g x x x x 
 
b)   1OCDEA OC CD x x     
       0,5 16 2g x x x x x x 
    0,5 16 3 0x x x 
 0,5 16 3 0x x     
      0 0,5 16 3 0x x 
     0 16 6x x 
0 16 36 0 20x x x x         
Como 0x  apenas devemos considerar 20x  . 
Verificação: 
0,5 20 20 16 3 20 0 10 6 60 0          (verdadeiro) 
A abcissa de P é 20. 
 
Pág. 119 
22. 
22.1.    1f x x 
 ℝ
f
D . Logo, se 
f
x D , então  
f
x D . 
         1 1f x x x f x 
Portanto,          ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função par. 
 
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11 
22.2.    f x x x 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
      ℝ :x f x f x e        ℝ :x f x f x 
Logo, f não é par nem é ímpar. 
 
22.3.   f x x x 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
          f x x x x x f x 
Portanto,           ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função ímpar. 
 
22.4.   

5
2 1
x
f x
x
 
 ℝ
f
D . Se 
f
x D , então  
f
x D . 
   
 
 
 
      
  
5 5 5
2 2 21 11
x x x
f x f x
x xx
 
Portanto,           ℝ ℝ,x x f x f x . 
Logo, f é uma função ímpar. 
 
23.1. Sejam f e g funções pares: 
         ,f fx D x D f x f x e 
         ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                             ,f g f gx D D x D D f g x f x g x f x g x f g x 
Portanto,               ,f g f gx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
23.2. Sejam f e g funções ímpares: 
          ,f fx D x D f x f x e 
          ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                   ,f g f gx D D x D D f g x f x g x 
                    f x g x f x g x f g x 
Portanto,                ,f g f gx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função ímpar. 
 
 
 
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12 
23.3. Sejam f e g funções pares. 
         ,f fx D x D f x f x e 
         ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                             ,f g f gx D D x D D f g x f x g x f x g x f g x 
Portanto,              ,fg fgx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
23.4. Sejam f e g funções ímpares: 
          ,f fx D x D f x f x e 
          ,g gx D x D g x g x 
Então: 
                   ,f g f gx D D x D D f g x f x g x 
                    f x g x f x g x f g x 
Portanto,              ,fg fgx D x D f g x f g x . 
Logo, f g é uma função par. 
 
24. Seja f uma função ímpar tal que 0
f
D : 
Então,      0 0f f , ou seja,     0 0f f . 
                   0 0 0 0 0 2 0 0 0 0f f f f f f 
Portanto, se f é uma função ímpar e 0
f
D , então   0 0f . 
 
25. Seja f uma função simultaneamente par e ímpar. 
                 ,f fx D x D f x f x f x f x 
Então: 
              ,fx D f xf x f x f x 
Como                     2 0 0f x f x f x f x f x f x , então: 
   , 0fx D f x 
 
26. Sejam  nu e  nv progressões aritméticas de razões 1r e 2r , respetivamente, e  n n nw u v 
Então,   1 1n nu u r e   1 2n nv v r . 
                     1 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n nw w u v u v u u v v r r 
Portanto,     n n nw u v é uma progressão aritmética de razão igual a 1 2r r 
 
 
 
 
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13 
27. Se  nu é uma progressão aritmética de razão 2 então    ℕ 1, 2n nn u u 
  34 2 nu
n
v 
 
 

 
    
 

      

1 1
11
3 3
33 3 3 21
3 3 6
4 2 2 1 1
2 2 2
6424 2 2
n n
n nn n
n n
u u
u uu un
u u
n
v
v
 
Logo,  nv é uma progressão geométrica de razão 
1
64
. 
 
Pág. 120 
28.           � 2 2 1 1f g f g f 
          � 2 2 3 0g f g f g 
           � 1 13 3 2 1g f g f g 
            �1 1 11 1 1 2g f g f g 
Resposta: (B) 
 
29.       � �14 2f g g f 
       14 2f g g f 
       11 2f g 
  2 2 0 
Cálculo auxiliar 
  3 3 2 6
2 2
x x
g x y y y x y          
 1 2 6g x x   
 1 2 4 6 2g       
Resposta: (C) 
 
30.    1
2
x
f x 
  

4
3 2
x
g x
x
 
           
 
� 1
2
a
g f a g f a g 
       
     
 
4 1
4 2 4 22
3 2 1
3 2 1
2
a
a a
a a a
 
        

�
4 2
1 1
1
a
g f a
a
 
         4 2 1 1 5a a a a 
Resposta: (B) 
 
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14 
31.    2f x x 
  2 2 2 2 4 2f x x x x          
Verificação:        2 2 2 4 2 2 2 (verdadeiro) 
Se  2 2f   , então  12 2f   . 
Resposta: (A) 
 
32.     ℝ : 0gD x f x 
O domínio de g pode ser  2 se f(2) = 0 ou um intervalo I contido em [a , b] sendo a e b os zeros de f, 
caso existam. 
 
  2gD   ,gD a b  gD 
O domínio de g não pode ser ℝ0 . 
Resposta: (C) 
 
33.    

4
2
4
f x
x
 
33.1.   44 2 4
4
f x
x
      

 
4
2 0
4 x
   

 
 

4 8 2
0
4
x
x
 
12 2
0
4
x
x

 


  

2 12
0
4
x
x
 
       , 4 6 ,x 
Cálculo auxiliar 
x  4 6 
  
2 12x  – – – 0 + 
4x  – 0 + + + 
 Quociente + n.d. – 0 + 
 
 
33.2.      

4
0 2 1
4 0
f 
           

4
0 2 0 4 8 2 0 2
4
f x x x
x
 
B é o ponto de interseção da reta de equação  4y com o eixo Oy . 
Logo, B tem coordenadas  0 , 4 . 
C é o ponto de interseção da reta de equação  4y com o gráfico de f . 
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15 
              
  
4 4 4 8 2
4 2 4 2 0 0
4 4 4
x
f x
x x x
 
      12 2 0 4 6x x x 
Logo, C tem coordenadas  6 , 4 . 
 0 , 1A  ;  0 , 4B  ;  6 , 4C  ;  2 , 0D 
 
 
  
1 2
1
2 2OAD
OA OD
A 
 
 
    
2 6
4 16
2 2OBCD
OD BC
A OB 
         16 1 15ABCD OBCD OADA A A 
 
34.    1 1 , \ 2
2 f
f x D
x
  

ℝ 
   1 , 1,gg x x D      
 
34.1.         

1
2 1 2
2
f x
x
 
 
     
 
1 1 2
1 0 0
2 2
x
x x
 
3 3
0 0
2 2
x x
x x
 
    
 
 
       , 2 3 ,x 
Cálculos auxiliares 
3 0 3x x    
2 0 2x x    
x  2 3 
 
3x  – – – 0 + 
2x  – 0 + + + 
Quociente + n.d. – 0 + 
 
 
 
Pág. 121 
34.2.       : 1, 3 3 ,f g g fD x x D g x D         � ℝ 
Cálculo auxiliar 
  1 1 2 1 3g fx D g x D x x x x              
        11 1
2 1
f g x f g x f x
x
    
 
� 
     
 
�
1
1
2 1
f g x
x
 
       � 1 , 3 3 ,f gD 
 
 
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16 
34.3.    1g x x ;     1,gD ;     0 ,gD 
  2 21 1 1g x y x y x y x y          
   1 2 1g x x 
   1
2
: 0 , 1,
1
g
x x
      
1
 
 
35.      220 , 0 , 20ff x x x D 
     ℝ8 , gg x x D 
 
35.1.   220f x x x x x     
2 2 220 20 2 0x x x x x       
 2 10 0 0 10x x x x       
Verificação 
0x  :  0 0 0 (verdadeiro) 
10x  :     220 10 10 10 100 10 (verdadeiro) 
  0 , 10S 
 
35.2.     220 8f x g x x x x      
2 2 220 64 16 2 36 64 0x x x x x x          
2
2 18 18 12818 32 0
2
x x x
 
       
   2 16x x 
Verificação 
2x  :      220 2 2 8 2 36 6 (verdadeiro) 
16x  :       220 16 16 8 16 64 8 (falso) 
 2 8 2 6g    
O ponto de interseção dos gráficos de f e g tem coordenadas (2 , 6). 
 
35.3.     : 12 , 8f g g fD x x D g x D      � ℝ 
Cálculo auxiliar 
  0 8 20g fx D g x D x x         ℝ 
8 0 8 20 8 12x x x x           
         220 8 8f g x f g x x x     � 
 2 2160 20 64 16 4 96x x x x x         
 
2
: 12 , 8
4 96
f g
x x x
 
  
� ℝ
1
 
 
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Propostas de Resolução 
17 
35.4.                       

�
2 2 4 16 4 960 4 96 0 4 96 0 12 8
2
f g x x x x x x x x 
 
�
12 f gD e  �8 f gD 
Verificação: 
12x   :         212 4 12 96 0 0 0 (verdadeiro) 
8x  :       28 4 8 96 0 0 0 (verdadeiro) 
  12 , 8S 
 
36.    5 , \ 2
2 g
x
g x D
x
  

ℝ 
 
36.1.     , , , 0B x g x A x ;   0 ,C g x 
OA x ;  AB g x 
    2OABCP OA AB 
             
2 25 2 5 2 14
2 2
2 2 2
x x x x x x
P x x
x x x
 
 
36.2.          
 
2 22 14 2 14
12 12 12 0
2 2
x x x x
P x
x x
 
  
         

2
22 14 12 24 0 2 2 24 0 2
2
x x x
x x x
x
 
  
      
2 4 192
4 3
4
x x x 
Como x > 0, temos x = 3. 
   

15
3 3
3 2
g 
 3 , 3B 
 
36.3.          
 
2 22 14 2 14
24 24 24 0
2 2
x x x x
P x
x x
 
  
 

22 14 24 48
0
2
x x x
x
 
 

22 10 48
0
2
x x
x
 0 , 8x  
Cálculos auxiliares: 
2
2 10 10 8 482 10 48 0 8 3
4
x x x x x
  
          
Como 0x  , temos 8x  . 
Dado que 2 0,x x    ℝ : 
22 10 48
0
2
x x
x
 
 

 
    22 10 48 0x x 
0
0 8
x
x

   
 
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Propostas de Resolução 
18 
36.4.         
25
Área
2OABC
x
OA AB x g x
x
 
  
                

2 2
2 25 81 81 20 162 981 5 81 162 0 5 81 162 0 18
2 10 5
x
x x x x x x x x
x
Como 0x  , a área do retângulo [OABC] é igual a 81 cm2 se 18x  cm. 
     

22 18 14 18
18 45
18 2
P 
  18 45P cm 
 
37.    2 1 , \ 2
2 f
x
f x D
x

 

ℝ 
37.1.       
  
   
      
    
2 1 3 4 24 2 1 4
0 0
3 2 3 2 3
x x x xx x x
f x
x x x x x
 
  
      
    
   
2 2 2
2
2 7 3 8 4 2 3
0 0
2 3 5 6
x x x x x x
x x x x
 
       
3
1, 2 , 3
2
x 
Cálculos auxiliares 
2 1 1 24 32 3 0 1
4 2
x x x x x
 
          
2 5 6 0 2 3x x x x       
x  −1 
3
2
 2 3 
22 3x x  + 0 − 0 + + + + + 
2 5 6x x  + + + + + 0 – 0 + 
Quociente + 0 – 0 + n.d. – n.d. + 
 
 
37.2. a)     3g x kx 
          
 
            
 
�
2 3 1
1 1 1 1 3 1 1
2 3
k
f g f g f k
k
 
  
      
  
2 6 1 2 7
1 0 1 0
2 3 5
k k
k k
 
   
     
 
2 7 5 2
0 0 2
5 5
k k k
k
k k
 
 
b)           1 3 2 2 3 2 3 3g g k 
   2 6 3k k 
 
38.    21 , \ 2
2 f
f x D
x
  

ℝ 
 
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Propostas de Resolução 
19 
 
38.1.               
  
2 2 2 2
2 1 2 1 0 0
2 2 2
x
f x
x x x
 

 

4
0
2
x
x
    , 2 4 ,x      
 
Cálculo auxiliar: 
x  2 4 
  
4x  – – – 0 + 
2 x + 0 – + – 
 Quociente – n.d. + 0 – 
 
 
38.2.     ℝ2, gg x x D 
         �f g x x f g x x 
 2 2
2
1
2
f x x x
x
     

 
2 3
2 2
2 2 2 2
1 0 0
2 2
x x x
x
x x
   
      
 
 
       3 2 22 0 2 0x x x x 
       2 22 0 2x x x x 
         2 20 2 0 2x x x x 
  
        
 
21 1 80 2
2
x x x 
      0 2 1x x x 
  1, 0 , 2S 
 
38.3. Os gráficos das funções f e 1f  são simétricos relativamente à reta de equação y = x. Portanto, os 
pontos de interseção destes gráficos, quando existem, pertencem aquela reta. Por isso, as equações 
 f x x ,   1f x x e     1f x f x são equivalentes. 
          
 
2 2
1 1 0
2 2
f x y y y
x x
 
   
  

2 2 2
0
2
x y xy
x
 
2 0 2x y xy x        
       

2
1 2 2
1
y
x y y x x
y
 
  

1 2
1
x
f x
x
 
 
 
 
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Propostas de Resolução 
20 
        
 
1 2 21 0
2 1
x
f x f x
x x
 
      
  
     
  
 
2 1 2 1 2 2
0
2 1
x x x x x
x x
 
   
      
  
 
2 23 2 2 2 4 2
0
2 1
x x x x x
x x
 
       2 3 0 2 1x x x x 
 3 0 2 1 0 3x x x x x x           
      

2
1
2
f x x x
x
   
 

22 2 2
0
2
x x x
x
 
            23 0 2 3 0 2x x x x x x 
   0 3x x 
  0 , 3S 
 
39. 
39.1. Os triângulos [MDF] e [CDE] são semelhantes. 
 2EC ; 
2
x
MD ;  1MC ; 

  
2
1
2 2
x x
CD 

MF MD
EC CD
 
 
    
 
22 2
22 2 2
2
x
MF x
MF
x x
2
2
x
MF
x


 
Portanto,   

2
2
x
h x
x
. 
 
39.2.   base
1
altura
3
V A 
   
3
21 2 2
3 2 3 6
x x
V x x V x
x x
    
 
 
 
39.3.     
 
32 6 432
6 36
3 6 6 12
V cm 3 
 
39.4.  
3 32 2
36 36 36 0
3 6 3 6
x x
V x
x x
      
 
 
       32 108 216 0 3 6 0x x x 

      
2
3 54 108 0 2
x
x x x 
    6 3 3 3x x 
As possíveis medidas da aresta da base são 6 cm e 3 3 3 cm. 
 
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Propostas de Resolução 
21 
Cálculos auxiliares 
Sabemos que 6 é uma solução da equação 3 54 108 0x x   . 
 1 0 – 54 108 
6 6 36 – 108 
 1 6 – 18 0 
2 6 36 72 6 1086 18 0
2 2
x x x x
   
        
6 6 3
3 3 3 3 3 3
2
x x x
 
          
Como 2x  , temos 3 3 3x   . 
 
Pág. 122 
1.   2 , ff x x k D   ℝ 
   2 , \ 0gg x D
x
  ℝ 
                  

�
2
3 2 3 9 2 2 9 1 8
9
g f g f g k k k
k
 
Resposta: (B) 
 
2.    3 , 2fD 
                             3 2 3 1 2 0 1 3 0 2 1 6 1 2 1 1 7f x f x f x f x f x 
  [1 , 7]gD 
Resposta: (B) 
 
3. Se o contradomínio é    , 0f , Oy é o eixo de simetria do gráfico de f. Logo, f é uma função par. 
Resposta: (D) 
 
4.     3 3 2f x x x ;     4 3 22g x x x x 
 
4.1. 
 1 0 –3 –2 
2 2 4 2 
 
1 2 1 0 
 
       30 3 2 0f x x x 
       22 2 1 0x x x 
      22 1 0x x 
       22 0 1 0x x   21 0,x x   ℝ 
     2 1x x 
   1 2 ,x      
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Propostas de Resolução 
22 
 
4.2.      4 5 22g x x x x 
    2 2 2x x x 
     2 1 2x x x 
         0 0 1 2g x x x x 
   
 
   
   
  
  
 
2
2 2
2 1 1
1 2
f x x x x
h x
g x x x x x
 
 
2
: \ 1 , 0 , 2
1
h
x
x
x
 

ℝ ℝ
1
 
4.3.          ℝ2
1
0 0 \ 1, 0 , 2
x
h x x
x
 
       ℝ1 0 \ 1, 0 , 2x x 
       ℝ1 \ 1, 0 , 2x x 
     1, 0 0, 2 2 ,x       
 
5. A(5 , 12) e P(x , 0) 
5.1. 2 25 12 13OA    
OP x 
 2 25 12AP x         2 210 25 144 10 169x x x x 
Perímetro de [OPA] =  OP OA AP 
      213 10 169f x x x x 
 
5.2.          290 13 10 169 90f x x x x 
2 10 169 77x x x      
2 2 210 169 77 154x x x x       
2144 77 169x    
   144 5760 40x x 
 40OP 
Verificação: 
        240 13 40 10 40 169 90 53 37 90 (verdadeiro) 
 

 
40 12
240
2OPA
A 
 
5.3. Se o triângulo é retângulo em P, então x = 5. 
         25 5 13 5 50 169 18 12 30f 
 
2 2 0
1 1 8
2
1 2
x x
x
x x
   
 
  
    
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Propostas de Resolução 
23 
5.4.              
222 2 2 213 13 169 10 169x f x x x x x 
    2 2169 10 169x x x   10 2 169x   33,8x 
Para este valor, pelo recíproco do Teorema de Pitágoras, o triângulo é retângulo em A dado que 
 , 13OP x OA ,    13AP f x x pelo que  
2 2 2
OP OA AP . 
 
6.1. 
n
P é a medida da hipotenusa do triângulo de ordem n. 
Então, 
2
nP é a medida dos catetos do triângulo de ordem n + 1. 
  
   
          
   
2 2 2
2
1 1 1
2
2
2 2 4 4
n n n
n n n n
P P P
P P P P 

    
1
1
2 2
2 2
n
n n
n
P
P P
P
 
 nP é uma progressão geométrica de razão 
2
2
. 
    2 2 21 16 16 16 2 16 2P 
 
               
  

8
8
8 1
2 11 121 2 151616 2 16 2 16 2
1 162 2 2 2 2
1
2 2
r
S P
r
 
   

     

30 2 2 230 2
15 2 2 2 30 2 30
4 22 2
 
 
6.2. a) A área de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem a unidades é dado por 

  
2
21
2 2 2
a a a
A a . 
Se b é a medida da hipotenusa,  2 2 2b a a donde 
2
2
2
b
a . 
Assim,   
2
21 1
2 2 4
b
A b . 
A área do triângulo de ordem n é   21
4n n
a b , dado que 
n
b é o comprimento da hipotenusa. 
A área do triângulo de ordem 1n  é   
2
1 1
1
4n n
a b . 
 
 
 
  
          
222
11 1
2
2 1
2 2
nn n
n nn
ba b
a bb
 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
2
. 
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Propostas de Resolução 
24 
b) 
                      
7
7 7
7 1
1 11 11 1 1 12 216 16 256 256 1 256 2 254
1 11 2 2 1281
2 2
r
S a
r
 
 
7.   4 1 , ff x x D   ℝ 
  11 8 , ,
8g
g x x D
 
     
 
 
7.1.       � ℝ :f g g fD x x D g x D     
1
,
8
 
             � 1 8 4 1 8 1f g x f g x f x x 
1
: , 
8
 4 1 8 1
f g
x x
 
   
 
� ℝ
1 
 
            �
ℝ
9
: ,
32g f f g
D x x D f x D 
                � 4 1 1 8 4 1g f x g f x g x x 
    1 32 8 9 32x x 
9
: , 
32
 9 32
g f
x x
 
   

� ℝ
1 
 
 
 
7.2.             � � 4 1 8 1 9 32f g x g f x x x 
               4 1 8 9 32 1 16 1 8 9 32 2 9 32 1x x x x x 
           16 128 9 32 1 2 9 32 6 96 2 9 32x x x x x 
             2 2 236 2 6 96 96 4 9 32 36 1152 9216 36 128x x x x x x 
             2 2 19216 1024 0 9 0 9 1 0 0
9
x x x x x x x x 
Verificação 
0 :x  4 1 8 0 1 9 32 0 4 1 3         (verdadeiro) 
1
9
x  : 
8 32 1 49 4 7
4 1 1 9 4 1 1
9 9 9 9 3 3
            (falso) 
  0S 
 
 
7.3. Não, porque � �f g g f . 
 
 
 
 
Cálculo auxiliar
1
1 8
8
1
8
g fx D g x D
x x
x
   
     
 
ℝ
 
Cálculo auxiliar
1
4 1
8
9 9
4
8 32
f gx D f x D
x x
x x
   
     
   
ℝ
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
25 
7.4.   11 8 , ,
8g
g x x D
 
     
 
   g x y   1 8x y  21 8x y    
2
2 18 1
8
y
x y x 
  
2
1 1
8
x
g x 
1
0
2
1
: ,
8
1
8
g
x
x
      

ℝ
1
 
 
 
7.5.               ℝ
2
1
0
1
3 4 3 1
8
x
g x f x x x 
             2 21 32 96 8 0 32 105 0 0x x x x x x 
                
232 32 4 105
0 3 35 0 3
2
x x x x x x 
 
  3S 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
26 
Tema 2: Funções e sucessões. Limites e continuidade 
 
Pág. 124 
1.1.        2 2lim 3 lim 3n n n 
 
1.2.         4 2 4lim 2 2 lim 2n n n 
 
Pág. 125 
1.3.       
 
3 3
2 3 3
2 6 6
lim lim lim 3 3
2 2
n n n
n n n
 
 
1.4. 
4 3 4 4
2
2 2 2
2 2 1 2 2
lim lim lim lim2
2
n n n n
n
n n n n
 
    

 
 
1.5. 
    
  
 
3 2 3
5 5 2
2 1 2 2
lim lim lim 0
1
n n n
n n n n
 
 
1.6. 
 
     
 
2 2
3 3 3 3
2 2
1 1 1 1
lim lim lim
8 8 28 8
n n n
n n n
 
 
1.7. 
           
     
 
2
2
2 23 3
2 3 2 3 0 3
lim lim lim lim 3
1 1 1 01
1 11
n
n n n n
n n
nn
n nn
 
 
1.8. 
                   
     
 
24 2
334 3
2 2 2
2
2
1 11 1 11 1
lim lim lim lim
11 1 1
1
nn n n n nnnn n n n
n n n
n
n
 
 
 
  

3
2
1 1
1
1 0 0
lim 1
1 1 0
1
nn
n
 
 
1.9.     
     
    
  
2 3 2 3
lim 2 3 lim
2 3
n n n n
n n
n n
 
 2 3 1 1
lim lim 0
2 3 2 3
n n
n n n n
    
   
     
 
 
 
1.10.     
   
   
 
2 2
2
2
3 3 3 3
lim 3 3 lim
3 3
n n n n n n
n n n
n n n
 
 
   
              
2 2
2
3 3
lim lim lim
11 1
3 33 3 3 3
n n n n n
n nn n n
nn n
 
    

 
1 1 1 3 3 3
lim
2 3 61 3 3 2 3 2 3 3
3 3
n
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
27 
Pág. 126 
1.11.     
     
    
   
22 1 2 1 2 1
lim 2 1 lim lim
2 1 2 1
n n n n n n
n n
n n n n
 
        
            
2
2
2 2
1
2
2 1
lim lim
2 1 2 1
1
n n
n n n
n n n
n nn n
 
     
    
 
 
2
1
2
2 0
lim
12 1 0 0 1
1
n
n
n n
 
1.12.        
     
    
   
2 2 2 2
2
2 2
2 4 3 2 4 3 4 4 3
lim 2 4 3 lim lim
2 4 3 2 4 3
n n n n n n n n n
n n n
n n n n n n
 
  
   
              
2
3 3 3
lim lim lim
33 3
2 42 4 2 4
n n n
n nn n n
nn n
 
 
   
 
 
3 3 3
lim
43 2 4 0
2 4
n
 
 
1.13. 
          
  
   
 
2
3 3 31 1 1
3 1 0 1
lim lim lim lim
22 1 2 0
2 22
n
n n n n
n n nn
n
nnn
 
 
1.14. 

                   
          
1
33
3 3 0
lim lim lim lim
1 02 2 2 21 1
n
n
n n n n n
n n n n n n
n
 
 
1.15. 
 
    

              
     
2 212
1 1 1 1 1
1
2
1 2
3 2 29 2 3 2 2 1 0 2 13
lim lim lim lim 3
13 1 3 3 1 3 3 1 3 0 3
3
3
n
nn
nn n n
n n n
n
 
 
1.16.  
 
 
    
                
1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 2
lim lim lim lim lim
3 9 2 93 3 3 3
n nn n
n n
 
 
1.17.  

 
                                  
1
1 2 3 2 3 3 2lim 3 2 3 lim lim lim 3 0 3 3
3 33 3
n nn n n
n n n
n n
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
28 
2.1.  3 n
n
a 
  
  

    ℕ
1
11 3 13 ,
33
n
n nn
n
n
a
n
a
 
 na é uma progressão geométrica de razão 
1
3
r 
 
   


      ℕ
11 1
1 2 11
2
1
1
2 12 2 2 ,
1 22
2
nn
n nn
n
n
n
b
n
b
 
 nb é uma progressão geométrica de razão 
1
2
r 
 
2.2.  1
1
1
3
3
a ; 
1
3
r 
                          
1
1 11 1
1 1 1 1 3 1 1 13 3 1 1
1 21 3 3 3 2 23 3
1
3 3
p
p p
p p p
r
S a
r
 
 
2.3.          
  
1 1 1 1
lim lim 1 1 0
2 2 23
n n
S 
 
2.4 

 
1
1
lim lim
2
n
n n
i
a S 
 1 1 1
1 1
2 4
b 
 nb é uma progressão geométrica de razão 
1
2
r 

                  
  
 1
1
1
1
1 1 2
lim lim lim
11 4
1
2
n
nn
n
i
r
b b
r
 
 
  
        
   
1 1 2 1
2 1 lim 1 0
4 2 4 2
n
 
Portanto,  
 
  
 
 
1 1
1 1
1lim
2lim 1
1
lim
2
n n
n n
i i
n n
n n
i i
a a
b b
 
3. 
 
   
 
1
1
lim lim
1
n
n
r
S a
r
 

  
 
1
1
1 0
1 1
a
a
r r
 
 
 
   Se 0 1 , lim 0nr r
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
29 
Pág. 127 
4. 
   


2 3 1
1
n
nu
n
 
4.1. 
    
   

1
1
2 3 1 2 3 1
1 1 2 2
u ; 
 
    
  

2
2
2 3 1 2 3 5
2 1 3 3
u ; 
 3
3
2 3 1 2 3 1
3 1 4 4
u
   
   

 
Como   
2 1 3 2
u u u u , a sucessão  nu é não monótona. 
 
 
4.2.  1 n toma apenas os valores 1 e 1. Portanto,    2 3 1 n define uma sucessão limitada dado que 
        ℕ ,2 3 2 3 1 2 3nn , ou seja,        ℕ , 1 2 3 1 5nn . 
   
           
2 3 1 1
2 3 1
1 1
n
n
nu
n n
 e 

1
lim 0
1n
. 
Logo, lim 0
n
u dado que  nu é o produto de uma sucessão limitada por uma sucessão de limite nulo. 
Como lim 0
n
u ,  nu é convergente. 
 
4.3. Toda a sucessão convergente é limitada. Logo, como  nu é convergente, então é limitada. 
 
5. 



1 2
5
n
n
u
n
 e 


 
 1
2 se 10
 se 10
n
n
n
u n
v
u n
 
5.1. 
  
      
1 1
1 2 1 1 1
2 2 2
1 5 6 3
v u 
  
      
10 10
1 2 10 19 38
2 2 2
10 5 15 15
v u 

 
    
11 11 1 12
1 2 12 23
12 5 17
v u u 
 
5.2. 
 
     
1
1 2 2
lim lim lim lim lim 2
5
n n n
n n
v u u
n n
 
 
Pág. 128 
6.1  nu : 



 
  

ℕ
1
2
1
1
5
,
5
n
n
u
u
u n
 
a) Pretende-se provar que   ℕ
3
,
2
nn u . 
Para  1n , temos   1
3 3
1
2 2
u (proposição verdadeira) 
Admitamos, por hipótese, que para dado ℕn , 
3
2
nu . Pretendemos provar que  1
3
2
nu . 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
30 
 
    
 
2
23 3
2 2
n n
u u 
  
        
 
2
2 59 1 9 205 5
4 5 5 4 4
n
n
u
u 
    1 1
29 3
20 2
n n
u u 
Ficou provado, por indução matemática, que   ℕ
3
,
2
nn u 
b) Vamos provar, por indução matemática, que   ℕ 1, n nn u u 
Para  1n vem 
 
      
2 2
1
2 1
5 1 5 6
1 1 1
5 5 5
u
u u (proposição verdadeira) 
Admitindo, para dado ℕn , que  1n nu u vamos provar que  2 1n nu u . 
    
2 2
1 1n n n n
u u u u 
    
2 2
1
5 5
n n
u u 
    
2 2
1
5 5
5 5
n n
u u
 
  2 1n nu u 
Mostrámos que   ℕ 1, n nn u u , ou seja,  nu é crescente. 
 
c)  nu é monótona e limitada. Logo,  nu é convergente. 
Se  nu é convergente ,  1lim limn nu u . 


   
2
1
5
lim lim lim lim
5
n
n n n
u
u u u 
  
  
2
lim 5
lim
5
n
n
u
u 

         
2
2 25 5 5 5 5 0
5
x
x x x x x 
   
     
5 25 20 5 5 5 5
2 2 2
x x x 
Como   ℕ
3
,
2
nn u , vem 
3
lim
2
nu pelo que 


5 5
lim
2
nu . 
 
6.2.  nu : 



    
ℕ
1
1
1
4
,
4
n
n
u
u n
u
 
 
a) Vamos provar, por indução matemática, que   ℕ 1, n nn u u . 
Para  1n vem       
 2 1
1
4 4 4
1 1 1
4 4 1 3
u u
u
 (proposição verdadeira) 
 
 
    ℕ| , 4 2 0, da definição de n nn u u
   ℕ, 0, da definição de n nn u u
 
3 30 29
2 20 20
   ℕ| , 0 da definição de .n nn u u
|Fazendo lim
n
u x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
31 
Admitindo, para dado ℕn , que  1n nu u vamos provar que  2 1nnu u . 
      1 1n n n nu u u u 
    14 4n nu u 

  
 
1
1 1
4 4
n n
u u
 

  
 
1
4 4
4 4
n n
u u
 
  2 1n nu u 
Mostrámos que   ℕ 1, n nn u u , ou seja,  nu é crescente. 
b) Se  nu é convergente, então  1lim limn nu u . 
       1
4 4
lim lim lim lim lim
4 4 lim
n n n n
n n
u u u u
u u
 
 
       
  
24 4 4 4
0 0
4 4 4
x x
x x
x x x
 
   

         

2
22
0 2 0 4 0 2
4
x
x x x
x
 
Logo, se  nu é convergente, então lim 2nu 
 
c) Vamos provar que   ℕ , 2
n
n u . 
Para  1n , temos   
1
2 1 2u (proposição verdadeira) 
Admitamos, por hipótese, que para dado ℕn ,  2
n
u . Pretendemos provar que  1 2nu . 
         2 2 4 4 2
n n n
u u u 
     

1 1
4 2
4 2
n
n
u
u
 
    1
4 4
2
4 2
n
n
u
u
 
Ficou provado, por indução matemática, que   ℕ , 2
n
n u . 
Portanto, como toda a sucessão crescente e majorada é convergente, podemos concluir que  nu é 
convergente, sendo lim 2
n
u . 
 
7. 



 
 
ℕ
1
1
5
4
,
3
n
n
u
u
u n
 e   2
n n
v u 
 
7.1. Pretendemos provar que    ℕ 2, 3 2n
n
n u 
 Para  1n , temos 
      2 1
1
3 2 5 3 2 5 5u , que é uma proposição verdadeira 
 
 
Fazendo lim nu x

  
      

    
ℕ
ℕ ℕ
ℝ
É dado que , 0. 
4
Logo, , 0, ou seja, , 4 0 .
4
1 1
, ,
n
n
n
n u
n n u
u
x y x y
x y
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
32 
 Admitindo, para dado ℕn , que  23 2n
n
u , temos de provar que  
 
  
2 1
1
3 2
n
n
u 


 
1
4
3
n
n
u
u 
  
 
24 3 2
3
n
 |Por hipótese 
 
   
2 23 6 3 6
3 3 3
n n
 
      2 12 13 2 3 2nn 
Fica, assim, provada a hereditariedade da propriedade. 
Pelo princípio de indução matemática, pode-se concluir que    ℕ 2, 3 2n
n
n u 
 
7.2.         ℕ 2 2, 2 3 2 2 3n n
n n
n v u 
 
 
   
      
 
     
2 1 2 1
1 2 1 2 11
2 2
3 3 1
3 3 3
33 3
n n
n n n nn
n n
n
v
v
 
Como   ℕ 1
1
,
3
n
n
v
n
v
,  nv é uma progressão geométrica de razão 
1
3
r 
7.3. 

 
1
1
1
n
n
r
S v
r
,  2 1
1
3 3v e 
1
3
r 
                      
 
 
  
1 1
1 1 lim
1 0 3 93 3
lim lim 3 3 3 3
1 2 2 2 2
1
3 3 3
n n
n
S 
Resposta: (B) 
 
Pág. 129 
8.1. a) 

    
   
 2 2 2 2
1
...
1 2
n
n
k
n n n n
u
n k n n n n
 
Como 
2
n
n n
 é a menor das n parcelas da soma e 
2 1
n
n
 é a maior, temos: 

          
    
ℕ ℕ
2 2
2 2 2 2 2
1
, ,
1 1
n
n
k
n n n n n
n n n n u
n n n k n n n n
 
Por outro lado, como  

2 2
2 2
lim lim 1
n n
n n n
 e  

2 2
2 2
lim lim 1
1
n n
n n
, podemos concluir, pelo teorema 
das sucessões enquadradas, que lim 1
n
u . 
 
b) 
     
                
8 1 6 1 2
3 6 3 3 6 3 2
n n n
n
n
v
n n n
 

2
2n
 define uma sucessão decrescente de termos positivos. 
Logo, para   ℕ 1n n : 
1
3
8 3 6
2
6
n n
n
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
33 
     
                            
2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 5 1 1 2 5
0
2 2 2 3 3 2 3 4 3 3 2 6 3 3 2 6
n n n
n n n n
 
 
Portanto,            
   
ℕ
1 5
\ 1 ,
3 6
n n
n
n v 
Atendendo a que 
   
    
   
1 5
lim lim 0
3 6
n n
, podemos concluir, pelo teorema das sucessões 
enquadradas, que lim 0
n
v . 
 
8.2. 
 
   
2 9
4
n
n
n
u
n
 
a) 
   
         
2 9 1
2
4 4
n n
n
n
u
n n
 
Para todo ℕn : 
 
          
1 1 1
0 2 2 2 2
4 4 4
n
n
n n n
 
Portanto,   ℕ, 2n
n
n u . 
 
b) Se   ℕ, 2n
n
n u e  2n , então  lim
n
u . 
9. Como , 1
n n
un v   ℕ e dado que , 0
n
un  ℕ , podemos concluir que ,
1
n
n
u
n v  ℕ . 
Por outro lado, se lim
n
u   , então: 
1
lim 0
n
u
 
Assim: , 0
1
n
n
u
n v  ℕ e 
1
lim0 lim 0
n
u
  
Portanto, pelo teorema das sucessões enquadradas, temos que lim 0
n
v  . 
 
Pág. 131 
10.1.      
 
      
55 4 5lim 4 1 lim 4
x x
x x x 
 
10.2.         
5 5lim lim
x x
x x x 
 
10.3.    
 
      4 4lim 3 2 1 lim 3
x x
x x x 
 
10.4.    
 
     5 5lim 1 3 2 lim 2
x x
x x x 
 
2 9 4
2 8 2
1
n n
n
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
34 
11.1. 


 
    
 
1
lim 2 2 
2x
x x

   
         
   
 
1 1
2 2 2 2
2 2
lim
1
2 2
2
x
x x x x
x x
1 1
2 2
2 2lim 0
1
2 2
2
x
x x
x x

 
  

 
 
 
11.2.  
     
 
   
  
 
2 2
2
2
2 4 1 2 2 1
lim 2 4 1 lim 
2 2 1x x
x x x x
x x
x x
 
   2 2
2
2 4 1
lim
2 2 1x
x x
x x
 
 
 
2 2
2
4 4 1 1
lim 0
2 2 1x
x x
x x
  
 
 
 
 
 
 
Pág. 132 
12.1. 


  
 
   

4 2 4
35 1 5 5lim lim lim
2 3 2 2x x x
x x x
x
x x 
 
 
12.2. 
 2 2
5 5 3
2 1 2 2 2
lim lim lim 0
x x x
x x
x x x x


  

   
  
 
 
 
12.3. 
 3 3
3 3
4 1 4 4
lim lim
33 3x x
x x
x x x


 

 

 
 
 
12.4. 
 
 
 

2 2
2 2
2 1 2 2
lim lim
33 2 3x x
x x x
x x
 
 
 
12.5. 
  
 
   

6 2 6 3
3 3
3 3 2 3 3
lim lim lim
22 2x x x
x x x x
x x x
 
 
 
12.6. 
  
 
  
 
2 2
3 3
2 3 2 1
lim lim lim 0
2 2x x x
x x x
xx x x
 
 
 
13.1. 
2
2 2
2
1 2 1 2
2 2 2 1 2
lim lim lim 0 lim lim 0
x x x x x
x x
x xx x x
x x x x x x
 
  
    
               
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
35 
13.2. 
 
  
   
               
         
   
2
2 2
22 2
1 1
1 1
4 4
lim lim lim lim
44 44
11 1
x x x x
x x
x x x x
x
xx x
xx x
 
 
         
 
   
2 2
1 11 1
1 0
lim lim 1
4 4 1 0
1 1
x x
x
x x
x
x x
 
 
13.3. 
 
  
  
          
  
2
22 2
1 11 1
1
lim lim lim
2 2 2x x x
x x x x
xx x x
x x x
 
 
 
           
   
 
2
2
11 1 11
1 1 0
lim lim 0
12 1 0
1
x x
xx x xx
x
x
x
 
13.4. 
 
  
 
               
 
3 2
3
3 23 3
1 1 1
2
2 1
lim lim
1 1x x
x x
xx xx x x
x x
 
 
     
  
 
3 3
3 2 3 2
1 1 1 1 1 1
2 2
lim lim
1 1x x
x x x x
x xx x x x
x x
 
 
 
              
   
 
3
33 2 33 2
3
1 1 1 1 1 12 2
2 0 0 0
lim lim 2
11 1 0
11
x x
x
xx x xx x
x
xx
 
 
13.5.  
     
 
     
    
  
4 1 2 4 1 2
lim 4 1 2 lim
4 1 2x x
x x x x
x x
x x
 
       
 
     
  
           
   
2 2
2 2
2 2
4 1 2 4 1 2
lim lim
4 1 2 4 1 1 2x x
x x x x
x x
x x
x xx x
 
 
      
 
       
 
2 2 2 2
1
3
3 1
lim lim
4 1 1 2 4 1 1 2x x
x
x x
x x x
x xx x x xx x
 


   
  
2 2
1
3
3
lim
04 1 1 2x
x
x xx x
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
36 
13.6.  
        
  
        
     
     
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 1 3 1 3 1
lim 3 1 lim lim
3 1 3 1x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x
 
2 2
22
1
3
3 1
lim lim
3 13 1
1 11 1
x x
x
x x
x xx x
x xx x
 
      
           
   
 
2 2
1 1
3 3
lim lim
3 1 3 1
1 1 1 1
x x
x x
x x
x x x
x x x x
 
      
     
 
         
 
 
2
1
3
3 0 3
lim
23 1 1 0 1 0
1 1
x
x
x x

 
   
   
   
 
 
Pág. 133 
14.1. 
 
 
  
  
 
   
  
22 2
2 2 2
22 2
lim lim lim 2
x x x
x xx x x
x x x x x
 
 
14.2. 
 
 
  
  
 
   
  
22 2
2 2 2
22 2
lim lim lim 2
x x x
x xx x x
x x x x x
 
 
14.3. 
 
  
  
   
  
 
3 2 3 2 3
3 3 3
3 1 3 1 3 3
lim lim lim
22 1 2 1 2x x x
x x x x x
x x x
 
 
14.4. 
 
 
  
  
    
   
 
3 23 2 3
3 3 3
3 13 1 3 3
lim lim lim
22 1 2 1 2x x x
x xx x x
x x x
 
 
14.5. 

 


3 1
lim
x
x x
x x
 
 
   
      
     
 
3 1 4 1 4 4
lim lim lim 2
2 2 2x x x
x x x x
x x x x
 
 
Pág. 134 
15.1. 
    
  
23
23 3
3 3 927
lim lim
3 39x x
x x xx
x xx


 
  
 
 
 
2
3
3 9 9 9 9 27 9
lim
3 3 3 6 2x
x x
x
   
     
  
 
 
 
     
 Quando :
3 1 3 1 e 
x
x x x x
   
 
    2 2lim 2 lim 2
x x
x x x
   
 
    3 2 3lim 3 1 lim 3
x x
x x x
   
 
    3 2 3lim 3 1 lim 3
x x
x x x
1 0 0 27
3 3 9 27
1 3 9 0
  

   
 
    2 2lim 2 lim 2
x x
x x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
37 
15.2. 

2
0
5 3
lim
x
x x
x
 
 

0
0 
   
 

  
0 0
5 3
lim lim 5 3 3
x x
x x
x
x
 
 
15.3. 

 

3 2
31
2
lim
1x
x x
x
 
 

0
0 
   
   
  
 
  
2
21
1 2 2
lim
1 1x
x x x
x x x
 

   
  
  
2
21
2 2 1 2 2 5
lim
1 1 1 31x
x x
x x
 
 
15.4. 
 
  
 
 
 
 
  
 
    
0
22 3 0
3 22 2
22
lim lim
5 2 2 2 1x x
x xx x
x x x x x
 

 
   
  
2
22
4 4
lim
4 4 1 72 1x
x
x x
 
 
15.5. 
  
   
 
 
 
 
  
 
    
0
2 0
3 2 23 3
3 39
lim lim
2 9 27 3 2 3 9x x
x xx
x x x x x
 
 

  
 
 23
3 6
lim
02 3 9x
x
x x
 
 
2
3
3 6
lim
2 3 9 0x
x
x x 
  
  
 
 
 
 
  
  
 23
3 6
lim
2 3 9 0x
x
x x
 
Não existe 


 
2
3 23
9
lim
2 9 27x
x
x x
. 
 
16.1. 

 
22
2 2
lim
4x
x
x
 
 

0
0 
   
   
   

  22
2 2 2 2
lim
4 2 2x
x x
x x
 
 
   
2
2
22
2 2
lim
4 2 2x
x
x x
 
 
  
 
   22
2 4
lim
4 2 2x
x
x x
 
 
  
 
 
     
 
 
   2
2
lim
2 2 2 2x
x
x x x
 
  2
1
lim
2 2 2x x x

 
     


   
1 1
162 2 2 2 2
 
 
1 1 0 2
1 1 2 2
1 2 2 0

1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 0

1 0 5 2
2 2 4 2
1 2 1 0
 
 
 
2 9 0 27
3 6 9 27
2 3 9 0

 
 
2 3 9
3 6 9
2 3 0
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
38 
16.2. 
 
 
 

 

  
0
2 0
1
2
lim
3 1 1x
x x
x x
 
  
  
    
 
     
2
1
2 3 1 1
lim
3 1 1 3 1 1x
x x x x
x x x x
 
   
   
   
  
         
  
   1 1
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
lim lim
3 1 1 2 1x x
x x x x x x x x
x x x
 
  

    
  
1
2 3 1 1 3 2 2
lim 3 2
2 2x
x x x
 
 
16.3. 

 
1
8 3
lim
1x
x
x
 
 

0
0 
     
     
    

   1
8 3 8 3 1
lim
1 8 3 1x
x x x
x x x
 
    
   
   
    
    
  
     1 1
8 9 1 1 1
lim lim
1 8 3 1 8 3x x
x x x x
x x x x
 

 
   
   1
1 1 1 2 1
lim
6 38 3 1 8 3x
x
x 
 
 
Pág. 135 
17.  

 
 
  
 
2 3
2
 se 0
1 se 0
 se 0
x
x
x x
f x x
x x
x
x x
 
17.1.  
 
  
 
   
 
 
 
   
 
  
  
0
0
2
0 0 0 0
lim lim lim lim
x x x x
x x x x x xx
f x
x xx x x x x x
 
   
 
  
 0 0
lim lim 0
1 1x x
x x x x x
x x x
 
 
 
    
 
 
 
   
 
   
 
0
22 3 20
2
0 0 0 0
lim lim lim lim 0
1 1x x x x
x x xx x x x
f x
x x xx x
 
 
17.2.   0 1f 
Os limites laterais de f no 0 são iguais mas diferentes de  0f . Logo, não existe  
0
lim
x
f x . 
 
 
Pág. 136 
18.1.    
  
 
 
 
   

   
  
0
2 0
21 1 1 1
1 1
lim lim lim lim
1 1 1 21x x x x
x xx x x
f x
x x xx
 
 
1 1 2
1 1 2
1 2 0

Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
39 
18.2.    
 
 
 
 
  

   

0
2 0
21 11 1
1
lim lim lim lim
1 21x xx x
x x x
f x f x
xx
 
  1 2f 
Como 1
f
D e os limites laterais de f no ponto 1 são diferentes de  1f , não existe  
1
lim
x
f x 
 
18.3. 


 22
1
lim
4x
x
x
 
 
 
  
 22
1 1
lim
4 0x
x
x
 
 
 
  
 22
1 1
lim
4 0x
x
x
 
Não existe 


 22
1
lim
4x
x
x
. 
 
18.4. 
 



 


2
32
5 6
lim 
2x
x x
x
   
 32
2 3
lim
2x
x x
x
 


 
 
  
 
   

2 2
3 1
lim
02x
x
x
 
18.5. 
 


4
23
81
lim 
3x
x
x
 
 

0
0 
 
 
  
 
     
   
  
    
       
  
   
2
2 2 2 2 2 2
2 23 3 3 3
9 9 9 3 3 9 3 9
lim lim lim lim
3 3 33 3x x x x
x x x x x x x x
x x xx x
 
   
  
 
  

2
3
3 9 24
lim
3 0x
x x
x
 
   
  
 
  

2
3
3 9 24
lim
3 0x
x x
x
 
Logo, não existe 
 


4
23
81
lim
3x
x
x
. 
 
18.6. 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
0
2 0
3 2 20 0 0
3 2 3 23 6
lim lim lim
33 3x x x
x x xx x
x xx x x x
 
 
  

  
0
3 2 6
lim
3 0x
x
x x
 
 
  

  
0
3 2 6
lim
3 0x
x
x x
 
Não existe 



2
3 20
3 6
lim
3x
x x
x x
. 
18.7. 
 
      
 
    
    
2
3 2 222 2 2
1 1 3
lim lim lim
4 4 04 4 2x x x
x xx x x
x x x x x x x
 
 
1 5 6
2 2 6
1 3 0



Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
40 
19.1. 
  
   
0
0
2
1 1 1
11
lim lim lim
x x x
x x xx x x x x x
x xx x x x x x
  
 
 
 
  
    
  
  
 
 
 21 1 1
1
lim lim lim 1
1x x x
x xx x x x
x x xx x    

   

 
 
19.2. Já sabemos que    
1
lim 1 1
x
f x f

  . 
Falta verificar se  
1
lim 1
x
f x

 . 
 
0
3 0
1 1
1
lim lim
1x x
x
f x
x 
 
 
 
 

 

 
 
1
1
lim
x
x



 
 
2 1
1
x x
x
 

3 
Como    
1 1
lim lim
x x
f x f x
  
 , não existe  
1
lim
x
f x

. 
 
20.1. 
 
 
    
 

   
    
      
   
0
02 20
2 21 1 1 1
1 11 1 1 1 2
lim lim lim lim 1
2 2 1 2 2 12x x x x
x xx x x
x x xx x x x
 
 
20.2. 

  
 0
2
lim
x
x
x
 

0
0
lim
x

2 x x
x x
0
lim
x

2x
x x


0
2
lim
x x
  
2
0
 
 
20.3. 

    
32
1 2 8
lim
2 8x
x
x x
 
 
 
  
   2
22
2 4 1 
1 2 8
lim
2 2 2 4x
x x
x
x x x x
 
    
     
 
 
  
2
22
2 4 2 8
lim
2 2 4x
x x x
x x x
   
 
     


  
2
22
4
lim
2 2 4x
x
x x x
 
  
  22
2 2
lim
2 2 4x
x x
x x x
 
 
   
 
  
  22
2 2 2 4 1
lim
4 4 4 12 32 4x
x
x x
 
Pág. 137 
21.1. 
    
 
 
 
  
  
    
    
0
0
2 21 1 1
1 1 1 1 1
lim lim lim
1 01 1 1 1x x x
x x x
x x x x x
 
 
21.2. 
 
     


   
     
   20 0 0 0
1 1
lim lim lim lim
01 1 1x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
 
 
1 0 0 8
2 2 4 8
1 2 4 0

Cálculo auxiliar 
 1 0 0 1 
1 1 1 1 
 1 1 1 0 
 
Exame Final Nacional – MatemáticaA 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
41 
21.3. 



2
1
1
lim
1x
x
x
 
 
 
   

 
1
1 1
lim
1x
x x
x
 
 
 
  
  
1 se 1
1
1 se 1
x x
x
x x
 
      
 
 
    
   
     
  1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x x x x
x
x x
 
     
 
 
    
   
   
 1 1 1
1 1 1 1
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x x x x
x
x x
 
Não existe 



2
1
1
lim
1x
x
x
. 
 
21.4. 
       
0
02
1 1 1
1 11
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x xx
x
x x  
 
   
 
 
 
21.5. 


0
1
lim
x
x x
x
 
 

0
0 
  
 
 
0 0
1 1
lim lim
x x
x x x x x x
xx x
   0lim 1 0x x x 
 
21.6. 

3 2
0
lim
x
x
x
 
 

0
0 
  
 
3 2 2
3 3
30 0 03 3
1
lim lim lim
x x x
x x
x xx
 
 
    33 3
0
1 1
lim
0x x
 
33 3
0
1 1
lim
0x x 
     
Logo, não existe 

3 2
0
lim
x
x
x
. 
 
Pág. 138 
22.1.  

 
  

   
2
 se 0
 
1 se 0
1 se 0
x
x
x x
f x
x
x x x
no ponto  0x 
 
    
 
 
 
   
   
 
0
0
2
0 0 0 0
1
lim lim lim lim 1
1 1x x x x
x x
f x
x x xx x
 
           0 0lim lim 1 1 0 0 1x xf x x x 
  0 1f 
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x 
 
 Quando x 1, 0
Logo, 
x
x x
 

Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
42 
22.2.  


 
 
2
 se 2
 2
2 se 2
x
x
f x x
x
no ponto  2x 
 
  
  
0
0
2 2 2
2 22
lim lim lim
2 2 2x x x
x xx
f x
x x x
  
 
 
 
  
 
  
  
 
    
2 2
2 2
lim lim 2 2 2
2x x
x x
x
x  
 
   

 
 


.2
lim 2
x
f x 
Como    
  

2 2
lim lim
x x
f x f x , não existe  
2
lim
x
f x pelo que f não é contínua no ponto  2x . 
 
22.3.  
  

 
   
1 1
 se 0
 
1 2 4 se 0
x
x
f x x
x x
 no ponto  0x 
   
   
 
 
 
   
     
    
0
0
0 0 0 0
1 1 1 1
lim lim lim lim 1
x x x x
x x x
f x
x x x
 
            0 0lim lim 1 2 4 1 0 4 1x xf x x 
 0 1 0 4 1 2 1f        
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x 
 
23.1.    
 
   

   
29
 se 3
3 
6 3 se 3
x
x
k xf x
k x x
no ponto  3x 
 
 
  
0
2 0
3 3 3
3 39 1
lim lim lim
3 3x x x
x xx
f x
k x k x  
 
 
 
  
 
   
 
 
   
3
1 1 6
lim 3 6
x
x
k k k
        
                3 3lim lim 6 3 6 3 3 6 3x xf x k x k k f 
       2
6
6 1 1 1k k k k
k
 
f é contínua no ponto  3x se e só se    1 1k k . 
 
23.2.  
 

  
  
2
 se 0
 
2 se 0
x x
x
f x x x
kx k x
no ponto  0x 
 
  
  
0
0
0 0 0
22
lim lim lim
x x x
x x x xx x
f x
x x x x x x
  
 
 
 
  
 
  
  
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
43 
 
     
      
    
  
2
2
0 0 0
2 12 2 2 1 1
lim lim lim 1
1 1 1x x x
x x xx x x x x x x x
x x xx x
 
 

  
0
lim 2
x
kx k k 
f é contínua no ponto  0x se e só se     1 1k k . 
 
Pág. 139 
24.1. Dado que: 
 toda a função polinomial é continua em ℝ ; 
 a soma, a diferença e o quociente de funções contínuas são funções contínuas; 
 uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua; 
a função f é contínua em   , 0 e em   0 , . 
No ponto  0x : 
 
    
   
0
0
0 0 0 0
2 2 2 22 2 2 2
lim lim lim lim
2 2 2 2x x x x
x xx x
f x
x x x x x
      
      
   
   
 
   
     
   0 0
1 1 1 2 2
lim lim
42 2 2 2 2 2 2 2 22 2x x
x
xx x
 
   
  
 
   
 0 0
2 2 0 2
lim lim 0
4 4 0 4x x
x
f x f
x
 
     
  
 
0 0
lim lim 0
x x
f x f x f . Logo, existe  
0
lim
x
f x pelo que f é contínua no ponto  0x . 
Portanto, f é contínua em ℝ . 
 
24.2.  
 

  
  
  
2
6
 se 3
 se 3 
3
 se 3
1 4
x
x
k k xf x
x
x
x
 
 
a) Dado que: 
 toda a função polinomial é continua em ℝ ; 
 a soma, a diferença e o quociente de funções contínuas são funções contínuas; 
 uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua, 
a função f é contínua em   , 3 e em   3 , , qualquer que seja o valor de k . 
 
b) No ponto  3x : 
 
  
  
3 3
6 6
lim lim 2
3x x
f x
x
 
 
  
  
  
    
 
 
 
   
     
   
      
0
0
3 3 3 3
3 1 4 3 1 43
lim lim lim lim
1 41 4 1 4 1 4x x x x
x x x xx
f x
xx x x
 
      
  
       
3 3
3 1 4
lim lim 1 4 1 4 3 2
3x x
x x
x
x
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
44 
   23f k k 
Se f é contínua no ponto  3x então existe  
3
lim
x
f x , ou seja: 
 
            2 2
1 1 8
2 2 0 1 2
2
k k k k k k k 
 
Pág. 140 
25.1.  
    
  
2 1 1
 se 
22 6 4
 
1
2 2 se 
2
x
x
x
f x
x x x
 
a)          2910 29 2,9
10
f x f x f x 
Dado que toda a função polinomial é continua em ℝ ,a diferença e o quociente de funções 
contínuas são funções contínuas e uma potência de expoente racional de uma função contínua é 
uma função contínua, a função f é contínua em 
 
  
1
,
2
 e também é contínua em 
 
   
5 3
,
2 2
. 
                        
 
5
2 1
5 5 1 62
3
2 2 42 6 105
2 6 4
2
f 
               
         
 
3
2 1
3 3 1 42
2 2 6 6 2 2 33
2 6 4
2
f 
 
  
      
    
 
4 2 2 3 4 2 2 3
3 1 2,73
4 122 2 3 2 2 3
 
   
          
   
3 5
3 1 2,9 3 2,9
2 2
f f 
ou 
Dado que: 
 f é contínua em 
 
   
5 3
,
2 2
 
 
 
   
      
   
3 5
2,9
2 2
f f 
 
podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, que         
5 5
, : 2,9
2 2
x f x , ou seja, a 
equação   10 29f x tem pelo penos uma solução no intervalo     
5 3
,
2 2
. 
 
 
 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
45 
b) Já vimos que a função f é contínua em 
 
  
1
,
2
. 
Dado que toda a função polinomial é contínua em ℝ , a soma de funções contínuas é uma função 
contínua e uma potência de expoente racional de uma função contínua é uma função contínua, a 
função f também é contínua em 
1
,
2
 
   
. 
No ponto 
1
2
x  : 
 
  
   
0
0
1 1 1
2 2 2
2 1 2 6 42 1
lim lim lim
2 6 4 2 6 4 2 6 4x x x
x xx
f x
x x x
  
 
 
 
  
  
  
     
 
  
 
   
 
 
     
  
  1 1
2 2
2 1 2 6 4 2 1 2 6 4
lim lim
4 6 4 4 2x x
x x x x
x x
 
  
   
      
   
1 1
2 2
2 1 2 6 4 2 6 4 2 6 2
lim lim 2
2 2 1 2 2x x
x x x
x
 
   
1 1
2 2
1 1 1
lim lim 2 2 2 2 2
2 2 2x x
f x x x f
 
 
 
         
 
 
Logo, existe  
1
2
lim
x
f x

 pelo que f é contínua no ponto 
1
2
x  . 
Portanto, f é contínua em ℝ . 
Para provar que o gráfico da função f interseta o gráfico da função g ,definida por    21g x x  , 
em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence ao intervalo  0 ,1 , vamos considerar a função h 
definida por      h x f x g x  , ou seja,      21h x f x x   . 
h é contínua em ℝ por ser a diferença de funções contínuas em ℝ (função f e uma função 
polinomial). Logo, h é contínua em  0,1 . 
     2 6 2 60 0 0 1 1 0
2 2
h f

       
 1 2 2 4 2 2 0h       
Dado que h é contínua em  0 ,1 e    0 1 0h h  podemos concluir, pelo corolário do Teorema de 
Bolzano-Cauchy, que    0 ,1 : 0x h x   , ou seja, a equação    f x g x tem pelo penos uma 
solução no intervalo  0 ,1 . 
 
 
25.2.  
    

  


4 2 se 1
 3
 se 1
3
x x x
g x x
x
x
 
a)  0 4 0 0 2 4 2 0g        ;   1 3 21 0
3 3
g

    
 
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Propostas de Resolução 
 
46 
b)                           
  
3
0 0 , 2 4 2 0 1 1 0 , 2
3
x
g x x x x x x x
x
 
   3 0 , 2x x x x       
Portanto,      0 , 2 , 0x g x 
Cálculos auxiliares: 
 4 2 0 1 2 4 1x x x x x x             
2 22 16 8 1 9 14 0 1x x x x x x x              
 9 81 56 1 7 2 1
2
x x x x x x
 
            
 
3
0 1 3 0 3 0 1 3
3
x
x x x x x
x

            
 
c) Não, porque a função g não é contínua em  0, 2 . 
   
1 1
lim lim 4 2 4 1 1 2 3 3
x x
g x x x
  
          
 
1 1
3 1 3
lim lim 2
2 2x x
x
g x
x  
 
    
Como    
1 1
lim lim
x x
g x g x
  
 , f é descontínua no ponto 1x  . 
 
26.   3f x k x  
Qualquer que seja o valor de k , a função f é contínua em ℝ por ser uma função polinomial. Logo, f é 
contínua em qualquer intervalo do tipo  0 , k . 
O Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de um zero de f no intervalo  0 , k para 
os valores de k tais que    0 0f f k  . 
  30 0f k k   e   3f k k k  
     30 0 0 0f f k k k k k        
 2 21 0 0k k k      
21 0 0k k      
 1 1 0k k k        
 1,k   
O Teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência de um zero de f no intervalo  0 , k para 
 1,k    . 
 
 
Pág. 141 
27.1.   2 1
2
x
f x
x



;  \ 2fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
2
2
0 ,
Cálculo auxiliar
1 0 1 1
k k
k k k
  
      
ℝ
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Propostas de Resolução 
 
47 
 
2 2
2 1 5
lim lim
2 0x x
x
f x
x   
 
   

 
 
2 2
2 1 5
lim lim
2 0x x
x
f x
x   
 
   

 
A reta de equação 2x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.2.  
24
x
f x
x


;  \ 2 , 2fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   

   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   

   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   
   

 
 
2
2 2
2
lim lim
4 0x x
x
f x
x   
   

 
As retas de equações 2x   e 2x  são assíntotas ao gráfico de f . 
 
27.3.  
2
1
2
x
f x
x x


 
 
 2: 0 2 0fD x x x x       ℝ 
 : 0 2 1x x x x        ℝ 
   0 , 2 2 ,    
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
2
2 2
1 2 1
lim lim
2 0x x
x
f x
x x   
 
   
 
 
 
2
2 2
1 2 1
lim lim
2 0x x
x
f x
x x   
 
   
 
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.4.  
2
2
2 3
5 6
x x
f x
x x
 

 
 
   2: 5 6 0 \ 2 , 3fD x x x      ℝ ℝ 
 
2
2
2 2
2 3 3
lim lim
5 6 0x x
x x
f x
x x   
  
   
 
 
 
2
2
2 2
2 3 3
lim lim
5 6 0x x
x x
f x
x x   
  
   
 
 
   
 
  
    
2 2 0
1 1 8
2
1 2
x x
x
x x
    
  
  

   
2 5 6 0
5 25 24
2
2 3
x x
x
x x
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Propostas de Resolução 
 
48 
    
  
0
2 0
23 3 2
3 12 3
lim lim lim
2 35 6x x x
x xx x
f x
x xx x 
 
 
 
  
  
  
   
 
 3
1 4
lim 4
2 1x
x
x

   
  
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
27.5.  
1
x
f x
x


 
Como 
f
D  ℝ e f é contínua, o seu gráfico não tem assíntotas verticais. 
 
27.6.   2
1
x
f x
x



 
   : 1 0 \ 1, 1fD x x     ℝ ℝ 
 
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
As retas de equações 1x   e 1x  são assíntotas ao gráfico de f . 
 
27.7.  
1 1
x
f x
x

 
 
 : 1 0 1 1 0fD x x x       ℝ 
   1, 2 2 ,    
f é contínua 
 
2 2
2
lim lim
01 1x x
x
f x
x
   
   
 
 
 
2 2
2
lim lim
01 1x x
x
f x
x
   
   
 
 
A reta de equação 2x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
 
 
Pág. 142 
28.1.  
2
1
x
f x
x


 
 \ 1fD  ℝ 
1 5 6
3 3 6
1 2 0
 


   
   
   
    
 
1 0 1
1 1 0
1 1
1 1 2
Verificação: 2 1 1 (V)
x x
x
x
x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
49 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
2
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
   

 
 
2
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
2 2
2
lim lim lim 1
1x x x
f x x x
m
x x x x  
   

 
 
2
lim lim
1x x
x
b f x mx x
x 
 
         
 
2 2
lim lim 1
1x x
x x x x
x x 
  
   

 
De igual modo, em  : 
 
 
2 2
2
lim lim lim 1
1x x x
f x x x
m
x x x x  
   

 
 
   
    
             
2 2 2
lim lim lim lim 1
1 1x x x x
x x x x x
b f x mx x
x x x
 
A reta de equação 1y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.2.  
3
1
x
f x
x


 
 \ 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
3
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
 
3
1 1
1
lim lim
1 0x x
x
f x
x   

   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
3 3
2
lim lim lim lim
1x x x x
f x x x
m x
x x x x   
     

 
 
De igual modo, em  : 
 
 
3 3
2
lim lim lim lim
1x x x x
f x x x
m x
x x x x   
     

 
Não existem assíntotas não verticais ao gráfico de f . 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
50 
28.3.  
3 2
2
2
1
x x
f x
x



 
 \ 1, 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
3 2
2
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   
 
   

 
 
3 2
2
1 1
2 3
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   
 
   

 
 
3 2
2
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
 
3 2
2
1 1
2 1
lim lim
1 0x x
x x
f x
x   

   

 
As retas de equações 1x   e 1x  são assíntotas ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
Em  : 
 
 
3 2 3
32
2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x x
m
x xx x  

   

 
 
3 2
2
2
lim lim 2
1x x
x x
b f x mx x
x 
 
         
 
3 2 3 2
2 2
2 2 2
lim lim 1
1x x
x x x x x
x x 
   
   

 
De igual modo, em  : 
  3
3
2
lim lim 2
x x
f x x
m
x x 
   
 
3 2 2
2 2
2
lim lim 2 lim 1
1x x x
x x x
b f x mx x
x x  
  
           
 
A reta de equação 2 1y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
 
28.4.   2 1
1
x
f x
x



 
 \ 1fD  ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
1 1
2 1 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x   
 
   

 
 
1 1
2 1 3
lim lim
1 0x x
x
f x
x    
   

 
A reta de equação 1x   é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
51 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
  2 1 2lim lim lim 2
1x x x
x x
f x
x x  

  

 
A reta de equação 2y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.5.  
4
3 2
1 2
1
x
f x
x x x


  
 
         ℝ ℝ3 2: 1 0 \ 1fD x x x x 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
  
4 4
3 2 21 1 1
1 2 1 2 1
lim lim lim
1 01 1x x x
x x
f x
x x x x x
     
  
    
    
 
 
   
4 4
3 2 21 1 1
1 2 1 2 1
lim lim lim
1 01 1x x x
x x
f x
x x x x x
     
  
    
    
 
A reta de equação 1x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
Em  : 
 
 
4 4
43 2
1 2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x
m
x xx x x x  
 
    
  
 
 
4
3 2
1 2
lim lim 2
1x x
x
b f x mx x
x x x 
 
           
 
4 4 3 2 3
3 2 3
1 2 2 2 2 2 2
lim lim 2
1x x
x x x x x x
x x x x 
     
   
  
 
De igual modo, em  : 
 
 
4 4
43 2
1 2 2
lim lim lim 2
1x x x
f x x x
m
x xx x x x  
 
    
  
 
 
4 3
3 2 3
1 2 2
lim lim 2 lim 2
1x x x
x x
b f x mx x
x x x x  
  
             
 
A reta de equação 2 2y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  e em  ). 
 
28.6.   2f x x x   
 2 ,fD     
Assíntotas verticais: 
f é contínua e todos os pontos aderentes a 
f
D pertencem a 
f
D . Logo, o gráfico de f não tem assíntotas 
verticais. 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
 
 
   
3 2
2
 Cálculos auxiliares
 Divisores de 1:1 e 1
1 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1
1 1
x x x
x x
 
 
   
  
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Propostas de Resolução 
 
52 
Em  : 
 
2
2
2 1
2
lim lim lim
x x x
x x
f x xxx x
m
x x x
 
  
  
          
 
 
     
   
2
2
2 12 1 1
lim lim
x x
xx x xxxx
x x
 
2
2 1
lim 1 0 0 1 1
x xx
 
        
 
 
   lim lim 2 lim 2
x x x
b f x mx x x x x
  
            
Logo, o gráfico de f não tem assíntotas não verticais. 
 
28.7.  
4x x
f x
x

 
       ℝ 4: 0 0fD x x x x 
   , 1 0 ,     
Assíntotas verticais: 
f é contínua 
 
0
4 0
0 0
lim lim
x x
x x
f x
x
 
 
 
 

  
4 4
220 0
lim lim
x x
x x x x
xx
  
 
   
3
0
1 1
lim
0x
x
x 

    + 
A reta de equação 0x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
4 2
34 3
2 2 2 3
1 11 1
1
lim lim lim lim lim 1 0 1 1
x x x x x
x x
f x xx x xm
x x x x x
 
  
    
              
 
4 4 2
lim lim lim
x x x
x x x x x
b f x mx x
x x  
   
           
 
 
  
   
4 2 4 2
4 4
4 2 4 2
lim lim
x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
 
     
  
   
 
4 2
1 1
lim 0
x x x x
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
x  1 0 
31 x  0 + + + 
x    0 + 
fD + 0  0 + 
 4 3
Cálculos auxiliares
0 1 0
0 1
x x x x
x x
    
    
2Se 0 ,x x x 
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
53 
De igual modo, em  : 
  4
2 3
1
lim lim lim 1 0 1 1
x x x
f x x x
m
x x x
 
  
  

       
 
4 4 2
lim lim lim
x x x
x x x x x
b f x mx x
x x  
   
           
 
 
4 2
1 1
lim 0
x x x x
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
29. Se a reta de equação
1
2
3
y x  é assíntota ao gráfico de f em  então 
  1
lim
3x
f x
x
 
 
     
1 1 1
lim lim lim 3
1
lim
3
x x x
x
x
h x
f x f xf x
x x
  

     
Se  lim 3
x
h x

 então a reta de equação 3y  é uma assíntota do gráfico da função h. 
Resposta: (D) 
 
Pág. 143 
30.1.   2 1f x x  
f
D  ℝ 
f é contínua em ℝ . Logo, o seu gráfico não tem assíntotas verticais. 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
 
  
    
             
2
22 2
2
1 11 1
1 1
lim lim lim lim lim 1 1 0 1
x x x x x
x x
f x xx xm
x x x x x
 
   
    2 2
2
2
1 1
lim lim 1 lim
1x x x
x x x x
b f x mx x x
x x

  
   
        
 
 
2 2
2
1 1
lim 0
1x
x x
x x
 
  
 
 
A reta de equação y x é uma assíntota ao gráfico de f em (  ). 
 
De igual modo, em  : 
 
2
22 2
1 11 1
1
lim lim lim lim
x x x x
x x
f x xx x
m
x x x x
 
  
   
          
2
2
1
1
1
lim lim 1 1 0 1
x x
x
x
x x 
 
         
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
54 
   
    
  
   
        
 
2 2
2
2
1 1
lim lim 1 lim
1x x x
x x x x
b f x mx x x
x x
 
2 2
2
1 1
lim 0
1x
x x
x x
 
  
 
 
A reta de equação y x  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
30.2.   1x xf x
x
 
 
     : 1 0 0 1,0 0 ,fD x x x          ℝ 
Assíntotas verticais: 
f é contínua. 
 
0 0
1 1
lim lim
0x x
x x
f x
x   
  
    
 
0 0
1 1
lim lim
0x x
x x
f x
x   
  
    
A reta de equação 0x  é uma assíntota ao gráfico de f . 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
   
2
2
2 2
1 1
1
lim lim lim
x x x
x x
f x x xx x
m
x x x

  
          
2
2
2 2
1 11 1 1
lim lim
x x
xx x x xx x
x x 
 
     
    
2
1 1
1
1 0
lim 0
x
x x
x
 

  

 
 
2
1 1
1
lim lim lim
x x x
x x
x x x x
b f x mx
x x  
 
 
       
2
2
1 1
1
1 1
lim lim 1 1 0 1
x x
x
x x
x x x 
 
              
 
 
A reta de equação 1y  é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
 
30.3.   24f x x x x   
 2: 4 0fD x x x    ℝ  1, 0 ,
4
 
       
 
Assíntotas verticais: 
f é contínua e todos os pontos aderentes a 
f
D pertencem a 
f
D . Logo, o gráfico de f não tem assíntotas 
verticais. 
 
  
   
    
24 0
4 1 0
1
0
4
x x
x x
x x
Exame Final Nacional – Matemática A 12.º ano 
Propostas de Resolução 
 
55 
Assíntotas não verticais  y mx b  : 
Em  : 
 
2
2
1 14 4
4
lim lim lim 1 lim
x x x x
x x
f x xx x x x xm
x x x x x   
                
 
 
1
1 lim 4 1 4 1
x x
       
     2 2lim lim 4 lim 2 4
x x x
b f x mx x x x x x x x
  
            
     2 2 2 2
2
2 4 2 4 4 4
lim lim
11
2 42 4
x x
x x x x x x x x x
x xx x
xx
 
     
  
     
 
 
1 1 1
lim lim
41 2 4 01
2 42 4
x x
x
x
xx
 
  
   
   
    
 
 
A reta de equação 
1
4
y x   é uma assíntota ao gráfico de f (em  ). 
Em  : 
 
2
2
1 14 4
4
lim lim lim 1 lim
x x x x
x x
f x xx x x x xm
x x x x x   
                
 
 
1
4
1
1 lim 1 lim 4 1 4 3
x x
x
x
x x 
 
        
     
 
2 2lim lim 4 3 lim 2 4
x x x
b f x mx x x x x x x x

  
             
    2 2 2 2
2
2 4 2 4 4 4
lim lim
11
2 42 4
x x
x x x x x x x x x
x xx x
xx
 
     
    
     
 
 
  
  
           
       
 
1 1 1 1
lim lim
2 2 011 2 4 0
2 42