wakls221_u2s1_met_mat

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Nesta webaula, conheceremos três métodos que podemos utilizar quando queremos encontrar, numericamente,
a solução para a equação  , onde   é uma função qualquer.f (x) = 0 f
Método da bisseção
O passo inicial desse método é encontrar dois pontos, x e y, tais que   e  . Se   ou 
, nós paramos o método. Se  , então x é a raiz da equação, e o mesmo vale para y quando 
.
E nos casos fora dessas situações?
Vamos considerar   contínua, tal que  . Seja  o ponto médio de  . Observe
que se  , então, pelo teorema do valor intermediário, temos uma raiz no intervalo  . Por
outro lado, se  , então temos que   =  , pois 
. Assim, segue que   e, portanto, a raiz está localizada no intervalo  . Dessa
forma, chamando   e   e aplicando-se diversas vezes a bissecção, teremos os intervalos   e
pontos médios  .
Logo, segue que:
 
Ou seja, o método da bissecção trabalha com uma sequência convergente com base em intervalos encaixados.
Esse método em particular é extremamente lento, mas a convergência é garantida se f for uma função contínua.
f(x) ≥ 0 f(y) ≤ 0 f (x) = 0
f (y) = 0 f (x) = 0
f (y) = 0
f : [a,  b]   →  R f (a) f (b)   <  0 m [a,  b]
f (a) f (m)   <  0 [a, m]
f (a) f (m)   >  0 f (a) f (m) f (a) f (b) [f (a)]2f (m) f (b)   <  0
[f (a)] ²  > 0 f (m) f (b)   <  0 [m,  b]
[ak,  bk] b0 = b a0 = a
mk
|bk − ak|= bk − ak =
b−a
2k
Método do ponto �xo
Inicialmente, dizemos que C é um ponto �xo para f se  . Agora, seja   tal que escrevemos 
 e seja   aproximação inicial e   para o erro aceitável (ou tolerância para o erro admitindo o
método), seguimos os passos (ANDRADE, 2012):
1. Se   faça   e pare.
2.   .
3.   .
4. Se   ou   faça   e pare.
5.   .
6. e volte ao passo 3.
Matematicamente, tal método irá gerar uma sequência   utilizando a seguinte regra: 
, onde a aproximação inicial   é sempre dada.
f (c)   =  c f (x)   =  0
φ (x)   =  x x0 ε  >  0
|f (x0)|   <  ε c  =  x0
k  =  1
xk = φ (xk−1)
|f (xk)|   <  ε |xk  −  xk−1|   <  ε c  =  xk
xk−1  =  xk
k  =  k  +  1
(xn)
xn+1 = φ (xn) ,  n  ≥  0 x0
Método de Newton-Rhapson
Métodos Matemáticos
Zero de funções
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Esse método é um dos mais comuns e também um dos métodos mais e�cientes quando trabalhamos com a
solução numérica de  .
Para iniciar, vamos supor que   tenha uma raiz simples no intervalo  , tal que   e 
. Pelo teorema de Taylor, temos: 
 
onde   está entre   e  . Assim, se   é a solução, então:
 
Por outro lado, se   está su�cientemente próximo de  , então desprezamos o resto ,
obtendo assim uma aproximação para  , isto é,
 
desde que  . Portanto, obtemos assim o método de Newton-Rhapson, que nos dá   como uma
aproximação para a raiz   por:
 
Mas e na prática, como trabalhamos com esse método?
Dado  , vamos escrever  , tal que   seja uma aproximação inicial e 
 tolerância. Para trabalhar com o método de Newton-Rhapson, seguimos os seguintes passos (ANDRADE, 2012):
1. Se   faça   e pare.
2.   .
3.   .
4. Se   ou   faça   e pare.
5.   .
6. e volte ao passo 3.
f (x)   =  0
f (x) [a,  b] f(x0) ≈ 0
f(x0 + h) = 0
f (x) =  f (xn) + f ′ (xn) (x –  xn) + f ′′ (ξn) (x –  xn)
2,1
2!
ξn x xn α
0  =  f (xn) +  f ′ (xn) (α –  xn)+ f ′′ (ξn) (α –  xn)
2,1
2!
xn α f'' (ξn) (α −  xn) ²12!
α
α  ≈  xn − ,
f(xn)
f ′(xn)
f ′ (xn) ≠  0 xn+1
α
xn+1 = xn − ,  n ≥ 0
f(xn)
f ′(xn)
f (x)   =  0 φ (x) =  x  −
f(x)
f ′(x)
x0 ε  >  0
|f (x0)|   <  ε c  =  x0
k  =  1
xk = φ (xk−1)
|f (xk)|   <  ε |xk  −  xk−1|   <  ε c  =  xk
xk−1  =  xk
k  =  k  +  1
Saiba mais
Para saber mais detalhes sobre o método de Newton-Rhapson, consulte o material a seguir
UFRGS. Método de Newton-Raphson. UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. 2020.
Aprender a utilizar os métodos numéricos faz parte da vida de um pro�ssional da área da Engenharia, por
exemplo. Além disso, o pro�ssional deve estar apto para, também, implementar em programas computacionais
que facilitam nas resoluções de problemas.
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