6. Seja X um conjunto.
a) Suponha que .X; d/ seja um espaço métrico com mais de dois elementos, e ˛; ˇ 2 R. Para que valores de ˛ a função .x; y/ 7...

Question

6. Seja X um conjunto.a) Suponha que .X; d/ seja um espaço métrico com mais de dois elementos, e ˛; ˇ 2 R. Para que valores de ˛ a função .x; y/ 7! ˛d.x; y/ é uma métrica, e para que valores de ˇ a função .x; y/ 7! d.x; y/C ˇ define uma métrica.b) Suponha que .Y; k�k/ seja um espaço normado, sendo Y um espaço vetorial não trivial, e ˛; ˇ 2 R. Para que valores de ˛ a função x 7! ˛ kxk é uma norma, para que valores de ˇ a função x 7! kxk C ˇ define uma norma.

Ed · Answer

Para a alternativa a), a função .x; y/ 7! ˛d(x; y) é uma métrica se e somente se ˛ for maior ou igual a zero. Já para a função .x; y/ 7! d(x; y)/ˇ, ela define uma métrica se e somente se ˇ for maior que zero.

Para a alternativa b), a função x 7! ˛ ||x|| é uma norma se e somente se ˛ for maior ou igual a zero. E a função x 7! ||x|| ≤ ˇ define uma norma se e somente se ˇ for maior que zero.

6. Seja X um conjunto. a) Suponha que .X; d/ seja um espaço métrico com mais de dois elementos, e ˛; ˇ 2 R. Para que valores de ˛ a função .x; y/ 7...

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