UN 4 - CAMINHO DO CONHECIMENTO MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

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VIGAS CURVAS
Gleysson Morais Andrade
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Estudamos apenas flexão em vigas/barras retas. Veremos agora,
casos de flexão em vigas curvas.
Premissas adotadas:
• As vigas possuem secção transversal uniforme, com um plano
de simetria que contém os conjugados aplicados na viga.
• Estudaremos o comportamento elástico das vigas curvas na
flexão. Ou seja, tensões abaixo do limite de proporcionalidade.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Para curvaturas pequenas (Raio de curvatura grande), em relação a
altura da secção transversal, a distribuição de tensões é similar a
viga reta, as equações que utilizamos nas unidade I, para flexão em
vigas retas, são válidas. Caso o raio de curvatura seja da mesma
ordem de grandeza que a atura da secção transversal da viga curva,
então utilizaremos um nova metodologia desenvolvida pelo
engenheiro alemão Winkler.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
• Viga curva
• Secção uniforme
• Secção simétrica em relação ao eixo Y. (Fig b)
Aplica-se dois conjugados M e M’, iguais e de sentidos contrários.
O Arco AB diminui para um novo valor A’B’
O Arco FG aumenta de comprimento para F’G’
Logo, haverá uma superfície interna em que não houve deformação durante a
flexão, logo, pode-se escrever:
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
𝑹𝜽 = 𝑹′𝜽′
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Tomando um arco JK localizado a uma distância y da superfície neutra, temos
os raios antes e depois da flexão (r e r’ respectivamente). O alongamento do
arco JK pode ser escrito da seguinte forma:
𝜹 = 𝒓′𝜽′ − 𝒓𝜽
Pela figura, vemos que:
𝒓 = 𝑹 − 𝒚 e 𝒓′ = 𝑹′ − 𝒚′
Logo,
𝜹 = 𝑹′ − 𝒚′ 𝜽′ − 𝑹 − 𝒚 𝜽
Sendo,
𝜹 = 𝑹′ − 𝒚′ 𝜽′ − 𝑹 − 𝒚 𝜽
Aplicando a distributiva e fazendo,
𝜽′ − 𝜽 = ∆𝜽
E lembrando que
𝑹𝜽 = 𝑹′𝜽′
Então o alongamento será,
𝜹 = −𝒚∆𝜽
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
A deformação específica normal (𝜺𝒙) dos elementos de JK, poderá ser obtida
dividindo-se o alongamento pelo comprimento inicial do arco JK, logo:
𝜺𝒙 =
𝜹
𝒓𝜽
= −
𝒚∆𝜽
𝒓𝜽
Ou podemos escrever:
𝜺𝒙 = −
∆𝜽
𝜽
𝒚
𝒓 − 𝒚
Essa relação mostra que as deformações normais (𝜺𝒙) das fibras da viga não
variam linearmente com a distância y até a superfície neutra.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Pela lei de Hooke, podemos obter a equação para as tensões normais (𝝈𝒙) nos
diversos pontos.
𝝈𝒙 = 𝑬𝜺𝒙 = −
𝑬∆𝜽
𝜽
𝒚
𝒓 − 𝒚
Ou,
𝝈𝒙 = −
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹 − 𝒓
𝒓
Essa relação mostra que as tensões normais (𝝈𝒙) nas fibras da viga também não
variam linearmente com a distância y até a superfície neutra.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
𝝈𝒙 = −
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹 − 𝒓
𝒓
O gráfico 𝝈𝒙 x y apresenta um arco de hipérbole.
σ𝑭𝒙 = 𝟎 𝝈𝒙𝒅𝑨׬ = 𝟎
σ𝑴𝒛 = 𝑴 ׬ −𝒚𝝈𝒙 𝒅𝑨 = 𝑴
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Relembrando da unidade I,
Logo, como 𝝈𝒙𝒅𝑨׬ = 𝟎 então,
−න
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹 − 𝒓
𝒓
𝒅𝑨 = 𝟎
න
𝑹− 𝒓
𝒓
𝒅𝑨 = 𝟎
𝑹න
𝒅𝑨
𝒓
−න𝒅𝑨 = 𝟎
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Segue daí que a distância R do centro de curvatura C até a superfície neutra é
definida pela relação
𝑹 =
𝑨
׬
𝒅𝑨
𝒓
Podemos ver que o valor obtido para R não é igual a distância r, de C até o
centróide da secção, uma vez que r é definida por uma relação diferente que é:
ത𝒓 =
𝟏
𝑨
න𝒓𝒅𝑨
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Podemos concluir que em uma viga curva o eixo neutro da secção transversal não
passa pelo centróide da secção.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Algumas expressões para R da superfície neutra são indicadas a seguir:
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Substituímos agora o valor de 𝝈𝒙, têm-se:
න
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹 − 𝒓
𝒓
𝒚𝒅𝑨 = 𝑴
Podemos escrever também, com 𝒚 = 𝑹 − 𝒓
න
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹 − 𝒓 𝟐
𝒓
𝒅𝑨 = 𝑴
Elevando ao quadrado e integrando e reduzindo os termos, vamos obter:
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹𝟐න
𝒅𝑨
𝒓
− 𝟐𝑹𝑨 +න𝒓𝒅𝑨 = 𝑴
Lembrando que 𝑹 =
𝑨
׬
𝒅𝑨
𝒓
𝐞 ത𝒓 =
𝟏
𝑨
׬ 𝒓𝒅𝑨 , o primeiro termo entre colchetes é RA,
enquanto o último termo é igual ത𝒓𝑨, logo,
𝑬∆𝜽
𝜽
𝑹𝑨 − 𝟐𝑹𝑨 + ത𝒓𝑨 = 𝑴
Logo, determinando o valor de Τ𝑬∆𝜽 𝜽
𝑬∆𝜽
𝜽
=
𝑴
𝑨 ത𝒓 − 𝑹
Vemos que ∆𝜽 > 𝟎, quando 𝐌 > 𝟎. Desse modo ത𝒓 − 𝑹 > 𝟎, logo 𝑹 < ത𝒓, ou seja, a
linha neutra da secção transversal se encontra entre o centróide e o centro de
curvatura C.
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Definindo 𝒆 = ത𝒓 − 𝑹, logo:
𝑬∆𝜽
𝜽
=
𝑴
𝑨𝒆
Substituindo o valor Τ𝑬∆𝜽 𝜽 , obtemos as expressões para tensão em vigas curvas;
𝝈𝒙 = −
𝑴𝒚
𝑨𝒆 𝑹 − 𝒚
Ou:
𝝈𝒙 = −
𝑴 𝒓 − 𝑹
𝑨𝒆𝒓
FLEXÃO EM VIGAS CURVAS
Uma barra retangular de eixo curvo tem raio ത𝒓 = 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 e uma secção
transversal com largura 𝒃 = 𝟓𝟎𝒎𝒎 e altura 𝒉 = 𝟐𝟓𝒎𝒎. Determine os valores
máximos das tensões de tração e compressão, sabendo-se que o momento
fletor na barra é 𝑴 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎.
EXEMPLO
EXEMPLO
Inicialmente determinaremos a expressão do Raio R da superfície neutra.
Sendo 𝒓𝟏 𝒆 𝒓𝟐, respectivamente, o raio interno e o raio externo da barra, logo:
𝑹 =
𝑨
𝒓𝟏׬
𝒓𝟐 𝒅𝑨
𝒓
=
𝒃𝒉
𝒓𝟏׬
𝒓𝟐 𝒃𝒅𝒓
𝒓
=
𝒉
𝒓𝟏׬
𝒓𝟐 𝒅𝒓
𝒓
𝑹 =
𝒉
𝐥𝐧
𝒓𝟐
𝒓𝟏
EXEMPLO
Com os valores dados do problema,
𝒓𝟏 = ത𝒓 −
𝟏
𝟐
𝒉 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟐, 𝟓 = 𝟖𝟕, 𝟓𝒎𝒎
𝒓𝟐 = ത𝒓 −
𝟏
𝟐
𝒉 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟐, 𝟓 = 𝟏𝟏𝟐, 𝟓𝒎𝒎
Substituindo 𝒉, 𝒓𝟏 𝒆 𝒓𝟐 na equação anterior, teremos:
𝑹 =
𝒉
𝐥𝐧
𝒓𝟐
𝒓𝟏
=
𝟐𝟓
𝐥𝐧
𝟏𝟏𝟐, 𝟓
𝟖𝟕, 𝟓
= 𝟗𝟗, 𝟒𝟕𝟕𝒎𝒎
Assim, a distância entre o eixo neutro e o eixo centroidal
da secção é:
𝒆 = ത𝒓 − 𝑹 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟗𝟗, 𝟒𝟕𝟕 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟑𝒎𝒎
EXEMPLO
A área da secção é, 𝑨 = 𝒃𝒉 = 𝟓𝟎 × 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎𝟐
A tensão máxima será,
𝝈𝑴á𝒙 =
𝑴 𝒓𝟐 − 𝑹
𝑨𝒆𝒓𝟐
=
𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝟏𝟏𝟐, 𝟓 − 𝟗𝟗, 𝟒𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎
𝟏𝟐𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟐 𝟎, 𝟓𝟐𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎 𝟏𝟏𝟐, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎
𝝈𝑴á𝒙 = 𝟖𝟖, 𝟓 𝑴𝑷𝒂
Fazendo 𝒓 = 𝒓𝟏, sendo 𝒓𝟏 = 𝟖𝟕, 𝟓 𝒎𝒎
𝝈𝑴í𝒏 =
𝑴 𝒓𝟏 − 𝑹
𝑨𝒆𝒓𝟏
=
𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝟖𝟕, 𝟓 − 𝟗𝟗, 𝟒𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎
𝟏𝟐𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟐 𝟎, 𝟓𝟐𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎 𝟖𝟕, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎
𝝈𝑴á𝒙 = −𝟏𝟎𝟒, 𝟕 𝑴𝑷𝒂
Observação: Caso tivéssemos considerado a viga como sendo uma viga reta
(baixa curvatura), teríamos os seguintes resultados:
𝝈𝑴á𝒙,𝑴í𝒏 = ±
𝑴𝒄
𝑰
= ±
𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎 𝟏𝟐, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎
𝟏
𝟏𝟐
𝟓𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎 𝟑
= ±𝟗𝟔, 𝟎 𝑴𝒑𝒂
EXEMPLO
REFERÊNCIAS
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2018. Disponível em: 
<https://plataforma.bvirtual.com.br/Leitor/Publicacao/168498/pdf/0>. Acesso em Jul. de 
2023.
BEER, F. P.; E. JOHNSTON, R. Jr. Resistência dos Materiais. 3. ed. McGraw-Hill, 
2015.
ATÉ A PRÓXIMA AULA!