Flexão Pura

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DESCRIÇÃO
A aplicação e o entendimento das principais expressões matemáticas e dos conceitos físicos
no estudo de elementos prismáticos simétricos sob ação da flexão pura.
PROPÓSITO
No dimensionamento de estruturas, seja na Engenharia Mecânica, seja na Engenharia Civil, o
fenômeno da flexão é recorrente. Dessa forma, o conhecimento das relações matemáticas é
fundamental para o desenvolvimento profissional.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a distribuição de tensões em função do momento
MÓDULO 2
Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de resistência
MÓDULO 3
Calcular a linha elástica
MÓDULO 4
Formular o cisalhamento na flexão
APRESENTAÇÃO DO FENÔMENO DA FLEXÃO PURA
EM ELEMENTOS PRISMÁTICOS E SUAS APLICAÇÕES.
Será feita um breve resumo dos aspectos apresentados no tema, destacando-se: tensões
normais por flexão, cálculo da linha elástica e tensões cisalhantes na flexão.
AVISO: orientações sobre unidades de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por
questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um
espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais
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materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e
das unidades.
 
Foto: Shutterstock.com
MÓDULO 1
 Identificar a distribuição de tensões em função do momento
A DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM FUNÇÃO DO
MOMENTO;
Apresentação dos efeitos de tensão sob um elemento prismático (viga).
INTRODUÇÃO
A primeira parte do estudo da tensão apresentará as seguintes hipóteses:

I
O regime do fenômeno é o elástico;
II
A peça é um prisma reto com simetria;


III
O momento fletor atua em torno de um eixo perpendicular ao eixo de simetria.
A partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas
aplicáveis.
DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Para abordar tal conteúdo de uma forma prática, vamos considerar um elemento estrutural
prismático reto e simétrico, como mostra a figura 1, que possui uma malha em sua superfície
para auxiliar no entendimento da deformação por flexão.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 1 – Elemento prismático.
A malha é composta por linhas paralelas ao eixo longitudinal do prisma e linhas paralelas às
arestas da seção reta.
QUANDO UM PAR DE MOMENTOS FLETORES É
APLICADO NAS EXTREMIDADES DO ELEMENTO
REPRESENTADO, AS LINHAS LONGITUDINAIS SE
DEFORMAM, ENQUANTO AS LINHAS TRANSVERSAIS
PERMANECEM SEM DEFORMAÇÃO.
Na figura 2, temos a representação da atuação dos momentos fletores e a deformação da
barra. É importante ressaltar que as linhas longitudinais se deformam segundo uma curva e as
seções transversais sofrem uma rotação.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 201.
 Figura 2 – Elemento prismático deformado.
 ATENÇÃO
Cabe ressaltar (Figura 2) o eixo de simetria da seção reta e o momento fletor sendo aplicado
em torno de um eixo, perpendicular ao de simetria.
Qualitativamente, é fácil perceber que, sob a ação de um par de momentos fletores, nas
condições já discutidas, as regiões inferior e superior apresentarão deformações contrárias.
Uma dessas regiões estará diminuída (contração) e a outra, aumentada (tração). Observe a
figura 3.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 3 – Elementos prismáticos sob ação de momento fletor.
As deformações compressivas serão associadas a valores negativos, e as trativas a valores
positivos. Ao longo da seção, o sinal das deformações varia e é possível inferir que nessa
transição houve uma região onde as deformações foram nulas. Observando-se a seção reta,
essa região é a linha neutra (ou eixo neutro). Ao longo do elemento prismático, tem-se um
plano neutro ou uma superfície neutra. Observe a figura 4.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 202.
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
EXPRESSÃO PARA DEFORMAÇÃO POR
FLEXÃO
A demonstração da distribuição de deformações em uma seção de um elemento submetido à
flexão pura supõe que as premissas adotadas no início do módulo sejam respeitadas. É
possível demonstrar que essas deformações normais ( ) variam linearmente ao longo do eixo
y.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 5 – Deformação normal.
Da figura 5, conclui-se que acima do eixo x as deformações normais são compressivas
(negativas) e, abaixo, são trativas (positivas). Ademais, a variação das deformações por flexão
é linear, sendo o valor máximo, em módulo, associado ao maior afastamento da linha neutra.
Da semelhança de triângulos (Figura 5), é possível relacionar os módulos das grandezas
envolvidas.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de que as deformações trativas e compressivas sejam apresentadas pela expressão
anterior, será feito um ajuste para adequação à orientação do conjunto de eixos adotados.
Assim, tem-se a equação 1:
εx
=     →   ⃓ε  =⃓  ∣∣ ⋅  εmáx∣∣   (em módulo)ε  εmáx
y
c
y
c
(equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é o maior valor absoluto da deformação e c a maior distância, em módulo, a
partir da linha neutra. Ainda sobre a Figura 5, perceba que para valores positivos de y, como c
e na equação 1 são valores positivos, e apresentará valor negativo, ou seja, uma
deformação compressiva. De maneira oposta, para valores negativos de y, como c e na
equação 1 são valores positivos, e terá um valor positivo, ou seja, uma deformação trativa.
 EXEMPLO
Suponha a vista lateral de uma barra submetida à flexão pura. A distribuição de deformações
está representada na figura. Considere a deformação máxima em módulo igual a 1800μ.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determine:
A deformação na parte inferior da barra.
A deformação na parte superior a 30mm do eixo neutro.
A deformação no eixo neutro.
Solução
A deformação máxima ( ) em módulo é igual a 1800μ.
ε = − ⋅ εmáx   
y
c
εmáx
εmáx
εmáx
ε
εmáx
a) Pela semelhança de triângulos, . Do desenho, a deformação
é positiva.
b) Da equação 1, .
c) No eixo neutro, a deformação é nula.
EXPRESSÃO PARA TENSÃO POR FLEXÃO
Considerando que a flexão ocorra dentro do regime elástico, é possível utilizar a Lei de Hooke,
descrita na equação 2, para determinar a tensão normal (σ) por flexão.
(equação 2)
Onde E é o módulo de Young e é a deformação.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a situação de deformação máxima , a equação 2 pode ser escrita da seguinte
maneira:
(equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo-se as equações 2 e 3:
=   →  ε = 600µε
1800
30
90
ε = − ⋅ εmáx  →  ε = − ⋅ 1800  →  ε = −600µ
y
c
30
90
σ = E. ε
ε
(σmáx)
σmáx = E. εmáx
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, a partir da equação 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
(equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 4, é possível inferir que a tensão normal por flexão varia linearmente a
partir da linha neutra. Veja esquematicamente essa variação:
= σ 
σmáx
E. ε 
E. εmáx
=   σ 
σmáx
ε 
εmáx
= −εεmáx
y
c
 σ = − ⋅ σmáx
y
c
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 6 – Tensão normal por flexão.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA ESTÁ SUBMETIDA À FLEXÃO PURA. O REGIME É O
ELÁSTICO E A VIGA APRESENTA EIXO DE SIMETRIA. SABE-SE QUE A
SEÇÃO RETA DA VIGA TEM 150MM DE ALTURA. AS FIBRAS
SUPERIORES ESTÃO DEFORMADAS DE MANEIRA COMPRESSIVA,
ENQUANTO AS FIBRAS INFERIORES DE FORMA TRATIVA. A
DEFORMAÇÃO COMPRESSIVA MÁXIMA VALE, EM MÓDULO, O DOBRO
DA DEFORMAÇÃO TRATIVA MÁXIMAEM MÓDULO. A PARTIR DA BASE
DA SEÇÃO, A QUE ALTURA SE ENCONTRA O EIXO NEUTRO?
A) 60mm
B) 50mm
C) 80mm
D) 100mm
E) 15mm
2. A FIGURA APRESENTA UM ELEMENTO PRISMÁTICO SOB A AÇÃO DE
UM PAR DE MOMENTOS FLETORES. SÃO FEITAS AS SEGUINTES
AFIRMATIVAS:
AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO TRACIONADAS E AS INFERIORES
COMPRIMIDAS.
NA SITUAÇÃO MOSTRADA NÃO EXISTE A LINHA NEUTRA.
AS SEÇÕES TRANSVERSAIS SOFREM ROTAÇÃO DURANTE A
ATUAÇÃO DO MOMENTO.
SÃO CORRETAS:
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa II.
C) Apenas as afirmativas I e II.
D) Apenas as afirmativas I e III.
E) Apenas as afirmativas II e III.
3. UM EIXO MACIÇO ENCONTRA-SE BIAPOIADO EM EQUILÍBRIO SOB
DETERMINADO CARREGAMENTO. UMA SEÇÃO CIRCULAR É ESTUDADA
E CONSIDERA-SE A FLEXÃO PURA COMO O PRINCIPAL EFEITO. NA
PERIFERIA DA SEÇÃO OCORRE A TENSÃO MÁXIMA POR FLEXÃO EM
MÓDULO IGUAL A 20MPA. CONSIDERANDO O RAIO DA SEÇÃO IGUAL A
80MM, DETERMINAR, EM MÓDULO, A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO
EM UM PONTO A 20MM DO EIXO NEUTRO.
A) 20MPa
B) 12MPa
C) 10MPa
D) 6MPa
E) 5MPa
4. UMA VIGA APRESENTA SEÇÃO RETANGULAR DE LADOS 80MM E
100MM E ESTÁ SUBMETIDA A UM MOMENTO FLETOR M, PARALELO À
BASE (80MM), DE TAL FORMA QUE AS FIBRAS SUPERIORES FICAM SOB
COMPRESSÃO. SABENDO QUE O REGIME É O ELÁSTICO, A
ESTRUTURA ESTÁ EM EQUILÍBRIO, E A LINHA NEUTRA PASSA PELO
CENTROIDE DA SEÇÃO RETA, A RAZÃO ENTRE AS TENSÕES NORMAIS
ATUANTES A 20MM ACIMA DA LINHA NEUTRA E A TENSÃO NORMAL
ATUANTE A 30MM ABAIXO DA LINHA NEUTRA (CONSIDERAR OS SINAIS
DA COMPRESSÃO E DA TRAÇÃO).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. UMA VIGA ESTÁ SOB FLEXÃO PURA. A DEFORMAÇÃO NORMAL POR
FLEXÃO É APRESENTADA NO GRÁFICO A SEGUIR. O EIXO NEUTRO DA
SEÇÃO EM ESTUDO DIVIDE O EIXO Y EM DUAS PARTES: 40MM NA
PARTE SUPERIOR E 20MM NA PARTE INFERIOR.
1
3
− 1
3
 1
2
3
− 2
3
É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) As fibras na parte superior (acima do eixo neutro) estão comprimidas.
B) Todas as fibras apresentam-se tracionadas.
C) A 10mm acima do eixo neutro a deformação normal é 1000 .
D) A 20mm abaixo da linha neutra a deformação normal é 2000 .
E) A seção é retangular de base 60mm.
6. UMA ESTRUTURA ENCONTRA-SE SOB A AÇÃO DE UM MOMENTO
FLETOR, EM EQUILÍBRIO NO REGIME ELÁSTICO. O GRÁFICO A SEGUIR
MOSTRA A VARIAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NA SEÇÃO AO LONGO DO
EIXO Y DE SIMETRIA. SUPONDO QUE A ESTRUTURA ESTÁ EM
EQUILÍBRIO SOB FLEXÃO E NO REGIME ELÁSTICO, DETERMINE A
TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO MÍNIMA:
μ
μ
A) - 28MPa
B) - 30MPa
C) - 40MPa
D) - 50MPa
E) - 70MPa
GABARITO
1. Uma viga está submetida à flexão pura. O regime é o elástico e a viga apresenta eixo
de simetria. Sabe-se que a seção reta da viga tem 150mm de altura. As fibras superiores
estão deformadas de maneira compressiva, enquanto as fibras inferiores de forma
trativa. A deformação compressiva máxima vale, em módulo, o dobro da deformação
trativa máxima em módulo. A partir da base da seção, a que altura se encontra o eixo
neutro?
A alternativa "B " está correta.
A variação da tensão normal por flexão ao longo da altura da seção reta é linear, sendo zero na
linha neutra e trativa ou compressiva nas regiões superiores ou inferiores (ou vice-versa),
dependendo da orientação do momento aplicado. Dessa forma, é possível considerar a figura
seguinte.
Da semelhança de triângulos:
2. A figura apresenta um elemento prismático sob a ação de um par de momentos
fletores. São feitas as seguintes afirmativas:
As fibras superiores estão tracionadas e as inferiores comprimidas.
=     → 2y = 150 − y → y = 50 mm ε 
2.ε
y 
150−y
Na situação mostrada não existe a linha neutra.
As seções transversais sofrem rotação durante a atuação do momento.
São corretas:
A alternativa "D " está correta.
A partir da figura, é possível concluir que as fibras superiores estão alongadas, isto é,
tracionadas, e as fibras inferiores, comprimidas. Como existem duas regiões com deformações
de sinais opostos, essa transição ocorre com a existência da linha neutra (deformação e tensão
nulas). As seções retas sofrem apenas a rotação.
3. Um eixo maciço encontra-se biapoiado em equilíbrio sob determinado carregamento.
Uma seção circular é estudada e considera-se a flexão pura como o principal efeito. Na
periferia da seção ocorre a tensão máxima por flexão em módulo igual a 20MPa.
Considerando o raio da seção igual a 80mm, determinar, em módulo, a tensão normal
por flexão em um ponto a 20mm do eixo neutro.
A alternativa "E " está correta.
Um elemento estrutural sob flexão pura, apresentando eixo de simetria, tem a distribuição de
tensão e normas lineares, a partir do eixo neutro, de acordo com a equação.
Utilizando a equação em módulo, tem-se:
4. Uma viga apresenta seção retangular de lados 80mm e 100mm e está submetida a um
momento fletor M, paralelo à base (80mm), de tal forma que as fibras superiores ficam
sob compressão. Sabendo que o regime é o elástico, a estrutura está em equilíbrio, e a
linha neutra passa pelo centroide da seção reta, a razão entre as tensões normais
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σ = ⋅ 20  →  σ = 5 MPa20
80
atuantes a 20mm acima da linha neutra e a tensão normal atuante a 30mm abaixo da
linha neutra (considerar os sinais da compressão e da tração).
A alternativa "E " está correta.
Na questão, as fibras superiores são compressivas, ou ainda, apresentam valores negativos.
As fibras inferiores (abaixo da linha neutra) estão sob tração, ou ainda, apresentam valores
positivos. A partir da equação , é possível inferir que as tensões são
diretamente proporcionais às distâncias do eixo neutro. Assim: e , com K
um número real positivo. Logo, a razão será .
5. Uma viga está sob flexão pura. A deformação normal por flexão é apresentada no
gráfico a seguir. O eixo neutro da seção em estudo divide o eixo y em duas partes:
40mm na parte superior e 20mm na parte inferior.
É correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
A partir do gráfico e do enunciado da questão, os 40mm acima do eixo neutro (ou linha neutra)
estão tracionados (valores positivos de deformação), e os 20mm abaixo da linha neutra,
comprimidos (valores negativos de deformação). O gráfico mostra uma relação linear entre a
deformação e a distância y. Assim, a 10mm acima do eixo neutro, tem-se:
Abaixo da linha neutra, as deformações são negativas.
O gráfico informa sobre a dimensão vertical, não sobre a forma e a dimensão da base.
6. Uma estrutura encontra-se sob a ação de um momento fletor, em equilíbrio no regime
elástico. O gráfico a seguir mostra a variação da tensão normal na seção ao longo do
eixo y de simetria. Supondo que a estrutura está em equilíbrio sob flexão e no regime
elástico, determine a tensão normal por flexão mínima:
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σ = −20K σ' = 30K
− 2
3
=     → ε  = 1000 μ10
40
ε
4000
A alternativa "A " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO MÍNIMA DE UMA ESTRUTURA,
SOB FLEXÃO.
A partir do gráfico que relaciona a tensão por flexão e a altura da seção reta, será determinada
a tensão mínima da seção de uma estrutura em equilíbrio, sob flexão.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um engenheiro está dimensionando uma estrutura e utilizará um perfil I (com dupla simetria)
em uma das vigas, sujeita à flexão pura. Na figura, tem-se as dimensões do perfil utilizado. Ele
pede ao seu estagiário que determine as tensões em alguns pontos (B e C), sabendo que em A
a tensão é normal, compressiva, de módulo 40MPa. Ele informa ao estagiário que o eixo neutro
é horizontal e passa pelo centroide do perfil I. Além disso, o ponto C está na metade da altura
da aba inferior.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESOLUÇÃO
DETERMINAR AS TENSÕES NORMAIS POR FLEXÃO
EM UM PERFIL I.
A partir do conhecimento da distribuição linear das tensões por flexão, serão determinadas
tensões em alguns pontos de uma seção, sejam elas compressivas ou trativas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - ENGENHEIRO MECÂNICO) EM UM CORPO,
AS FORÇAS PODEM SER APLICADAS DE DIFERENTES MANEIRAS,
ORIGINANDO DIFERENTES TIPOS DE SOLICITAÇÃO. LEIA A DESCRIÇÃOABAIXO E, EM SEGUIDA, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A
“SOLICITAÇÃO QUE TENDE A MODIFICAR O EIXO GEOMÉTRICO DE
UMA PEÇA”.
A) Tração
B) Compressão
C) Cisalhamento
D) Flexão
E) Torção
2. UMA ESTRUTURA TEM UMA VIGA RETANGULAR DE DIMENSÕES
80MM (BASE) E 120MM (ALTURA). O EIXO NEUTRO ESTÁ LOCALIZADO
PARALELAMENTE À BASE, PASSANDO PELO CENTROIDE DA SEÇÃO
RETA. SOB FLEXÃO, AS FIBRAS SUPERIORES ESTÃO COMPRIMIDAS.
CONSIDERANDO DOIS PONTOS QUAISQUER, DISPOSTOS
SIMETRICAMENTE EM RELAÇÃO AO EIXO NEUTRO, A SOMA DAS
TENSÕES NORMAIS ATUANTES NOS PONTOS:
A) É igual, em módulo, ao dobro da tensão que ocorre em um dos pontos.
B) É igual, em módulo, à metade da tensão que ocorre em um dos pontos.
C) É igual a zero.
D) Depende do momento fletor aplicado na seção.
E) É igual, em módulo, ao triplo da tensão que ocorre em um dos pontos.
GABARITO
1. (CETRO - 2015 - AMAZUL - Engenheiro Mecânico) Em um corpo, as forças podem ser
aplicadas de diferentes maneiras, originando diferentes tipos de solicitação. Leia a
descrição abaixo e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a “Solicitação que
tende a modificar o eixo geométrico de uma peça”.
A alternativa "D " está correta.
 
Um elemento estrutural sob tração ou compressão preserva seu eixo geométrico, ocorrendo
apenas aumento ou diminuição da peça. Na torção, a deformação ocorre em torno do eixo
geométrico. A flexão deforma a estrutura, mudando o seu eixo geométrico. Observe:
 Figura 4 – Superfície neutra e eixo neutro.
2. Uma estrutura tem uma viga retangular de dimensões 80mm (base) e 120mm (altura).
O eixo neutro está localizado paralelamente à base, passando pelo centroide da seção
reta. Sob flexão, as fibras superiores estão comprimidas. Considerando dois pontos
quaisquer, dispostos simetricamente em relação ao eixo neutro, a soma das tensões
normais atuantes nos pontos:
A alternativa "C " está correta.
 
A parir da equação 4 ( ) é possível determinar a tensão por flexão em qualquer
ponto y afastado da linha neutra. Dois pontos A e B, simétricos em relação à linha neutra
estarão a distância +d e -d da linha neutra. Logo:
 
 
 
Assim, a soma das tensões será:
σ = − ⋅ σmáx
y
c
σA = − ⋅ σmáx
d
c
σB = − ⋅ σmáx  →  σB  =   ⋅ σmáx
( −d )
c
d
c
MÓDULO 2
 Formular a determinação de tensões máximas e mínimas, e módulo de resistência
A DETERMINAÇÃO DE TENSÕES MÁXIMAS E
MÍNIMAS, E MÓDULO DE RESISTÊNCIA.
Partir de uma viga sob tensão pura, em equilíbrio e no regime elástico, serão apresentadas as
tensões máxima e mínima e o parâmetro geométrico módulo de resistência.
σA +  σB = − ⋅ σmáx  + ⋅ σmáx =  0
d
c
d
c
INTRODUÇÃO
Até aqui, a apresentação da flexão pura em barras prismática fez a consideração da linha
neutra (tensão nula) e as distâncias a partir dessa e, com isso, foi possível escrever duas
relações matemáticas: a da deformação e a da tensão. Contudo, não foi feita a localização da
linha neutra. Neste módulo, o estudo será inicializado a partir de sua localização.
LINHA NEUTRA OU EIXO NEUTRO DE UMA
SEÇÃO
 
Foto: Shutterstock.com
Neste tópico, mais uma vez a condição de equilíbrio no regime elástico será assumida. Na
flexão pura, ao escolhermos uma seção reta para estudo, o esforço normal atuante na linha
neutra é neutro. A próxima figura esquematiza a distribuição, estando a região acima da linha
neutra comprimida e, abaixo, tracionada, conforme a figura 7.
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 327.
 Figura 7 – Tensão normal por flexão.
O objetivo é determinar o posicionamento da linha e da superfície neutra. Tomando-se um
pequeno elemento de área dA na face em estudo, existe uma tensão associada . A tensão é
dada pela expressão . Ajustando-a para a área infinitesimal, determina-se o infinitésimo
da força (dF), ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, a equação 4 afirma que . Substituindo na expressão de dF:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como c e são valores constantes, ao se integrar a equação anterior, tem-se:
σ
σ = F
A
dF = σ. dA
σ = − ⋅ σmáx
y
c
dF = − ⋅ σmáx. dA
y
c
σmáx
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, a resultante das forças na direção x é nula, logo , o que
implica que a integral é nula. A interpretação é que o momento estático da área A da seção
reta, em relação ao eixo neutro horizontal é nulo. Dessa forma, a linha neutra passa pelo
centroide da seção reta. No caso apresentado, horizontal.
 RELEMBRANDO
Lembrando que a situação de flexão pura tem a premissa que y é eixo simétrico. Caso a seção
apresente um eixo horizontal simétrico, pelo teorema de simetria, o centroide estará na
interseção dos eixos. De outra maneira, os eixos são centroidais e vale a conclusão anterior, ou
seja, a linha neutra será o eixo de simetria x.
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES MÁXIMA E
MÍNIMA POR FLEXÃO
A demonstração da expressão que determina as tensões máxima e mínima será apoiada na
figura 8:
dF = − .  σmáx. dA
y
c
∫ dF = ∫ − .  σmáx. dA
y
c
Fx = ⋅ ∫ y ⋅ dA
−σmáx
c
0 = ⋅ ∫ y ⋅ dA
−σmáx
c
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 8 – Distribuição de tensão na flexão pura.
Inicialmente, deve-se lembrar que o momento fletor é um vetor na direção do eixo z. Na figura,
o momento fletor M é positivo, e um elemento de força é mostrado na figura. O momento
exercido por esse elemento, em relação ao eixo z, é dado por .
Note que é um pequeno vetor no sentido crescente de z, logo, positivo.
A partir da definição de tensão normal média, , é possível escrever que .
Utilizando apenas o módulo na equação , tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando-se a equação anterior:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
dF
dM = dF ⋅ y
dM
σ = F
A
dF = σ. dA
4 (|σ|=∣∣ ⋅ σmáx∣∣)
y
c
dM = .  σmáx. dA
y2
c
∫ dM = ∫ .  σmáx ⋅ dA
y2
c
M = ∫ y2dA
σmáx
c
O momento de inércia da seção reta da viga, em relação ao eixo neutro é dado por .
Substituindo na expressão anterior, tem-se para o módulo da tensão normal máxima a equação
5:
(equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que c é a distância mais afastada da linha neutra e o módulo do momento fletor.
 EXEMPLO
Considere a figura em que a linha neutra da seção reta se encontra a 50mm da parte inferior
da viga e o momento fletor na seção tem valor 2.000N.m. Considere o momento de inércia em
relação ao eixo neutro igual a . Determine as tensões máximas compressiva e
trativa.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Solução
Da figura, é possível inferir que as fibras acima da linha neutra estão comprimidas por ação do
momento fletor, e as fibras inferiores, tracionadas. Para cada situação (compressão e tração),
maior afastamento da linha neutra será 100mm e 50mm. Aplicando-se a equação 5:
 
 
 
 
∫ y2dA
σmáx =
M⋅c
I
M
4 ⋅ 10−5 m4
σmáx =
M⋅c
I
σmáx =   →  σmáx = = 5MPa (compressiva)  M⋅cI
2000⋅(0,1)
4⋅10−5
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A equação , utilizada para a determinação da tensão por flexão
máxima, pode ser reescrita como:
 
 
 
A razão é função apenas de parâmetros geométricos da seção reta em que atua o momento
fletor M. A essa razão denomina-se módulo resistente à flexão ou módulo de resistência da
flexão (W). Reescrevendo a equação 5, tem-se:
(equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A unidade no S.I. para o módulo resistente é m³, e significa a resistência da viga a sofrer
flexão.
 EXEMPLO
Determine o módulo resistente de uma seção retangular de dimensões b (base) e h (altura).
Solução
Considere a figura da seção retangular e a linha neutra (LN).
σmáx = →  σmáx = = 2,5MPa (trativa)  M⋅cI
2000⋅(0,05)
4⋅10−5
5 (σmáx= )M⋅cI
σmáx =
M⋅c
I
σmáx =
M
I
c
I
c
σmáx =
M
W
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal horizontal (coincide com a
linha neutra) é dado pela expressão . O maior afastamento da linha neutra c é igual a 
. O módulo resistente W é calculado a partir da razão . Assim:
 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES POR
FLEXÃO
Aqui falaremos sobre a determinação da tensão por flexão em um ponto genérico da seção
reta.
AS PREMISSAS ADOTADAS NO INÍCIO DO ESTUDO DA
FLEXÃO PURA CONTINUAM VÁLIDAS, OU SEJA,
REGIME ELÁSTICO, EQUILÍBRIO E SEÇÃO COM EIXO
Y SIMÉTRICO.
A figura 9 mostra a variação da tensão ao longo do eixo y:
I = b.h
3
12
h
2
I
c
W = =  I
c
b.h3
12
h
2
W = b.h
2
6
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 204.
 Figura 9 – Distribuição de tensão normal por flexão pura.
Observe o momento fletor M na seção e um ponto genérico, distante y unidades da linha
neutra, submetido à tensão normal de flexão (compressão) denominada . Considerando as
equações 4 e 5, tem-se:
 
 
 
E 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a expressão de , tem-se a equação 7 para determinar a tensão em um ponto
genérico afastado y unidades da linha neutra:
(equação 7)
σ
σ = − ⋅ σmáx   
y
c
σmáx =
M⋅c
I
σmáx
σ = −
y⋅M
I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que I é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra.
 ATENÇÃO
Obs.: Considere uma viga biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente
distribuído q. O momento fletor máximo ocorre na seção localizada no ponto médio da viga e
tem módulo .
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE DUAS ESTRUTURAS FEITAS DO MESMO MATERIAL E
COM AS MESMAS DIMENSÕES. ADMITINDO-SE QUE A SEÇÕES SÃO
RETANGULARES COM DIMENSÕES B (BASE) E H (ALTURA), TAL QUE H
= 2B. QUAL A RAZÃO ENTRE OS MÓDULOS RESISTENTES DA SEÇÃO
EM CADA SITUAÇÃO 1 OU 2?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Mmáximo =
q⋅L2
8
1
2
1
2
2
3
3
2
2. CONSIDERE UMA VIGA CIRCULAR MACIÇA DE 2M DE COMPRIMENTO
E RAIO 40MM. EM DADA SEÇÃO DESSA VIGA, O MOMENTO FLETOR
TEM MÓDULO 2KN.M. CONSIDERANDO O EQUILÍBRIO NO REGIME
ELÁSTICO E A FLEXÃO PURA, DETERMINE O MÓDULO DA TENSÃO
NORMAL MÁXIMA:
A) 25,6MPa
B) 32,0MPa
C) 36,8MPa
D) 39,8MPa
E) 46,8MPa
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - AUDITOR PÚBLICO EXTERNO - ENGENHARIA
CIVIL - CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS). CONSIDERE A VIGA
PRISMÁTICA DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR REPRESENTADA
NA FIGURA ABAIXO:
CONSIDERANDO QUE O MATERIAL DA VIGA SEJA HOMOGÊNEO E
ELÁSTICO LINEAR, A TENSÃO MÁXIMA DE COMPRESSÃO DEVIDO À
FLEXÃO, EM MPA, É:
A) 175
B) 250
C) 125
D) 75
E) 50
4. EM UMA ESTRUTURA, UMA VIGA ESTÁ CARREGADA DE TAL FORMA
QUE O PRINCIPAL EFEITO É O DA FLEXÃO PURA. SUPONDO O MÓDULO
DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO DA SEÇÃO RETA IGUAL A 12.000MM³ E A
TENSÃO ADMISSÍVEL DO MATERIAL 80MPA, QUAL O MÓDULO DO
MOMENTO FLETOR MÁXIMO QUE PODE ATUAR NA SEÇÃO DE ESTUDO?
A) 1500N.m
B) 960N.m
C) 750N.m
D) 480N.m
E) 150N.m
5. CONSIDERE QUE UMA VIGA OCA (VER FIGURA) DE SEÇÃO
QUADRANGULAR ESTEJA SUBMETIDA À FLEXÃO PURA. EM DADA
SEÇÃO, O MOMENTO FLETOR ATUANTE TEM MÓDULO 6KN.M.
CONSIDERANDO AS DIMENSÕES DA SEÇÃO RETA DA VIGA COMO
100MM E 80MM, DETERMINE A TENSÃO POR FLEXÃO MÁXIMA EM
MÓDULO:
A) 61MPa
B) 52MPa
C) 45MPa
D) 31MPa
E) 28MPa
6. (VUNESP - 2018 - PREFEITURA DE SÃO BERNARDO DO CAMPO - SP -
ENGENHEIRO CIVIL). CONSIDERE A VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
COM VÃO DE 8M E SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
REPRESENTADA NA FIGURA A SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL MÁXIMA, DEVIDO À FLEXÃO NA FIBRA MAIS
TRACIONADA DA VIGA, EM MPA, É:
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
E) 150
GABARITO
1. Considere duas estruturas feitas do mesmo material e com as mesmas dimensões.
Admitindo-se que a seções são retangulares com dimensões b (base) e h (altura), tal que
h = 2b. Qual a razão entre os módulos resistentes da seção em cada situação 1 ou 2?
A alternativa "C " está correta.
O módulo resistente do retângulo é dado por:
Do enunciado, h = 2b.
Para a situação 1, base é b e altura h = 2b. Assim, .
Para a situação 1, base é h = 2b e altura b. Assim, .
Logo, .
2. Considere uma viga circular maciça de 2m de comprimento e raio 40mm. Em dada
seção dessa viga, o momento fletor tem módulo 2kN.m. Considerando o equilíbrio no
regime elástico e a flexão pura, determine o módulo da tensão normal máxima:
A alternativa "D " está correta.
O raio da seção circular é 40mm = 0,04m. O momento de inércia do círculo em relação ao eixo
centroidal horizontal (coincidente com o eixo neutro) é dado pela expressão 
. O maior afastamento da linha neutra é igual ao raio
(0,04m). Substituindo na equação 5, tem-se:
3. (FCC - 2014 - TCE-RS - Auditor Público Externo - Engenharia Civil - Conhecimentos
Específicos). Considere a viga prismática de seção transversal retangular representada
na figura abaixo:
Considerando que o material da viga seja homogêneo e elástico linear, a tensão máxima
de compressão devido à flexão, em MPa, é:
A alternativa "B " está correta.
W = b⋅h
2
6
W1 = =
b⋅(2b)2
6
2⋅b3
3
W2 = =
2b⋅(b)
2
6
b3
3
= 2
W1
W2
I = = = 2,01.10−6 m4π⋅R
4
4
π⋅(0,04)
4
4
σmáx = = 39,8MPa
2000⋅(0,04)
2,01⋅10−6
A carga distribuída ao longo da viga é de 2kN/m = 2.000N/m. As dimensões da seção reta são
b = 0,06m e h = 0,10m. O momento fletor interno máximo ocorre no ponto médio da viga e tem
módulo . Logo:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é igual a:
A tensão máxima de compressão ocorre na parte superior da viga, ou seja, a 0,05m da linha
neutra. Substituindo na equação 5, tem-se:
4. Em uma estrutura, uma viga está carregada de tal forma que o principal efeito é o da
flexão pura. Supondo o módulo de resistência à flexão da seção reta igual a 12.000mm³ e
a tensão admissível do material 80MPa, qual o módulo do momento fletor máximo que
pode atuar na seção de estudo?
A alternativa "B " está correta.
Homogeneizando as unidades, a tensão admissível (máxima) é e o módulo
resistente (W) igual a .
A tensão máxima em função do módulo resistente é apresentada a seguir:
Substituindo os valores, tem-se:
5. Considere que uma viga oca (Ver figura) de seção quadrangular esteja submetida à
flexão pura. Em dada seção, o momento fletor atuante tem módulo 6kN.m. Considerando
as dimensões da seção reta da viga como 100mm e 80mm, determine a tensão por flexão
máxima em módulo:
Mmáximo =
q⋅L2
8
Mmáximo = = 25.000Nm
2000⋅(10)
2
8
I = = = 5 ⋅ 10−6 m4b⋅h
3
12
0,06⋅(0,10)
3
12
σmáx = → σmáx = 250 MPa  (compressão)
25000⋅(0,05)
5.10−6
80 ⋅ 106 Pa
12 ⋅ 10−6 m3
σmáx =
M
W
80 ⋅ 106 = → M = 960N .mM
12⋅10−6
A alternativa "A " está correta.
O momento de inércia da seção quadrangular de lado L em relação ao eixo neutro é igual a:
Para a seção “vazada”, o momento de inércia em relação ao eixo neutro será igual a:
Em que L e l são as arestas dos quadrados externo e interno. Dessa forma:
A tensão máxima ocorre para o maior afastamento c da linha neutra, ou seja, .
Substituindo na equação 5, tem-se:
6. (VUNESP - 2018 - Prefeitura de São Bernardo do Campo - SP - Engenheiro Civil).
Considere a viga simplesmente apoiada com vão de 8m e seção transversal retangular
representada na figura a seguir:
A tensão normal máxima, devido à flexão na fibra mais tracionada da viga, em MPa, é:
A alternativa "E " está correta.
I = L
4
12
I = −L
4
12
l4
12
I = − =   − = 4,92.10−6 m4L
4
12
l4
12
( 0,1 ) 4
12
( 0,08 ) 4
12
= 0,05m
0,1
2
σmáx = → σmáx = 61 MPa
6000.(0,05)
4,92.10−6
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO NORMAL TRATIVA
MÁXIMA DE UMA VIGA SOB CARREGAMENTO
UNIFORME DISTRIBUÍDO.
Aplicação do momento fletor em vigas biapoiadas sob carregamento uniforme para a
determinação da tensão por flexão máxima.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um projeto apresentará uma pequena viga de seção quadrada maciça de comprimento L = 4m
biapoiada em A e B, conforme a figura. Os apoios são de 1º e 2º gêneros.
 
Imagem: Julio CesarJosé Rodrigues Junior
No dimensionamento da viga, seu peso próprio será desprezado. O carregamento a que a viga
ficará submetida é uniformemente distribuído, tal que q = 2400N/m. A viga será constituída de
um material que suporta uma tensão de flexão máxima equivalente a 100MPa . O
engenheiro deseja saber o valor mínimo, em milímetros, da aresta da seção reta da viga.
RESOLUÇÃO
(σadmissível)
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA, SOB FLEXÃO,
COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO UNIFORME.
Aplicação do momento fletor máximo em uma viga sob carregamento distribuído para seu
dimensionamento, considerando a flexão pura.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - PERITO CRIMINAL - ENGENHARIA
MECÂNICA). A FÓRMULA DA FLEXÃO É DADA POR: E É
UTILIZADA PARA DETERMINAR A TENSÃO NORMAL EM UM MEMBRO
RETO, COM SEÇÃO TRANSVERSAL SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM
EIXO, E NO QUAL O MOMENTO SEJA APLICADO NO SENTIDO
PERPENDICULAR ÀQUELE EIXO. A MÁXIMA TENSÃO NORMAL
OCORRERÁ NO(S):
A) Ponto mais próximo do eixo neutro.
B) Eixo neutro.
C) Ponto mais afastado do eixo neutro.
D) Pontos acima do eixo neutro.
E) Pontos abaixo do eixo neutro.
σ = −
y.M
I
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - PERITO CRIMINAL -
ENGENHARIA CIVIL – ADAPTADA). CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA DE
SEÇÃO RETANGULAR CONSTANTE, SUBMETIDA A UMA CARGA
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA, REPRESENTADA NA FIGURA A
SEGUIR:
A TENSÃO NORMAL POR FLEXÃO MÁXIMA EM MÓDULO É IGUAL A:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. (FUNCAB - 2015 - PC-AC - Perito Criminal - Engenharia Mecânica). A fórmula da flexão
é dada por: e é utilizada para determinar a tensão normal em um membro
reto, com seção transversal simétrica em relação a um eixo, e no qual o momento seja
aplicado no sentido perpendicular àquele eixo. A máxima tensão normal ocorrerá no(s):
A alternativa "C " está correta.
 
A partir da expressão apresentada no problema, e como M e I são valores constante, a tensão
por flexão varia linearmente com a distância y do eixo neutro. Sendo assim, no eixo neutro a
tensão é nula e terá valor máximo no ponto mais afastado do eixo neutro.
σ =
4⋅q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ =
3⋅q⋅L2
8⋅b⋅h2
σ =
8⋅q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ =
3⋅q⋅L2
4⋅b⋅h2
σ =
q⋅L2
3⋅b⋅h2
σ = −
y.M
I
2. (FADESP - 2019 - CPC-RENATO CHAVES - Perito Criminal - Engenharia Civil –
adaptada). Considere a viga biapoiada de seção retangular constante, submetida a uma
carga uniformemente distribuída, representada na figura a seguir:
A tensão normal por flexão máxima em módulo é igual a:
A alternativa "D " está correta.
 
Momento fletor máximo em módulo é dado por:
O momento de inércia da seção retangular em relação ao eixo neutro é , e o
afastamento máximo da linha neutra é .
O módulo da tensão por flexão máxima é calculado por:
 
 
 
MÓDULO 3
 Calcular a linha elástica
Mmáximo =
q⋅L2
8
I = b⋅h
3
12
c = h
2
σmáx =
M⋅c
I
σmáx = →  smáx =
⋅
q⋅L2
8
h
2
b⋅h3
12
3⋅q⋅L2
4⋅b⋅h2
A LINHA ELÁSTICA.
A linha elástica de uma viga sob tipos distintos de vinculações e de carregamento será
apresentada. Aplicação das linhas elásticas para determinação das deflexões e inclinações
máximas.
INTRODUÇÃO
A partir deste ponto, o estudo de uma viga prismática ganha um elemento a mais a ser
considerado: a sua deflexão sob determinado carregamento. Particularmente, como foi para o
cálculo da tensão, o valor máximo da deflexão é de interesse para projetos. A figura 10
apresenta dois exemplos de linha elástica de uma viga.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 421.
 Figura 10 – Linha elástica de uma viga.
DEFLEXÕES EM UMA VIGA
 
Imagem: Shutterstock.com
Aqui será considerado um carregamento transversal à viga para a determinação de sua
deflexão ao longo do eixo longitudinal.
DE ACORDO COM HIBBELER (2010), O DIAGRAMA DA
DEFLEXÃO DO EIXO LONGITUDINAL QUE PASSA
PELO CENTROIDE DE CADA ÁREA DA SEÇÃO
TRANSVERSAL DA VIGA É DENOMINADO LINHA
ELÁSTICA.
A concavidade da linha elástica está associada ao “sinal” do momento e a convenção a ser
adotada no estudo é que momentos fletores positivos comprimem as fibras superiores e
tracionam as fibras inferiores. Para momento fletor negativo, ocorre o inverso. A figura 11
mostra a convenção adotada.
Veja a convenção adotada:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 11 – Convenção de sinais para o momento fletor.
Momentos fletores positivos levam a uma linha elástica com concavidade voltada “para cima”
(abertura para cima); momentos negativos levam a linha elástica a ter concavidade voltada
“para baixo” (abertura para baixo). Veja, na figura 12, o diagrama do momento fletor (DMF)
para um carregamento pontual e a associação à concavidade da linha elástica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 12 – DMF e concavidade da linha elástica de uma viga.
 ATENÇÃO
Note que, na linha elástica, existe um ponto denominado de inflexão cuja definição matemática
revela a transição de concavidade. O ponto de inflexão está associado ao valor nulo do
momento fletor. Atente também para a convenção de sinais para o deslocamento (positivo
acima da barra) e para a inclinação (positiva para ângulos agudos).
Considere uma viga tendo sua seção reta com simetria no eixo vertical e o regime elástico. O
raio de curvatura ( ) é uma função do momento fletor interno (M), do módulo de elasticidade
(E) do material, e do momento de inércia (I) em relação à linha neutra. Supondo que o
momento fletor (M), ao longo do eixo longitudinal (x), seja uma função M(x) com I e E
constantes, tem-se a equação 8 relacionando as grandezas descritas:
(equação 8)
ρ
=1ρ
M(x)
E⋅I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: A quantidade é denominada de curvatura.
Para o momento fletor constante ao longo do eixo x, tem-se , e a equação 8 pode
ser escrita como a equação 9:
(equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 SAIBA MAIS
O produto é denominado rigidez à flexão e depende do tipo de material (E) e da
geometria da seção reta (I).
A figura 13 mostra duas situações para o raio de curvatura da linha elástica. O raio de
curvatura segue o sinal do momento fletor positivo (convenção adotada). Assim, o raio de
curvatura será positivo para M positivo, e negativo, para M negativo.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
 Figura 13 – Raio de curvatura da linha elástica.
LINHA ELÁSTICA
1
ρ
M(x) = M
=1
ρ
M
E⋅I
E ⋅ I
Para efeitos de nomenclatura, a linha elástica será apresentada com a letra y, que é uma
função da abscissa x, ou seja, y(x). A inclinação da reta tangente à linha elástica será definida
como . Observe:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 422.
 Figura 14 – Linha elástica de uma viga.
 VOCÊ SABIA
A determinação da equação da linha elástica é feita a partir da resolução de uma equação
diferencial ordinária (EDO). A técnica empregada é a separação de variáveis, ou seja,
integrações sucessivas. Assim, constantes genéricas surgirão. Para a determinação de
constantes particulares (associadas ao carregamento particular), as condições de contorno
devem ser satisfeitas.
Fisicamente, tais condições são provenientes dos tipos de apoios da viga. Cada apoio impedirá
ou não deslocamentos verticais da viga e/ou rotações (inclinações). Ademais, podemos utilizar
condições para o momento fletor (M) e esforço cortante (V) no ponto. Observe na figura 15, as
condições de alguns apoios em relação aos deslocamentos vertical ( ) e rotacional ( ) do
ponto da linha elástica e M e V:
θ
Δ θ
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 425 - modificada.
 Figura 15 – Condições de contorno.
Obs.: A inclinação é igual 
É possível demonstrar que a EDO associada à linha elástica de uma viga é a EDO da equação
10, ou seja:
(equação 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações do momento fletor M(x), do esforço cortante V(x) e do carregamento w(x) se
relacionam, conforme expressões a seguir:
 
 
 
E 
 
 
θ
dy
dx
=
d2y
dx2M(x)
E⋅I
V (x)=
dM(x)
dx
−w(x)=
dV(x)
dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, é possível reescrever a equação 10.
(equação 11)
(equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 8.1 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS, BEER; JOHNSTON JR., 1995, P. 822.
Considere uma viga engastada em uma das extremidades e livre na outra (ver figura). A seção
reta é constante ao longo da viga e o material homogêneo:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Supondo o regime elástico, determine:
=
d3y
dx3
V (x)
E⋅I
=
d4y
dx4
−w(x)
E⋅I
A equação da linha elástica da viga quando uma carga constante e de módulo P é
aplicada na extremidade livre.
O deslocamento na extremidade livre.
A rotação (inclinação) na extremidade livre.
Solução
Inicialmente, é necessário escrever a função que descreve o momento fletor ao longo de x. A
partir do DCL (ver figura) de uma parte da barra, e aplicando-se a condição de equilíbrio
rotacional, tem-se:
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 822.
Equilíbrio rotacional
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na figura a seguir, há um croqui da linha elástica para a situação apresentada e as condições
de contorno na extremidade engastada:
∑MC = 0  → P ⋅ x + M = 0  → M(x)= −P ⋅ x
 
Imagem: Beer; Johnston Jr., 1995, p. 824.
Equação da linha elástica (equação 10):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo M(x) e integrando:
 
 
 
 (*)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO DE :
Na extremidade engastada (x = L), a inclinação é nula. Substituindo na equação (*):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
=
d2y
dx2
M(x)
E⋅I
=   → E ⋅ I = −P ⋅ x
d2y
dx2
−P .x
E⋅I
d2y
dx2
E ⋅ I = +  C1
dy
dx
−P .x2
2
C1
( )dy
dx
E ⋅ I ⋅ 0 = +  C1 →  C1 =  
−P .L2
2
P ⋅L2
2
Logo, a equação será:
 (**)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando a equação (**), tem-se:
 (***)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DETERMINAÇÃO DE :
Na extremidade engastada (x = L), o deslocamento (y) é nulo. Substituindo na equação (***):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação da linha elástica é:
 
 
 
 (****)
Deslocamento vertical na extremidade livre: Substituindo x = 0 na equação da linha
elástica (****), tem-se: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rotação na extremidade livre: Substituindo-se x = 0 na equação (**)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
E ⋅ I = +  
dy
dx
−P ⋅x2
2
P ⋅L2
2
E ⋅ I ⋅ y = + ⋅ x + C2
−P ⋅x3
6
P ⋅L2
2
C2
E ⋅ I ⋅ 0 = +   ⋅ L +  C2  →  C2 =  
−P ⋅L3
6
P ⋅L2
2
− P ⋅L3
3
y = ⋅( +   ⋅ x − )1
E.I
−P ⋅x3
6
P ⋅L2
2
 P .L3
3
y = ⋅ (−x3 +  3 ⋅ L2 ⋅ x − 2 ⋅ L3)P
6⋅E⋅I
yA =
−P ⋅L3
3⋅E⋅I
E ⋅ I ⋅ θA = +  
−P ⋅02
2
P ⋅L2
2
θA =  
  P ⋅L2
2⋅E⋅I
1. (CESGRANRIO - 2015 - PETROBRAS - PROFISSIONAL JÚNIOR -
ENGENHARIA MECÂNICA) A LINHA ELÁSTICA DE UMA VIGA
ENGASTADA-LIVRE, SUJEITA A UM CARREGAMENTO TRANSVERSAL
UNIFORME AO LONGO DE TODO O SEU VÃO, É REPRESENTADA POR
UM POLINÔMIO DE ORDEM:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. UMA VIGA PRISMÁTICA DE MATERIAL HOMOGÊNEA, DISPOSTA
HORIZONTALMENTE, ENCONTRA-SE ENGASTADA EM UMA DAS
EXTREMIDADES. NA EXTREMIDADE LIVRE É APLICADA UMA FORÇA
VERTICAL PARA BAIXO DE 1.200N. SUPONDO QUE O MATERIAL QUE
CONSTITUI A VIGA POSSUI MÓDULO DE ELASTICIDADE 80GPA E A
SEÇÃO RETA MOMENTO DE INÉRCIA, EM RELAÇÃO À LINHA NEUTRA, 
, DETERMINE EM MÓDULO O DESLOCAMENTO VERTICAL DA
EXTREMIDADE LIVRE. CONSIDERE O COMPRIMENTO DE 4M DA VIGA.
A) 4mm
B) 4,5mm
C) 5mm
D) 6mm
E) 7mm
8 ⋅ 10−5 m4
3. SUPONHA UMA VIGA DISPOSTA HORIZONTALMENTE ENGASTADA EM
UMA DAS EXTREMIDADES COM O COMPRIMENTO DE 2M. NA
EXTREMIDADE LIVRE É APLICADA UMA FORÇA VERTICAL PARA BAIXO
DE 4KN. SUPONDO A RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) CONSTANTE E IGUAL A 
 EM UNIDADES DO S.I., DETERMINE EM MÓDULO AS
INCLINAÇÕES NAS EXTREMIDADES DA VIGA:
A) 0 e 0,002 rad
B) 0,001 e 0,001 rad
C) 0 e 0,0001 rad
D) 0 e 0,001 rad
E) 0,0001 e 0,001 rad
4. UMA VIGA ENCONTRA-SE BIAPOIADA E COM UM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO (Q) AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO
L. SUPONDO QUE A SEÇÃO RETA SEJA CONSTANTE E O MATERIAL
HOMOGÊNEO, DETERMINE A EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA PARA A
SITUAÇÃO DESCRITA. CONSIDERE A RIGIDEZ À FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) 
B) 
C) 
8 ⋅ 106
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
4.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
12.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
24.E.I
D) 
E) 
5. CONSIDERE UM ELEMENTO ESTRUTURAL PRISMÁTICO (VIGA)
BIAPOIADO, DISPOSTO HORIZONTALMENTE E COM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO
L. SUPONDO QUE A SEÇÃO RETA SEJA CONSTANTE, O MATERIAL
HOMOGÊNEO E O REGIME ELÁSTICO, DETERMINE EM MÓDULO O
MAIOR DESLOCAMENTO VERTICAL DA VIGA. CONSIDERE A RIGIDEZ À
FLEXÃO IGUAL A E.I.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UMA ESTRUTURA METÁLICA QUE POSSUI ELEMENTOS
HORIZONTAIS E VERTICAIS. UM DOS ELEMENTOS HORIZONTAIS
APRESENTA-SE BIAPOIADO (APOIOS DE PRIMEIRO E SEGUNDO
GÊNEROS NAS EXTREMIDADES) SOB CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
Q, AO LONGO DE SEU COMPRIMENTO. O MATERIAL UTILIZADO É O
AÇO A 36 COM SEÇÃO RETA CONSTANTE, TAL QUE O PRODUTO DO
MOMENTO DE INÉRCIA (I) PELO MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) DO
AÇO É CONSTANTE. ASSIM, EM MÓDULO, AS INCLINAÇÕES NAS
EXTREMIDADES ONDE ENCONTRAM-SE OS APOIOS VALEM:
A) 
B) 
C) 
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)3q
8.E.I
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
6.E.I
y =
5q⋅L4
24⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
120⋅E⋅I
y =
q⋅.L4
120⋅E⋅I
y =
3⋅q⋅L4
384⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
384⋅E⋅I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
24.E.I
3q.L3
24.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
12.E.I
q.L3
24.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
24.E.I
q.L3
24.E.I
D) 
E) 
GABARITO
1. (CESGRANRIO - 2015 - Petrobras - Profissional Júnior - Engenharia Mecânica) A linha
elástica de uma viga engastada-livre, sujeita a um carregamento transversal uniforme ao
longo de todo o seu vão, é representada por um polinômio de ordem:
A alternativa "E " está correta.
A partir da EDO que descreve a linha elasticidade (equação 10), tem-se:
Para um carregamento uniformemente distribuído, o momento fletor atuante ao longo da viga é
uma função polinomial do 2º grau. Como serão feitas duas integrações, a linha elástica será do
4º grau.
2. Uma viga prismática de material homogênea, disposta horizontalmente, encontra-se
engastada em uma das extremidades. Na extremidade livre é aplicada uma força vertical
para baixo de 1.200N. Supondo que o material que constitui a viga possui módulo de
elasticidade 80GPa e a seção reta momento de inércia, em relação à linha neutra, 
, determine em módulo o deslocamento vertical da extremidade livre.
Considere o comprimento de 4m da viga.
A alternativa "A " está correta.
Seja uma viga engastada (comprimento L) e sob a ação de uma força concentrada P na
extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante. O deslocamento vertical é em módulo
igual a:
Substituindo os valores apresentados na questão:
3. Suponha uma viga disposta horizontalmente engastada em uma das extremidades
com o comprimento de 2m. Na extremidade livre é aplicada uma força vertical para baixo
de 4kN. Supondo a rigidez à flexão (E.I) constante e igual a em unidades do S.I.,
determine em módulo as inclinações nas extremidades da viga:
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
12.E.I
q.L3
12.E.I
θ1 =     e    θ2 =
q.L3
120.E.I
q.L3
120.E.I
=
d2y
dx2
M(x)
E⋅I
8 ⋅ 10−5 m4
ymáx =
P⋅L3
3⋅E⋅I
ymáx = = 0,004m = 4 mm
1200⋅43
3.80.109⋅8⋅10−5
8 ⋅ 106
A alternativa "D " está correta.
Considere uma viga engastada (comprimento L) e soba ação de uma força concentrada P na
extremidade livre, sendo a rigidez à flexão (E.I) constante. A inclinação na extremidade
engastada é zero e, na extremidade livre, tem módulo igual a:
Substituindo os valores apresentados na questão:
4. Uma viga encontra-se biapoiada e com um carregamento uniformemente distribuído
(q) ao longo de seu comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante e o
material homogêneo, determine a equação da linha elástica para a situação descrita.
Considere a rigidez à flexão igual a E.I.
A alternativa "C " está correta.
θA =  
  P.L2
2⋅E⋅I
θA = = 0,001 rad
  4000⋅22
2⋅ (8⋅10 )
6
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE VIGA
BIAPOIADA SOB CARREGAMENTO UNIFORME.
Demonstração da linha elástica para viga biapoiada com carregamento uniforme, a partir da
EDO e condições de contorno.
5. Considere um elemento estrutural prismático (viga) biapoiado, disposto
horizontalmente e com carregamento uniformemente distribuído q ao longo de seu
comprimento L. Supondo que a seção reta seja constante, o material homogêneo e o
regime elástico, determine em módulo o maior deslocamento vertical da viga. Considere
a rigidez à flexão igual a E.I.
A alternativa "E " está correta.
Para a situação descrita, a linha elástica é:
O deslocamento vertical máximo ocorre para . Substituindo na equação da linha
elástica, tem-se:
Em módulo, .
6. Considere uma estrutura metálica que possui elementos horizontais e verticais. Um
dos elementos horizontais apresenta-se biapoiado (apoios de primeiro e segundo
gêneros nas extremidades) sob carregamento distribuído q, ao longo de seu
comprimento. O material utilizado é o aço A 36 com seção reta constante, tal que o
produto do momento de inércia (I) pelo módulo de elasticidade (E) do aço é constante.
Assim, em módulo, as inclinações nas extremidades onde encontram-se os apoios
valem:
A alternativa "C " está correta.
A situação de carregamento e apoios apresenta a seguinte linha elástica:
Derivando em relação a x, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A inclinação é dada por . Nas extremidades, x = 0 e x = L. Substituindo na equação
anterior:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y = ⋅ (−x4 +  2 ⋅ L ⋅ x3 − L3 ⋅ x)q
24.E.I
x = L
2
y = ⋅(( )
4
+ 2 ⋅ L( )
3
− L3 ⋅( )) q
24⋅E⋅I
L
2
L
2
L
2
y = ⋅ (− +   − )q
24⋅E⋅I
L4
16
L4
4
L4
2
y =
−5q⋅L4
384⋅E⋅I
y =
5q⋅L4
384⋅E⋅I
y = ⋅ (−x4 + 2.L.x3 − L3.x)q
24.E.I
= ⋅ (−4.x3 +  6.L.x2 − L3)dy
dx
q
24.E.I
θ
dy
dx
θ1 = ⋅(−4. 03 + 6.L. 02 − L3)→ θ1 =
q
24.E.I
−q.L3
24.E.I
θ2 = ⋅(−4.L3 + 6.L.L2 − L3)→ θ2 =
q
24.E.I
q.L3
24.E.I
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em uma empresa de Engenharia, o projeto que está em desenvolvimento prevê uma viga AB,
de comprimento L, engastada em uma das extremidades e livre na outra com carregamento
uniformemente distribuído, conforme a figura:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A viga a ser utilizada é prismática com seção reta constante de material homogêneo de módulo
de elasticidade E. O momento de inércia da seção em relação à linha neutra é I (constante) e o
regime de trabalho desse elemento estrutural é o elástico. O engenheiro quer determinar a
linha elástica para o carregamento proposto e o deslocamento máximo.
RESOLUÇÃO
DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA DE UMA VIGA
ENGASTADA E SOB CARREGAMENTO UNIFORME.
A partir da equação diferencial (EDO) que rege a deformação elástica de uma viga, será
demonstrada a linha elástica e calculada a deflexão máxima.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SUPONHA AS DUAS SITUAÇÕES APRESENTADAS NA FIGURA.
CONSIDERANDO QUE AS BARRAS 1 E 2 APRESENTAM A MESMA
RIGIDEZ À FLEXÃO (E.I) E O COMPRIMENTO DA SEGUNDA É O DOBRO
DO COMPRIMENTO DA PRIMEIRA, A RAZÃO ENTRE OS
DESLOCAMENTOS DAS EXTREMIDADES LIVRES É:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. SEJA UMA VIGA SOB UM CARREGAMENTO GENÉRICO, TAL QUE O
MOMENTO FLETOR QUE ATUA NAS SEÇÕES INTERNAS É DESCRITO
POR UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 3º GRAU. ADOTANDO-SE AS
PREMISSAS DE REGIME ELÁSTICO, SEÇÃO CONSTANTE E MATERIAL
UNIFORME, A LINHA ELÁSTICA SERÁ DESCRITA POR UMA
A) função exponencial.
B) função constante.
C) função polinomial do 5º.
D) função polinomial do 4º.
E) função polinomial do 3º.
1
2
1
3
1
4
1
8
1
16
GABARITO
1. Suponha as duas situações apresentadas na figura. Considerando que as barras 1 e 2
apresentam a mesma rigidez à flexão (E.I) e o comprimento da segunda é o dobro do
comprimento da primeira, a razão entre os deslocamentos das extremidades livres é:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma viga engastada de comprimento L e sob a ação de uma força concentrada F na
extremidade livre, com rigidez à flexão (E.I) constante, o deslocamento vertical em módulo da
extremidade livre é igual a:
Para cada situação, apenas o comprimento varia. Assim:
A razão será:
2. Seja uma viga sob um carregamento genérico, tal que o momento fletor que atua nas
seções internas é descrito por uma função polinomial do 3º grau. Adotando-se as
premissas de regime elástico, seção constante e material uniforme, a linha elástica será
descrita por uma
A alternativa "C " está correta.
 
A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve a linha elasticidade é:
yextremidade   livre =
F.L3
3.E.I
y1 =     e    y2 =
F.L3
3.E.I
F.(2L)3
3.E.I
= =  
y1
y2
F.L3
3.E.I
F.8.L3
3.E.I
1
8
=
d2y
dx2
M(x)
E.I
O carregamento apresentado é tal que o momento fletor atuante ao longo da viga é uma
função polinomial do 3º grau. Como serão feitas duas integrações numa função do 3º grau, a
linha elástica será do 5º grau.
MÓDULO 4
 Formular o cisalhamento na flexão
O CISALHAMENTO NA FLEXÃO.
Apresentação da tensão cisalhante em uma seção de uma viga sob flexão.
INTRODUÇÃO
Este módulo apresentará a tensão de cisalhamento ao longo de uma seção reta de uma viga
submetida à flexão. Individualizando um elemento infinitesimal cúbico, percebe-se que a tensão
cisalhante atua nas quatro faces do cubo, conforme figura 16.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 16 – Distribuição cisalhante em uma viga sob flexão.
CISALHAMENTO EM ELEMENTOS
PRISMÁTICOS
A Figura 16 mostra que a tensão cisalhante de um elemento prismático sob flexão ocorre
também no plano perpendicular ao da seção reta. O entendimento físico dessa atuação pode
utilizar uma analogia, como faz o autor Hibbeler, em sua obra.
Suponha três tábuas empilhadas sem nenhum tipo de atrito entre elas. Ao se aplicar uma carga
concentrada P, o conjunto sofrerá uma flexão, e como as tábuas estão soltas, é possível o
deslizamento entre elas.
Caso as tábuas estivessem unidas, o deslizamento não ocorreria (haveria uma tendência).
Esse impedimento ao movimento é a ação da tensão cisalhante nas superfícies de união das
tábuas. Observe a figura 17.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 262.
 Figura 17 – Cisalhamento no plano longitudinal.
No estudo do cisalhamento de uma viga sob flexão, as seguintes premissas serão utilizadas:
regime elástico e deformação desprezível das seções transversais, mantendo-se planas. A
figura 18 mostra uma viga com a deformação real em que as seções retas deixam de ser
planas.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 263.
 Figura 18 – Cisalhamento no plano longitudinal.
EXPRESSÃO MATEMÁTICA PARA O
CISALHAMENTO
A demonstração da expressão que determina a tensão cisalhante ao longo da seção reta de
uma viga prismática, sob flexão, apresenta maior dificuldade matemática, visto que a
deformação por cisalhamento e a tensão cisalhante não apresentam, por exemplo, um
comportamento linear.
Seja a viga com um carregamento genérico, conforme ilustra a figura 19. Além, será
inicialmente considerada uma seção com geometria genérica:
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 19 – Carregamento genérico em uma viga biapoiada.
Da figura 19, isolando-se um comprimento infinitesimal dx da viga,tem-se a figura 20, que
apresenta uma série de informações:
LINHA NEUTRA (LN).
ESPESSURA T ONDE DESEJA-SE DETERMINAR A
TENSÃO CISALHANTE.
ÁREA A DA SEÇÃO TRANSVERSAL.
ÁREA A' DA SEÇÃO ACIMA DA LINHA T.
DISTÂNCIA ( ) DO CENTROIDE DA ÁREA A' À LINHA
NEUTRA.
DISTÂNCIA ( ) DA LINHA DE ESPESSURA T À LINHA
NEUTRA.
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 264.
 Figura 20 – Cisalhamento no plano longitudinal
Assim, a expressão que determina a tensão cisalhante ao longo da linha de espessura t é dada
pela equação 13.
(equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que V é o esforço cortante resultante na seção de estudo, e Q é o momento estático da
área A’, em relação à linha neutra. Relembrando, a expressão que calcula Q é dada pela
equação 14:
ȳ '
y'
τ =
V .Q
I.t
(equação 14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OBS.: A TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DA LINHA
DE ESPESSURA É UM VALOR MÉDIO,
CONSIDERANDO-SE, ASSIM, COMO CONSTANTE.
 EXEMPLO
Suponha uma viga biapoiada sob o carregamento mostrado na figura. A seção reta da viga é
um retângulo de base 100mm e altura 200mm.
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Considerando o corte indicado na figura, determine a tensão numa linha paralela ao eixo
neutro, a 50mm desse eixo.
Solução
Inicialmente, deve-se encontrar as reações nos apoios A e B a partir do equilíbrio da viga. Pela
simetria, . Fazendo o “corte” na região indicada e mostrando apenas
Q = ∫ ydA' =  ȳ '.A'
RA  =  RB  =  3. 000N
o esforço interno cortante, tem-se:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Do equilíbrio translacional do DCL, V = 3kN = 3.000N
Seção reta:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
Determinação do momento de inércia da seção reta em relação à linha neutra:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espessura da linha: t = 100mm = 0,1m
Área acima da linha t: 
Momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 13, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
I = = 6,67.10−5 m4
( 0,1 ) .(0,2)
3
12
A'   =  (0,1). (0,05)  =  5.  10 − 3m2
Q = ȳ ' ⋅ A' → Q = (0,075). 5. 10−3 = 3,75. 10−4m3
τ = = 0,16875 MPa
3000.(3,75. 10−4)
6,67.10−5.(0,1)
TENSÃO DE CISALHAMENTO EM SEÇÕES
USUAIS
No item anterior, foi apresentado o cálculo da tensão cisalhante para uma seção reta genérica.
A partir da expressão determinada na equação 13, é alcançada uma expressão que mostra,
por exemplo, como a tensão cisalhante varia ao longo de uma seção retangular/quadrangular.
Além disso, a partir da expressão matemática, será percebida a variação da tensão, ao longo
da altura da seção, além dos seus valores máximo e mínimo.
A SEÇÃO RETA A SER ESTUDADA É A RETANGULAR
DE BASE B E ALTURA H. NOTE QUE UM QUADRADO É
UM CASO PARTICULAR DO RETÂNGULO EM QUE B =
H = L.
Suponha a seção retangular de base (b) e altura (h) submetida à resultante dos esforços
cortantes V. Ademais, o momento de inércia da seção retangular em relação à linha neutra e
dado por . A figura a seguir apresenta um esboço da seção reta e alguns elementos
importantes:
 
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
A linha t, em destaque, tem espessura t = b. A área A’ acima dessa linha é determinada por:
I = b.h
3
12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da geometria da figura é possível escrever a expressão para :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O momento estático Q da área A’ em relação à linha neutra é dado por:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação 13:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, tem-se a equação 15:
A' =( − y). bh2
ȳ '
ȳ ' = y +   ⋅( − y)= ⋅( + y)12
h
2
1
2
h
2
Q = ȳ ' ⋅ A' → Q = ⋅( + y)⋅( − y)⋅b12
h
2
h
2
Q = ⋅( − y2)b2
h2
4
τ =
V ⋅ ⋅( −y2 )b2
h2
4
⋅bb.h
3
12
(equação 15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 15, é possível inferir que nas extremidades da seção reta da viga (
ou ) as tensões cisalhantes são nulas. Observe:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso, a expressão da equação 15 representa a função de uma parábola, ou seja, a
tensão cisalhante varia segundo uma função do 2º grau.
 ATENÇÃO
Para se determinar o valor máximo da tensão cisalhante, deriva-se a expressão 15 em relação
à variável y e iguala-se a zero.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Valor máximo da tensão cisalhante: substituir y = 0 (maximante) na equação 15, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
2
y = − h
2
τ = ⋅( − ( )2)→ τ = 06V
b.h3
h2
4
h
2
τ = ⋅( − (− )2)→ τ = 06V
b.h3
h2
4
h
2
= ⋅(0 − 2y)→ ⋅(0 − 2y)= 0 → y = 0dτ
dy
6V
b.h3
6V
b.h3
τmáxima = ⋅( − 02)= ⋅ = =6Vb.h3
h2
4
6V
b.h3
h2
4
3.V
2.b.h
3.V
2.A
A figura 21 tem um esboço da variação da tensão cisalhante ao longo da altura da seção reta
(equação 15):
 
Imagem: Hibbeler, 2010, p. 265.
 Figura 21 – Distribuição da tensão cisalhante.
MÃO NA MASSA
1. UMA VIGA BIAPOIADA DE 3M DE COMPRIMENTO ENCONTRA-SE SOB
UM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO Q = 2 KN/M. A
SEÇÃO RETA DA VIGA É UM RETÂNGULO DE BASE 120MM E ALTURA
300M. A FLEXÃO SOFRIDA PELA VIGA PROVOCA TENSÕES DE
CISALHAMENTO NA SEÇÃO DE ESTUDO. SOBRE ESSAS TENSÕES, SÃO
FEITAS AS SEGUINTES AFIRMATIVAS:
A VARIAÇÃO DA TENSÃO AO LONGO DO EIXO VERTICAL Y É
LINEAR, SENDO MÁXIMA NAS EXTREMIDADES E MÍNIMA NA LINHA
NEUTRA.
A VARIAÇÃO DA TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DO EIXO Y
VARIA SEGUNDO UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA.
OS VALORES MÍNIMOS DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO
ENCONTRAM-SE NAS FIBRAS SUPERIOR E INFERIOR DA VIGA.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas as afirmativas I e II.
C) Apenas a afirmativa I e III.
D) Apenas a afirmativa II e III.
E) Apenas a afirmativa III.
2. UMA VIGA RETANGULAR DE ÁREA COM DIMENSÕES 50MM POR
100MM ENCONTRA-SE BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
NA FORMA TRIANGULAR. UMA SEÇÃO FOI DEFINIDA PARA O ESTUDO
DAS TENSÕES CISALHANTE E O ESFORÇO CISALHANTE É DE 3KN.
DETERMINAR A TENSÃO DE CISALHANTE MÁXIMA:
A) 0,90MPa
B) 0,80MPa
C) 0,75MPa
D) 0,60MPa
E) 0,50MPa
3. CONSIDERE UMA VIGA BIAPOIADA DE SEÇÃO CIRCULAR E ÁREA A.
O ESFORÇO CORTANTE NA REGIÃO ANALISADA APRESENTA MÓDULO
V. DETERMINE A TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA, EM MÓDULO:
A) 
B) 
C) 
D) 
2V
3A
3V
2A
4V
3A
3V
4A
E) 
4. CONSIDERE A VIGA MOSTRADA NA FIGURA COMO PARTE DE UMA
ESTRUTURA EM EQUILÍBRIO. A SEÇÃO RETA DA VIGA É CONSTANTE E
TEM A FORMA DE UM RETÂNGULO DE BASE B E ALTURA H. EM DADA
SEÇÃO É FEITO UM “CORTE” PARA ESTUDO E O ESFORÇO CORTANTE
TEM MÓDULO V. QUE EXPRESSÃO DETERMINA A TENSÃO CISALHANTE
NUM PONTO LOCALIZADO A UMA DISTÂNCIA DE DA LINHA NEUTRA?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DUAS VIGAS MACIÇAS E DE SEÇÕES RETAS COM MESMA ÁREA A
ESTÃO SUBMETIDAS A CARREGAMENTO PARTICULARES. A PRIMEIRA
VIGA TEM SEÇÃO RETANGULAR, E A SEGUNDA VIGA, SEÇÃO
CIRCULAR. CONSIDERE QUE NAS DUAS SEÇÕES DE ESTUDO OS
ESFORÇOS CORTANTE TENHAM MESMO VALOR V. QUAL A RAZÃO
ENTRE AS TENSÕES CISALHANTES MÁXIMAS ATUANTES (NA SEÇÃO
CONSIDERADA) NA PRIMEIRA E NA SEGUNDA VIGAS:
A) 
V
A
h
3
3.V
2.b.h
4.V
3.b.h
6.V
5.b.h
5.V
6.b.h
1.V
6.b.h
9
16
B) 
C) 
D) 
E) 
6. (QUESTÃO 7.4 DO LIVRO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. HIBBELER,
2010, P. 272) SE A VIGA DE ABAS LARGAS FOR SUBMETIDA A UM
CISALHAMENTO V = 125KN, CONFORME A FIGURA, DETERMINE A
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA:
A) 8,74MPa
B) 10,25MPa
C) 14,89MPa
D) 16,52MPa
E) 19,87MPa
GABARITO
9
4
1
9
8
16
9
1. Uma viga biapoiada de 3m de comprimento encontra-sesob um carregamento
uniformemente distribuído q = 2 kN/m. A seção reta da viga é um retângulo de base
120mm e altura 300m. A flexão sofrida pela viga provoca tensões de cisalhamento na
seção de estudo. Sobre essas tensões, são feitas as seguintes afirmativas:
A variação da tensão ao longo do eixo vertical y é linear, sendo máxima nas
extremidades e mínima na linha neutra.
A variação da tensão cisalhante ao longo do eixo y varia segundo uma função
quadrática.
Os valores mínimos das tensões de cisalhamento encontram-se nas fibras superior
e inferior da viga.
A alternativa "D " está correta.
A equação 15 rege a distribuição da tensão cisalhante ao longo da seção:
A função é do 2º grau e não linear, e para ou (extremos da viga) a tensão
cisalhante é zero, logo mínima.
2. Uma viga retangular de área com dimensões 50mm por 100mm encontra-se biapoiada
com carregamento distribuído na forma triangular. Uma seção foi definida para o estudo
das tensões cisalhante e o esforço cisalhante é de 3kN. Determinar a tensão de
cisalhante máxima:
A alternativa "A " está correta.
A área A da seção retangular é . A expressão para tensão
máxima numa seção retangular é dada por:
3. Considere uma viga biapoiada de seção circular e área A. O esforço cortante na região
analisada apresenta módulo V. Determine a tensão cisalhante máxima, em módulo:
A alternativa "C " está correta.
Considere a seção circular a seguir. A tensão de cisalhamento ocorre no diâmetro da seção:
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
2
y = − h
2
A = 0, 05 × 0, 1  =  5. 10−3 m2
tmáxima = = 0,90 MPa
3.3000
2.(5.10−3)
Espessura da linha: t = 2R
Área 
Momento estático Q – lembrando que o centroide do semicírculo, em relação ao diâmetro, está
na posição . Logo, 
Momento de inércia I do círculo em relação ao eixo neutro: 
Substituindo na equação 13, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Considere a viga mostrada na figura como parte de uma estrutura em equilíbrio. A
seção reta da viga é constante e tem a forma de um retângulo de base b e altura h. Em
dada seção é feito um “corte” para estudo e o esforço cortante tem módulo V. Que
expressão determina a tensão cisalhante num ponto localizado a uma distância de da
linha neutra?
A' =
π.R2
2
ȳ' = 4R
3π
Q = ⋅ → Q =4R
3π
π.R2
2
2R3
3
I = π.R
4
4
τ = → τ = → τmáxima = =
V.Q
I.t
V⋅
2R3
3
⋅2R
π.R4
4
V⋅
2R3
3
⋅2R
π.R4
4
4.V
3.A
h
3
A alternativa "D " está correta.
A equação 15 determina a tensão cisalhante em qualquer ponto para uma seção retangular.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y é medido a partir da linha neutra. Para a questão, . Substituindo-se na equação
anterior, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Duas vigas maciças e de seções retas com mesma área A estão submetidas a
carregamento particulares. A primeira viga tem seção retangular, e a segunda viga,
seção circular. Considere que nas duas seções de estudo os esforços cortante tenham
mesmo valor V. Qual a razão entre as tensões cisalhantes máximas atuantes (na seção
considerada) na primeira e na segunda vigas:
A alternativa "D " está correta.
A tensão cisalhante máxima para a seção retangular é dada por , e para a seção
circular é dada por . Assim, a razão entre as tensões será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. (Questão 7.4 do livro Resistência dos Materiais. Hibbeler, 2010, p. 272) Se a viga de
abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125kN, conforme a figura, determine a
tensão de cisalhamento máxima:
τ = ⋅( − y2)6V
b.h3
h2
4
y = h
3
τ = ⋅( − ( )
2
)→ τ = ⋅( − 2)=6V
b.h3
h2
4
h
3
6V
b.h3
h2
4
h
9
5.V
6.b.h
τ = 3V
2A
τ' = 4V
3A
= =τ
τ'
3V
2A
4V
3A
9
8
A alternativa "E " está correta.
CÁLCULO DA TENSÃO CISALHANTE MÁXIMA NUMA
VIGA DE PERFIL T.
Determinação do local da seção T em que ocorre a tensão cisalhante máxima, e sua
determinação, a partir da expressão geral.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma estrutura metálica com seção circular reta de raio R será utilizada com uma viga em um
projeto. A fim de conhecer a distribuição das tensões cisalhante na seção reta dessa viga, o
engenheiro quer desenvolver uma expressão. Considere que para dada seção o esforço
cortante seja V.
RESOLUÇÃO
DEMONSTRAÇÃO DA EXPRESSÃO DA TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA EM SEÇÕES CIRCULARES.
APLICAÇÃO PARA A TENSÃO MÁXIMA.
A partir da fórmula geral para tensão cisalhante, será demonstrada uma expressão da tensão
cisalhante ao longo do raio de uma seção circular. Será utilizada a ferramenta matemática
integração.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE QUE UMA VIGA DE SEÇÃO CIRCULAR DE RAIO 20MM
ESTÁ SOB FLEXÃO, NO REGIME ELÁSTICO. A TENSÃO CISALHANTE
MÁXIMA É IGUAL A 6,00MPA. SE A VIGA FOR TROCADA POR OUTRA DE
RAIO 40MM, SOB AS MESMAS CONDIÇÕES, A TENSÃO CISALHANTE
MÁXIMA SERÁ:
A) 6,00MPa
B) 4,50MPa
C) 3,00MPa
D) 1,50MPa
E) 0,50MPa
2. UMA VIGA BIAPOIADA COM 2M DE COMPRIMENTO ESTÁ SOB UM
CARREGAMENTO UNIFORME. EM DADA SEÇÃO O ESFORÇO CORTANTE
É DE 12KN. SUPONDO QUE A SEÇÃO RETA SEJA UM RETÂNGULO DE
BASE 200MM E ALTURA 250MM, DETERMINE A TENSÃO CISALHANTE
MÁXIMA:
A) 1,00MPa
B) 0,80MPa
C) 0,50MPa
D) 0,36MPa
E) 0,25MPa
GABARITO
1. Considere que uma viga de seção circular de raio 20mm está sob flexão, no regime
elástico. A tensão cisalhante máxima é igual a 6,00MPa. Se a viga for trocada por outra
de raio 40mm, sob as mesmas condições, a tensão cisalhante máxima será:
A alternativa "D " está correta.
 
Para uma seção circular, a tensão máxima é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A razão entre as tensões cisalhantes é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma viga biapoiada com 2m de comprimento está sob um carregamento uniforme. Em
dada seção o esforço cortante é de 12kN. Supondo que a seção reta seja um retângulo
de base 200mm e altura 250mm, determine a tensão cisalhante máxima:
A alternativa "D " está correta.
τmáxima =  
4.V
3.π.R2
= → = → τ' = 1 ,50 MPa6
τ'
4V
3.π.(20)2
4V
3.π.(40)2
6
τ'
1600
400
 
Para uma seção retangular, a tensão máxima é dada por:
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Vimos os principais aspectos da flexão pura em elementos prismáticos (vigas). Inicialmente
apresentamos os efeitos nas fibras (compressão e tração) e a região de transição, a linha
neutra ou eixo neutro.
Na sequência, as expressões para o cálculo das tensões mínima e máxima por flexão foram
apresentadas, além da variação linear dessa tensão ao longo da altura da seção reta
submetida à flexão.
Posteriormente, vimos a equação da linha elástica de vigas sob flexão, e a exemplificação de
várias situações, como vigas biapoiadas e engastadas com carregamentos distintos; além
disso, inclinações e deflexões máximas foram determinadas.
Por fim, fizemos a análise das tensões cisalhantes em elementos sob flexão e para seções
usuais, e apresentamos expressões particulares.
τmáxima =  
3.V
2A
τmáxima =   = 0,36  = 0,36 MPa
3.(12.000)
2. ( 200 ) .(250)
N
mm2
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson
Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e métodos básicos. 2 ed. Rio de Janeiro:
Elsevier, 2010.
EXPLORE+
Para desenvolver os conceitos aqui abordados:
Pratique os exercícios (páginas 339 a 343) da terceira edição do livro Resistência dos
Materiais (indicado nas referências).
Complemente o estudo de tensões cisalhantes em elementos sob flexão (páginas 493 a
495) do livro Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática, de Johnston Jr. e Ferdinand
P. Beer.
Complemente o estudoda linha elástica nas tabelas (páginas 586 e 587) do livro
Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler (indicado nas referências).
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior