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Termodinâmica
IFSUL – Campus Sapucaia do Sul Prof. Dr. Enio C. M. Fagundes
Capítulo 4
Análise de Volume e
Controle de Energia
Conservação de Massa para um Volume de Controle
O balanço da taxa de massa para volumes de controle com fluxo de
entrada e saída de massa é dado por:
Taxa de variação da
massa no interior do
volume de controle no
instante t
Fluxo de massa
através da entrada,
no instante t
Fluxo de massa
através da saída, no
instante t
-=
d mvc = ṁe - ṁs
dt As letras com pontos denotam taxas
temporais.
No SI todos os termos são expressos em
kg/s.
Em unidade inglesa é lb/s.
i = input (em inglês) e = exit (em inglês) 
entrada saída
Para n entradas e saídas
Entrada e
Saída s
<<<< Princípio da conservação de massa
e= entradas ou i = 
input (em inglês)
s= saídas ou e = exit
(em inglês)
s
e
e
s
Para o volume de controle tem-se:
( )vc
V
m t dV 
Para analisar a massa entrando e saindo do volume de controle, vc, 
tem-se :
quantidade de 
massa
cruzando dA 
durante o 
intervalo de tempo
Δt
 nV t dA 
taxa 
instantânea
de fluxo de 
massa 
cruzando dA
nV dA
<< Vazão mássica
Vazão mássica
Onde:
Vn = velocidade
Vn t = altura
dA = área
Integração ao longo do volume, V, no instante t
[(Kg/m3)(m/s).(s).(m2)= kg]
[(Kg/m3)(m/s).(m2)= kg/s]
Formas do balanço de massa em termos de taxa
Para escoamento unidimensional
-Escoamento normal a fronteira nas posições onde a massa entra ou
sai do volume de controle (vc).
-Todas as propriedades intensivas, incluindo velocidade e massa
específica, são uniformes com relação a posição ao longo das áreas de
entrada ou saída onde a massa escoa.
Escoamento unidimensional
Escoamento unidimensional em termos do volume específico
Área (A) em m2, velocidade (V) em m/s, AV em m3/s 
o volume espec. (v) em m3/kg e a vazão mássica em kg/s
vc e e s s
e se s
dm AV AV
dt  
  
<< Princípio da conservação de massa para
escoamento unidimensional
Como: v = 1/
Exemplo de escoamento unidimensional
i - Inlet = entrada
e – exit = saída
Balanço da taxa de massa para regime permanente
O volume de controle está em regime permanente quando
nenhuma propriedade varia com o tempo
Neste caso a taxa de entrada de massa é igual a taxa de saída
As taxas totais de vazão mássicas nas entradas e saídas iguais
não garantem o regime permanente, pois outras propriedades
(como T, p) podem estar variando com o tempo. No regime
permanente cada propriedade é independente do tempo.
Formulação integral do balanço da taxa de massa
A massa total contida em um vc em um instante t pode estar 
relacionada com a massa específica pela seguinte relação:
Integrando tem-se:
Conservação de energia para um volume de controle (vc)
Balanço da taxa de energia para um volume de controle
taxa 
temporal
de variação
de energia 
contida no 
interior do 
volume de 
controle no 
instante t
taxa
líquida de
transferência
de energia
por calor
No instante t
taxa líquida
de energia
para o 
volume
de controle
Junto com o 
fluxo de 
massa
= -
taxa
líquida de
transferência
de energia
por trabalho
No instante t
+
Princípio de conservação de energia aplicado a um volume de controle
Um vc com uma entrada e uma saída com escoamento
unidimensional
Variações de u, EC e EP dos fluxos de entrada e saída, se houver
ui = energia interna específica de entrada
ue = energia interna específica de saída
Vi = velocidade de entrada
Ve = velocidade de saída
zi = altura de entrada
ze= altura de saída
Entrada e
Saída s
s
s
s
e
e
e
e
e
s
s
Figura utilizada para expressão da equação anterior
Altura 
de 
entrada
Altura 
de saída
Trabalho para um volume de controle
O trabalho na unidade de tempo Ẇ pode ser dividido em 2 
parcelas:
-trabalho associado à pressão do fluido devido à entrada e saída 
de massa.
- outras contribuições, Ẇvc , tais como veios rotativos,
deslocamentos da fronteira, efeitos elétricos.
  sss VAp
Taxa de transferência de
energia por trabalho do
volume de controle na saída.
( )e e ep A V
taxa de transferência de
energia por trabalho do
volume de controle na entrada
Veja as unidades:
[N/m2 . m2 . m/s = N.m/s = J/s = W ] 
Outras formas de trabalho
Obs:
Sinal (+) termo na saída, 
energia sendo transferida para 
fora do volume de controle
Sinal (–) termo na entrada, 
energia sendo transferida para 
o volume de controle
Onde:
pe ou pi = pressão
Ae ou Ai = área
Ve ou Vi= velocidade
Note que:
.v = AVLogo,
Balanço de energia
Substituindo 1 em 2 e rearranjando as equações tem-se:
Usando a definição de entalpia:
Forma geral do princípio da conservação de energia para vc
Nota: - Denota a transferência de calor no volume de controle
(1)
(2)
Volumes de controle em regime permanente
Balanço das taxas de massa e energia – regime permanente
No volume de controle em regime permanente a massa no interior
das fronteiras não se altera com o tempo. As vazões mássicas, as taxas
de transferência de energia por calor e trabalho por tempo também
são constantes com o tempo.
Em regime permanente
Energia Entrando Energia Saindo
<<<< importante
Se houver apenas uma única saída, 2, e uma única entrada, 1, o
balanço de massa reduz-se a ou apenas
A vazão mássica na saída 2 é a mesma da entrada 1
Considerações do volume de controle em regime permanente
Quando os problemas são complexos é preciso listar cuidadosamente todas as
hipóteses de análise.
Muitas vezes, quando usamos a hipótese de regime permanente as propriedades
flutuam levemente entre seus valores médios, por isso deve-se observar:
Se não há variação líquida de energia e massa total no VC;
Se as médias temporais das vazões, transferências, propriedades que cruzam a
fronteira são constantes;
Importante quando 
há apenas uma 
entrada e uma saída.
A hipótese do escoamento unidimensional é também muito
comum, tanto que já fica implícita.
Em muitos exercícios desconsidera-se a parcela de troca por
calor, isso ocorre geralmente quando:
- A superfície exterior do VC é bem isolada;
-A área de superfície externa é pequena e não permite a
transferência de calor;
-A diferença de temperatura entre o VC e as vizinhanças é
pequena;
-O fluído escoa tão rápido que não há tempo suficiente para
a troca de calor
Exemplos de aplicações
Bocais e difusores
Um bocal é um duto com área de seção reta variável na qual a velocidade de um gás
ou líquido aumenta na direção do escoamento (V2 > V1).
Em um difusor o líquido ou gás se desacelera na direção do escoamento (V1 > V2).
bocal difusor
Conforme a velocidade aumenta a pressão
diminui e o oposto também é válido.
Um bocal pode estar presente em uma mangueira
de jardim. Existem aplicações como túnel de
vento, dutos de passagem de ar, componentes
para motores turbojatos
Túnel de vento
bocal difusor
Equações para bocais e difusores em regime permanente
 
 2 21 2
1 20
2
V V
h h

  
O único trabalho é o de escoamento, logo desaparece da equação
O termo é sempre muito pequeno comparado a variação de
entalpia
Apesar destas considerações levar a equações mais simples , inicie sempre com a equação 
geral e despreze os termos que se igualam a zero conforme o enunciado do problema.
Vapor d’água entra em um bocal convergente-divergente isolado que
opera em regime permanente e a uma velocidade de 10 m/s. O vapor
escoa através do bocal sem transferência de calor e sem nenhuma
variação significativa da energia potencial. Determine a área de saída
do bocal em m². Os demais dados são apresentados no desenho
abaixo.
Modelo:
1. O vc está em regime permanente
2. A transferência de calor é desprezível e =0
3. A variação de energia potencial entre a entrada e a saída pode ser 
desprezada
A área de saída pode ser determinada pela vazão mássica que é 
dada por:
Para determinar A2 utiliza-se a equação abaixo de onde se obtém a entalpia h2.
Utilizar a tabela A-4 para obter h1= 3213,6 kJ/kg. A partir daí determina-se v2.
 
 2 21 2
1 20
2
V V
h h

  
h2 = 3213,6x103 + ((102 – 6652)/2) = 2992537,5 J/kg = 2992,5 kJ/kg
ou
Note que:
Utilizando a tabela A-4 para p2= 15 bar , 
e o valor calculado de h2. Pode-se obter 
v2= 0,1627m
3/kg.
Substituindo na equação:
Note que se desejar a temperatura T2 = 280 °C
Equações para turbinas
Uma turbina é um dispositivo que desenvolve potência em função da
passagem de gás ou líquido escoando através de uma série de pás colocadas
em um eixo que se encontra livre para girar.
Turbina a vapor ou a gás de fluxo axial
Turbina hidráulica instalada em um dique
Vapor d’água superaquecido
ou um gás entra na turbina e
se expande até uma pressão
inferior de acordo com a
potência gerada
A água que cai pela hélice causa
rotação do eixo, gerando
potência.
Turbinas a vapor e a gás
Nestes casos a variação de EC e EP da matéria escoando através da
fronteira podem ser muito pequenas sendo as vezes desprezadas. A
potência, a entalpia e a transferência de calor permanecem na
equação.
(h1 –h2)
Como a transferência de calor é uma quantidade pequena quando
comparada aos termos relacionados a potência e a entalpia a equação
fica:
= (h1 –h2)
Obs: Analisar o problema e verificar se estas simplificações procedem
Exemplo 4.4 – O vapor d’água entra em uma turbina operando em regime
permanente com uma vazão mássica de 4600 kg/h. A turbina desenvolve
uma potência de 1000 kW. Na entrada , a pressão é 60 bar, a temperatura
é 400 °C e a velocidade é 10 m/s. Na saída a pressão é 0,1 bar, o título 0,9
e a velocidade é 50 m/s. Calcule a taxa de transferência de calor entre a
turbina e a vizinhança em kW.
Considerações:
O vc está em regime permanente
EP = 0
Cálculo da transferência de calor
Isolando e fazendo EP = 0
Pela tabela A-4 determina-se h2 – h1. Onde h1 = 3177,2 kJ/kg. Para o estado 
2, mistura bifásica líquido-vapor dado o título ver tabela A-3. 
Calculo de 
1000.103 + 1,28.[-831800 + (502 – 10 2)/2] = - 63168 W = - 63,1 kW
= 4600/3600= 1,28 kg/s
=-831800 J/kg
Obs: cuide os sinais na equação
Compressores e bombas
São dispositivos nos quais o trabalho é realizado sobre a substância em
escoamento ao longo dos mesmos, de forma a mudar o estado da substância
, normalmente para aumentar a pressão e ou promover a elevação da mesma.
O termo compressor é usado quando a substância é um gás (ou vapor) e o
termo bomba quando a substância é um líquido.
Compressores:
a) Fluxo axial
b) Centrífugo
c) De lóbulo
Compressor alternativo
Compressores de fluxo axial – podem ser usados em motores de avião por
exemplo. Compressores são usados em refrigeração, bombas de calor, em
sistemas de potência a vapor
Bombas são usadas para enchimento de torres de água, remoção de água,
etc.
Balanço de massa e energia para compressores e bombas
Da mesma forma que as turbinas a equação pode ser simplificada.
(h1 –h2)
A transferência de calor com a vizinhança pode ser desprezada.
(h1 –h2)
Para as bombas a transferência de calor é secundário, mas a variação de EC e
EP podem ser significativos dependendo da aplicação. Cada problema deve
ser analisado antes de simplificar a equação.
Para compressores e bombas o valor é negativo, porque uma potência 
de entrada é necessária.
=
Exemplo 4.5 - Ar é admitido em um compressor que opera em regime
permanente, com uma pressão de 1 bar, temperatura de 290 K e uma
velocidade de 6 m/s através de uma entrada cuja área é 0,1 m2. Na saída a
pressão é de 7 bar, a temperatura é 450 K, a velocidade é 2 m/s. A
transferência de calor do compressor para sua vizinhança ocorre a uma taxa
de 180 kJ/min. Empregando o modelo de gás ideal, calcule a potência de
entrada do compressor em kW.
Considerações:
Vc em regime permanente
Variação EP = 0
Aplicar modelo de gás ideal
Balanço de energia
+=
O fluxo de massa:
= A1V1/v1
Como pv = RT, isola-se v e substitui: v = RT/p
As entalpias h1 e h2 são encontradas na tabela A-22 e substitui-se na expressão 
para 
Lembrar que
v1=(8314/28,97).(290/1x10
5)
v1= 0,8323 m3/kg
Ou alternativamente, utilizando as unidades no SI
= (-180x103/60) + 0,72(290,16x103 – 451,8x103) + (62 – 22/2)
= - 119480 J/s (ou W)
= - 119,4 kW
Exemplo 4.6- Uma bomba em regime permanente
conduz água de um lago, com uma vazão volumétrica de 0,83 m3/min, através de um
tubo com 12 cm de diâmetro de entrada.
A água é distribuída através de uma mangueira acoplada a um bocal convergente. O
bocal de saída possui 3 cm de diâmetro e está localizado a 10 m acima da entrada do
tubo. A água entra a 20°C e 1 atm, e sai sem variação significativa da temperatura ou
pressão. A ordem de grandeza da taxa de transferência de calor da bomba para a
vizinhança é 5% da potência de entrada. Se g= 9,81 m/s2. Determine: (a) velocidade da
água na entrada e na saída e (b) a potência requerida pela bomba em kW.
Volume de controle – bomba,
entrada do tubo e mangueira.
Volume de controle em regime
permanente.
Transferência de calor = 5% da
potência de entrada.
água líquida: v=vf(T), h=hf(T).
Balanço da taxa de massa em regime permanente : vazão mássica de entrada e 
saída são iguais. Da tabela A-2 :
= AV/v = (0,83/60)/1,0018.10-3= 13,8 kg/s
Velocidades V1 e V2:
V1 = .v/A1 = (13,8 . 1,0018.10
-3)/(pi.(0,062) = 1,22m/s
V2 = .v/A2 = (13,8 . 1,0018.10
-3)/(pi.(0,0152) = 19,56m/s
Calculo da potência:
Como = 0,05. então: 
= /0,95
= (13,8/0,95).[0 + (1,222 – 19,562)/2 + 9,81(0 -10) = -4193 W
água líquida: h=hf(T).
Não há variação de h
0,050=
Trocadores de calor
Possuem inúmeras aplicações, como aquecimento doméstico,
sistemas de resfriamento, sistemas automotivos, etc.
Tipos usuais de trocadores 
de calor:
a) De contato direto
b) Duplo tubo 
contracorrente
c) Duplo tubo em 
escoamento paralelo
d) De fluxo cruzado
Um aquecedor de água de alimentação aberto é um componente de
sistemas de potência a vapor que usa trocador do tipo a.
Trocadores de calor do tipo b e c são também conhecidos como
recuperadores.
Trocador do tipo d são usados em radiadores de automóveis em
condensadores e evaporadores.
Balanço de energia de trocadores de calor
Os trocadores podem envolver múltiplas entradas e saídas. O único trabalho
é dado pelo escoamento onde a matéria entra e sai. O termo
desaparece do balanço de energia. A variação de EC e a EP podem
ser ignoradas nas entradas e saídas.
hi - he
i = input = entrada
e = exit = saída
Como a transferência de calor com a vizinhança é pequena, o termo 
também desaparece da equação. 
Vapor d’água entra no condensador de uma instalação de potência a vapor a
0,1 bar com um título de 0,95 e sai do condensador a 0,1 bar e 45°C. A água
de resfriamento entra no condensador como um outro fluxo na forma líquida
a 20°C e sai como líquido a 35°C, sem variação de pressão. A transferência de
calor no exterior do condensador e as variações de energia cinética e
potencial dos fluxos podem ser ignoradas. Para uma operação em regime
permanente, determine: (a) a razão entre a vazão mássica da água de
resfriamento e da que se condensa e (b) a taxa de transferência de energia
entre os fluidos, em kJ/kg de vapor que escoa através do condensador.
Considerações:
Os dois vc estão em
regime permanente
Considere
Variação EP e EC = 0
Nos estados 2, 3 e 4
Os fluxos de vapor d’água e da água de resfriamento não se misturam. O 
balanço da taxa de massa para os fluxos em regime permanente fica:
a) A razão entre a vazão mássica da água de resfriamento e a do vapor que se
condensa, pode ser determinada com a eq abaixo, aplicado ao condensador
como um todo.
Os termos sublinhados
se anulam
A entalpia específica pode ser determinada usando o título e os dados da tabela A-3.
Note que: 1 e 3 são entradas e 2 e 4 são saídas
h2 é dada por . h3 e h4 da mesma forma 
b) Para um vc englobando apenas o vapor do condensador, em regime
permanente:
Os termos sublinhados
se anulam
O sinal (-) mostra que a energia é transferida do vapor que se condensa para a
água de resfriamento.Ver na tabela A-2. h4 = 146,68 kJ/kg e h3= 83,96 kJ/kg 
Os componentes eletrônicos de um computador são resfriados pelo
escoamento de ar através de um ventilador montado na entrada do
gabinete. Considere regime permanente. Para o controle de ruídos,
a velocidade do ar não deve exceder 1,3 m/s. A temperatura de
saída deve ficar abaixo de 32°C. Os componentes eletrônicos e o
ventilador recebem 80 W e 18 W, respectivamente de potência
elétrica determine o diâmetro mínimo de entrada de ar do
ventilador.
Considerações:
Vc está em regime permanente
Variações de EC e EP = 0
Ar considerado gás ideal e 
cp = 1,005 kJ/kg.K
A área da entrada de ar é dada por:
Balanço de energia:
Excluindo os termos nulos:
A potência total é: = (- 80) + (-18) = - 98 W
Considerando o gás ideal:
Introduzindo a expressão para A1 e substituindo v pela expressão de gás ideal:
A1 = (1/1,3).[98/1005.(305-293)].[(8314/28,97).293]/1.105 = 5,2.10-3 m2
h = cp . T
p.v = .T
A1=pi.r2 r=(A1/pi)1/2 D1=2.r D= 2.0,04068 = 0,08 m 
Forma opcional
Calcula a vazão mássica
= 98 /(1,005x103(306 -293)) = 8,13x10-3 kg/s
Calcula o volume específico
p.v = .T v=( (8314/28,97).393)/1x105 = 0,84 m3/kg
Calcula a área 1
= 8,13x10-3. 0,84/ 1,3 = 5,2X10-3 m2
O cálculo do diâmetro 1 é igual ao já feito
Dispositivos de estrangulamento
Uma redução apreciável de pressão pode ser obtida por introdução de uma
restrição na linha pela qual um gás ou líquido escoa. Pode-se utilizar para esta
finalidade uma válvula parcialmente aberta ou um tampão poroso.
Balanço de energia para dispositivos de estrangulamento
O único trabalho é dado pelo escoamento onde a massa entra e sai. O termo
desaparece do balanço de energia. Não existe troca de calor significativa . A
variação de EC e a EP podem ser ignoradas nas entradas e saídas.
Considerando muito pequenas as variações de EC da substância em escoamento , a
equação fica reduzida a: (p2 < p1)
Exemplo – uma linha de alimentação carrega vapor d’água em uma mistura bifásica
líquido-vapor a 20 bar. Uma pequena fração do escoamento é desviada para um
calorímetro de estrangulamento e descarregada para a atmosfera a 1 bar. A
temperatura do vapor de exaustão é medida como sendo 120°C . Determine o
título do vapor d’água na linha de alimentação.
Considerações:
Vc em regime
permanente.
O vapor desviado sofre
estrangulamento.
Pelo diagrama p-v o estado 1 encontra-se na região bifásica líquido-vapor e o 
estado 2 encontra-se na região de vapor superaquecido.
Isolando x1 e tomando os dados da tabela A-3 :
e da tabela A-4: 
1 bar e 120ºC, h2= 2716,6 kJ/kg
Errado no livrox = 2716,6 – 908,79 = 0,956 
2799,5 – 908,79
Integração de sistemas
Geralmente os sistema estudados são combinados. Os mesmos devem ser
combinados de modo a atingirem o objetivo desejado, com um custo mínimo.
A figura abaixo mostra um exemplo de uma instalação de potência a vapor
simples, que consiste de 4 componentes em série: a turbina acoplada a um
gerador, o condensador, a bomba e a caldeira.
Exemplo- um processo industrial descarrega produtos de combustão a 478 K, 1 bar
com uma taxa de 69,78 kg/s. Conforme ilustrado na figura , propõe-se um sistema
que combina um gerador de vapor com uma turbina para a recuperação de calor dos
produtos de combustão. Em regime permanente, os produtos de combustão saem
do gerador de vapor a 400 K, 1 bar. Um fluxo de água , entra a 0,275 MPa, e a 38,9 °C
, com um taxa de fluxo de 2,079 kg/s. Na saída da turbina, a pressão é 0,07 bar e o
título é de 93%. A transferência de calor das superfícies externas do gerador de vapor
e da turbina pode ser ignorada juntamente com as variações de EC e EP das
correntes em escoamento. Não existe uma perda de carga significativa da água que
escoa no gerador de vapor. Os produtos de combustão podem ser modelados com
comportamento ideal. Determine (a) a potência desenvolvida em kJ/s.
Considerações:
Vc em regime permanente
Transf. Calor , variação EC e EP é
desprezível
Não há perda de carga
Os gases são ideais
a) A potência desenvolvida pela turbina é determinada por um vc englobando
simultaneamente o gerador de vapor e a turbina. Já que as correntes de gás e
água não se misturam , os balanços das taxas de massa para cada uma dessas
correntes se reduzem, respectivamente, a
Para este vc, em regime permanente:
Os termos sublinhados se
anulam
As entalpias específicas podem ser encontradas na tabela A-22
No estado 3 a água é um líquido, pela tabela A-2
Obtido por interpolação
No estado 5 a água está em duas fases: líquido –vapor, pela tabela A-3
Substituindo os valores na expressão 
hf e hg são obtidos por 
interpolação
Formulário capítulo 4
Vazão mássica
Regime permanente
Balanço de energia para apenas 
uma entrada e uma saída
(p2 < p1)
Para dispositivos de 
estrangulamento o 
balanço de energia 
se reduz a
Balanço de energia
Balanço de massa