equaçoes ea diferença transformada Z

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DESCRIÇÃO
Amostragem de sinais temporais. Sinais contínuos e discretos. Sistemas lineares discretos. Equações a diferenças. Convolução de sinais discretos. Transformada Z. Propriedades úteis da Transformada Z unilateral. Transformada Z inversa. Método das frações parciais e método da divisão direta. Funções de transferência no domínio Z e mapeamento de polos e zeros no plano Z.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos de equações a diferenças, convolução e Transformada Z, visando a análise e a aplicação no controle de sistemas lineares discretos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar conceitos relacionados à teoria de amostragem de sinais temporais de sistemas dinâmicos
MÓDULO 2
Reconhecer sistemas lineares discretos e aplicar equações a diferenças em análise de sistemas lineares discretos
MÓDULO 3
Definir a Transformada Z de sinais temporais discretos
MÓDULO 4
Formular modelos de sistemas dinâmicos, a serem analisados e controlados, através de funções de transferência no domínio Z
MÓDULO 1
Identificar conceitos relacionados à teoria de amostragem de sinais temporais de sistemas dinâmicos
INTRODUÇÃO
Nas décadas de 30 a 50, várias técnicas ligadas à teoria de sistemas de controle foram desenvolvidas, a maioria delas no domínio da frequência. Contudo, na década de 60 os sistemas reais ficaram mais complexos, e essas técnicas tornaram-se limitadas considerando os problemas que surgiram.
A corrida espacial e a Guerra Fria também motivaram o desenvolvimento de novas técnicas capazes de tratar problemas mais complexos, cujos sistemas envolvidos possuíam várias entradas e saídas. Na Figura 1 é ilustrada uma cena da missão Apollo 12 em novembro de 1969.
Fonte: https://www.nasa.gov/mission_pages/apollo/40th/images/apollo_image_14.htmlFigura 1 – Astronauta na lua. Fonte: NASA
O surgimento e desenvolvimento dos computadores com maiores capacidades de armazenamento e de processamento possibilitou o desenvolvimento de novas técnicas de controle de sistemas dinâmicos no domínio do tempo.
Em diversas áreas da Engenharia, como a de Sistemas de Controle, sinais de grandezas físicas que variam continuamente no tempo necessitam ser amostrados, ou seja, medidos em intervalos de tempo constantes, denominados de Período de Amostragem.
Neste contexto, os sinais, ao serem amostrados, são convertidos de um domínio temporal contínuo para um domínio discreto.
Neste módulo serão apresentados conceitos de sinais discretos e de amostragem.
AMOSTRAGEM DE SINAIS TEMPORAIS
VOCÊ SABE O QUE SIGNIFICA O TERMO AMOSTRAGEM?
RESPOSTA
Amostrar um sinal significa, na prática, converter um sinal de uma função que varia continuamente no tempo para um domínio temporal discreto. Ao amostrar um sinal, é gerada uma sequência numérica com os valores correspondentes aos da função temporal contínua, em intervalos de tempo constantes.
Fonte: O autor.Figura 2 - Sinais temporais de uma função. (a) Contínuo
Na Figura 2 (a) é apresentado como exemplo o gráfico de um sinal temporal contínuo de um sistema dinâmico.
Fonte: O autor.Figura 2 – Sinais temporais de uma função. (b) Discreto
Na Figura 2 (b), vemos o correspondente sinal temporal discreto, obtido por meio da amostragem do sinal contínuo com o mesmo intervalo de tempo entre duas amostras consecutivas.
O intervalo de tempo constante que distancia duas amostras consecutivas do sinal discreto e, consequentemente, da sequência numérica obtida é denominado de Período de Amostragem TS.
A denominação TS, comumente utilizada em livros nacionais, decorre da expressão inglesa sampling period, que significa período de amostragem.
Como você já deve ter notado, o sinal discreto resultante do processo de amostragem é uma sequência numérica. O sinal discreto ilustrado na Figura 2 (b) é definido pela seguinte sequência x(n):
x(n) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível perceber que o período de Amostragem TS de um intervalo de tempo It de uma sequência discreta com Na amostras é definido por:
TS=ItNa-1            1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar a compreensão, na Figura 3 é apresentado um sinal contínuo e o seu correspondente discreto. Esse simples exemplo gráfico serve para facilitar a nossa compreensão da relação apresentada em (1).
É possível notar que o Período de Amostragem Ts = 2s, é igual ao intervalo de tempo It = 6s dividido por 3, que corresponde ao número de amostras subtraído de uma unidade (Na - 1 = 3).
Fonte: Produção interna.Figura 3 - Sinal contínuo e o seu correspondente discreto.
QUAL É O MOTIVO DE ADOÇÃO DE UM PERÍODO DE AMOSTRAGEM FIXO, OU SEJA, QUE NÃO VARIA ENTRE DUAS AMOSTRAS CONSECUTIVAS?
RESPOSTA
Na verdade, existem outras possibilidades de amostragem de um sinal contínuo, em que o período de amostragem não é constante e periódico, como tratado. A amostragem também pode ser aleatória, isto é, quando os instantes de amostragem são aleatórios.
A amostragem pode ainda possuir múltiplas taxas de amostragens. São os casos em que o sistema de controle possui diferentes laços com constantes de tempo distintas. Nesses casos, pode-se optar por amostrar os sinais com frequências diferentes, considerando o que é mais adequado para cada laço.
Por questões didáticas e por ser a forma tratada na maioria das aplicações de controle, neste tema, será considerada apenas a amostragem periódica, em que os instantes de amostragem são igualmente espaçados.
AMOSTRADOR E BLOQUEADOR
Em algumas aplicações de Sistemas de Controle, os sinais de grandezas físicas, que variam continuamente no tempo, necessitam ser amostrados e convertidos em lógica digital para serem processados por um microprocessador ou um computador digital.
Os sinais são medidos em intervalos de tempo constantes, denominados de Período de Amostragem, e necessitam que os seus valores se mantenham estáveis, durante esses intervalos, para serem processados.
Ao serem amostrados, os sinais são convertidos de um domínio temporal contínuo para um domínio discreto, e os seus valores devem permanecer estáveis até o próximo instante de tempo. Essas duas tarefas são executadas pelo amostrador e pelo bloqueador, respectivamente.
Amostrador
O amostrador funciona como uma chave eletrônica que se abre e fecha em intervalos constantes definidos do TS, armazenando o valor numérico da grandeza continua no instante considerado.
Bloqueador
O bloqueador é o componente que interpola os valores numéricos entre dois intervalos de tempo do período de amostragem TS.
Em outras palavras, o bloqueador é um circuito que estabelece uma função temporal entre duas amostras de uma sequência discreta, ou seja, pode ser percebido como um componente que constrói um sinal contínuo a partir de um sinal discreto.
O bloqueador é também denominado na literatura como Segurador (do inglês Hold). Basicamente, são classificados como de ordem zero, um e dois. Essa classificação está associada à ordem do polinômio que o caracteriza.
Na Figura 4, são ilustradas as ações desses dois componentes. O sinal temporal contínuo é discretizado pelo amostrador e, em seguida, é gerado um sinal contínuo por partes, pelo bloqueador de ordem zero, em intervalos iguais ao período de amostragem TS.
Fonte: Produção interna.Figura 4 – Processamento de um sinal temporal.
EXEMPLO
Obter a sequência numérica g(n) por meio da amostragem da função f(t) = 2t+3, que corresponde a um sinal de controle de um sistema de suspensão veicular, no intervalo de tempo de 0 a 10 segundos, com período de amostragem TS = 1s.
Solução
O gráfico da função f(t) é uma reta com inclinação positiva, como pode ser observado na Figura 5:
Fonte: Produção interna.Figura 5 – Gráfico da f(t) = 2t + 3
Neste caso, é possível obter os valores da sequência de duas maneiras distintas, a primeira por meio da substituição dos valores de tempo discreto e, a segunda, por avaliação gráfica.
Os valores da função em intervalos constantes, relativos ao período de amostragem TS = 1s, são apresentados na tabela a seguir:
Tabela 1 – Valores discretos dafunção f(t) = 2t + 3
	Tempo
	Valor correspondente de f(t)
	0
	f(0) = 2(0)+3 = 3s
	1
	f(1) = 2(1)+3 = 5s
	2
	f(2) = 2(2)+3 = 7s
	3
	f(3) = 2(3)+3 = 9s
	4
	f(4) = 2(4)+3 = 11s
	5
	f(5) = 2(5)+3 = 13s
	6
	f(6) = 2(6)+3 = 15s
	7
	f(7) = 2(7)+3 = 17s
	8
	f(8) = 2(8)+3 = 19s
	9
	f(9) = 2(9)+3 = 21s
	10
	f(10) = 2(10)+3 = 23s
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Os valores apresentados na segunda coluna foram obtidos por meio de substituição algébrica dos valores de t na função f(t)=2(t)+3.
A sequência desejada é igual a g(n) = [3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23].
Como citado, é possível obter os valores por meio de observação gráfica.
Utilizando o gráfico apresentado na Figura 5, é possível identificar os elementos da sequência g(n). A Figura 6, apresentada a seguir, ilustra os valores da sequência, que estão enfatizados na cor vermelha.
Fonte: Produção interna.Figura 6
É possível perceber, visualmente, que os valores da sequência desejada são iguais aos obtidos algebricamente, ou seja, g(n) = [3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23].
ATENÇÃO
Nesse exemplo, como o gráfico da função f(x) é uma reta, é possível notar que uma quantidade maior ou menor de pontos amostrados na reta não comprometeria completamente a avaliação sobre o comportamento da função temporal. Contudo, essa afirmação não pode ser generalizada.
A escolha do período de amostragem é um importante passo em processamento digital de sinais e em problemas de análise e síntese de controle.
O exemplo trabalhado na seção Teoria na Prática, ajudará a consolidar essa afirmação.
TEORIA NA PRÁTICA
Representar o gráfico de um sinal temporal discreto, obtido por meio da amostragem de 50 valores de amplitude do sinal de tensão de um equipamento de comunicações, definido pela função g(x) = sen(x), igualmente espaçadas, no intervalo de 0 a 4π rad. Analisar o que acontece quando a quantidade de amostras é reduzida para 20 e depois para 5.
RESOLUÇÃO
Do gráfico da função g(x) = sen(x), apresentado na Figura 4, é possível perceber que o intervalo definido contém dois períodos da função senoidal.
Fonte: Produção interna.Figura 7 – Sinal contínuo
Ao amostrar o sinal senoidal contínuo, em cinquenta amostras, o resultado obtido é:
Fonte: Produção interna.Figura 8 – Sinal discreto
É possível perceber que o comportamento da função discreta é semelhante à contínua. Nesse caso, o número de amostras foi suficiente para compreendermos o comportamento da função.
Diante disso, se o número de amostras utilizadas for reduzido para vinte, o resultado obtido ainda será capaz de reproduzir o comportamento da função senoidal, mas com menor exatidão. Isto pode ser observado na Figura 9.
Fonte: Produção interna.Figura 9
Entretanto, se forem amostrados apenas cinco valores do sinal senoidal contínuo, igualmente espaçados, o resultado gráfico não mais será capaz de reproduzir o comportamento da função contínua de maneira satisfatória. Na Figura 10, é mostrado o resultado dessa opção. O comportamento neste caso se assemelha a uma reta.
Fonte: Produção interna.Figura 10
Veja, a seguir, mais informações sobre Amostragem de um sinal senoidal:
MÃO NA MASSA
Parte superior do formulário
1. CONSIDERE QUE EM UM SINAL DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE TEMPERATURA SEJA DESCRITO PELA SEGUINTE FUNÇÃO: U(T) = SEN(T). UM ENGENHEIRO DESEJA OBTER 50 AMOSTRAS DESSE SINAL, IGUALMENTE ESPAÇADAS, NO INTERVALO DE 0 A 4Π RAD. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR APROXIMADO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM ADEQUADO PARA ESSA FINALIDADE:
0,2512 rad
0,1256 rad
0,2563 rad
0,1281 rad
0,5024 rad
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM OS CINCO PRIMEIROS VALORES DO SINAL DISCRETO, GERADO A PARTIR DA AMOSTRAGEM DE UM SINAL DE CONTROLE CONTÍNUO, DEFINIDO PELA FUNÇÃO F(T)=5T-9, NO INTERVALO DE TEMPO DE 0 A 20 SEGUNDOS, COM PERÍODO DE AMOSTRAGEM TS =2S.
[1   11   21   1   41]
[-9,00   -8,47   -7,94   -7,42   -6,89]
[-9   1   11   21   31]
[-9   -4   1   6   11]
[9   -4   -1   6   -11]
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. CONSIDERE OS SEGUINTES SINAIS TEMPORAIS:
	SINAL A
	SINAL B
	SINAL C
	
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
	
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
	
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA ABAIXO QUE CORRESPONDE, RESPECTIVAMENTE, AOS SINAIS DAS SAÍDAS DE UM AMOSTRADOR E DE UM BLOQUEADOR:
SINAL A e SINAL B
SINAL C e SINAL A
SINAL C e SINAL B
SINAL B e SINAL A
SINAL B e SINAL C
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. CONSIDERE AS SEGUINTES AFIRMATIVAS:
I - OS SINAIS TEMPORAIS AO SEREM AMOSTRADOS SÃO CONVERTIDOS DE UM DOMÍNIO TEMPORAL CONTÍNUO PARA UM DOMÍNIO DISCRETO.
II - O BLOQUEADOR DE ORDEM ZERO RECEBE ESSA DENOMINAÇÃO POR USAR UM POLINÔMIO DE ORDEM ZERO PARA MANTER CONSTANTE O VALOR DO SINAL DURANTE O INTERVALO DE UM PERÍODO DE AMOSTRAGEM.
III - O AMOSTRADOR É O COMPONENTE QUE INTERPOLA OS VALORES NUMÉRICOS ENTRE DOIS INTERVALOS DE TEMPO DO PERÍODO DE AMOSTRAGEM.
ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA COM AS AFIRMATIVAS CORRETAS:
Apenas I e II
Apenas I e III
Apenas II e III
Apenas I
Todas as afirmativas estão corretas
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. DE ACORDO COM A TEORIA DE AMOSTRAGEM, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA CORRETA.
Os períodos de amostragens dos sinais dos diversos laços de um sistema devem ser sempre fixos, ou seja, devem ser todos iguais.
O amostrador funciona como um componente que interpola os valores numéricos entre dois intervalos de tempo do período de amostragem TS.
A partir da década de 60, com o desenvolvimento dos computadores de maior capacidade de memória e processamento, foi possível iniciar o desenvolvimento de técnicas de controle no domínio da frequência.
A amostragem pode possuir múltiplas taxas de amostragens para os casos em que o sistema de controle possui diferentes laços com constantes de tempo distintas.
A evolução da capacidade de computação e de armazenamento dos computadores nas últimas décadas resolveu o problema de armazenamento e processamento de dados. Com isso, atualmente, é possível utilizar um número qualquer de dados para processamento em tempo real.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM OS TRÊS PRIMEIROS VALORES DO SINAL DISCRETO GERADO A PARTIR DA AMOSTRAGEM DE UM SINAL DE CONTROLE CONTÍNUO, DEFINIDO PELA FUNÇÃO F(T) = 2SENT + 3COST, NO INTERVALO DE TEMPO DE 0 A 2Π SEGUNDOS, COM PERÍODO DE AMOSTRAGEM TS = Π/6.
[3,0000   -3,0000   3,0000]
[3,0000   3,5981   3,2321]
[-1,0000   -0,2212   0,6420]
[3,0000   2,0000   -3,0000]
[1,0000   0,0000   -1,0000]
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Considere que em um sinal de um sistema de controle de temperatura seja descrito pela seguinte função: u(t) = sen(t). Um engenheiro deseja obter 50 amostras desse sinal, igualmente espaçadas, no intervalo de 0 a 4π rad. Assinale a alternativa que apresenta o valor aproximado do período de amostragem adequado para essa finalidade:
A alternativa "C " está correta.
O período de amostragem será igual ao valor do intervalo total, 4π, dividido por 49, que é a quantidade de amostras menos um. Equivale a aproximadamente 0,2563 rad.
2. Assinale a alternativa que contém os cinco primeiros valores do sinal discreto, gerado a partir da amostragem de um sinal de controle contínuo, definido pela função f(t)=5t-9, no intervalo de tempo de 0 a 20 segundos, com período de amostragem TS =2s.
A alternativa "C " está correta.
Substituindo os valores de t=[0 2 4 6 8], obtidos com o período de amostragem igual a 2 segundos, na função f(t) = 5t-9, chega-se aos valores [-9 1 11 21 31].
f(0) = 5(0)-9 = -9
f(2) = 5(2)-9 = 1
f(4) = 5(4)-9 = 11
f(6) = 5(6)-9 = 21
f(8) = 5(8)-9 = 31
3. Considere os seguintes sinais temporais:
	SINAL A
	SINAL B
	SINAL C
	
Fonte: Produção interna.
	
Fonte: Produção interna.
	
Fonte: Produção interna.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontalAssinale a alternativa abaixo que corresponde, respectivamente, aos sinais das saídas de um amostrador e de um bloqueador:
A alternativa "D " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
4. Considere as seguintes afirmativas:
I - Os sinais temporais ao serem amostrados são convertidos de um domínio temporal contínuo para um domínio discreto.
II - O bloqueador de ordem zero recebe essa denominação por usar um polinômio de ordem zero para manter constante o valor do sinal durante o intervalo de um período de amostragem.
III - O amostrador é o componente que interpola os valores numéricos entre dois intervalos de tempo do período de amostragem.
Assinale a única alternativa com as afirmativas corretas:
A alternativa "A " está correta.
As duas primeiras alternativas estão corretas e a terceira está errada, porque o componente que interpola os valores numéricos entre dois intervalos de tempo do período de amostragem é o bloqueador e não o amostrador.
5. De acordo com a teoria de amostragem, assinale a única alternativa correta.
A alternativa "D " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
6. Assinale a alternativa que contém os três primeiros valores do sinal discreto gerado a partir da amostragem de um sinal de controle contínuo, definido pela função f(t) = 2sent + 3cost, no intervalo de tempo de 0 a 2π segundos, com período de amostragem TS = π/6.
A alternativa "B " está correta.
Substituindo os valores de t=[0 TS 2TS], obtidos com o período de amostragem igual a TS = 2π/6 = 0.,5236, na função f(t) = 2sent + 3cost, chega-se aos valores [3,0000 3,5981 3,2321].
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM OS TRÊS PRIMEIROS VALORES DO SINAL DISCRETO GERADO A PARTIR DA AMOSTRAGEM DE UM SINAL DE CONTROLE CONTÍNUO, DEFINIDO PELA FUNÇÃO F(T) = SENT - COST, NO INTERVALO DE TEMPO DE 0 A 2Π SEGUNDOS, CONSIDERANDO QUE O PERÍODO DE AMOSTRAGEM TS FOI DEFINIDO DE FORMA A GERAR UM SINAL DISCRETO COM 10 AMOSTRAS NESTE INTERVALO.
[-1,0000    -0,0000    1,0000]
[-1,0000    -0,1233    0,8111]
[-1,0000    -0,2212    0,6420]
[1,0000    0,1233    -0,8112]
[1,0000    0,0000    -1,0000]
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. CONSIDERE O SEGUINTE GRÁFICO DO SINAL DE CONTROLE DE UM SISTEMA DINÂMICO NO INTERVALO DE 12 SEGUNDOS.
FONTE: PRODUÇÃO INTERNA.
SE ESTE SINAL CONTÍNUO FOR AMOSTRADO 9 VEZES, EM INSTANTES DE AMOSTRAGEM IGUALMENTE ESPAÇADOS, A SEQUÊNCIA NUMÉRICA CORRESPONDENTE AOS VALORES NUMÉRICOS DO SINAL DISCRETO RESULTANTE SERÁ DADA POR:
[0    1,5    3    4,5    6    7,5    9    10,5    12]
[1,33    2,66    4,00    5,33    6,66    8,00    9,33    10,66    12,00]
[0    2,66    5,33    8,00    10,66    10,00    6,00    2,00    -6,00]
[0    3    6    9    12    7,5    3    -1,5    -6]
[0    4    6    8    10    12    6    0    -6]
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Assinale a alternativa que contém os três primeiros valores do sinal discreto gerado a partir da amostragem de um sinal de controle contínuo, definido pela função f(t) = sent - cost, no intervalo de tempo de 0 a 2π segundos, considerando que o período de amostragem TS foi definido de forma a gerar um sinal discreto com 10 amostras neste intervalo.
A alternativa "B " está correta.
Substituindo os valores de t=[0 TS 2TS], obtidos com o período de amostragem igual a TS = 2π/9 = 0,6981, na função f(t) = sent - cost, chega-se aos valores [-1.0000 -0,1233 0,8112], da seguinte forma:
f(0)=sen(0)-cos(0)=-1
f(0,6981)=sen(0,6981)-cos(0,6981)=-0,1233
f(2·0,6981)=sen(2·0,6981)-cos(2·0,6981)=0,8111
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2. Considere o seguinte gráfico do sinal de controle de um sistema dinâmico no intervalo de 12 segundos.
Fonte: Produção interna.
Se este sinal contínuo for amostrado 9 vezes, em instantes de amostragem igualmente espaçados, a sequência numérica correspondente aos valores numéricos do sinal discreto resultante será dada por:
A alternativa "D " está correta.
Para determinar o período de amostragem, pegamos o tempo total e dividimos pelo número de amostragem menos 1, ou seja:
128=1,5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isto é, temos 8 intervalos de 1,5.
Agora, vamos utilizar o gráfico dado no enunciado e verificar quais são as amplitudes correspondentes aos tempos tomados em um intervalo de 1,5 s, partindo do zero. Para tal, observe a tabela abaixo:
	t(s)
	A
	0
	0
	1,5
	3
	3
	6
	4,5
	9
	6,0
	12
	7,5
	7,5
	9,0
	3
	10,5
	-1,5
	12
	-6
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Assim, temos que a sequência numérica resultante é aquela encontrada para a amplitude:
[0 3 6 9 12 7,5 3 -1,5 -6]
MÓDULO 2
Reconhecer sistemas lineares discretos e aplicar equações a diferenças em análise de sistemas lineares discretos
INTRODUÇÃO: SEQUÊNCIAS BÁSICAS
Em diversas aplicações de engenharia, ao amostrar um sinal contínuo, é gerada uma sequência numérica com os valores correspondentes aos da função temporal contínua, em intervalos de tempo constantes.
Uma sequência discreta é função discreta que assume valores numéricos para cada valor de n. É definida como um conjunto de números da seguinte forma:
x ≜ {x(n)} = {x(1),x(2),⋯}
As sequências, a seguir, são alguns exemplos:
x1(n)=[0    2    4    6]
x2(n)=[1357]
g(n)=[-4  -12   -20   -28]
y(n)=[1    5    9    14]
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Algumas operações algébricas podem ser realizadas com as sequências. Por exemplo, é possível somar sequências. A sequência y(n) foi obtida a partir da soma de x1 (n) com x2 (n).
y(n)=x1(n)+x2(n)
y(n)=[0  2  4  6]+[1  3  5  7]
y(n)=[(0+1)  (2+3)  (4+5)  (6+7)]
y(n)=[1  5  9  13]
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Uma sequência pode ser obtida por meio da multiplicação de uma sequência por um escalar. Por exemplo:
g(n)=-4×x2(n)=[-4-12-20-28]
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A seguir, vejamos algumas sequências básicas que são amplamente utilizadas.
FUNÇÃO AMOSTRA UNITÁRIA
A função amostra unitária δ(n), também é denominada impulso discreto, matematicamente é definida como:
δn=0   para n≠01   para n=0
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Fonte: Produção interna.Figura 11 – Amostra Unitária
Assim como outras funções matemáticas, um impulso também pode ser defasado no tempo. Um impulso deslocado de k unidades para a direita é escrito da seguinte maneira: δ(n-k).
Por exemplo, na Figura 12 são apresentados dois impulsos deslocados: δ(n+2) e δ(n-5).
Fonte: Produção interna.Figura 12 – Exemplos de amostras unitárias deslocadas: δ(n+2) e δ(n-5)
A função δ(n) possui significativa importância. Utilizando o recurso da defasagem e multiplicando-a por constantes adequadas, é possível representar os elementos que definem as demais sequências, ou seja, a função δ(n) possibilita a definição matemática de outras sequências.
Uma sequência qualquer x(n) pode então ser escrita como:
xn=∑k=-∞∞xkδn-k
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FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO
A função degrau unitário u(n) é definida matematicamente como:
un=0   para n<01   para n≥0
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Na Figura 13 é apresentado o gráfico da função degrau unitário no intervalo n = [-2, 5].
Fonte: Produção interna.Figura 13 – Função Degrau Unitário
SISTEMAS LINEARES DISCRETOS
Um sistema linear discreto é um sistema dinâmico cujos sinais temporais variam apenas em instantes de tempo discretos, múltiplos do período de amostragem, ou seja, em kTs, em que k = 0, 1, 2, …
Um sistema em malha fechada controlado por um computador é um exemplo de um sistema de controle que opera com sinais discretos. Uma maneira de interpretar um sistema linear discreto é defini-lo como sendo uma transformação linear sobre uma sequência para geraruma outra.
Neste caso, a sequência u(n) é a entrada do sistema discreto e a sequência y(n) é a resposta desse sistema à excitação da entrada u(n). A figura a seguir ilustra essa operação:
Fonte: Produção interna.Figura 14 – Sistema Discreto
ATENÇÃO
A resposta de um sistema discreto a uma entrada do tipo impulso unitário δ(n) é denominada de resposta ao impulso h(n). Esta resposta é importante na análise de sistemas de controle, pois serve para simularmos a resposta do sistema a outra entrada.
EQUAÇÕES A DIFERENÇAS
A dinâmica de um sistema dinâmico linear no domínio do tempo discreto, com entrada u(n) e saída y(n), pode ser representada por uma equação a diferenças.
Um modelo discreto com equações à diferença é o autorregressivo (AR), definido da seguinte maneira (AGUIRRE, 2007):
y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+⋯+amyy(n-my)
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Outro modelo utilizado é o autorregressivo com entrada exógena (ARX). Neste modelo, constam também termos relacionados a uma entrada u(n) (AGUIRRE, 2007):
y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+⋯+amyy(n-my)+b1u(n-1)+⋯+bmuu(n-mu)
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DICA
A solução dessa equação pode ser calculada de duas maneiras, por meio da recursividade ou pela aplicação da Transformada Z.
Por exemplo, considere que a saída de um sistema dinâmico seja representada pela seguinte equação a diferenças:
y(n)-0,5y(n-1)=x(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que a entrada x(n) do sistema é um degrau unitário e y(-1)=4.
A equação a diferenças pode ser escrita isolando a saída y(n) no lado esquerdo da igualdade, da seguinte forma:
y(n)=x(n)+0,5y(n-1)
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Os valores correspondentes à saída y(n) podem ser calculados recursivamente.
Então, por exemplo:
PARA N = 0
y(0)=x(0)+0,5y(0-1)
y(0)=1+2=3
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PARA N = 1
y(1)=x(1)+0,5y(1-1)
y(1)=1+1,5=2,5
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PARA N = 2
y(2)=x(2)+0,5y(2-1)
y(2)=1+1,25=2,25
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PARA N = 3
y(3)=x(3)+0,5y(3-1)
(3)=1+1,125=2,125
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É possível perceber que para cada valor de n obtem-se um valor correspondente a y(n) e que esse valor depende do sinal de entrada u(n) no instante de tempo n. Assim, podemos concluir que o sistema linear discreto realiza uma transformação linear sobre uma sequência para gerar uma outra. A partir da sequência numérica u(n) obtém-se, por meio de uma transformação linear, a sequência y(n).
CONVOLUÇÃO DE SINAIS DISCRETOS
No estudo de sistemas dinâmicos, a operação matemática denominada de convolução é uma importante ferramenta, pois é por meio dela que obtemos a resposta temporal de um sistema dinâmico a dada excitação na sua entrada.
A saída de um sistema linear discreto é resultado de uma Convolução Discreta do sinal de entrada com a resposta do sistema ao impulso.
A Convolução no domínio discreto é definida da seguinte forma:
yn=un*hn =∑k=-∞∞ukhn-k
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O número de elementos da convolução de duas sequências de tamanhos N e M é dado por:
Nr=N+M-1
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Ilustraremos, nos exemplos a seguir, três maneiras de calcular a convolução discreta de duas sequências:
DEFINIÇÃO APRESENTADA
Para o cálculo da convolução por meio da definição apresentada, considere duas sequências:
x1(n)=[3    4]
x2(n)=[1    2]
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A figura, a seguir, apresenta a convolução dessas duas sequências à medida que o tempo evolui.
Fonte: Produção interna.Figura 15 – Convolução de duas sequências
Na convolução discreta, uma sequência permanece fixa e a outra é invertida para serem realizados os produtos dos elementos. Neste exemplo, a sequência x2 (n) foi invertida e se desloca a cada instante de tempo para que os seus elementos sejam multiplicados pelos elementos da sequência x1 (n), e os resultados dos produtos são somados.
Por exemplo:
para n = 0:
y(0)=1×3=3
Para n = 1:
y(1)=(1×4)+(2×3)=10
Para n = 2:
y(2)=(2×4)=8
Os elementos da sequência resultante da convolução y(n), a partir da definição apresentada, são dados por:
y(n)=[3   10   8]
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PRODUTO DE
POLINÔMIOS
A segunda maneira de calcular os elementos da convolução é por meio dos produtos dos polinômios, cujos coeficientes correspondem aos elementos das sequências x1 (n) e x2 (n).
Temos que:
x1(n)=3x+4
x2(n)=x+2
Logo, para encontrarmos o resultado da convolução, basta multiplicarmos os dois polinômios. Então:
h(n)=x1(n)x2(n)=(3x+4)(x+2)
h(n)=3x(x+2)+4(x+2)
Pela propriedade distributiva:
h(n)=(3x2+6x)+(4x+8)
Somando os termos de mesma potência, chega-se a:
h(n)=3x2+10x+8
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Na qual os coeficientes correspondem aos mesmos elementos obtidos pela abordagem anterior.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA
COMO SENDO A SOMA DE IMPULSOS UNITÁRIOS DESLOCADOS
Na terceira abordagem alternativa, para o cálculo da convolução, é necessário utilizar as seguintes propriedades:
a) A convolução de uma sequência x(n) com o impulso unitário resulta na própria sequência x(n).
x(n)*δ(n)=x(n)
b) A convolução de uma sequência x(n) com o impluso unitário deslocado de k unidades para a direita resulta na própria sequência x(n) deslocada de k unidades para a direita.
x(n)*δ(n-k)=x(n-k)
c) A convolução de uma sequência x(n) com o impluso unitário deslocado de k unidades para a direita resulta na própria sequência x(n) deslocada de k unidades para a direita.
x(n)*δ(n+k)=x(n+k)
Para compreendermos as três propriedades citadas, basta calcularmos a convolução de uma sequência qualquer com outra com apenas um elemento igual à unidade.
Calcule novamente os dois exemplos anteriores alterando uma das sequências, por exemplo, fazendo: x2 (n)=[1]. O resultado encontrado deverá ser igual a x1 (n). Após, recalcule utilizando x2 (n)=[0 0 1] e verifique o que acontece.
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TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que o sinal de controle de um controlador discreto de um sistema de controle de temperatura de um forno elétrico seja obtido por meio da convolução das seguintes sequências:
x1 (n) = [0 2 4 6 8]
x2 (n) = [1 3 5 7]
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Neste exemplo, deseja-se calcular os elementos da sequência resultante, h(n), a partir da representação de uma das sequências como sendo a soma de impulsos unitários deslocados.
Como os números de elemento das sequências x1 (n) e x2 (n) são respectivamente N = 4 e M = 5, logo, o número de elementos de h(n) será igual a:
Nr=N+M-1
Nr=4+5-1
Nr=8
Inicialmente, escreveremos a segunda sequência x2 (n) como sendo a soma de impulsos deslocados:
x2(n)=δ(n)+3δ(n-1)+5δ(n-2)+7δ(n-3)
Temos que:
h(n)=x1(n)*x2(n)=
h(n)=x1(n)+3x1(n-1)+5x1(n-2)+7x1(n-3)=
Em seguida, calcularemos os elementos de cada termo da soma acima:
x1(n)=[0 2 4 6 8]
3x1(n-1)=3×[0 0 2 4 6 8]=[0 0 6 1 2 1 8 2 4]
5x1(n-2)=5×[0 0 0 2 4 6 8]=[0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0]
7x1(n-3)=7×[0 0 0 0 2 4 6 8]=[0 0 0 0 1 4 2 8 4 2 5 6]
Para obter o resultado da convolução, basta somar os resultados acima:
h(n)=[0  2  10  28  60  82  82  56]
Cabe a você, para fins de comparação, calcular a convolução por meio da aplicação do conceito e por multiplicação de polinômios.
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RESOLUÇÃO
Veja, a seguir, mais informações sobre Convolução utilizando representação com amostras unitárias:
MÃO NA MASSA
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1. SE UM ALUNO CRIAR DUAS SEQUÊNCIASNUMÉRICAS COM OS TRÊS PRIMEIROS DÍGITOS NUMÉRICOS DE SUA MATRÍCULA DA UNIVERSIDADE E COM OS QUATRO ÚLTIMOS, É CERTO QUE A CONVOLUÇÃO DESSAS DUAS SEQUÊNCIAS RESULTARÁ NUMA NOVA SEQUÊNCIA COM:
5 elementos
7 elementos
8 elementos
2 elementos
6 elementos
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2. CONSIDERANDO AS SEQUÊNCIAS A SEGUIR APRESENTADAS:
x1n=[3     1    2]
x2n=[1  -5    4]
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ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A CONVOLUÇÃO DESSAS DUAS SEQUÊNCIAS:
[2    -9    6    -11    12]
[8    -6    9    -14    3]
[3    -14    9    -6    8]
[8    -6    9    -6    8]
Nenhuma das alternativas anteriores
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3. CONSIDERANDO AS SEQUÊNCIAS APRESENTADAS A SEGUIR:
x1n=[3    9  -2]x2n=[-4   7   8   4]
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ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A CONVOLUÇÃO DESSAS DUAS SEQUÊNCIAS:
[8    -50    35    85    60    12]
[12    60    85    35    -50    8]
[-8    20    70    95    -15    -12]
[-12    -15    95    70    20    -8]
Nenhuma das alternativas anteriores
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4. PARA DADO SISTEMA DISCRETO CAUSAL, OBTENHA OS CINCO PRIMEIROS TERMOS DA SEQUÊNCIA DE SAÍDA DEFINIDA PELA EXPRESSÃO: Y(N)=3Y(N-1)+U(N), PARA A ENTRADA U(N)=Δ(N).
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA ESSES TERMOS:
[0    1    3    9    27]
[4    12    36    108    324]
[3    9    27    81    243]
[1    3    9    27    81]
Nenhuma das alternativas anteriores
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5. CONSIDERANDO AS SEQUÊNCIAS A SEGUIR:
x1n=[0     4     6]x2n=[3     7   -9]
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ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A SUA CONVOLUÇÃO:
[18    54    -26    -36    0]
[-54    6    46    12    0]
[0    12    46    6    -54]
[-54    6    28    0    0]
Nenhuma das alternativas anteriores
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6. CONSIDERANDO AS SEQUÊNCIAS APRESENTADAS ABAIXO:
x1n=[13       0    -9]x2n=[-6       0      12]
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ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A SUA CONVOLUÇÃO:
[54    0    -186    0    156]
[54    -15    -185    25    156]
[-108    3    211    7    -78]
[-78    0    210    0    -108]
Nenhuma das alternativas anteriores
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GABARITO
1. Se um aluno criar duas sequências numéricas com os três primeiros dígitos numéricos de sua matrícula da Universidade e com os quatro últimos, é certo que a convolução dessas duas sequências resultará numa nova sequência com:
A alternativa "E " está correta.
O número de elementos será igual a:
Nr=3+4-1=6
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2. Considerando as sequências a seguir apresentadas:
x1n=[3     1    2]
x2n=[1  -5    4]
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Assinale a alternativa que representa a convolução dessas duas sequências:
A alternativa "C " está correta.
A convolução:
h(n)=x1(n)x2(n)=(3x2+x+2)(x2-5x+4)=
=3x4-14x3+9x2-6x+8
Logo, a convolução de
x1(n)*x2(n)=[3  -14  9  -6  8]
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3. Considerando as sequências apresentadas a seguir:
x1n=[3    9  -2]x2n=[-4   7   8   4]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que representa a convolução dessas duas sequências:
A alternativa "D " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
4. Para dado sistema discreto causal, obtenha os cinco primeiros termos da sequência de saída definida pela expressão: y(n)=3y(n-1)+u(n), para a entrada u(n)=δ(n).
Assinale a alternativa que representa esses termos:
A alternativa "D " está correta.
Considerando que o sistema é causal, a resposta y(n) é nula para n < 0.
Considerando que u(n) = δ(n), sabemos que δ(0) = 1 e igual a zero para n ≠ 0.
Podemos obter os valores da sequência da saída por meio de substituição dos valores temporais de n a cada instante de tempo discreto.
Para:
n=0, o valor do elemento y(0) = 3y(-1)+δ(0) = 3×0+1 = 1
n=1, o valor do elemento y(1) = 3y(0)+δ(1) = 3×1+0 = 3
n=2, o valor do elemento y(2) = 3y(1)+δ(2) = 3×3+0 = 9
n=3, o valor do elemento y(3) = 3y(2)+δ(3) = 3×9+0 = 27
n=4, o valor do elemento y(4) = 3y(3)+δ(4) = 3×27+0 = 81
Os cinco primeiros termos da sequência da saída são:
y(n) = [1 3 9 27 81]
Observando o resultado obtido, também é possível generalizar e encontrar uma fórmula que define o valor de cada elemento da sequência y(n) em função de n.
A partir do primeiro termo, ainda é possível obter os demais multiplicando os elementos por três, o que caracteriza uma progressão geométrica de razão igual a três. Considerando, ainda, que a entrada é um impulso unitário, a saída é a resposta do sistema discreto ao impulso. Logo, é possível definir a seguinte expressão para os elementos da sequência de saída:
y(n) = h(n)=3n u(n)
5. Considerando as sequências a seguir:
x1n=[0     4     6]x2n=[3     7   -9]
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Assinale a alternativa que representa a sua convolução:
A alternativa "C " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
6. Considerando as sequências apresentadas abaixo:
x1n=[13       0    -9]x2n=[-6       0      12]
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Assinale a alternativa que representa a sua convolução:
A alternativa "D " está correta.
A convolução é dada por:
h(n)=x1(n)x2(n)=(13x2+0x-9)(-6x2+0x+12)=
=-78x4+0x3+210x2+0x-108
Logo, a convolução de
x1(n)*x2(n)=[-78    0    210    0    -108]
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GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. UM ENGENHEIRO, PARA CALCULAR A CONVOLUÇÃO DE DOIS SINAIS DISCRETOS DEFINIDOS POR:
x1n=[2   2   6   1   0]x2n=[1   7   4   8]
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DECIDIU ESCREVER A SEGUNDA SEQUÊNCIA X2 (N) COMO SENDO A SOMA DE IMPULSOS DESLOCADOS. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA ESSA SOMA:
x2(n)=δ(n)+δ(n-7)+δ(n-4)+δ(n-8)
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x2(n)=δ(n)+δ(n-7)+δ(n-4)+δ(n-8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x2(n)=δ(n)+7δ(n-1)+4δ(n-2)+8δ(n-3)
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x2(n)=2δ(n)+2δ(n-1)+6δ(n-2)+10δ(n-3)
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2. CONSIDERANDO AS SEQUÊNCIAS ABAIXO:
x1n=[1    4]x2n=[-5    0    3]
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ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A SUA CONVOLUÇÃO:
[-5    -20    3    12]
[-20    -5    12    3]
[12    3    -20    -5]
[-5    12    3    -20]
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GABARITO
1. Um engenheiro, para calcular a convolução de dois sinais discretos definidos por:
x1n=[2   2   6   1   0]x2n=[1   7   4   8]
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Decidiu escrever a segunda sequência x2 (n) como sendo a soma de impulsos deslocados. Assinale a alternativa que representa essa soma:
A alternativa "C " está correta.
Uma vez que o sinal x2 (n) = [1 7 4 8], podemos representar a soma dos impulsos deslocados da seguinte maneira:
x2(n)=δ(n)+7δ(n-1)+4δ(n-2)+8δ(n-3)
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2. Considerando as sequências abaixo:
x1n=[1    4]x2n=[-5    0    3]
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Assinale a alternativa que representa a sua convolução:A alternativa "A " está correta.
A convolução é dada por:
hn=x1nx2n=(x+4)(-5x2+3)
=-5x3-20x2+3x+12
Logo,
x1(n)*x2(n)=[-5    -20     3     12]
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MÓDULO 3
Definir a Transformada Z de sinais temporais discretos
INTRODUÇÃO
As técnicas de transformação matemática costumam ser amplamente utilizadas por matemáticos e engenheiros em aplicações de processamento de sinais, bem como em sistema de controle.
Em análise de sistemas lineares contínuos, utilizamos frequentemente uma ferramenta matemática denominada Transformada de Laplace. Ela possibilita a obtenção da Função de Transferência de um sistema linear contínuo a partir da equação diferencial que descreve a dinâmica desse sistema.
A Transformada Z desempenha a mesma função que a Transformada de Laplace, mas para sistemas lineares discretos. Neste módulo, será apresentada a definição da Transformada Z e de suas propriedades, além da relação entre ambas transformadas citadas.
TRANSFORMADA Z
DEFINIÇÃO
Para uma sequência x(n), existente para valores de n positivos (n≥0), a Transformada Z unilateral é definida como:
Xz=Zxn=∑n=0∞xnz-n
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A Transformada Z é uma série de potência em z-1.
A região do plano Z para a qual a série converge é denominada região de convergência.
Por exemplo, considere a sequência discreta x(n)=[0 2 4 6 0 0…], cujos valores são nulos a partir da quinta amostra. Considere ainda, que a sequência foi obtida por meio da amostragem de um sinal contínuo, em instantes de tempo igualmente espaçados, ou seja, em instantes múltiplos do período de amostragem [0 TS 2TS 3TS ... ]:
A Transformada Z dessa sequência é dada por:
Xz=Zxn=∑n=0∞xnz-n
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Então:
Xz=x0z0+xTsz-1+x2Tsz-2+x3Tsz-3+⋯
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Substituindo os valores da sequência discreta:
Xz=0+2z-1+4z-2+6z-3+0+⋯
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e
Xz=0+2z+4z2+6z3
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Que pode ser escrita como:
Xz=2z2+4z+6z3
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Tratando agora de um caso genérico, considere uma sequência definida da seguinte forma:
xn=an , para n≥00   , para n<0
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Essa sequência pode ser escrita como:
x(n)=[1 a a2 a3 ⋯]
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Aplicando a definição da Transformada Z unilateral:
Xz=Zxn=∑n=0∞xnz-n=∑n=0∞anz-n=∑n=0∞az-1n
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A condição |az-1|<1 garante que a série convergirá para:
Xz=11-az-1=zz-a
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Considerando que para a = 1, a sequência x(n) se torna igual à função discreta degrau unitário. Logo, a Transformada Z da função degrau unitário u(n) é definida como:
X(z)=zz-1
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O quadro a seguir apresenta as transformadas X(z) de algumas outras funções:
	Função x(t)
	X(z)
	δ(t)
	1
	δ(t-kT)
	z-k
	e-at
	zz-e-aT
	t
	��(�-1)2
	sen(ωt)
	zsen(ωT)z2-2zcos(ωT)+1
	cos(ωt)
	z(z-cos(ωT))z2-2zcos(ωT)+1
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PROPRIEDADES ÚTEIS DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL
As propriedades da Transformada Z são úteis para a solução de alguns problemas, pois podem facilitar os cálculos. Vejamos algumas propriedades que serão utilizadas neste estudo:
LINEARIDADE
A Transforma Z é um operador linear por atender ao princípio da superposição. Assim, para duas sequências discretas f(n) e g(n), com respectivas transformadas F(z) e G(z), e seja a sequência h(n) definida por:
h(n)=k1f(n)+k2g(n)
com k1 e k2 constantes.
Logo:
H(z)=Z[h(n)]=Z[k1f(n)+k2g(n)]=k1Z[f(n)]+k2Z[g(n)]=k1F(z)+k2G(z)
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MULTIPLICAÇÃO POR AN
Dada certa sequência x(n), cuja transformada Z[x(n)]=X(z), logo:
Zanxn=X(a-1z)
em que a é uma constante.
Essa propriedade pode ser demonstrada da seguinte maneira:
Zanxn=∑n=0∞anxnz-n=∑n=0∞xna-1z-n=Xa-1z
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PROPRIEDADE DO DESLOCAMENTO
Na definição desta propriedade, consideraremos duas possibilidades de deslocamento, para a direita e para a esquerda.
Define-se x(n) como sendo uma sequência cuja transformada é Z[x(n)]=X(z).
DESLOCAMENTO À DIREITA
O deslocamento de k unidades da sequência x(n) para a direita, corresponde a:
Zxn-k=∑n=0∞xn-kz-n
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Para deduzir a propriedade, é realizada uma troca de variável. Fazendo: m = n - k e substituindo no somatório:
Zxn-k=∑n=0∞xn-kz-n=∑m=-k∞xmz-m-k=z-k∑m=0∞xmz-m=z-kXz
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A mudança no limite de integração do somatório, em que a soma de m = -k até ∞ foi substituída pela soma de m = 0 até ∞, pode ser realizada por considerar que x(m) uma sequência causal, ou seja, não definida para m < 0.
Logo, podemos concluir que a propriedade de deslocamento à direita é definida por:
Z[x(n-k)]=z-kX(z)
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Esta propriedade é bastante utilizada e nos fornece um resultado útil. Como foi definido:
Zanun=zz-a
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Assim, ao aplicarmos o deslocamento:
Z[an-1u(n-1)]=z-1zz-a=1z-a
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DESLOCAMENTO À ESQUERDA
Para um deslocamento de k unidades para a esquerda, pela definição de Transformada Z, temos:
Zxn+k=∑n=0∞xn+kz-n
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De forma semelhante ao procedimento realizado no item anterior, realizaremos uma mudança de variável, da seguinte maneira:
m = n + k
Logo:
Zxn+k=Zxm=∑m=k∞xmz-m+k=zk∑m=0∞xmz-m-∑p=0k-1xpz-p
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Dessa maneira, a propriedade de deslocamento à esquerda é definida por:
Zxn+k=zkXz-∑p=0k-1xpz-p
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TRANSFORMADA Z INVERSA
Existe mais de uma forma de calcular uma expressão para x(n) e obter os valores numéricos dos elementos de uma sequência, a partir de X(z).
Apresentaremos duas maneiras distintas de se obter esses resultados:
· Método da Divisão Direta
· Método das Frações Parciais
MÉTODO DA DIVISÃO DIRETA
Este método consiste em dividir o polinômio do numerador pelo denominador da função X(z).
O método destina-se à obtenção dos termos da sequência numérica.
A partir da divisão dos polinômios do numerador e do denominador, obtém-se:
Xz=NzDz=C0+C1z-1+C2z-2+⋯
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A obtenção dos termos da sequência é direta e corresponde ao coeficiente do polinômio resultante da divisão.
A explicação é decorrente da própria definição da Transformada Z, que pode ser decomposta em uma série, da seguinte maneira:
Xz=∑n=0∞xnz-n=x0+x1z-1+x2z-2+⋯
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Por comparação direta entre as expressões, é possível perceber que os coeficientes correspondem aos termos da sequência.
EXEMPLO
Determine os cinco primeiros termos da sequência cuja Transformada Z é dada por:
X(z)=zz-5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fonte: Produção interna.
Por meio da divisão dos polinômios, é possível obter os cinco primeiros termos da sequência, que são os coeficientes do polinômio resultante, apresentados a seguir:
[1 5 25 125 625]
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS
O Métododas Frações Parciais consiste em decompor a função X(z) em frações parciais e, em seguida, aplicar a transformada Z inversa em cada fração.
1° CASO: BIPRÓPRIA
Sendo X(z) uma função biprópria, ou seja, com a ordem do denominador igual a do numerador, e sendo as raízes do seu denominador todas distintas, podemos decompor a função X(z) como a soma de frações parciais do tipo:
Xz=N(z)D(z)=∑k=1NRkzz-pk=R1zz-p1+R2zz-p2+⋯+RNzz-pN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do denominador D(z) são os polos pk da Função de Transferência X(z).
Considerando a seguinte transformada inversa:
Z-1Rzz-p=Rpnun
|z|>p
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
x(n)=R1p1n+R2p2n+R3p3n+⋯+RpNn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cálculo dos coeficientes Ri, denominados de resíduos, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ri=z-pizX(z)|z=pi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2° CASO: ESTRITAMENTE PRÓPRIA
Sendo X(z) uma função estritamente própria, ou melhor, com a ordem do denominador maior do que a do numerador, e sendo as raízes do seu denominador todas distintas, podemos decompor a função X(z) como a soma de frações parciais do tipo:
Xz=N(z)D(z)=∑k=1NRkz-pk=R1z-p1+R2z-p2+⋯+RNz-pN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes do polinômio do denominador D(z) são os polos pk da Função de Transferência X(z).
Considerando a seguinte transformada inversa:
Z-1Rz-p=Rpn-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com |z|>p.
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
xn=R1p1n-1un-1+R2p2n-1un-1+R3p3n-1un-1+⋯+RNpNn-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cálculo dos resíduos Ri, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ri=(z-pi)X(z)|z=pi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É importante notar que uma Função de Transferência biprópria (1º caso) pode ser transformada em uma estritamente própria (2º caso), por meio de uma divisão polinomial.
EXEMPLO
Determine a Transformada Z inversa da função de transferência discreta de um motor elétrico:
Xz=P(z)Q(z)=4z-6z2+5z+6
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SOLUÇÃO:
É possível observar que X(z) é uma função estritamente própria, isto é, com a ordem do denominador (igual a 2) é maior do que a do numerador (igual a 1), e como as raízes do denominador são todas distintas, podemos decompor a função X(z) como a soma de frações parciais do tipo:
Xz=4z-6z2+5z+6=R1z-p1+R2z-p2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro passo é calcular as raízes do denominador.
Pela fórmula de Bhaskara, temos:
p1=-2
p2=-3
Para o cálculo dos resíduos Ri, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ri=(z-pi)X(z)|z=pi
Então:
R1=(z-p1)X(z)|z=p1 = (z+2)X(z)|z=-2 =-14
E
R2=(z-p2)X(z)|z=p2 =(z+3)X(z)|z=-3 =-18
Considerando a seguinte transformada inversa:
Z-1Rz-p=Rpn-1un-1
com |z|>p.
Podemos calcular a transformada inversa de X(z), que será dada por:
xn=R1p1n-1un-1+R2p2n-1un-1
xn=-14-2n-1un-1+18-3n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja, a seguir, mais informações sobre Cálculo da Transformada Z inversa:
TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que a Função de Transferência original do motor fosse:
Xz=z2+9zz2+5z+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que, neste caso, X(z) é biprópria, que pode ser tratada como apresentado no Caso 1.
No entanto, é possível dividir os polinômios do numerador pelo do denominador, o que leva a:
RESOLUÇÃO
Xz=z2+9zz2+5z+6=1+4z-6z2+5z+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o segundo termo da soma é a Função de Transferência já tratada no Exemplo 1, basta somar a função impulso δ(n) à expressão encontrada para x(n), porque a transformada Z de δ(n) é igual a 1.
MÃO NA MASSA
Parte superior do formulário
1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA:
Xz=P(z)Q(z)=9z-24z2-5z+6
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM OS CONJUNTOS DE POLOS (P) E RESÍDUOS (R) DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
P = [3      6] e R = [3      2]
P = [2      3] e R = [2      3]
P = [3      2] e R = [6      -3]
P = [-3      -2] e R = [-3      - 6]
P = [3      2] e R = [3      6]
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA:
Xz=P(z)Q(z)=z-5z2+16
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
Xz=zz+4-9zz+4
Xz=1z+4-9z-4
Xz=zz-4-zz-4
Xz=1,125z-4-0,125z+4
Xz=1,125z+4-0,125z-4
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA:
Xz=N(z)D(z)=13z-66z2-9z+14
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A SEQUÊNCIA RESULTANTE DA TRANSFORMADA Z INVERSA DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
xn=5(7)n-1un-1+8(2)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x(n)=-14(7)nu(n)+18(2)nu(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=5(2)n-1un-1+8(7)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=5(7)nun+8(2)nun
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=7(5)n-1un-1+2(8)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. CONSIDERE QUE A DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS DE DETERMINADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA, ESTRITAMENTE PRÓPRIA, OBTEVE OS SEGUINTES CONJUNTOS DE POLOS E RESÍDUOS ASSOCIADOS:
POLOS: P1 = 3 E P2 = 2
RESÍDUOS: R1 = 6 E R1 = 9
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A SEQUÊNCIA RESULTANTE DA TRANSFORMADA Z INVERSA DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
xn=3(6)n-1un-1+2(9)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=3(6)nun+2(9)nun
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=6(3)n-1un-1+2(9)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x(n)=3(6)nu(n)+9(2)nu(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=6(3)n-1un-1+9(2)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CORRESPONDE À TRANSFORMADA Z DO SEGUINTE SINAL:
xn=2(-4)nun+3(7)n-1un-1
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
X(z)=2zz+4+3zz-7
X(z)=2zz-4+3z+7
X(z)=2zz+4+3z-7
X(z)=2z+4+3zz-7
X(z)=-4zz+2+7z-3
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. CONSIDERE QUE A DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS DE DETERMINADA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE BIPRÓPRIA OBTEVE O SEGUINTE RESULTADO:
Xz=N(z)D(z)=8zz-4,5+3zz-7
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A TRANSFORMADA Z INVERSA DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA.
xn=8(4,5)n-1un-1+3(7)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=8(4,5)nun+3(7)nun
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=8(-4,5)n-1un-1+3(-7)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=8(-4,5)nun+3(-7)nun
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
xn=-4,5(8)n-1un-1+7(3)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Considere a seguinte função de transferência discreta:
Xz=P(z)Q(z)=9z-24z2-5z+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém os conjuntos de polos (P) e resíduos (R) dessa função de transferência.
A alternativa "E " está correta.
Pela fórmula de Bhaskara, calculam-se os polos:
p1=3
p2=2
Para o cálculo dos resíduos Ai, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ri=(z-pi)X(z)|z=pi
Então:
R1=(z-p1)X(z)|z=p1 = (z+3)X(z)|z=-3=3
E
R2=(z-p2)X(z)|z=p2 = (z+2)X(z)|z=-2=6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere a seguinte função de transferência discreta:
Xz=P(z)Q(z)=z-5z2+16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém a decomposição em frações parciais dessa função de transferência.
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
3. Considere a seguinte função de transferência discreta:
Xz=N(z)D(z)=13z-66z2-9z+14
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém a sequência resultante da transformada Z inversa dessa função de transferência.
A alternativa "A " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
4. Considere que a decomposição em frações parciais de determinada função de transferência discreta, estritamente própria, obteve os seguintes conjuntos de polos e resíduos associados:
Polos: p1 = 3 e p2 = 2
Resíduos: R1 = 6 e R1 = 9
Assinale a alternativa que contém a sequência resultante da Transformada Z inversa dessa função de transferência.
A alternativa "E " está correta.
Como a função de transferência é estritamente própria e conhecidos os seguintes conjuntos de polos e resíduos associados:
Polos: p1 = 3 e p2 = 2
Resíduos: R1 = 6 e R2 = 9
Deve-se utilizar a seguinte relação de transformada inversa:
Z-1Rz-p=Rpn-1u(n-1)
Substituindo os valores dos polos e resíduos na fórmula acima, a alternativa correta é a letra E:
x(n)=6(3)n-1u(n-1)+9(2)n-1u(n-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Assinale a alternativa que corresponde à Transformada Z do seguinte sinal:
xn=2(-4)nun+3(7)n-1un-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Considerando as seguintes Transformadas Z:
Z[anu(n)]=zz-a
Z[an-1u(n-1)]=1z-a
Como:
x(n)=2(-4)nu(n)+3(7)n-1u(n-1)
Logo, a alternativa correta é a letra C:
X(z)=2zz+4+3z-7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere que a decomposição em frações parciais de determinada função de transferência de biprópria obteve o seguinte resultado:
Xz=N(z)D(z)=8zz-4,5+3zz-7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém a Transformada Z inversa dessa função de transferência discreta.
A alternativa "B " está correta.
Deve-se utilizar a seguinte relação de transformada inversa:
Z-1Rzz-p=Rpnu(n)
Substituindo os valores dos polos e resíduos na fórmula acima, a alternativa correta é a letra B:
x(n)=8(4,5)nu(n)+3(7)nu(n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA:
Xz=5z2+23zz2+9z+20
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS DESSA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA.
Xz=3z+4+2z+5
X(z)=3zz+4+2zz+5
X(z)=-12zz+4+-10zz+5
X(z)=-12z+4+-10z+5
X(z)=-12zz+4+-10zz+5
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CORRESPONDE À TRANSFORMADA Z DO SEGUINTE SINAL:
xn=12(72)n-1un-1+25(-4,5)nun
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
X(z)=25zz+4,5+12zz-72
X(z)=25zz-4,5+12z+72
X(z)=12z-72+25zz+4,5
X(z)=12z+4,5+25zz-72
X(z)=4,5zz+2+72z-3
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Considere a seguinte função de transferência discreta:
Xz=5z2+23zz2+9z+20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém a decomposição em frações parciais dessa função de transferência.
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu como calcular a decomposição em frações parciais de uma função de transferência discreta biprópria.
Para o cálculo dos resíduos Ri, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ri=z-pizX(z)|z=pi
Então:
R1=z+4zX(z)|z=-4=3
e
R2=z+5zX(z)|z=-5=2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Assinale a alternativa que corresponde à Transformada Z do seguinte sinal:
xn=12(72)n-1un-1+25(-4,5)nun
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu como calcular a Transformada Z de uma sequência discreta.
Considerando as seguintes Transformadas Z:
Z[anu(n)]=zz-a
Z[an-1u(n-1)]=1z-a
Como:
x(n)=12(72)n-1u(n-1)+25(-4,5)nu(n)
Então, a alternativa correta é a letra C:
X(z)=12z-72+25zz+4,5
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MÓDULO 4
Formular modelos de sistemas dinâmicos, a serem analisados e controlados, através de funções de transferência no domínio Z
INTRODUÇÃO
Assim como é definido o Plano S para a Transformada de Laplace, para a Transformada Z é definido o Plano Z e a variável complexa Z. A operação que leva uma variável complexa do Plano S para o Plano Z é denominada de mapeamento. Existe uma relação entre esses domínios e veremos agora como relacioná-los.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO Z
A Função de Transferência de um sistema é um modelo matemático que serve para expressar a equação que relaciona a variável de saída à de entrada.
A Função de Transferência no domínio Z, de um sistema linear e invariante no tempo, é definida como sendo a relação entre a Transformada Z da saída pela da entrada, considerando todas as condições iniciais nulas. Logo,
Gz=Y(z)U(z)
As Funções de Transferência podem ser obtidas basicamente de duas maneiras:
Modelagem
A forma mais comum, denominada de modelagem, consiste em obter a Função de Transferência a partir das leis da física que regulam a dinâmica do sistema.
Identificação de Sistemas
A segunda abordagem é experimental, sendo chamada de Identificação de Sistemas. Consiste em calcular o modelo por meio de procedimentos numéricos utilizando os sinais medidos das entradas e saídas do sistema.
Considere um sistema discreto com entrada u(k) e saída y(k). Suponha que a lei que regula a dinâmica desse sistema possa ser escrita por uma equação a diferenças definida da seguinte forma:
y(k)+a1y(k-1)+a2y(k-2)+⋯+any(k-n) 
=b0u(k)+b1u(k-1)+⋯+bnu(k-n)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que k = {1,2,3,⋯}.
Aplicando Transformada Z em ambos os lados da equação e considerando condições iniciais nulas:
Y(z)+a1z-1Y(z)+⋯+anz-nY(z)=b0U(z)+b1z-1U(z)+⋯+bnz-nU(z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Colocando Y(z) e U(z) em evidência:
(1+a1z-1+⋯+anz-n)Y(z)=(b0+b1z-1+⋯+bnz-n)U(z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a Função de Transferência é dada por:
Gz=Y(z)U(z)=b0+b1z-1+⋯+bnz-n1+a1z-1+⋯+anz-n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POLOS E ZEROS
Os polos de uma Função de Transferência são as raízes do polinômio do denominador e os zeros são as raízes do numerador.
ATENÇÃO
Os polos correspondem aos valores de Z para os quais o valor da Função de Transferência tende para o infinito. Os zeros são os valores de Z para os quais a Função de Transferência se anula.
MAPEAMENTO DE POLOS E ZEROS
A ação de mapear dois domínios significa relacionar um conjunto de dados a outro, ou seja, certa variável a outra.
O mapeamento entre os planos S e Z é feito por meio da relaçãomatemática entre as duas variáveis, S e Z.
A relação matemática entre os planos S e Z é dada pela seguinte expressão:
z=esT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual T é o período de amostragem.
 SAIBA MAIS
Para cada ponto no Plano S existe um correspondente ponto no Plano Z. Portanto, dizemos que cada ponto no Plano S mapeia um ponto no Plano Z.
Considerando que:
s=σ+jω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
z=esT=eσT+jωT=eσTejωT=eσTcos(ωT)+jeσTsen(ωT)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A expressão obtida acima possibilita o mapeamento de pontos (números complexos) localizados no Plano S para o Plano Z.
Por exemplo, considerando a origem do Plano S:
s=σ+jω=0+j0
Substituindo na expressão obtida:
Como
cos(ωT)=cos(0)=1
e
sen(ωT)=sen(0)=0
Assim
z=eσTcos(ωT)+jeσTsen(ωT)=e0=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos concluir que um ponto localizado na origem do Plano S mapeará um ponto em z = 1, como ilustrado na Figura 16. O círculo apresentado nesta figura, no Plano Z, possui raio unitário.
Fonte: Produção interna.Figura 16 – Mapeamento de um ponto do Plano S para o Plano Z
No Plano S, o lugar geométrico definido pelos pontos em que o valor de (σ = 0) corresponde ao eixo imaginário e pode ser escrito da seguinte forma:
s=σ+jω=0+jω=jω
Para esses valores, o mapeamento pode ser calculado da seguinte forma:
z=eσTejωT=e0ejωT=1ejωT
E o módulo de Z é:
|z|=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal resultado corresponde a um círculo de raio unitário. A figura, a seguir, ilustra esse resultado, ou seja, o mapeamento de pontos sobre o eixo imaginário do Plano S corresponde a pontos sobre o círculo de raio unitário no Plano Z.
Fonte: Produção interna.Figura 17 – Mapeamento de pontos sobre o eixo imaginário para o círculo unitário
Ao analisarmos o mapeamento, os pontos originários do eixo imaginário do Plano S, surge a seguinte questão: como fica o mapeamento de pontos localizados à esquerda e à direita do eixo imaginário? Em outras palavras, deseja-se agora analisar o mapeamento dos pontos localizados nos semiplanos esquerdo e direito do Plano S.
Os pontos localizados no semiplano esquerdo são os que possuem parte real negativa e que matematicamente são definidos como:
s=-σ+jω
com σ > 0.
Como consequência, os correspondentes módulo e ângulo são dados por:
|z|=e-σT<1   e   ∠z=ωT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o módulo é menor que a unidade, concluímos que pontos localizados no semiplano S esquerdo são mapeados dentro do círculo de raio unitário no Plano Z, conforme ilustrado abaixo.
Fonte: Produção interna.Figura 18 – Mapeamento de pontos do semiplano esquerdo para o interior do círculo unitário
Resta apenas a análise de pontos originários do semiplano direito S.
Igualmente ao caso anterior, podemos definir que os pontos localizados no semiplano direito são os que possuem parte real positiva e que matematicamente são definidos como:
s=σ+jω
com σ > 0.
Como consequência, os correspondentes módulo e ângulo são dados por:
|z|=eσT>1   e   ∠z=ωT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como, neste caso, o módulo é maior que a unidade, constatamos que pontos localizados no semiplano S direito são mapeados fora do círculo de raio unitário no Plano Z, conforme ilustra a Figura 19.
Fonte: Produção interna.Figura 19 - Mapeamento de pontos do semiplano direito para o exterior do círculo unitário
TEORIA NA PRÁTICA
Obter a Função de Transferência discreta de um sistema de controle de velocidade de uma máquina de manufatura de um produto dado pela seguinte equação de diferenças:
y(k)+4y(k-1)+3y(k-2)=u(k)+5u(k-1)+4u(k-2)
em que k = {1,2,3,⋯}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Aplicando Transformada Z em ambos os lados da equação e considerando condições iniciais nulas:
Y(z)+4z-1Y(z)+3z-2Y(z)=U(z)+5z-1U(z)+4U(z)
Colocando Y(z) e U(z) em evidência:
(1+4z-1+3z-2)Y(z)=(1+5z-1+4z-2)U(z)
Logo, a Função de Transferência é dada por:
G(z)=Y(z)U(z)=1+5z-1+4z-21+4z-1+3z-2=z2+5z+4z2+4z+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja, a seguir, mais informações sobre Obtenção de uma Função de Transferência Discreta.
MÃO NA MASSA
Parte superior do formulário
1. SE UM PAR DE POLOS NO PLANO S, DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE TEMPERATURA, É DADO POR:
s=-1±0,5j
É CORRETO AFIRMAR QUE NO PLANO Z:
Um desses polos estará localizado no interior do círculo unitário e o outro fora.
Os dois polos estarão localizados no interior do círculo unitário.
Os dois polos estarão localizados fora do círculo de raio igual a 0,5.
Os dois polos estarão localizados fora do círculo unitário.
Os polos estarão localizados sobre o círculo unitário.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. SE UM PAR DE POLOS NO PLANO S, DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE TEMPERATURA, É DADO POR:
s=±3j
É CORRETO AFIRMAR QUE NO PLANO Z:
Um polo estará localizado no interior do círculo unitário e o outro fora.
Os dois polos estarão localizados no interior do círculo unitário.
Os dois polos estarão localizados fora do círculo de raio igual a 3.
Os dois polos estarão localizados no interior do círculo de raio igual a 3.
Os polos estarão localizados sobre o círculo unitário.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. SE O MAPEAMENTO DE UM PAR DE POLOS DO PLANO S PARA O PLANO Z RESULTOU EM:
z=3±4j
É CORRETO AFIRMAR QUE ESSES POLOS NO PLANO Z:
Estão localizados no interior do círculo unitário.
Estão localizados sobre o círculo de raio igual a 3.
Estão localizados no interior do círculo de raio igual a 4.
Estão localizados no interior do círculo de raio igual a 3.
Estão localizados fora do círculo de raio unitário.
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4. SE A DINÂMICA DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE POSIÇÃO DE ANTENAS DE COMUNICAÇÕES VIA SATÉLITE PODE SER REPRESENTADA PELA SEGUINTE EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS:
y(k)+8y(k-1)+7y(k-2)=u(k)+11u(k-1)+18u(k-2)
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE K = {1,2,3,⋯}
A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA CORRESPONDENTE É IGUAL A:
Gz=18z2+11z+17z2+8z+1
Gz=z2+8z+7z2+11z+18
Gz=7z2+8z+118z2+8z+1
Gz=z2+11z+18z2+8z+7
Gz=z2+7z+18z2+8z+11
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5. SE UM ENGENHEIRO PRECISAR ALOCAR OS POLOS DE UM SISTEMA EM MALHA FECHADA NO SEMIPLANO ESQUERDO DO PLANO COMPLEXO S PARA ATENDER OS REQUISITOS DE DETERMINADO PROJETO, É CORRETO AFIRMAR QUE SE TAL PROJETO FOSSE REALIZADO NO DOMÍNIO DISCRETO, REALIZANDO ANÁLISE POR MAPEAMENTO, ELE PRECISARIA ALOCAR OS POLOS EM MALHA FECHADA NO PLANO Z:
No interior do círculo unitário.
Sobre o círculo de raio igual a 1.
No semiplano esquerdo.
No semiplano direito.
Fora do círculo de raio unitário.
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6. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DISCRETA DE UM MOTOR DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE POSIÇÃO CUJA DINÂMICA PODE SER REPRESENTADA PELA SEGUINTE EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS:
yk-13,07yk-1+15,43yk-2
=uk+20,55uk-1-10,67uk-2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE K = {1,2,3,⋯}
Gz=Y(z)U(z)=z2-13,07z+15,43z2+20,55z-10,67
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Gz=Y(z)U(z)=z2+20,55z-10,67z2+13,07z+15,43
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Gz=Y(z)U(z)=z2-10,67z+20,55z2+15,43z-13,47
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Gz=Y(z)U(z)=20,55z-10,67z2-13,07z+15,43
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Gz=Y(z)U(z)=-10,67+20,55zz2-13,07z+15,43
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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GABARITO1. Se um par de polos no plano S, de um sistema de controle de temperatura, é dado por:
s=-1±0,5j
É correto afirmar que no plano Z:
A alternativa "B " está correta.
Como os dois polos estão localizados no semiplano S esquerdo, são mapeados dentro do círculo de raio unitário no Plano Z.
2. Se um par de polos no plano S, de um sistema de controle de temperatura, é dado por:
s=±3j
É correto afirmar que no plano Z:
A alternativa "E " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
3. Se o mapeamento de um par de polos do plano S para o plano Z resultou em:
z=3±4j
É correto afirmar que esses polos no plano Z:
A alternativa "E " está correta.
As distâncias desses polos à origem do plano Z é igual a 5 (módulo de Z), obtido por meio da relação de Pitágoras. Consequentemente, os polos estão localizados fora do círculo de raio unitário.
4. Se a dinâmica de um sistema de controle de posição de antenas de comunicações via satélite pode ser representada pela seguinte equação de diferenças:
y(k)+8y(k-1)+7y(k-2)=u(k)+11u(k-1)+18u(k-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que k = {1,2,3,⋯}
A Função de Transferência correspondente é igual a:
A alternativa "E " está correta.
A solução correta parte da aplicação da Transformada Z em ambos os lados da equação de diferenças e considerando condições iniciais nulas:
Y(z)+8z-1Y(z)+7z-2Y(z)=U(z)+11z-1U(z)+18U(z)
Em seguida, colocando Y(z) e U(z) em evidência:
(1+8z-1+7z-2)Y(z)=(1+11z-1+18z-2)U(z)
Logo, a Função de Transferência é dada por:
G(z)=Y(z)U(z)=1+11z-1+18z-21+8z-1+7z-2=z2+11z+18z2+8z+7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Se um engenheiro precisar alocar os polos de um sistema em malha fechada no semiplano esquerdo do plano complexo S para atender os requisitos de determinado projeto, é correto afirmar que se tal projeto fosse realizado no domínio discreto, realizando análise por mapeamento, ele precisaria alocar os polos em malha fechada no plano Z:
A alternativa "A " está correta.
Veja, a seguir, a solução desta questão:
6. Assinale a alternativa que contém a Função de Transferência discreta de um motor de um sistema de controle de posição cuja dinâmica pode ser representada pela seguinte equação de diferenças:
yk-13,07yk-1+15,43yk-2
=uk+20,55uk-1-10,67uk-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que k = {1,2,3,⋯}
A alternativa "B " está correta.
A solução correta parte da aplicação da Transformada Z em ambos os lados da equação de diferenças e considerando condições iniciais nulas:
Y(z)-13,07z-1Y(z)+15,43z-2Y(z)=U(z)+20,55z-1U(z)-10,67U(z)
Em seguida, colocando Y(z) e U(z) em evidência:
(1-13,07z-1+15,43z-2)Y(z)=(1+20,55z-1-10,67z-2)U(z)
Portanto, a Função de Transferência é dada por:
G(z)=Y(z)U(z)=1+20,55z-1-10,67z-21-13,07z-1+15,43z-2=z2+20,55z-10,67z2-13,07z+15,43
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GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. CONSIDERE QUE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA DINÂMICO É DADO POR:
Gz=Y(z)U(z)=7z+5z2+3z+2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM A RESPECTIVA EQUAÇÃO À DIFERENÇA:
y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=7u(k-1)+5u(k-2)
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7y(k-1)+5y(k-2)=u(k)+3u(k-1)+2u(k-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5y(k)+7y(k-1)=2u(k)+3u(k-1)+u(k-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2y(k)+3y(k-1)+y(k-2)=5u(k-1)+7u(k-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
y(k)+3y(k-1)+7y(k-2)=5u(k-1)+2u(k-2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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2. SOBRE MAPEAMENTO DE POLOS DO PLANO S PARA O PLANO Z, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA CORRETA:
Um polo sobre o eixo imaginário no Plano Z corresponde a um polo sobre o círculo unitário no Plano S.
Um polo localizado no semiplano S direito corresponde a um polo sobre o círculo unitário no plano Z.
Um polo localizado na origem do Plano S mapeará um polo em z=1.
Um polo localizado no semiplano S esquerdo corresponde a um polo fora do círculo unitário no plano Z.
Nenhuma das alternativas acima.
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GABARITO
1. Considere que a Função de Transferência de um sistema dinâmico é dado por:
Gz=Y(z)U(z)=7z+5z2+3z+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assinale a alternativa que contém a respectiva equação à diferença:
A alternativa "A " está correta.
Temos:
G(z)=Y(z)U(z)=7z+5z2+3z+2=7z-1+5z-21+3z-1+2z-2
e
Y(z)[1+3z-1+2z-2]=U(z)[7z-1+5z-2]
Que corresponde no domínio do tempo a:
y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=7u(k-1)+5u(k-2)
Logo, a alternativa correta é a letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sobre mapeamento de polos do plano S para o plano Z, assinale a única alternativa correta:
A alternativa "C " está correta.
O projeto no plano Z é uma técnica utilizada para colocar os polos em uma malha fechada para atender às especificações do projeto.
No plano Z, o sistema será estável se os polos que estiverem em malha fechada ficarem dentro de um círculo de raio 1.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dos quatro módulos, descrevemos os conceitos ligados às equações de diferenças e à representação de sistemas lineares discretos. Vimos o conceito de convolução de sinais discretos e a sua importância no cálculo da resposta temporal de sistemas dinâmicos.
Abordamos a definição de Transformada Z e algumas propriedades úteis da Transformada Z unilateral, além de métodos para o cálculo da Transformada Z e da Transformada Z Inversa. Por fim, definimos as funções de transferência no domínio Z e explicamos o conceito de mapeamento de polos e zeros no plano Z.
Dito isso, acreditamos que, ao chegar ao fim deste estudo, você tenha assimilado os conceitos relacionados aos sistemas lineares discretos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
AGUIRRE, Luís Antônio. Introdução à Identificação de Sistemas. Editora UFMG. 2007
EXAME. 38 fotos que contam a história do homem na lua. Publicado em 6 de out. 2015
FRANKLIN, Gene. POWELL, David. EMAMI-NAEINI, Abbas. Sistemas de Controle para Engenharia. Bookman.
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 7 ed. RJ: LTC, 2017
KLUEVER, Craig A. Sistemas Dinâmicos - Modelagem, Simulação e Controle. RJ: LTC, 2017
OPPENHEIM, Alan. WILLSKYM, Alan. NAWAB, Hamid. Sinais e Sistemas. Prentice-Hall, 2010.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. SP: Pearson, 2011
PENEDO, Sergio Ricardo Master. Servoacionamento - Arquitetura e Aplicações. SP: Saraiva, 2014
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
· Curso de Processamento Digital de Sinais – LNCC. Youtube.
· Curso de Sinais e Sistemas – UFBA. Youtube.