TESTES DE CONHECIMENTO TRIGONOMETRIA ESTACIO 2020 1 EAD

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TESTES DE CONHECIMENTO 
 
AULA 1 
 1a Questão 
 Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30° e 60°, hipotenusa igual a L e catetos igual 
a L2L2 e L(√3)2L(3)2. Indique a opção correta para o sen 60°: 
 
 √3333. 
 1313; 
 3232; 
 √3232; 
 √2222; 
Respondido em 03/05/2020 23:04:26 
 
 
Explicação: 
Hipotenusa = L . Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L(√3)/2 oposto ao 
ângulo maior 60º .... 
Então sen 60º = L(√3)/2 / L = (√3)/2 . 
 
 
 
 2a Questão 
 Considerando um quadrado de lado l, e traçando uma reta interior a esse quadrado ligando dois de seus 
vértices não consecutivos, qual o ângulo formado por essa reta traçada e um dos lados do quadrado 
 
 
90 graus. 
 
22,5 graus. 
 
60 graus. 
 
30 graus. 
 45 graus. 
Respondido em 03/05/2020 23:05:26 
 
 
Explicação: 
Formam-se 2 triângulos retângulos internamente ao quadrado, de catetos iguais ao lado L do quadrado. 
A tangente dos ângulos agudos é a razão entre os catetos . Portanto tg A = L/L = 1 e se tg =1 então o 
ângulo é 45º . 
 
 
 
 3a Questão 
 Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa AB forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção 
correspondente ao valor da razão BC/AC . 
 
 
cos A 
 
cotg A 
 
 tg A 
 
sen A 
 sec A 
Respondido em 03/05/2020 23:08:23 
 
 
Explicação: 
Se AB é hipotenusa então AC e BC são os catetos , sendo BC oposto ao vértice A . 
Portanto BC/ AC = cateto oposto /cateto adjacente ao A = tgA . 
 
 
 
 4a Questão 
 Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30° e 60°, hipotenusa igual a L e catetos igual 
a L2L2 e L(√3)2L(3)2. Indique a opção correta para o sen 30°: 
 
 √2222; 
 √3333. 
 1313; 
 √3232; 
 1212; 
Respondido em 03/05/2020 23:09:16 
 
 
Explicação: 
sen 30º = cateto oposto a 30º / hipotenusa L ( maior lado) . 
O cateto oposto a 30º , que é o ângulo menor, é o cateto menor : portanto L/2 
Então sen 30º = (L/2) / L = 1/2 , conforme se sabe também da tabela de seno, cosseno e 
tangente . 
 
 
 
 5a Questão 
 Considere o triângulo retângulo ABC, onde temos os lados; AB=25cm, BC=7cm e AC=24cm. 
Então o sen B é igual a: 
 
 257257; 
 724724; 
 725725. 
 247247; 
 24252425; 
Respondido em 03/05/2020 23:11:46 
 
 
Explicação: 
AB = 25 é o maior lado , portanto é a hipotenusa. O cateto oposto ao ângulo B é AC=24 , pois não contém 
esse vértice B ... 
Então seno B = cateto oposto / hipotenusa = 24/25. 
 
 
 
 6a Questão 
 Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 12m e forma um ângulo A de 30 graus com o 
lado AC. Qual a medida em metros do lado BC? 
 
 
6V2 
 
 6V3 
 6 
 
4V 3 
 
12V3 
Respondido em 03/05/2020 23:13:53 
 
 
Explicação: 
sen 30º = BC/ AB ½ = BC / 12 BC = 6 
 
 
 
 7a Questão 
 Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa AB forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção 
correspondente ao valor da razão AC / BC . 
 
 
cos A 
 
sen A 
 
tg A 
 cotg A 
 
sec A 
Respondido em 03/05/2020 23:14:44 
 
 
Explicação: 
A hipotenusa é AB e portanto os catetos são AC e BC . O ângulo A fica no vértice A , oposto ao lado BC . 
Então AC /BC pedida é a relação entre a o cateto AC e o cateto BC que é oposto ao ângulo A. Trata-se do 
inverso da tangente de A , portanto é a cotangente de A. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 8a Questão 
 Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30° e 60°, hipotenusa igual a LL e 
catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2. Indique a opção correta para o cos 60°: 
 
 1313; 
 √2222; 
 √3333. 
 1212; 
 √3232; 
Respondido em 03/05/2020 23:15:26 
 
 
Explicação: 
Hipotenusa = L . Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L V3/2 oposto ao 
ângulo maior 60º . Então cateto adjacente a 60º = L/2 e cos 60º = (L/2) /L = 1 /2 . 
 
AULA 2 
 
 
 
1. 
 
 
Uma rampa forma um ângulo de 30 graus com o solo. Qual a distância 
em metros que se percorre sobre a rampa, a partir do seu início no solo, 
para se alcançar uma altura de 6 metros em relação ao solo? 
 
 
 
12 
 
6V3 
 
3 
 
2V3 
 
3V3 
 
 
 
Explicação: 
A distância d sobre a rampa é a hipotenusa a altura alcançada 6 é o cateto oposto a 30º . 
Portanto 6/d = seno 30º = 1/2 .. Daí d = 6 x 2 = 12 . 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma escada deve ser apoiada na parede, formando um ângulo de 60º 
com o solo, de modo a alcançar 17 m de altura na parede .Qual deve ser 
a distância no solo , entre os pés da escada e a parede ? Considerar V3 
=1,7. 
 
 
20V3 
 
10V3 
 
20 
 
30 
 
 
10 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa , a altura 17 é o cateto 
 oposto a 60º e a distância x no solo é o outro cateto que queremos calcular. 
Para calcular um cateto, conhecendo o outro , podemos usar a tangente do ângulo oposto. 
Então tg 60 = 17 / x ou V3 = 17 /x ou 1,7 = 17 /x donde x = 17 /1,7 = 10 ... x = 10 metros. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere que um canhão que lance um projétil a velocidade de 40 m/s com um 
ângulo de inclinação de 30° em relação ao solo. Determine a altura em metros, 
que esse projétil atinge depois de 3s, supondo sua trajetória retilínea e 
velocidade constante. 
 
 
120 
 
 
60 
 
50 
 
160 
 
80 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um triângulo retângulo em que a distância percorrida pelo projétil em trajetória retilínea é a 
hipotenusa . 
Hipotenusa = velocidade x tempo = 40m/s x 3 s = 120m . 
A altura H do projétil em relação ao solo é o cateto oposto ao ângulo de 30º , da trajetória com o solo. 
Com esse dados podemos usar : cateto oposto / hipotenusa = seno 30º ou seja H / 120 = 1/2 . 
Daí igualando os produtos cruzados resulta : 2H = 120 donde H =60 m . 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma criança no alto de um escorrega larga uma bola que percorre 5 metros até 
chegar ao chão (plano horizontal), sabendo que o alto do escorrega tem 3 metros 
de altura em relação ao chão, a distância percorrida pelo seu pai que se 
encontrava na base do escorrega (abaixo da criança) para pegar a bola no final 
do escorrega é de: 
 
 
100 metros. 
 
3,94 metros. 
 
1 metro. 
 
7 metros. 
 
 
4 metros. 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um triângulo retângulo em que o escorrega é a hipotenusa com 5m. A altura 3m é um cateto 
b. A distância no chão é o outro cateto , 
Então, sabendo a hipotenusa e um cateto , para calcular o outro cateto c pode-se usar Pitágoras: 
Hipotenusa a² = cateto b² + cateto c². 
Substiuindo os dados : 5² = 3² + c² , donde c² = 25 - 9 = 16 
Então c = raiz quadrada de 16 = (como só interessa a raiz positiva) = 4 m. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Um poste tem uma altura aproximada de 3√33 , perpendicular ao solo, e é fixado 
por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no 
solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ? 
 
 
45 graus 
 
 
60 graus 
 
75 graus 
 
30 graus 
 
15 graus 
 
 
 
Explicação: 
Deve fazer um desenho sobre o enunciado que forma um triângulo retângulo . O cateto oposto ao ângulo 
A pedido é a altura = 3raiz3 . O cateto adjacente é a distância = 3 . Então podemos usar , por definição, 
tg do ângulo A = 3 raiz3 /3 = raiz3. Como pela tabela tg 60º = raiz3 , então o ângulo A = 60º . 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma escada de 3 metros está apoiada em uma parede formando com ela um 
ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à 
parede. Qual a distância em metros, no piso, entre os pés da escada e a parede? 
 
 
1,5 raiz de 2 
 
3 raiz de 3 
 
1,5 raiz de 3 
 
 
1,5 
 
raiz de 3 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 3m. A distância d no piso é o 
cateto oposto ao ângulo 30º da escada com a parede . A parede é o outro cateto. 
Então, usando seno 30º = cateto oposto / hipotenusa , resulta ... 1/2 = d / 3 , donde d = 3/2 = 1,5 mGabarito 
Coment. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Um observador vê o topo de uma torre , perpendicular ao solo, sob um ângulo de 
30°. Caminhando mais 40m na direção da torre ele vê o topo da torre sob um 
ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule a medida 
aproximada da altura da torre. 
 
 
150√21502 m 
 
34√3343 m 
 
18 m 
 
 
20√3203 m 
 
20 m 
 
 
 
Explicação: 
Na distância final x vê altura h sob 60graus , então h/tg 60º = h / V3 ... (1) 
Inicialmente 40 m mais distante = 40 + x , via a altura h sob angulo 30º. 
 Portanto 40 + x = h / tg 30º = 3.h / V3... (2) . 
Substituindo x de (1) em (2) resulta : 40 + h / V3 = 3 h./ V3 
40 V3 + h = 3 h ... então 2h = 40 V3 ... h = = 20 V3 m . 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um poste tem uma altura aproximada de 3raiz3 metros , perpendicular ao solo, e 
é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra 
presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com 
o solo ? 
 
 
30 graus 
 
45 graus 
 
15 graus 
 
75 graus 
 
 
60 graus 
 
 
 
Explicação: 
Trata-se de um triângulo retângulo em que o cabo é a hipotenusa. A altura H do poste 3raiz3m é 
o cateto oposto ao ângulo A do cabo com o solo. O outro cateto é a distância 3m no solo entre a 
fixação e o poste. 
Com esses dados dos catetos pode-se usar : tg A = cateto oposto / cateto adjacente . 
Daí, substiuindo os dados : tg A = 3raiz3 / 3 = raiz3 , donde, pela tabela da aula : ângulo A = 60º 
 
AULA 3 
 
 
 
1. 
 
 
Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco 
determinado por um ângulo central de 150°? 
 
 
20π20π cm 
 
 
25π25π cm 
 
100π100π cm 
 
15π15π cm 
 
30π30π cm 
 
 
 
Explicação: 
 Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco 
determinado por um ângulo central de 150°? 25 pi 
Comprimento do arco = C = radianos x raio . 
Arco 150º = 150 x pi/180 rad = simplificando , dividindo por 30 = 5 pi 
/6 rad. 
C = (5 pi /6) x 30 cm = 25 pi cm . 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
2. 
 
 
A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 
4260 graus são , respectivamente 
 
 
330 graus e - 30 graus 
 
300 graus e 60 graus 
 
330 graus e - 60 graus 
 
300 graus e - 30 graus 
 
 
300 graus e - 60 graus 
 
 
 
Explicação: 
Deve- se dividir o arco por 360º para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra 
após essas voltas completas que é a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos 
côngruos A + k 360º . 
4260º = 11 x 360º + 300º .. primeira determinação positiva = 300º 
A primeira determinação negativa é 300º - 360º = - 60º 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 
4650 graus são , respectivamente 
 
 
300 graus e - 30 graus 
 
330 graus e 30 graus 
 
 
330 graus e - 30 graus 
 
300 graus e -60 graus 
 
330 graus e - 60 graus 
 
 
 
Explicação: 
Deve- se dividir o arco por 360º para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra 
após essas voltas completas que é a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos 
côngruos A + k 360º . 
4650º = 12 x 360º + 330º .. primeira determinação positiva = 330º 
A primeira determinação negativa é 330º - 360º = - 30º 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Para um determinado ângulo x temos que sen (x+k.360)=sen x. Logo 
sen 400⁰ é igual a: 
 
 
- cos 400 
 
- sen 400 
 
tg 400 
 
cos 400 
 
 
sen 400 
 
 
 
Explicação: 
Substituindo sen (x + k.360) por sen 400 , na expressão dada, resulta : x + k.360 = 400 , donde só é 
possível k=1 e portanto x +360 = 400 , donde x=40º. 
Então considerando a expressão dada sen 400º = sen (x+k.360) = sen x = sen 40º 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A primeira determinação positiva e a primeira negativa de um arco de 
6420 graus são , respectivamente 
 
 
300 graus e - 30 graus 
 
330 graus e - 60 graus 
 
 
300 graus e - 60 graus 
 
330 graus e - 30 graus 
 
300 graus e 60 graus 
 
 
 
Explicação: 
Deve- se dividir o arco por 360º para saber o número de voltas completas e calcular o arco que sobra 
após essas voltas completas que é a primeira determinação A do arco , origem de todos os arcos 
côngruos A + k 360º . 
6420º = 17 x 360º + 300º .. primeira determinação positiva = 300º 
A primeira determinação negativa é 300º - 360º = - 60º 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Quando medimos arcos e ângulos, podemos utilizar o Sistema Sexagesimal 
e o Circular. O Sistema Sexagesimal baseia-se na divisão da circunferência 
em 360 partes de mesmo tamanho e determinar 360 arcos de 1
0
 cada, 
enquanto que o Sistema Circular está relacionado com a medida do 
comprimento da circunferência. Determine a medida no Sistema 
Sexagesimal de um ângulo que, medido no Sistema Circular, é de 2π32π3 . 
 
 
600600 
 
 
12001200 
 
300300 
 
10001000 
 
24002400 
 
 
 
Explicação: 
Substituindo pi rad por 180º resulta 2 x 180º/3 = 2x 60º = 120º . 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual a medida de um arco de 210 graus , em radianos? 
 
 
π2π2 
 
 
7π67π6rad 
 
7π37π3 
 
π2π2rad 
 
3π23π2rad 
 
 
 
Explicação: 
Sabemos que pi rad = 180 graus , então proporcionalmente x rad = 210 graus . 
Aplicando uma Regra de Três , concluimos que 210 pi = 180 x , donde x = 210 pi /180 = ( dividindo 
por 30) = 7 pi /6 radianos . 
Observe então que na conversão de graus para radianos basta multiplicar o valor em graus por pi/180. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 10 cm. 
Calcule a medida do arco em radianos. 
 
 
5 rad 
 
1 rad 
 
2 rad 
 
 
3 rad 
 
4 rad 
 
 
 
Explicação: 
Comprimento do arco = arco em radianos x raio 
30 = arco em radianos x 10 ... arco = 30/10 = 3 rad 
 
AULA 4 
 
 
 
1. 
 
 
Considere os ângulos a = 60° e b = 120° , que são simétricos em relação 
ao eixo y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que : 
 
 
sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b) 
 
sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b) 
 
sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b) 
 
sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b) 
 
 
sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b) 
 
 
 
 
Explicação: 
Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico , o seno é medido 
no mesmo ponto do eixo y , portanto tem o mesmo valor Entretanto os cossenos têm o mesmo 
módulo , mas um é medido no eixo x positivo e o outro no eixo x negativo , ou seja têm sinais 
contrários. 
Por isso : seno 60º = seno 120º e cos 60º = - cos 120º 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e 
com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio 
que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro 
quadrante . Podemos afirmar então que o valor de cos (a) é : 
 
 
a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M. 
 
a abcissa do ponto M medida no eixo y. 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo x. 
 
 
a abcissa do ponto M medida no eixo x. 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo y. 
 
 
 
Explicação: 
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 
1 que delimita o arco . Ou seja, é a coordenada no eixo x ou a abcissa do ponto M que marca o arco na 
circunferência . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considerando as proposições abaixo: 
(I) sen x > 0, então x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. 
(II) cos x < 0, então x pertence ao terceiro e quarto quadrantes. 
(III) tg x > 0, então x pertence somente ao primeiro quadrante. 
É correto afirmar que: 
 
 
Somente (I) é verdadeira. 
 
 
Todas são falsas. 
 
Todas são verdadeiras. 
 
Somente (III) é falsa. 
 
Somente (II) é verdadeira. 
 
 
 
Explicação: 
(I) sen x > 0, então x pertenceao primeiro e terceiro quadrantes. Errado : x pertence ao primeiro e 
segundo quadrantes - eixo y positivo 
(II) cos x < 0, então x pertence ao terceiro e quarto quadrantes. Errado : x pertence ao segundo e 
terceiro quadrantes - eixo x negativo 
(III) tg x > 0, então x pertence somente ao primeiro quadrante.Errado : tg= sen/ cos , entaõ é positivo 
de ambos forem positivos (primeiro quadrante ) ou de ambos forem negativos (terceiro quadrante ). 
 
 
 
 
 
4. 
 
Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na 
origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere 
também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo 
 
A com o eixo x no primeiro quadrante. Podemos afirmar então que o 
valor de cos (A) é: 
 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo y. 
 
a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M. 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo y 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo x. 
 
 
a abcissa do ponto M medida no eixo x. 
 
 
 
Explicação: 
No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio 
de medida 1 que delimita o arco . Ou seja, é o valor da abcissa no eixo x , ou seja , é a abcissa 
do ponto M que marca o arco na circunferência . 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que sen (900 - x) é igual a: 
 
 
tg x 
 
 
cos x 
 
-tg x 
 
-sen x 
 
- cos x 
 
 
 
Explicação: 
Veja na aula 4 as relações entre ângulos nos quadrantes do círculo trigonométrico. Observe que o seno 
é 
medido no eixo y e o cos no eixo x e que há uma relação entre o valor dessas medidas . A medida do cos 
de um arco x é igual á 
medida do seno do arco ( 90 - x ) . Por ex sen 30º = cos 60º 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e 
com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio 
que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo a com o eixo x no primeiro 
quadrante . Podemos afirmar então que o valor de sen (a) é : 
 
 
a abcissa do ponto M medida no eixo x. 
 
a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M. 
 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo y. 
 
a abcissa do ponto M medida no eixo y. 
 
a ordenada do ponto M medida no eixo x. 
 
 
 
Explicação: 
No círculo trigonométrico o seno de um arco é medido como a projeção no eixo y , do raio de medida 
1 que delimita o arco . Ou seja, é o valor da coordenada no eixo y , ou seja , é a ordenada do ponto M 
que marca o arco na circunferência . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabe-se que x -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg 
x. 
 
 
 
3/4 
 
-0,8 
 
0,7 
 
- 3/4 
 
0,8 
 
 
 
Explicação: 
 Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz 
quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado. 
sen²x = 0,36 então, cos² x = 1 - 0,36 = 0,64 ... daí cos x= raiz de 0,64 = - 0,8 pois x é um arco do 
3° quadrante. 
Então tg x = sen x / cos x = - 0,6 / - 0,8 = 6/ 8 = 3/ 4. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Considere os ângulos a = 30° e b = 150° , que são simétricos em relação ao eixo 
y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que : 
 
 
sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b) 
 
sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b) 
 
sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b) 
 
 
sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b) 
 
sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b) 
 
 
 
Explicação: 
Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico , o seno é medido no mesmo 
ponto do eixo y , portanto tem o mesmo valor Entretando os cossenos têm o mesmo módulo , mas um é 
medido no eixo x positivo e o outro no eixo x negativo , ou seja têm sinais contrários. 
 Daí seno 30º = seno 150º e cos 30º = - cos 150º . 
 
AULA 5 
 
 
1. 
 
 
Para um determinado ângulo x temos que cos (x+k.360)= cos x. Logo, cos 8500 é 
igual a: 
 
 
- sen 1300 
 
 
cos 1300 
 
- cos 1300 
 
tg 1300 
 
sen 1300 
 
 
 
Explicação: 
cos 850 = cos (x+k.360) então 850 = x + k360 ...para k=2 resulta 850 = x + 2. 360 ... 850 = x + 
720 .. x =130 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo-se que um ângulo do segundo quadrante tem o valor do 
seno igual a 1/2, o valor do cosseno deste ângulo será: 
 
 
0 
 
1 
 
√3232 
 
 
−√32-32 
 
1/2 
 
 
 
Explicação: 
Se o seno é 1/2 = sen 30º , então o angulo no segundo quadrante é 180º - 30º = 150º e o cosseno é 
= - cos 30º . = -V3/2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Sabendo que sen x = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine cotg x. 
 
 
-V3/3 
 
 
- V3 
 
V3/3 
 
V3 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz 
quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado. 
sen²x = 1/4 então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4 ... daí cos x= +V(3/4) = + V3/ 2 pois x é um arco do 4° 
quadrante. 
Então cotg x = cos x /sen x = V3/ 2 / (- 1/2) = V3/ 2 . ( - 2) = - V3 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 3 tg x. 
 
 
 
- V3 
 
-V3/3 
 
1 
 
V3 
 
V3/3 
 
 
 
Explicação: 
Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz 
quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado. 
sen²x = 1/4 então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4 ... daí cos x= +V(3/4) = + V3/ 2 pois x é um arco do 4° 
quadrante. 
Então 3 tgx = 3 sen x /cos x = 3 ( -1/2) ./ V3/ 2 = (- 3/2) . (2/ V3) = - 3/ V3 = - V3 . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Para um ângulo x qualquer temos que sen (90º + x) é igual a: 
 
 
 
cos x 
 
- cos x 
 
sen x 
 
- sen x 
 
 tg x 
 
 
 
Explicação: 
Observa-se no círculo trigonométrico que a medida de cos x é igual a sen (90º + x) como cos 
30º = sen(90º +30º) = sen 120º . 
Portanto sen (90º + x) = cosx . 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Em uma roda gigante de 8 metros de raio, existem 12 cadeiras 
dispostas a espaços regulares, numeradas de maneira seqüencial . 
Estabelecendo uma comparação entre esta roda gigante e o ciclo 
trigonométrico, quando a cadeira de número 12 estiver no chão, qual 
é o seno do arco determinado pela origem do ciclo e pela cadeira de 
número 5? 
 
 
 
√3232 
 
1 
 
1/2 
 
0 
 
√33 
 
 
 
Explicação: 
São 12 cadeiras portanto o arco entre elas é 360º /12 = 30º . Entre a cadeira 1 e a cadeira 5 há 4 arcos 
de 30º = 120 º . 
Então o seno 120º = seno (180 - 60º) = seno 60º (positivo no segundo quadrante) = V3/2. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Simplifique a expressão: T = (cossec x + sec x) / (sen x + cos x). 
 
 
senx 
 
tg x 
 
 
1/(sen x . cos x) 
 
sec x . cos x 
 
sen x . cos x 
 
 
 
Explicação: 
Desenvolvendo (cossec x + sec x) / (sen x + cos x) . 
Primeiro : cossec x + sec x = 1/sen x + 1/cos x = ( senx + cos x ) / senx . cosx 
Substituindo isso na expressão inicial e dividindo por (sen x + cos x) resta apenas 1 / senx . cos x 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O seno de 210º é igual a : 
 
 
cos 30º 
 
cos60º 
 
sen 30º 
 
 - sen 60º 
 
 
- sen30º 
 
 
 
Explicação: 
sen 210 = sen(180 + 30 ) = - sen30 no 3º quadrante. 
 
AULA 6 
 
 
1. 
 
 
Determine o valor da expressão sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus. 
 
 
tg x 
 
 
cos x 
 
senx 
 
sec x 
 
cossec x 
 
 
 
Explicação: 
sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus. 
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b 
sen (x + 30) = sen x * cos 30 + cos x * sen 30 = V3/2 senx + 1/2 cosx 
cos (a + b) =cos a * cos b ¿ sen a * sen b 
cos (x + 60) = cos x * cos60 ¿ sen x * sen 60 = 1/2 cos x - V3/2 sen x 
Então : sen (x + 30) + cos (x + 60) = V3/2 senx + 1/2 cosx + 1/2 cos x - V3/2 sen x = 
simplificando = cosx 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Na simplificação da expressão y = cos 2x - cos² x é representada por: 
 
 
sen x cos x 
 
sen² x 
 
- sen x 
 
 
- sen² x 
 
sen x 
 
 
 
Explicação: 
y = cos 2x - cos² x 
Como cos 2a = cos²a ¿ sen²a , substituindo cos 2x fica : cos²x ¿ sen²x - cos² x = ¿ sen²x . 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos 
notáveis e calcule cos 135°. 
 
 
 
- (raiz de 2)/2 
 
raiz de 2 
 
(raiz de 2)/ 2 
 
- 1/2 
 
-raiz de 2 
 
 
 
Explicação: 
cos (a + b) = cos a * cos b ¿ sen a * sen b 
cos 135°.= (cos 90º + 45º) = 0 - 1 .V2/2 = - V2/2 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma 
ponte sobre o qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, 
deverá ser de 5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, 
deverá ser de 22,5o. A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que 
dará acesso à ponte, medida a partir da margem de outra via, conforme mostra a 
figura abaixo, deverá ser de: 
 
 
 
5(√2+1)5(2+1) 
 
53(√2+1)53(2+1) 
 
52(√2−1)52(2-1) 
 
54(√3+1)54(3+1) 
 
53(√3−1)53(3-1) 
 
 
 
Explicação: 
5/d = tg 22,5º .. Cálculo de tg22,5º ... usando tg 2a : ... tg45º = 2tg22,5º/ (1 - tg²22,5º) = 1 ... 
Fazendo tg22,5º = x .. 2x = 1 - x² ... x² +2x-1 =0 ... x = V2 -1 ou - (V2+1) , mas tg 22,5 é 
positiva = V2-1 ... 
Então 5/d = V2-1 ... d = 5/(V2-1) = 5 (V2 +1 ) / (V2-1) (V2 +1) = 5 (V2 +1 ) / (2-1) = 5 (V2 
+1 ) 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma haste de 1 metro é erguida formando um ângulo de 45 graus com sua base 
horizontal e em seguida é abaixada dessa posição em 30 graus. Qual das 
expressões abaixo representa a altura final em metros da ponta da haste em 
relação à sua posição horizontal ? 
 
 
(raiz de 3 - raiz de 2) / 2 
 
(raiz de 2 - 1) / 2 
 
 
(raiz de 6 - raiz de 2) / 4 
 
(raiz de 6 - raiz de 2) / 2 
 
(raiz de 6 + raiz de 2) / 4 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo final é 45º - 30º = 15º em realção á horizontal ou eixo x do círculo trigonométrico. A altura 
pedida corresponde à medida no eixo y do círculo trigonométrico de raio 1 , pois a haste tem 1m . Daí 
essa medida é o seno de 15º . 
sen 15º = sen (45º ¿ 30º) = sen 45º * cos 30º ¿ cos 45º * sen 30º 
sen 15º = V2/2 .V3/2 - V2/2. 1/2 = V6/4 - V2/4 = (V6-V2) /4 . 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
6. 
 
 
Indique a resposta correta para o cálculo do cos 15°: 
 
 
√6−√246-24; 
 
 
√6+√246+24; 
 
√6+√326+32; 
 
√6464; 
 
√6+√346+34; 
 
 
 
Explicação: 
cos 15º = cos (45º ¿ 30º) = cos 45º * cos 30º + sen 45º * sen 30º = 
cos 15º = V2/2 . V3/2 + V2/2. 1/2 = V6/2 + V2/4 = (V6 + V2) / 4. 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Usando o cosseno de arcos conhecidos pode-se calcular o cos 75º como 
: 
 
 
(√3 - √2) /2 
 
√6 + √2) /4 
 
 
(√6 - √2) /4 
 
(√3 + √2) /4 
 
(√6 + √2) /2 
 
 
 
Explicação: 
cos75º = cos(45° + 30°) = cos45°·cos30° - sen45°·sen30° 
=V2/2 . V3/2 - V2/2 . 1/2 
=V6 /4 - V2/ 4 
=(V6 - V2) / 4 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se sen A = 3/ 5 , sendo A um arco do 2º quadrante , calcule sen 2A . 
 
 
12/25 
 
 24/25 
 
 
 -24/25 
 
 -2/5 
 
2/5 
 
 
 
Explicação: 
cos² A = 1 - sen² A = 1 - 9/25 = 16/25 ¿ cosA = - 4 /5 pois A é do 2º quadrante . 
Então sen 2A = 2senA .cosA = 2 .3/ 5 .(- 4/ 5) = -24/25 . 
 
AULA 7 
 
 1a Questão 
 Um espirograma é um aparelho que registra o volume de ar nos pulmoes de uma pessoa como funçao do 
tempo. Se uma pessoa entra espontaneamente em regime de hiperventilaçao, o traço do espirograma será 
bem próximo de uma curva senoidal. Um traço típico é dado pela função 
V(t)=4+0,5sen(100πt−π2)V(t)=4+0,5sen(100πt-π2) 
onde t é medido em minutos e V(t) é o volume dos pulmoes em litros. Determine o volume mínimo e 
máximo de ar nos pulmões. 
 
 
volume mínimo 5,4 litros e volume máximo 5,8 litros. 
 
volume mínimo 2,5 litros e volume máximo 4,5 litros. 
 volume mínimo 3,5 litros e volume máximo 4,5 litros. 
 
volume mínimo 5 litros e volume máximo 5 litros. 
 
volume mínimo 5 litros e volume máximo 7 litros. 
Respondido em 04/05/2020 00:10:42 
 
 
Explicação: 
V(t) é máximo e mínimo quando a expressão do seno é máximo = +1 ou mínimo = -1. .. 
Então V máx = 4 + 0,5 . (+1) = 4,5 e V mín = 4 + 0,5 .( -1) = 3,5 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 2a Questão 
 Numa experiência os resultados y dependem da variável x segundo a função y = 3 sen 2x. Qual 
o valor mínimo de y para x de 0 a pi? 
 
 0 
 -3 
 
- 1/2 
 
 -3/2 
 
 -1 
Respondido em 04/05/2020 00:28:17 
 
 
Explicação: 
x de 0 a pi resulta : 2x de 0 a 2pi . Nesse intervalo ,0 a 2pi , sen2x tem máximo = +1 e mín = -
1 . 
Portanto y= 3sen2x tem mínimo = 3 .(-1) = -3. 
 
 
 
 3a Questão 
 Um fenômeno y dependente da variável x se comporta de acordo com a função y = 2 + sen x . 
 Quais os valores máximo e mínimo apresentados pelo fenômeno, respectivamente ? 
 
 
 
1 e 0 
 
3 e 0 
 
+1 e -1 
 3 e 1 
 
 2 e 1 
Respondido em 04/05/2020 22:43:40 
 
 
Explicação: 
sen x máximo = + 1 e sen x mínimo = -1 . 
 Portanto y máximo = 2 + 1 = 3 e y mínimo = 2 -1 = 1 
 
 
 
 4a Questão 
 Suponha que a pressao arterial de uma pessoa no tempo t em segundos seja dados por 
P(t)=100+10sen(t)P(t)=100+10sen(t) 
Com esta informação, encontre o máximo de P (pressao sistólica) e o mínimo valor de P (pressao 
diastólica). 
 
 diastólica 90, sistólica 110. 
 
diastólica 190, sistólica 110. 
 
diastólica 80, sistólica 90. 
 
diastólica 120, sistólica 150. 
 
diastólica 10, sistólica 150. 
Respondido em 04/05/2020 22:50:49 
 
 
Explicação: 
O máximo e o mínimo de P(t)=100+10sen(t) correspondem respectivamente ao máximo e mínimo de 
sen(t) que é +1 e -1 . 
Portanto ymáx = 100 + 10.(+1) = 110 e ymín = 100 +10 (-1) = 90. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 5a Questão 
 Encontre o menor valor que y pode assumir na função y = 1/(3 - cos x) com x real. 
 
 
1/6 
 
1/7 
 1/4 
 
1/2 
 
1/5 
Respondido em 04/05/2020 22:58:18 
 
 
Explicação: 
Para cos x = +1 .. y = 1/ (3 -1) = 1/2 ... 
Para cos x = 0 .. y = 1/ (3 - 0) = 1/3 . 
Para cos x = -1 .. y = 1/ (3 +1) = 1/4 , valor mínimo . 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 6a Questão 
 
Um fenômeno periódico tem variação em função do tempo tt em horas e é representado 
pela função y=100+2sen(tπ6)y=100+2sen(tπ6). Em quantas horas, entre 1 e 12 horas, 
ocorre o valor máximo de yy ? 
 
 
6 
 
9 
 3 
 
12 
 
2 
Respondido em 04/05/2020 22:52:41 
 
 
Explicação: 
 
O máximo da função y=100+2sen(tπ/6) ocorre quando o sen(tπ/6) é máximo ou seja para tπ/6 = π/2 ou 
90º . 
Então dessa igualdade resulta t/6 = 1/2 donde t = 6/2 = 3 horas. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 7a Questão 
 Determine os valores do parâmetro real m que torna possível a 
condição sen(α)=2m−1sen(α)=2m-1, supondo que αα é um ângulo agudo. 
 
 -1/2 < m < 0 
 1/2 < m <1 
 -1 < m < 0 
 0 < m < 1 
 -1/2 < m < 1 
Respondido em 04/05/2020 00:16:52 
 
 
Explicação: 
Como é um ângulo agudo , está no primeiro quadrante entre 0º e 90º e o seno tem valores entre 0 a +1. 
Então 0 < 2m-1 < 1 ... 1 < 2m < 1 + 1 ... 1 < 2m < 2 ... 1/2 < m < 1 
 
 
 
 
 8a Questão 
 Podemos afirmar que a função cosseno varia entre: 
 
 [-1, 1] 
 
[-5, 5] 
 
[1, -1] 
 
[-4, 4] 
 
[4, -4] 
 
AULA 8 
 1a Questão 
 Qual o valor de sec x para x = pi/3 rad ? 
 
 2V2 
 
V3/2 
 
1/ 2 
 
2V3/3 
Respondido em 04/05/2020 23:00:04 
 
 
Explicação: 
pi/3 rad = 180º /3 = 60º . 
sec 60º = 1/ cos 60º = 1 / (1/ 2) = 2 
 
 
 
 2a Questão 
 Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º 
 
 
- V3 
 
V3 
 
3 
 
-2 
 0 
Respondido em 04/05/2020 23:05:12 
 
 
Explicação: 
 y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º ... 
cotg 30º = 1/tg 30º = 3/V3 = V3 ... 
cotg π/2 = 1/ tg 90º = cos90º / sen 90º = 0 / 1 = 0 ... 
cotg 330º = cotg ( - 30º) = cos (-30º) / sen(-30º) = ( V3/2) / (-1/2) = ( V3/2) . (-2) = -V3 ... . 
Então a soma é V3 + 0 - V3 = 0 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 3a Questão 
 Sabendo que cossec x = -2, determine o valor de sen²x. 
 
 
1/2 
 1/4 
 
1 
 
- 1/4 
 
-1/2 
Respondido em 04/05/2020 23:06:30 
 
 
Explicação: 
cossec x = 1 /sen x = -2 ... senx = -1/2 ... sen² x = (-1/2) ² = 1/4. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 Analisando a função cotangente observamos que : 
 
 
seu período é 2pi e é negativa nos 3º e 4º quadrantes. 
 seu período é pi e é negativa nos 2º e 4º quadrantes. 
 
seu período é pi e é negativa nos 2º e 3º quadrantes. 
 
seu período é 2pi e é negativa nos 2º e 4º quadrantes. 
 
seu período é pi e é negativa nos 3º e 4º quadrantes. 
Respondido em 04/05/2020 23:10:06 
 
 
Explicação: 
A função cotangente que é o inverso da tangente é uma função periódica cujos valores se repetem a cada 
período π . Como cotg = cos/seno , ela só é negativa quando seno e cosseno tem sinais diferentes , 
positivo e negativo , ou seja, para arcos do 2º e 4º quadrantes. 
 
 
 
 5a Questão 
 Considerando o segundo quadrante e sabendo que sec x = -2, calcule a tg x. 
 
 
2 
 - V3 
 
-1 
 
3 
 
V3 
Respondido em 04/05/2020 23:12:47 
 
 
Explicação: 
sec x = 1/cos x = -2 ... cos x = -1/2 . sen² x + cos² x = 1 .. sen²x = 1 - 1/4 = 3/4 .. senx = 
+ V3/2 ( positivo no segundo quadrante) . 
Então tg x = sen x / cos x = sen x . sec x = V3/2 . (-2) = -V3 . 
 
 
 
 6a Questão 
 Analisando a função tangente observamos que : 
 
 tem período pi e é negativa apenas no 2º e 4º quadrantes. 
 
tem período pi e é negativa apenas no 2º e 3º quadrantes. 
 
tem período 2pi e é negativa apenas no 3º e 4º quadrantes. 
 
tem período pi e é negativa apenas no 3º e 4º quadrantes. 
 
tem período 2pi e é negativa apenas no 2º e 4º quadrantes. 
Respondido em 04/05/2020 23:15:15 
 
 
Explicação: 
A função tangente é uma função periódica cujos valores se repetem a cada período π . Como tg = seno 
/cos , ela só é negativa quando seno e cosseno tem sinais diferentes , positivo e negativo , ou seja, para 
arcos do 2º e 4º quadrantes. 
 
 
 
 7a Questão 
 Analisando a função y = secante x observamos que : 
 
 y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2. 
 
y tem período 2pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2. 
 
y tem período 2pi e seus valores estão limitados ao intervalo fechado [-1, +1] 
 
y tem período pi e é maior ou igual a +1 para pi/2 < x < 3pi/2. 
 
y tem período pi e é menor ou igual a -1 para pi/2 < x < 3pi/2. 
Respondido em 04/05/2020 23:24:09 
 
 
Explicação: 
A função secante é o inverso do cosseno e é uma função periódica cujos valores se repetem a cada período 
2 pi . Como sec = 1/cos , ela tem valores negativos, como o cosseno , para arcos entre pi/2 e 3pi/2, no 2º 
e 3º quadrantes. O valor máximo -1 ocorre em pi , pois cos pi = -1 e vai tendendo negativamente a 
menos infinito quando o arco tende a pi/2 ou 3pi/2 , onde o cosseno é zero .. 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 8a Questão 
 Analisando a função y = cotangente x , observamos que: 
 
 
y tem período 2pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º 
quadrante. 
 
y tem período 2pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º 
quadrante. 
 y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º 
quadrante. 
 
y tem período pi e será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º 
quadrante. 
 
y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante ou do 4º quadrante. 
Respondido em 04/05/2020 23:17:18 
 
 
Explicação: 
A função cotangente é o inverso da tangente e é uma função periódica cujos valores se repetem a cada 
período pi . Como cotg = 1/tg = cos/sen , ela só é positiva quando seno e cos tem mesmo sinal , para 
arcos do 1º e 3º quadrantes , e só é negativa quando seno e cosseno tem sinais contrários,para arcos do 2º 
e 4º quadrantes. 
 
 
AULA 9 
 
 
1. 
 
 
Associe as expressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa 
correspondente à associação correta: 
(A)1(cosx)21(cosx)2 (1)(cosx)2+(senx)2cosx(cosx)2+(senx)2cosx
(B)secxsecx (2)(tgx)2+1(tgx)2+1 
(C)(secx)2−1(secx)2-1 
(3)1 
(D)(cossecx)2−(cotgx)2(cossecx)2-
(cotgx)2 
(4)(tgx)2(tgx)2 
 
 
 
A2, B1, C3, D4 
 
A3, B1, C4, D2 
 
A2, B3, C4, D1 
 
A2, B4, C1, D3 
 
 
A2, B1, C4, D3 
 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar as fórmulas básicas como : sec = 1/cos , cotg = 1/tg , tg = sen /cos e sen² + cos² = 1 . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão 
sen 2x.cossec x corresponde a: 
 
 
2tgx 
 
2senx 
 
senx 
 
 
2cosx 
 
 cosx 
 
 
 
Explicação: 
sen 2x . cossec x = 2senx cosx . 1/ senx = 2 cos x 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considerando um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a 
expressão sen2x.secxsen2x.secx corresponde a : 
 
 
 
2senx 
 
2tgx 
 
cosx 
 
2cosx 
 
senx 
 
 
 
Explicação: 
 sen2x = 2 senx cosx , portanto sen2x.secx = 2 senx cosx . (1/cosx) = 2 senx 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Desenvolvendo a expressão (sen 2x) / (1+ cos 2x) encontramos: 
 
 
sec x 
 
cossec x 
 
 
tg x 
 
cos x 
 
sen x 
 
 
 
Explicação: 
sen2x = 2senx .cosx ... 
1 + cos 2x = 1 + cos²x - sen²x = (1 - sen²x) + cos²x = cos²x + cos²x = 2cos²x .. 
Então ; (sen 2x) / (1+ cos 2x) = 2senx .cosx / 2cos²x = (simplificando cos ) = senx / cosx = tg x . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine sec x, sabendo que sen x =2ab/(a^2+b^2) . 
 
 
 
(a^2 + b^2) / (a^2 - b^2) 
 
(a^2 - b^2) / (a^2 + b^2) 
 
1 / (a^2 - b^2 ) 
 
1 / (a^2 + b^2 ) 
 
a^2 + b^2 
 
 
 
Explicação: 
senx = 2ab/(a² +b²) 
sen²x ( a² + b²)² = (2ab)² 
(1-cos²x) (a² +b²)² = (2ab)² 
(a² +b²)² - cos²x (a² +b²)² = (2ab)² 
cos²x (a² +b²)² = (a² +b²)² - (2ab)² 
cos²x = [ (a² +b²)² - (2ab)² ] / (a² +b²)² 
cos²x = ( a^4 +b^4 +2a²b² - 4a²b² ) / (a² +b²)² = 
cos²x = ( a^4 +b^4 - 2a²b² ) / (a² +b²)² 
cos²x = ( a² - b²)² / (a² + b²)² 
cos x = ( a² - b²) / (a² + b²) 
sec x = 1/cos x = (a² + b²) / (a² - b²) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Considere as afirmações abaixo. 
(I) cosx.tgx.cscx=1cosx.tgx.cscx=1 
(II) tg2x.csc2x=1+tg2xtg2x.csc2x=1+tg2x 
(III) tg2x.csc2x=1tg2x.csc2x=1 
Assinale a opção correta. 
(Nota: csc= cossecante) 
 
 
A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas. 
 
Todas as afirmações são falsas. 
 
 
As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa. 
 
Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas. 
 
 
 
Explicação: 
(I) cosx.tgx.cscx = cos . (sen/cos) . (1/ sen) = cortando cos e sen = 1 ... 
VERDADE 
(II) tg2x.csc2x = (sen²/cos² ) . (1/sen²) = cortando sen² = 1/cos² = 
 = (sen² + cos²) / cos² = sen²/cos² + cos² /cos² = tg2x +1 ... VERDADE . 
(III) tg2x.csc2x , como em (II) não é = 1 ... FALSO . 
 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
7. 
 
 
Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão cotg² x 
+ 1corresponde a : 
 
 
tg ² x 
 
cos² x 
 
sec² x 
 
 
cossec² x 
 
 sen² x 
 
 
 
Explicação: 
 cotg² x + 1 = (cos²x / sen²x ) + 1 = cos² x / sen² x + sen² x / sen² x = (cos² x + sen² x) / 
sen² x = 1/ sen² x = cossec² x . 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão cossec 
x /sec x corresponde a: 
 
 
 
cotg x 
 
 tg x 
 
cossec² x 
 
sen x 
 
 cos x 
 
 
 
Explicação: 
cossec x /sec x = (1/sen x) / ( 1/cos x) = cos x / sen x = 1/ tgx = cotg x 
 
 AULA 10 
 
 1a Questão 
 Analise e determine a solução da equação cos x = (sqrt(2) / 2) 
 
 
S = {x pertence R tal que x = (3pi) + 2 k pi, k pertence a Z} 
 
S = {x pertence R tal que x = - (3pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z} 
 
S = {x pertence R tal que x = 9pi + 2 k pi, k pertence a Z} 
 
S = {x pertence R tal que x = (7pi ) + 2 k pi, k pertence a Z} 
 S = {x pertence R tal que x = + - (pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z} 
Respondido em 04/05/2020 23:37:40 
 
 
Explicação: 
cos x = (V2 / 2) , então como cos 45º = V2/2 , x = 45º = pi/4 no 1º quadrante , com cosseno positivo . 
Com cosseno positivo x pode estar também no 4º quadrante , com esse mesmo cosseno , sendo x= 2pi -
pi/4 = 7pi/4 ( = 360º - 45º) .. 
Este arco pode ser expresso também pelo seu valor negativo x = - pi/4. 
Os arcos da solução são todos os arcos côngruos aos acima como na opção do gabarito. 
 
 
 
 2a Questão 
 Resolver a equação 2 sen x + 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade. 
 
 
V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = π/6 + kπ, k ϵ Z } 
 
V = {x ϵ R| x = 7π/6 +3 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z } 
 
V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = 12π/6 + kπ, k ϵ Z } 
 
V = {x ϵ R| x = π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z} 
 V = {x ϵ R| x = 7π/6 + 2kπ ou x = 11π/6 + kπ, k ϵ Z } 
Respondido em 04/05/2020 23:48:34 
 
 
Explicação: 
2 sen x + 1 = 0 ... sen x = -1/2 ... então como sen 30º = 1/2 temos seno (-30º) = -1/2 = seno (360º 
- 30º ) = sen 330º = sen 11pi/6... 
Então x = 330º ou 11pi/6 no 4º quadrante com seno negativo ... 
Com seno negativo x pode estar também no 3º quadrante : x = 180º + 30º = 210º = 7pi/6 ... 
Os arcos côngruos de x são: 2k pi + 11pi/6 ou 2k pi + 7pi/6 ... 
 
 
 
 3a Questão 
 Resolvendo a equação cosx=−√22cosx=-22, obtemos: 
 
 S={x ∈Rx=4π3+2kπoux=11π3+2kπ,k ∈Z}S={x ∈Rx=4π3+2kπoux=11π3+2kπ,k ∈Z} 
 S={x ∈Rx=π4+2kπoux=3π4+2kπ,k ∈Z}S={x ∈Rx=π4+2kπoux=3π4+2kπ,k ∈Z} 
 S={x ∈Rx=3π4+2kπoux=5π4+2kπ,k ∈Z}S={x ∈Rx=3π4+2kπoux=5π4+2kπ,k ∈Z} 
 S={x ∈Rx=5π4+2kπoux=π4+2kπ,k ∈Z}S={x ∈Rx=5π4+2kπoux=π4+2kπ,k ∈Z} 
 S={x ∈Rx=5π3+2kπoux=11π3+2kπ,k ∈Z}S={x ∈Rx=5π3+2kπoux=11π3+2kπ,k ∈Z} 
Respondido em 04/05/2020 23:54:18 
 
 
Explicação: 
No 1º quadrante cos 45º = V2/ 2 . Então -V2/2 é o cosseno negativo correspondente no 2º e 3º 
quadrantes .. 
Portanto x pode ser 180º - 45º = 135º = 3 pi/4 ou 180º + 45º = 225º = 5pi/4 e seus arcos 
côngruos, como nas opções. . 
 
 
 
 4a Questão 
 Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade. 
 
 V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z} 
 
V = (x ϵ R| x = π/5 + 2kπ, k ϵ Z} 
 
V = (x ϵ R| x =3π/2 + 2kπ, k ϵ Z} 
 
V = (x ϵ R| x = π + 2kπ, k ϵ Z} 
 
V = (x ϵ R| x = π/2 + 2kπ, k ϵ Z} 
Respondido em 05/05/2020 00:15:22 
 
 
Explicação: 
tg x + 1 = 0 ... tgx = -1 ... como tg (-45º) = -1 , então x = 360º - 45º = 315º = 7pi/4 , com tg 
negativo, no quarto quadrante. 
Com tg negativo , x pode estar no 2º quadrante : x = 315º - 180º = 135º = 3pi/4 . 
Os arcos desse conjunto são : 3pi/4 + 2kpi e 7pi/4 + 2kpi ou como 7pi/4 = 3pi/4 + pi = , podemos 
resumir ambos : k pi + 3pi/4 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 5a Questão 
 Determine a solução da equação cos x = + V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π. 
 
 S = {π/4, 7π/4 } 
 
 S = {π/4, 5π/4 } 
 
 S = {π/4, 3π/4 } 
 
S = {3π/4, 5π/4 } 
 
S = {3π/4, 7π/4 } 
Respondido em 05/05/2020 00:17:41 
 
 
Explicação: 
cos 45º = cos pi/4 = + V2/2 no primeiro quadrante e também cos 315º (=360º- 45º) = cos 
7pi/4 = + V2/2 no 4º quadrante. 
Então x = pi/4 ou 7pi/4 . 
 
 
 
 6a Questão 
 
As soluções da equação 2secx−2cosx=32secx-2cosx=3que pertence ao 
intervalo (−π2,π2)(-π2,π2) são: 
 
 
três 
 
infinitas 
 
sete 
 duas 
 
apenas uma 
Respondido em 05/05/2020 00:24:29 
 
 
Explicação: 
2/cosx - 2 cosx - 3 = 0 ... 
(multiplicando por cosx ) : 2 - 2 cos²x - 3cosx = 0 ... 
arrumando a equação do 2º grau : - 2cos²x - 3 cosx +2 = 0 ... 
Multiplicando por (-1) : 2cos²x + 3 cosx - 2 = 0 ... 
Resolvendo encontarmos 2 raízes : 1/2 e -2 .. 
Entretanto cos x não pode ser = -2 ; resta apenas cosx = 1/2 .. 
Entre -pi/2 (-90º) e + pi/2 ( +90º) temos cosx = 1/2 para x = 60º e x = 360 - 60 = 300º . 
Então são 2 soluções . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 7a Questão 
 Resolvendo a equação cos x= - 1212, obtemos: 
 
 S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ} 
 S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ} 
 S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ} 
 S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ} 
 S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ} 
Respondido em 05/05/2020 00:28:57 
 
 
Explicação: 
cos 60º = + 1/2 no 1º quadrante , mas como cos x = -1/2 negativo , temos x no 2º ou 3º 
quadrantes ... 
x = 180º - 60º = pi - pi/3 = 2pi/3 ou 180 º + 60º = pi + pi/3 = 4pi/3 
Então a solução para x são os arcos côngruos de 120º = 2pi/3 ou de 240º = 4pi/3 . 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 8a Questão 
 Determine a solução da equação sen x = - V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π. 
 
 S = {5π/4, 7π/4 } 
 
S = {3π/4, 5π/4 } 
 S = {π/4, 3π/4 } 
 
S = {3π/4, 7π/4 } 
 
 S = {π/4, 5π/4 } 
Respondido em 05/05/2020 00:30:28 
 
 
Explicação: 
sen 225º = sen (180º + 45º) = sen 5pi/4 = - V2/2 no 3º quadrante , 
e também sen 315º = sen (360º - 45º) = sen 7pi/4 = - V2/2 no 4º quadrante. 
Então x = 5pi/4 ou 7pi/4 .