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Avaliação 2 de Cálculo Diferencial e
Integral II, MAD103 (UNIASSELVI)
Cálculo Diferencial e Integral
Faculdade Santa Rita de Chapecó
4 pag.
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Acadêmico:
Disciplina:
Avaliação:
Cálculo Diferencial e Integral II (MAD103)
Avaliação II - Individual Semipresencial ( Cod.:460851) ( peso.:1,50)
Prova:
Nota da Prova: 9,00
Legenda: Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
1. Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas (n
X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função
"f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos
newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
(    ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
(    ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) F - F - V - V.
b) F - V - V - F.
c) V - F - V - F.
d) V - V - F - F.
2. O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral
para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que
antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = ln (x.y), analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II- A soma de suas derivadas parciais é 1/x + 1/y.
III- A soma de suas derivadas parciais é x + y.
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) As sentenças II e IV estão corretas.
b) As sentenças I e III estão corretas.
c) Somente a sentença II está correta.
d) Somente a sentença I está correta.
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3. O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de
diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais
em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = 3x²y + 5xy², analise as sentenças a
seguir:
I- O diferencial total de f é 6xy + 5xy.
II- O diferencial total de f é 6xy² + 10xy.
III- O diferencial total de f é 3x² + 5y² + 16xy.
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy.
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a sentença II está correta.
 b) Somente a sentença IV está correta.
 c) Somente a sentença I está correta.
 d) Somente a sentença III está correta.
4. Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado
nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a
uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a
alternativa CORRETA:
 a) 9 cm²/s.
 b) 6,6 cm²/s.
 c) 6 cm²/s.
 d) 0,7 cm²/s.
5. Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado
nisto, calcule a taxa com que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 6 cm e está
crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Sobre o
exposto, assinale a alternativa CORRETA:
 a) 6,2 cm²/s.
 b) 5,6 cm²/s.
 c) 9 cm²/s.
 d) 6 cm²/s.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
6. A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de calcular áreas e volumes
definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui aplicações na área da física, como,
por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y =
x³ e y = 4x.
 a) F - V - F - F.
 b) V - F - F - F.
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 c) F - F - F - V.
 d) F - F - V - F.
7. A vorticidade é uma grandeza física usada em mecânica dos fluidos e na meteorologia para medir a velocidade de
rotação das partículas de um fluido num ponto, a vorticidade é um vetor. Para calcular a vorticidade, usamos a
fórmula v = 0,5.rot(F), onde v é a vorticidade e rot(F) é o rotacional da função da forma F(x,y,z)=(f(x,y,z), g(x,y,z),
h(x,y,z)). Dado o campo de velocidade F(x,y,z) =(2xy, 3yz, z²) qual é o vetor vorticidade no ponto (- 1, - 2, - 3), sabendo
que:
 a) v = (3, 0, 1).
 b) v = (- 6, 0, - 2).
 c) v = (6, 0 , 2).
 d) v = (- 3, 0 , - 1).
8. Uma barragem foi construída e formou um lago cuja superfície se assemelha à metade de uma circunferência no
plano xy, como mostra a Figura. A profundidade desse lago em metros é dada pela função f(x,y) = 300 - x² + 2x + y².
Existe um certo tipo de peixe neste lago que normalmente é encontrado nas partes mais profundas. Um biólogo
pretende estudar este peixe e para isso precisa pegar um exemplar. Sabendo que o biólogo está com o bote no
ponto (-2, 4), qual a direção que ele deve navegar para chegar no ponto de maior profundidade e qual é a maior
profundidade?
 a) (6, 8) e 10.
 b) (6, 8) e 14.
 c) (-2, 4) e 12.
 d) (-1, 4) e 316.
9. No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano
cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calculando a área entre as curvas y
= 4 - x² e y = x + 2, obteremos:
 a) Área igual a 11/2 u.a.
 b) Área igual a 14/3 u.a.
 c) Área igual a 8 u.a.
 d) Área igual a 9/2 u.a.
Anexos:
Formulário - Equações Diferenciais (Saulo)
10. Quando podemos escrever uma função na forma y = f(x) temos uma função explícita. No entanto, em muitas
situações não conseguimos escrever uma função dessa forma, então dizemos que y é uma função implícita de x.
Para derivar funções dessa forma usamos o método de derivação implícita. Analise as opções a seguir e, depois,
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a derivada da função implícita y dada pela equação:
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 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção I está correta.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
Prova finalizada com 9 acertos e 1 questões erradas.
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